Tailieumontoan.com

Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CHUYÊN ĐỀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 10

Tài liệu sưu tầm, ngày 21 tháng 9 năm 2021


Website: tailieumontoan.com
1
BÀI 4: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
I – LÝ THUYẾT
1. Trục và độ dài đại số trên trục
a)Định nghĩa
• Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là

điểm gốc và một vectơ đơn vị e.
• Điểm O gọi là gốc tọa độ.
• Hướng của vecto đơn vị là hướng của trục.

• Ta kí hiệu trục đó là ( O;e ) .
O


e

M





b) Cho M là một điểm tùy ý trên trục ( O;e ) . Khi đó có duy nhất một số k sao cho OM = k e. Ta gọi
số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.



c) Cho hai điểm A và B trên trục ( O;e ) . Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = a e. Ta gọi số a là độ dài

đại số của vectơ AB đối với trục đã cho và kí hiệu a = AB.
Nhận xét.




 Nếu AB cùng hướng với e thì AB = AB, cịn nếu AB ngược hướng với e thì AB = − AB.

 Nếu hai điểm A và B trên trục ( O;e ) có tọa độ lần lượt là a và b thì AB= b − a.

2. Hệ trục tọa độ



 
a) Định nghĩa. Hệ trục tọa độ ( O;i , j ) gồm hai trục ( O;i ) và ( O; j ) vng góc với nhau. Điểm gốc


O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục ( O;i ) được gọi là trục hồnh và kí hiệu là Ox, trục ( O; j )
 



được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ i và j là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và i= =
j 1.
 
Hệ trục tọa độ ( O;i , j ) còn được kí hiệu là Oxy.
y


j

O

1


i

O

x
1

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi
tắt là mặt phẳng Oxy.
b) Tọa độ của vectơ

 

Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u tùy ý. Vẽ OA = u và gọi A1 , A2 lần lượt là hình chiếu của
  

= OA1 + OA2 và cặp số duy nhất ( x; y ) để
vng góc của A lên Ox và Oy. Ta có OA

 




=
OA1 x=
i , OA2 y j . Như vậy u  x i  y j .


Cặp số  x ; y  duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ u đối với hệ tọa độ Oxy và viết u = ( x; y ) hoặc


u ( x; y ) . Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ u.
Như vậy

u=



( x; y ) ⇔ u =



xi + y j

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038


TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com
2
Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng
nhau khi và chỉ khi chúng có hồnh độ bằng nhau và tung độ bằng
nhau.


 x = x′
 
Nếu u = ( x; y ) và u ′ = ( x′; y′ ) thì u= u ′ ⇔ 
.
 y = y′
Như vậy, mỗi vectơ được hồn tồn xác định khi biết tọa độ của nó.
c) Tọa độ của một điểm


u

A

A2

j

O



u


i

A1



Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ OM đối với hệ trục Oxy
được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó.

Như vậy, cặp số ( x; y ) là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OM = ( x; y ) . Khi đó ta viết M ( x; y )
hoặc M ( x; y ) . Số x được gọi là hồnh độ, cịn số y được gọi là tung độ của điểm M . Hoành độ của
điểm M cịn được kí hiệu là xM , tung độ của điểm M cịn được kí hiệu là yM .



M =( x; y ) ⇔ OM =x i + y j
M x; y

M2


j

O



i

M1

=
OM 2 .
Chú ý rằng, nếu MM 1 ⊥ Ox, MM 2 ⊥ Oy=
thì x OM
1, y
d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng
Cho hai điểm A ( x A ; y A ) và B  x B ; y B . Ta có

AB   x B  x A ; y B  y A .
    
3. Tọa độ của các vectơ u + v , u − v , k u
Ta có các cơng thức sau:


=
u1 ;u2 ) , v ( v1 ;v2 )
Cho u (=
Khi đó:
 
• u + v = ( u1 + u2 ;v1 + v2 ) ;
 
• u − v = ( u1 − u2 ;v1 − v2 ) ;

=
• k u ( k u1 ;k u2 ) , k ∈ .









Nhận xét. Hai vectơ u  u1 ; u2 , v  v1 ; v2  với v  0 cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho
u1  k v1 và u2  k v2 .
4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác
a) Cho đoạn thẳng AB có A  x A ; y A , B  x B ; yB . Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm
I  x I ; y I  của đoạn thẳng AB là

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com
3

=
xI
b) Cho tam giác
của tam giác

ABC

ABC


x A + xB
y A + yB
=
, yI
.
2
2

có A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) , C ( xC ; yC ) . Khi đó tọa độ của trọng tâm G ( xG ; yG )

được tính theo cơng thức
=
xG

x A + xB + xC
y A + yB + yC
=
, yG
.
3
3

II – DẠNG TOÁN
 1. Dạng 1: Tìm tọa độ của một điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số của vectơ và chứng minh hệ

thức liên quan trên trục O;i

( )

 Phương pháp giải.

Sử dụng các kiến thức cơ bản sau:



• Trên trục O,i , điểm M có tọa độ a ⇔ OM =
a.i




• Trên trục O,i , vecto u có tọa độ a ⇔ OM =
a.i



• Vectơ AB có độ dài đại số là m = AB ⇔ AB = mi
• Nếu a,b lần lượt là tọa độ của A,B thì AB= b − a
x +x
• Tọa độ trung điểm I của đoạn AB là: xI = A B
2
• Các tính chất:
+ 
AB = −
BA


+ AB = CD ⇔ AB = CD

+ ∀A; B;C ∈ ( O ; i ) : AB + BC =
AC

A. VÍ DỤ MINH HỌA


Ví dụ 1: Trên trục tọa độ O;i cho 2 điểm A,B có tọa độ lần lượt là −2;1. Tọa độ của vecto AB là:

( )
( )

( )

A. −3 .

B. 3 .

C. 1 .
Lời giải

D. −1 .

Chọn B.

 
Ta có: AB =1 + 2 =3 ⇒ AB =3i.

Ví dụ 2: Trên trục tọa độ O;i cho 2 điểm A,B có tọa độ lần lượt 3 và −5 . Tọa độ trung điểm I của

( )

AB là :


B. −4 .

A. 4 .

C. 1 .
Lời giải

D. −1 .

Chọn D.
Tọa độ điểm I là: xI =

3 + ( −5 )
= −1.
2


Ví dụ 3: Trên trục O;i cho 3 điểm A,B,C có tọa độ lần lượt là a;b;c . Tìm điểm I sao cho
  

IA  IB  IC  0

( )

A.

a+b+c
.
2


B.

a+b+c
.
3

C.

a −b+c
.
3

D.

a −b−c
.
3

Lời giải
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com
4
Chọn D.
Gọi điểm I có tọa độ là x .



