Tên sáng kiến:

VIẾT ĐA THỨC a b n (với a, b, n  Z ) DƯỚI DẠNG

LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG HOẶC MỘT HIỆU
BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
*****
1. Lời nói đầu:
1.1.

Lý do chọn đề tài:

Trong giải tốn, khơng phải lúc nào từ điều kiện đề tài ta cũng tìm ra kết
quả của bài tốn được hết. Đơi khi ta phải nhẩm để tìm ra kết quả bài tốn rồi
sau đó mới tìm ra được cách giải bài tốn đó. Chẳng hạn: Để giải bài toán VIẾT

ĐA THỨC a b n (với a, b, n  Z ) DƯỚI DẠNG LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT

TỔNG HOẶC MỘT HIỆU trước hết ta phải đưa đa thức đó về dạng
x3 3x 2 y n  3x ( y n ) 2 ( y n )3 rồi sau đó viết thành ( x  y n )3 . Tuy nhiên ở bước

thứ nhất ta thực hiện khơng dễ chút nào, thậm chí lả khơng thực hiện được nếu
a, b có giá trị lớn. Trong trường hợp này ta phải nhẩm để tìm x, y trước và máy
tính cầm tay là cơng cụ hữu hiệu để ta thực được công việc này.
1.2.

Phạm vi đề tài:

Đề tài này dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi môn máy tính cầm tay thuộc
chủ đề phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp bằng phương pháp


dùng hằng đẳng thức. Cụ thể là VIẾT ĐA THỨC a b n (với a, b, n  Z )

DƯỚI DẠNG LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG HOẶC MỘT HIỆU
2. Thực trạng đề tài:
Trước khi áp dụng sáng kiến, làm bài khảo sát với 10 học sinh giỏi của
trường với nội dung: “Viết các đa thức sau thành lập phương của một tổng hoặc
hiệu:

a) 10  6 3
b) 5  2 13
c) 477+385 2 ”


1 1
( 
13)3
3
3
(1

3)
(Đáp án: a)
; b) 2 2
; c) (3  5 2) )

trong thời gian 15 phút. Kết quả đạt được như sau:
- Có 5 học sinh làm được câu a)
- Khơng có học sinh nào làm được câu b) và c).
Nguyên nhân:
Học sinh thưởng giải như sau:

3
3
2
2
3
Đặt a b n = ( x y n ) x 3 x y n  3nxy ny n

 x 3  3nxy 2 a
  2
3
3 x y  y b

Sau đó giải hệ để tìm x và y. Nhưng giải hệ này khơng dễ chút nào. Ở câu
a) có một số học sinh giải được do x=1 và y=1 nên học sinh nhẩm được, còn các
câu còn lại học sinh khơng giải được.
3. Giải pháp thực hiện:

Như đã nói ở trên, để viết đa thức a b n (với a, b, n Z ) thành

( x y n )3 trước tiên ta phải tìm x và y trước. Cách làm như sau:
3
Do ( x  y n ) = a b n
3
Nên: x  y n  a b n

3
Hay: x  a b n  y n

Do a, b, n là các số đã biết, nên ta tìm cặp số x, y bằng cách cho y lần lượt
nhận các giá trị là: 1, 2, 3, … để tính x. Đến khi x nhân giá trị nguyên thì dừng,

lúc này cặp số x, y là cặp số cần tìm. Sau khi tìm được cặp số x, y thì lúc này ta
3
3
2
2
3
viết: a b n = x 3x y n  3x( y n ) ( y n ) = ( x  y n ) .

Bài tập áp dụng:
Ví dụ1: Viết biểu thức 477+385 2 dưới dạng lập phương một tổng
Cách giải:
Cách 1:


3
Nhập: 477  385 2  Y 2 vào màn hình

Ấn CALC nhập 1 = ( kết quả: 8,656854249 loại )
Ấn CALC nhập 2 = ( kết quả: 7,242640687 loại )
Ấn CALC nhập 3 = ( kết quả: 5,828427125 loại )
Ấn CALC nhập 4 = ( kết quả: 4,414213562 loại )
Ấn CALC nhập 5 = ( kết quả: 3 nhận )
Vậy khi y=5 thì x=3.
Do đó:

477  385 2 33  3.32.5 2  3.3.(5 2) 2  (5 2) 3 (3  5 2) 3
Cách 2:
Có thể sử dụng quy trình ấn phím liên tục sau:
-1  Y ( Dấu mũi tên ấn SHIFT STO )
3

Y+1  Y: 477  385 2  Y 2
3

Ấn = liên tục đến khi 477  385 2  y 2 là số nguyên thì dừng.
Cách 3:
3
Vào MODE 7 nhập hàm f(X)= 477  385 2  X 2

Ấn = nhập 1 (Giá trị bắt đầu)
Ấn = nhập 20 (Giá trị cuối cùng) nếu máy ở chế độ hai hàm, nhập 30 nếu
máy ở chế độ một hàm.
Ấn = nhập 1 (Bước nhảy)
Ấn = sau đó tra bảng giá trị, tìm cặp số (X;F(X)) là số nguyên. Lưu ý X
chính là y và F(X) chính là x do máy mặc định khơng có hàm biến y
Ví dụ 2: Viết biểu thức 13150- 6345 5 dưới dạng lập phương một hiệu.
Cách giải:
Sử dụng quy trình ấn phím liên tục sau:
-1  Y ( Dấu mũi tên ấn SHIFT STO )
3
Y+1  Y: 13150  6345 5  Y 5


3
Ấn = liên tục đến khi 13150  6345 5  Y 5 là số nguyên thì dừng.
3
( Kết quả: khi y=9 thì 13150  6345 5  Y 5 =10 tức là x=10
3
2
2
3

Vậy: 13150 - 6345 5 = 10  3.10 .9 5  3.10.(9 5)  (9 5)

3
= (10  9 5)

Lưu ý: Đôi khi thử trên máy mà x khơng nhận giá trị ngun thì giá trị
của x và y là các phân số, lúc này việc tìm x và y sẽ vơ cùng khó khăn, tùy thuộc
vào sự phán đoán của mỗi người.
Chẳng hạn: Viết biểu thức

5  2 13 dưới dạng lập phương một tổng.

Cách giải:
3
Trước hết ta tính 5  2 13  y 13
3
Với y=1 thì 5  2 13  y 13 = -1,302775638 ( loại ) vì x dương. Từ đó

suy ra y<1. Thử cho

y

1
2 thì

3

5  2 13 

1

1
13 
2
2 (tức là

x

1
2 . Vậy

1 1
5  2 13 ( 
13)3
2 2
Mở rộng đề tài:
1) Với a, b, n là các số hữu tỉ dương thì cách VIẾT ĐA THỨC a b n
DƯỚI DẠNG LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG HOẶC MỘT HIỆU cũng
thực hiện tương tự. Tuy nhiên, do a, b, n là các số hữu tì nên việc xác định x và
y tương đối khó khăn, tùy thuộc vào sự phán đốn của mỗi người.
Ví dụ: Viết biểu thức

2  10

1
27 dưới dạng lập phương một tổng.

Cách giải:
3

Trước hết ta tính


2  10

1
1
 y
27
27 với y=1; 2; 3;….


3

Đến y=3 thì
2  10

Vậy:

1
1
 y
27
27 =1 (tức là x=1)

2  10

1
1 3
(1  3
)
27

27

Ví dụ: Viết biểu thức

4

5
3

31
3 dưới dạng lập phương một hiệu.

Cách giải:
3

Trước hết ta tính
3

Với y=1 thì
3

Với y=2 thì

4

5 31
31
y
3 3
3 với y=1; 2; 3;…


4

5 31
31
y
3 3
3 =2,107275127 (loại)

4

5 31
31
y
3 3
3 =5,32182538 (loại)

Từ đó suy ra y < 1 do x không thể lớn hơn 4.
Thử cho
Vậy:

4

y

5
3

1
2 thì


3

4

5 31
31 1
1
y

x
3 3
3 2 ( tức là
2)

31
1 1
( 
3
2 2

31 3
)
3


2) Trường hợp đa thức dạng a m b n ( với a, b, m, n  Z ) khi viết thành

lập phương của một tổng hoặc một hiệu ta làm như sau:
3

Đặt a m b n = ( x m y n )

 x m  y n  3 a m b n
3

 x

a m b n  y n
m

Sau đó, cho y= 1, 2, 3,…để tính x đến khi x nhận giá trị ngun thì dừng
Ví dụ: Viết biểu thức 47300 11  49610 10 dưới dạng lập phương một
tổng.
Cách giải:
Quy trình ấn phím :


 1 Y
3

Y 1  Y :

47300 11  49610 10  Y 10
11
3

Ấn = liên tục đến y=11 thì

47300 11  49610 10  Y 10
11

=10 tức là x=10

3
Vậy 47300 11  49610 10 = (10 11 11 10)

Ví dụ: Viết biểu thức 66177 3  80980 2 dưới dạng lập phương một hiệu.
Cách giải:
Quy trình ấn phím :
 1 Y
3

Y 1  Y :

66177 3  80980 2  Y 2
3
3

Ấn = liên tục đến y=20 thì

66177 3  80980 2  Y 2
3
=19 tức là x=19

3
Vậy: 66177 3  80980 2 (19 3  20 2)

4. Kết quả:
Sau khi cho học sinh áp dụng sáng kiến đã nêu vào việc VIẾT ĐA THỨC
a b n DƯỚI DẠNG LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG HOẶC MỘT HIỆU


thì học sinh làm bài rất tốt, nhanh và chính xác. Cụ thể, làm bài khảo sát với 10
học sinh giỏi của trường với nội dung: “Viết các đa thức sau thành lập phương
a) 4625  3750 3

của một tổng hoặc hiệu:

b)

54  270

1
27

c) 2176 2  1728 3 ”
3

( Đáp án: a) (5  10 3) ; b)

(3  9

1 3
)
3
27 ; c) (8 2  4 3) )

trong thời gian 15 phút. Kết quả cả 10 học sinh đều giải đúng chỉ trong 5 phút
5. Kết luận:
5.1.Bài học kinh nghiệm:




Như vậy, để viết đa thức a b n (với a, b, n  Z ) dưới dạng lập phương

của một tổng hoặc một hiệu, ta làm như sau:
3
Đặt: a b n ( x y n )

 x  3 a b n  y n

Sau đó, cho y=1; 2; 3;… để tính các giá trị tương ứng của x. Đến khi x
nhận giá trị nguyên thì dừng. Giả sử khi y=c thì x=d, thì lúc này ta được:
a b n (d c n )3

Nếu đa thức dạng a m b n (với a, b, m, n  Z ) thì khi viết dưới dạng lập

phương của một tổng hoặc một hiệu ta làm như sau:
3
Đặt a m b n ( x m y n )
3

 x

a m b n  y n
m

Sau đó, cho y=1; 2; 3;… để tính các giá trị tương ứng của x. Đến khi x
nhận giá trị nguyên thì dừng. Giả sử khi y=c thì x=d, thì lúc này ta được:
a m b n (d m c n )3

Lưu ý: Nếu số dưới dấu căn bậc hai là các số hữu tỉ dương thì cách làm

cũng tương tự như trên
5.2.Các kiến nghị:
Không
Phường 1, ngày 25 tháng 12 năm 2017
Người viết sáng kiến

Huỳnh Ngọc Thạch