Hội nghị Khoa học công nghệ lần thứ XXII

Trường Đại học Giao thơng vận tải

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH VÀ TỔNG HỢP HỆ THỐNG ĐIỀU
KHIỂN TỰ ĐỘNG SỬ DỤNG MƠ HÌNH MỜ T-S TRÊN MIỀN TẦN SỐ
Đặng Hà Dũng1*,Lê Hùng Lân1, Trần Ngọc Tú1
1

Trường Đại học Giao thông Vận tải, Số 3 Cầu Giấy, Hà Nội
*Tác giả liên hệ: Email:

Tóm tắt: Bài báo đề xuất mơ hình mờ Takagi-Sugeno (T-S) cải tiến trên miền tần số
và đưa ra phương pháp phân tích và tổng hợp một lớp hệ thống điều khiển sử dụng mơ
hình mờ tương ứng. Đối tượng phi tuyến liên tục được mơ tả bằng mơ hình mờ T-S
dạng hàm truyền và bộ điều khiển được giả thiết là tuyến tính. Trên cơ sở phân tích
tính bất định dạng đa diện (polytope) của mơ hình đối tượng mờ T-S một số phương
pháp giải bài tốn phân tích và tổng hợp hệ thống được đề xuất. Các phương pháp đề
ra sử dụng đồ thị tần số có ưu điểm về sự trực quan và tổng quát cho cả những đối
tượng có trễ.
Từ khóa: mơ hình mờ T-S, hệ điều khiển mờ, tính ổn định, ổn định hóa
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong số các phương pháp mơ hình hóa đối tượng sử dụng logic mờ, mơ hình mờ
Takagi-Sugeno (T-S) [1] là một trong số các mơ hình được sử dụng phổ biến nhất. Bản
chất của mơ hình mờ T-S là mơ tả hệ thống bằng các hệ thống tuyến tính cục bộ. Đây
là phương pháp mơ hình hóa tồn diện khi mọi đặc tính phi tuyến trơn của hệ thống
điều khiển đều có thể được xấp xỉ bởi mơ hình mờ T-S. Trên thực tế, mơ hình mờ T-S
của hệ thống có thể được xây dựng từ đặc tính phi tuyến của đối tượng bằng cách
tuyến tính hóa hoặc nhận dạng hệ thống tại các điểm làm việc. Khi đối tượng được mơ
tả bằng mơ hình mờ T-S, kỹ thuật điều khiển bù song song (Paralell Distributed
Compensation – PDC) [2-3] cho phép tổng hợp bộ điều khiển mờ T-S có cấu trúc

tương tự mơ hình đối tượng trên cơ sở thiết kế riêng từng bộ điều khiển cục bộ. Quá
trình phân tích tính ổn định của hệ thống kín được thực hiện thông qua sử dụng
phương pháp Lyapunov. Trong [2] Tanaka và Sugeno đã đưa ra điều kiện đủ để đảm
bảo tính ổn định của hệ thống điều khiển mờ T-S theo phương pháp Lyapunov trực
tiếp. Wang và đồng nghiệp [3] đã phát triển một phương pháp thiết kế cho quá trình ổn
định hóa của hệ phi tuyến dựa trên mơ hình mờ T-S và thiết kế PDC. Trong những
nghiên cứu này điều kiện ổn định của hệ thống được đưa về giải các bất đẳng thức ma
trận tuyến tính (Linear Matrix Inequality - LMI) với các công cụ số trợ giúp [4]. Đặc
điểm của cách tiếp cận sử dụng mô hình mờ T-S hiện có là sử dụng mơ hình ở miền
thời gian dưới dạng diễn tả trạng thái. Đồng thời việc sử dụng phương pháp Lyapunov
để phân tích và tổng hợp hệ thống tuy chặt chẽ về toán học nhưng khá cồng kềnh,
phức tạp với số lượng các LMI cần giải lớn, hơn nữa tiêu chuẩn ổn định Lyapunov chỉ
là điều kiện đủ.

