Hội nghị Khoa học công nghệ lần thứ XXII

Trường Đại học Giao thơng vận tải

THUẬT TỐN XÁC ĐỊNH THỜI GIAN CHẠY TÀU KHU GIAN HIỆU
QUẢ NĂNG LƯỢNG TRÊN TUYẾN ĐƯỜNG SẮT ĐÔ THỊ 2A HÀ NỘI
Trịnh Lương Miên1*
1

Trường Đại học Giao thông Vận tải, Số 3 Cầu Giấy, Láng Thượng, Đống Đa, Hà Nội
*
Email:

Tóm tắt. Bài báo trình bày một thuật tốn xác định bộ thơng số thời gian chạy tàu khu
gian hiệu quả năng lượng nhằm tối thiểu tổng điện năng tiêu thụ của tàu trên tuyến
đường sắt đô thị sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange. Kết quả mô phỏng với dữ
liệu tuyến 2A Cát Linh-Hà Đông cho thấy thuật toán đề xuất đã xác định được bộ
thông số thời gian chạy tàu khu gian hiệu quả năng lượng trên tuyến, với sai lệch thời
gian chạy tàu khu gian so với kế hoạch 12.4%, năng lượng tiết kiệm 4.1%.
Từ khóa: metro, ATO, tàu điện, điều khiển tàu, biểu đồ chạy tàu, hiệu quả năng lượng
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Thời gian chạy tàu kế hoạch trên khu gian là thơng số chính trong biểu đồ kế
hoạch chạy tàu, liên quan trực tiếp đến điện năng tiêu thụ của tàu [1,2]. Để vận hành
chạy tàu tiết kiệm năng lượng trên tuyến ta cần xác định các trị số thời gian chạy tàu
khu gian trên tuyến sao cho tối thiểu tổng điện năng tiêu thụ của tàu trên tuyến. Giao
thông đường sắt đô thị khi đi vào hoạt động đều được tối ưu hóa theo các mục tiêu xác
định: tối ưu biểu đồ thời gian chạy tàu không xung đột [4], tối ưu biểu đồ thời gian
chạy tàu kế hoạch [5,6,7], tối ưu tổng mức tiêu thụ năng lượng [8], tối ưu thời gian chờ
chuyến [9], hoặc kết hợp giữa các chỉ tiêu này [10,11].
Trong hoạt động chạy tàu hàng ngày, thời gian biểu kế hoạch và thời gian tàu lăn
bánh luôn bị gián đoạn bởi các nhiễu loạn, như lỗi thiết bị, thời tiết khắc nghiệt, tai nạn

bất ngờ … gây ra tính khơng khả thi của kế hoạch ban đầu [12]. Do đó, một hoạt động
cơ bản của tuyến đường sắt hàng ngày là lên lại lịch trình kế hoạch chạy tàu với các
ước lượng thông tin và xáo trộn tàu theo thời gian thực. Nhiệm vụ này đặt ra bài tốn
xác định bộ thơng số thời gian chạy tàu hiệu quả của từng khu gian để tối thiểu tổng
điện năng tiêu thụ của tàu trên tuyến khi cho trước thời gian chạy tàu trên tuyến.
Tại Hà Nội, các tuyến đường sắt đơ thị đang trong q trình xây dựng. Tuyến
đường sắt đô thị 2A Cát Linh - Hà Đông [16] đang chạy kỹ thuật từ cuối năm 2019.
Đây là loại hình vận tải hành khách cơng cộng văn minh, tiện ích, nhưng tiêu thụ điện
năng lớn. Các nghiên cứu trong nước về tối thiểu năng lượng biểu đồ chạy tàu có số
lượng khơng nhiều. Nghiên cứu chủ yếu tập trung vào profile tốc độ chạy tàu tối ưu
năng lượng với dữ liệu tuyến 2A Hà Nội [17,20], hoặc dữ liệu đường sắt Bắc-Nam đầu
máy diesel [14,18,19], hay sử dụng siêu tụ tích trữ năng lượng trên tàu [15,21].
Bài báo này trình bày một thuật tốn xác định bộ thông số thời gian chạy tàu khu
-221-


