** CHÀO MỪNG NGÀY NGVN 20.11 **
Chủ đề 7.3. KHOẢNG CÁCH – GĨC
TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CỔ ĐIỂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là MH ,
với H là hình chiếu của M trên đường thẳng a .

M
a

d ( M ,a) = MH
Kí hiệu:
.
② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

M

( a ) là MH , với
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng
H là hình chiếu của M trên mặt phẳng

(

( a) .

H



)

d M , ( a ) = MH
Kí hiệu:
.
③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng
cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia.
d ( a,b) = d ( M ,b) = MH

H



M


H

b
a

( M Ỵ a)

④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.

a

M



( a) :
mặt phẳng
dé
a, a ù= d é
M , a ù= MH ( M Ỵ a)
ê
ê
ë ( )ú
û
ë ( )ú
û
⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ
A
một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

é
ù
é
ù
é
ù
d ê( a ) ,( b) ú= d êa,( b) ú= d êA,( b) ú= AH a Ì ( a ) , A Ỵ a
ë
û
ë
û
ë
û


H

( a)
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng

song song với
nhau là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến

(

B

a

)



H

K

⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a,b và cùng vng góc với mỗi đường thẳng ấy gọi
là đường vng góc chung của a,b . IJ gọi là đoạn vng góc chung của a,b .
c
a
I
a
I



J

b



J

b

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vng góc chung của hai


đường thẳng đó.


B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng

a. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d cho trước
Các bước thực hiện:

( M ,d) hạ MH ^ d với H Ỵ d .
Bước 1. Trong mặt phẳng
Bước 2. Thực hiện việc xác định độ dài MH dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác,
đường tròn, …
a M


M
a

M

A

d

d

H



A
I

K

H K

 Chú ý:
 Nếu tồn tại đường thẳng a qua A và song song với d thì:

d ( M ,d) = d ( A,d) = AK

( A Ỵ d) .

d ( M ,d)

d ( A,d)
 Nếu MA Ç d = I , thì:
b. Khoảng cách từ điểm O
Các bước thực hiện:

=

MI
AI

 O

.



( a)
đến mặt phẳng

O

H



( a) .
Bước 1. Tìm hình chiếu H của O lên

d


H



( b) qua O và vng góc với ( a ) .
D = ( a ) Ç ( b)
Tìm
.

- Tìm mặt phẳng
-

- Trong mặt phẳng

( b) , kẻ OH ^ D

tại H.

 H là hình chiếu vng góc của O lên
Bước 2. Khi đó OH là khoảng cách từ O đến
 Chú ý:



A

( a) .

( a) .
d ^ ( a)

( a)
Nếu đã có đường thẳng
thì kẻ Ox / / d cắt

 Chọn mặt phẳng

( b)

( a) .
O

I


OA/ / ( a )

thì:

tại H.

A

O

(

d O,( a ) = d A,( a )

H




K


2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a,b
 Trường hợp a  b:
- Dựng mặt phẳng

K

sao cho dễ tìm giao tuyến với

) ( ).
d ( O,( a ) )
OI
=
( a ) tại I thì: d ( A,( a ) ) AI
Nếu OA cắt

 Nếu

H

( a)

b


chứa a và vng góc với b tại B.

B



a
A


( a ) dựng BA  a tại A.
- Trong
 AB là đoạn vng góc chung.
 Trường hợp a và b khơng vng góc với nhau.
Cách 1: (Hình a)

( a ) chứa a và song song với b.
- Dựng mp
- Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM  () tại M
- Từ M dựng b// b cắt a tại A.
¢
- Từ A dựng AB / / MM cắt b tại B.
 AB là đoạn vng góc chung.
Cách 2: (Hình b)
- Dựng mặt phẳng

( a ) ^ a tại O, ( a )

cắt b tại I


- Dựng hình chiếu vng góc b của b lên

( a)

( a ) , vẽ OH  b tại H.
- Trong mp
- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B
- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A.
 AB là đoạn vng góc chung.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a,b
Cách 1. Dùng đường vng góc chung:
- Tìm đoạn vng góc chung AB của a,b .
-

d ( a,b) = AB

)
d ( a,b) = d ( ( a ) ,( b) )
Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b. Khi đó:

Cách 2. Dựng mặt phẳng

( a)

chứa a và song song với b. Khi đó:

(

d ( a,b) = d b,( a )


Cách 3.
3. Phương pháp tọa độ trong không gian
a) Phương trình mặt phẳng
+ Mặt phẳng

