MỤC LỤC
Nội dung
I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
3. Đối tượng nghiên cứu
4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu
5. Phương pháp nghiên cứu
I. PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận
2. Thực trạng
2.1 Thuận lợi – khó khăn
2.2 Thành cơng – hạn chế
2.3 Mặt mạnh – mặt yếu
2.4 Các nguyên nhân, các yếu tố tác động ...
2.5 Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đặt ra.
3. Giải pháp, biện pháp
3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp
3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp
3.3 Điều kiện để thực hiện giải pháp, biện pháp
3.4 Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp
4. Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu
I. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
2. Kiến nghị
I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Tri thức nhân loại nói chung và kiến thức tốn học nói riêng là vơ tận. Để
chiếm lĩnh, nắm bắt kiến thức toán học một cách hiệu quả, tích cực thì cần phải có
phương pháp nghiên cứu, học tập đúng đắn, phù hợp. Một trong những phương
pháp tích cực đó là khám phá, tìm tịi từ kết quả của các bài tốn đã có. Trong q

trình dạy học Tốn nói chung, người giáo viên phải biết lựa chọn phương pháp
thích hợp để kích thích tính tích cực, tư duy sáng tạo ở học sinh. Trong thực tế hiện
nay, mỗi khi học xong bài học, giáo viên đưa ra các bài tập trong sách giáo khoa và
cho học sinh giải các bài tập đó, nếu chỉ dừng lại các bài tập đơn lẻ sẽ gây cho học
sinh sự nhàm chán trong học Tốn đặc biệt là mơn Hình học. Nếu áp dụng cách
học này sẽ khơng kích thích được tính tị mị, tư duy sáng tạo cho học sinh. Qua
nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 9, bản thân tơi nhận


thấy việc suy luận, mở rộng và phát triển các bài toán từ một bài toán cơ bản trong
sách giáo khoa sẽ kích thích cho học sinh tính sáng tạo và phát triển tư duy, học
sinh sẽ kết nối các kiến thức lại với nhau. Với cách học và cách dạy như thế sẽ
ln tạo cho học sinh tình huống có vấn đề, bắt buộc học sinh phải tìm tịi, suy
nghĩ để giải quyết các vấn đề đặt ra.
Với những lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Suy luận và phát triển các
bài toán mới từ một bài tốn cơ bản Hình học lớp 9” với mong muốn góp phần
nâng cao chất lượng bộ mơn Tốn nói chung và mơn Hình học nói riêng ở trường
THCS, giúp học sinh lớp 9 biết suy luận và phát triển được các bài toán từ cơ bản
đến nâng cao, đồng thời tôi cũng mong muốn được chia sẻ một vài kinh nghiệm
giảng dạy của mình để đồng nghiệp tham khảo, rất mong được sự đóng góp chân
thành để đề tài được phát huy hiệu quả.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:
Đề tài: “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài tốn cơ bản Hình
học lớp 9” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của bài toán, tạo cho các em
phong cách học tập chủ động và sáng tạo. Từ việc suy luận và phát triển bài tốn sẽ
có nhiều bài tốn hay được hình thành, góp phần làm cho kho tàng tốn học ngày
càng phong phú.
Giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, chủ động trong học tập để các em
ln có thể tự học và tự sáng tạo, tạo cho mình một thói quen là sau khi đã tìm
được lời giải bài tốn Hình học, dù là đơn giản hay phức tạp, từ bài tốn đã có cần

tiếp tục suy luận, đặc biệt hóa một số điều kiện hay thay đổi một số điều kiện trong
giả thiết và áp dụng kiến thức vốn có của mình để phát triển các bài tốn mới.
Từng bước giúp các em học sinh chủ động sang tạo trong việc tiếp thu kiến thức,
làm chủ tình huống, từ đó càng u thích mơn Hình học hơn.
Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh, tạo động lực thúc đẩy giúp
các em học sinh có được sự tự tin trong học tập, hình thành phẩm chất sáng tạo khi
giải tốn và niềm đam mê bộ mơn.
Góp phần nâng cao chất lượng giáo dục và hiệu quả giảng dạy,chất lượng
bồi dưỡng học sinh giỏi và phụ đạo học sinh yếu kém; phát huy được tính tích cực,
chủ động và sáng tạo của giáo viên cũng như của học sinh trong q trình dạy - học
mơn Hình học cấp THCS.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Một số suy luận từ bài tốn Hình học đã giải, phát triển thêm các bài tốn
mới, từng bước hình thành cho học sinh sự tự tin và niềm đam mê bộ môn.
4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu:
Đề tài này được nghiên cứu trong khn khổ suy luận và phát triển các bài
tốn mới từ một bài tốn Hình học cơ bản lớp 9.
Đối tượng khảo sát: học sinh lớp 9A3, 9A4 trường THCS Lê Đình Chinh, xã
Quảng Điền, huyện Krơng Ana, tỉnh ĐăkLăk.


Thời gian: Năm học 2015 - 2016
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu lí thuyết.
- Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh.
- Đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận
- Thực nghiệm giảng dạy cho học sinh lớp 9A3, 9A4 trường THCS Lê Đình Chinh,
xã Quảng Điền, huyện Krơng Ana
- Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy.
II. PHẦN NỘI DUNG

