8

Kết cấu và vật liệu
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6

Eniko T. Enikov
University of Arizona

Các định luật cơ bản của Cơ học...............................8-1
Các cấu trúc chung trong các hệ cơ điện tử ...............8-4
Dao động và phân tích dạng riêng.............................8-6
Phân tích mất ổn định cong.......................................8-7
Các bộ chuyển đổi ....................................................8-8
Khuynh hướng phát triển........................................ 8-12

Thuật ngữ Cơ điện tử (mechatronics) lần đầu tiên được dùng bởi các kỹ sư Nhật bản để xác định hệ cơ học với điện tử
nhúng có khả năng tạo ra sự thơng minh và chức năng điều khiển. Từ đó q trình tiếp theo trong việc tích hợp đã dẫn đến sự
phát triển của các hệ vi cơ-điện tử (MEMS) trong đó bản thân kết cấu cơ học là một bộ phận của hệ điện con. Sự phát triển và
thiết kế các hệ cơ điện tử đòi hỏi kiến thức liên ngành trong nhiều lĩnh vực – điện tử, cơ học, vật liệu và hóa học. Mục này
giới thiệu tổng quan về các kết cấu cơ học chính, các vật liệu tạo ra chúng và các định luật chi phối mô tả tương tác giữa các
quá trình cơ và điện. Dự kiến dùng trong giai đoạn đầu của thiết kế, khi các ước lượng nhanh là cần thiết để chấp nhận hoặc
từ chối một khái niệm riêng biệt. Sự chú ý đặc biệt đã giành cho các vật liệu thông minh mới xuất hiện – cơ cấu chấp hành
polime tác dụng điện. Nhiều bảng hằng số vật liệu cũng được cung cấp để tham khảo.

8.1 Các định luật cơ bản của Cơ học
Tĩnh học và động học của các hệ Cơ điện tử

Các địng luật cơ bản của Cơ học là cân bằng của mô men động lượng góc và dài.Đối với các hệ lý tưởng chứa một điểm
có khối lượng m chuyển động với vận tốc v, mô men động lượng dài được xác định là tích của khối lượng và vận tốc:
L = mv
(8.1)
Tính bảo tồn của mơ men động lượng dài đối với phần tử đơn thừa nhận rằng tốc độ biến đổi của mô men động lượng
dài bằng tổng tất cả các lực tác dụng lên phần tử đó:
L&= mv&=
F

å

i

Hình 8.1 Định nghĩa các vectơ vận tốc và vị trí của phần tử đơn (a) và của vật thể
rắn (b)
trong đó ta đã giả thiết rằng khối lượng không thay đổi theo thời gian.
Mơ men động lượng góc của phần tử đối với điểm tham chiếu bất kỳ O được xác định như sau:

HO = rOP ´ (mv )
(8.3)
trong đó rop là vectơ vị trí giữa các điểm O và P ( xem hình 8.1 (a)). Sự cân bằng mơmen động lượng góc đối với phần tử đơn
nhỏ vơ hạn tự thỏa mãn như một hệ quả của (8.1). Trong trường hợp nhiều phần tử (một vật thể rắn chứa vô số các phần tử),
mơ men động lượng dài và góc được xác định là tổng (tích phân) của các mơ men động lượng của các phần tử riêng biệt
(Hình 8.1(b)):
L=

ị v dm

HO =


v

òr
v

OP

´ v dm

(8.4)

Định luật thứ hai của cơ học cổ điển nói rằng, tốc độ biến thiên của mơ men động lượng góc bằng tổng các mơ men tác
dụng lên vật thể:
H&O = å M i + å ri ´ Fi
(8.5)
i

i

Trong đó Mi là các ngẫu lực ngồi tác dụng cùng với các lực Fi . Nếu điểm tham chiếu O được chọn là tâm khối của vật
thể G thì định luật cân bằng mơ men động lượng dài và góc có cơng thức đơn giản hơn:
8-1

Metechvn.com


Sổ tay Cơ điện tử
mv&
G =


å

(8.6)

Fi

i

I G w&=

å

Mj +

j

å

ri ´ Fi

(8.7)

i

trong đó  là vectơ vân tốc góc tức thời và IG là mơ men qn tính đối với tâm khối. Các phương trình (8.6) và (8.7) được gọi
là các phương trình chuyển động và đóng vai trị trung tâm trong động lực học của vật thể rắn. Nếu không có chuyển động (
vận tốc góc và vận tốc dài bằng khơng), ta sẽ gặp bài tốn tĩnh. Ngược lại, khi các gia tốc lớn ta cần phải giải hệ đầy đủ các
phương trình (8.6) và (8.7) chứa các điều kiện đầu. Trong các hệ cơ điện tử nói chung đáp ứng cơ học chậm hơn đáp ứng điện
và do đó xác định đáp ứng tổng thể.Nếu thời gian đáp ứng là tới hạn đối với ứng dụng thì cần phải xét các thành phần qn
tính trong các phương trình (8.6) và (8.7).


Các phương trình chuyển động của vật thể biến dạng
Các vật thể rắn không thay đổi dạng và kích thước trong chuyển động của chúng, tức là, khoảng cách giữa các phần tử là
hằng. Trong thực tế, tất cả các vật thể đều biến dạng ở mức độ nào đó khi chịu tác dụng của ngoại lực. Một vật thể được coi
là rắn hoặc biến dang phụ thuộc vào các ứng dụng riêng biệt. Trong mục này, chúng ta sẽ tóm lược lại các phương trình cơ
bản mơ tả chuyển động của vật thể biến dạng. Các phương trình này cũng rút ra từ sự cân bằng của mơ men động lượng dài
và góc ứng dụng cho phần tử vơ cùng bé của thể tích vật liệu dV. Mỗi phần tử thể tích dV khơng chỉ chịu ngoại lực thể tích f,
mà cịn chịu các nội lực bắt nguồn từ trạng thái nghỉ của vật thể. Các nội lực này được mô tả bởi tensor bậc hai T gọi là tensơ
ứng suất. Khi đó sự cân bằng mơ men động lượng dài được thiết lập dưới dạng tích phân đối với một phần tùy ý của vật thể
chiếm thể tích V như sau:
d
r v dv = ị T ×n dA + ị f dv
(8.8)
¶V
V
dt ịV
trong đó  là mật độ khối lượng, v vận tốc của phân tố dV, f là ngoại lực tác dụng lên một đơn vị thể tích dV. Quy luật cân
bằng ở trên nói lên rằng, tốc độ biến thiên của mô men động lượng dài bằng tổng của thông lượng nội lực tác động trên biên
của V và ngoại lực được phân bố bên trong V. Biến đổi (8.8) với định luật bảo tồn khối lượng ta có:

