KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017-2018
Mơn: TỐN

Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề
Ngày 21-12-2017
(Đề thi có 03 trang)

Thí sinh làm bài (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) ra tờ giấy thi.
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm)
Câu 1. Biểu thức x  2 x  1  x  2 x  1 có nghĩa khi nào?
1
1
1
0 x 
x
x
2.
2 hoặc x  2. D.
2.
A.
B. 0  x  1.
C.
Q  x 2

Câu 2. Cho biểu thức .
Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.

biết x 0

5

B. 2 .

A. 2.
Câu 3. Cho
A. 5

1
x 2

A

C. 3.

D. 4.

x 6
x  1 . Tìm số các giá trị hữu tỉ của x để biểu thức A nguyên .

B. 6

c. 7

D. 10

Câu 4. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y  m  2  x  2 . Gọi h là khoảng
cách từ điểm O đến đường thẳng (d) . Tìm giá trị lớn nhất của h.
A. 2 3.
B. 3.
C. 5.
D. 2.

Câu 5. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A   2; 4  ; B  2;  4  ; C  5;1 . Tính diện tích
tam giác ABC .
A. 20,5.
B. 21,5.
C. 22.
D. 18.
d : x  2 y 6
Câu 6. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng  1 
;
 d 2  : y  x  2 ;  d3  :  2m  3 x  3my 0 . Tìm m để ba đường thẳng đã cho đồng quy.
1
2
1
3
.
.
.
.
A. 2
B. 2
C. 4
D. 3
 x  ( m  1) y 2

Câu 7. Cho hệ phương trình. ( m  1) x  y m  1 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
(x,y) thỏa mãn điều kiện (x> y).
 m 1

A.  m  0
B.0 < m < 1

C. 0 m 1
D. m >1
(2m  1) x  y 2m  2
 2
m x  y m 2  3m
Câu 8. Cho hệ phương trình : 
trong đó m  z , m  1 . Tìm m để hệ phương
trình có nghiệm nguyên.
  3;  4;0; 2 
m    4;  2;0; 2 
A. m 
B.
1


C.

m    4;  3;  2; 2



D.

m    1; 0;1; 2

Câu 9..Hệ phương trình nào sau đây vô nghiệm ?
 x  2 y 5
 x  2 y 5



 1
1
  x  y 3
 x  y 3
A.  2
B.  2
C.



 x  2 y 5

 1
5
  x  y 
2
 2

 x  2 y 5

 1
  x  y 3
D.  2
.

4
Câu 10: Mợt tam giác vng có tỉ số hai cạnh góc vng bằng 9 , tỉ số hai hình chiếu

của hai cạnh góc vng đó trên cạnh huyền là:
2

A. 3

16
B. 81

4
C. 9

9
D. 4
3
Câu 11: Cho tam giác ABC vng tại A có AC = 21cm, cosC = 5 . Khi đó tanB =
3
4
21
35
A. 4
B. 3
C. 35
D. 21

Câu 12: Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC cạnh a là:
a
A. 3

a 3
B. 6

a 3
C. 2


a 3
D. 3

Câu 13: Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD song song với nhau, biết AB = 3cm;
CD = 4cm, khoảng cách giữa hai dây là 3,5cm. Bán kính đường tròn (O) là:
A. 1,5cm
B. 2cm
C. 2,5cm
D. 3cm.
Câu 14. Tam giác cân tại A, đường cao AD, trực tâm H. Biết AH = 14cm,
HB= HC= 30cm, Độ dài AD là.
A.32cm và 11cm
B.30cm và 12cm
C.35cm và 14cm
D.32cm và10cm.
Câu 15. Tam giác ABC có chu vi 80cm ngoại tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của
đường tròn (O) song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự ở M,N, Biết MN= 9,6cm.
độ dài BC là.
A. 28cm và 12cm
B. 26cm và 15cm
C. 25cm và 15cm
D. 24cm và 16cm.
Câu 16. Một ngày đầu năm 2002, Huy viết thư hỏi ngày sinh của Long và nhận được
thư trả lời : Mình sinh ngày a, tháng b, năm 1900 + c và đến nay d tuổi. Biết rằng
a.b.c.d = 59007. Huy đã tính được ngày sinh của Long và kịp viết thư chúc mừng
sinh nhật bạn. Hỏi Long sinh ngày tháng năm nào .
A. 17-3-1989
B, 17- 2 – 1990
C. 20-3-1989

D 18-2- 1990

2


B. PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm)
a  b.2017
a) Tìm các số nguyên dương b, c thỏa mãn b  c.2017 là số hữu tỉ và b2 +c2 + bc là số

nguyên tố (a là số nguyên )
2017
2017
2018
2018
2019
2019
b) Cho a  b a  b a  b
. Tính a + b

Câu 2 (3,5 điểm)
a) Giải phương trình

x 3 

x  4 1.