IA = a − x ⇒ IA = ( a − x )i;


IB = b − x ⇒ IB = ( b − x )i;


IC = c − x ⇒ IC = ( c − x )i;
   
 
IA + IB + IC = 0 ⇔ ( a + b + c − 3 x )i = 0
a+b+c
⇒ a + b + c − 3x = 0 ⇒ x =
.
3

Ví dụ 4: Trên trục O;i , cho ba điểm A,B,C lần lượt có tọa độ là −5; 2; 4 . Tìm tọa độ điểm M thỏa
   
mãn 2 MA + 4 MB + 3MC =
0.
10
10
10
9
A. .
B. − .
C. .
D. .
3
9
3

10
Lời giải
Chọn C.
Gọi điểm M có tọa độ là x .


MA =−5 − x ⇒ MA =( −5 − x )i;


MB = 2 − x ⇒ MB = ( 2 − x )i;


MC = 4 − x ⇒ MC = ( 4 − x )i;
   


 
2 MA + 4 MB + 3MC =
0 ⇔ ( −10 − 2 x ) i + ( 8 − 4 x ) i + (12 − 3 x ) i =
0

( )

⇒ 10 − 9 x = 0 ⇒ x =

Câu 1:

Câu 2:

10

.
9

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Trên trục O;i , cho ba điểm A,B lần lượt có tọa độ là 2;− 6 . Tìm tọa độ điểm I sao cho


IA = −3IB .
A. 4 .
B. −4.
C. 5.
D. −10.


Trên trục O;i , cho ba điểm M ,N lần lượt có tọa độ là −2; 3 . Độ dài đại số của MN là:

( )

( )

A. 5 .

B. −5.

C. 1.

D. −1.

 2. DẠNG 2: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ trên mặt phẳng Oxy .

 Phương pháp giải.

• Để tìm tọa độ của vectơ a ta làm như sau
 
Dựng vectơ OM = a . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vng góc của M lên Ox, Oy . Khi đó

=
, a2 OK
với a1 OH
a ( a1 ;a2 ) =

• Để tìm tọa độ điểm A ta đi tìm tọa độ vectơ OA

• Nếu biết tọa độ hai điểm A( x A ; y A ), B( xB ; yB ) suy ra tọa độ AB được xác định theo công

thức AB =
( xB − x A ; y B − y A )
Chú ý: OH = OH nếu H nằm trên tia Ox (hoặc Oy ) và OH  OH nếu H nằm trên tia đối tia Ox
(hoặc Oy ).
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
5
A. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho điểm M ( x; y ) . Tìm tọa độ của các điểm M 1 đối xứng với
M qua trục hoành?
A. M 1 ( x; − y ) .


C. M 1 ( − x; − y ) .

B. M 1 ( − x; y ) .

D. M 1 ( x; y ) .

Lời giải

Chọn A.
M 1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M 1 ( x; − y ) .

Ví dụ 2:Vectơ a = ( −4; 0 ) được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?

 

 


A. a =−4i + j .
B. a =−i + 4 j .
C. a = −4 j .
Chọn D


 

Ta có: a =−
( 4; 0 ) ⇒ a =−4i + 0 j =−4i .




D. a = −4i .

Lời giải

Ví dụ 3:Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. Hai vectơ u =
( 2; −1) và v =
( −1; 2 ) đối nhau.


B. Hai vectơ u =( 2; −1) và v =( −2; −1) đối nhau.


C. Hai vectơ u =
( 2; −1) và v =
( −2;1) đối nhau.


D. Hai vectơ u =−
( 2; 1) và v =
( 2;1) đối nhau.
Lời giải

Chọn C





Ta có: u =( 2; −1) =− ( −2;1) =−v ⇒ u và v đối nhau.
Ví dụ 4:Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD tâm I và có A(1; 3) . Biết điểm B thuộc trục



Ox và BC cùng hướng với i . Tìm tọa độ các vectơ AC ?
A. ( −3; 3) .
B. ( 3; 3) .
C. ( 3;− 3) .
D. ( 3; 0 ) .
Lời giải

Chọn C.
Từ giả thiết ta xác định được hình vng trên mặt
phẳng tọa độ Oxy như hình vẽ bên.
AB 3=
, OB 1
Vì điểm A( 1; 3 ) suy ra=

y
A

Do đó B (1; 0 ) , C ( 4; 0 ) , D ( 4; 3)

Vậy AC
= ( 3; −3) .

D


O
O

B

Cx

cạnh a
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho hình thoi ABCD
 = 600 . Biết A trùng với gốc tọa độ O ; C thuộc trục Ox và x ≥ 0, y ≥ 0 . Tìm tọa độ các đỉnh
và BAD
B
B
C
ABCD
và
của
hình
thoi
.
B
a 3 a
a 3 a
;  , C a 3 ; 0 .
; −  , C a 3 ; 0 .
A. B 
B. B 
2
 2

 2 2

(

)

a 3 a 
a
;  , C  a 3 ;  .
C. B 
2
 2 2 

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

(

)

a 3 a 
a
; −  , C  a 3 ; −  .
D. B 
2 
2
 2

TÀI LIỆU TOÁN HỌC



Website: tailieumontoan.com
6
Lời giải

Chọn A.
y
Từ giả thiết ta xác định được hình thoi trên mặt phẳng tọa độ
B
Oxy
a
 a=
C
Gọi I là tâm hình thoi ta=
có BI AB =
sin BAI
sin 300
2
I
A
x
2
a
a 3
AI = AB 2 − BI 2 = a 2 −
=
4
2
D
a 3 a
a 3 a

;  , C a 3 ; 0 , D 
; −  .
Suy ra A ( 0; 0 ) , B 
2
 2 2
 2
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho điểm M ( 2;−3) . Tìm tọa độ của các điểm M 1 đối xứng với
M qua trục tung?
A. M ( −3; 2 ) .
B. M ( −2; 3) .
C. M ( −2; −3) .
D. M ( 2; 3) .