ị

V

r v&dv =

ị

V


Đ ×T dv +

ị

V

f dv

(8.9)

Vì (8.9) đúng cho một thể tích bất kỳ nên suy ra rằng, biểu thức dưới dấu tích phân cũng bằng nhau. Như vậy dạng vi
phân của cân bằng mô men động lượng là
r v&= Đ ×T + f
(8.10)
hoặc với ký hiệu chỉ số:
r v&
i = T ij , j + fi

Nếu dùng quy trình tương tự, việc cân bằng mơ men động lượng góc sẽ đưa đến điều kiện đối xứng đơn giản của tensor
ứng suất:
T ij = T ji
(8.11)
điều đó đúng cho các vật liệu khơng có ngẫu lực thể tích ngồi. Cần chú ý rằng, trong các vậtliệu dị hướng nào đó các vectơ
phân cực hoặc vectơ từ trường có thể làm tăng ngẫu lực thể tích, ví dụ khi ExP  0. Trong những trường hợp này tensơ ứng
suất là không đối xứng và bất biến vectơ của nó bằng ngẫu lực thể tích. Phương trình (8.10) thường được dùng ở một trong 3
hệ tọa độ thơng dụng. Chẳng hạn dùng tọa độ vng góc ta có:
¶ T xy
¶ T xx
¶ T xz
+

+
+ fx = r a x , T xy = T yx
¶x
¶y
¶z
¶ T yx
¶ T yy
¶ T yz
+
+
+ fy = r ay , T yz = T zy
¶x
¶y
¶z
¶ T zy
¶ T zx
¶ T zz
+
+
+ fz = r a z , T xz = T zx
¶x
¶y
¶z

(8.12)

và trong tọa độ trụ:
¶ T rr T rr - T qq 1 ¶ T r q ¶ T rz
+
+

+
+ fr = r ar , T r q = T qr
¶r
¶z
r
r ¶q
¶ Trq 2
1 ¶ T qq ¶ T qz
+ T rq +
+
+ f q = r a q, T qz = T z q
(8.13)
¶r
¶z
r
r ¶q
¶ T rz
¶ T zz
1
1 ¶ T qz
+ T rz +
+
+ fz = r a z, T rz = T zr
¶r
¶z
r
r ¶q
trong đó (x,y,z) và (r,,z) là 3 tọa độ, f’s là mật độ lực thể tích tương ứng, và a’s là các gia tốc. Thêm vào các phương trình
(8.12) và (8.13), mối liên hệ giữa ứng suất và chuyển vị là cần thiết để xác định biến dạng. Vì sự dịch chuyển và quay của vật
thể rắn không gây ra biến dạng của vật thể, nên chúng cũng không ảnh hưởng đến trường ứng suất bên trong. Thực ra, trường


8-2


Kết cấu và vật liệu
ứng suất là hàm của gradient chuyển vị, được gọi là gradient biến dạng. Khi gradient này nhỏ, có thể dùng mối quan hệ tuyến
tính giữa chuyển vị và biến dạng:
¶ uy
¶ uy
¶ uy
¶ ux
¶ uz
¶ ux
¶ ux
¶ uz
¶ uz
(8.14)
+
+
+
ex =
, ey =
, ez =
, exy =
, exz =
, ezy =
¶x
¶y
¶z
¶y

¶x
¶z
¶x
¶y
¶z
Sự bảo tồn mơ men động lượng và các quan hệ động học không chứa bất kỳ thông tin nào về vật liệu. Các định luật cơ
bản sẽ cung cấp các thông tin thêm này. Định luật chung nhất mô tả vật liệu đàn hồi tuyến tính và có thể biểu diễn thuận lợi
khi dùng ma trận đối xứng ci j , gọi là ma trận độ cứng:
éT xx ù c
c12
c13
c14
c15
c16 ù ex
ê ú é 11
ú
êT ú ê
c
c
c
c
c
ê
yy
ê ú
22
23
24
25
26 ú ey

ú
ê ú ê
ú ez
c33
c34
c35 c 36
êT zz ú ê
ê
ú×
ê ú=
(8.15)
ú eyz
êT yz ú ê
c 44
c 45 c46
ú
ê ú ê
ú ezx
êT ú ê
symm
c55 c56
ú
ê zx ú ê
ê
ú e
ê ú
c66
úû xy
êT xy ú êë
ë û

Trong trường hợp tổng quát nhất, ma trận ci j có 21 phần tử độc lập. Khi vật liệu có đối xứng tinh thể, thì số hằng số độc
lập sẽ giảm đi. Ví dụ, tinh thể đơn Si là vật liệu kết cấu thông dụng trong MEMS với tính đối xứng lập phương. Trong trường
hợp này, chỉ có 3 hằng số độc lập:
éT xx ù éc11
c12
c12
0
0
0ù e
ê ú ê
ú x
êT ú ê
ú e
c
c
0
0
0
yy
11
12
ê ú ê
ú y
ê ú ê
ú e
êT zz ú ê
c11
0
0
0

ú z
ê ú= ê
ú×
(8.16)
êT yz ú ê
ú eyz
c 44
0 0
ê ú ê
ú
êT ú ê
symm
c 44 0 úú ezx
ê zx ú ê
ê ú ê
ú
c 44 ú exy
êT xy ú ê
û
ë û ë
Nếu vật liệu là đẳng hướng ( khơng định hình hoặc đa tinh thể), thì số các hằng số đàn hồi độc lập được giảm xuống còn 2
bởi quan hệ c44=(c11-c12)/2. Các hằng số đàn hồi của nhiều vật liệu thông dụng nhất được liệt kê trong bảng 8.1 (theo [Kittel
1996]). Thông tin bổ sung trên các lớp đối xứng khác có thể tìm trong [Nye 1960]

BẢNG 8.1 Hằng số co giãn của tinh thể lập
phương thông thường

Các hiện tượng điện
Trong mục trước các định luật chi phối chuyển động của các vật thể rắn và biến dạng đã được tóm tắt lại. Các lực tham
gia vào các phương trình này thường có nguồn gốc điện từ: như vậy người ta phải biết sự phân bố của các trường điện và từ.