-185-


Trường Đại học Giao thông vận tải

Hội nghị Khoa học công nghệ lần thứ XXII

Các phương pháp biểu diễn hệ thống trong miền tần số có nhiều ưu điểm trong
ứng dụng thực tế. Các đặc tính tần số có thể đưa ra các thông tin dưới dạng đồ thị trực
quan, phản ánh sâu về hệ thống điều khiển cần nghiên cứu. Đối với hệ điều khiển mờ,
một số các nghiên cứu [5-8] đã thực hiện giải quyết vấn đề mô hình hóa, phân tích ổn
định và thiết kế hệ thống sử dụng hướng tiếp cận trong miền tần số. Tính ổn định của
hệ mờ được nghiên cứu trong [5-6]. Điều kiện đủ cho việc phân tích ổn định tuyệt đối
của hệ điều khiển mờ T-S dựa trên tiêu chuẩn Popov được trình bày trong [7]. Trong
[8], hướng tiếp cận mờ và tiêu chuẩn đường tròn mở rộng (Extended Circle Criterion)
được kết hợp để phát triển một kỹ thuật thực nghiệm để kiểm tra tính ổn định của hệ

điều khiển mờ. Phương án thiết kế hệ phi tuyến mờ PDC sử dụng mơ hình đối tượng
Takagi-Sugeno-Kang trong miền tần số được trình bày trong [9].
Trong bài báo này, mơ hình mờ T-S cải tiến trong miền tần số được đề xuất để
mơ tả đối tượng điều khiển phi tuyến. Khi đó đối tượng điều khiển được coi là đa giác
(polytope) các hàm truyền và từ đó một số các phương pháp mới phân tích, tổng hợp
hệ thống điều khiển sử dụng bộ điều khiển tuyến tính sẽ được phát triển. Các phương
pháp này cung cấp hình ảnh đồ thị trực quan và giải pháp hiệu quả cho hệ thống điều
khiển.
2. MÔ HÌNH MỜ T-S CẢI TIẾN
Mơ hình mờ T-S của hệ phi tuyến liên tục kinh điển, đề ra trong [1-2] như sau:
Rule Ri :

IF z1 (t ) is M 1i and … and z p (t ) is M ip
.

THEN x(t ) = Ai x(t ) + Biu(t )

(1)

Trong đó Ri là luật suy diễn thứ i, r là số luật, M ij , với i r and j   p , là các
tập mờ và Ai , Bi là các ma trận trạng thái với số chiều tương ứng của mơ hình cục bộ
thứ i . Vec tơ các biến giả thiết được định nghĩa là z (t ) = [ z1 (t )...z p (t )] . Sử dụng phương
pháp giải mờ trọng tâm mơ hình mờ T-S (1) được biểu diễn dưới dạng sau:
.

r

x(t ) =  hi ( z )( Ai x(t ) + Bu (t ))

(2)


i =1

Trong đó hàm thuộc chuẩn hóa hi ( z) có dạng
hi ( z ) =

i ( z )



p

 ( z)
i =1 i
r

, i ( z ) =   ij ( z j ) , i r

(3)

j =1

Độ lớn hàm thuộc của các biến giả thiết trong tập mờ tương ứng M ij được ký
hiệu là  ij ( z j ) . Lưu ý là các hàm thuộc chuẩn hóa thỏa mãn các tính chất lồi (convex)
sau:
0  hi ( z)  1 ,
-186-

r


 h ( z) = 1 .
i =1

i

(4)


Trường Đại học Giao thông vận tải

Hội nghị Khoa học cơng nghệ lần thứ XXII

Trong bài báo này mơ hình dạng hàm truyền được đề xuất thay cho diễn tả trạng
thái. Khi đó mơ hình mờ T-S cải tiến của hệ phi tuyến liên tục có dạng sau:
Rule Ri :

IF z1 (t ) is M 1i and … and z p (t ) is M ip
THEN Yi (s) = Pi (s).U (s)

(5)

Trong đó Y (s),U (s) là các ảnh Laplace của các tín hiệu y(t ), u(t ) ra, vào đối tượng
tương ứng và Pi (s) là hàm truyền của mơ hình cục bộ thứ i .
Tương tự như (2) mơ hình mờ T-S tổng hợp của (5) có dạng:
r

r

i =1


i =1

Y ( s ) =  hi ( z )Yi ( s) = U ( s) hi ( z ) Pi ( s)

Ta có thể coi

r

r

i =1

i =1

P( s, h) =  hi ( z ) Pi ( s ), 0  hi ( z )  1,  hi ( z ) = 1 .

