De thi HSG Toan 8 co DA
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (183.64 KB, 4 trang )
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LẦN VII
NGA SƠN
Đề chính thức
Năm học 2015-2016
Mơn: Tốn - Lớp 8
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể phát đề)
Câu 1: (3,0 điểm )
2
2
2
a) Phân tích đa thức a (b c) b (c a) c ( a b) thành nhân tử.
3
3
3
b) Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn ( a b) (b c) (c a) 210 . Tính
giá trị của biểu thức
A a b b c c a .
Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức:
2
1
10 x 2
x
A 2
: x 2 x 2
x 4 2 x x 2
a. Rút gọn biểu thức A.
c. Tìm giá trị của x để A < 0.
1
b. Tính giá trị của A , Biết x = 2 .
d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 2 (3,0 điểm).
a) Giải phương trình: x3 – 3x – 2 = 0.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015.
Câu 3 (3,0 điểm): Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1)=0 ; P(3)=0 ;
P(5)= 0.
Hãy tính giá trị của biểu thức: Q= P(-2)+7P(6)
Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.
HA ' HB' HC '
+
+
a) Tính tổng
AA ' BB' CC '
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc
AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
AB+ BC+CA ¿2
¿
c) Chứng minh rằng:
.
Ơ¿
¿
Câu 5 : (1 điểm)
Tìm tất cả các tam giác vng có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện
tích bằng số đo chu vi .
Câu
1
ĐÁP ÁN
Nội dung
Điểm
2
2
2
2
2
2
a) Ta có a (b c) b (c a) c (a b) a (b c) b (c a) c (b c c a)
(b c )(a 2 c 2 ) (c a )(b 2 c 2 ) (b c )(a c )(a c ) (c a)(b c )(b c)
0,5
0,5
(b c)(a c)(a c b c) (b c)(a c)(a b) .
b) Đặt a b x; b c y ; c a z x y z 0 z ( x y )
0,5
0,5
3
3
3
3
3
3
Ta có: x y z 210 x y ( x y ) 210 3xy( x y ) 210
xyz 70 . Do x, y, z là số nguyên có tổng bằng 0 và xyz 70 ( 2).( 5).7
nên
x, y , z 2; 5; 7 A a b b c c a 14.
2
1
10 x 2
x
A 2
: x 2
x 4 2 x x 2
x2
Biểu thức:
1
A
x 2
Rút gọn được kết qủa:
1
1
1
x x
x
2
2 hoặc
2
2a
2b
⇒ A=
2c
2
3
2
hoặc A= 5
A < 0 ⇔ x - 2 >0 ⇔ x >2
A
2d
3a.
3b.
Z ⇔
−1
∈Z
x −2
⇔
x-2
Ư(-1) ⇔ x-2
0,5
{ -1; 1} ⇔ x 1,0
{1; 3}
x3 - 3x - 2 = 0 (x3 + 1) – 3(x + 1) = 0
(x + 1)(x2 – x – 2) = 0 (x - 2)(x + 1)2 = 0
x = 2; x = - 1
P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015
P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 2010
P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 2010
Nên P(x) có dạng: P(x) = (x-1)(x-3)(x-5) (x+a)
Khi đó: P(-2) +7P(6) = (-3).(-5).(-7).(-2 +a) +7.5.3.1.(6+a)
= -105.(-2+a) +105.(6+a)
= 105.( 2 –a +6 +a) = 840
Bài 5 (6 điểm):
Vẽ hình đúng (0,5điểm)
0,5
1,0
3
1
x ;y
2
2
=> Giá trị nhỏ nhất của P = 2010 khi
Ta có: P(x) (x-1), (x-3), (x-5)
4
1,0
0,75
0,75
0,5
0,5
0,5
1,0
2,0
0,5
0,5
a)
1
. HA ' . BC
S HBC 2
HA '
=
=
; (0,5điểm)
S ABC 1
AA '
. AA ' .BC
2
S HAB HC '
S HAC HB '
Tương tự: S =CC ' ; S =BB'
ABC
ABC
(0,5điểm)
HA ' HB' HC ' S HBC SHAB S HAC
+
+
=
+
+
=1
AA ' BB ' CC ' S ABC S ABC SABC
(0,5điểm)
b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
BI AB AN AI CM IC
=
;
= ;
=
IC AC NB BI MA AI
BI AN CM AB AI IC AB IC
.
.
=
.
. =
. =1
IC NB MA AC BI AI AC BI
⇒ BI . AN . CM=BN . IC. AM
(0,5điểm )
(0,5điểm )
c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx
(0,5điểm)
-Chứng minh được góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’
(0,5điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD
(0,5điểm)
2
2
2
- Δ BAD vuông tại A nên: AB +AD = BD
⇒ AB2 + AD2
(BC+CD)2
(0,5điểm)
2
2
2
AB + 4CC’
(BC+AC)
2
4CC’
(BC+AC)2 – AB2
Tương tự: 4AA’2
(AB+AC)2 – BC2
4BB’2
(AB+BC)2 – AC2
(0,5điểm)
2
2
2
-Chứng minh được : 4(AA’ + BB’ + CC’ )
(AB+BC+AC)2
⇔
AB+ BC+CA ¿2
¿
Ơ¿
¿
(0,5điểm)
(Đẳng thức xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC
⇔
Δ ABC đều)
Câu 6 : (1đ)
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z
(x, y, z là các số nguyên dương )
Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2)
Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có :
z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
0,25
z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4
(z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2
0,25
z=x+y-4 ; thay vào (1) ta được :
xy=2(x+y+x+y-4)
xy-4x-4y=-8
(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4
0,25
Từ đó ta tìm được các giá trị của x , y , z là :
(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;
(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10)
0,25