Trường điện từ được chi phối bởi hệ 4 phương trình liên kết với nhau như các phương trình Maxwell. Tương tự đối với các
phương trình mơ men động lượng, chúng cũng có thể biểu diễn dưới dạng tích phân
B    E  0
 D  q f
  H  D  i

(8.17)

B  0

8-3


Sổ tay Cơ điện tử
trong đó E là trường điện, D là dịch chuyển điện, B là cảm ứng từ, H là cường độ trường từ, i là mật độ dịng điện, và q f mật
độ thể tích điện tích tự do. Các phương trình (8.17) cần đến các định luật cơ bản xác định mật độ dòng, dịch chuyển điện, và
trường từ qua trường điện và các véc tơ cảm ứng từ. Dạng tuyến tính của các định luật này cho bởi:
E
(8.18)
,
D = e0E + P ,
B = m0H + m0M = m0 mr H
re
trong đó i là điện trở. Sự liên kết giữa các trường cơ và điện có thể là tuyến tính hoặc phi tuyến. Ví dụ, áp điện là hiện tượng
tuyến tính mơ tả sự sản sinh của trường điện như là kết quả áp dụng của ứng suất cơ học. Mặt khác các điện tích gần nhau là
hiệu ứng bậc hai, sinh ra biến dạng cơ học tỷ lệ với bình phương trường điện. Các hiệu ứng khác chứa áp trở, tức là, sự biến
đổi của điện trở do ứng suất cơ học. Thêm vào các tính chất vật liệu này, sự liên kết cơ điện có thể đạt được qua việc sử dụng
trực tiếp các lực điện từ (lực Lorentz) như được làm thông thường trong các máy điện thông dụng. Lực Lorentz trên một đơn
vị thể tích được cho bởi:
i=


f L = q f (E + v ´ B )
(8.19)
trong đó q là mật độ tích điện thể tích. Phương trình (8.19) tính đến các lực tác dụng chỉ trên điện tích tự do. Nếu các trường
có gradient mạnh, biểu thức trên phải được biến đổi để chứa các thành phần phân cực v nhim t [Maugin 1988]
f

ổ ảP ữ
ử
(8.20)
f EM = q f E + ỗỗỗi +
B + P ìẹ E + ẹ B ìM
ữ
ữ
ố
ảt ứ
Phng trỡnh (8.19) hoc (8.20) cú thể được dùng trong phương trình mơmen động lượng (8.10) ở vị trí của lực thể tích f.
Như đã đề cập trước đây, áp điện và áp trở là các hiệu ứng được dùng thông dụng trong các hệ cơ điện. Hiệu ứng áp điện
chỉ xẩy ra trong các vật liệu với cấu trúc tinh thể nào đó. Các ví dụ thông dụng chứa BaTiO3 và titan zirconia dẫn suất (PZT).
Trong xấp xỉ á tĩnh điện ( khi hiệu ứng từ được bỏ qua ) có 4 biến mơ tả trạng thái cơ điện của vật thể - trường điện E và dịch
chuyển D, ứng suất cơ học T và biến dạng cơ học . Các định luật cơ bản của áp điện được cho như là hệ 2 phương trình ma
trận giữa 4 biến trường, liên hệ một biến cơ và một biến điện với 2 biến khác trong hệ
eij = sijklT kl + dijk E k ,
Di = diklT kl + e0 Xij E j
(8.21)

trong đó si jkl là tensơ hiệp biến đàn hồi, d i jk là ten sơ piezo-đàn hồi, i j là ten sơ điện cho phép.Nếu trường điện và véc tơ
phân cực là cùng tuyến tính, thì ten sơ ứng suất và biến dạng là đối xứng và số các hệ số độc lập trong s i jkl được rút lại từ 81
xuống 21 và đối với tensơ piezo-đàn hồi di jk từ 27 xuống 18. Nếu hơn nữa, điện áp phân cực chỉ theo một hướng ( ví dụ chỉ
số 3) các phần tử khác không là

d113 , d 223 , d 333 , d232 = d 322 , d131 = d313 , d123 = d213 ,
Các giá trị bằng số đối với các hệ số trong (8.22) đối với nhiều tinh thể BaTiO3 có thể tìm trong [ Zgonik et al. 1994].

8.2 Các cấu trúc chung trong các hệ cơ điện tử
Các hệ vi cơ điên tử (MEMS) thường dùng công nghệ phát triển cho chế tạo các mạch tích hợp. Như là một kết quả, kết
cấu cơ học thường được dùng là các thiết bị 2 chiều- lò xo, cuộn dây, cầu hoặc dầm côngxôn (cantilever) chịu uốn và xoắn
phẳng hoặc không phẳng. Khi dùng tỷ số công nghệ cao như khắc ion kết hợp với dạng chẩy dẻo của silicon, cũng có thể thực
hiện kết cấu 3 chiều. Ví dụ hình 8.2 chỉ ra một vi hình ảnh SEM của sen sơ lực điện dung phức tạp được thiết kế để thu nhận
được các sợi thủy tinh trong rãnh chữ v được trạm khắc. Trong mục này, ta sẽ tóm lược các quan hệ cơ bản dùng trong thiết
kế ban đầu của các hệ cơ điện.

Dầm
Vi côngxôn được dùng trong bề mặt vi gia công bộ chuyển mạch tĩnh điện, vì đầu cơngxơn cho phân hình kính hiển vi
ống (SPM) và rất nhiều sensor dựa trên côngxôn dao động . Đa số các dầm vi gia công bề mặt rơi vào 2 trường hợp – dầm
cơngxơn và cầu. Hình 8.3 minh họa dầm cơngxơn 2 lớp (Hình 8.39(b)). Lực đàn hồi cần thiết để tạo ra chuyển dịch d ở đầu
dầm con-sơn, hoặc ở tâm của cầu, được cho bởi:
F elast = K eff d

(8.22)

trong đó
K eff =

24(EI )eff
3
e

2
e


8-4

E 1wt13
12

3

K eff =

360(EI )eff

(6l / 5) + 6(l - le )l + 12(l - le ) le + 8(l - le )
30l - 45lle2 - 5(le4 / l) + 3le3
là hằng số đàn hồi hiệu dụng của các dầm tổng hợp đối với các dầm côngxôn và dầm cầu tương ứng.
Độ cứng hiệu dụng của dầm trong cả 2 trường hợp có thể tính từ:

(EI )eff =

2

+

E 2wt 23
12

+

3

E 1E 2t 1t 2w(t 1 + t 2 )2

4(E 1t 1 + E 2t 2 )

(8.24)

(8.23)


Kết cấu và vật liệu

Hình 8.2 Sen sơ lực điện dung dùng vi gia cơng 3D

Hình 8.3 Dầm vi gia công bề mặt (a) Dầm composit 2 lớp với nguyên lý tĩnh điện,
(b) Cầu composit 2 lớp với nguyên lý tĩnh điện,
Trong đó w là chiều rộng của dầm, t 1 là chiều dầy của đỉnh dầm, t2 là chiều dầy của lớp cách điện (oxid silicon hoặc nitrit
silicon), l là chiều dài của dầm, le là chiều dài của điện cực cố định, E1 là mô dun Young của lớp đỉnh, E2 là mơ đun Young
của lớp cách điện.