Câu 4: Trong hệ trục tọa độ O,i, j , cho tam giác đều ABC cạnh a , biết O là trung điểm BC , i

 
cùng hướng với OC , j cùng hướng OA . Tìm tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC .
 a 3   a   a 
A 0;
, B  ; 0 , C  ; 0 

2   2   2 


Câu 5: Trong hệ trục tọa độ O,i, j , cho tam giác đều ABC cạnh a , biết O là trung điểm BC , i
 

cùng hướng với OC , j cùng hướng OA . Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác

ABC .
Lời giải
 a 3
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm G  0;

6 




AC 8=
, BD 6 . Biết OC và i
Câu 6: Trong hệ trục tọa độ O,i, j , cho hình thoi ABCD tâm O có=


cùng hướng, OB và j cùng hướng. Tính tọa độ trọng tâm tam giác ABC
Lời giải
A 4; 0  , C  4; 0  , B  0; 3  , D  0; 3   G  0; 1  .
 = 600 . Chọn
Câu 7: Cho hình bình hành ABCD có AD = 4 và chiều cao ứng với cạnh AD = 3 , BAD



hệ trục tọa độ A;i, j sao cho i và AD cùng hướng, yB > 0 . Tìm tọa độ các vecto
  

AB, BC , CD và AC


Câu 8: Cho lục giác đều ABCDEF . Chọn hệ trục tọa độ O,i, j , trong đó O là tâm lục giác đều , i


 
cùng hướng với OD , j cùng hướng EC . Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều , biết cạnh của lục
giác là 6 .
Lời giải
A

6
;
0
,
D
6
;
0
,
B

3
;
3
3
,
ĐS: 
   


(

(


(

)

(

)

(

)

)

)

(

)

C  3; 3 3  , F  3; 3 3  , E  3; 3 3 
C. ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
D. HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com

7
    
 DẠNG 3: Xác định tọa độ điểm, vectơ liên quan đến biểu thức dạng u + v, u − v, k u
 Phương pháp.
    
• Dùng cơng thức tính tọa độ của vectơ u + v, u − v, k u


 

• Với u = ( x; y ) ; u' = ( x'; y') và số thực k , khi đó u ± v = ( x ± x'; y ± y') và k.u = ( kx;ky )
A. VÍ DỤ MINH HỌA

 
Ví dụ 1:Trong hệ trục O; i; j , tọa độ của vec tơ i + j là:

(

A. ( −1;1) .

)

B. (1;0 ) .

C. ( 0;1) .

D. (1;1) .

Lời giải


Chọn D.
 
Ta có: i + =
j (1; 0 ) + ( 0;1=
) (1;1) .


Ví dụ 2: Cho u =
( 3; −2 ) , v =
(1; 6 ) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
 
 

A. u  v và a = ( −4; 4 ) ngược hướng.
B. u, v cùng phương.
  
 

C. u − v và =
D. 2u + v, v cùng phương.
b ( 6; −24 ) cùng hướng.
Lời giải

Chọn C.
 
 
Ta có u + v =
( 4; 4 ) và u − v = ( 2; −8) .
 


4 4
Xét tỉ số
≠ 
→ u + v và a = ( −4; 4 ) không cùng phương. Loại A
−4 4
 
3 −2
Xét tỉ số ≠

→ u, v không cùng phương. Loại B
1 6
 

2 −8 1
Xét tỉ số= =
> 0 
→ u − v và =
b ( 6; −24 ) cùng hướng.
6 −24 3
  
Ví dụ 3:Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A (1;3) , B ( 4;0 ) . Tọa độ điểm M thỏa 3 AM + AB =
0 là
A. M ( 4;0 ) .

B. M ( 5;3) .

Chọn C.

C. M ( 0; 4 ) .


D. M ( 0; −4 ) .

Lời giải

  
0
3 ( xM − 1) + ( 4 − 1) =
 xM = 0
Ta có: 3 AM + AB =
0⇔
⇔
⇒ M ( 0; 4 ) .
0
 yM = 4
3 ( yM − 3) + ( 0 − 3) =
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A ( −3;3) , B (1; 4 ) , C ( 2; −5 ) . Tọa độ điểm M thỏa mãn
 

2 MA − BC =
4CM là:
5 1
1 5
 1 5
1 5
A. M  ;  .
B. M  − ; −  .
C. M  ; −  .
D. M  ; −  .
6 6
6 6

 6 6
6 6
Lời giải
Chọn C.

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com
8
1

 

 xM = 6
1) 4 ( xM − 2 )
2 ( −3 − xM ) − ( 2 −=
1 5
Ta có: 2 MA − BC= 4CM ⇔ 
⇔
⇒ M  ;−  .
4 ) 4 ( yM + 5 )
6 6
y = − 5
2 ( 3 − yM ) − ( −5 −=
M

6

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

 



Câu 9: Cho a =
c 2a + 3b nếu:
( x; 2 ) , b =
( −5;1) , c =
( x; 7 ) . Vec tơ =
A. x = 3 .
B. x = −15 .
C. x = 15 .





 
Câu 10: Cho a = (0,1) , b = (−1; 2) , c =(−3; −2) .Tọa độ của u = 3a + 2b − 4c :

D. x = 5 .

A. (10; −15 ) .
B. (15;10 ) .
C. (10;15 ) .
  
  
Câu 11: Cho a= 3i − 4 j và b = i − j . Tìm phát biểu sai:



 
A. a = 5 .
B. b = 0 .
C. a − b = ( 2; −3) .

D. ( −10;15 ) .


D. b = 2 .
  
Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A (1;3) , B ( 4;0 ) . Tọa độ điểm M thỏa 3 AM + AB =
0 là
A. M ( 4;0 ) .

B. M ( 5;3) .

C. M ( 0; 4 ) .

D. M ( 0; −4 ) .







0.
Câu 13: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 2 ) , B ( −2; 3) . Tìm tọa độ đỉểm I sao cho IA + 2 IB =

8
 2

A. I (1; 2 ) . B. I 1;  . C. I  −1;  .
D. I ( 2; −2 ) .
3
 5



Câu 14: Cho hai điểm A (1;0 ) và B ( 0; −2 ) .Tọa độ điểm D sao cho AD = −3 AB là:

A. ( 4; −6 ) .
B. ( 2;0 ) .
C. ( 0; 4 ) .
D. ( 4;6 ) .




Câu 15: Cho a =
( −5; 0 ) , b =
( 4; x ) . Haivec tơ a và b cùng phương nếu số x là:
A. −5 .

C. −1 .

B. 4 .

D. 0 .


 DẠNG 4: Xác định tọa độ các điểm của một hình.
 Phương pháp.
Dựa vào tính chất của hình và sử dụng cơng thức
x A + xB
y A + yB
+ M là trung điểm đoạn thẳng AB =
suy ra xM
=
, yM
2
2
x + xB + xC
y + yB + yC
+ G trọng tâm tam giác ABC suy ra xG = A
, yG = A
3
2


 x = x'
u ( x; y ) u' ( x'; y' ) ⇔ 
+=
 y = y'
A. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1 :Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( 3; 5 ) , B (1; 2 ) , C ( 5; 2 ) . Tìm tọa độ trọng tâm

G

của tam giác ABC ?

A. G ( −3; −3) .
Chọn D.

9 9
B. G  ;  .
2 2
Lời giải

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

C. G ( 9; 9 ) .

D. G ( 3; 3) .

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
9
3 +1+ 5

=
3
 xG =
3
Ta có 

→ G ( 3; 3) .
5+ 2+ 2


=
= 3
y
 G
3
Ví dụ 2: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( −2; 2 ) , B ( 3; 5 ) và trọng tâm là gốc tọa độ

O ( 0; 0 ) . Tìm tọa độ đỉnh C ?
A. C ( −1; −7 ) .