1. Cơ sở lí luận:
Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn cấp THCS tơi nhận thấy đa số học sinh
sợ học mơn Hình học, nhiều em chưa có phương pháp học phù hợp với đặc thù bộ
mơn, những em khá, giỏi cũng ít hứng thú với mơn Hình học. Có rất nhiều ngun
nhân, trong đó có thể xem xét một số nguyên nhân cơ bản sau:
- Đặc thù của mơn Hình học là mọi suy luận đều có căn cứ, để có kĩ năng
này học sinh không chỉ phải nắm vững kiến thức cơ bản mà cịn phải có kĩ năng
trình bày suy luận một cách logic, kĩ năng này đối với học sinh là tương đối khó.
Đứng trước một bài tốn Hình học các em thường khơng biết bắt đầu từ đâu, trình
bày chứng minh như thế nào.
- Trong quá trình dạy học, giáo viên đơi khi cịn xem nhẹ hoặc chưa chú
trọng việc nâng cao, mở rộng, phát triển các bài toán đơn giản ở sách giáo khoa
hoặc chưa thực sự đầu tư vào lĩnh vực này. Vì thế, chưa tạo được hứng thú cho học
sinh qua việc phát triển vấn đề từ bài toán cơ bản.
Để giải quyết vấn đề trên, trong quá trình giảng dạy giáo viên cần chú trọng
các bài toán ở sách giáo khoa, biết phát triển các bài toán đơn giản đã gặp để tăng
vốn kinh nghiệm vừa phát triển năng lực tư duy toán học vừa có điều kiện để tăng
khả năng nhìn nhận vấn đề mới từ cái đơn giản đã có, từ đó hình thành phẩm chất
sáng tạo khi giải toán sau này. Việc phát triển một bài toán phù hợp với từng đối
tượng học sinh là rất cần thiết và quan trọng, nó vừa đảm bảo tính vừa sức và là
giải pháp có hiệu quả cao trong việc giải tốn vì nó khơng tạo cho học sinh sự nhụt
chí mà là động lực thúc đẩy giúp cho học sinh có sự tự tin trong q trình học tập,
bên cạnh đó cịn phát huy được khả năng sáng tạo, phát triển khả năng tự học, hình
thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, kích thích tị mị ham tìm hiểu và đem
lại niềm vui cho các em, từ đó các em yêu thích và đam mê bộ mơn hơn.
2. Thực trạng:
2.1 Thuận lợi, khó khăn:
Thuận lợi:
Điều kiện kinh tế của địa phương ngày càng phát triển, nhiều cha mẹ học
sinh đã có sự đầu tư, quan tâm nhiều đến việc học của học sinh. Mơn Tốn là một



trong những môn học ngày càng được học sinh và cha mẹ học sinh quan tâm nhiều
hơn.
Nội dung ở sách giáo khoa Tốn 9 được biên soạn khá cơng phu, hệ thống
kiến thức trình bày khoa học, phù hợp với đối tượng học sinh. Đặc biệt hệ thống
bài tập trong sách giáo khoa phong phú và hết sức cơ bản, được chọn lọc kĩ, có
nhiều bài tập được viết dưới dạng mở chứa nhiều vấn đề để suy luận, khai thác và
phát triển, tạo điều kiện thuận lợi để học sinh và giáo viên khai thác, tìm tịi thêm
các bài toán mới nhằm phát huy sự sáng tạo trong giảng dạy và học tập.
Khó khăn:
Một số gia đình học sinh hồn cảnh cịn khó khăn, chưa thực sự quan tâm
đến việc học của con em mình dẫn đến ảnh hưởng không nhỏ đến việc đầu tư thời
gian, vật chất, tinh thần cho con em học tập.
Đa số học sinh chưa hứng thú khi học Hình học, bởi vì các bài tốn trong
phân mơn Hình học rất đa dạng và khá trừu tượng, mỗi bài tốn có thể có nhiều
cách giải khác nhau, để chứng minh được bài tốn Hình học thì học sinh phải vận
dụng các định lí, các tiên đề đã được học một cách linh hoạt. Thế nhưng, tất cả
kiển thức cơ bản đã học hầu như các em đã bị quên ngay từ ở lớp dưới.
2.2 Thành cơng, hạn chế:
Thành cơng:
Chất lượng đại trà mơn Tốn tương đối tốt, tăng từng năm, có nhiều học sinh
tham gia thi học sinh giỏi văn hóa, thi giải tốn qua mạng internet đạt kết quả cao.
Công nghệ thông tin ngày một thịnh hành, thuận lợi cho học sinh tìm tịi,
nghiên cứu và mở rộng kiến thức.
Hạn chế:
Trước khi chưa áp dụng đề tài vào giảng dạy tôi nhận thấy đa số học sinh
còn bộc lộ hạn chế sau đây:
- Đa số học sinh chưa thực sự hứng thú học tập mơn Hình học, sau khi tìm
được lời giải đúng cho một bài tốn thì các em hài lịng và dừng lại mà khơng tư

duy tìm ra cách giải khác và cũng khơng khai thác thêm bài tốn, khơng có sự sáng
tạo gì thêm trong q trình học tập bộ mơn Hình học. Do đó tính tích cực, chủ
động, sáng tạo của bản thân còn nhiều hạn chế và hiệu quả học tập chưa cao.
- Học sinh còn yếu về kỹ năng phân tích đa chiều một bài tốn, chưa biết
khai thác và tổng qt hóa bài tốn đã cho.
2.3 Mặt mạnh, mặt yếu:
Mặt mạnh:
Công nghệ thông tin ngày một phát triển, có nhiều phần mềm trình chiếu
phục vụ cho tiết dạy khiến tiết dạy sinh động hơn sẽ kích thích trí tị mị và tăng
hứng thú học tập cho học sinh.
Nhiều cuộc thi Toán học được tổ chức hàng năm như: cuộc thi học sinh giỏi
văn hố mơn Tốn, giải tốn trên máy tính cầm tay CasiO, giải tốn trên mạng