Lị xo xoắn
Sự xoắn của dầm mới đầu được sử dụng trong các kết cấu quay như các gương vi mô trong máy quét quang học hoặc hiển
thị của máy chiếu. Mảng gương vi mô được phát triển bởi các thiết bị Texat, chẳng hạn, dùng dầm silicon đa tinh thể như các
khớp bản lề của tấm các gương vi mô.
Các bài tốn xoắn có thể giải quyết trong dạng đóng cho các dầm với các thiết diện ngang tam giác hoặc elip [ Mendleson
1968]. Trong trường hợp thiết diện ngang elip, mơ men phải sinh ra độ xoắn góc ( góc xoắn trên một đơn vị dài của dâm) 
[rad/m] bằng
pa 3b 3
Ga
(8.25)
a 2 + b2
trong đó G là mơ đun trượt đàn hồi, a và b là độ dài của 2 bán trục elip. Trong trường hợp này ứng suất trượt cực đại là
M =


2G a a 2b
(8.26)
, a>b
a 2 + b2
Độ cứng chống xoắn của dầm thiết diện chữ nhật có thể nhận được bằng chuỗi lũy thừa vơ hạn [ Hopkins 1987]. Nếu thiết
diện ngang có kích thước axb, a b, 3 số hạng đầu của chuỗi này cho trong phương trình tương tự như (8.25)
t max =

M = 2K G a

é1
ứ
bỉ
b4 ÷
K = ab 3 ê - 0.21 ỗỗ1 ữỳ
4ữ
ữ
ờ3
ỗ
aố
12a ứỳỷ
ở

(8.27)

Tm mng
Ten s ỏp lc l một trong các bộ chuyển đổi cơ điện phổ thông nhất. Cấu trúc cơ bản dùng để chuyển đổi áp lực cơ học
thành tín hiệu điện là tấm mỏng chịu áp lực vi phân. Các lá áp trở được dùng để chuyển đổi biến dạng trong màng thanh sự
thay đổi điện trở, điều đó được đọc ra khi dùng mạch cầu điện trở thông dụng.

8-5


Sổ tay Cơ điện tử
Bảng 8.2 Chuyển vị và mô men uốn của tấm ngàm dưới tải đều q [Evans 1939]

Hình 8.4 Tấm mỏng chịu áp lực dương q
Các sen sơ áp lực ban đầu được chế tạo qua việc trạm khắc dị hướng silicon, điều đó thu được trong giản đồ vng góc.
Hình 8.4 là tấm mỏng chịu áp lực vng góc q, dẫn đến dịch chuyển khơng phẳng w(x,y). Điều kiện cân bằng đối với w(x,y)
được cho bởi lý thuyết tấm mỏng [Timoshenko 1959]:
¶ 4w
¶ 4w
¶ 4w
q
(8.28)
+2 2 2 +
= ,
4
4
¶x
¶x ¶y
¶y
D
trong đó D=Eh3/12(1-2) là độ rắn, E là mo đun Young,  là hệ số Poisson, và h là độ dầy của tấm. Các mô men biên ( mô
men trên đơn vị dài trên biên) và các bin dng nh l
ổả 2w
ả 2w ử
ả 2w
ữ, exx (x , y , z ) = - z
M x (x , y ) = - D ỗỗ 2 - v 2 ữ

ữ
ỗố ả x
ữ
ảy ứ
ảx2
ổả 2w
ả 2w ử
ả 2w
M y (x , y ) = - D ỗỗ 2 - v 2 ÷
÷, eyy (x , y , z ) = - z
ữ
ốỗ ả y
ả x ứữ
ả y2

(8.29)

ả 2w
ả 2w
,
exy (x , y , z ) = - z
¶ x¶ y
¶ x¶ y
Dùng (8.29) người ta có thể tính biến dạng cực đại xẩy ra ở đỉnh và đáy củ tấm qua các mô men biên:
M xy (x , y ) = D (1 - v )

12z
12
(M x - vM y ) z = h =
(M x - vM y )

Eh 3
Eh 2
(8.30)
12z
12
(
M
vM
)
(
M
vM
)
eyymax (x , y , z ) =
=
y
x
z=h
y
x
Eh 3
Eh 2
Trong trường hợp của sen sơ áp lực với màng chịu áp lực đều, các điều kiện biên được xây dựng trên các cạnh: w=0,
w/x=0 tại x= a/2 và w=0, w/y = 0 tại y = b/2, trong đó màng có kích thước phẳng là axb. Nghiệm của bài toán này đã
nhận được bởi [Evans 1939], chỉ ra rằng các biến dạng cực đại tại điểm giữa các cạnh. Các giá trị của mô men biên và dịch
chuyển tại tâm của tấm được liệt kê trong bảng 8.2.
exxmax (x , y , z ) =

8.3 Dao động và phân tích dạng riêng
Như đã chú ý trước đây, đáp ứng theo thời gian của cấu trúc môi trường liên tục địi hỏi giải phương trình (8.10) với sự

hiện diện của các số hạng gia tốc. Đối với những hệ tuyến tính phương trình này có thể biểu diễn bởi sự chồng chất vô hạn
các hàm đặc trưng (hàm dạng). Phù hợp với mỗi dạng là số đặc trưng (giá trị riêng) xác địng đáp ứng thời gian của dạng
riêng. Việc phân tích các dạng riêng này được gọi là phân tích dạng riêng và có vai trị trung tâm trong thiết kế sensor
côngxôn công hưởng, làm vỡ cánh máy bay vi mô (MAVs) và gương vi mô dùng trong máy quét laser và máy chiếu. Trong
trường hợp một dầm côngxôn, các dịch chuyển mềm được mơ tả bởi phương trình vi phân bậc 4
IE ¶ 4w(x , t ) ¶ 2w(x , t )
+
= 0
(8.31)
rA ¶x 4
¶t2
trong đó I là mơ men qn tính, E là mơ đun Young,  là mật độ, và A la diện tích thiết diện ngang. Khi độ dầy của dầm consơn nhỏ hơn nhiều so với chiều rộng, E nên được thay thế bởi mô đun Young thu gọn E1 = E/(1-2). Đối với thiết diện ngang
chữ nhật, (8.31) được thu về:
Eh 2 ¶ 4w(x , t ) ¶ 2w(x , t )
+
= 0
(8.32)
12r
¶x4
¶t2

