Tailieumontoan.com

Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CHUYÊN ĐỀ
CÁC BÀI TOÁN VỀ ELIP

Tài liệu sưu tầm, ngày 21 tháng 8 năm 2021


Website: tailieumontoan.com

1

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
I – LÝ THUYẾT
1)Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F=
2c ( c > 0 ) và hằng số a > c. Elip ( E ) là tập hợp
1 F2
các điểm M thỏa mãn MF1 + MF2 =
2a .

y
B2
M

A1
O

F1

F2

A2
x

B1
Hình 3.3

Các điểm F1 , F2 là tiêu điểm của ( E ) . Khoảng cách F1 F2 = 2c là tiêu cự của ( E ) . MF1 , MF2 được gọi là
bán kính qua tiêu.
2) Phương trình chính tắc của elip:
Với F1 ( −c;0 ) , F2 ( c;0 ) :
M ( x; y ) ∈ ( E ) ⇔

x2 y 2
2
a2 − c2
+ 2 =
1 (1) trong đó b=
2
a
b

(1) được gọi là phương trình chính tắc của ( E ) .
3) Hình dạng và tính chất của elip:
Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1 ( −c;0 ) , tiêu điểm phải F2 ( c;0 )
+ Các đỉnh : A1 ( −a;0 ) , A2 ( a;0 ) , B1 ( 0; −b ) , B2 ( 0; b )
+ Trục lớn : A1 A2 = 2a , nằm trên trục Ox; trục nhỏ : B1 B2 = 2b , nằm trên trục Oy.

+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x =
± a, y =
±b gọi là hình chữ nhật cơ sở.
+ Tâm sai : e=

c
<1
a

+ Bán kính qua tiêu điểm của điểm M ( xM ; yM ) thuộc ( E ) là:

MF1 =+
a exM =+
a

c
c
xM , MF2 =−
a exM =−
a
xM
a
a

II – DẠNG TOÁN
1. Dạng 1: Xác định độ dài các trục khi cho sẵn phương trình elip.
a) Phương pháp giải tự luận.
Từ phương trình chính tắc của ( E ) ⇔
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


x2 y 2
+
=
1 ta có thể xác định được:
a 2 b2
TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

2
+ Các đỉnh : A1 ( −a;0 ) , A2 ( a;0 ) , B1 ( 0; −b ) , B2 ( 0; b )
+ Trục lớn : A1 A2 = 2a, trục nhỏ : B1 B2 = 2b.
Ví dụ: Cho elip có phương trình:
A. 9; 4.

x 2 y2

 1. Khi đó độ dài trục lớn, trục nhỏ lần lượt là.
9
4
B. 6; 4.
C. 3; 2.
D. 4;6.

Lời giải

a 2 9=
=
a 3

⇔
Ta có:  2
b = 4
b = 2
- Trục lớn: A1 A=
2=
a 2.3
= 6
2
- Trục nhỏ: B1 B=
2=
b 2.2
= 4
2
Chọn B
b) Phương pháp giải trắc nghiệm, casio.
2. Dạng 2: Xác định tọa độ các tiêu điểm khi cho sẵn phương trình elip.
a) Phương pháp giải tự luận.
Từ phương trình chính tắc của ( E ) ⇔

x2 y 2
+
=
1 ta có thể xác định được:
a 2 b2

+ Các đỉnh : A1 ( −a;0 ) , A2 ( a;0 ) , B1 ( 0; −b ) , B2 ( 0; b )
2
+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1 ( −c;0 ) , tiêu điểm phải F2 ( c;0 ) với b=
a2 − c2


Ví dụ: Cho elip có phương trình:

(

) (

A. F1 − 7;0 , F2

x 2 y2

 1. Khi đó tọa độ tiêu điểm của elip là.
16
9

7;0

)

B. F1 ( −16;0 ) , F2 (16;0 )

C. F1 ( −9;0 ) , F2 ( 9;0 )

D. F1 ( −4;0 ) , F2 ( 4;0 )

Lời giải

a 2 16
=
=

a 4
⇔
⇒ c=
Ta có:  2
b = 3
b = 9

(

) (

- Tiêu điểm là: F1 − 7;0 , F2

a 2 − b 2=
7;0

7

)

Chọn A
b) Phương pháp giải trắc nghiệm, casio.
3. Dạng 3: Xác định tọa độ các tiêu điểm khi cho sẵn phương trình elip.
a) Phương pháp giải tự luận.
Từ phương trình chính tắc của ( E ) ⇔

x2 y 2
+
=
1 ta có thể xác định được:

a 2 b2

+ Các đỉnh : A1 ( −a;0 ) , A2 ( a;0 ) , B1 ( 0; −b ) , B2 ( 0; b )
Ví dụ 1: Cho elip có phương trình:

x 2 y2

 1. Khi đó tọa độ hai đỉnh trên trục lớn của elip là.
4
1

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

3
A. A1 ( −1;0 ) , A2 (1;0 )

B. A1 ( 0; −1) , A2 ( 0;1)

C. A1 ( 2;0 ) , A2 ( −1;0 )

D. A1 ( −2;0 ) , A2 ( 2;0 )

Lời giải
Ta có: a 2 = 4 ⇔ a = 2
- Hai đỉnh trên trục lớn là: A1 ( −2;0 ) , A2 ( 2;0 )

Chọn D
x 2 y2
Ví dụ 2: Cho elip có phương trình:

 1. Khi đó tọa độ hai đỉnh trên trục nhỏ của elip là.
9
4
A. B1 ( −2;0 ) , B2 ( 2;0 )
B. B1 ( 3;0 ) , B2 ( 2;0 )
C. B1 ( −3;0 ) , B2 ( −2;0 )

D. B1 ( −3;0 ) , B2 ( 3;0 )

Lời giải
Ta có: b 2 = 4 ⇔ b = 2
- Hai đỉnh trên trục lớn là: B1 ( −2;0 ) , B2 ( 2;0 )
Chọn A
b) Phương pháp giải trắc nghiệm, casio.
4. Dạng 4: Lập phương trình chính tắc của elip khi biết độ dài trục lớn và trục nhỏ.
a) Phương pháp giải tự luận.
+ Trục lớn : A1 A2 = 2a, trục nhỏ : B1 B2 = 2b. Ta xác định được a, b.
x2 y 2
+ Viết phương trình elip: 2 + 2 =
1.
a
b
Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip ( E ) có độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục
bé bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip ( E ) .
A.


x2
y2
+
=
1.
144 36

x2 y 2
+
=
1.
36 9
Lời giải

C.

B.

x2 y 2
+
=
1.
9 36

D.

x2
y2
0.
+

=
144 36

x2 y 2
+ = 1 ( a, b > 0 ) .
a 2 b2
x2 y 2
Ta có a = 6 , b = 3 , vậy phương trình của Elip là:
+
=
1.
36 9
Chọn C.
b) Phương pháp giải trắc nghiệm, casio.