2
2
 x  2 xy  2 y  3x 0


2
b) Giải hệ phương trình  xy  y  3 y  1 0
.

Câu 3 (4,0 điểm).
1.

Cho đường tròn tâm O, điểm K nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến KA, KB
với đường tròn (A, B là các tiếp điểm ). Kẻ đường kính AOC. Tiếp tuyến của
đường tròn (O) tại C cắt AB ở E. Chứng minh rằng .

a) Các tam giác KBC và OBE đờng dạng.
b) CK vng góc với OE.
2.

Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC= a. Ba đường cao tướng ứng là h a, hb,,hc
(a  b  c) 2
4
2
2
2
Chứng minh rằng. ha  hb  hc

Câu 4 (1,5 điểm). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc + a +c = b. Tìm giá trị lớn nhất
2
2
3
P



2
2
1  a 1  b 1  c2
của biểu thức sau.

.......................HẾT.......................
Họ và tên thí sinh: ................................................................... SBD: ..................
Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

3


KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017-2018
HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN

Hướng dẫn chấm có 06 trang
I.
Một số chú ý khi chấm bài
- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám khảo
cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25
điểm.
- Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương
ứng với thang điểm của đáp án.
- Điểm bài thi là tổng điểm các câu khơng làm trịn số.
II.
Đáp án – thang điểm
1. Phần trắc nghiệm khách quan
Câu 1

2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
Đáp
án D B A D C C A B A B A D C A D A
đúng
Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
2. Phần tự luận
Nội dung

Điểm

Câu 1. (3,0 điểm)
a)

a  b.2017
Tìm các số nguyên dương b, c thỏa mãn b  c.2017 là số hữu tỷ và

b2 +c2 + bc là số nguyên tố (a là số nguyên).
Ta có
a  b.2017 m

b  c.2017 n

(trong do ( m, n)  Z , m 0)


0,25

 an  n b.2017 mb  m c.2017
 an  mb m c.2017  n b.2017

0,25

Vì. (an-mb) là số hữu tỉ
Suyra: m c.2017  n b.2017  Q Tacó.
(m c.2017  n b.2017) 2 m2 c.2017  n2b.2017  2 b.c.2017 2  Q
 bc  x 2 ( x  N * )

0,25
0,25

4


Nội dung
Ta có b +c +bc = (b + c ) – x =(b +c – x)(b + c +x) là số nguyên tố.
2

2

2

Suy ra: b + c - x = 1 

Điểm


2

0,25

b  c  x  1

2
bc  x

Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có

b  c 2 bc  x  1 2 x  1 x vi x  N*  x 1
 b c 1

0,25

2017
2017
2018
2018
2019
2019
b) . Cho a  b a  b a  b
. Tính a + b.

Nếu a = b = 0 thì a + b = 0.

0,25


Nếu a + b  0.
 a 2019  b 2019 (a 2018  b 2018 )(a  b)  ab( a 2017  b2017 )
 1 (a  b)  ab  1  (a  b)  ab 0  (a  1)(b  1) 0
 a  1 0

 b  1 0
 b 0
a  1 0  a 1  

 b 1
 a 0
b  1 0  b 1  

 a 1

Nếu.

Vay : a  b   0;1; 2

0,25
0.25
0,25

 a  b 1
 b  a 2

 a  b 1
 b  a 2



0,25
0,25



Câu 2 (3,5 điểm)
a) Giải phương trình : x  3 

x  4 1

Điều kiện : x 4 . Ta có
x 3 


0,25

x  4 1.

x  3  x  4 1

0,25
0,25
0,25
0,25

 x  3 x  4 1  2 x  4
 3 x 4
 9  x  4  x 13

0,25


Vậy x = 13

b) Giải hệ phương trình
 x 2  2 xy  2 y 2  3 x 0

2
 xy  y  3 y  1 0

5


Nội dung
2
 x  2 xy  2 y  3 x 0
 x  2 xy  2 y  3x 0


2
2
 xy  y  3 y  1 0
2 xy  2 y  6 y  2 0
2
2
2
 x  2 xy  2 y  3x  2 xy  2 y  6 y  2 0