8-6


Kết cấu và vật liệu
trong đó h là độ dầy của dầm. Nghiệm của (8.32) có thể viết qua chuỗi vô hạn các hàm đặc trưng biểu diễn các dạng dao động
riêng
¥

w=


å

F i (x ) sin(wi t + di )

(8.33)

i= 1

trong đó các hàm đặc trưng i được biểu diễn với 4 hàm Rayleigh S,T,U và V
F i = a i S (l i x ) + bT
i (l i x ) + cU
i (l i x ) + d iV (l i x )
1
1
(8.34)
(cosh x + cos x ), T (x ) = (sinh x + sin x )
2
2
1
1
rA
U (x ) = (cosh x - cos x ), V (x ) = (sinh x - sin x ), l i4 = wi2
2
2
IE
Các hệ số ai, bi , ci , d i ,i , i được xác định từ các điều kiện biên và điều kiện đầu của (8.34). Đối với dầm con-sơn với
mút cố định tại x = 0 và một mút tự do tại x = l, các điều kiện biên là
¶ 2w(L, t )
w(0, t ) = 0,

= 0
¶x2
(8.35)
¶ w(0, t )
¶ 3w(L, t )
= 0,
= 0
¶x
¶x3
Vì (8.35) được thỏa mãn bởi mỗi hàm i nên suy ra rằng ai = 0, bi = 0 và
S (x ) =

cosh(l i L ) cos(l i L ) = - 1

(8.36)

Hình 8.5 4 dạng dao động đầu tiên của dầm con-sơn
Từ phương trình siêu việt các i và các tần số vòng i được xác định [ Butt et al. 1995]
(2i - 1)p
(2i - 1)2 p 2 IE
(2i - 1)2 p 2 Eh 2
,
wi =
=
(8.37)
2
2
4L
rA
4L2

12r
Hình 8.5 đưa ra 4 dạng dao động riêng của dầm con-sơn. Một kết quả quan trọng của phân tích dạng riêng là tính biên độ
dao động nhiệt của con-sơn. Khi kích thước của con-sơn thu về cỡ na-nơ-mét, năng lượng của kích động nhiệt ngẫu nhiên trở
thành so sánh được với năng lượng của các dạng dao động riêng. Hiệu ứng này dẫn đến nhiễu nhiệt trong na-nô con-sơn.
Dùng định lý phân phối đều [ Butt et al. 1995] đã chỉ ra rằng căn bình phương trung bình của biên độ đỉnh con-sơn này là
l i L =%

kT
0.64Å
Ewh 3
(8.38)
=
,
K =
K
K
4L2
Phân tích tương tự có thể thực hiện với dao động của tấm mỏng như các gương vi mô. Dao động phẳng tự do của tấm này
được mơ tả bởi
zˆ 2 =

¶ 4w(x , y , t )
¶ 4w ( x , y, t ) ¶ 4w ( x , y , t )
r h ¶ 2w(x , y , t )
(8.39)
+
2
+
=
¶x4

¶ x 2¶ y 2
¶ y4
D
¶t2
Độc giả quan tâm có thể xem [Timoshenko 1959] đẻ biết chi tiết hơn về dao động của tấm.

8.4 Phân tích mất ổn định cong
Mất ổn định kết cấu có thể xẩy ra do sự hư hỏng của vật liệu, tức là, luồng dẻo hoặc phá hủy hoặc nó cũng có thể xẩy ra
do biến đổi lớn về hình học của kết cấu ( t.l. mất ổn định cong, oằn, gẫy). Đó chính là nội dung của mục này. Khi những cột
ngắn chịu tải nén, ứng suất trong các thiết diện ngang được coi là đều. Như vậy đối với cột ngắn sự phá hỏng xẩy ra khi vật
liệu đạt đến ứng suất dẻo. Trong trường hợp dầm dài và mảnh hơn chịu nén, do sự khơng hồn hảo trong chế tạo, tải tác dụng
hoặc cột có sự lệch tâm nào đó. Kết quả là lực này sinh ra mô men uốn tỷ lệ với độ lệch tâm, tạo ra sự uốn phẳng bổ sung.
8-7


Sổ tay Cơ điện tử
Trong khi đối với các tải nhỏ dịch chuyển phẳng sẽ đạt đến cân bằng, thì với tải trọng tới hạn nào đó ở trên dầm không thể
chịu được mô men uốn và sẽ gẫy. Xét dầm trên hình 8.5,chịu lực F với lệch tâm e, sẽ sinh ra dịch chuyển phẳng tại đỉnh .
Theophương trình uốn của dầm
¶ 2w
= M = F (d + e + w )
¶x2
trong đó điều kiện biên là w(0) = 0, w/xx=o = 0. Nghiệm tương ứng là

(8.40)

EI

(8.41)


w = (e + d)[1 - cos( IE / Fx ) ]

Từ w(L) =  người ta có  = e(1/coskL-1), trong đó k =

IE / F . Nghiệm này mất ổn định khi  vượt ra ngoài biên, t.l.

khi coskL = 0, hoặc kL = (2n+1)/2. Từ điều kiện này tải trọng tới hạn nhỏ nhất là:
2

F cr = p 2IE / 4L
(8.42)
Sự phân tích trên và phương trình (8.42) được phát triển bởi Euler. Các điều kiện tương tự có thể rút ra đối với các dạng
gối đỡ khác của dầm. Cơng thức chung đối với tải trọng tới hạn có thể viết như sau:
2

F cr = K p 2IE / L
trong đó nhiều giá trị của hệ số K được cho trong bảng 8.3.