B. C ( 2; −2 ) .

C. C ( −3; −5 ) .

D. C (1; 7 ) .

Lời giải

Chọn A.
Gọi C  x ; y  .

 −2 + 3 + x
=0
 x = −1

3
Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên 
.
⇔
 y =−7

2 + 5 + y = 0

3
Ví dụ 3: Cho M ( 2;0 ) , N ( 2; 2 ) , P ( −1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA, AB của ∆ABC . Tọa
độ B là:

A. (1;1) .

C. ( −1;1) .

B. ( −1; −1) .

D. (1; −1) .

Lời giải

Chọn C
A

N

P

B

M

C

 x + xN = xP + xM

 x + 2 =2 + (−1)
 x =−1
Ta có: BPNM là hình bình hành nên  B
.
⇔ B
⇔ B
+
=
+
+
=
+
=
y
y
y
y
y
2
0
3
y
1


B
N
P
M
B

B


Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MNP có M (1; −1) , N ( 5; −3) và P thuộc trục Oy ,
trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox .Toạ độ của điểm P là
A. ( 0; 4 ) .

B. ( 2;0 ) .

C. ( 2; 4 ) .

D. ( 0; 2 ) .

Lời giải

Chọn A.
Ta có: P thuộc trục Oy ⇒ P ( 0; y ) , G nằm trên trục Ox ⇒ G ( x;0 )
1+ 5 + 0

 x =
x = 2
3
G là trọng tâm tam giác MNP nên ta có: 
⇔
 y =4
0 = (−1) + (−3) + y

3
Vậy P ( 0; 4 ) .
Ví dụ 5:Cho tam giác ABC với AB = 5 và AC = 1 . Tính toạ độ điểm D là của chân đường phân giác

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
10
trong góc A , biết B( 7; − 2 ),C( 1; 4 ) .

 1 11 
A.  − ;  .
 2 2

B. ( 2;3) .

C. ( 2;0 ) .

 11 1 
D.  ;  .
 2 2

Lời giải

Chọn B.

A

B

D


C



DB AB
Theo tính chất đường phân giác:
= =
−5 DC.
5 ⇒ DB =
5 DC ⇒ DB =
DC AC


Gọi D ( x; y ) ⇒ DB = ( 7 − x; − 2 − y ) ; DC = (1 − x; 4 − y ) .

7 − x =−5 (1 − x )
x = 2
Suy ra: 
.
⇔
y = 3
−2 − y =−5 ( 4 − y )
Vậy D( 2; 3 ).
Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A ( 3; −1) , B ( −1; 2 ) và I (1;−1) . Xác định tọa độ các điểm C ,
D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành biết I là trọng tâm tam giác ABC . Tìm tọa tâm O của hình
bình hành ABCD .
5
7
5



 5

A. O  3; − 
B. O  2; − 
C. O  −2; − 
D. O  2; 
2
2
2


 2

Lời giải
Chọn B.
Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên
x + xB + xC
xI = A
⇒ xC = 3 xI − x A − xB = 1
3
y + yB + yC
3 yI − y A − yB =
yI =A
⇒ yC =
−4
2
Suy ra C (1;−4 )


Tứ giác ABCD là hình bình hành suy ra
 
−1 − 3 = 1 − xD
 xD = 5
AB =DC ⇔ 
⇔
⇒ D( 5; −7 )
2 + 1 =−4 − yD
 yD =−7
Điểm O của hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm AC do đó
x +x
y + yC
5
5

2 , yO = A
xO = A C =
=
− ⇒ O  2; − 
2
2
2
2

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 16: Cho hai điểm A (1;0 ) và B ( 0; −2 ) . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:

1

A.  ; −1 .

2


1

B.  −1;  .
2


Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

1

C.  ; −2  .
2


D. (1; −1) .

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
11
Câu 17: Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O , hai đỉnh A và B có tọa độ là A ( −2; 2 ) ;

B ( 3;5 ) . Tọa độ của đỉnh C là:
A. (1;7 ) .

B. ( −1; −7 ) .


C. ( −3; −5 ) .

D. ( 2; −2 ) .

Câu 18: Tam giác ABC có C ( −2; −4 ) , trọng tâm G ( 0; 4 ) , trung điểm cạnh BC là M ( 2;0 ) . Tọa độ A
và B là:
A. A ( 4;12 ) , B ( 4;6 ) .

B. A ( −4; −12 ) , B ( 6; 4 ) .

C. A ( −4;12 ) , B ( 6; 4 ) .

D. A ( 4; −12 ) , B ( −6; 4 ) .

Câu 19: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C ( −2; −4 ) , trọng tâm G ( 0; 4 ) và trung điểm cạnh

BC là M ( 2; 0 ) . Tổng hoành độ của điểm A và B là
A. 2.

B. 2.

C. 4.

D. 8.

Câu 20: Trong mặt phẳng Oxy , cho B ( 5; −4 ) , C ( 3;7 ) . Tọa độ của điểm E đối xứng với C qua B là
A. E (1;18 ) .

B. E ( 7;15 ) .


C. E ( 7; −1) .

D. E ( 7; −15 ) .

Câu 21: Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( 2; 4 ) , B ( −1; 4 ) , C ( −5;1) . Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là
hình bình hành là:
A. D ( −8;1) .

B. D ( 6;7 ) .

D. D ( 8;1) .

C. D ( −2;1) .

Câu 22: Trong mặt phẳng Oxy , gọi B ', B '' và B ''' lần lượt là điểm đối xứng của B ( −2;7 ) qua trục Ox ,

Oy và qua gốc tọa độ O . Tọa độ của các điểm B ', B '' và B ''' là:
A. B ' ( −2; −7 ) , B" ( 2;7 ) và B"' ( 2; −7 ) .

B. B ' ( −7; 2 ) , B" ( 2;7 ) và B"' ( 2; −7 ) .

C. B ' ( −2; −7 ) , B" ( 2;7 ) và B"' ( −7; −2 ) .

D. B ' ( −2; −7 ) , B" ( 7; 2 ) và B"' ( 2; −7 ) .

Câu 23: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A ( 0; 3) , D ( 2;1) và I ( −1; 0 ) là tâm của
hình chữ nhật. Tìm tọa độ trung điểm của cạnh BC.
A. (1; 2 ) . B. ( −2; −3) . C. ( −3; −2 ) .


D. ( −4; −1) .

 DẠNG 5: Bài toán liên quan đến sự cùng phương của hai vectơ. Phân tích một vectơ qua hai
vectơ khơng cùng phương.
 Phương pháp.
  