Phương trình chính tắc của elip có dạng ( E ) :

5. Dạng 5: Lập phương trình chính tắc của elip khi biết độ dài trục lớn và tiêu cự của nó.
a) Phương pháp giải tự luận.
2
+ Trục lớn : A1 A2 = 2a, tiêu cự: F1 F2 = 2c. Ta xác định: b=
a2 − c2

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com


4
+ Viết phương trình elip:

x2 y 2
+
=
1.
a 2 b2

Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip ( E ) có độ dài trục lớn bằng 10 và độ dài tiêu
cự bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip ( E ) .
A.

x2 y 2
1.
+
=
25 16

x2 y 2
1.
+
=
36 9
Lời giải

C.

B.


x2 y 2
+
=
1.
16 25

D.

x2
y2
+
=
0.
144 36

Ta có: 2a = 10, 2c = 6 ⇒ a = 5, c = 3. b 2 = a 2 − c 2 = 52 − 32 = 16.
Vậy phương trình của Elip là:

x2 y 2
+
=
1.
25 16

Chọn A.
b) Phương pháp giải trắc nghiệm, casio.

6. Dạng 6: Lập phương trình chính tắc của elip khi biết độ dài trục nhỏ và tiêu cự của nó.
a) Phương pháp giải tự luận.
2

+ Trục nhỏ : B1 B2 = 2b, tiêu cự: F1 F2 = 2c. Ta xác định: a=
b2 + c2 .

+ Viết phương trình elip:

x2 y 2
+
=
1.
a 2 b2

Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip ( E ) có độ dài trục nhỏ bằng 8 và độ dài tiêu
cự bằng 10. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip ( E ) .
A.

x2 y 2
+
=
1.
25 16

x2 y 2
+
=
1.
36 9
Lời giải

C.


B.

x2 y 2
+
=
1.
16 41

D.

x2 y 2
+
=
1.
41 16

Ta có: 2b = 8, 2c = 10 ⇒ b = 4, c = 5. a 2 = b 2 + c 2 = 42 + 52 = 41.
x2 y 2
Vậy phương trình của Elip là:
+
=
1.
41 16
Chọn D.
b) Phương pháp giải trắc nghiệm, casio.

7. Dạng 7: Lập phương trình chính tắc của elip khi biết nó đi qua hai điểm cho trước.
a) Phương pháp giải tự luận.
x2 y 2
+ Phương trình elip có dạng: 2 + 2 =

1.
a
b
+ Elip qua hai điểm cho trước, ta thay tọa độ vào phương trình elip giải ra được a 2 , b 2 .
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

5

12 

Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, phương trình ( E ) đi qua điểm M ( 0;3) , N  3; −  là:
5


A.

x2 y 2
+
=
1.
6
3

x2 y 2
+

=
1.
5
3
Lời giải

C.

B.

x2 y 2
+
=
1.
25 9

D.

x2 y 2
+
=
1.
36 9

x2 y 2
Phương trình elip có dạng: 2 + 2 =
1. Đi qua hai điểm M , N ta được:
a
b
0 9

1
+ =
2
x2 y 2
 a 2 b 2
b = 9
.
Vậy
phương
trình
elip:
⇔
+
=
1. Chọn B.

 2
25 9
a = 25


 9 + 144 =
1
 a 2 25b 2
b) Phương pháp giải trắc nghiệm, casio.
Dùng máy tính nhập:

12
X2 Y2
.

X 0;=
Y 3 và calc X = 3; Y = −
+
⇒ calc =
5
25 9

Kết quả ra bằng 1 là đáp án đúng.
8. Dạng 8: Lập phương trình chính tắc của elip khi biết nó có một tiêu cự và đi qua một điểm cho
trước.
a) Phương pháp giải tự luận.
+ Phương trình elip có dạng:

x2 y 2
+
=
1.
a 2 b2

2
+ Từ giả thiết ta xác định được c và c=
a 2 − b 2 .(1)

+ Elip qua hai điểm ( xo , yo ) cho trước, ta được:

xo2 yo2
1.(2)
+
=
a 2 b2


+ Từ (1) & (2) ta giải ra được a 2 , b 2 .
Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và
đi qua điểm A ( 0;5 ) .
A.

x2
y2
+
=
1.
100 81

x2 y 2
+
=
1.
25 9
Lời giải
Chọn B.

C.

Phương trình chính tắc của elip có dạng

B.

x2 y 2
+
=

1.
34 25

D.

x2 y 2
1.
−
=
25 16

x2 y 2
+ = 1
a 2 b2

( a, b > 0 ) .

Theo giả thiết: 2c = 6 ⇔ c = 3 . Vì A ( 0;5 ) ∈ ( E ) nên ta có phương trình:
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

0 2 52
+
=⇔
1 b 2 =25 .
a 2 b2
TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com


6
Khi đó: a 2 = b 2 + c 2 ⇔ a 2 = 52 + 32 ⇔ a 2 = 34 ⇔ a = 34 .
x2 y 2
Vậy phương trình chính tắc của Elip là:
+
=
1.
34 25
b) Phương pháp giải trắc nghiệm, casio.

9. Dạng 9: Chứng minh một điểm M luôn di động trên một elip với điều kiện cho trước.
a) Phương pháp giải tự luận.
Để chứng tỏ điểm M di động trên một elip ta có hai cách sau:
+) Cách 1: Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1 , F2 là một hằng số
2a ( F1 F2 < 2a ).
Khi đó M di động trên elip có hai tiêu điểm F1 , F2 và trục lớn là 2a.
+) Cách 2: Chứng minh trong mặt phẳng tọa độ Oxy điểm M ( x; y ) có tọa độ thỏa mãn
x2 y 2
+
=
1 với a, b là hai hằng số thỏa mãn 0 < b < a.
a 2 b2
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M ( x; y ) di động có tọa độ ln thỏa mãn:
phương trình:

 x = 5cos t
, với t là tham số thay đổi. Khi đó điểm M di động trên elip có phương trình:

 y = 4sint
A.


x2
y2
+
=
1.
100 81

x2 y 2
+
=
1.
25 9
Lời giải

C.

B.

x2 y 2
+
=
1.
16 25

D.

x2 y 2
+
=

1.
25 16

 x2
x
= cos t  = cos 2 t
 x = 5cos t  5
x2 y 2
 25
⇒
⇒ 2
⇒
+
=
1. Chọn D.
Ta có: 
y
25
16
y
 y = 4sint
 = sin t
 = sin 2 t
 4
 16
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M ( x; y ) di động có tọa độ ln thỏa mãn:
 x = 7 cos t
, với t là tham số thay đổi. Khi đó điểm M di động trên elip có phương trình:

 y = 5sint

A.

x2
y2
+
=
1.
100 81

x2 y 2
C.
+
=
1.
25 9
Lời giải

B.

x2 y 2
+
=
1.
49 25

x2 y 2
D.
+
=
1.

25 16

 x2
x
2
=
=
cos
t
 49 cos t
 x = 7 cos t  7
x2 y 2
⇒
⇒ 2
⇒
+
=
1. Chọn B.
Ta có: 
y
49
25
y
 y = 5sint
 = sin t
 = sin 2 t
 5
 25
b) Phương pháp giải trắc nghiệm, casio.


Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

7
10. Dạng 10: Tìm số giao điểm của đường thẳng và elip.
a) Phương pháp giải tự luận.
x2 y 2
+ Phương trình elip có dạng: 2 + 2 =
1 và đường thẳng ∆ : y = mx + n.
a
b
+ Ta xét phương trình:

x 2 (mx + n) 2
+
=
1 (*) . Ta có 3 trường hợp:
a2
b2

TH1: (*) có 2 nghiệm thì số giao điểm là 2 (đường thẳng cắt elip).
TH2: (*) có 1 nghiệm thì số giao điểm là 1 (đường thẳng tiếp xúc elip).
TH3: (*) vơ nghiệm thì số giao điểm là 0 (đường thẳng và elip khơng có điểm chung).
x2 y 2
Ví dụ 1: Cho elíp ( E ) : +
0 . Số giao điểm của đường thẳng d

=
1 và đường thẳng d : 3 x + 4 y − 12 =
16 9
và elip ( E ) là:

A. 0.
C. 2.
Lời giải
Chọn C.

B. 1.
D. 3.

Ta có d : 3 x + 4 y − 12 =0 ⇔ y =3 −

3x
x2 y 2
, thay vào phương trình ( E ) : +
=
1 ta được
4
16 9

2

3x 

3− 
2


2
x 
x2 ( x − 4)
4 
1
1 ⇔ 2 x2 − 8x =
+
=⇔
+
=
0⇔
16
9
16
16

 x =0 ⇒ y =3
x = 4 ⇒ y =0

Vậy d luôn cắt ( E ) tại hai điểm phân biệt A ( 0;3) , B ( 4;0 ) .
x2 y 2
Ví dụ 2: Cho elip ( E ) : +
=
1 và đường thẳng d : x − 2 y + 2 =
0 . Số giao điểm của đường thẳng d
8
4
và elip ( E ) là:

A. 0.

C. 2.
Lời giải
Chọn C.

B. 1.
D. 3.

 x2 y 2
2
2
2
8
=
1
 +
 x + 2 y =
 y − 2 y − 1 =0
Lời giải. Tọa độ B, C là nghiệm của hệ:  8
⇔
⇔
4
=
2y − 2 =
2y − 2
x − 2 y + 2 =
 x
 x
0



Có 2 nghiệm y nên có 2 nghiệm x ⇒ có 2 giao điểm.
b) Phương pháp giải trắc nghiệm, casio.
III - Bài tập vận dụng có chia mức độ (mỗi dạng ít nhất 25 câu)
NHẬN BIẾT
IV – Kiểm tra cuối bài:

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

8
Câu 1:

x2 y 2
+ = 1 ( 0 < b < a ) . Tìm độ dài trục lớn
a 2 b2

Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là
của ( E ) .

A. 2a
C. a + b
Câu 2:

B. 2b
D. 2c
Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là


x2 y 2
+ = 1 ( 0 < b < a ) . Tính tổng độ dài hai
a 2 b2

trục của của ( E ) .
A. 2a
C. 2 ( a + b )

Câu 3:

B. 2b
D. a + c

x2 y 2
+ = 1 ( 0 < b < a ) . Gọi A1 , A2 là các
a 2 b2
đỉnh của ( E ) thuộc trục Ox . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là

A. A1 A2 = 2a

B. A1 A2 = 2b

C. A1 A2= a + b

D. A1 A2 = 2c

Câu 4:


Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là

x2 y 2
+ = 1 ( 0 < b < a ) . Tìm độ dài trục bé
a 2 b2

của ( E ) .
A. 2a
C. a + b
Câu 5:

B. 2b
D. 2c
x2 y 2
+ = 1 ( 0 < b < a ) . Gọi B1 , B2 là các
a 2 b2
đỉnh của ( E ) thuộc trục Oy . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là

A. B1 B2 = 2a

B. B1 B2 = 2b

C. B1 B2= a + b

D. B1 B2 = 2c

Câu 6:


x2 y 2
Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là 2 + 2= 1 ( 0 < b < a ) . Tìm tọa độ tiêu điểm
a
b
của ( E ) theo a, b .

A. F1 (− a 2 − b 2 ;0), F2 ( a 2 − b 2 ;0)

B. F1 ( a 2 − b 2 ;0), F2 (− a 2 − b 2 ;0)

C. F1 (0; − a 2 − b 2 ), F2 (0; a 2 − b 2 )

D. F1 (0; a 2 − b 2 ), F2 (0; − a 2 − b 2 )

Câu 7:

Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là

x2 y 2
c
+ = 1 ( 0 < b < a ) với=
a 2 b2

a 2 − b2 .

Tìm tọa độ tiêu điểm của ( E ) .
A. F1 (−c;0), F2 (c;0)

B. F1 (c;0), F2 (−c;0)


C. F1 (0; −c), F2 (0; c)

D. F1 (0; c), F2 (0; −c)

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

9
Câu 8:

Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là

x2 y 2
+ = 1 ( 0 < b < a ) . Tìm tọa độ các đỉnh
a 2 b2

A1 , A2 của ( E ) .
A. A1 (−a;0), A2 (a;0)

B. A1 (a;0), A2 (−a;0)

C. A1 (0; −a ), A2 (0; a )

D. A1 (0; a ), A2 (0; −a )


Câu 9:

Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là

x2 y 2
+ = 1 ( 0 < b < a ) . Tìm tọa độ các đỉnh
a 2 b2

B1 , B2 của ( E ) .
A. B1 (−b;0), B2 (b;0)

B. B1 (b;0), B2 (−b;0)

C. B1 (0; −b), B2 (0; b)

D. B1 (0; b), B2 (0; −b)

Câu 10: Cho elip ( E ) có độ dài trục lớn là 2a , độ dài trục bé là 2b . Lập phương trình chính tắc
của ( E ) .
x2 y 2
A. 2 + 2 =
1
a
b
C.

x2 y 2
+
=
2

a 2 b2

x2 y 2
B. 2 + 2 =
1
b
a
D.

x2 y 2
−
=
1
a 2 b2

Câu 11: Cho elip ( E ) có độ dài trục lớn là 2a , độ dài tiêu cự là 2c . Phương trình chính tắc của

( E ) là phương trình nào sau?
x2
y2
A. 2 + 2 2 =
1
a
a −c
C.

x2
y2
+
=

1
a2 a2 + c2

x2
y2
B. 2 + 2
1
=
a c − a2
D.

x2
y2
−
=
1
a2 a2 − c2

Câu 12: Cho elip ( E ) có một đỉnh A1 (−a;0) , một tiêu điểm F1 ( −c;0 ) . Lập phương trình chính
tắc của ( E ) .
x2
y2
A. 2 + 2 2 =
1
a
a −c
C.

x2
y2

+
=
1
a2 a2 + c2

x2
y2
B. 2 + 2
=
1
a c − a2
D.

x2
y2
−
=
1
a2 a2 − c2

Câu 13: Cho elip ( E ) có một đỉnh A1 (−a;0) , một tiêu điểm F2 ( c;0 ) . Lập phương trình chính
tắc của ( E ) .
A.

x2
y2
+
=
1
a2 a2 − c2


B.

x2
y2
+
=
1
a2 c2 − a2

C.

x2
y2
+
=
1
a2 a2 + c2

D.

x2
y2
−
=
1
a2 a2 − c2

Câu 14: Cho elip ( E ) có một đỉnh A2 (a;0) , một tiêu điểm F2 ( c;0 ) . Lập phương trình chính tắc
của ( E ) .

