hsg tan ky 20172018
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (115.21 KB, 4 trang )
PHỊNG GD&ĐT TÂN KỲ
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017-2018.
MƠN THI: TỐN 9- VỊNG I
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (5.0 điểm)
A (
2 x
x
3x 3 2 x 2
):(
1)
x 3
x 3 9 x
x 3
Cho biểu thức:
a) Nêu điều kiện xác định rồi rút gọn A
3
b) Tính giá trị của A khi x 21 8 5 21 8 5
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 2: (4.0 điểm)
3
2
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n lẻ thì P n 3n n 3 luôn chia hết cho 48.
) Giải phương trình: x 1 2 x 3 1
b
c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
4 x 7 y 2 xy 17
Bài 3: ( 3.0 điểm)
a) Với a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng: 3(a2+b2+c2) (a+b+c)2
b) Cho ba số thực dương x; y; z thỏa mãn x y z 1
M
x
y
z
x 1 y 1 z 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài 4: ( 6.0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là chân đường
vng góc của H trên AB và AC.
a) Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB .
b) Tính diện tích các tam giác: ABC và ADE biết AC = 6 cm; góc ACB = 300.
AB 3 BD
3
c) Chứng minh: AC EC .
Bài 5: (2.0 điểm)
Trong một cuộc thi giải tốn có 31 bạn tham gia. Mỗi bạn phải giải 5 bài. Cách
cho điểm như sau: Mỗi bài làm đúng được 2 điểm, mỗi bài làm sai hoặc không làm sẽ bị
trừ 1 điểm, điểm thấp nhất của mỗi bạn là 0 điểm (Khơng có điểm số là số âm). Chứng
minh rằng có ít nhất 7 bạn có số điểm bằng nhau.
Hết ./.
Họ và tên thí sinh: .............................................................Số báo danh:..............................
PHỊNG GD&ĐT TÂN KỲ
ĐÁP ÁN THI HSG MƠN: TỐN 9
NĂM HỌC 2017-2018.
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Bài
Ý
a
2đ
Nội dung
Điểm
ĐKXĐ: x 0; x 9
Nếu HS sai hoặc thiếu 1 điều kiện trừ 0,25đ.
0,5
2 x
x
3x 3 2 x 2
):(
1)
x 3
x 3 9 x
x 3
3
A
x 3
Rút gọn được:
A (
1,5
Biến đổi rút gọn được :
Bài 1
(5.0
điểm)
b
1.5đ
x 3 21 8 5 21 8 5 4 5 4
5 8 x 2
(TMĐK)
1,0
Thay vào biểu thức trên tính được
3
3(3 2) 3 2 9
9 2
7 (Nếu HS không trục căn thức trừ 0,5đ)
3 2
3
A
x 3
3
3
3
x 3 3
1 A
1
3
x
3
x
3
Ta có:
A
c Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= 0(TMĐK)
1,5đ Vậy GTNN của A là -1 khi x = 0.
(Nếu khơng đối chiếu đk thì trừ 0,25đ)
Bài 2
Với n lẻ nên đặt n = 2k+1 (k N )
(4.0
a
P n3 3n2 n 3 8k (k 1)(k 2)
điểm)
1,5đ Phân tích
Mà
B k (k 1)( k 2)
tự nhiên chẵn và một số chia hết cho 3
ĐK: x 1 (*)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 số
B 2.3
0,5
hay
0,5
P8.6(1) (ĐPCM)
0,5
x 1 2 x 3 1
b Với đk (*) hai vế của (1) khơng âm, bình phương hai vế ta được:
1,5đ 2 ( x 1)(2 x 3) 3 x 3
(**)
Để pt có nghiệm thì vế phải
3 x 3 0 x 1
Đối chiếu với đk (*) suy ra x = -1(Thỏa mãn phương trình)
Vậy Pt có một nghiệm x = -1
0,25
0,25
0,25
0,25
4 x 7 y 2 xy 17
c
(2 y )(2 x 7) 3
1,0đ
Do x,y nguyên nên có 4 cặp (x,y) thỏa mãn là:
(4;-1); (5;1); (2;3); (3;5).
