De Toan 9 nam 20172018
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (154.41 KB, 6 trang )
UBND HUYỆN HÒA BÌNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC 2017 -2018
MƠN : TỐN
LỚP : 9
Thời gian : 150 phút
(Khơng kể thời gian giao đề)
(Đề thi gờm có 01 trang)
ĐỀ
Câu 1: (5 điểm)
3
2
a) Chứng minh: n 2013n 2 n chia hết cho 6 với mọi số dương n.
2
b)Tìm số tự nhiên n sao cho A n 10 n 136 có giá trị là số chính phương.
Câu 2: ( 5 điểm )
a) Giải phương trình
x 2 + 10 x = x 2 12 x 40
1 1 1
x y z 2
2 1 4
2
b) Giải hệ phương trình sau: xy z
Câu 3: ( 5 điểm )
a) Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
x2
y2
z2
biểu thức A = y z z x x y
a 1 b 1 c 1
2
2
3
2
b) Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 3 . Chứng minh rằng: b 1 c 1 a 1
Câu 4: ( 5 điểm )
Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là
giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vng góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung
điểm của EF.
a) Chứng minh: CM vng góc với EF.
b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng.
c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích
của hình vng ABCD
-----Hết-----
UBND HUYỆN HÒA BÌNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC 2017 -2018
MÔN : TỐN
LỚP : 9
Thời gian : 150 phút
(Hướng dẫn chấm gờm 04 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1:( 5,0 điểm)
a) (2,5 điểm)
Ta có
n3 2013n 2 2n n3 3n 2 2n 2010n 2
(0,5ñ)
=n n 2 3n 2 2010n 2
(0,5ñ)
=n n+1 n 2 2010n 2
(0,5ñ)
n n+1 n 2 6
Vì:
2
2010n 6
Nên : n n+1 n 2 2010n 2 6
(0,25đ)
(0,25đ)
Vậy: n3 2013n 2 2n chia hết cho 6 với mọi số dương n
(0,25đ)
(0,25đ)
b) ( 2,5 điểm)
Vì n N, A là số chính phương nên:
n 2 10n 136 k 2
2
n+5 111 k 2
2
k 2 n+5 111 3.37 1.111
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
Do: k+n+5>k-n-5>0 nên ta có hai hệ phương trình
k n 5 3
(I)
k n 5 37
k n 5 1
hoặc(II)
k n 5 111
(0,25đ)
(0,25đ)
k=20
(Giải hệ pt (I) tìm được
n=12
(0,5đ)
k=56
Giải hệ phương trình (II) tìm được
n=50
(0,5đ)
Vậy n 12;50 thì A là số chính phương
(0,25đ)
Câu 2: ( 5 điểm )
a) (2,5 điểm)
2
Giải phương trình x 2 + 10 x = x 12 x 40
ĐK: 2 x 10
Ta có :
2
2
Vế phải: x 12 x 40 = ( x 12 x 36 )+4 = (x - 6)2 +4 4 (1)
(0,25đ)
(0,5đ)
Vế trái: áp dụng BĐT Cauchy cho hai số khơng âm ta có:
x 2 +
10 x =
( x 2).4
2
+
(10 x).4
x 24
10 x 4
2
4
4
+
= 4 (2) (1,0đ)
Từ (1) và (2) dấu bằng xảy ra khi
x 6
x 2 4
10 x 4
Vậy phương trình có nghiệm là x = 6
(0,5đ)
(0,25đ)
a) (2,5 điểm)
1 1 1
x y z 2
2 1 4
2
b) Giải hệ phương trình sau: xy z
ĐK : x,y,z 0
1 1 1
1
1 1
2 2 2
2 2 2 2 4
x
y
z
xy xz yz
Từ pt x y z
2 1
1
1 1
2 2 2
2 2 2 2
x
y
z
xy xz yz
Thay vào pt thứ hai của hệ ta được : xy z
1
1
2 2 2
2 2
0
2
y
z
xz yz
x
2 1
1 2 1 1
2 2 2 2 0
xz z y
yz z
x
2
(0,25đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
2
1 1 1 1
0
x z y z
(0,5đ)
¿
1 1
+ =0
x z
1 1
+ =0
y z
⇔ x= y =− z
¿{
¿
(0,5đ)
1
1 1 1
; ;
Thay vào hệ đã cho ta được (x ; y; z) = 2 2 2
(0,25đ)
Câu 3: ( 5 điểm )
x2
yz
a) Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương y z và 4 ta có:
x2
yz
x2 y z 2x
2
.
x
yz
4
yz 4
2
(0,5đ)
2
y
z x 2y
y
4
2
Tương tự ta có: z x
z2
x y 2z
z
x y
4
2
2
2
(0,5đ)
(0,5đ)
2
x
y
z
x y yzzx
x y z
y
z
z
x
x
y
4
Suy ra:
x2
y2
z2
x yz
1
2
yz zx x y
Vậy A đạt GTNN là 1 khi
x y z
2
3
(0,5đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
b) Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
Tương tự ta có:
b 2 a 1
b 2 a 1
a 1
b ab
a
1
a
1
a 1
2
2
b 1
b 1
2b
2
a 1
c bc
b 1
2
c 1
2
a 1
a ca
c 1
2
a 1
2
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
Cộng ba đẩng thức trên vế theo vế ta được:
2
a 1 b 1 c 1 a b c
ab bc ca
9 ab bc ca 9 a b c
2
2
3
3
2
b 1 c 1 a 1
2
2
2
2
6
= 2
(0,75đ)
Dấu”=” xảy ra khi a = b = c = 1
(0,25đ)
Câu 4: ( 5 điểm )
Vẽ hình đúng ( 0,25đ)
E
M
A
N
B
D
F
C
a) Chứng minh CM vng góc với EF (1,25đ)
Ta có: ECD BCF (cùng phụ với ECB )
(0,25đ)
EDC = FBC (g-c-g)
(0,5đ)
CE = CF
ECF cân tại C
(0,25đ)
Mà CM là đường trung tuyến nên cũng là đường cao CM EF
b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng (1,5đ).
Vì EDC = FBC (câu a) ED = FB
(0,25đ)
(0,25đ)
NCF vuông tại C. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
BC2 = NB.BF a2 = NB.DE (đpcm)
Áp dụng đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
(0,25đ)
CM
EF
EF
AM
2 ,
2
CM = AM
(0,5đ)
Do DA = DC nên DM là đường trung trực của AC
(0,25đ)
Vì ABCD là hình vng nên B, D thuộc đường trung trực của AC
(0,25đ)
B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của AC (đpcm).
(0,25đ)
c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích
của hình vng ABCD (2,0đ)
Đặt DE = x (x > 0) BF = x
1
AF AE CB
SACFE = SACF + SAEF = 2
1
(AB BF) AE AD
2
1
1
(a x).DE (a x)x
2
2
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
SACFE = 3.SABCD
(0,25đ)
(2a x)(3a x) 0
1
(a x)x 3a 2 6a 2 ax x 2 0
2
Do x > 0; a > 0 3a + x > 0 2a x 0 x = 2a
A là trung điểm của DE AE = a
AN AE
1
NB
BC
Vì AE //BC nên
N là trung điểm của AB.
Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
-----Hết----Chú ý: Học sinh giải cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa của ý đó