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

10
A.

x2
y2
+
=
1
a2 a2 − c2

B.

x2
y2
+
=
1
a2 c2 − a2

C.

x2
y2

+
=
1
a2 a2 + c2

D.

x2
y2
−
=
1
a2 a2 − c2

Câu 15: Cho elip ( E ) có một đỉnh A2 (a;0) , một tiêu điểm F1 ( −c;0 ) . Lập phương trình chính
tắc của ( E ) .
A.

x2
y2
+
=
1
a2 a2 − c2

B.

x2
y2
1

+
=
a2 c2 − a2

C.

x2
y2
+
=
1
a2 a2 + c2

D.

x2
y2
−
=
1
a2 a2 − c2

Câu 16: Cho elip ( E ) có trục nhỏ có độ dài 2b , tiêu cự có độ dài 2c . Lập phương trình chính tắc
của ( E ) .
A.

x2 y 2
+
=
1

c2 b2

B.

x2
y2
+
=
1
b2 + c2 b2

C.

x2
y2
+
=
1
b2 − c2 b2

D.

x2
y2
−
=
1
b2 + c2 b2

Câu 17: Cho elip ( E ) có một đỉnh B1 (0; −b) , một tiêu điểm F1 ( −c;0 ) . Lập phương trình chính

tắc của ( E ) .
A.

x2 y 2
+
=
1
c2 b2

B.

x2
y2
+
=
1
b2 + c2 b2

C.

x2
y2
+
=
1
b2 − c2 b2

D.

x2

y2
−
=
1
b2 + c2 b2

Câu 18: Cho elip ( E ) có một đỉnh B1 (0; −b) , một tiêu điểm F2 ( c;0 ) . Lập phương trình chính
tắc của ( E ) .
A.

x2 y 2
+
=
1
c2 b2

B.

x2
y2
+
=
1
b2 + c2 b2

C.

x2
y2
+

=
1
b2 − c2 b2

D.

x2
y2
−
=
1
b2 + c2 b2

Câu 19: Cho elip ( E ) có một đỉnh B2 (0; b) , một tiêu điểm F2 ( c;0 ) . Lập phương trình chính tắc
của ( E ) .
A.

x2 y 2
+
=
1
c2 b2

B.

x2
y2
+
=
1

b2 + c2 b2

C.

x2
y2
+
=
1
b2 − c2 b2

D.

x2
y2
−
=
1
b2 + c2 b2

Câu 20: Cho elip ( E ) có một đỉnh B2 (0; b) , một tiêu điểm F1 ( −c;0 ) . Lập phương trình chính
tắc của ( E ) .
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

11

A.

x2 y 2
+
=
1
c2 b2

B.

x2
y2
+
=
1
b2 + c2 b2

C.

x2
y2
+
=
1
b2 − c2 b2

D.

x2
y2

−
=
1
b2 + c2 b2

Câu 21: Cho elip ( E ) có đi qua 2 điểm A1 ( −a;0 ) , B1 ( 0; −b ) . Lập phương trình chính tắc của

(E).
A.

x2 y 2
1
+
=
a 2 b2

B.

x2 y 2
+
=
1
b2 a 2

C.

x2 y 2
+
=
2

a 2 b2

D.

x2 y 2
−
=
1
a 2 b2

Câu 22: Cho elip ( E ) đi qua hai điểm A1 ( −a;0 ) , B2 ( 0; b ) . Lập phương trình chính tắc của ( E )
.
2

x
y2
A. 2 + 2 =
1
a
b
C.

x2 y 2
+
=
2
a 2 b2

x2 y 2
B. 2 + 2 =

1
b
a
D.

x2 y 2
−
=
1
a 2 b2

Câu 23: Cho elip ( E ) đi qua hai điểm A2 ( a;0 ) , B1 ( 0; −b ) . Lập phương trình chính tắc của ( E )
.
2

A.

x
y2
+
=
1
a 2 b2

B.

x2 y 2
+
=
1

b2 a 2

C.

x2 y 2
+
=
2
a 2 b2

D.

x2 y 2
−
=
1
a 2 b2

Câu 24: Cho elip ( E ) đi qua hai điểm A2 ( a;0 ) , B2 ( 0; b ) . Lập phương trình chính tắc của ( E ) .
x2 y 2
A. 2 + 2 =
1
a
b
C.

x2 y 2
+
=
2

a 2 b2

Câu 25:

x2 y 2
B. 2 + 2 =
1
b
a
D.

x2 y 2
−
=
1
a 2 b2

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip ?

2

x
y2
A. 2 + 2 =
1 (a > b)
a
b
x2 y 2
+
=

1 (a < b)
a 2 b2
THÔNG HIỂU
C.

x2 y 2
B. 2 + 2 =
1 (a ≤ b)
a
b
D.

x2 y 2
−
=
1 (a > b)
a 2 b2

x2 y 2
+
=
1 . Tìm độ dài trục lớn của ( E ) .
32 22
B. 6
D. 9

Câu 26: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là
A. 4
C. 5


Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

12

x2 y 2
+
=
1 . Tìm độ dài trục bé của ( E )
32 22
B. 6
D. 9

Câu 27: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là
A. 4
C. 5

x2 y 2
Câu 28: Dây cung của elip ( E ) : 2 + 2= 1 ( 0 < b < a ) vng góc với trục lớn tại tiêu điểm có
a
b
độ dài là bao nhiêu?.
A.

2c 2
a


B.

2b 2
a

C.

2a 2
c

D.

a2
c

Câu 29: Cho elip ( E ) :

x2 y 2
+
=
1 . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
9
4

(

) (

A. ( E ) có các tiêu điểm F1 − 5;0 , F2


5;0

)

B. ( E ) có tỉ số

C. ( E ) có đỉnh A1 ( −3;0 )

c
5
=
a
3

D. ( E ) có độ dài trục lớn là 3.

Câu 30: Cho elip ( E ) : x 2 + 4 y 2 =
1 . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. ( E ) có trục lớn bằng 4

B. ( E ) có trục bé bằng 2

C. ( E ) có đỉnh A1 ( −1;0 )

D. ( E ) có tiêu cự bằng

3.

x2 y 2

+
=
1 . 2a, 2b lần lượt là độ dài trục
9
4
lớn và trục bé của ( E ) . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 31: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là