(8.43)

Bảng 8.3 Các hệ số tải trọng tới hạn

Các điều kiên biên
Hệ số K

Một đầu ngàm một đầu tự do

1/4

8.5


Cả hai đầu ngàm

4

Cả hai đầu khớp

1

Các bộ chuyển đổi

Các bộ chuyển đổi là các thiết bị có thể biến đổi một loại năng lượng này thành loại khác. Nếu năng lượng ra là cơng cơ
học thì bộ chuyển đổi được gọi là cơ cấu chấp hành. Các bộ chuyển đổi khác gọi là sen sơ., mặc dầu trong nhiều trường hợp,
bộ chuyển đổi cơ học cũng gọi là sen sơ và ngược lại. Ví dụ bơ chuyển đổi điện dung có thể dùng như là cơ cấu chấp hành
hoặc sen sơ vị trí. Trong mục này các cơ cấu chấp hành chung nhất được dùng trong vi cơ điện tử sẽ được hệ thống lại.

Bô chuyển đổi tĩnh điện
Bô chuyển đổi tĩnh điện rơi vào hai loại chính – các điện cực tấm song song, các điện cực răng lược đan nhau. Trong ứng
dụng ở đâu có sự biến đổi điện dung hoặc lực tương đối lớn thì cấu hình tấm song song được ưa chuộng. Trái lại, những dịch
chuyển lớn hơn với các đặc trưng lực/dịch chuyển tuyến tính có thể dùng loại răng lược đổi lấy giảm lực. Các cơ cấu chấp
hành tấm song song được dùng trong vi công tắc tĩnh điện được minh họa trong hình 8.1. Trong trường hợp này các điện cực
tạo thành điện dung tấm song song và lực được mô tả bởi
A e0 er2V 2
(8.44)
2[t 2 + er (d 0 - d )]2
trong đó A là diện tích phủ nhau của 2 điện cực; t2 là độ dầy của lớp cách điện (dioxid silicon hoặc nitride silicon); le là độ
dài của điện cực cố định, e là hằng số điên môi tương đối của lớp cách điện, V là điện thế tác dụng; do là khoảng cách ban
đầu giữa các tấm diện dung; và d là độ võng của dầm.
Felec =


Hình 8.6 Các bộ chuyển đổi răng lược phẳng (a) các kích thước (b) hai răng lược Si trực giao
Điện thế cực tiểu địi hỏi đóng lại khe hở của cơ cấu chấp hành con sơn được hiểu như điện thế ngưỡng [Petersen 1978],
và được xấp xỉ
8-8


Kết cấu và vật liệu

V

th

18(IE )eff d 03

»

(8.45)

5e0L4w

trong đó (IE)eff được cho bởi (8.24).
Các bộ chuyển đổi răng lược cũng rơi vào 2 loại: đối xứng và không đối xứng. Loại đối xứng cho trên hình 8.6(a). Trong
cấu hình này các khe hở giữa các răng riêng biệt bằng nhau. Hình 8.6(b) đưa ra một cặp các điện dung răng lược đối xứng,
được dùng trong sen sơ lực chỉ ra trong hình 8.2[Enikov 2000a]. Trong trường hợp nào đó, lực sinh ra giữa các răng bằng đạo
hàm của năng lượng tĩnh điện tồn phần đối với dịch chuyển
n ¶C 2
(8.46)
V
2 ¶x
trong đó n là số răng. Nhiều tác giả đã cho các biểu thức xấp xỉ đối với (8.46). Một trong các tính tốn chính xác nhất của lực

giữa cặp các răng chỉ ra trong hình 8.6(a) được cho bởi [Johnson et al. 1995] dùng các phép biến đổi Schwartz
F el =

ïìï e V 2 ïì éỉỉc
ư2
ïï 0 ïïí ln ờỗỗỗỗ + 1ữ
ữữ
ù p ùù ờờỗốỗốỗg
ứữ
ùợ ở
F el = ùớ
ù
2
ùù e0V ùỡ 2(c + g) ùỹ ,
ý
ùùù - p ớù
ùỵ
x
ù
ợù
ùợ

ửữổ 2g ử1+ c / g ự pd c + g
ỳ+
ữỗ1 +
ữ
1ữ
,
ữ
ỳ

ữỗ
c ứữ
x
ữ
ỳỷ g
ứố

x > D+

(8.47)
x < - D-

Trong vựng bin đổi x[--; +], +,- =2g, lực có thể được xấp xỉ với đường tiếp tuyến giữa 2 nhánh mô tả bởi (8.47).

Các bộ chuyển đổi điện từ
Lực điện từ cũng được dùng nhiều. Nó có thể được sinh ra qua cuộn dây phẳng như minh họa trên hình 8.7. Dầm con sơn
và các cuộn dây thường làm bằng vật liệu sắt từ mềm. Khi dùng mơ hình mạch từ tương đương lực từ tác dụng tại đỉnh dầm
con sơn có thể được ước lượng như sau
Fm ag =

2n 2 I 2 (2A2 + A1 )
m0A1A2 (2R 1 + R 2 )2

(8.48)

trong đó
h1
h1
h2
d

d
(8.49)
+
R2 =
+
+
,
m0A1 m0 mr A1
m0A2 m0 mr A2 m0 mr Ab
là các từ trở; h1 và h2 là các độ dài đường dòng bên trong các lớp hợp kim pecmansi ở đáy và đỉnh.
R1 =

Hình 8.7 Bộ chuyển đổi điện từ

Hình 8.8 Cơ cấu chấp hành nhiệt

Cơ cấu chấp hành nhiệt
Các cơ cấu chấp hành nhiệt đã được khảo sát cho định vị gương vi mo[Liew et al. 2000], và cơ cấu chấp hành vi công
tắc[Wood et al.1998]. Cơ cấu chấp hành bao gồm 2 cánh tay với các thiết diện ngang khác nhau(xem hình 8.8). Khi dịng đi
qua 2 cánh tay, thì mật đọ dịng cao hơn sẽ xẩy ra ở dầm có thiết diện ngang nhỏ hơn và như vậy sinh ra nhiều nhiệt hơn trên
đơn vị thể tích. Sự chuyển dịch là kết quả của nhiệt độ khác nhau sinh ra trong 2 cánh tay. Đối vơi cơ cấu chấp hành chỉ ra
trên hình 8.8 một mơ hình xấp xỉ cho độ lệch của đỉnh  có thể được phát triển khi dùng lý thuyết đẳng nhiệt [Faupel 1981]
8-9


Sổ tay Cơ điện tử

d»

3l 2 (T hot a (T hot ) - T cold a (T cold ))

4(wh + w f )

(8.50)

trong đó Thot và Tcold là nhiệt độ trung bình của tay nóng và tay lạnh và (T) nhiệt độ phụ thuộc hệ số truyền nhiệt. Phân tích
chi tiết hơn chứa phân bố nhiệt độ trong các cánh tay có thể tìm trong [Huang et al. 1999].