• Cho u = ( x; y ) ; u' = ( x'; y') . Vectơ u' cùng phương với vectơ u u ≠ 0 khi và chỉ khi có số k

(

)

 x' = kx
sao cho 
 y' = ky



x' y'
Chú ý: Nếu xy ≠ 0 ta có u' cùng phương u ⇔ =
x
y



• Để phân tích c ( c1 ;c2 ) qua hai=
vectơ a (=

a1 ;a2 ) , b

( b1 ;b2 )

không cùng phương, ta giả sử




c1
a1 x + b1 y =
=
c xa + yb . Khi đó ta quy về giải hệ phương trình 
c2
a2 x + b2 y =
A. VÍ DỤ MINH HỌA

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com
12
Ví dụ 1: Cho A (1; 2 ) , B ( −2;6 ) . Điểm M trên trục Oy sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng thì tọa độ
điểm M là:
A. ( 0;10 ) .

B. ( 0; −10 ) .


C. (10;0 ) .

D. ( −10;0 ) .

Lời giải

Chọn A.

Ta có: M trên trục Oy ⇒ M ( 0; y )


Ba điểm A, B, M thẳng hàng khi AB cùng phương với AM



Ta có AB =
( −3; 4 ) , AM =
( −1; y − 2 ) . Do đó, AB cùng phương với

−1 y − 2
AM ⇔ =
y 10 . Vậy M ( 0;10 ) .
⇒=
4
−3







Ví dụ 2: Cho các vectơ a = ( 4; −2 ) , b = ( −1; −1) , c = ( 2;5 ) . Phân tích vectơ b theo hai vectơ a và c , ta
được:


1 1
A. b =
− a− c.
8
4

 1 1
B.=
b
a− c.
8
4

Chọn A.


1 
C. b =
− a − 4c .
2
Lời giải


1 1
D. b =

− a+ c.
8
4

1

m= −





−1= 4m + 2n
1 1

8
Giả sử b = ma + nc ⇔ 
. Vậy b =
⇔
− a− c.
8
4
−1 =−2m + 5n
n = − 1

4
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( m − 1; −1) , B ( 2; 2 − 2m ) , C ( m + 3;3) . Tìm giá trị m để A, B, C là
ba điểm thẳng hàng?
A. m = 2 .


B. m = 0 .

Chọn B.


Ta có: AB =( 3 − m;3 − 2m ) , AC = ( 4; 4 )

C. m = 3 .
Lời giải

D. m = 1 .



Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB cùng phương với AC
3 − m 3 − 2m
=
⇔=
m 0.
4
4
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A( 6; 3 ), B( −3; 6 ), C( 1; −2 ) . Xác định điểm D trên
trục hoành sao cho ba điểm A, B, D thẳng hàng.
 1 2
 1 2
A. E ( 5;− 10 ) .
B. E  − ; 
C. E  − ; −  .
D. E ( 5;10 ) .
 3 3

 3 3
Lời giải
Chọn B.


Vì E thuộc đoạn BC và BE  2EC suy ra BE  2EC


Gọi E ( x; y ) khi đó BE ( x + 3; y − 6 ) , EC (1 − x; −2 − y )
⇔

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com
13
1

x= −

 x + 3= 2 (1 − x )

3
Do đó 
⇔
 y − 6 = 2 ( −2 − y )
 y=2


3
 1 2
Vậy E  − ;  .
 3 3
Ví dụ 5:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A ( 0;1) , B (1; 3) , C ( 2; 7 ) và D  0; 3  . Tìm giao điểm
của 2 đường thẳng AC và BD .
2 
A.  ; 3  .
3 

2

C.  3; −  .
3


2

B.  ; − 3  .
3


 2
D.  3;  .
 3

Lời giải

Chọn A.


 
 
Gọi I ( x; y ) là giao điểm AC và BD suy ra AI ; AC cùng phương và BI ; BD cùng phương

Mặt khác


x y −1
−2 (1)
AI =( x ; y − 1 ), AC =( 2 ; 6 ) suy ra = ⇔ 6 x − 2 y =
2
6


2
BI =
( x − 1; y − 3 ), BD =
( −1; 0 ) suy ra y = 3 thế vào (1) ta có x =
3
2 
Vậy I  ; 3  là điểm cần tìm.
3 
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 24: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?


A. Hai vec tơ u = ( 4; 2 ) và v = ( 8;3) cùng phương.


B. Hai vec tơ a = ( −5; 0 ) và b = ( −4; 0 ) cùng hướng.



C. Hai vec tơ a = ( 6;3) và b = ( 2;1) ngượchướng.


D. Vec tơ c = ( 7;3) là vec tơ đối của d = ( −7;3) .
Câu 25: Cho 4 điểm A (1; −2 ) , B ( 0;3) , C ( −3; 4 ) , D ( −1;8 ) . Ba điểm nào trong 4 điểm đã cho là thẳng
hàng?
A. A, B, C .

B. B, C , D .

C. A, B, D .

D. A, C , D .

Lời giải

Chọn C




Ta có: AD ( −2;10 ) , AB ( −1;5 ) ⇒ AD = 2 AB ⇒ 3 điểm A, B, D thẳng hàng.
Câu 26: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A( 6; 3 ), B( −3; 6 ), C( 1; −2 ) . Xác định điểm E trên
cạnh BC sao cho BE = 2 EC .
 1 2
 2 1
 2 1
 1 2

A. E  − ;  B. E  − ; −  C. E  ; − 
D. E  − ; 
 3 3
 3 3
 3 3
 3 3
 1 2
Câu 27: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A( 6; 3 ), B  − ;  , C( 1; −2 ), D( 15; 0 ) . Xác định
 3 3
giao điểm I hai đường thẳng BD và AC .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
14
7 1
7 1
7 1
7 1
A. I  ;  B. I  ;  C. I  ; 
D. I  ; 
2 2
2 2
2 2
2 2
Câu 28: Cho ba điểm A( −1; −1 ), B( 0;1 ), C( 3; 0 ) . Xác định tọa độ điểm D biết D thuộc đoạn thẳng
BC và 2 BD = 5 DC .

 15 2 
 15 2   15 2   2 15 
A.  ;  .B.  − ;  C.  ; 
D.  ; − 
7
7
 7 7  7 7 7 7 
Câu 29: Cho tam giác ABC có A( 3; 4 ), B( 2;1 ), C( −1; −2 ) . Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao
cho S ABC = 3S ABM .

