Bai toan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (251.63 KB, 5 trang )
Đề bài: Xét dãy số
lim un .
( un ) thỏa mãn un+1 = a + bun , " n Ỵ ¥ * , trong đó a > 0, b > 0, u1 0 l cỏc hng s thc. Tỡm
nđ+Ơ
ùỡ x ³ 0
b + b 2 + 4a
x = a + bx Û ïí 2
Û x=
.
ïï x = a + bx
2
x
=
a
+
bx
x
ỵ
Cách 1: Gọi là nghiệm của phương trình
, ta có
*
Từ giả thiết suy ra un ³ 0, " n Ỵ ¥ .
Với mỗi số nguyên dương n ta có
b
b
b
un+1 - x = a + bun - a + bx =
un - x =
un - x £
un - x .
a + bun + a + bx
a + bun + x
a +x
un - x Ê
Do ú
Suy ra
2
n- 1
ổ b ử
ổ b ử
b
*
ữ
ữ
ỗ
un- 1 - x Ê ỗ
u
x
Ê
...
Ê
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ n- 2
ữ u1 - x , " n ẻ Ơ , n 2.
ỗ
ỗ a + xứ
ố a + xứ
ố
a +x
ổ b ữ
ửn- 1
ỗ
0 Ê un - x Ê ỗ
ữ u1 - x , " n ẻ Ơ * , n 2.
ỗ
ố a + x÷
ø
Ta thấy
b
b + b 2 + 4a b + b 2
lim
0<
<1.
a +x= a +
>
=b >0
a +x
2
2
nờn
Dn ti nđ+Ơ
n- 1
ổ b ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ = 0.
ỗ
ố a + xứ
b + b 2 + 4a
.
2
Vy nđ+Ơ
Nhn xột: Xột hm s f ( x) xỏc định trên tập D và thỏa mãn các tính chất sau
1) Phương trình f ( x) = x có nghiệm duy nhất x = x0 trên D. Ta gọi x0 là điểm bất động của f ( x) trên D.
2) Với mọi x Ỵ D ta đều có f ( x ) Ỵ D.
lim un = x =
f ( x ) - f ( x0 ) £ C x - x0 , " x Ỵ D.
3) Tồn tại hằng số C sao cho 0 < C <1 và
lim un = x0 .
u Ỵ D, un+1 = f (un ), " n ẻ Ơ * ,
u
Khi ú, dóy s ( n ) xỏc nh bi 1
cú gii hn hu hn nđ+Ơ
Tht vậy, với mọi số nguyên n ³ 2 ta có
0 £ un - x0 = f (un- 1 ) - f ( x0 ) £ C un- 1 - x0 £ C 2 un- 2 - x0 £ ... £ C n- 1 u1 - x0 .
lim C n- 1 = 0.
lim un = x0 .
n
đ+Ơ
0
<
C
<
1
Vỡ
nờn
Vy nđ+Ơ
*
Cỏch 2: T gi thit suy ra un > 0, " n ẻ Ơ , n ³ 2.
un+1 - un = a + bun - un =
Để ý rằng
* Trường hợp 1:
0 £ u1 Ê
ổ
ửổ
ỗ
ỗ
a + bu n - u n2
- 1
b + b 2 + 4a ữ
bữ
ỗ
ỗ
ữ
=
u
un ỗ
ỗ
n
ữ
ỗ
ỗ
ữ
2
a + bun + un
a + bun + un ỗ
ữ
ố
ứỗ
ố
ử
b 2 + 4a ữ
ữ
ữ
.
ữ
ữ
2
ữ
ứ
b + b 2 + 4a
b + b 2 + 4a
.
0 £ uk £
.
2
2
Giả sử
Khi đó
0 £ uk +1 = a + buk £ a + b
Theo nguyên lí quy nạp, suy ra
0 £ un £
b + b 2 + 4a
b 2 + 4a + 2b b 2 + 4a + b 2 b + b 2 + 4a
=
=
.
2
4
2
b + b 2 + 4a
, " n ẻ Ơ * (1).
2
un+1 - un =
Lỳc ny
ổ
ửổ
ỗ
ỗ
- 1
b + b2 + 4a ữ
bữ
ỗ
ỗ
ữ
u
un ỗ
ỗ
n
ữ
ỗ
ỗ
ữ
2
a + bun + un ỗ
ữỗ
ố
ứ
ố
ử
b 2 + 4a ữ
ữ
ữ
0 ị un+1 un , " n ẻ ¥ * (2).
÷
÷
2
÷
ø
é
ù
2
ê b + b + 4a ú
lim un = x ẻ ờ0;
ỳ.
2
nđ+Ơ
ờ
ỳ
un )
(
ở
ỷ Ly gii hn hai v của đẳng thức đề
Từ (1) và (2) suy ra dãy
có giời hạn hữu hạn
ïì x ³ 0
b + b 2 + 4a
b + b 2 + 4a
x = a + bx Û ïí 2
Û x=
.
lim
u
=
.
n
ïï x = a + bx
2
2
ỵ
bài, ta c
Vy nđ+Ơ
* Trng hp 2:
u1 >
b + b 2 + 4a
b + b 2 + 4a
.
uk >
.
2
2
Giả sử
Khi đó
uk +1 = a + buk > a + b
b + b 2 + 4a
b 2 + 4a + 2b b 2 + 4a + b 2 b + b 2 + 4a
=
=
.
2
4
2
b + b 2 + 4a
, " n Ỵ Ơ * (3).
2
Theo nguyờn lớ quy np, suy ra
ổ
ửổ
ỗ
ỗ
- 1
b + b2 + 4a ữ
bữ
ỗ
ỗ
ữ
un+1 - un =
u
un ỗ
ỗ
n
ữ
ỗ
ỗ
ữ
2
a + bun + un ỗ
ữỗ
ố
ứ
ố
Lỳc ny
un >
T (3) v (4) suy ra dãy
( un ) có giời hạn hữu hạn
lim un = x
nđ+Ơ
ử
b 2 + 4a ữ
ữ
ữ
< 0 ị un+1 < un , " n ẻ Ơ * (4).
ữ
ữ
2
ữ
ứ
b + b 2 + 4a
.
2
Lấy giới hạn hai vế của đẳng thức đề
ïì x ³ 0
b + b 2 + 4a
b + b 2 + 4a
x = a + bx Û ïí 2
Û x=
.
lim
u
=
.
n
ïï x = a + bx
2
2
ỵ
bài, ta được
Vậy nđ+Ơ
u
= a1 + b1un - a2 + b2un , " n ẻ Ơ * ,
u
Bi toỏn: Cho dóy s ( n ) có u1 ³ 0, n+1
trong đó a1 > a2 > 0, b1 > b2 > 0 là các
lim un .
hng s. Tỡm nđ+Ơ