Cơ cấu chấp hành polimer tích cực điện
Các composit polimer-kim loại tích cực điện (EAPs) là vật liệu đa chức năng đầy hứa hẹn với rất giầu tính vật lý. Sự quan
tâm hiện nay đối với vật liệu này được suy ra từ khả năng duy nhất của chúng để vượt qua biến dạng lớn chịu điện thế rất
thấp cũng như khối lượng nhr, độ bền cao. Để so sánh, bảng 8.4 liệt kê nhiều tính chất đặc trưng của EAPs và các gốm áp
điện khác.
EAPs đang được thử nghiêm để dùng trong vi xe đệm khí cánh bị đập (MAVs) [Rohani 1999], các rô bốt bơi dưới nước
[Laurent 2001], và các ứng dụng thuốc sinh học [Oguro 2000]. Một cơ cấu chấp hành EAP bao gồm màng trao đổi ion phủ
bởi lớp dẫn điện như minh họa trên hình 8.9(a).
Bảng 8.4 Các tính chất so sánh của EAPs, Hợp kim nhớ mẫu và gốm áp điện
Tính chất đặc trưng

EAP

Hợp kim nhớ mẫu

Gốm áp điện

Biến dạng đạt được
Mô đun Young (GPa)
Độ bền chịu kéo(MPa)

hơn 10%
0.114(wet)

34(wet)

dưới 8%
75
850

dưới 0.3%
89
76

Thời gian đáp ứng
Mật đọ khối lượng(g/cm3)
Điện thế khởi động

msec-min
2.0
1-10v

sec-min
6.5
N/A

 sec-sec
7.5
50-1000v

Hình 8.9 Cơ cấu chấp hành composit kim loại polimer

Hình 8.10 Quá trình mạ Pt hai bước
Dựa vào ứng dụng của sự khác nhau về điện thế tại các điểm A và B composit bị cong về phía anốt như chỉ ra trên hình

8.9(b). Trong nhiều polimer trao đổi ion, a-xít perfluorinate sulfonic (Nafion Du Pont,USA), và a-xít perfluorinate
carboxylic (Flemion, Asahi, Japan) là được dùng thơng dụng nhất trong các ứng dụng cơ cấu chấp hành.Công thức hóa học
của chuỗi đơn vị của Nafion là
[(CF2 - CF2 )n - CF - CF2 - ]m

(8.51)


O - CF - CF2 - O - CF2 - SO 3- M +

trong đó M+ là số đếm ion (H+, Na+, Li+ ...). Chùm ion được gắn vào các chuỗi bên, tương ứng với những nghiên cứu kính
hiển vi điện tử chuyển giao, chúng tách trong các chùm nanô thấm nước với đường kính trong khoảng từ 10 đến 50 A [Xue
1989]. Vào năm 1982, Gireke đã đề nghị một mơ hình kết cấu [Gireke 1982], theo đó các chùm này là liên kết với nhau qua
các kênh hẹp. Kích thước và phân bố của các kênh này xác định các tính chất vận chuyển của màng và do đó là đáp ứng cơ
8-10


Kết cấu và vật liệu
học. Composit polimer-kim loại có thể sản xuất được bởi hơi nước hoặc sự lắng đọng điện hóa của kim loại qua bề mặt của
màng. Phương pháp mạ platin điện hóa [Fedkiw 1992], dùng bởi tác giả và dựa trên các tính chất trao đổi ion của Nafion.
Phương pháp này bao gồm 2 bước: Bước một là trao đổi ion của proton H+ với cation kim loại (tức là Pt2+); bước hai là rút
gọn hóa học của ion Pt2+ trong màng tới kim loại Pt dùng chất hòa tan NaBH4. Các bước này được chỉ ra trên hình 8.10 và
một vi ảnh SEM của composit kết quả được chỉ ra trong hình 8.11. Các bề mặt điện cực dầy xấp xỉ 0.8 m chất lắng đọng Pt.
Lặp lại các bước trên nhiều lần sinh ra trong sự phát triển hình cây của các điện cực trong matrix polimer [Oguro 1999] và đã
được chỉ ra để hoàn thiện hiệu quả khởi động.

Hình 8.11 Màng Nafion với điện cực Pt

Hình 8.12 Vận chuyển ion trong nafion
Biến dạng của composit kim loại-polimer có thể tham gia vào nhiều hiện tượng, một hiện tượng nổi trội là sự căng phồng

vi phân của màng do gradient áp lực thấm bên trong [Eikerling 1998]. Một biểu diễn sơ đồ của quá trình ion hóa xẩy ra bên
trong polimer được chỉ ra trong hình 8.12. Dưới tác dụng của trường điện bên ngồi một luồng cation và ion hydroxonium
được sinh ra chạy về phía ca- tốt. Tại ca-tốt ion thu nhận electron và sinh ra hydrogen và các phân tử nước tự do. Bên phía anốt các phân tử nước phân ly tạo thành các ion oxygen và hydroxonium. Sự phân bố lại này của nước trong màng tạo ra sự
dãn/co của ma trận polimer. Về mặt tốn học, sự biến dạng có thể được mô tả bởi đưa vào số hạng biến dạng bổ sung ( biến
dạng riêng) trong biểu thức biến dạng tổng thể. Như vậy biến dạng tổng thể có 2 phần cộng lại: biến dạng đàn hồi của lưới
polimer do ngoại lực (cơ, điện) và biến dạng hóa học tỷ lệ với các biến tổ hợp
Vs
(c s - c0s )dij
(8.52)
s
s 3M
trong đó c’ là những phần khối lượng,V’ là thể tích phân tử gam từng phần, M’ là khối lượng phân tử gam, và chỉ số 0 là giá
trị ban đầu của biến. Mơ tả tốn học đầy đủ của cơ cấu chấp hành polimer đòi hỏi phải giải phương trình vận chuyển(khuếch
tán) khối lượng, cân bằng mơ men động lượng, và phương trình Poisson cho phân bố thế năng, việc thảo luận vấn đề này nằm
ngoài phạm vi của cuốn sách này. Một hệ quả lý thú của việc bổ sung biến dạng hóa học trong (8.46) là dạng hiển của số
hạng áp lực trong thế năng điện hóa chi phối khuếch tán. Luồng khuếch tán khối lượng tổng thể sẽ có một thành phần tỷ lệ
với gradient âm của áp lực, điều đó đối với trường hợp nước, sẽ sinh ra hiện tượng phục hồi quan sát được bằng thực nghiệm.
Khi đó luồng tổng thể của thành phần s được cho bởi:
eij = eijelast + r 0 å