Trường Đại học Giao thông vận tải

Hội nghị Khoa học công nghệ lần thứ XXII

gian hiệu quả năng lượng trên tuyến sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange. Bố cục
bài báo gồm có 5 phần. Phần đặt vấn đề trình bày các nghiên cứu liên quan đến thời
gian chạy tàu khu gian. Phần thứ hai đặt bài toán xác định bộ thông số thời gian chạy
tàu khu gian hiệu quả năng lượng trên tuyến. Phần thứ 3 giải bài toán. Phần thứ 4 trình
bày thuật tốn xác định bộ thơng số thời gian chạy tàu khu gian hiệu quả năng lượng
trên tuyến đường sắt đô thị 2A Hà Nội. Cuối cùng là kết luận và tài liệu tham khảo.
2. ĐẶT BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THỜI GIAN CHẠY TÀU KHU GIAN HIỆU
QUẢ NĂNG LƯỢNG TRÊN TUYẾN
Trước khi một tàu chạy trên một khu gian xác định, ATS sẽ gửi đến ATO một
giá trị thời gian chạy tàu Tz[s] của khu gian đó được quy định trong biểu đồ chạy tàu.

Từ đó ATO kết hợp với ATP thực hiện điều khiển chạy tàu trên khu gian đó, sao cho
thời gian chạy tàu thực tế Tx[s] đúng bằng thời gian chạy tàu quy định, tức là Tx=Tz,
hoặc với sai số chấp nhận được, nhưng không vượt quá T (với đường sắt đô thị
T=3[s]), tức là Tx=Tz ±T [1,2,3,13].
Theo [1,2,4,8,10], với mỗi thời gian chạy tàu khu gian cho trước Tz[s], ta có một
trị số điện năng tiêu thụ tối thiểu của tàu trên khu gian AE[kWh]. Từ đó, ta dễ dàng có
được bộ thơng số (TXij,AEij) của mỗi khu gian, trong đó i=1,2..n, là số đếm khu gian,
j=1,2..m, là số đếm thời gian chạy tàu trên một khu gian.
1. Bảng 1. Thời gian chạy tàu và điện năng tiêu thụ của tàu trên khu gian-i.
TT
j
1

Thời gian chạy tàu khu gian,
TXi [s]
TXimax

Điện năng tiêu thụ của tàu trên khu
gian, AEi(TXi) [kWh]
AEimin (TXimax )

2

TXimax − T

AEi (TXimax − T )

3
…
m


TXimax − 2T
….
min
TXi = TXimax − mT

AEi (TXimax − 2T )
…
max
AEi (TXimin )

Tổng điện năng tiêu thụ của tàu trên tuyến được xác định bằng tổng điện năng
tiêu thụ của tàu trên từng khu gian.
n

AL (TL ) =  AEi (TXi )
i =1

(1)

Tổng thời gian chạy tàu trên tuyến bằng tổng thời gian chạy tàu trên mỗi khu
gian.
n

TL =  TXi
i =1

(2)

Dựa vào số liệu Bảng 1, thực hiện xấp xỉ hàm năng lượng theo thời gian, ta thu

được hàm tiêu thụ năng lượng có dạng hypebol [1].

-222-


Trường Đại học Giao thông vận tải

Hội nghị Khoa học cơng nghệ lần thứ XXII

AE i (TXi ) =

ki
TXi

(3)

Trong đó: ki>0 là hằng số tiêu thụ năng lượng của tàu trên khu gian thứ-i.
Bài toán nghiên cứu đặt ra trong bài báo này như sau: xác định các trị số thời
gian chạy tàu khu gian hiệu quả năng lượng T*Xi để tổng điện năng tiêu thụ của tàu
trên tuyến là nhỏ nhất AL*(TL*), khi cho trước thời gian chạy tàu trên tuyến TLZ, biết
rằng mỗi khu gian có bảng số liệu (TXij,AEij) xác định cho trước.
Hàm mục tiêu để xác định bộ thông số thời gian chạy tàu khu gian hiệu quả năng
lượng được trình bày như sau.
n

Minimize AL (TXi ) =  AEi (TXi )

(4)

i =1


TXi

Thời gian chạy tàu khu gian hiệu quả năng lượng phải thỏa mãn các điều kiện
sau:
TXimin  TXi  TXimax

(5)