2
2 xy  2 y  6 y  2 0
( x  2 y ) 2  3( x  2 y )  2 0

( x  2 y  1)( x  2 y  2) 0



2
2
2 xy  2 y  6 y  2 0
2 xy  2 y  6 y  2 0
2

2

Điểm

2

0,25

  x  2 y  1 0

2
 2 xy  2 y  6 y  2 0


x  2 y  2 0


 2 xy  2 y 2  6 y  2 0

0,25


  x  3  2 2

  y 1  2

  x  3  2 2

  y 1  2

   x  3  5
 
  y 1  5
2


  x  3  5

  y 1  5
 
2

0,25

Hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm.

0,25

( x; y )   (  3  2 2;1  2);(  3  2 2;1 

0.25

0,25

0,25

2);(  3  5;

1

5
2

);(  3 

5;

1 5
)
2



0,25

Câu 3. 1. Cho đường tròn tâm (O), điểm K nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp
tuyến KA, KB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm ). Kẻ đường kính AOC.
Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt AB ở E. Chứng minh rằng .
c) Các tam giác KBC và OBE đồng dạng.
6



Nội dung

Điểm

d) CK vng góc với OE.

0,25

a) Ta có AK//CE (cùng vng góc AC)



 BEC
BAK
 BCE
 AKO
BE OB
KB OB


 tan BEC
tan OKB




BC KB
BC BE




Ta có KBA OBC (cùng phụ với ABO )

0,5

0,5



 KBC
OBE
suy ra tam giác KBC đồng dạng tam giác OBE (c.gc).


b) Từ a) suy ra BCK BEO gọi J là giao điểm của BC và OE, I là giao điểm của CK 0,25

và OE.

0,5



Ta có BJE CJO (đối đỉnh ). Suy ra OE vng góc CK.

3.

Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC= a. Ba đường cao tướng ứng là
( a  b  c) 2
4
2

2
2
ha, hb,,hc chứng minh rằng. ha  hb  hc

7


Nội dung

Điểm

0,25

025

Kẻ AM vng góc BC
Kẻ Ax vng góc AM
Kẻ By vng góc BC.
Ax cắt By tại N trên tia đối của NB lấy E sao cho NE =NB.
Ta có AM = NB = NE=ha .

0.25
0,25

Áp dụng định lý py ta go vào tam giác EBC
BE 2  BC 2 EC 2 trong tam giác EAC thì EA  AC EC

0,25
2
2

2
 EB 2  BC 2 ( EA  AC )2  4ha  a (b  c) dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC
cân tại A

0,25

Chứng minh tương tự ta có
 4hb2  b 2 (a  c) 2

và

 4hc2  c 2 (a  b) 2

Suy ra
4(ha2  hb2  hc2 )  a 2  b 2  c 2 (a  b) 2  (b  c ) 2  (c  a ) 2
 4(ha2  hb2  hc2 ) (a  b  c) 2 

(a  b  c)2
4
ha2  hb2  hc2

Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều

8

0,25

0,25



Nội dung

Điểm

Câu 4.Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc + a +c = b. Tìm giá trị lớn nhất của
2
2
3
P


2
2
1  a 1  b 1  c2 .
biểu thức sau.

0,25

Ta có abc + a +c = b
b a
 c
0
1  ab
2
2
3
 P


2

2
1  a 1  b 1  c2
2
2
3(1  ab) 2



1  a 2 1  b 2 (1  ab) 2  (b  a) 2

0,25
0,25

2(b 2  a 2 )
3(1  ab) 2


(1  a 2 )(1  b 2 ) (1  ab) 2  (b  a) 2
2

2

025

2

2(b  a )
3(b  a )

3

2
2
(1  a )(1  b ) (1  a 2 )(1  b 2 )
(b  a )(5a  b)
(3b  3a )(5a  b)

3 
 3 apdungbatdangthuc AM  GMva cauchyswarz
2
2
(1  a )(1  b )
3(1  a 2 )(1  b 2 )




0,25

(3b  3a  5a  b) 2
(a  b)2
10

3

3 
2
2
2
12(1  a )(1  b )
3(a  b)

3
3b  3a 5a  b
a 1
10

P   

3
1
b

a.b.c  a  c b

.Vậy Max


a 

b 

c 


1
2
2
2
4

9


0,25