1
PHẦN I:
HỆ BẬC HAI TỔNG QUÁT
Hệ bậc hai với hai ẩn x,y :
 
22
1 1 1 1 1 1
22
2 2 2 2 2 2
*
a x b xy c y d x e y f
a x b xy c y d x e y f

    


    



Trong trường hợp đặc biệt (đối xứng loại 1, loại 2, đẳng cấp) thì các cách tính sẽ đơn
giản hơn. Còn khi các tính chất đặc biệt không có, thì hệ (*) sẽ được giải theo một sơ
đồ chung sẽ được trình bày trong các ví dụ sau. Tuy nhiên, phương pháp này không
phải là tối ưu. Nhìn chung, các dạng thường gặp đều dựa trên một vài đặc thù của
dạng bậc hai. Nếu biết khai thác các tính chất đặc biệt đó ta sẽ tìm được lời giải ngắn
gọn.
MỘT SỐ VÍ DỤ :
Ví dụ 1 : Giải hệ :

22
22
22
2( ) 11
x y x y
x y x y

   


   



Giải :
 Xét x = 0 thì hệ có dạng :
2
2
22
2 11
yy
yy







hệ này vô nghiệm.

 Xét
0x 
. Đặt y =
x


Khi đó hệ đã cho có dạng :
 
 
 
 
22
22
1 1 2 2
1 2 1 11
xx
xx



   


   



Đặt
2
xz

ta được hệ :
 
 
 
 
 
 
 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
;
1 1 2 2
1 2 1 11
1 1 2
1 4 1
1 2 2
12
1 .9
1 11
2 1 2
26 7
11 2 2
x

z
y x x z
zx
zx
D
D
D
















   


   




   


  


  


Vì
0
x
D


nên nếu
4 1 0


thì D = 0, hệ có nghiệm.
Xét
1
4


:


2
 

 
2
9 26 7
;
41
1 4 1
x
z
D
D
xz
DD




   


.
Điều kiện
2
xz
cho ta phương trình để tính

 
 
 
 
  

2
2
2
81 26 7
1 4 1
41
2
81 1 26 7 4 1
44
23




  








     




+)Với
2



thì
1
2
x
y






+)Với
44
23


thì
9 23
44
17
4. 1
23
44 23 44
.
23 17 17
x
y


  














Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là :
23
1
17
,
2 44
17
x
x
y
y














.
Ví dụ 2 : Giải hệ :

22
22
4 2 3
2 12
x y x y
x xy y x y

    


    



Giải :
 Xét x = 0. Khi đó hệ có dạng :

2

2
23
2 12
yy
yy

  






Hệ này vô nghiệm.
 Xét
0.x 
Đặt
yx



Khi đó hệ đã cho trở thành :

 
 
 
 
22
22
1 2 2 3

1 1 2 12
xx
xx

  

    


    



Đặt x
2
= z ta được hệ :

 
 
 
 
2
2
2
;
1 2 2 3
1 1 2 12
x z y x
zx
zx



  




    


    





3
 
2
32
2
2
2
2
1 2 4
4 7 8 5
1 1 2
3 2 2
18 45
12 1 2

13
15 3 15
1 12
z
x
D
D
D

  
  







     
  

   


   


 
01D


  
thì hệ vô nghiệm. Xét
1.



Điều kiện z = x
2
cho ta phương trình để xác định



2
2
.
z
x
z
zx
x
D
z
D
D
D
D D D
D
DD
x
D






   








 
   
 
 
 
 
 
2
3 2 2
43
32
22
2
18 45 4 7 8 5 15 3 15
153 216 360 0
153 216 360 0

153 2 90 4 0
2 153 90 180 0
0
2
     
  
  
   
   


         
   
   

    

    







+) Khi
0


thì D = 5; D

x
= 15
30xy   
.
+) Khi
2


thì D = 81; D
x
= 81
12xy    
.
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:
3; 0
1; 2
xy
xy



  



Ví dụ 3 : Xác định giá trị của m để hệ sau có nghiệm :

22
2
2

2 2 2
x xy y x m
x xy x m

   


   



Giải :
Để ý rằng :
   
 
   
2 2 2
2 2 2
22
2 2 2 2 2
4 4 2 4 2
2 2 1 0
x xy y x x xy x
x xy y x x
x y x
      
     
    




4
Hệ đã cho
 
 
     
22
2
22
21
2 2 2 2
2 2 1 3 3
x xy y x m
x xy x m
x y x m

   


    


   



 Nếu m < 0 thì (3) vô nghiệm. Vậy hệ vô nghiệm.
 Xét m
0
. Nhận xét rằng để x, y thỏa mãn

(3) 0m
cần chọn x, y thỏa
mãn hệ :

1
10
1
20
2
x
x
xy
y













Thế vào (1) và (2) ta được :


2

2
11
1 1. 2. 1
24
0
1
1 2.1. 2.1 2
2
m
m
m

   





   



Vậy với
0m 
thì hệ đã cho nhận
 
1
, 1,
2
xy





là một nghiệm.
Kết luận : Hệ có nghiệm khi và chỉ khi
0m 
.

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi
 
2 1 3
1,
3
m






hệ sau có nghiệm

22
2
1x y xy
x x y xy m

  



   




Trước khi bước vào giải toán ta hãy phân tích bài toán trước.
Ta có hệ đã cho tương đương với
 
 
 
 
22
2
2
2
22
2
2
2
1
1
11
2
15
3
24
x y xy
x x y xy m
x y x y x m

x y xy
x x y xy m
x y x m

  


    


     




  


    




    





Điều kiện cần để hệ có nghiệm là (3) phải có nghiệm,do đó

55
0
44
mm    

Xét (x, y) thỏa mãn điều kiện :


5

00
11
0
22
xx
x y y





    



Khi đó (3) thỏa mãn
5
4
m  
, thế vào (1) ta được

1
1
4

thỏa mãn.
Thế vào (2) ta được
1
2
m

Vậy bất phương trình hệ quả không cho ta kết quả cần tìm.
Giải :
Viết hệ đã cho dưới dạng :

   
  
22
34
1
x y x y
x y x m

   


  



Xét nghiệm dạng (x, y) = (0,


)
Khi đó, ta có :
2
1
11m
m




   




Vậy điều kiện để tồn tại nghiệm dạng
 
0,

là
11m  
khi đó ta được nghiệm
   
, 0,x y m
. (*)
Tương tự, xét nghiệm
   
,,x y t t


Khi đó ta được hệ xác định t :

 
 
2
2
11
12 4
33
21
22
t
t
t t m
f t t t m

  









  


Ta thấy với

11
33
t  
thì
11
.
2
3
ff







Do đó với
 
1 1 1 2
13
2 2 3
3
f m f


      





thì hệ đã cho có nghiệm (x, y) = (t, t).
Kết hợp với (*) ta có : với
 
2 1 3
1,
3
m






thì hệ đã cho có nghiệm.

BÀI TẬP :
1, Giải các hệ sau :
   
   
2
22
2 2 2
36
2 2 0
,,
2 2 2
24
x y x y
x y x y
ab

x y x y
x y x y

   

   


   

   




2, Giải và biện luận các hệ :
2 2 2 2 2 2
,,
2 2 2 2
x y a
x y a
ab
x y x y a a x y x y a a
  




         





3, Xác các giá trị của a và b để hệ sau có nghiệm :


6
   
   
22
22
11
11
x y x y a
x y x y b

     


     





PHẦN II :


Giới hạn của hàm số
I/ Kiến thức cơ bản.

A.Giới hạn hữu hạn.
Giả sử
(a;b)
là một khoảng chứa điểm
0
x
và f là một hàm số xác định trên
khoảng
0
(a;b) \ x
. Khi đó
0
0
xx
limf(x ) L


nếu
n
d·y sè (x )
trong tập hợp
0
(a;b) \ x
mà
n0
limx x
,ta đều có
n
limf(x ) L
.

B.Giới hạn vô cực.

 
00
x x x x
limf(x) hay limf(x)

   
nếu

dãy
n
x 
0
(a;b) \ x
mà
n0
limx x
, ta đều có
n
limf(x )  
 
n
hay limf(x )  
.
*Giới hạn hàm số tại vô cực.
+/ Giả sử ta có hàm số f xác định trên
(a; )
. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn
là số thực L khi x dần đến


nếu với mọi dãy
n
(x )
trong khoảng
(a; )
mà
n
limx  
,ta đều có
n
limf(x ) L
.
Ta viết
x
lim f(x) L


.

xxx
xx
+/ T- ¬ng tù ta cã lim f(x) , lim f(x) , lim f(x) L,
lim f(x) , lim f(x) .
  
 
    
   

1.Một số định lý về giới hạn.

Định lý 1: Giả sử
0
x x x
limf(x) L vµ limg(x) M
 

. Khi đó:
a/
 
0
xx
lim f(x) g(x) L M.

  

b/
 
0
xx
lim f(x) g(x) L M.

  

c/
 
 
00
x x x x
lim f(x).g(x) L.M ®Æc biÖt lim cf(x) cL.




d/
0
xx
f(x) L
lim ,M 0
g(x) M





.
Định lý 2: Giả sử
0
0
xx
limf(x ) L


, khi đó:
a/
0
xx
lim f(x) L


.



7
b/
0
3
3
0
xx
lim f(x ) L


.
c/ Nếu
0
f(x) 0 x J \ {x }  
,trong đó J là một khoảng nào đó chứa điểm
0
x
thì
0
0
xx
L 0 vµ lim f(x ) L


.
2. Giới hạn một bên.
+/ Giả sử hàm số f xác định trên khoảng
0
(x ;b)

.Ta nói hàm số f có giới hạn
bên phải là L khi x dần đến
0
x
(hoặc tại điểm
0
x
),nếu với mỗi dãy
n
(x )
trong
khoảng
0
(x ;b)
mà
n0
limx x
,ta đều có
n
limf(x ) L
.
Ta viết
0
xx
lim f(x) L



.
+/ Định nghĩa tương tự cho

0
xx
limf(x) L



.
+/ Hàm số có giới hạn tại
0
x
và
0
xx
limf(x) L


tồn tại
0
xx
lim f(x)


,
0
xx
lim f(x)


và
00

x x x x
limf(x) lim L



.
3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực.
+/ Nếu
0
xx
lim f(x)

 
thì
0
xx
1
lim 0
f(x)


.
+/ Quy tắc 1.
Nếu
00
x x x x
limf(x) vµ lim g(x) L 0

   
,thì

 
0
xx
lim f(x).g(x)

cho bởi bảng sau:

0
xx
limf(x)


Dấu của L
 
0
xx
lim f(x).g(x)



























Quy tắc 2:
0
xx
limf(x) L 0


và
0
xx
limg(x) 0 vµ g(x) 0 hoÆc g(x) 0

  



0
x J\ {x }

, trong đó J làmộy khoảng nào đó chứa điểm
0
x
,thì
0
xx
f(x)
lim
g(x)

cho bởi
bảng sau:

Dấu của L
Dấu của f(x)
0
xx
f(x)
lim
g(x)



























4. Một số dạng vô định.


8
Dạng
0
0
:
Cách khử :
+/ Phân tích tử và mẫu thành tích để giải ước nhân tử chung.
+/ Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số dưới dấu căn thì có thể nhân cả tử và mẫu
với biểu thức liên hợp.
Dạng