A.=
a 3,=
b 2

B.=
a 9,=
b 4

C.=
a 2,=
b 3

D.=
a 4,=
b 9

Câu 32: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là

x2 y 2
+
=

1 . Tính tổng độ dài hai trục của của
42 32

(E).
A. 8
C. 7

B. 6
D. 14

Câu 33: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là
. Mệnh đề nào sau đây đúng
A. c = 12
C. c 2 = 20
2

x2 y 2
+
=
1 . Gọi 2c là độ dài tiêu cự của ( E )
16 4

B. c 2 = 16
D. c 2 = 4

Câu 34: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là

x2 y 2
+
=

1 . Tìm tọa độ các đỉnh A1 , A2 của
32 22

(E).
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

13
A. A1 (−3;0), A2 (3;0)

B. A1 (3;0), A2 (−3;0)

C. A1 (0; −3), A2 (0;3)

D. A1 (0;3), A2 (0; −3)

x2 y 2
Câu 35: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là 2 + 2 =
1 . Tìm tọa độ các đỉnh B1 , B2 của
5
3
(E).
A. B1 (3;0), B2 (−3;0)

B. B1 (−3;0), B2 (3;0)


C. B1 (0; −3), B2 (0;3)

D. B1 (0;3), B2 (0; −3)

A.=
A1 A2 5,=
B1 B2 3

x2 y 2
+
=
1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
52 32
B.
=
A1 A2 10,
=
B1 B2 6

C.=
A1 A2 3,=
B1 B2 5

D.=
A1 A2 6,=
B1 B2 10

Câu 36: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là

Câu 37: Cho elip ( E ) có tiêu cự là 2c , độ dài trục lớn, trục nhỏ lần lượt là 2a và 2b . Trong các

mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng.
A. c < b < a
C. c > b > a

B. c < a < b
D. c < a và b < a

Câu 38: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip ?
A.

x2 y 2
+
=
1
4
9

B.

x2 y 2
+
=
1
9
4

C.

x2 y 2
−

=
1
4 9

D.

x2 y 2
−
=
1
9
4

Câu 39: Cho elip ( E ) có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục bé bằng 6 . Phương trình của ( E ) là
phương trình nào sau?
2

x
y2
A.
+
=
1
64 36
C.

x2 y 2
+
=
1

16 9

x2 y 2
B.
+
=
1
8
6
D.

x2 y 2
−
=
1
16 9

x2 y 2
Câu 40: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc 2 + 2 =
1 , điểm M ( 3; 2 ) nằm trên ( E ) . Điểm
a
b
nào sau đây không nằm trên elip?
A. M 1 = (−3, 2)

B. M 3 =(−3; −2)

C. M=
(3, −2)
2


D. M 4 = (2;3)

Câu 41: Khi t thay đổi, điểm M ( 5cos t;4sin t ) di động trên đường nào sau đây?
A. Elip
C. Parabol
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

B. Đường thẳng
D. Đường trịn.
TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

14

Câu 42: Cho elip ( E ) có đi qua 2 điểm A1 ( −3;0 ) , B1 ( 0; −2 ) . Phương trình nào sau đây là phương
trình chính tắc của ( E ) .
A.

x2 y 2
+
=
1
4
9

B.


x2 y 2
+
=
1
9
4

C.

x2 y 2
−
=
1
9
4

D.

x2 y 2
−
=
1
4 9

Câu 43: Cho elip ( E ) có đi qua 2 điểm A1 ( −4;0 ) , B2 ( 0; 2 ) . Phương trình nào sau đây là phương
trình chính tắc của ( E ) .
A.

x2 y 2
1

+
=
16 4

B.

x2 y 2
+
=
1
4 16

C.

x2 y 2
2
+
=
16 4

D.

x2 y 2
−
=
1
16 4

Câu 44: Cho elip ( E ) có đi qua 2 điểm A2 ( 3;0 ) , B1 ( 0; −2 ) . Phương trình nào sau đây là
phương trình chính tắc của ( E ) .

A.

x2 y 2
+
=
1
4
9

B.

x2 y 2
+
=
1
9
4

C.

x2 y 2
−
=
1
9
4

D.

x2 y 2

−
=
1
4 9

x2 y 2
+
=
1 . Tổng khoảng cách từ một điểm M
9
4
bất kì trên ( E ) tới hai tiêu điểm là bao nhiêu?

Câu 45: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc

A. 6
C. 3

B. 4
D. 9
x2 y 2
+ = 1( 0 < b < a ) . Đường thẳng y = 2 x
a 2 b2
cắt ( E ) tại hai điểm M , N . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 46: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc

A. M , N đối xứng qua gốc O

B. M , N đối xứng qua trục Oy


C. M , N đối xứng qua trục Ox

D. M , N đối xứng qua A1 .

x2 y 2
+ = 1( 0 < b < a ) và điểm
a 2 b2
M ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) ( x0 ≠ 0 ) . Điểm sau điểm nào sau đây khơng nằm trên ( E ) ?

Câu 47: Cho elip

(E)

có phương trình chính tắc

A. ( − x0 ; y0 )

B. ( x0 ; − y0 )

C. ( 2 x0 ; y0 )

D. ( − x0 ; − y0 )

x2 y 2
+ = 1( 0 < b < a )
a 2 b2
M ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) ( x0 ≠ 0 ) . Điểm sau điểm nào sau đây nằm trên ( E ) ?

Câu 48: Cho elip


(E)

có phương trình chính tắc

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

và điểm

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

15
A. ( −2 x0 ; y0 )

B. ( 2 x0 ; − y0 )

C. ( 2 x0 ; y0 )

D. ( − x0 ; − y0 )

Câu 49: Cho elip ( E ) có phương trình 16 x 2 + 25 y 2 =
400 . Phương trình nào sau đây là phương
trình chính tắc của ( E ) ?
x2 y 2
A.
+
=

1
25 16
C.

x2 y 2
1
+
=
16 25

x2 y 2
B.
+
+1 =
0
25 16
D.

x2 y 2
−
=
1
25 16

Câu 50: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của ( E ) ?
A.

x2 y 2
+
=

1
25 16

B.

x2 y 2
+
=
0
25 16

C.

x2 y 2
+
=
1
16 25

D.

x2 y 2
−
=
1
25 16

VẬN DỤNG
x2 y 2
Câu 51: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là

+
=
1 . Gọi A1 , A2 là các đỉnh của ( E )
9
4
thuộc trục Ox . Tính độ dài đoạn thẳng A1 A2 .
A. A1 A2 = 6

B. A1 A2 = 4

C. A1 A2 = 5

D. A1 A2 = 2 5

Câu 52: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là

x2 y 2
+
=
1 . Tính tổng độ dài hai trục của của
25 16

(E).
A. 10
C. 18

B. 9
D. 8
x2 y 2
+

=
1 . Gọi B1 , B2 là các đỉnh của ( E )
4
1
thuộc trục Ox . Tính độ dài đoạn thẳng B1 B2 .

Câu 53: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là
A. B1 B2 = 4

B. B1 B2 = 2

C. B1 B2 = 2 3

D. B1 B2 = 3
x2 y 2
+
=
1 . Tìm độ dài trục bé của ( E ) .
25 16
B. 8
D. 6

Câu 54: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là
A. 10
C. 9

Câu 55: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là

x2 y 2
+

=
1 . Tính diện tích hình chữ nhật đi
25 16

qua bốn đỉnh của ( E ) .
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

16
A. 20
C. 80

B. 60
D. 48

A. F1 (−1;0), F2 (1;0)

x2 y 2
+
=
1 . Tìm tọa độ tiêu điểm của ( E ) .
5
1
B. F1 (−2;0), F2 (2;0)

C. F1 (2;0), F2 (−2;0)


D. F1 ( 5;0), F2 (− 5;0)

Câu 56: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là

x2 y 2
Câu 57: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là
+
=
1 . Tìm tọa độ các đỉnh A1 , A2 của
5
1
(E).
A. A1 (−1;0), A2 (1;0)

B. A1 (−2;0), A2 (2;0)

C. A1 ( 5;0), A2 (− 5;0)

D. A1 (− 5;0), A2 (− 5;0)

Câu 58: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là

x2 y 2
+
=
1 . Tìm tọa độ các đỉnh B1 , B2 của
5
1


(E).
A. B1 (−1;0), B2 (1;0)

B. B1 (−2;0), B2 (2;0)

C. B1 (1;0), B2 (−1;0)

D. B1 (− 5;0), B2 ( 5;0)

Câu 59: Cho elip ( E ) có độ dài trục lớn là 20 , độ dài trục bé là 12 . Lập phương trình chính tắc
của ( E ) .
A.

x2 y 2
+
=
1
100 64

x2 y 2
C.
+
=
2
100 36

B.

x2 y 2
+

=
1
64 100

x2
y2
D.
+
=
1
400 144

Câu 60: Cho elip ( E ) có độ dài trục lớn là 6 , độ dài tiêu cự là 4 . Lập phương trình chính tắc của

(E).
A.

x2 y 2
+
=
1
9
5

x2 y 2
C.
+
=
1
5

9

B.

x2 y 2
+
=
1
36 16

x2 y 2
D.
−
=
1
9
5

Câu 61: Cho elip ( E ) có độ dài trục bé là 6 , độ dài tiêu cự là 4 . Lập phương trình chính tắc của

(E).
A.

x2 y 2
+
=
1
13 9

x2 y 2

C.
+
=
1
9
4

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

B.

x2 y 2
+
=
1
36 16

x2 y 2
D.
+
=
1
9 13

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

17


(

)

Câu 62: Cho elip ( E ) có một đỉnh A1 (− 7;0) , một tiêu điểm F1 − 3;0 . Lập phương trình
chính tắc của ( E ) .
A.

x2 y 2
+
=
1
7
4

B.

x2 y 2
+
=
1
7
3

C.

x2 y 2
+
=

1
4
3

D.

x2 y 2
−
=
1
7
4

Câu 63: Cho elip ( E ) có một đỉnh A1 (−4;0) , một tiêu điểm F2 ( 3;0 ) . Lập phương trình chính tắc
của ( E ) .
A.

x2 y 2
+
=
1
16 5

B.

x2 y 2
+
=
1
16 9


C.

x2 y 2
+
=
1
9
5

D.

x2 y 2
−
=
1
16 5

Câu 64: Cho elip ( E ) có một đỉnh A2 (7;0) , một tiêu điểm F2 ( 5;0 ) . Lập phương trình chính tắc
của ( E ) .
A.

x2 y 2
+
=
1
49 24

B.


x2 y 2
+
=
1
24 49

C.

x2 y 2
+
=
1
49 25

D.

x2 y 2
−
=
1
49 24

Câu 65: Cho elip ( E ) có một đỉnh A2 (6;0) , một tiêu điểm F1 ( −5;0 ) . Lập phương trình chính tắc
của ( E ) .
A.

x2 y 2
+
=
1

36 9

B.

x2 y 2
+
=
1
36 25

C.

x2 y 2
+
=
1
25 9

D.

x2 y 2
−
=
1
36 9

(

)


Câu 66: Cho elip ( E ) đi qua điểm M 5 2; 4 2 , một tiêu điểm F1 ( −6;0 ) . Lập phương trình
chính tắc của ( E ) .
A.

x2 y 2
+
=
1
100 64

B.

x2 y 2
+
=
1
64 100

C.

x2 y 2
+
=
2
100 36

D.

x2
y2

+
=
1
400 144


3 2
Câu 67: Cho elip ( E ) đi qua điểm M  −3 2;
 , một tiêu điểm F1 ( −5;0 ) . Lập phương trình
2 

chính tắc của ( E ) .
A.

x2 y 2
+
=
1
36 9

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

B.

x2 y 2
+
=
1
36 25


TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

18
C.

x2 y 2
+
=
1
25 9

D.

x2 y 2
−
=
1
36 9

Câu 68: Cho elip ( E ) có đi qua điểm M (3 2; −2 2) , một đỉnh A2 ( 6;0 ) . Lập phương trình chính
tắc của ( E ) .
x2 y 2
A.
+
=
1
36 16

C.

x2 y 2
B.
+
=
1
36 20

x2 y 2
1
+
=
16 36

D.

x2 y 2
−
=
1
36 16

x2 y 2
Câu 69: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là
+
=
1 . Viết phương trình đường tròn
9
4

tâm O đi qua hai đỉnh A1 , A2 của ( E ) .
A. x 2 + y 2 =
9

B. x 2 + y 2 =
4

C. x 2 + y 2 =
5

D. x 2 + y 2 =
13
x2 y 2
+
=
1 . Tìm tọa độ điểm M trên elip ( E )
9
4
sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm F1 là nhỏ nhất.

Câu 70: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là
A. ( 3;0 )

B. ( −3;0 )

C. ( 0; 2 )

D. ( 0; −2 )

x2 y 2

Câu 71: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là
+
=
1 . Tìm tọa độ điểm M trên elip ( E )
9
4
sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm F1 là lớn nhất.
A. ( 3;0 )

B. ( −3;0 )

C. ( 0; 2 )

D. ( 0; −2 )

Câu 72: Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là một elip mà
Trái Đất là một tiêu điểm. Elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 769 266
( km ) và 768 106 ( km ) . Tính khoảng cách ngắn nhất từ Trái Đất đến Mặt Trăng, biết
rằng các khoảng cách đó đạt được khi Trái Đất và Mặt Trăng nằm trên trục lớn của elip.
A. 384 633  ( km )

B. 384 053 ( km )

( km )

D. 363 517 ( km )

C. 363 518

Câu 73: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là


(

x2 y 2
+
=
1 . Đường thẳng có phương trình nào
16 4

)

sau đây tiếp xúc với ( E ) tại điểm M 2; − 3 ?
A. x − 2 3 y − 8 =
0

B. 2 3 x − y − 8 =
0

C. x − 2 3 y + 8 =
0

D.

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

3x + y − 3 =
0
TÀI LIỆU TOÁN HỌC



Website: tailieumontoan.com

19

Câu 74: Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80 (cm) và trục nhỏ là 40 (cm)
từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80 (cm) × 40 (cm), người ta vẽ hình elip
đó lên tấm ván ép như hình vẽ . Hỏi phải ghim hai cái đinh cách nhau bao nhiêu cm?
M

A1

F1

F2
O

A2
40 cm

80 cm

A. F1 F2 = 20 3 (cm)

B. F1 F2 = 20 (cm)

C. F1 F2 = 40 3 (cm)

D. F1 F2 = 80 (cm)

x2 y 2

+
=
1 . Đường thẳng có phương trình
25 16
x = −3 cắt ( E ) tại hai điểm M, N. Tính độ dài đoạn thẳng MN

Câu 75: Cho elip ( E ) có phương trình chính tắc là

32
5
16
C.
5

16
25
32
D.
25

A.

Câu
1
2
3
4
5
6
7

8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22

B.

Đáp án
A
C
A
B
B
A
A
A
C
A
A

A
A
A
A
B
B
B
B
B
A
A

Câu
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42

43
44
45
46
47

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

ĐÁP ÁN
Đáp án
B
A
B
D
C
A
D
A
A
C
B
B
B
C
D
A
B
A
B
A

A
C

Câu
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72

Đáp án
A
C

B
B
C
B
D
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
A
C
TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

20
23
24
25


A
A
A

48
49
50

D
A
A

73
74
75

A
A
A

ĐỀ KIỂM TRA 25 CÂU 45 PHÚT CUỐI BÀI
ĐỀ KIỂM TRA BÀI 1: MỆNH ĐỀ
Thời gian: 45 phút – 25 Câu TN.
Câu 1.

Phương trình chính tắc của elip đi qua A ( 0; − 4 ) và có tiêu điểm F ( 3;0 ) là:

x² y ²
x² y ²
+ =

1.
1.
− =
B.
13 4
25 16
x² y ²
x² y ²
+ =
1.
+ =
1.
C.
D.
25 16
5 4
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của elip:
x² y ²
A. 4 x ² + 8 y ² =
B.
32 .
+
=
1.
1 1
8 4
x² y ²
x² y ²
− =
1.

+ =
−1 .
D.
C.
8 4
64 16
x² y ²
Cho elip ( E ) : + =
1 . Chọn khẳng định sai:
9 4
A.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

A. Điểm A(−3;0) ∈ ( E ) .

B. ( E ) có tiêu cự bằng 2 5 .

C. Trục lớn của ( E ) có độ dài bằng 6 .

D. ( E ) có tâm sai bằng

Phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm A
A.

x² y ²

+ =
1.
8 4

(

B.

)

(

3 5
.
5

)

2; 3 và B 2; 2 là:
x² y ²
+
=
1.
1 1
8 4

x² y ²
+ =
1.
D. 8 x ² + 4 y ² =

32 .
64 16
Elip ( E ) có độ dài trục bé bằng 8 và độ dài trục lớn bằng 12 có phương trình chính tắc là:
C.

Câu 5.

Câu 6.

x² y ²
+ =
1.
36 16

x² y ²
x² y ²
+
=
1.
+ =
−1 .
D.
144 64
36 16
1
Elip ( E ) có độ dài trục lớn bằng 12 và tâm sai bằng có phương trình chính tắc là:
3
A.

x² y ²

− =
1.
36 16

B.

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

C.

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

21
A. ( E ) .

B.

x² y ²
+ =
1.
9 8

C.

x² y ²
+ =
1.

18 16

D.

x² y ²
+ = 1(a > b > 0)
a ² b²
2b = 8 ⇒ b = 4
.
c 1
c² 1
a ² − b² 1
a ² − 16 1
= ⇔
= ⇔
= ⇒ a ² =18
e= = ⇔
a 3
a² 9
a²
9
a²
9
x² y ²
⇒ (E) : + =
1
18 16
(E) :

Câu 7.


Elip AF2 + BF2 =2a =10 có độ dài trục bé bằng 8 và tâm sai bằng

1
có phương trình chính tắc
3

là:

x² y ²
+ =
1.
9 8
x² y ²
+ =
1.
C.
18 16

A.

Câu 8.

Elip (E) có tiêu điểm F (2 3;0) và diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 32 có phương trình chính
tắc là:
x² y ²
+ =
1.
A.
64 16


Câu 9.

x² y ²
+ =
1.
25 16
x² y ²
− =
1.
D.
18 16
B.

B.

x² y ²
+ =
1.
16 4

C.

x² y ²
+ =
1.
4 16

D.


x² y ²
+ =
−1 .
16 4

x² y ²
+ =
1 , với tiêu điểm F1 , F2 . Lấy hai điểm A, B ∈ ( E ) sao cho AF1 + BF1 =
8.
25 16
Khi đó, AF2 + BF2 =
?
Cho elip ( E ) :

A. 6 .
Câu 10. Cho elip ( E ) :

B. 8 .

C. 12 .

D. 10 .

x² y ²
+ =
1 . Tìm toạ độ điểm M ∈ ( E ) sao cho M nhìn F1 , F2 dưới một góc vng:
25 9

A. (−5;0) .


9

B.  4; −  .
5


C. (0; 4) .

5 7 9
D. 
;  .
 4 4

Câu 11. Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục nhỏ bằng 12 và tỉ số của tiêu cự với độ dài
4
trục lớn bằng .
5
A.
Câu 12.

x2 y 2
+
=
1.
36 25

B.

x2 y 2
+

=
1.
25 36

C.

x2 y 2
+
=
1.
64 36

D.

x2 y 2
+
=
1.
100 36

Elip có tổng độ dài hai trục bằng 18 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng

3
. Phương trình
5

chính tắc của elip là:
A.

x2 y 2

+
=
1.
25 16

B.

x2 y 2
+
=
1.
5
4

C.

x2 y 2
+
=
1.
25 9

D.

x2 y 2
+
=
1.
9
4


x2 y 2
Câu 13. Cho elip ( E ) : 2 + 2 =
1 với a > b > 0. Gọi 2c là tiêu cự của ( E ) . Trong các mệnh đề sau,
a
b
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

22
mệnh đề nào đúng?
2
A. c=
a 2 + b2 .

2
B. b=
a2 + c2 .

2
C. a=
b2 + c2 .

D. c= a + b.

Câu 14. Cho elip có hai tiêu điểm F1 , F2 và có độ dài trục lớn bằng 2a . Trong các mệnh đề sau, mệnh

đề nào đúng?
A. 2a = F1 F2 .

B. 2a > F1 F2 .

C. 2a < F1 F2 .

D. 4a = F1 F2 .

x2 y 2
Câu 15. Cho elip ( E ) : +
=
1 . Hai điểm A, B là hai đỉnh của elip lần lượt nằm trên hai trục Ox ,
25 9
Oy . Khi đó độ dài đoạn thẳng AB bằng:
A. 34.

B.

34.

C. 5.

D. 136.

Câu 16. Một elip ( E ) có trục lớn dài gấp 3 lần trục nhỏ. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng:

1
A. e = .
3


B. e =

2
.
3

C. e =

3
.
3

Câu 17. Một elip ( E ) có khoảng cách giữa hai đỉnh kế tiếp nhau gấp

D. e =

2 2
.
3

3
lần tiêu cự của nó. Tỉ số e của
2

tiêu cự với độ dài trục lớn bằng:
A. e =

5
.