A. M 1 ( 0;1) , M 2 ( 3; 2 ) .B. M 1 (1; 0 ) , M 2 ( 3; 2 ) .

C. M 1 (1; 0 ) , M 2 ( 2; 3) .

D. M 1 ( 0;1) , M 2 ( 2; 3) .

Câu 30: Cho hình bình hành ABCD có A 2; 3  và tâm I  1; 1  . Biết điểm K  1; 2  nằm trên
đường thẳng AB và điểm D có hồnh độ gấp đơi tung độ. Tìm các đỉnh B,D của hình bình
hành.
A. B ( 2;1) , D ( 0;1) .B. B ( 0;1) ; D( 4; −1 ).
C. B ( 0;1) ; D ( 2;1) , .

D. B ( 2;1) , D ( 4;−1) .

C. HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN


Câu 26: Vì E thuộc đoạn BC và BE
suy
ra

2
EC
BE
EC

2


Gọi E ( x; y ) khi đó BE ( x + 3; y − 6 ) , EC (1 − x; −2 − y )
1

 x = − 3
 x + 3= 2 (1 − x )
Do đó 
⇔
 y − 6 = 2 ( −2 − y )
 y=2

3
 1 2
Vậy E  − ; 
 3 3
Câu 27: Gọi I ( x; y ) là giao điểm của BD và AC .

  46 2 
Do đó DI ( x − 15; y ) ,DB  − ;  cùng phương suy ra
 3 3
3 ( x − 15 ) 3 y
=
⇒ x + 23 y − 15 = 0 (1)

−46
2


x −6 y −3
=
⇒ x − y −=
3 0 (2)
AI ( x − 6; y − 3) , AC ( −5; −5 ) cùng phương suy ra
−5
−5
7
1
Từ (1) và (2) suy ra x = và y =
2
2
7 1
Vậy giao điểm hai đường thẳng BD và AC là I  ;  .
2 2

 

Câu 28:=
Ta có 2 BD 5 DC , BD ( xD ; yD − 1) ,DC ( 3 − xD ; − yD )
15

xD =

xD 5 ( 3 − xD )
 2 =


 15 2 
7
Do đó 
⇔
⇒ D ;  .
 7 7
2 ( yD − 1) = 5 ( − yD )
y =2
D

7

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com
15



3S ABM ⇔ BC =
3BM ⇒ BC =
±3BM
Câu 29: Ta có S ABC =


Gọi M ( x; y ) ⇒ BM ( x − 2; y − 1) ; BC ( −3; −3)


−3 =−3 ( x − 2 )  x = 3
−3= 3 ( x − 2 )  x = 1
⇔
⇔
Suy ra 
hoặc 
 −3 =−3 ( y − 1)
y = 2
y = 0
 −3= 3 ( y − 1)
Vậy có hai điểm thỏa mãn M 1 (1; 0 ) , M 2 ( 3; 2 ) .
Câu 30: I là trung điểm AC nên C ( 4;−1)
Gọi D ( 2a;a ) ⇒ B ( 2 − 2a; 2 − a )


AK (1; −1) , AB ( 4 − 2a; −1 − a )
 
4 − 2a −1 − a
Vì AK , AB cùng phương nên
=
⇒ a =1 ⇒ D ( 2;1) , B ( 0;1)
1
−1
III – ĐỀ KIỂM TRA CUỐI BÀI
Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( x A ; y A ) và B ( xB ; yB ) . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
là:

 x − x y − yB 
A. I  A B ; A

.
2 
 2
 x + x y + yB 
C. I  A B ; A
.
3 
 3

 x + x y + yB 
B. I  A B ; A
.
2 
 2
 x + y A xB + y B 
;
D. I  A
.
2 
 2
Lời giải

Chọn B.

x +x

xI = A B
 

 x − x A = xB − xI


2
Ta có: I là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇒ AI = IB ⇔  I
⇒
 yI − y A = yB − yI
 y = y A + yB
 I
2

Câu 2:

 x + x y + yB 
Vậy I  A B ; A
.
2 
 2


Cho các=
vectơ u (=
u1 ; u2 ) , v
u = u2
A.  1
.
v1 = v2

( v1; v2 ) . Điều kiện để vectơ

u = −v1
B.  1

.
u2 = −v2

Chọn C.

Câu 3:

 
u = v là

u = v
C.  1 1 .
u2 = v2
Lời giải

u = v
D.  1 2 .
u2 = v1


Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( x A ; y A ) và B ( xB ; yB ) . Tọa độ của vectơ AB là


B. AB =
A. AB =
( y A − x A ; y B − xB ) .
( x A + xB ; y A + y B ) .


C. AB =

D. AB =
( x A − xB ; y A − y B ) .
( xB − x A ; y B − y A ) .
Chọn D.

Lời giải


Theo công thức tọa độ vectơ AB =
( xB − x A ; y B − y A ) .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
16
Câu 4:

Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) và C ( xC ; yC ) . Tọa độ trọng tâm G của tam
giác ABC là:
 x − x + x y + yB + yC 
A. G  A B C ; A
.
3
3


 x + x + x y + yB + yC 

C. G  A B C ; A
.
3
3



 x + x + x y + yB + yC 
B. G  A B C ; A
.
3
2


 x + x + x y + yB + yC 
D. G  A B C ; A
.
2
3


Lời giải

Chọn C.

Câu 5:

  

Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC ⇒ OA + OB + OC =

3OG với O là điểm bất kì.
Chọn O chính là gốc tọa độ O . Khi đó, ta có:
x A + xB + xC

 xG =
  

3 xG
 x A + xB + xC =
3
⇒
OA + OB + OC = 3OG ⇔ 
y A + yB + yC 3 yG
=
 y = y A + yB + yC
 G
3
 x + x + x y + yB + yC 
⇒ G A B C ; A
.
3
3



Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A ( 5; 2 ) , B (10;8 ) . Tọa độ của vec tơ AB là:

A. ( 2; 4 ) .

B. ( 5;6 ) .


C. (15;10 ) .
Lời giải

Chọn B.

Ta có: AB = (10 − 5;8 − 2 ) = ( 5; 6 ) .
Câu 6:



Cho hai điểm A (1;0 ) và B ( 0; −2 ) .Tọa độ điểm D sao cho AD = −3 AB là:

A. ( 4; −6 ) .

B. ( 2;0 ) .

C. ( 0; 4 ) .



 xD − x A =−3 ( xB − x A )
 xD − 1 =−3 ( 0 − 1)
x = 4
Ta có: AD =
.
−3 AB ⇔ 
⇔
⇔ D
 yD = 6

 yD − y A =−3 ( yB − y A )
 yD − 0 =−3 ( −2 − 0 )
 


Cho a =
( 5; −7 ) . Tọa độ của vec tơ a − b là:
( −1; 2 ) , b =
A. ( 6; −9 ) .

B. ( 4; −5 ) .

C. ( −6;9 ) .

Chọn C.
 
