DẠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI+HỆ THỨC VI-ÉT
A- TĨM TẮT LÍ THUYẾT:
 = b2 - 4ac
I-Cách giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a  0)
-b - 
-b + 
2a
2a
* Nếu  > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =
; x2 =
-b
* Nếu  = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 2a
* Nếu  < 0 thì phương trình vơ nghiệm
II-Chú ý : Trong trường hợp hệ số b là số chẵn thì giải phương trình trên bằng công thức nghiêm thu gọn.
 ' = b'2 - ac
-b' -  '
-b' +  '
a
a
* Nếu  ' > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =
; x2 =
-b'
* Nếu  ' = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = a
* Nếu  ' < 0 thì phương trình vơ nghiệm.
III- Hệ thức Vi - Et và ứng dụng :
b

 x1  x 2  a

x x  c
2

1 2
a
1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình ax  bx  c 0(a 0) thì : 
2
2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình : x  Sx  P 0
2
(Điều kiện để có u và v là S  4P 0 )
2

3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax  bx  c 0(a 0) có hai nghiệm :

x1 1; x 2 

c
a

c
x1  1; x 2 
2
ax

bx

c

0(a

0)
a
Nếu a - b + c = 0 thì phương trình

có hai nghiệm :
IV: Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm)    0
2. Vơ nghiệm   < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)   = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)   > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu   0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu   > 0 và P < 0  a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0)   0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)   0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau   0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau   0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S > 0
4. Tính giá trị các biểu thức nghiệm
Đối các bài tốn dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa
tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức
2
2
2
2
2
 x1  x2 ( x1  2 x1 x2  x2 )  2 x1 x2 ( x1  x2 )  2 x1 x2


2
x13  x23  x1  x2   x12  x1 x2  x22   x1  x2    x1  x2   3x1 x2 




2



2

x14  x24 ( x12 )2  ( x22 )2  x12  x22   2 x12 x22  ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2   2 x12 x22
1




1 1 x1  x2
 
x1 x2
x1 x2
2



x1  x2   x1  x2   4 x1 x2
x12  x22



(

 x1  x2   x1  x2 


=…….)

2
3
3
 x1  x2   x  x1 x2  x   x1  x2    x1  x2   x1 x2 
x

x
1
2

(=
=……. )
2
2
2
2
4
4
 x  x2   x1  x2  =…… )
 x1  x2
(= 1
6
6
( x 2 )3  ( x22 )3  x12  x22   x14  x12 x22  x24 
 x1  x2
(= 1
= ……..)
Dạng 5: Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có nghiệm chung.

Tổng quát:
Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình. Thay x = x0 vào 2 phương trình ta được hệ với ẩn là các tham số.
Giải hệ tìm tham số m.
Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay khơng?
2
1

2
2

2

2

Bài 1. Cho hai phương trình: x  x  m 0 và x  mx  1 0
Xác định m để hai phương trình trên có nghiệm chung. ( Đáp số: m = - 2, nghiệm chung là x = 1 )
Giải: Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình ta có
Bài 2. Xác định m để 2 phương trình sau có nghiệm chung.

x 2  mx  2 0 và x 2  2 x  m 0 ( Đáp số: m = - 3 nghiệm chung là x = 1)
B- BÀI TẬP
I-CÁC BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI
Bài 1. Giải các phương trình sau :
a / 2x 2  8 0
e / x 3  3x 2  2x  6 0

b / 3x 2  5x 0

c /  2x 2  3x  5 0


d / x 4  3x 2  4 0

f/

x 2
6
3 
x 5
2 x

Bài 2:. Khơng giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
2
a) Cho phương trình : x  8 x  15 0 Khơng giải phương trình, hãy tính
2
1

2
2

1. x  x

1 1

x
x2
1
2.

x1 x2


x
x1
2
3.

x x 
4. 1 2

2

1 1

x
8
x

72
x

64

0
b) Cho phương trình :
Khơng giải phương trình, hãy tính: 1. 1 x2
2

1 1

c) Cho phương trình : x  14 x  29 0 Khơng giải phương trình, hãy tính: 1. x1 x2
2


,

2
2
2. x1  x2

2
2
2. x1  x2

2
d) Cho phương trình : 2 x  3 x  1 0 Khơng giải phương trình, hãy tính:

1 1

x
1. 1 x2

1  x1 1  x2

x
x2
2. 1

e) Cho phương trình
Q

2
1


2
2

3. x  x

x1
x
 2
4. x2  1 x1  1

x 2  4 3 x  8 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính

6 x12  10 x1 x2  6 x22
5 x1 x23  5 x13 x2

2
Bài 3: Cho phương trình x  2mx  m  2 0 (x là ẩn số)

2


a) Chứng minh rằng phương trình ln ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình.
 24
2
2
Tìm m để biểu thức M = x1  x2  6 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 2: (2,0 điểm)
Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0, với m là tham số.

1) Giải phương trình khi m = 1.
x1 x2 8


2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa điều kiện x2 x1 3 .
Bài 3. (1,5 đ)
Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0.
1) Chứng minh rằng : Phương trình trên ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
x 2  x 22
2) Tìm giá trị của m để biểu thức A = 1
đạt giá trị nhỏ nhất.
2
2
Bài 4) Cho phương trình: x – (4m – 1)x + 3m – 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1,
2
2
x thỏa mãn điều kiện : x1  x 2 7
2

Câu 5 (2.0 điểm) : Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 – 2m + 4 = 0
1. Giải phơng trình khi m = 4
2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Câu 6: (1,5 điểm)

x 2  4 x  m 2  3 0 *

 .
Cho phương trình (ẩn số x):
1. Chứng minh phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2. Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x2  5 x1 .

Câu 7: 2 điểm:
Cho phơng trình: x2 2(m-1)x + m2 6 =0 ( m là tham số).
a) GiảI phơng trình khi m = 3
2
2
b) Tìm m để phơng tr×nh cã hai nghiƯm x1, x2 tháa m·n x1  x2 16

Câu 8:(1,5 điểm)
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x 2 −5 x − 3=0 .Khơng giải phương trình, tính giá trị các biểu
thức sau:
1
a, x1 + x2
b,
c, x 21+ x 22
x1 + x2
Câu 9 (2đ)
Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – 1 = 0
a) Giải phương trình khi m = 1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức
A = x12 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu I0: (1,5 điểm)
1. Giải phương trình x 2 – 7x – 8 = 0
2. Cho phương trình x2 – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x 1;
x2 thỏa mãn điều kiện
Câu 11. (1,5 điểm)

x13 x 2  x1x 32  6

2
Cho phương trình x  2(m  1)x  m  2 0 , với x là ẩn số, m  R

a. Giải phương trình đã cho khi m  – 2
b. Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 và x 2 . Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x 2 mà
không phụ thuộc vào m.
II-CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP

3


Bài tập 14: Cho phương trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0
a) Giải phương trình với m = - 5
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
d)Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình khơng phụ thuộc vào m
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài tập 15: Cho phương trình bậc hai(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Giải phương trình với m = 3
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2
c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
f) Khi phương trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm cịn lại
Bài tập 16:Cho phương trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0
a) Giải phương trình với m = - 2
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2. Tìm nghiệm cịn lại
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn: x12 + x22 = 8
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x12 + x22
Bài tập 17: Cho phương trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm bằng 2
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1và x2 không phụ thuộc m
Bài tập 18: Cho phương trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của a
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm khơng phụ thuộc vào a
c) Tìm giá trị nhỏ nhật của biểu thức A = x12 + x22
Bài tập 19: Cho phương trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1. x2 - x12 - x22
Bài tập 20: Cho phương trình: x2 - 2(m+4)x + m2 - 8 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để A = x12 + x22 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất
c) Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất
d) Tìm m để C = x12 + x22 - x1x2
Bài tập 21: Cho phương trình: ( m - 1) x2 + 2mx + m + 1 = 0
a) Giải phương trình với m = 4
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn: A = x12 x2 + x22x1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m
Bài tập 22: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình
mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện

¿
x 21+ x 22=1
¿

Bài tập 23:Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x 1, x2 phân biệt
thoả mãn

1 1 x1 + x2

+ =
x1 x2
5

Bài tập 24:Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn
4


x1 + 4x2 = 3
b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m
Bài tập 25: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0

(1)

Tìm giá trị của tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2.
Bài tập 26: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối
lớn hơn?
c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3.
d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m.
Bài tập 27:
a) Với giá trị nào m thì hai phương trình sau có ít nhật một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó?
x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0

(1)

x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0


(2)

b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình (1) là nghiệm của phương trình (2) và ngược lại.
Bài tập 28:

Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0

Tìm m để

x 21+ x 22 có giá trị nhỏ nhất

Bài tập 29: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình:
2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2
Bài tập 30: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình.
x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0
Tìm m để

¿
x + x 22 có giá trị nhỏ nhất.
¿
2
1

Bài tập 31: Cho phương trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
A = x1x2 + 2x1 + 2x2
Bài tập 32: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số). Tìm m sao cho 2 nghiệm x 1; x2 của
¿
2

2
phương trình thoả mãn 10x1x2 + x 1+ x 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
¿
III-CÁC BÀI TẬP ĐÃ THI
Câu I2. (2,0 điểm)
Cho phương trình (ẩn x): x2– ax – 2 = 0 (*)
1. Giải phương trình (*) với a = 1.
5


2. Chứng minh rằng phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a.
3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị của a để biểu thức:
2
2
N= x1  ( x1  2)( x2  2)  x2 có giá trị nhỏ nhất.
Câu 13. (4,0 điểm)
Cho phương trình x2 – 3x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1).
a) Giải phương trính (1) khi m = 1.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép.
c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 là độ dài các cạnh của một hình chữ
nhật có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích).
Câu14 (2,0 điểm).
2

Cho phương trình: x  2(m  1) x  2m 0 (1)
(với ẩn là x ).
1) Giải phương trình (1) khi m =1.
2) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
3) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1 ; x2 . Tìm giá trị của m để x1 ; x2 là độ dài hai cạnh của một
tam giác vng có cạnh huyền bằng 12 .

Câu 15 (3,0 điểm):
2
2
1. Cho phương trình x - 2m - (m + 4) = 0
(1), trong đó m là tham số.
a) Chứng minh với mọi m phương trình (1) ln có 2 nghiệm phân biệt:
2
2
b) Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để x1 + x 2 20 .
1

2

2. Cho hàm số: y = mx + 1 (1), trong đó m là tham số.
a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A (1;4). Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay
nghịch biến trên R?
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) có phương trình: x + y + 3 = 0
Bài 2: (2,0 điểm)

Cho phương trình x 2  2  m  1 x  m  4 0 (với m là tham số )

.

a) Giải phương trình đã cho khi m  5 .
b) Chứng tỏ phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham soá m.
x12  x 22  3x1x 2 0
c) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm x1, x2 thõa mãn hệ thức :
.

6