5

2
B. e = .
5

C. e =

3
.
5

D. e =

2
.
5

x2
y2
+
= 1 và điểm M nằm trên ( E ) . Nếu M có hồnh độ bằng −13 thì
169 144
khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm bằng:

Câu 18. Cho elip ( E ) :

A. 10 và 6.

B. 8 và 18.


C. 13 ± 5 .

D. 13 ± 10 .

x2 y 2
+
= 1 và điểm M nằm trên ( E ) . Nếu M có hồnh độ bằng 1 thì khoảng
16 12
cách từ M đến hai tiêu điểm bằng:

Câu 19. Cho elip ( E ) :

A. 3,5 và 4,5 .

B. 3 và 5 .

C. 4 ± 2 .

D. 4 ±

2
.
2

Câu 20. Cho elip có phương trình 16 x 2 + 25 y 2 =
100 . Tính tổng khoảng cách từ điểm M thuộc elip có
hồnh độ bằng 2 đến hai tiêu điểm.
A.


3.

B. 2 2.

C. 5 .

D. 4 3.

x2 y 2
+
=
1 . Qua một tiêu điểm của ( E ) dựng đường thẳng song song với trục
100 36
Oy và cắt ( E ) tại hai điểm M và N .

Câu 21. Cho elip ( E ) :

Tính độ dài MN .
48
A.
.
5

B.

36
.
5

C. 25 .


D.

25
.
2

x2 y 2
Câu 22. Cho ( E ) : +
=
1 . Một đường thẳng đi qua điểm A ( 2; 2 ) và song song với trục hoành cắt
20 16
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com

23

( E ) tại hai điểm phân biệt
A. 3 5.

M và N . Tính độ dài MN .

B. 15 2.

Câu 23. Dây cung của elip ( E ) :


D. 5 3.

C. 2 15.

x2 y 2
+
=
1 ( 0 < b < a ) vng góc với trục lớn tại tiêu điểm có độ dài
a 2 b2

bằng:
A.

2c 2
.
a

B.

2b 2
.
a

C.

Câu 24. Đường thẳng d : 3 x + 4 y − 12 =
0 cắt elip ( E ) :
đó độ dài đoạn thẳng MN bằng:
B. 4.
A. 3.


2a 2
.
c

D.

a2
.
c

x2 y 2
+
=
1 tại hai điểm phân biệt M và N . Khi
16 9
C. 5.

Câu 25. Giá trị của m để đường thẳng ∆ : x − 2 y + m =
0 cắt elip ( E ) :

D. 25.
x2 y 2
+
=
1 tại hai điểm phân biệt
4
1

là:

B. m > 2 2.

A. m = ±2 2.

C. m < −2 2.

D. −2 2 < m < 2 2.

----------------- Hết-------------

1.D
11.D
21.A
Câu 8.

2.A
12.A
22.C

3.D
13.D
23.B

4.A
14.A
24.C

BẢNG ĐÁP ÁN
5.B
6.A

7.C
15.B
16.A
17.C
25.D

Gọi phương trình chính tắc của elip là: ( E ) :

8.B
18.B

9.C
19.A

10.D
20.C

x² y ²
+ = 1 (a > b > 0) .
a ² b²

Tiêu điểm: F (2 3;0) ⇒ c =
2 3.
Hình chữ nhật cơ sở có diện tích: S HCN = 2a × 2b = 4ab = 32 ⇒ a.b = 8 .

⇔ a 2 .b 2 =
64
⇔ a ²(a ² − c ²) =
64 ⇔ a ²(a ² − 12) =
64

⇔ a 4 − 12a ² − 64 =
0
 a ² = 16 ⇒ b ² = 4
⇔
.
 a ² = −4(l )
Vậy phương tình elip là: ( E ) :
Câu 9.

x² y ²
+ =
1.
16 4

x² y ²
+ =
1 , với tiêu điểm F1 , F2 . Lấy hai điểm A, B ∈ ( E ) sao cho AF1 + BF1 =
8.
25 16
Khi đó, AF2 + BF2 =
?
Cho elip ( E ) :

A. 6 .

B. 8 .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

C. 12 .

Lời giải

D. 10 .

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

24
x² y ²
+ =1 ⇒ a ² =25 ⇒ a =5.
25 16
Do A ∈ ( E ) ⇔ AF1 + AF2 =2a =10.
Do ( E ) :

Do B ∈ ( E ) ⇔ BF1 + BF2 =2a =10.
⇒ ( AF1 + BF1 ) + ( AF2 + BF2 ) =
20
⇔ 8 + ( AF2 + BF2 ) =
20
⇔ AF2 + BF2 =
12.

Câu 21. Xét ( E ) :

2
x2 y 2
a = 100
+

=1 ⇒  2
⇔ c 2 =a 2 − b 2 =100 − 36 =64.
100 36
b = 36

Khi đó, Elip có tiêu điểm là F1 ( − 8;0 ) ⇒ đường thẳng d // Oy và đi qua F1 là x = − 8.
Giao điểm của d và ( E ) là nghiệm của hệ phương trình

x = −8
x = −8
 2

2
⇔
24 .
x
y
+
=
1 y = ±

5

100 36
24 
24 
48


Vậy tọa độ hai điểm M  − 8;  , N  − 8; −  ⇒ MN =

5 
5 
5


Câu 22. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ( 2; 2 ) và song song trục hồnh có phương trình là

y = 2.
y = 2
 x2 y 2
y = 2
 M 15; 2
=
y
2


=
1  2
 +

2

Ta có d ∩ ( E ) ⇔  20 16
⇔ x
⇔ 2
⇔  x = 15 ⇒ 
2
1  x = 15


 + =

 N − 15; 2
y = 2
 20 16
  x = − 15 

(
(

)

)

Vậy độ dài đoạn thẳng MN = 2 15.
Câu 23. Hai tiêu điểm có tọa độ lần lượt là F1 ( − c;0 ) , F2 ( c;0 ) .
Đường thẳng chứa dây cung vng góc với trục lớn (trục hồnh) tại tiêu điểm F có phương trình là
∆:x =
c.
x = c
=
 x2 y 2
 x c=
x c
1  2
 2+ 2 =


2
2

2
Suy ra ∆ ∩ ( E ) ⇔  a
⇔ c
⇔
b
b ( a − c ) b4 ⇔ 
y2
b2
2
+
=
=
±
1
y
=
=
y
x = c
 2


b2
a

a

a2
a2



 b2 

b2 
2b 2
Vậy tọa độ giao điểm của ∆ và ( E ) là M  c;  , N  c; −  ⇒ MN =.
a
a
 a

Câu 24. Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và ( E ) là nghiệm của hệ
3x

3x

y= 3 −

y= 3 −
0
3x
3 x + 4 y − 12 =

4

4


 2
 y= 3 −
2

.
⇔
⇔
4 ⇔
x
y2
 3x 
x=0

−
3
+
=
1
2



 x2 
x − 4x =
0
4 

16 9
  x = 4
 +
=
1
9
16


Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC