Tài liệu Đề thi và đáp án kỳ thi olympic toán ĐBSCL pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (128.39 KB, 8 trang )
Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp
Trường THPT Thò Xã Séc
ĐỀ THI OLYMPIC ĐBSCL
Môn: TOÁN – Khối 12
Bài 1:
Cho số nguyên n > 1 và số thực p > 0 . Tìm giá trò lớn nhất của:
1
1
1
n
i
ii
xx
khi
i
x
chạy khắp mọi giá trò thực không âm sao cho
px
n
i
i
1
.
Bài 2:
Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc oxy cho n véctơ :
n
OAOAOA ,,,
21
, thỏa
1
21
n
OAOAOA
Chứng minh rằng có thể chọn ra k véctơ có tính chất :
4
1
21
k
iii
OAOAOA
.
Bài 3:
Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp
Trường THPT Thò Xã Séc
Dãy số
()
n
u
, (n =1, 2, 3, ) được xác đònh bởi
1
1
( 1)
k
n
n
k
u
k
, với n=1, 2, 3,
Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 4:
Giải phương trình sau :
01464
234
TTTT
Bài 5:
Cho tam giác ABC, O là điểm tùy ý trong tam giác. Đặt : OA = x; OB = y;
OC = z. Gọi u, v, w tương ứng là các đường phân giác trong các góc
BOC,
COA, AOB củøa các tam giác BOC, COA, AOB.
Chứng minh rằng :
2( )x y z u v w
.
Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp
Trường THPT Thò Xã Séc
ĐÁP ÁN
Bài 1:
Đặt : S = x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ … + x
n-1
x
n
; p = x
1
+
x
2
+ … + x
n
.
Giả sử : x
k
= Max { x
1
,
x
2
, … , x
n
}
S =
1
1
1
n
i
ii
xx
=
k
i
ii
xx
1
1
+
1
1
n
ki
ii
xx
1
1
.
k
i
ik
xx
+
1
1
.
n
ki
ik
xx
x
k
(p – x
k
)
4
2
p
,(Côsi).
Vậy : Max S =
4
2
p
khi x
k
= x
k+1
= p/2 và x
i
= 0, i = 1,…n, i k và i k + 1.
Bài 2:
Gọi (x
i
,y
i
) là tọa độ véctơ
i
OA
, i = 1,…,n.
Ta có:
iiiii
yxyxOA
22
, (1). Dấu ‘’=’’ xãy ra khi x
i
= 0 hay y
i
= 0.
Từ gthiết ta có:
n
i
i
n
i
in
yxOAOAOA
11
21
1
Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp
Trường THPT Thò Xã Séc
000011
1
iiii
y
i
y
i
x
i
x
i
n
i
i
n
i
i
yyxxyx
.
Theo nguyên lý Đirichlê sẽ tồn tại
4
1
0
i
x
i
x
.
Gọi
ikii
OAOAOA , ,,
21
lần lượt là các véctơ có hoành độ x
i1
, x
i2
, …, x
ik
> 0.
Ta có:
4
1
0
1
2
21
2
2121
i
x
iikiikiiikiiikii
xxxyyyxxxOAOAOA
.
Bài 3:
Ta viết :
2
2
11
11
2
2
mm
m
kk
u
kk
=
2
1 1 1
1 1 1
m m m
k k k
k k k m
Mặt khác, ta có nhận xét : với
(0,1)x
thì
ln( 1) ln(1 )x x x
, (1)
Thật vậy:
+ Xét
( ) ln( 1)f x x x
1
'( ) 1 0, (0,1)
11
x
f x x
xx
, suy ra f(x)
nghòch biến trên
(0,1)
( ) (0) 0 ln( 1)f x f x x
, (2)
+ Xét
( ) ln(1 )g x x x
1
'( ) 1 0, (0,1)
11
x
g x x
xx
, suy ra g(x)
nghòch biến trên
(0,1)
( ) (0) 0 ln(1 )g x g x x
, (3)
Từ (2) và (3) suy ra (1) đã được chứng minh
Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp
Trường THPT Thò Xã Séc
p dụng (1) với
1
x
km
, ( k = 1, 2, 3, ) , ta được :
21
ln( ) ln( )
1 1 1
mm
m m m
1
ln( 2) ln( 1) ln( 1) ln
1
m m m m
m
Tương tự:
1
ln( 3) ln( 2) ln( 2) ln( 1)
2
m m m m
m
1
ln( 4) l n ( 3) ln( 3) l n ( 2 )
3
m m m m
m
1
ln(2 1) ln(2 ) ln(2 ) ln(2 1)
2
m m m m
m
1
1
ln(2 1) ln( 1) ln(2 ) ln
m
k
m m m m
km
2
1
ln(2 ) ln2
1
m
u
m
2
lim ln2
m
m
u
.
Mặt khác
2 1 2
1
21
mm
uu
m
nên
2 1 2
lim lim
mm
mm
uu
.
Suy ra
lim ln2
n
n
u
.
Vậy :
lim ln2
n
n
u
, (n=1, 2, 3, )
Bài 4:
Phương trình
(*)16)1(4
242
TTTT
Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp
Trường THPT Thò Xã Séc
Nhận thấy phương trình (*) không nhận
223T
hay
1T
làm
nghiệm
Do dó
016
01
24
2
TT
T
nên
(**)1
16
)1(4
(*)
24
2
TT
TT
Đặt
4
,223\
2
;
2
,
arctgtgT
1
16
)1(4
(**)
24
2
tgtg
tgtg
1
1
2
1
1
2
.2
2
2
2
tg
tg
tg
tg
1
21
22
2
tg
tg
14
tg
)(,
4
4 Zkk
)(,
4
.
16
Zkk
So điều kiện :
2
;
2
, suy ra
24
.
162
k
4
7
4
9
k
Vì
Zk
nên suy ra
1,0,1,2 k
.
Nếu
2k
thì
16
7
16
7
tgtgT
Tương tự : nếu
1,0,1k
thì
16
5
,
16
,
16
3
tgtgtgT
Vậy nghiệm của phương trình là
16
5
,
16
,
16
3
,
16
7
tgtgtgtg
Bài 5:
Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp
Trường THPT Thò Xã Séc
Đầu tiên , ta chứng minh bổ đề sau:
‚ Nếu
thì
,,p q r
, ta luôn có:
2 2 2
2 cos cos cosp q r qr pr pq
‛.
Thật vậy :
2 2 2
2 cos cos cosp q r qr pr pq
2 2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos 2 cos 2 cos( ) 2 cosp q r qr pq pr
22
2
cos cos 2 ( cos ) 2 ( cos ) 2( cos )( cos )r p q r p r q p q
+
+
22
sin sin 2( sin )( sin )p q p q
22
cos cos sin cos 0r p q p q
.
2 2 2
2 cos cos cosp q r qr pr pq
, (đpcm).
Trở lại bài toán đầu bài :
Đặt : AOB = 2 ; AOC = 2 ; BOC = 2 + + =
Theo công thức tính đường phân giác trong tam giác , ta có :
2 cos 2 cos 2 cos
,,
yz xz xy
u v w
y z x z x y
Áp dụng bổ đề với
,,p x q y r z
ta có :
( ) ( ) ( )
2 . 2 . 2 .
u y z v x z w x y
x y z yz xz xy
yz xz xy
Hay
. . . 2( )
y z z x x y
x y z u v w u v w
yz xz xy
, (đpcm)
( theo bất đẳng thức Cauchy )
Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp
Trường THPT Thò Xã Séc