:
+/ Chia cả tử và mẫu cho
k
x
,với k là số mũ cao nhất của biến số x.(Hay phân
tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử
n
x
rồi giản ước).
+/ Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn, thì đưa
k
x
ra ngoài (k là bậc
cao nhất của x trong căn) trước khi chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của x.
Dạng
 
và dạng
0.
:
+/ Nhân và chia với biểu thức liên hợp,nếu có biểu thức chứa biến x dưới dấu căn
hoặc quy đồng mẫu để đưa về cùng một phân thức.
II. Kĩ năng cơ bản.
Vận dụng linh hoạt các định lý về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn
vô cực để giải các bài toán về giới hạn hàm số.
III. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Áp dụng định nghĩa tính
2
x2
3x x 1

lim
x1



.
Giải :
+/ Hàm số
2
3x x 1
f(x)
x1



xác định trên
 
\1¡
.
+/ Giả sử
 
n
x
là dãy số tùy ý mà
n
x2
.
Khi đó

2

2
nn
n
n
3x x 1
3.2 2 1
limf(x ) 11
x 1 2 1


  


+/ Vậy
2
x2
3x x 1
lim 11
x1




.
Ví dụ 2: Áp dụng định nghĩa tính
2
2
x1
x 2x 3
lim

2x x 1



.
Giải :
+/ Hàm số
2
2
x 2x 3
f(x)
2x x 1



xác định trên
 
1
\ 1,
2
¡
.
+/ Giả sử
 
n
x
là dãy số tùy ý mà
n
x1
.

Khi đó


9

2
nn
n
2
nn
nn
nn
n
n
x 2x 3
f(x ) lim
2x x 1
(x 1)(x 3)
lim
1
2(x 1)(x )
2
x3
4
lim
1
3
2(x )
2











+/ Vậy
2
2
x1
x 2x 3 4
lim
3
2x x 1




.
Ví dụ 3: Tính
1/
2
x5
x5
lim
x 25





2/
2
x5
x5
lim
x 25




.
Giải :
1/ Ta có :

2
x 5 x 5 x 5
x 5 x 5 1 1
lim lim lim
(x 5)(x 5) x 5 10
x 25
  
  

  
  

.

2/ Ta có :

2
x 5 x 5 x 5
x 5 5 x 1 1
lim lim lim
(x 5)(x 5) x 5 10
x 25
  
  
  
   
  

.
Lưu ý : Do
22
x 5 x 5
x 5 x 5
lim lim
x 25 x 25





nên

2
x5

x5
lim
x 25



.
Ví dụ 4: Cho hàm số
2
7x 4x 3 khi x 1
f(x)
4x 2 khi x 1

  




.
Tính
x1
limf(x)

.
Giải :
+/ Ta có hàm số f(x) xác định trên tập
¡
.
+/
2

x 1 x 1
limf(x) lim(7x 4x 3) 6

   
.
+/
x 1 x 1
limf(x) lim(4x 2) 6


  
.
+/ Do
x 1 x 1
limf(x) limf(x) 6



nên
x1
limf(x) 6


.
Ví dụ 5: Tính
1/
32
x
1
lim

3x x 2


3/
2
2
x
x 7x
lim (1 2x)(3 )
x1








2/
3
2
x
3x x 1
lim
x 3x 1



.
Giải :



10
1/ Ta có
3
32
xx
3
1
1
x
lim lim 0
12
3x x 2
3
x
x
 



.

3
x
3
x
1
V× lim 0
x

12
lim 3 3.
x
x




  




3
3
23
2
xx
2
2
23
x
2
11
x3
3x x 1
xx
2/ lim lim
31
x 3x 1

x1
x
x
11
3
xx
lim x
31
1
x
x
= .
 



















2
2
xx
7
1
x 7x 1
x
3/ lim (1 2x)(3 ) lim x 2 3
1
x
x1
1
x
.
 









    














 


x
xx
V× limx
7
1
1
x
lim 2 2, lim 3 2 .
1
x
1
x

 
 





    








Ví dụ 6: Tính
1/
2
x0
(x 3) 27
lim
x


2/
3
x2
3 x 1
lim
x2




3/

3
2
2
x1
5 x x 7
lim
x1

  

.
Giải :

1/ Ta cã



11

2 3 2
x 0 x 0
2
x0
(x 3) 27 x 9x 27x
lim lim
xx
lim(x x 27x) 27.