(6)
(7)

là hàm truyền mờ T-S của đối tượng. Rõ ràng, hệ thống mờ T-S là một lớp của các hệ
bất định đa giác (polytopic) trong đó các bất định được tạo ra từ tính phi tuyến của các
các hàm thuộc. Vì vậy vấn đề nghiên cứu hệ thống có thể dựa vào cách tiếp cận ổn
định bền vững. Ký hiệu Q là đa diện (polytope) của các bất định:
r

Q : 0  hi ( z )  1,  hi ( z ) = 1

(8)

i =1


Khi đó ứng với mỗi   R miền giá trị (value set) được định nghĩa như sau:
P( , Q) =  P( j , h), hi ( z )  Q

(9)

Bổ đề sau được rút ra trực tiếp từ [10,11] bổ đề cho phép xây dựng miền giá trị
P(, Q)
Bổ đề: Miền giá trị P(, Q) là một đa giác (polygon) trên mặt phẳng phức có số cạnh
tối đa bằng r (r −1) / 2 , được sinh ra từ các cạnh của đa diện (polytope) Q.
Dựa trên kết quả này ta có thể giải quyết một số bài tốn phân tích và tổng hợp
hệ thống điều khiển mờ T-S có cấu trúc trên hình 1.

Hình 1. Hệ thống điều khiển mờ T-S sử dụng bộ điều khiển tuyến tính.
3. PHÂN TÍCH VÀ TỔNG HỢP HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN MỜ T-S
Bài toán 1. Đánh giá ổn định hệ thống

-187-


Trường Đại học Giao thông vận tải

Hội nghị Khoa học công nghệ lần thứ XXII

r

Xét hệ thống điều khiển trên hình 1. Ký hiệu Wh ( s) = C ( s) hi ( z ) Pi ( s) là hàm
i =1

truyền hệ hở của hệ thống. Khi đó từ (7) ta có thể xây dựng miền giá trị của Wh ( j ) :

Wh ( , Q) = Wh ( j , h), h  Q

Thực tế :

(10)

Wh (, Q) = C( j) P(, Q)

(11)

Xây dựng dòng các miền giá trị này khi  thay đổi từ 0   cho phép đánh giá ổn
định hệ thống kín trên hình 1 tương tự tiêu chuẩn Nyquist.
Định lý 1. Hệ thống điều khiển mờ có cấu trúc trên hình 1 với mơ hình đối tượng
mờ T-S (5) và bộ điều khiển tuyến tính có hàm truyền C(s) ổn định khi và chỉ khi thỏa
mãn các điều kiện sau:
• Hệ thống kín là ổn định với một đối tượng Pi (s), i [1, r ] bất kỳ.
• Dịng các miền giá trị Wh (, Q) ,    0,  ) không bao điểm (-1, j0).
Điều kiện thứ nhất là điều kiện cần, có thể kiểm tra dễ dàng bằng cách xây dựng
đồ thị Nyquist Wh ( j ) = C ( j ) Pi ( j ) với hàm truyền cục bộ Pi (s) bất kỳ.
Bài toán 2. Đánh giá chất lượng hệ thống
Ổn định hệ thống kín được đảm bảo nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc
trưng nằm bên trái mặt phẳng phức. Tuy nhiên bên cạnh yêu cầu cơ bản về ổn định hệ
thống, thực tế hệ thống cịn cần có độ dự trữ nhất định về ổn định (ổn định tương đối).
Điều này có thể đạt được bằng cách hạn chế miền phân bố các nghiệm của phương
trình đặc trưng. Thơng thường có hai dạng mô tả miền ổn định này, được thể hiện qua
các độ dự trữ ổn định  và m , trong đó  là khoảng cách từ trục ảo đến nghiệm gần
nhất và  =arccotg m là góc hợp bởi tia với trực thực âm. Vấn đề kiểm tra đảm bảo độ
dự trữ ổn định cho trước có thể được giải quyết thông qua việc đánh giá ổn định hệ
thống cùng phép thay j = − + j hay j = −m + j vào cơng thức tính đặc tính tần
số. Khi đó định lý 1 có thể mở rộng để đánh giá độ dự trữ ổn định hệ thống mờ T-S có