TXi = TXimin + ji T , 0  ji  m

(6)

n

 TXi = TL

(7)

i =1

Như vậy bằng cách cực tiểu hàm mục tiêu (4) thỏa mãn các điều kiện (5), (6),
(7), ta sẽ xác định được bộ thông số thời gian chạy tàu khu gian hiệu quả năng lượng
để tổng điện năng tiêu thụ của tàu trên toàn tuyến là nhỏ nhất.
3. GIẢI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THỜI GIAN CHẠY TÀU KHU GIAN HIỆU
QUẢ NĂNG LƯỢNG TRÊN TUYẾN
Hàm tổng điện năng tiêu thụ của tàu trên tuyến (1) có thể được biểu diễn ở dạng
hàm n biến số thời gian khu gian TX 1 , TX 2 ,..., TXn như sau.
n


AL (TX 1 , TX 2 ,..., TXn ) = f (TX 1 , TX 2 ,..., TXn ) =  AEi (TXi )
i =1

(8)

Các biến số thời gian khu gian TX 1 , TX 2 ,..., TXn có thể được xác định theo (3), đồng
thời thỏa mãn điều kiện (7), tức là
n

 (TX 1 , TX 2 ,..., TXn ) =  TXi − TL = 0
i =1

(9)

Bài toán cực tiểu hàm mục tiêu (4) trở thành tìm giá trị các biến TX 1 , TX 2 ,..., TXn
được xác định theo (3) để hàm (8) đạt cực tiểu, đồng thời thỏa mãn điều kiện (9).
Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, ta xây dựng hàm Lagrange như sau.
L(TX 1, TX 2 ,..., TXn ,  ) = AL (TX 1, TX 2 ,..., TXn ) +  (TX 1, TX 2 ,..., TXn )

(10)
-223-


Trường Đại học Giao thông vận tải

Hội nghị Khoa học cơng nghệ lần thứ XXII

Trong đó,  là một hằng số chưa xác định, gọi là nhân tử Lagrange.
Theo phương pháp nhân tử Lagrange, điểm cực trị của hàm (8) là nghiệm của hệ
phương trình sau.

A (T , T ,..., TXn )
 (TX 1 , TX 2 ,..., TXn )
L
= L X1 X 2
+
=0
(11)
TXi

TXi

TXi

Các hàm AL (TX 1, TX 2 ,..., TXn ) và  (TX 1, TX 2 ,..., TXn ) tương ứng có dạng (8) và (9),
nên hệ phương trình (11) trở thành.
AEi (TXi )
+ =0
TXi

 =−

AEi (TXi )
TXi

(12)

Thực hiện đạo hàm bậc nhất hàm năng lượng (3), ta thu được.
Ai (TXi )
k
= − i2  0

TXi
TXi

(13)

Như vậy hàm năng lượng АEi(ТХi) là hàm đơn điệu giảm, do đó >0 và hàm tổng
năng lượng (8) đạt cực tiểu (tổng điện năng tiêu thụ của tàu trên tuyến là tối thiểu).
Khi hàm năng lượng АEi(ТХi) được xác định bởi (3), kết hợp (12) với (13), ta có

 =−

Ai (TXi ) ki
k
= 2  TXi = i
TXi
TXi


(14)

Giá trị của nhân từ Lagrange được xác định từ công thức (2), ta có:
n

n

n

i =1

i =1


TL =  TXi = 

ki



 ki

= i =1

(15)



Từ đó, ta có cơng thức tính giá trị nhân từ Lagrange như sau.
 n

  ki 
 =  i=1 2 
TL

2

(16)

Kết hợp (14) và (16) ta thu được công thức xác định thời gian chạy tàu khu gian.
TXi =  iTL ; i = ki

n



i =1

ki

(17)

Công thức (17) cho phép ta xác định được bộ thông số thời gian chạy tàu khu
gian hiệu quả năng lượng {TX*1 , TX* 2 ,..., TXn* } để tổng điện năng tiêu thụ của tàu trên toàn
tuyến là nhỏ nhất.
Khi hàm AEi(TXi) có dạng khác với (3) thì hệ phương trình (9) và (10) đối với
(n+1) biến số TX1, TX2, ..., TXn, , sẽ được giải bằng phương pháp khác [1].
-224-