   


   



3
x 2 x 2
2
3
3
2
x2
3
3
2/
3 x 1 (3 x) 1
lim lim
x2
(x 2) (3 x) 3 x 1
1
lim
(3 x) 3 x 1
1
.
3


   




    



   

Tacã
=

3/ Ta có

33
22
2 2 2
x 1 x 1
5 x x 7 5 x 2 x 7 2
lim lim
x 1 x 1 x 1


      


    
.
Mặt khác

2
x 1 x 1

x1
5 x 2 1 x
lim lim
x1
(x 1)(x 1)( 5 x 2)
1
=lim
(x 1)( 5 x 2)
1
= .
8


  


   

  



3
22
2
3
x 1 x 1
2 2 2 2
3
3

2 2 2
x1
3
x 7 2 x 1
lim lim
x1
(x 1) (x 7) x 7 2
1
lim
(x 7) x 7 2
1
=
12


  



    


   


Vậy
3
2
2
x1

5 x x 7 1 1 5
lim
8 12 24
x1

  
    

.
Ví dụ 7: Tính




x
5x 3 1 x
1/ lim
1x




  
2
2
x
x 2x 3x
2/ lim
4x 1 x 2




12

 


2
x
3/ lim x x x

Giải:

xx
2
x
3 1 x
5
5x 3 1 x
x
1/ lim lim
1
1x
1
x
11
53
x
x
= lim

1
1
x
= 5 .
 











2
2
xx
x
x
2
x 1 3x
x 2x 3x
x
2/ lim lim
1
4x 1 x 2
x 4 x 2
x

2
x 1 3
x
= lim
12
x 4 1
xx
2
13
x
= lim
12
41
xx

 





  
  





  




  
= 4 .

 
2
2
xx
x
x
x
3/ lim x x x lim
x x x
x
= lim
1
x 1 1
x
1
= lim
1
11
x
1
=
2
 



  







IV.Bài tập
Bài1:Dùng định nghĩa tính giới hạn.


13

2
x3
x5
1/ lim
x4





2
x2
x 3x 2
2/ lim
x2




.
Bài 2 : Tính

2
2
x1
2
2
x2
x1
1/ lim
x 3x 2
x 4x 12
2/ lim
x x 6










Bài 3: Tìm a để hàm số
2
x 7x 2a 4 khi x>2

f(x)
3ax 4 khi x 2

  





Có giới hạn khi x dần đến 2.
Bài 4: Tính
32
x 1 x 1
33
2 3 3
x 0 x 1
2x 7 x 4 2x 7 3
1/ lim 2/ lim
x 4x 3
2 x 3
x x 1 x 1 x 3x 2
3/ lim 4/ lim
x x 1


    


     




Bài 5:Tính
33
x 0 x 1
3
3
2
x1
x1
1 2x 1 3x x 7 x 3
1/ lim 2/ lim
x
x 1 x x 1 1
3/ lim 4/ lim
x 2 1
x1




     
   



Bài 6 :Tính
 
 
   

2 2 2
2
xx
2
2
3
3
xx
3
x 1 x
3
2 3 3 2 2
xx
x 2x 3 4x 1 9x x 1 4x 2x 1
1/ lim 2/ lim
x1
4x 1 2 x
x 2x 3
3/ lim 4/ lim 2x 1 4x 4x 1
x x 2
24
5/ lim 6/ lim x x x x
1x
1x
7/ lim x 3x x 8/ lim x 3x x 2x .
 
 
 
 
        


  

   


   


  
    

Bài 7: Tính giới hạn sau theo a.


14
2
2
xa
2 2 2
32
xa
(x 3x 2) x a
1/ lim
x 5x 4
x 2(a 1)x 2a 1 x a
2/ lim
x 5x 4x




  


    