8-11


Sổ tay Cơ điện tử
r c sW s
(8.53)
Ñ ( mos (T ) + pV s + R T ln( fc 5 ) + z s F )
Ms
trong đó W’ là độ linh hoạt của thành phần s, z’ là hóa trị của s, p là áp lực, f’ là hệ số haọt động, và  là điện thế. Chúng ta
đã bỏ qua các số hạng liên quan chéo mà có thể xuất hiện trong công thức loại Onsager liên kết đầy đủ. Các độc giả cần quan

tâm có thể xem [Enikov 2000b] và các tài liệu tham khảo để biết chi tiết.
Js = -

8.6 Khuynh hướng phát triển
Hệ vi cơ điện (MEMS) tương lai có lẽ sẽ có nhiều tính không đồng nhất trong các thành phần vật liệu và kết cấu. Chẳng
hạn, hệ MEMS sinh học đòi hỏi dùng các vật liệu khơng bị ăn mịn và khơng độc, không liên quan chặt chẽ trong các thành
phần IC tiêu chuẩn. Khởi đầu từ MEMS dựa trên Si truyền thống đã được thấy trong lĩnh vực MEMS quang học dùng các vật
liệu có khe hở dải rộng, các polimer quang điện phi tuyến, và gốm. Như đã lưu ý trước đây, kích cỡ bán vi mơ của các sen sơ
con-sơn cho sản phẩm nhiễu nhiệt trong kết cấu cơ học. Hơn nữa sự thu gọn về kích thước mơ tả thống kê phân tử của các lực
tương tác. Ví dụ, ống nanơ cac-bon đặt trên than chì nhiệt phân định hướng cao (HOPG) tìm thấy các lực kết dính tăng khi
được sắp hàng với lưới than chì bên dưới [Falvo et al. 2000]. Các hệ cơ điện tử tương lai có lẽ trở thành giao diện giữa lĩnh
vực nanơ và vĩ mô.

Tài liệu tham khảo
[1]
[2]

[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]

[10]
[11]

[12]
[13]

[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]

[20]

8-12

Butt, H., Jaschke, M., “Calculation of thermal noise in atomic force microscopy,” Nanotechnology, 6, pp. 1–7, 1995.
Eikerling, M., Kharkats, Y.I., Kornyshev, A.A., Volfkovich, Y.M., “Phenomenological theory of electroosmotic effect
and water management in polymer proton-conducting membranes,” Journal of the Electrochemical Society, 145(8),
pp. 2684–2698, 1998.
Evans, T.H., Journal of Applied Mechanics, 6, p. A-7, 1939.
Enikov, E.T., Nelson, B., “Three dimensional microfabrication for multi-degree of freedom capacitive force sensor
using fiber chip coupling,” J. Micromech. Microeng., 10, pp. 492–497, 2000.
Enikov, E.T., Nelson, B.J., “Electrotransport and deformation model of ion exhcange membrane based actuators,” in
Smart Structures and Materials 2000, Newport Beach, CA, SPIE vol. 3987, March, 2000.
Falvo, M.R., Steele, J., Taylor, R.M., Superfine, R., “Gearlike rolling motion mediated by commensurate contact:
carbon nanotubes on HOPG,” Physical Review B, 62(6), pp. 665–667, 2000.
Faupel, J.H., Fisher, F.E., Engineering Design: A Synthesis of Stress Analysis and Materials Engineering, 2nd Ed.,
Wiley & Sons, New York, 1981.
Liu, R., Her, W.H., Fedkiw, P.S., “In situ electrode formation on a nafion membrane by chemical platinization,”
Journal of the Electrochemical Society, 139(1), pp. 15–23, 1990.
Gierke, T.D., Hsu, W.S., “The cluster-network model of ion clusturing in perfluorosulfonated membranes,” in
Perfluorinated Ionomer Membranes, A. Eisenberg and H.L. Yeager, Eds., vol. 180, American Chemical Society,
1982.
Johnson et al., “Electrophysics of micromechanical comb actuators,” Journal of Microelectromechanical Systems,

4(1), pp. 49–59, 1995.
Hopkins, Design Analysis of Shafts and Beams, 2nd Ed., Malabar, FL: RE Kreiger, 1987. Huang, Q.A., Lee, N.K.S.,
“Analysis and design of polysilcon thermal flexture actuator,” Journal of Micromechanics and Microengineering, 9, pp.
64–70, 1999.
Kittel, Ch., Introduction to Solid State Physics, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1996. Laurent, G., Piat, E., “High
efficiency swimming microrobot using ionic polymer metal composite actuators,” to appear in 2001.
Liew, L. et al., “Modeling of thermal actuator in a bulk micromachined CMOS micromirror,” Microelectronics
Journal, 31(9–10), pp. 791–790, 2000.
Maugin, G., Continuum Mechanics of Electromagnetic Solids, Elsevier, Amsterdam, The Netherlands, 1988.
Mendelson, Plasticity: Theory and Application, Macmillan, New York, 1968.
Nye, J.F., Physical Properties of Crystals, Oxford University Press, London, 1960.
Onishi, K., Sewa, Sh., Asaka, K., Fujiwara, N., Oguro, K., “Bending response of polymer electrolyte actuator,” in
Smart Structures and Materials 2000, Newport Beach, CA, SPIE vol. 3987, March, 2000.
Peterson, “Dynamic micromechanics on silicon: techniques and devices,” IEEE, 1978. Rohani, M.R., Hicks, G.R.,
“Multidisciplinary design and prototype of a micro air vehicle,” Journal of Aircraft, 36(1), p. 237, 1999.
Timoshenko, S., Woinowsky-Krieger, S., Theory of Plates and Shells, McGraw-Hill, New York, 1959. Wood, R. et
al., “MEMS microrelays,” Mechatronics, 8, pp. 535–547, 1998. Xue, T., Trent, Y.S., Osseo-Asare, K., “Characterization
of nafion membranes by transmision electron microscopy,” Journal of Membrane Science, 45, p. 261, 1989.
Zgonik et al., ‘‘Dielectric, elastic, piezoelectric, electro-optic and elasto-optic tensors of BaTiO3 crystals,” Physical
Review B, 50(9), p. 5841, 1994.