Trường Đại học Giao thông vận tải

Hội nghị Khoa học công nghệ lần thứ XXII

4. XÁC ĐỊNH THỜI GIAN CHẠY TÀU KHU GIAN HIỆU QUẢ NĂNG
LƯỢNG TRÊN TUYẾN 2A HÀ NỘI
Trong giai đoạn đầu, tàu điện tuyến 2A Cát Linh-Hà Đơng được thiết lập gồm 4
toa, Tc-M-M-Tc, trong đó: Tc là toa buồng lái, có sức chứa 230 khách/toa; M là toa
động cơ, có sức chứa 245 khách/toa, khả năng chuyên chở của đoàn tàu là 950 khách,
trọng tải trung bình tối đa trên mỗi toa tàu là 19 tấn (80kg/khách) [26].
Trong giai đoạn vận hành thử nghiệm, khi chỉ xét đến thời gian chạy tàu khu
gian, ta có thời gian chạy tàu khu gian kế hoạch trên tuyến 2A chiều từ Yên Nghĩa Cát Linh, từ hồ sơ đơn vị tổng thầu [26], như trong bảng dưới đây.
Bảng 2 . Thời gian chạy tàu khu gian kế hoạch tuyến 2A chiều Yên Nghĩa-Cát Linh.
Giờ cao điểm

Trọng Thời Điện năng tiêu
TT
Tên khu gian
tải hành gian kế thụ của tàu trên
khách, hoạch,
khu gian,
Q[T] ТX[s]
AE [kWh]
1 Yên Nghĩa-Văn Khê
7
90
10.571

Trọng
tải hành
khách,
Q[T]
5

Giờ thấp điểm
Thời Điện năng tiêu
gian kế thụ của tàu trên
hoạch,
khu gian,
ТX[s]
AE [kWh]
95
9.238

2 Văn Khê-La Khê


5

55

7.120

3

60

4.560

3 La Khê-Hà Đông

8

110

18.822

4

130

9.936

4 Hà Đông-Văn Quán

6


90

12.725

4

95

9.916

5 Văn Quán-Phùng Khoang

5

70

5.269

3

75

3.761

6 Phùng Khoang-Vành Đai3

9

75


8.055

6

85

5.276

7 Vành Đai3-Thượng Đình

13

75

9.450

8

85

5.791

8 Thượng Đình-Láng

16

75

9.123


11

85

6.264

9 Láng-Thái Hà

14

85

7.237

9

100

4.528

10 Thái Hà-La Thành

15

75

10.257

10


80

7.858

11 La Thành-Cát Linh

18

70

7.178

12

80

4.559

Thời gian tuyến ТL[s]

870

970

-225-


Trường Đại học Giao thông vận tải


Hội nghị Khoa học cơng nghệ lần thứ XXII

Hình 1. Thuật tốn xác định thời gian chạy tàu khu gian hiệu quả tuyến 2A.
Triển khai thuật tốn ở Hình 1 trên Maltab, sau đó chạy chương trình máy tính
với dữ liệu đầu vào tuyến 2A [17,20], ta thu được bộ thông số thời gian chạy tàu khu
gian hiệu quả năng lượng TXi* trên tuyến 2A Hà Nội chiều Yên Nghĩa-Cát Linh vào
giờ cao điểm và giờ thấp điểm như trong Bảng 3.
Bảng 3. Thời gian chạy tàu khu gian hiệu quả tuyến 2A chiều Yên Nghĩa-Cát Linh.
Giờ cao điểm
TT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-226-

Tên khu gian

Giờ thấp điểm

Тхi
schedule


Тхi*

dTxi*

Тхi
schedule

Тхi*

dTxi*

Yên Nghĩa-Văn Khê
Văn Khê-La Khê
La Khê-Hà Đông
Hà Đông-Văn Quán
Văn Quán-Phùng Khoang
Phùng Khoang-Vành Đai3
Vành Đai3-Thượng Đình
Thượng Đình-Láng
Láng-Thái Hà
Thái Hà-La Thành
La Thành-Cát Linh

90
55
110
90
70
75
75

75
85
75
70

89
61
118
91
67
74
73
74
80
76
67

-1
6
8
1
-3
-1
-2
-1
-5
1
-3

95

60
130
95
75
85
85
85
100
80
80

99
65
136
99
78
86
82
79
89
81
76

4
5
6
4
3
1
-3

-6
-11
1
-4

Thời gian tuyến ТL[s]

870

870

970

970


Hội nghị Khoa học công nghệ lần thứ XXII

Trường Đại học Giao thơng vận tải

Phân tích bộ thơng số thời gian chạy tàu khu gian hiệu quả năng lượng Txi* so
với thời gian kế hoạch Txi_schedule vào giờ cao điểm, ta thu được biểu đồ ở Hình 2
với sai lệch thời gian chạy tàu khu gian hiệu quả năng lượng vào giờ cao điểm ở Hình
3.

2. Hình 2. Thời gian chạy tàu khu gian hiệu quả vào giờ cao điểm

3. Hình 3. Sai lệch thời gian chạy tàu khu gian hiệu quả vào giờ cao điểm.
Vào khung giờ thấp điểm, bộ thông số thời gian chạy tàu khu gian hiệu quả năng
lượng TXi* so với thời gian kế hoạch, được trình bày ở Hình 4, với sai lệch thời gian

chạy tàu khu gian hiệu quả năng lượng như ở Hình 5.

4. Hình 4. Thời gian chạy tàu khu gian hiệu quả vào giờ thấp điểm.

-227-


Hội nghị Khoa học công nghệ lần thứ XXII

Trường Đại học Giao thơng vận tải

5. Hình 5. Sai lệch thời gian chạy tàu khu gian vào giờ thấp điểm
Như vậy, dựa vào kết quả mơ phỏng tính tốn bộ thơng số thời gian chạy tàu khu
gian hiệu quả năng lượng của 11 khu gian tuyến 2A chiều Yên Nghĩa - Cát Linh, khi
so với thời gian kế hoạch, ta có thể đưa ra một số kết luận sau:
▪ Khi áp dụng chiến lược chạy tàu qua các khu gian nhằm tối thiểu tổng năng
lượng tiêu thụ của tàu trên tuyến, thì hầu hết trị số thời gian chạy tàu khu gian đều thay
đổi so với kế hoạch ban đầu.
▪ Sai lệch trung bình thời gian chạy tàu khu gian hiệu quả năng lượng trên tuyến
so với thời gian kế hoạch là 3.8% (lớn nhất 10.1%) vào giờ cao điểm và 5.1% (lớn
nhất 12.4%) vào giờ thấp điểm.
▪ Năng lượng tiết kiệm trung bình là 2.1% (lớn nhất 3.1%) vào giờ thấp điểm và
2.7% (lớn nhất 4.1%) vào giờ cao điểm khi áp dụng bộ thông số thời gian chạy tàu khu
gian hiệu quả được xác định theo thuật toán đề xuất trong bài báo này.
5. KẾT LUẬN
Bài báo đã trình bày một thuật toán để xác định các trị số thời gian chạy tàu khu
gian hiệu quả năng lượng, dựa trên phương pháp nhân tử Lagrange nhằm tối thiểu tổng
năng lượng tiêu thụ của tàu trên tuyến, mỗi khi có yêu cầu điều chỉnh biểu đồ chạy tàu
do tác động của nhiễu (như lỗi thiết bị, hay sự cố bất thường khắc phục được trong
thời gian ngắn).

Kết quả mô phỏng, áp dụng với tuyến 2A Hà Nội, cho thấy các trị số thời gian
chạy tàu khu gian hiệu quả năng lượng đều thay đổi so với thời gian chạy tàu kế
hoạch. Sai lệch thời gian chạy tàu khu gian hiệu quả năng lượng lớn nhất là 12.4%,
trung bình là 4.5%. Năng lượng tiết kiệm được khi sử dụng bộ thông số thời gian chạy
tàu khu gian hiệu quả năng lượng lớn nhất là 4.1%, trung bình là 3.1%. Tuy nhiên các
số liệu này phụ thuộc vào độ chính xác của dữ liệu tuyến 2A, độ chính xác của thơng
số mơ hình tàu điện tuyến 2A và độ chính xác của trị số năng lượng khu gian xấp xỉ
được trong bài toán tối ưu năng lượng chạy tàu trên khu gian.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Baranov L.A., Erofeev E.V., Meleshin I.S., Trinh L.M., Optimal train control,
Russian University of Transport (RUT MIIT), 2011.
-228-


Hội nghị Khoa học công nghệ lần thứ XXII

Trường Đại học Giao thông vận tải

[2]. Baranov L.A., Meleshin I.S., Trinh L.M., Optimal control of a subway train with
regard to the criteria of minimum energy consumption, Russian electrical engineering,
82(8), 2011. />[3]. Trinh L.M., Minimum electric power consumption train control with regenerative
braking, International journal of mechanical eng. and tech, Vol.9, Issue 5, 2018.
[4]. Cordeau J., Toth P., Vigo D., A survey of optimization models for train routing
and scheduling. Transp. Sci. 32 (4), 380–404, 1998.
[5]. Zhou, X., Zhong, M., Bicriteria train scheduling for high-speed passenger railroad
planning applications. Eur. J. Oper. Res. 167, 752–771, 2005.
[6]. Zhou, X., Zhong, M., Single-track train timetabling with guaranteed optimality:
Branch-and-bound algorithms with enhanced lower bounds. Tra. Res. Part B 41, 2007.
[7]. Cacchiani, V. et al, Railway rolling stock planning: robustness against large
disruptions, Transp. Sci. 46 (2), 232–271, 2012.

[8]. Huang Y., Yang L., Tang T., Cao F., Gao, Z., Saving energy and improving
service quality: bicriteria train scheduling in urban rail transit systems, IEEE Trans.
Intell. Transp. Syst. 17 (12), 3364–3379, 2016.
[9]. Wong R., Yuen T., Fung K., Leung J., Optimizing timetable synchronization for
rail mass transit, Transp. Sci. 42 (1), 57–69, 2008.
[10]. Yin J., Yang L., Tang T., Gao Z., Ran B., Dynamic passenger demand
scheduling with energy-efficiency and waiting time minimization: mixed-integer linear
programming approaches, Transp. Res. Part B 97, 182–213, 2017.
[11]. Huang Y., Yang L., Tang T., Gao Z., Cao F., 2017. Joint train scheduling
optimization with service quality and energy efficiency in urban rail transit networks.
Energy 138, 2017.
[12]. Li S., Dessouky M.M., Yang L., Joint optimal train regulation and passenger
flow control strategy for high-frequency metro lines, Tran. Res. Part B 99, 2017.
[13] Trinh Luong Mien, The effect of train length on determining train control regimes
on inter-station, International journal of mechanical engineering and technology,
Vol.9, Issue 12, 2018.
[14]. Nguyen Thanh Hai, Evaluation of Effect Pontryagin’s Maximum Principle for
Optimal Control Train by Criteria of Energy Save, 2010 International Symposium on
Computer, Communication, Control and Automation. IEEE, Tawain, 2010.
[15]. A.T.T. Anh, V.H. Phuong, N.V. Lien, N.T. Hai, Braking energy recuperation for
electric traction drive in urban rail transit network based on control supercapacitor
energy storage system, Journal of Electrical Systems 14(3):99-114, September 2018
[16] Ban quản lý dự án đường sắt đô thị Hà Nội, Thiết kế kỹ thuật tuyến 2A Hà Nội.

-229-


Hội nghị Khoa học công nghệ lần thứ XXII

Trường Đại học Giao thơng vận tải


[17]. Trịnh Lương Miên, Mơ hình hóa q trình chuyển động của tàu điện hành khách,
Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Số 33, 2011.
[18]. Nguyễn Văn Hải, Nguyễn Thanh Hải, Xây dựng thuật toán điều khiển tối ưu
đoàn tàu theo mục tiêu tiết giảm năng lượng trên đường sắt Việt Nam, Tạp chí Khoa
học Giao thông Vận tải, số 39, 51-56, 2012.
[19]. Nguyễn Văn Hải, Nguyễn Thanh Hải, Đỗ Việt Dũng, Cồ Như Văn, Nghiên cứu
xây dựng hệ thống hỗ trợ điều khiển tốc độ đồn tàu nhằm tối ưu hóa tiêu hao nhiên
liệu và đảm bảo an toàn chạy tàu trên đường sắt Việt Nam, Tạp chí Giao thơng Vận
tải, 4/2018, 37-40, 2018.
[20]. Trịnh Lương Miên, Nghiên cứu xây dựng quỹ đạo chuyển động của tàu điện đơ
thị trên khu gian; Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Công nghệ quân sự; Số Đặc san
TĐH 14, 04/2014.
[21]. An Thị Hoài Thu Anh, Nguyễn Thanh Hải, Nguyễn Văn Quyền, Nguyễn Văn
Liễn, Tối ưu năng lượng vận hành tàu điện đơ thị có thiết bị tích trữ năng lượng siêu tụ
trên tàu sử dụng nguyên lý cực đại Pontryagin, Chuyên san Đo lường, ĐK và TĐH,
quyển 21, số 3, 12/2018.

-230-