Ta có: a − b = ( −1 − 5; 2 + 7 ) = ( −6;9 ) .
Câu 8:

D. ( −5; −14 ) .

Lời giải


AB 3,=
BC 4 . Độ dài của vec tơ AC là:
Cho hình chữ nhật ABCD có=

A. 9.
Chọn B.


Ta có: AC = AC =
Câu 9:

D. ( 4;6 ) .

Lời giải

Chọn D.

Câu 7:

D. ( 50;6 ) .

B. 5.

AB 2 + BC 2 =

C. 6.
Lời giải

D. 7.

32 + 42 = 5 .


Cho hai điểm A (1;0 ) và B ( 0; −2 ) . Vec tơ đối của vectơ AB có tọa độ là:

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038


TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
17
A. ( −1; 2 ) .

B. ( −1; −2 ) .

C. (1; 2 ) .

D. (1; −2 ) .

Lời giải

Chọn B.



Ta có vectơ đối của AB là BA = ( 0 − 1; −2 − 0 ) = ( −1; −2 ) .
 


Câu 10: Cho a =−
( 3; 4 ) , b =
( −1; 2 ) . Tọa độ của vec tơ a + b là:
B. ( 4; −6 ) .

A. ( 2; −2 ) .
Chọn A.

 
Ta có: a + b =

C. ( −3; −8 ) .

D. ( −4;6 ) .

Lời giải

( 3 + (−1); (−4) + 2 ) = ( 2; −2 ) .


  
Câu 11: Cho A ( 0;3) , B ( 4; 2 ) . Điểm D thỏa OD + 2 DA − 2 DB =
0 , tọa độ D là:

A. ( −3;3) .

B. ( 8; −2 ) .

C. ( −8; 2 ) .

 5
D.  2;  .
 2

Lời giải

Chọn B.


   
0
 xD − 0 + 2 ( 0 − xD ) − 2 ( 4 − xD ) =
 xD = 8
Ta có: OD + 2 DA − 2 DB =
.
0⇔
⇔
0
 yD = −2
 yD − 0 + 2 ( 3 − yD ) − 2 ( 2 − yD ) =
Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A ( 3; −2 ) , B ( 7;1) , C ( 0;1) , D ( −8; −5 ) . Khẳng định
nào sau đây là đúng?
 
A. AB, CD đối nhau.
 
C. AB, CD cùng phương cùng hướng.

 
B. AB, CD cùng phương nhưng ngược hướng.

D. A, B, C, D thẳng hàng.
Lời giải

Chọn B.




Ta có: AB =( 4;3) , CD =−

( 8; −6 ) ⇒ CD =−2 AB .

Câu 13: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A (1;3) , B ( 4;0 ) , C ( 2; −5 ) . Tọa độ điểm M thỏa mãn
   
MA + MB − 3MC =
0 là
A. M (1;18 ) .

B. M ( −1;18 ) .

C. M ( −18;1) .

D. M (1; −18 ) .

Lời giải

Chọn D.

   
0
(1 − xM ) + ( 4 − xM ) − 3 ( 2 − xM ) =
x = 1
Ta có: MA + MB − 3MC =⇔
.
⇔ M
0

0
 yM = −18
( 3 − yM ) + ( 0 − yM ) − 3 ( −5 − yM ) =

Câu 14: Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( −2;0 ) , B ( 5; −4 ) , C ( −5;1) . Tọa độ điểm D để tứ giác BCAD là
hình bình hành là:
A. D ( −8; −5 ) .

B. D ( 8;5 ) .

Chọn D.

C. D ( −8;5 ) .

D. D ( 8; −5 ) .

Lời giải

 
−5 − 5 =−2 − xD
 xD =8
Ta có: tứ giác BCAD là hình bình hành khi BC =
.
DA ⇔ 
⇔
1
+
4
=
0
−
y
y
=

−
5

D
 D
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
18
Câu 15: Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( 2; 4 ) , B ( −1; 4 ) , C ( −5;1) . Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là
hình bình hành là:
A. D ( −8;1) .

B. D ( 6;7 ) .

C. D ( −2;1) .

D. D ( 8;1) .

Lời giải

Chọn C.

 
−1 − 2 =−5 − xD
 xD =−2
Ta có: tứ giác ABCD là hình bình hành khi AB =

.
DC ⇔ 
⇔
4 − 4 =1 − yD
 yD =1

Câu 16: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A ( 0; 2 ) , B (1; 4 ) . Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn


AM = −2 AB là:
A. M ( −2; −2 ) .
B. M (1; −4 ) .
C. M ( 3;5 ) .
D. M ( 0; −2 ) .
Lời giải

Chọn A.



 xM − 0 =−2 (1 − 0 )
 x = −2
Ta có: AM =−2 AB ⇔ 
⇔ M
⇒ M ( −2; −2 ) .
 yM = −2
 yM − 2 =−2 ( 4 − 2 )
 




Câu 17: Cho a = ( −4, 1) và b =( −3, − 2 ) . Tọa độ c= a − 2b là:




A. =
B. c = ( 2;5 ) .
C. c =( −7; −1) .
D. c =−
c (1; − 3) .
( 10; −3) .
Lời giải

Chọn B.
 

Ta có: c =a − 2b =−
( 4 − 2.(−3);1 − 2.(−2) ) =( 2;5) .
 


Câu 18: Cho a (2016
=
=
2015;0), b (4; x) . Hai vectơ a, b cùng phương nếu
A. x = 504 .

B. x = 0 .


C. x = −504 .
Lời giải

D. x = 2017 .

Chọn B.
 


Ta có: a, b cùng phương ⇔ a = k .b ⇒ x = 0 .



7

Câu 19: Trong mặt phẳng Oxy , Cho A  ; −3  ; B(−2;5) . Khi đó a =
−4 AB =
?
2

  −11 



;8  .
A.=
B. a = ( 22;32 ) .
C. a = ( −22;32 ) .
D. a = 
a ( 22; −32 ) .

 2

Lời giải
Chọn A.


7


Ta có: a =−4 AB =−4  −2 − ;5 + 3  =( 22; −32 ) .
2


 


Câu 20: Trong mặt phẳng Oxy , cho a =(m − 2; 2n + 1), b =( 3; −2 ) . Nếu a = b thì

A. m = 5, n = −3 .

3
B. m = 5, n = − .
2

Chọn B.

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

C. m = 5, n = −2 .


m 5,=
n 2.
D. =

Lời giải

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
19

m = 5
 
3
m − 2 =

b⇔
⇔
Ta có: a =
3.
2n + 1 =−2
n = − 2
Câu 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A(2; −1) . Điểm B là điểm đối xứng của A qua trục hoành.
Tọa độ điểm B là:
A. B (2;1) .
B. B(−2; −1) .
C. B (1; 2) .
D. B (1; −2) .
Lời giải


Chọn A.
Ta có: B là điểm đối xứng của A qua trục hoành ⇒ B ( 2;1) .