cấu trúc trên hình 1. Các chỉ tiêu chất lượng miền tần số khác như độ dự trữ biên độ C
và pha G, … cũng có thể dễ dàng tính tốn từ dịng các miền giá trị dạng đồ thị
Nyquist P( j)Q() . Các giá trị tương ứng của các chỉ tiêu miền thời gian như độ dao
động  và quá điều chỉnh  được mô tả trên bảng 1 [9].
Bảng 1. Một số các chỉ tiêu chất lượng thơng dụng.


,%

m

M

C

G, deg

0,75

50

0,222

2,38

0,30

24

0,90


33

0,366

1,55

0,39

38

0,96

20

0,511

1,25

0,50

48

Bài tốn 3. Tổng hợp bộ điều khiển tỷ lệ
-188-


Trường Đại học Giao thông vận tải

Hội nghị Khoa học công nghệ lần thứ XXII


Giả sử bộ điều khiển tỷ lệ C(s) = k được sử dụng hệ thống điều khiển trên hình 1.
Câu hỏi đặt ra là với bộ đối tượng mờ T-S (5) cho trước thì ta có thể tìm điều kiện của
k để hệ thống kín ổn định. Bài toán này được giải dễ dàng bằng cách xây dựng dòng
các miền giá trị P(, Q) ,    0,  ) . Điểm cắt xa nhất của dịng này với trục thực có
giá trị k * . Khi đó hệ thống kín ổn định với mọi k  −1/ k * .
4. VÍ DỤ
Xét hệ thống điều khiển mờ cho hệ thống nhiệt, đối tượng là hệ thống lị sấy
trong [9]. Tín hiệu ra điều khiển là nhiệt độ hơi sấy y(t) của đầu ra nhiệt. Các mơ hình
xấp xỉ Ziegler-Nichols (Z-N) của đối tượng được xây dựng từ các dạng đáp ứng quá
độ của đối tượng tại nhiều điểm làm việc khác nhau. Từ đó, ta thấy đặc tính làm việc
của lị sấy là phi tuyến và có thể được xấp xỉ, tuyến tính hóa thành 3 vùng chồng lên
nhau: vùng 1 trong khoảng tín hiệu ra y(t) = 20 – 50oC; vùng 2 trong khoảng đầu ra
y(t) = 40 – 57oC; và vùng 3 trong khoảng nhiệt độ 50 – 80oC. Trong mỗi vùng, mơ
hình hàm truyền xấp xỉ tuyến tính được nhận dạng theo kỹ thuật theo Z-N của đối
tượng có dạng:
Pi ( s ) =

Ki − i s
e , i = 1,...,3
Ti s + 1

Tham số cụ thể của đối tượng được thể hiện trên bảng 2. Khi đó mơ hình mờ T-S
của đối tượng theo (5) sẽ bao gồm 3 luật, tương ứng với đầu ra là 3 hàm truyền xấp xỉ
trong những khoảng nhiệt độ khác nhau của đối tượng. Biến đầu vào tiền định của hệ
là nhiệt độ z(t) = y(t) để xác định vùng làm việc. Kết quả suy luận ở đầu ra của các luật
mờ là các mơ hình Z-N trong từng khoảng nhiệt độ khác nhau. Để tổng hợp một bộ
điều khiển PI cho đối tượng, trong [9] sử dụng mơ hình trung bình cho đối tượng với
các tham số được lấy trung bình từ mơ hình tham số của đối tượng. Mơ hình trung
7.5 −5.5 s

e . Với mơ hình đối
bình Z-N của đối tượng, theo bảng 2, có dạng: P0 ( s ) =
77 s + 1



tượng trung bình P0(s), theo Z-N, bộ điều khiển PI với tham số C ( s) = 0.25 1 +

1 

87 s 

được xác định. Tuy nhiên vấn đề đánh giá ổn định và phân tích chất lượng hệ thống
điều khiển được tổng hợp chưa được đề cập và giải quyết trong [9].
Bảng 2. Tham số mơ hình đối tượng nhiệt độ theo vùng nhiệt độ.