( MNP )

( MNP )

đi qua điểm

M ( xM ;yM ;zM ) ,N ( xN ;yN ;zN ) ,P ( xP ;yP ;zP )
:
u
r uuuu
r uuur
n = MN Ù MP = ( A;B;C)
có vtpt
có dạng:

đi qua 3 điểm

M ( xM ;yM ; zM )

A ( x - xM ) + B ( y - yM ) + C ( z - zM ) = 0 Û Ax + By +Cz + D = 0

+ Khoảng cách từ một điểm

I ( xI ;yI ;zI )


đến mặt phẳng

IH = d ( I ,(MNP )) =

AxI + ByI + CzI + D

uuuu
r uuur uuu
r
MN Ù MP .MI
d ( I ,(MNP )) =
uuuu
r uuur
MN Ù MP

(

Cơng thức tính nhanh:

( MNP ) :

)

A2 + B 2 +C 2


uuur uuu
r uuur
AB Ù CD .AC
d ( AB,CD ) =

uuur uuu
r
AB Ù CD

(

b) Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau AB,CD là:

c) Góc giữa hai đường thẳng AB,CD theo cơng thức:

)

uuur uuu
r
AB .CD
cos( AB,CD ) = uuur uuu
r
AB . CD

( MNP ) :
và
uur uuur uuur
uur uuuur uuur
( ABC ) có vecto pháp tuyến n1 = AB Ù AC ; ( MNP ) có vtpt n2 = MN Ù MP , khi đó:
uu
r uu
r
n1.n2
A1A2 + B1B2 +C 1C 2
cos ( ABC ) ,( MNP ) = uu

r uu
r =
Þ ( ABC ) , ( MNP ) ;
2
2
2
2
2
2
n1 . n2
A + B +C . A + B +C

d) Góc giữa hai mặt phẳng

(

( ABC )

)

(

1

1

1

2


2

2

( MNP ) :
e) Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng
u
r uuuu
r uuur
r
uuur
MNP )
(
n
=
MN
Ù MP , thì:
Tính u = AB và
có vtpt

)

(

sin AB, ( MNP )

)

ru
r

un
.
= r u
r Þ AB, ( MNP ) ;
u.n

(

)

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
KHỐI CHĨP ĐỀU
0
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 60 Khoảng
cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
a
a
3a
3a
A 2.
B. 4 .
C. 4 .
D. 2 .

Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Góc
0
giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng GC
và SA bằng:

a

B. 5 .

a 5
A. 5

a 5
C. 10 .

a 2
D. 5 .

Câu 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.
Góc giữa đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng:
A.

arctan

85
17 .

B.

arctan

10
17 .

C.

arcsin


85
17 .

D.

arccos

85
17 .

Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.
Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
A.

arccos

330
110 .

B.

arccos

33
11

C.

arccos


3
11 .

D.

arccos

33
22


Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SA = a 3 . M là trung điểm của cạnh
BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng:
A.

arctan

2 11
110 .

B.

110
11 .

arctan

C.


arctan

2 110
33 .

D.

arctan

2 110
11 .

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đơi một vng góc, AB = a, AC = a 2 và diện tích tam
a2 33
6 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
giác SBC bằng
a 330
A. 33 .

a 330
B. 11 .

a 110
.
C. 33

2a 330
.
33
D.


Câu 6. Cho hình chóp tam giác S . ABC có SA vng góc với mặt đáy, tam giác ABC vng cân tại B,
0
BA = BC = a , góc giữa mp( SBC ) với mp ( ABC ) bằng 60 . Gọi I là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác SBC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI với BC .
a 3
A. 4 .

a 3
B. 2 .

a 2
C. 3 .

a 6
D. 2 .

0
0
Câu 7. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc, góc OCB bằng 30 , góc ABO bằng 60

và AC = a 6 . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc giữa hai đường thẳng
CM và OA.
A.

arctan

93
6 .


B.

arctan

31
3 .

B.

arctan

93
3 .

D.

arctan

31
2 .

0
0
Câu 8. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc, góc OCB bằng 30 , góc ABO bằng 60

và AC = a 6 . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc giữa hai mặt phẳng
(OCM) và (ABC).
A.

arcsin


1
35

B.

arcsin

34
35

C.

arcsin

14
35

D.

arcsin

3
7

Câu 9. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc. Góc giữa đường thẳng AC và mp(OBC)
0
bằng 60 , OB = a , OC = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh OB. Góc giữa đường thẳng OA
với mặt phẳng (ACM bằng:
3

1
3
1
arcsin
arcsin
arcsin
arcsin
4 7.
7.
2 7.
2 7.
A.
B.
C.
D.