Internet, ... là những sân chơi bổ ích góp phần rất lớn trong việc thu hút và lôi cuốn
học sinh đến với Toán học.
Mặt yếu:
Nhiều học sinh bị mất kiến thức ngay từ lớp dưới, chưa nắm được kiến thức cơ bản
của hình học nên rất khó khăn trong việc phân tích tìm lời giải, khả năng tư
duy, kỹ năng vẽ hình và trình bày bài giải chưa tốt
Học sinh còn thụ động khi tiếp thu kiến thức, khả năng tư duy tốn học ở
học sinh cịn mờ nhạt, nhiều em học không đi đôi với hành, làm cho bản thân ít
được củng cố, khắc sâu kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp
thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân khơng được phát huy hết.
2.4 Các nguyên nhân, các yếu tố tác động:
- Học sinh cịn yếu về khả năng phân tích bài tốn để tìm lời giải.
- Học sinh khơng nhớ những kiến thức Hình học đã được lĩnh hội ở các lớp
dưới nên khả năng vận dụng kiến thức vào giải một bài tốn cịn hạn chế.
- Sự hứng thú, tính tích cực của học sinh với mơn Hình học chưa cao.
- Đa số học sinh chưa có thói quen khai thác bài tốn đã giải, chưa có tính

sáng tạo trong giải tốn, khả năng vận dụng kiến thức cịn chưa linh hoạt.
- Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa cịn ít, vì vậy học sinh chưa có thời
gian để ơn tập, giải bài tập nhiều.
2.5 Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:
Hình học là một mơn học khó đối với học sinh, đặc biệt là học sinh trung
bình, yếu, kém. Đa số học sinh sợ học mơn Hình học, khả năng tư duy, phân tích
tổng hợp của học sinh cịn hạn chế, nhiều học sinh khơng xác định được bài tốn,
khơng vẽ được hình hoặc vẽ hình khơng chính xác nên rất khó khăn trong q trình
chứng minh. Với đặc thù của phân mơn Hình học là mọi suy luận đều phải có căn
cứ, địi hỏi học sinh phải có kĩ năng trình bày suy luận một cách logic. Kĩ năng này
đối với học sinh thì tương đối khó, vì mức độ ghi nhớ các kiến thức Hình học từ
những lớp dưới của nhiều học sinh còn hạn chế. Do đó khi gặp một bài tốn Hình
học học sinh thường khơng biết bắt đầu từ đâu, trình bày chứng minh như thế nào.
Chính vì thế mà việc giúp HS nắm vững kiến thức, hiểu một vấn đề theo nhiều
khía cạnh khác nhau, vận dụng linh hoạt các kiến thức vào làm bài tập, tạo niềm
say mê, hứng thú học Tốn nói chung và Hình học nói riêng cho các em học sinh là
rất quan trọng đối với người giáo viên.
Để giúp học sinh học tập tốt mơn Hình học, hãy bắt đầu bằng những bài tập
trong sách giáo khoa và đừng quên khai thác bài toán sau khi giải. Với đề tài nghiên
cứu: “Suy luận và phát triển các bài tốn mới từ một bài tốn cơ bản Hình học lớp
9” sẽ đáp ứng được phần nào yêu cầu này, bên cạnh đó cịn góp phần nâng cao kiến
thức, tư duy tốn học, khả năng phân tích và suy luận cho học sinh, đồng thời khơi
dậy cho các em sự tự tin trong học tập và niềm đam mê bộ môn.


Mỗi bài tốn đưa ra trong đề tài đều có phân tích cụ thể, định hướng chứng
minh, chỉ ra được kiến thức cần vận dụng để chứng minh bài toán, sau khi trình
bày lời giải đều có những nhận xét từ các kết quả có được của bài tốn và đề xuất
các bài tốn mới. Qua đó, củng cố, khắc sâu, mở rộng và nâng cao kiến thức cho
học sinh, giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo

trong giải Tốn, đồng thời giúp học sinh tự tin hơn, thích thú hơn với phân mơn
Hình học
Đề tài này được lồng ghép vào các tiết luyện tập, ôn tập chương, các tiết ôn
tập học kì , các tiết phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Sau khi áp dụng đề tài nhìn chung học sinh nắm vững kiến thức cơ bản, các
em đã hứng thú hơn trong học tập, nhìn nhận bài tốn một cách rộng hơn, u thích
bộ mơn hơn và đặc biệt nhiều em đã có phương pháp tự học tốt, biết cách phát
triển bài toán và tự tin hơn khi học Hình học.
3. Giải pháp, biện pháp:
3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:
Đề tài: “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài tốn Hình học cơ
bản lớp 9” nhằm mục đích giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của bài toán,
tạo cho các em phong cách học tập chủ động và sáng tạo. Từ việc suy luận và phát
triển bài tốn sẽ có nhiều bài tốn hay được hình thành, góp phần làm cho kho tàng
tốn học ngày càng phong phú.
3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:
Việc suy luận và phát triển một bài toán Hình học có thể theo nhiều hướng
khác nhau. Tuy nhiên, trong phạm vi đề tài này tôi chỉ nghiên cứu việc khai thác
thêm các kết quả có thể có được của bài toán và đề xuất các bài toán mới nhằm rèn
luyện khả năng sáng tạo cho học sinh, giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy
tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong giải toán, đồng thời giáo dục lịng say mê
học Tốn cho học sinh. Đề tài này khơng đề cập nhiều đến việc hình thành kĩ năng
giải toán cho học sinh mà quan tâm đến hướng khai thác, suy luận để phát triển bài
toán. Bắt đầu từ bài toán cơ bản và quen thuộc sau:
a) Bài toán 1: ( Bài tập 11 trang 104 - SGK Tốn 9 tập 1)
Cho đường trịn (O) đường kính AB, dây CD khơng cắt đường kính AB. Gọi H
và K theo thứ tự là chân các đường vng góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh
rằng: CH = DK. Gợi ý: Kẻ OM vng góc với CD.
Giải:
GT

Đường trịn (O) đường kính AB; dây CD; CD
AH CD (H CD);
BK CD (K CD)
KL
CH = DK

AB = ;