0,5
0,5
a) Với a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng:
3(a2+b2+c2) (a+b+c)2
Chứng minh:
3 a 2 b 2 c 2 a b c
1,0đ
2
3a 2 3b 2 3c 2 a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca
2
2
0,25
2
2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca 0
( a b) 2 (b c) 2 (c a ) 2 0(*)
BĐT (*) luôn đúng với mọi a,b,c R. (đpcm)
Dấu “=” xảy ra a = b = c.
0,25
0,25
0,25
Chứng minh:
x
y
z
x 1 1 y 1 1 z 1 1
1
1
1
3 (
)
x 1 y 1 z 1
x 1
y 1
z 1
x 1 y 1 z 1
1
1
1
N
x 1 y 1 z 1
Đặt
1 1 1
9
(*)
HS c/m được BĐT phụ: với a, b, c > 0 thì a b c a b c
M
Bài 3
( 3.0
điểm
)
b
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Áp dụng BĐT (*) và do x + y +z 1 nên ta có:
0,25
1
x y z
3
Dấu “=” xảy ra khi
3
1
x y z
3.
Vậy GTLN của biểu thức M là 4 khi
( 6.0
điểm
)
0,5
0,25
1
1
1
9
9
x 1 y 1 z 1 x y z 3 4
2,0đ Dấu “ =” xảy ra x = y = z =1/3
1
1
1
9 3
M 3 (
) 3
x 1 y 1 z 1
4 4
Do đó:
N
Bài 4
0,5
0.25
0.25
B
H
D
A
E
C
0,5
Chứng minh tứ giác AEHD là hình chữ nhật.
a
ADE AHE mà AHE ACB
2,0đ
Do đó c/m được:
0,5
0,5
(cùng phụ với góc EAH ).
ADE ACB ( g .g )
Áp dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong các tam giác
vng, ta có:
AH = AC.SinACB = 6.Sin 300 = 3cm DE = 3cm.
b
2,0đ AB AC.tan ACB 6.tan 300 6. 3 2 3cm; BC 4 3cm.
1,0
0,5
0,5
3
1
1
S ABC . AB. AC .2 3.6 6 3(cm 2 )
2
2
S ADE
DE 2
3 2 3
3
3
9
(
) (
) S ADE .S ABC .6 3 3(cm) 2
S ABC
BC
16
16
16
8
4 3
0,5
0,5
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong các tam giác vuông,
c
1,5đ
BD AB BD. AB BH 2 ( BH .BC ) 2 AB 4
.
2
2
4
ta có: EC AC EC. AC CH (CH .CB) AC
BD AB AB 4
BD AB 3
.
4
EC AC 3 (đpcm)
Tức là: EC AC AC
1,0
0,5
Trong một cuộc thi giải tốn có 31 bạn tham gia. Mỗi bạn phải
giải 5 bài. Cách cho điểm như sau: Mỗi bài làm đúng được 2 điểm,
mỗi bài làm sai hoặc không làm sẽ bị trừ 1 điểm, điểm thấp nhất của
mỗi bạn là 0 điểm( Khơng có điểm số là số âm). Chứng minh rằng có
ít nhất 7 bạn có số điểm bằng nhau.
Bài 5
(2.0 2,0đ
điểm
)
Số điểm của mỗi bạn có thể xếp theo 5 loại sau đây:
- Làm đúng 5 bài, được 10 điểm.
- Làm đúng 4 bài, được 7 điểm.
- Làm đúng 3 bài, được 4 điểm.
- Làm đúng 2 bài, được 1 điểm.
- Loại cịn lại, đều bị 0 điểm
Vì 31 chia cho 5 được thương là 6 và dư 1, nên theo ngun lý
Đi-rích-lê, có 7 bạn có số điểm bằng nhau. Ta có đpcm.
Lưu ý: - Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
- Học sinh khơng vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì khơng chấm bài hình.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