Câu 10. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc. Góc giữa đường thẳng AC và
mp (OBC ) bằng 600 , OB a , OC a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh OB . Tính góc giữa
hai mặt phẳng
A.

arcsin

 AMC 

3
35 .

và


 ABC 

bằng:

32
1
34
arcsin
arcsin
35 .
35 .
35 .
B.
C.
D.
KHỐI CHĨP CĨ CẠNH BÊN VNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY
arcsin


Thầy cơ xem trong file PDF ở bên dưới

KHỐI CHĨP CĨ MẶT BÊN VNG GĨC MẶT ĐÁY – HÌNH CHIẾU VNG GĨC
Thầy cơ xem trong file PDF ở bên dưới
CHỦ ĐỀ LĂNG TRỤ ĐỨNG HÌNH HỘP CHỮ NHẬT- HÌNH LẬP PHƯƠNG
Thầy cô xem trong file PDF ở bên dưới

LĂNG TRỤ XIÊN - GV NGUYỄN THANH SANG
Thầy cô xem trong file PDF ở bên dưới
CHỦ ĐỀ TỔNG HỢP – CÔ KHUYÊN


D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 3.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C A A B D A B C B D A A C B A B A B D C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A D C A C A A D A A C A B A B D B A D B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
A A C D B A A A B C A D C A B A C A C A
61 62 63
A D C


II –HƯỚNG DẪN GIẢI
KHỐI CHĨP ĐỀU
0
Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 60
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
a
a
3a
3a
A 2.
B. 4 .
C. 4 .
D. 2 .

Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G là hình chiếu

của S trên mặt phẳng (ABC). Gọi I là trung điểm của BC
suy ra góc giữa (SBC) với (ABC) là góc SIG.
GI =

Tam giác ABC đều cạnh bằng a nên
0
·
Theo bài SIG = 60 , suy ra

S

1a 3 a 3
=
.
3 2
6

H
C

A

a 3
a
·
SG = GI .tan SIG
=
tan600 =
6
2.


G

I

ïìï AG ầ (SBC ) = I
B
ù
ớ
AI
ùù
=3
GI
Vỡ ùợ
nờn d(A,(SBC )) = 3.d(G,(SBC )) .
Gọi H là hình chiếu của G trên (SBC) ( H thuộc đoạn thẳng SI). Suy ra
GS .GI
d (G ,(SBC )) =GH =
GS 2 +GI

d(A,(SBC )) = 3.d(G,(SBC )) =

2

a 3
.
a
a
= 22 6 2 =
a

a
4
+
4 12
, suy ra

3a
4 .

[Cách 2] Phương pháp thể tích.
1 1
a a3 3
GI
a 3
a2 3
VS.ABC = . .aa
. .sin600. =
SI =
=
S
=
D SBC
3 2
2
24 ,
cos600
3 , suy ra
6 .
Ta có:
S

a3 3
z
3V
3a
d(A;(SBC )) = S.ABC = 28 =
SDSBC
4
a 3
6
Vậy
.

[Cách 3] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với I º O ,

Ox º IA,Oy IC;Oz/ / GS. (Hỡnh v).
ổ
ử
a 3
ữ
ữ
Aỗ
;0;0
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ 2
ứ,
Khi ú, ố


x

y

A

C
G

B

I


ử
a 3 aữ
ổa ữ
ử Sổ
ỗ
ữ
;0;
ỗ
ỗ
C ỗ0; ;0ữ
ữ
ỗ 6
ỗ
2ữ
ố

ứ, suy ra
ố 2 ữ
ứ; ỗ
ử uur ổ
uur ổ
ỗa 3 ;0;0ữ
a ử
ữ
IA =ỗ
ữ
IC = ỗ
0; ;0ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
2
ố
ứ,
ố 2 ứ

uur uu
r uur
ộIC, ISự.IA
ờ
ỳ
3a

ử
uu
r ổ
a 3 aữ
d(A,(SBC )) = ở uur uỷ
=
u
r
ỗ
ữ
IS =ỗ
;0; ữ
ộIC, ISự
4
ỗ
ỗ
2ữ
ờ
ỳ
ố 6
ứ, suy ra
ë
û
.
Câu 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Góc
0

giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng GC
và SA bằng:
a

a 5
a 5
a 2
A. 5
B. 5 .
C. 10 .
D. 5 .
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và BC. Gọi H là hình chiếu của G lên đường
thẳng đi qua A và song song với CG. GK là đường cao của tam giác GHS.
Khi đó, d(GC,SA) = d(GC,(SAH )) = GK . Ta có:

· ,(ABC ) = SAG
( SA
) · = 60 Þ
0

d(GC,SA) = GK =

AG =

a 3
3 ;

SG = AG.tan600 = a, GH = AM =

GS.GH
GS2 +GH 2


=

a
2 , suy ra

a 5
.
5
z

S

S

K

K

y
H

x

H

A

C
G


M
B

C

A
G

N
B

[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với G º O , Ox º GA,Oy/ / NC,Oz º GS (Hình v).
ổ
ử ổa 3 a ử
ử
uuu
rổ a 3 a ữ
a 3
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
u
u
r
Aỗ

;0;0
C
;
;0
GC
;
;0
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ 6 2 ữ
ỗ
ữ
ữ S ( 0;0;a)
ỗ 3
ỗ
GS ( 0;0;a)
ứ, ỗ
ố
ứ
ố 6 2 ÷
ø,
Khi đó, è
;
, suy ra
,



uuu
r uuu
r uur
ộGC, ASự.GS
ờ
ỳ
a 5
ở
ỷ
ử
uuu
rổ a 3
d
(
SA
,
GC
)
=
=
ữ
u
u
u
r
u
u
u
r

ỗ
ữ
AS ỗ
;0;
a
ộGC, ASự
5
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ờ
ỳ
ố 3
ứ suy ra
ë
û
Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.
Góc giữa đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng:
arctan

85
17 .

arctan

10
17 .

arcsin


A.
B.
C.
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi M là trung điểm CD, kẻ GK song song với SO và
cắt OM tại K, suy ra K là hình chiếu của G trên mp(ABCD),
· ,(ABCD) = GBK
·
BG
suy ra
.

(

Ta có:

D.

arccos

85
17 .

S

)

AO =


a 2
a 10
1
a 10
SO =
GK = SO =
2 ,
2 ,
3
6 ,

2
a
a 34
OK = OM
OK =
BK =
3
3 , suy ra
6 .
vì
nên

G
A

D
O


K

B

GK
85
· ,(ABCD) = tanGBK
·
tan BG
=
=
BK
17 .
[Cỏch 2] Phng phỏp ta .

(

85
17 .

)

M
C

ổ a 2 ữ
ử
ữ
Bỗ
0;

;0
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
2
ứ,
Chn hệ trục tọa độ Oxyz, với Ox º OC,Oy º OD,Oz º OS . Khi đó, è
ỉ
ư ỉ a 10ư
a 2 a 2 a 10 ữ
ữ
ữ
ữ
Gỗ
;
;
Sỗ
0;0;
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ

6
6
6
2
ố
ứ; ố
ứ
.
uuu
rổ
a 2 2a 2 a 10 ử
a 2
a 2 r
ữ
ữ
BG ỗ
;
;
=
1
;4;
5
=
.n
ỗ
ữ
ỗ
ữ 6
ỗ
6

3
6 ứ
6
ố
Suy ra
,

(

)

ử a 10
uur ổ a 10 ữ
a 10 r
ữ
OS ỗ
0;0;
=
0;0;1
=
.k
ỗ
(
)
ữ
ỗ
ỗ
2 ữ
2
2

ố
ứ
.
rr
n.k
à ,(ABCD)) = r r = 5 Þ cos(BG
· ,(ABCD)) = 17 Þ tan(BG
· ,(ABCD)) = 85
sin(BG
22
22
17
n. k

Xem 8 chuyên đề luyện thi cực hay 2018
Đầy đủ các dạng bài với 2331 BÀI TẬP ( File Word )

.


Chuyên đề 11

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT
TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

( 400 câu giải chi tiết )
8 chuyên đề luyện thi cực hay 2018
Đầy đủ các dạng bài với 2331 BÀI TẬP ( File Word )
Các các thầy cô chú ý xem hướng dẫn bên dưới để xem chi tiết trọn bộ ( đường link
dẫn đến file PDF: http…) có video bản word

Chủ đề 1.1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Chủ đề 1.2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Chủ đề 1.3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Chủ đề 1.4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Nhấn giữ Ctrl + Click chuột trái
vào đường link gạch chân
Chủ đề 1.5. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
dưới để XEM bản PDF đầy
đủ !...
Chuyên đề 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng dụng của đạo hàm

/>
Chuyên đề 22

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT
TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

( 180 câu giải chi tiết )
CHỦ ĐỀ 2.1. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
CHỦ ĐỀ 2.2. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Chủ đề 2.3 - ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
Nhấn giữ Ctrl + Click chuột trái
vào đường link gạch chân
dưới để XEM bản PDF đầy
Chuyên đề 2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng dụng của đạo hàm
đủ !...

/>

Chuyên đề 33


Phương trình, Bất PT mũ và logarit

( 349 câu giải chi tiết )
Chủ đề 3.1 LŨY THỪA
Chủ đề 3.2. LOGARIT
Chủ đề 3.3 HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
Chủ đề 3.4. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Chủ đề 3.5. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Chun đề 3.Phương trình, Bất PT mũ và logarit

Nhấn giữ Ctrl + Click chuột trái
vào đường link gạch chân
dưới để XEM bản PDF đầy
đủ !...

/>
Chuyên đề 44

Nguyên hàm Tích phân - Ứng dụng

( 410 câu giải chi tiết )

Chủ đề 4.1. NGUYÊN HÀM
Chủ đề 4.2. TÍCH PHÂN
Chủ đề 4.3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Nhấn giữ Ctrl + Click chuột trái
vào đường link gạch chân

dưới để XEM bản PDF đầy
đủ !...

Chuyên đề 4.Nguyên hàm Tích phân - Ứng dụng ( 410 câu giải chi tiết )
/>

CAM KẾT !
8 chuyên đề luyện thi cực hay 2018 ( File Word )
Đầy đủ các dạng bài với 2331 BÀI TẬP giải chi tiết ( chỉ 250k/ 8 CHUYÊN ĐỀ )
** Quà tặng : Bộ 50 đề thi minh họa THPT 2018 – đáp án chi tiết **
- Chế độ chữ : Times New Roman.
- Cơng thức tốn học Math Type Để các thầy cô chỉnh sửa, làm chuyên đề ôn thi, Ngân
hàng câu hỏi …
- Các đáp án A,B,C,D đều căn chỉnh chuẩn
- File khơng có màu hay tên quảng cáo.
- Về thanh tốn: nếu khơng n tâm ( sợ bị lừa ): tôi sẽ gửi trước 1 file word chun đề
nhỏ bất kì mà thầy cơ u cầu trong bản PDF xem trước .
Điện thoại hỗ trợ : 0912 801 903

Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm

Zalo: 0912 801 903
Nếu Thầy cô chưa xem được nhắn tin “ Xem 8 chuyên đề 12 + địa chỉ gmail
của thầy cô” chúng tôi sẽ gửi 8 chuyên đề bản PDF vào mail để thầy cô tham
khảo
Nhấn giữ Ctrl + Click chuột
trái vào đường link gạch chân
dưới để XEM VIDEO!...

XEM VIDEO bản word: />


Chuyên đề 55

SỐ PHỨC

( 195 câu giải chi tiết )
Chủ đề 5.1. DẠNG ĐẠI SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC
Chủ đề 5.2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC

CHỦ ĐỀ 5.3 TẬP HỢP ĐIỂM

Chuyên đề 5. Số Phức ( 195 câu giải chi tiết )

Nhấn giữ Ctrl + Click chuột trái
vào đường link gạch chân
dưới để XEM bản PDF đầy
đủ !...

/>
Chuyên đề 66

BÀI TOÁN THỰC TẾ

( 72 câu giải chi tiết )
6.1. LÃI SUẤT NGÂN HÀNG
6.2 BÀI TOÁN TỐI ƯU

Nhấn giữ Ctrl + Click chuột trái
vào đường link gạch chân
dưới để XEM bản PDF đầy

đủ !...

Chuyên đề 6. Lãi suất + bài tập THỰC TẾ ( 72 câu giải chi tiết )
/>
XEM VIDEO bản word: />

Chun đề 77

HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

( 290 câu giải chi tiết )
CHỦ ĐỀ 7.1. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
CHỦ ĐỀ 7.2. QUAN HỆ VNG GĨC. VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN
Chủ đề 7.3. KHOẢNG CÁCH – GÓC
CHỦ ĐỀ 7.4. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Chủ đề 7.5. MẶT CẦU – MẶT NÓN – MẶT TRỤ
Nhấn giữ Ctrl + Click chuột trái
vào đường link gạch chân
dưới để XEM bản PDF đầy
đủ !...

Chuyên đề 7. HH không gian ( 290 câu giải chi tiết )
/>
Chuyên đề 88

TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

( 435 câu giải chi tiết )
8.1 : TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
8.2 : PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

8.3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
8.4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
8.5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
8.6: GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

Nhấn giữ Ctrl + Click chuột trái
vào đường link gạch chân
dưới để XEM bản PDF đầy
đủ !...

Chuyên đề 8. HH tọa độ không gian ( 435 câu giải chi tiết )
/>

8 CHUYÊN ĐỀ TRỌN CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11
Giải chi tiết
** CHÀO MỪNG NGÀY NGVN 20.11**

STT

1

TÊN TÀI LIỆU

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PTLG

Giữ phím Ctrl và bấm chuột vào
đường link gạch chân bên dưới để xem
tài liệu
/> />
2


TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

3

DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN

/>
4

GIỚI HẠN

/>
5

ĐẠO HÀM

/>
6

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG

/>
7

QUAN HỆ SONG SONG

/>
QUAN HỆ VNG GĨC


/>
8

KHOẢNG CÁCH

/>
Q thầy cơ thanh tốn cho mình qua ngân hàng. Sau khi chuyển khoản, mình sẽ lập tức
gửi tài liệu cho q thầy cơ.
Nội dung: Email_- SĐT
Ví dụ: _- 0912801903
Chỉ 250.000đ/ 8 chuyên đề lớp 11 + Quà tặng
- Cơng thức tốn học Math Type Để các thầy cơ chỉnh sửa, làm chuyên đề ôn thi, Ngân
hàng câu hỏi …
- Các đáp án A,B,C,D đều căn chỉnh chuẩn


- File khơng có màu hay tên quảng cáo.
- Về thanh tốn: nếu khơng n tâm ( sợ bị lừa ): tôi sẽ gửi trước 1 file word chuyên đề
nhỏ bất kì mà thầy cơ u cầu trong bản xem trước .
Điện thoại hỗ trợ : 0912

801 903

Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm

Zalo: 0912 801 903
Nếu Thầy cô chưa xem được nhắn tin “ Xem trọn bộ 11 + địa chỉ gmail của
thầy cô” chúng tôi sẽ gửi chuyên đề vào mail để thầy cô xem tham khảo trước
khi mua tài liệu.
Ngồi ra chúng tơi cịn rất nhiều tài liệu 11, 12 khác để thầy cô tham khảo và rất

nhiều quà tặng đi kèm

9 CHUYÊN ĐỀ HHKG NÂNG CAO
Giải chi tiết
250.000đ cả bộ 9 chuyên đề
STT

TÊN TÀI LIỆU

Giữ phím Ctrl Bấm vào đường
link gạch chân bên dưới để xem tài
liệu

1

CHỦ ĐỀ 1_KHỐI ĐA DIỆN {26 Trang}
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 7-11}

/>?usp=sharing

2

CHỦ ĐỀ 2_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP {59 Trang}
Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 12-21}

/>?usp=sharing

3


CHỦ ĐỀ 3_THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ {34 Trang}
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 22-26}

/>usp=sharing

4

CHỦ ĐỀ 456_NÓN TRỤ CẦU {56 Trang}
Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 27-36}

/>usp=sharing

5

CHỦ ĐỀ 7_KHOẢNG CÁCH {68 Trang}
Tặng 12 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 37-49}

/>?usp=sharing

6

CHỦ ĐỀ 8_GÓC {21 Trang}
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 50-54}

/>usp=sharing



7

CHỦ ĐỀ 9_CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN VÀ
CÁC KHỐI LỒNG NHAU {29 Trang}
Tặng 8 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 55-63}

Điện thoại hỗ trợ : 0912

801 903

/>usp=sharing

Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm

Zalo: 0912 801 903
Nếu Thầy cô chưa xem được nhắn tin “ Xem bộ HHKG NÂNG CAO + địa chỉ
gmail của thầy cô” chúng tôi sẽ gửi chuyên đề vào mail để thầy cô xem tham
khảo trước khi mua tài liệu.
Ngồi ra chúng tơi cịn rất nhiều tài liệu 11, 12 khác để thầy cô tham khảo và rất
nhiều quà tặng đi kèm

** CHÀO MỪNG NGÀY NGVN 20.11 **
MUA NHIỀU KHUYẾN MÃI NHIỀU...