Hướ ng dẫn chứng minh: Kẻ OM
CD (M CD)
Hướ ng dẫn học sinh phân tích theo sơ đồ sau: CH = DK
MH – MC = MK – MD
MH = MK ; MC = MD
Ta có: MH = MK vì AHKB là hình thang, hình thang này có O AB, OA = OB,
OM//AH//BK
Ta cũng có: MC = MD vì OM
CD (Quan hệ vng góc giữa đường kính và
dây).
Chứng minh:
AH CD và BK
CD (gt)
AH // BK
AHKB là hình thang
Kẻ OM
CD (M CD)
MC = MD (1) (Quan hệ giữa đường kính và dây)
Xét hình thang AHKB có O AB, OA = OB (Bán kính); OM//AH//BK (cùng
vng góc với CD)
MH = MK (2)

Từ (1 ) và (2) ta có: MH – MC = MK – MD hay CH = DK
Suy luận và phát triển các bài toán mới từ bài toán 1:
* Nhận xét 1.1: Từ việc vẽ OM
CD ta có MH = MK ta nhận thấy rằng:

Hay
Kẻ MM’
Vì

AB (M’

AB)

nên HK.OM = AB.MM’ (1)

M ặt khác, ta có OM là đường trung bình c ủa hình thang AHBK nên


(2)
Từ (1 ) và (2) ta có:
Vẽ thêm CC’ AB, DD’

AB (C’, D’

AB), ta có:

MM’ là đường trung bình của hình thang CDD’C’

Qua nhận xét 1.1, ta có bài tốn khó hơn bài tốn 1 như sau:
Bài tốn 1.1: Cho đường trịn (O) đường kính AB, dây CD khơng cắt đường kính

AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vng góc kẻ từ A và B đến CD.

Chứng minh rằng:
* Nhận xét 1.2:
Từ bài toán 1, nếu giả thiết dây CD khơng cắt đường kính AB được thay thế bằng giả thiết dây C
Thật vậy, để chứng minh CH = DK ta chứng minh CD và HK có chung trung điểm.
Qua O vẽ đường thẳng song song với BK và AH, cắt CD và AK lần lượt tại I và F.
Vì OI // BK mà BK
CD nên OI CD

IC = ID (1) (Quan hệ vng góc giữa đường kính và dây)
có O AB, OA = OB và OF // BK
FK = FA
có F KA, FK = FA (chứng minh trên) và FI // AH
IH = IK (2)
Từ (1 ) và (2) ta có: IC – IH = ID – IK hay CH = DK
Từ nhận xét 1.2 ta có bài tốn 1.2 như sau:
Bài tốn 1.2: Cho đường trịn (O) đường kính AB, dây CD cắt AB tại G. Gọi H và
K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD. Chứng minh: CH = DK.
* Nhận xét 1.3:


Từ bài toán 1, nếu sử dụng phương pháp phản chứng ta sẽ chứng minh được H và K ở bên ngồ
Xét
ta có:
Mà

(theo giả sử)

Tổng các góc trong của

lớn hơn
. Điều này vơ lí.
Vậy H’ phải nằm ngồi đường trịn (O)
H nằm ngồi đường trịn (O)
Chứng minh tương tự đối với điểm K
Từ nhận xét 1.3 ta có bài tốn 1.3 như sau:
Bài tốn 1.3: Cho đường trịn (O) đường kính AB, dây CD khơng cắt đường kính
AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD.
Chứng minh rằng: H và K ở bên ngoài (O)
* Nhận xét 1.4: Ở bài toán 1, để chứng minh CH = DK ta chứng minh hai đoạn
thẳng CD và HK có chung trung điểm bằng cách vận dụng định lí : "Đường kính
vng góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy” và định lí : "Đường thẳng
đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua
trung điểm của cạnh bên thứ hai”. Với ý tưởng này, ta xây dựng một bài tốn mà
cách giải hồn tồn tương tự như cách giải của bài toán 1:
Bài toán 1.4: Cho đường trịn O đường kính AB, dây CD khơng cắt đường kính.
Qua C và D kẻ các đường vng góc với CD lần lượt cắt AB tại H và K. Ch ứng
minh rằng AH = BK.
Giải:
GT
Đường trịn (O) đường kính AB; dây CD; CD
CH CD (H AB);
DK CD (K AB)
KL
AH = BK

Hướng dẫn chứng minh: Hướng dẫn học sinh phân tích theo sơ đồ sau:
AH = BK

AB = ;



OA - OH = OB – OK
OA = OB; OH = OK
Ta có OA = OB (Bán kính)
Để chứng minh OH = OK ta kẻ OI
CD(I CD)
IC = ID (Quan hệ vng
góc giữa đường kính và dây). Tiếp tục vận dụng định lí : "Đường thẳng đi qua
trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung
điểm của cạnh bên thứ hai” để có OH = OK.
Chứng minh: HC CD và KD
CD (gt)
HC // KD
CDKH là hình thang
Kẻ OI CD (I CD)
IC = ID (Quan hệ vng góc giữa đường kính và dây)
Xét hình thang CDKH có IC = ID (Chứng minh trên);
OI//HC//KD (cùng vng góc với CD)
OH = OK (1)
Lại có : OA = OB (2) (Bán kính)
Từ (1 ) và (2) ta có OA - OH = OB – OK Hay AH = BK
b) Bài toán 2: ( Bài tập 30 trang 116 - SGK toán 9 tập 1)
Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vng góc với AB
(Ax, By và của đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M
thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn, nó cắt Ax
và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng: a)
b) CD = AC + BD
c) AC.BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn.
Giải:

nửa (O;R); AB = 2R ; Ax
GT

Mz

KL

AB; By AB; M nửa(O;R); M

By=

a)
b) CD = AC + BD
c) AC.BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn

Hướng dẫn chứng minh:
Ở câu a) để chứng minh
= 90 ta cần chứng minh OC và OD là các tia phân
giác của hai góc kề bù AOM và BOM
0


Ở câu b) ta nhận thấy rằng CD = CM + MD. Do đó để chứng minh CD = AC + BD
ta cần chứng minh CM = AC và MD = BD.
Ở câu c) ta có AC.BD = CM.MD (theo chứng minh trên).
Do đó để chứng minh AC.BD khơng đổi khi M di động trên nửa đường tròn ta cần
chứng minh CM.MD không đổi khi M di động trên nửa đường trịn
Chứng minh:
a) Ta có OC và OD là các tia phân giác của hai góc kề bù AOM và BOM (tính chất
hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó OC OD

= 90 .
b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CM = AC, DM = AD.
Do đó CD = CM + DM = AC + BD.
c) Ta có AC.BD = CM.MD
Xét COD vng tại O và OM CD nên CM.MD = OM = R (R là bán kính của
đường trịn O) AC.BD khơng đổi khi M di động trên nửa đường tròn.
Suy luận và phát triển các bài toán mới từ bài toán 2:
* Nhận xét 2.1:
Chu vi tứ giác ABDC nhỏ nhất AC + AB + BD + CD nhỏ nhất
AC + BD + CD nhỏ nhất
2CD nhỏ nhất CD nhỏ nhất
CD // AB M là giao điểm nửa đường tròn tâm O và trung trực của AB. (hay
M là điểm chính giữa của cung AB)
Vậy nếu M là điểm chính giữa của cung AB thì tứ giác ABDC có chu vi nhỏ nhất.
Qua nhận xét 2.1, ta có bài tốn 2.1:
Bài tốn 2.1: Thêm vào bài tốn 2 câu d: Xác định vị trí của điểm M để chu vi tứ
giác ABDC nhỏ nhất.
* Nhận xét 2.2:
Nếu gọi N là giao điểm của BC và AD, ta chứng minh được MN//AC (MN//BD)
Thật vậy:
Ta có AC//BD (gt)
Xét
có AC//BD
0

2

2

(1) (Định lí Talet)

Vì CA, CM là tiếp tuyến của nửa (O) nên CM = CA (2)
Tương tự ta có DB = DM (3)
Từ (1), (2) và (3)
MN//BD (AC//BD)

MN//AC (Theo định lí ta lét đảo)

Qua nhận xét 2.2, ta có bài tốn 2.2:


Bài toán 2.2: Thêm vào bài toán 2 câu e: Gọi N là giao điểm của BC và AD. Chứng
minh rằng: MN//AC (MN//BD)
* Nhận xét 2.3:
Sau khi c/m được MN//AC ta có thể có thêm yêu cầu đối với học sinh trung bình là
chứng minh CD.MN = CM.DB
Chứng minh: Theo chứng minh trên MN//AC
CD.MN = CM.DB
Bài toán 2.3: Thêm vào bài toán 2 câu f: Chứng minh rằng: CD.MN = CM.DB
* Nhận xét 2.4:
Từ bài toán 2, nếu cải tiến một chút thì ta có bài tốn mới như sau:
Bài tốn 2.4: (Trích đề kiểm tra học kì I của phịng GD & ĐT Krơng Ana năm học
2011 - 2012)
Cho
vng ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Kẻ các tiếp
tuyến BD, CE (D, E là các tiếp điểm).
a) BC có phải là tiếp tuyến của đường trịn (A; AH) hay khơng? Vì sao?
b) Chứng minh rằng ba điểm D, A, E thẳng hàng;
c) DE là tiếp tuyến của đường trịn đường kính BC.
Chứng minh:
a) BC là tiếp tuyến của đường trịn

(A; AH) vì H BC; H (A; AH) và AH BC (gt)
b) Ta có:
mà

;

(tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.

c) Vì D, A, E thẳng hàng nên A

DE (1)

Gọi O là trung điểm của BC. Ta có AO =

BC (tính chất đường trung tuyến trong

tam giác vng)
A (O;
) (2)
Mặt khác, ta có: BD DE; CE DE (tính chất tiếp tuyến) BCED là hình thang
Lại có: AD = AE; OB = OC OA // BD mà BD DE nên OA DE (3)


Từ (1), (2), (3) ta có DE là tiếp tuyến của đường trịn đường kính BC.
c) Bài tốn 3: ( Bài tập 39 trang 123 - SGK toán 9 tập 1)
Cho hai đường trịn (O) và (O’) tiếp xúc ngồi tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
BC
, tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại

I. Chứng minh rằng:
a)
b) Tính số đo góc IOI’
c) Tính độ dài BC biết OA = 9cm; OA’ = 4cm
Giải:

O) tiếp xúc ngoài (O’) tại A; BC là tiếp tuyến chung ngoài;
OA = 9cm, O’A = 4cm.

GT

a)
b)
c) BC = ?

KL

Hướng dẫn chứng minh: Ở câu a) để chứng minh
đồ:

ta phân tích theo sơ

ABC vuông tại A
AI = BI = CI
Ở câu b) vận dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất hai tia phân giác
của hai góc kề bù.
Ở câu c) Để tính BC trước hết ta tính IA vì BC = 2IA. Cách tính: IA = OA.AO’
Chứng minh: a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: IB = IA và IA = IC.
2


ABC có trung tuyến AI bằng
nên ABC vng tại A
b) Ta có IO là tia phân giác góc BIA, IO’ là tia phân giác của góc AIC. (Tính chất
hai tiếp tuyến cắt nhau) mà
và
là hai góc kề bù nên
c) Xét vng OIO’ có IA OO’ nên IA = OA.AO’ (hệ thức lượng trong
Do đó IA = 9.4 = 36
IA = 6cm. Khi đó BC = 2IA = 2.6 =12cm.
Suy luận và phát triển các bài tốn mới từ bài tốn 3:
2

2

vng)


* Nhận xét 3.1: Nếu hai đường tròn (O) và (O’) khơng tiếp xúc ngồi tại A mà hai
đường trịn đó ở ngồi nhau thì có chứng minh được
Ta có:
và
mà

hay khơng?

(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
(vì OB//O’C)

có


Qua nhận xét trên, ta có bài tốn sau:
Bài tốn 3.1: Cho hai đường trịn (O) và (O’) ở ngồi nhau. Kẻ tiếp tuyến chung
ngoài BC,
,
, đoạn nối tâm OO’ cắt các đường tròn (O) và (O’) lần
lượt tại D và E, các đường thẳng BD và CE cắt nhau tại A. Chứng minh rằng:
a)
b) AD. AC = AE . AC
c) Tứ giác BCED nội tiếp
Giải: a) Chứng minh như nhận xét 3.1
(vì cùng phụ với

b) Ta có:

(vì
Mà
Do đó :
và

)

cân tại O’)
(đối đỉnh)

có:

(chứng minh trên)
chung

(g.g)

c) Theo câu b) ta có:
* Nhận xét 3.2:
Nếu hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau thì kết luận
khơng?
Ta có:

Tứ giác BCED nội tiếp
có cịn đúng


và
(theo tính chất của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
Mà
(vì OB//O’C)
hay
có

Qua nhận xét trên, ta có bài tốn 3.2:
Bài tốn 3.2: Cho hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm M và N. Kẻ
tiếp tuyến chung ngoài BC,
, đoạn nối tâm OO’ cắt các đường tròn
(O) và (O’) lần lượt tại D và E, các đường thẳng BD và CE cắt nhau tại A. Chứng
minh rằng:
a)
b) Tứ giác BCDE nội tiếp
c) AB.AD = AC.AE
Giải: a) Chứng minh như nhận xét 3.2
b)

(vì cùng phụ với


) mà

(vì

cân tại O’)

hay
Tứ giác BCDE có hai đỉnh B và E cùng nhìn cạnh CD dưới một góc bằng nhau
nên nội tiếp được trong một đường trịn.
c)
và
có:
(theo chứng minh câu b)
(đối đỉnh)
(g.g)
d) Bài toán 4: ( Bài tập 95 trang 105 - SGK toán 9 tập 2)
Các đường cao hạ từ đỉnh A và B của
cắt nhau tại H (
đường tròn ngoại tiếp
lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a) CD = CE
b)
cân
c) CD = CH
Giải:

) và cắt



GT
KL

;
; đường tròn (O) ngoại tiếp
AD BC ; D (O);
BE AC ; E (O);
a) CD = CE
b)
cân
c) CD = CH

;

Chứng minh:
Gọi M là giao điểm của AD và BC, N là giao điểm của BE và AC
a) Ta có:
và
mà
(đối đỉnh)
(các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau)
CD = CE (liên hệ giữa cung và dây)
b) Ta có
(chứng minh trên)
(hệ quả góc nội tiếp)
cân (vì có BM vừa là đường cao vừa là đường phân giác)
c) Ta có
cân tại B BC là đường trung trực của HD (vì BC chưa BM)
CD = CH (tính chất đường trung trực)
Suy luận và phát triển các bài toán mới từ bài tốn 4:

* Nhận xét 4.1:
Ta có CH là đường cao của
nên ta kẻ đường cao CH cắt AB tại Q và cắt đường trịn ngoạ
Từ câu a) ta có CD = CE
FC là tia phân giác của
.
Tương tự ta cũng có DA là tia phân giác của

Từ nhận xét 4.1 ta có bài tốn sau:
Bài tốn 4.1:

và EB là tia phân giác của

H là tâm đ


Các đường cao hạ từ đỉnh A, B, C của
cắt nhau tại H (
) và cắt đường
tròn ngoại tiếp
lần lượt tại D, E, F. Chứng minh rằng: H là tâm đường tròn nội
tiếp
* Nhận xét 4.2:
Từ câu b) và c) của bài tốn 3 ta có BD = BH, CD = CH
Tương tự ta cũng có
,
Các đường trịn ngoại tiếp
,
,
có bán kính bằng bán kính của

đường trịn ngoại tiếp
.
Từ nhận xét 4.2 ta có bài tốn 4.2
Bài tốn 4.2: Cho
có ba góc nhọn nội tiếp trong đường trịn tâm O và H là
trực tâm của
. Chứng minh rằng: Các đường trịn ngoại tiếp
,
,
có bán kính bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp
.
* Nhận xét 4.3:
Từ câu a) của bài tốn 3 ta có CD = CE. Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp
thì OC là đường trung trực của ED
Dễ dàng chứng minh được tứ giác ABMN nội tiếp đường trịn đường kính AB
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
Mặt khác, ta có:
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD)
MN//DE

Từ nhận xét trên, ta có thêm bài tốn sau:
Bài tốn 4.3:
Cho
có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường cao
AM, BN, CQ cắt nhau tại H và lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp
tại D, E, F
(M BC, N AC, Q AB). Chứng minh rằng: MN//DE
* Nhận xét 4.4:



Từ bài toán 3, nếu gọi P là trung điểm của BC, T là điểm đối xứng với H qua P. Khi đó tứ giác B
Tương tự, ta chứng minh được
Tứ giác ABTC có
Tứ giác ABTC nội tiếp đường trịn (O)

Từ nhận xét trên, ta có thể khai thác thêm bài tốn sau:
Bài tốn 4.4:
Cho
có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường cao
AM, BN, CQ cắt nhau tại H (M BC, N AC, Q AB). Gọi P là trung điểm của
BC, T là điểm đối xứng với H qua P. Chứng minh rằng: Tứ giác ABTC nội tiếp
được trong một đường tròn
e) Một số bài toán tham khảo:
Bài 1 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2004 – 2005):
Cho tam giác ABC có AB < AC nội tiếp trong một đường tròn (O). Trên cung
nhỏ AC lấy một điểm E sao cho
1) Chứng minh AE song song với BC
2) Kẻ đường cao AK (
) kéo dài AK cắt (O) tại D. Chứng minh:
a) Ba điểm E, O, D thẳng hàng.
b)
3) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, giả sử AH = BC. Tính
Bài 2 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2005 – 2006):
Cho tam giác ABC khơng cân có ba góc nhọn, M là trung điểm của BC, AD là
đường cao. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ B và C xuống
đường kính AA’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a) Chứng minh:
b) Chứng minh: DE vng góc với AC và MN là đường trung trực của DE
(với N là trung điểm của AB)
c) Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp

Bài 3 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2007 – 2008):
Cho đường trịn tâm O bán kính R có hai đường kính AB và CD vng góc với
nhau. Lấy điểm E trên đoạn AO sao cho
tròn tâm O đã cho ở M.

, đường thẳng CE cắt đường


1/ Chứng minh tứ giác OEMD nội tiếp được trong một đường trịn. Tính bán
kính đường trịn đó theo R.
2) Trên tia đối của MC lấy điểm F sao cho MF = MD. Chứng minh:
.
3) Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt các đường thẳng OA và
OD lần lượt ở P và Q. Chứng minh:
.
Bài 4 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2008 – 2009):
Cho đường trịn (O), hai đường kính AB và CD vng góc với nhau. M là một
điểm trên cung nhỏ AC. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M cắt tia DC tại S. Gọi I
là giao điểm của CD và MB.
1) Chứng minh tứ giác AMIO nội tiếp trong một đường tròn.
2 Chứng minh:
và
3) MD cắt AB tại K. Chứng minh DK.DM không phụ thuộc vị trí M trên
cung nhỏ AC
Bài 5 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2009 – 2010):
Cho tam giác vuông cân ADB (DA = DB) nội tiếp trong trong đường trịn (O).
Dựng hình bình hành ABCD, gọi H là chân đường vng góc kẻ từ D đến AC, K là
giao điểm của AC với đường tròn (O). Chứng minh rằng:
1) HBCD là một tứ giác nội tiếp.
2)

3)
Bài 6 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2010 – 2011):
Cho nửa đường tròn (O) và đường kính AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung
AB, P là một điểm thuộc cung MB (P không trùng với M và B), đường thẳng AP cắt
đường thẳng OM tại C, đường thẳng OM cắt đường thẳng BP tại D.
1) Chứng minh OBPC là một tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh hai tam giác BDO và CAO đồng dạng.
3) Tiếp tuyến của nửa đường tròn ở P cất CD tại I. Chứng minh I là trung
điểm của đoạn thẳng CD.
Bài 7 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2011 – 2012):
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao
BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Đường thẳng BD cắt đường tròn
(O) tại điểm thứ hai P; đường thẳng CE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai
Q. Chứng minh:
1) BEDC là tứ giác nội tiếp.
2) HQ. HC = HP. HB
3) Đường thẳng DE song song với đường thẳng PQ.
4) Đường thẳng OA là đường trung trực của đoạn thẳng PQ.
Bài 8 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2012 – 2013):


Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Hai
tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D, E
là trung điểm đoạn AD, EC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh
rằng:
1. Tứ giác OEBM nội tiếp.
2) MB = MA.MD.
2

3)

.
4) BF // AM.
Bài 9 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2013 – 2014):
Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường
tròn, M là một điểm trên đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M của đường
tròn cắt Ax, By lần lượt tại P, Q.
1) Chứng minh rằng: Tứ giác APMO nội tiếp.
2) Chứng minh rằng: AP + BQ = PQ.
3) Chứng minh rằng:
4) Khi điểm M di động trên đường tròn (O), tìm vị trí của M sao cho diện
tích tứ giác APQB nhỏ nhất.
Bài 10 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2014 – 2015):
Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Lấy điểm M tùy ý thuộc đoạn HC ( M
không trùng với H, C). Hình chiếu vng góc của M lên các cạnh AB, AC lần lượt
là P và Q.
1) Chứng minh rằng APMQ là tứ giác nội tiếp và xác định tâm O của đường
tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ.
2) Chứng minh rằng : BP. BA = BH. BM.
3) Chứng minh rằng : OH vng góc PQ.
4) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên HC thì MP + MQ khơng đổi.
3.3 Điều kiện để thực hiện giải pháp, biện pháp:
Các giải pháp, biện pháp đã nêu trong để tài này được thực hiện trên cơ sở
lồng ghép vào các tiết luyện tập, các tiết ôn tập chương, các tiết ôn tập học kì, các
tiết phụ đạo và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Hệ thống bài tập trong sách giáo khoa bộ môn Hình học 9 hết sức cơ bản,
được chọn lọc kĩ, chứa nhiều vấn đề để chúng ta có thể học tập, khai thác và phát
triển. Do dó, để giúp học sinh học tập tốt mơn tốn nói chung và mơn Hình học nói
riêng hãy bắt đầu bằng những bài tập trong sách giáo khoa và nhớ đừng quên khai
thác và phát triển bài toán sau khi giải.
Việc suy luận và phát triển bài tốn Hình học mang lại cho học sinh nhiều

điều thú vị và sâu sắc, giúp học sinh có thói quen đào sâu kiến thức, gợi nhớ lại
kiến thức cũ, phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, rèn kĩ
năng tự học, tự khám phá kiến thức, tạo niềm đam mê bộ môn Hình học.


3.4 Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp:
Để thực hiện có hiệu quả các giải pháp, biện pháp như đã nêu trong đề tài này,
trước hết học sinh phải được trang bị tốt kiến thức cơ bản. Trong quá trình dạy học,
giáo viên cần chú trọng khai thác và mở rộng các bài toán ở sách giáo khoa một
cách hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh biết nhìn nhận bài tốn dưới nhiều góc độ
khác nhau.
Trong q trình áp dụng các giải pháp, biện pháp nói trên vào thực tiễn
giảng dạy, giáo viên phải thường xuyên đưa học sinh vào các tình huống có vấn đề
các em tư duy, tự tìm tịi kiến thức mới qua mỗi bài toán. Tuy nhiên, cần chú ý phát
triển bài toán sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh để đảm bảo tính vừa
sức cho học sinh, đồng thời giáo viên nên thường xuyên động viên, khích lệ, biểu
dương sự cố gắng của học sinh, trân trọng thành quả đạt được của các em dù là rất
nhỏ tạo động lực thúc đẩy giúp học sinh tự tin trong học tập, hình thành cho học
sinh niềm đam mê bộ mơn.
4. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu:
-Kết quả khảo nghiệm:
Đề tài này được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy các lớp 9A ; 9A và bồi dưỡng
học sinh giỏi khối 9 tại trường THCS Lê Đình Chinh. Sau khi áp dụng đề tài đã
góp phần nâng cao chất lượng đại trà mơn hình học, cơ bản học sinh đã biết suy
luân để phát triển bài tốn và đặc biệt, nhiều em đã có sự hứng thú học tập và tiếp
thu bài tốt, chất lượng các bài kiểm tra Hình học đã được nâng lên rõ rệt, bên cạnh
đó đề tài này cũng đã góp phần nâng cao chất lượng mũi nhọn trong nhà trường.
Cụ thể:
* Về chất lượng đại trà:
Chất lượng học sinh khi chưa áp dụng đề tài:

3

LỚP
9A
9A
Chất lượng học sinh khi đã áp dụng đề tài:
3
4

4

SĨ SỐ
30
28

LỚP
SĨ SỐ
9A
30
9A
28
* Về chất lượng mũi nhọn:
Trong năm học 2014 – 2015 tôi đã vận dụng đề tài này vào việc bồi dưỡng
học sinh giỏi khối 9 với kết quả đạt được như sau:
- Học sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh mơn Tốn 9: Đạt 1 giải khuyến khích: Em Nguyễn
Lam Phương lớp 9A4
3
4



- Học sinh giỏi văn hóa cấp huyện mơn Tốn 9: Đạt 1 giải nhì: Em Nguyễn Lam
Phương lớp 9A4 và đạt 1 giải ba: : Em Nguyễn Lê Huy lớp 9A4
- Học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn Casio lớp 9: Đạt 2 giải khuyến khích: Em
Nguyễn Lam Phương, em Nguyễn Lê Huy lớp 9A4 và công nhận học sinh giỏi em
Nguyễn Hoàng Minh lớp 9A2.
-Giá trị khoa học:
Việc suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài tốn cơ bản Hình học
lớp 9 giúp cho học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của bài toán, mang đến cho học
sinh nhiều điều thú vị và sâu sắc. tạo cho các em phong cách học tập chủ động và
sáng tạo. Với kết quả đạt được như đã thống kê ở trên tuy chưa cao nhưng phần
nào cũng đã góp phần khơi dậy niềm say mê trong học tập của các em học sinh.
Tôi hy vọng rằng từ việc khai thác và phát triển bài toán sẽ có nhiều bài tốn hay
được hình thành, góp phần làm cho kho tàng toán học ngày càng phong phú.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận:
Khi nghiên cứu đề tài: “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài
tốn cơ bản Hình học lớp 9” tơi thấy việc áp dụng vào giảng dạy rất có hiệu quả,
học sinh có sự hứng thú trong q trình tiếp thu kiến thức, cơ bản các em đã biết
cách phát triển bài toán, biết tự đặt ra các bài toán mới, học sinh nắm chắc kiến
thức cũ hơn, biết sử dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức; các kĩ năng giải toán đã
học vào từng dạng bài tập cụ thể.
Trên đây là một vài kinh nghiệm khi giảng dạy mơn Hình học, tuy bước đầu chưa
đem lại kết quả mĩ mãn như mong đợi nhưng tơi nhận thấy tính ham học và lịng
say mê học tốn của các em được nâng cao rõ rệt. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng
chắc chắn rằng tôi chưa thể đưa ra vấn đề một cách trọn vẹn được, rất mong các
đồng chí đồng nghiệp góp ý chân tình để đề tài này được hồn thiện hơn. Xin chân
thành cảm ơn!
2. Kiến nghị:
* Đối với giáo viên: Tận tâm hơn nữa với nghề dạy học, tìm tịi các phương pháp
để truyền thụ kiến thức đến học sinh đạt hiệu quả hơn, thường xuyên quan tâm đến

chất lượng học tập của học sinh, trân trọng những thành quả đạt được của học sinh
dù là nhỏ nhất.
* Đối với nhà trường: Tổ chức triển khai các sáng kiến kinh nghiệm cấp huyện để
giáo viên có thể áp dụng các đề tài đạt giải vào thực tiễn giảng dạy.
* Đối với phòng giáo dục: Thường xuyên tổ chức triển khai các chuyên đề về nâng
cao chất lượng đại trà và chất lượng mũi nhọn để giáo viên có điều kiện được
nghiên cứu, trao đổi học hỏi lẫn nhau, cùng đồng nghiệp tìm ra các giải pháp, biện
pháp hay trong hoạt động dạy và học.
Quảng Điền, tháng 1 năm 2016
Người thực hiện:


Nguyễn Văn Dũng
NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
……………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
(Ký tên, đóng dấu)