Tham số của
mô hình
Vùng 1

Ki

Ti

i

11,5

95


7

Vùng 2

6,5

86

4

Vùng 3

4,5

50

5,5

Từ những thơng tin trên, ta sẽ lần lượt vận dụng các bài tốn được trình bày ở
trên trong phân tích tính ổn định và tổng hợp tham số bộ điều khiển (trường hợp điều
khiển khuếch đại) cho đối tượng.
Bài toán đánh giá ổn định và chất lượng điều khiển
-189-


Hội nghị Khoa học công nghệ lần thứ XXII

Trường Đại học Giao thơng vận tải

Việc giải quyết được bài tốn này sẽ trả lời cho câu hỏi liệu bộ điều khiển PI với

bộ tham số ở trên có đảm bảo độ ổn định cho đối tượng lò sấy nhiệt độ trong toàn bộ
dải nhiệt độ làm việc và chất lượng mà bộ điều khiển mang lại cho hệ (xét theo bảng
1).

Hình 2. Dịng miền giá trị của hệ điều khiển nhiệt độ khi m = 0.
Hình 2 cho ta thấy dòng miền giá trị (value set) của mạch hở
r

Wh ( s) = C ( s) hi ( z ) Pi ( s) khơng bao quanh điểm (-1, j0), vì vậy theo Định lý 1 bộ điều
i =1

khiển PI đảm bảo tính ổn định cho hệ. Tương tự như vậy khi thay các giá trị khác m =
0,222; 0,366 và 0,511; theo bảng 1, ta thấy bộ PI cũng mang lại chất lượng điều khiển
tốt cho đối tượng. Đảm bảo các thông số về độ quá hiệu chỉnh, độ dao động cũng như
độ dự trữ ổn định biên độ và nghiệm số. Hình 3, 4 và 5 cho thấy các dịng miền giá trị
không bao quanh điểm (-1, j0) khi m tương ứng nhận các giá trị 0,222; 0,366 và
0,511.

Hình 3. Dòng miền giá trị khi m =0,222.
-190-


Hội nghị Khoa học công nghệ lần thứ XXII

Trường Đại học Giao thơng vận tải

Hình 4. Dịng miền giá trị khi m = 0,366.
Bài toán tổng hợp bộ điều khiển tỉ lệ cho đối tượng mờ T-S
Để tổng hợp bộ điều khiển tỷ lệ cho đối tượng ta dựa trên dòng miền giá trị
(value set) của đối tượng P(, Q) ,    0,  ) . Theo hình 6, ta có thể thấy, giao điểm

xa nhất của dịng này với trục thực là -0,525. Như vậy hệ thống kín sẽ ổn định với mọi
bộ điều khiển tỷ lệ có hệ số khuếch đại K p 

1
1,9 . Trên các hình 7 và 8 là các
0,525

dịng miền giá trị của hệ khi sử dụng bộ điều khiển khuếch đại Kp lần lượt là 1,8 và 0,3
minh họa tính ổn định của hệ thống kín (theo định lý 1). Ngồi ra, có thể nhận thấy
một cách trực quan độ dự trữ ổn định mà bộ điều khiển khuếch đại mang lại cho hệ.
Trên hình 9, kiểm tra chất lượng của bộ điều khiển Kp = 0,3 khi m = 0,222.

Hình 5. Dòng miền giá trị khi m = 0,511.
-191-


Hội nghị Khoa học công nghệ lần thứ XXII

Trường Đại học Giao thơng vận tải

Hình 6. Dịng miền giá trị của đối tượng mờ T-S, xác định được Kp < 1,9.

Hình 7. Đánh giá ổn định của hệ điều khiển nhiệt độ khi Kp = 1,8.

Hình 8. Đánh giá ổn định của hệ điều khiển nhiệt độ khi Kp = 0,3.
-192-


Hội nghị Khoa học công nghệ lần thứ XXII


Trường Đại học Giao thơng vận tải

Hình 9. Đánh giá chất lượng điều khiển khi Kp = 0,3 tại m = 0,222.
5. KẾT LUẬN
Bài báo đã thực hiện việc đánh giá tính ổn định, khảo sát chất lượng điều khiển
và thực hiện tổng hợp bộ điều khiển ở dạng khuếch đại đối với đối tượng có động học
được mơ tả bởi mơ hình mờ T-S. Các bài tốn trên được thực hiện dựa trên khảo sát
dòng các value set của đối tượng và hệ điều khiển trong miền tần số. Giải pháp được
đưa ra cho thấy ưu điểm của phương pháp là có tính trực quan và tổng qt. Đối tượng
áp dụng không chỉ cho đối tượng nhiệt độ với đặc điểm động học có trễ mà có thể mở
rộng ra cho nhiều loại đối tượng. Tính khả thi của phương pháp trong triển khai thực
tiễn là cao bởi tính chất phi tuyến của hầu hết các đối tượng điều khiển và vấn đề tuyến
tính hóa quanh các điểm làm việc hồn tồn phù hợp với việc xây dựng mơ hình đối
tượng mờ T-S. Những giải pháp được trình bày trong bài báo là cơ sở để phát triển
theo hướng tổng hợp đầy đủ các tham số của bộ PID.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. T. Takagi, and M. Sugeno, Fuzzy Identification of systems and its applications to
modeling and control, IEEE Trans. Syst. Man, Cyber. B, Cybern., vol. SMC-15, no. 1,
pp. 116-132, 1985.
[2]. K. Tanaka, M. Sugeno, Stability analysis and design of fuzzy control systems,
Fuzzy Sets Syst. Vol. 45, no. 2, pp. 135-156, 1992.
[3]. H.O. Wang, K. Tanaka, M.F. Griffin, An approach to fuzzy control of nonlinear
systems: stability and design issues, IEEE Trans. Fuzzy Syst., vol. 4, no. 1, pp. 14-23,
1996.
[4]. K. Tanaka, H. Wang, Fuzzy Control Systems Design and Analysis: a Linear
Matrix Inequality Approach, John Wiley & Sons, 2004.
-193-


Hội nghị Khoa học công nghệ lần thứ XXII


Trường Đại học Giao thông vận tải

[5]. Le Hung Lan, Robust stability of fuzzy parameter systems, Automation and
Remote Control, N.4, pp. 596-605, 2005.
[6]. Le Hung Lan, Zero Exclusion Principle Application in Computing Stability
Margin of Systems with Fuzzy Parameters, in Proc. 7th International Conference on
Fuzzy Systems and Knowledge Discovery, Yantai, China, 2010, Vol.1, pp. 382-386.
[7]. A. S. Bakefayat, A. Heydari, Absolutely Stable of Takagi-Sugeno Fuzzy Control
Systems by using Popov’s Criterion, Applied Mathematics, no. 3, pp. 1124-1127,
2012.
[8]. R.E Haber Guerra, G. Schmitt-Braess, R.H. Haber, A. Alique, S. Ros, Extended
Circle Criterion: Stable Fuzzy Control of a Milling Process, in Proc. 15th Triennial
World Congress, Barcelona, Spain, 2002, pp. 85-90.
[9]. S. Yordanova, A Frequency Domain Approach for Design of Stable Fuzzy Logic
Systems with Parallel Distributed Compensation, WSEAS Trans. on Systems, Vol. 15,
pp. 85-93. 2016.
[10]. Bartlett A, Hollot C, Lin H, Root locations of an entire polytope of polynomials:
it suffices to check the edges. Mathematics of Control, Signals, and Systems 1988;
1:61–71.
[11]. M.Y.Fu, Polytope of polynomials with zeros in prescribed region: new criteria
and algorithms, In Robustness in Identification and Control, (M. Milanese, R. Tempo,
and A. Vicino, eds.), pp. 125-146, NY: Plenum, 1989.

-194-