Câu 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy=
cho a (2;1),
c m.a + n.b . Khi đó
=
b (3;
=
4), c (7; 2) . Cho biết=
22
−3
A. m =
.
− ;n =
5
5

B.=
m

−3
1
.

=
;n
5
5

C.
=
m

22
−3
.
=
;n
5
5

D.
=
m

22
3
.
=
;n
5
5

Lời giải


Chọn C.

22

m=




7 2m + 3n
=

5
Ta có: c = m.a + n.b ⇔ 
.
⇔
=
+
m
n
2
4

n = − 3

5







Câu 23: Cho các vectơ a = ( 4; −2 ) , b = ( −1; −1) , c = ( 2;5 ) . Phân tích vectơ b theo hai vectơ a và c , ta
được:

1 1
A. b =
− a− c.
8
4

 1 1
B.=
b
a− c.
8
4

Chọn A.


1 
C. b =
− a − 4c .
2
Lời giải


1 1

D. b =
− a+ c.
8
4

1

m= −





−1= 4m + 2n
1 1

8
Giả sử b = ma + nc ⇔ 
. Vậy b =
⇔
− a− c.
8
4
−1 =−2m + 5n
n = − 1

4

 
  

1 
( x; 2), b =
−
5;
,
c
=
x
;7
Câu 24: Cho a =
.
Vectơ
=
c
4a − 3b nếu
(
)


3

A. x = 15 .
B. x = 3 .
C. x = −15 .
D. x = −5 .
Lời giải
Chọn D.
 x = 4 x − 3.(−5)
  


Ta có: c =
4a − 3b ⇔ 
−5 .
1 ⇔x=
7
4.2
3.
=
−

3
Câu 25: Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( m − 1; −1) , B ( 2; 2 − 2m ) , C ( m + 3;3) . Tìm giá trị m để A, B, C là
ba điểm thẳng hàng?
A. m = 2 .

B. m = 0 .

Chọn B.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

C. m = 3 .
Lời giải

D. m = 1 .

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


Website: tailieumontoan.com
20




Ta có: AB =( 3 − m;3 − 2m ) , AC = ( 4; 4 )



Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB cùng phương với AC
⇔

3 − m 3 − 2m
m 0.
=
⇔=
4
4

Câu 26: Cho hai điểm M ( 8; −1) , N ( 3; 2 ) . Nếu P là điểm đối xứng với điểm M qua điểm N thì P có
tọa độ là:
A. ( −2;5 ) .

B. (13; −3) .

C. (11; −1) .

 11 1 
D.  ;  .
 2 2

Lời giải

Chọn A.
Ta có: P là điểm đối xứng với điểm M qua điểm N nên N là trung điểm đoạn thẳng PM
 8 + xP
3=
 xP = −2

2
Do đó, ta có: 
⇔
⇒ P ( −2;5 ) .
5
 yP =
2 = (−1) + yP

2
Câu 27: Cho tam giác ABC với A ( 3; −1) , B ( −4; 2 ) , C ( 4;3) . Tìm D để ABDC là hình bình hành?
A. D ( 3;6 ) .

B. D ( −3;6 ) .

C. D ( 3; −6 ) .

D. D ( −3; −6 ) .

Lời giải

Chọn B.

 
−4 − 3 =xD − 4

 x =−3
Ta có: ABDC là hình bình hành ⇔ AB = CD ⇔ 
⇔ D
⇒ D ( −3;6 ) .
2 + 1= yD − 3
 yD = 6

Câu 28: Cho K (1; −3) . Điểm A ∈ Ox, B ∈ Oy sao cho A là trung điểm KB . Tọa độ điểm B là:
A. ( 0;3) .

1 
B.  ;0  .
3 

C. ( 0; 2 ) .

D. ( 4; 2 ) .

Lời giải

Chọn A.

Ta có: A ∈ Ox, B ∈ Oy ⇒ A ( x;0 ) , B ( 0; y )
1+ 0

1

 x = 2
x =
⇔

A là trung điểm KB ⇒ 
2 .Vậy B ( 0;3) .
0 = −3 + y
 y = 3

2
Câu 29: Cho tam giác ABC với A ( 3;1) , B ( 4; 2 ) , C ( 4; −3) . Tìm D để ABCD là hình bình hành?
A. D ( −3; 4 ) .

B. D ( −3; −4 ) .

Chọn B.

C. D ( 3; −4 ) .

D. D ( 3; 4 ) .

Lời giải

 
4 − 3 =4 − xD
 xD =−3
Ta có: ABCD là hình bình hành ⇔ AB= DC ⇔ 
⇔
⇒ D ( −3; −4 ) .
2 − 1 =−3 − yD
 yD =−4

Câu 30: Các điểm M ( 2;3) , N ( 0; −4 ) , P ( −1;6 ) lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA , AB của tam
giác ABC . Tọa độ đỉnh A của tam giác là:

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


Website: tailieumontoan.com
21
A. (1; −10 ) .

B. (1;5 ) .

C. ( −3; −1) .

D. ( −2; −7 ) .

Lời giải

Chọn C.
A

N

P

B

M

C


 x + x = xP + x N
 x A + 2 =0 + (−1)
 x A =−3
Ta có: APMN là hình bình hành nên  A M
.
⇔
⇔
( 4) + 6
 y A + 3 =−
 y A =−1
 y A + yM =yP + y N

Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MNP có M (1; −1) , N ( 5; −3) và P thuộc trục Oy
,trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox .Toạ độ của điểm P là
A. ( 0; 4 ) .

B. ( 2;0 ) .

C. ( 2; 4 ) .

D. ( 0; 2 ) .

Lời giải

Chọn A.
Ta có: P thuộc trục Oy ⇒ P ( 0; y ) , G nằm trên trục Ox ⇒ G ( x;0 )
1+ 5 + 0

 x =
x = 2

3
G là trọng tâm tam giác MNP nên ta có: 
⇔
 y =4
0 = (−1) + (−3) + y

3
Vậy P ( 0; 4 ) .

 

Câu 32: Cho các điểm A ( −2;1) , B ( 4;0 ) , C ( 2;3) . Tìm điểm M biết rằng CM + 3 AC =
2 AB

A. M ( 2; −5 ) .

B. M ( 5; −2 ) .

C. M ( −5; 2 ) .

D. M ( 2;5 ) .

Lời giải

Chọn A.

 

 xM = 2
 xM − 2 + 3 ( 2 + 2 )= 2 ( 4 + 2 )

Ta có: CM + 3 AC = 2 AB ⇔ 
⇔
⇒ M ( 2; −5 )
) 2 ( 0 − 1)
 yM = −5
 yM − 3 + 3 ( 3 − 1=

----------------- Hết------------.

Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC