TĨM TẮT LUẬN VĂN
Phân tích kết cấu tấm phân lớp chức năng (FGM)
chịu tải trọng cơ nhiệt bằng phần tử CS-MITC3+
La Tuấn Minh
Trong luận văn thạc sĩ này, phƣơng pháp phần tử hữu hạn trơn trên miền phần tử (CSFEM) đƣợc phát triển cho phần tử MITC3+ dùng để phân tích ứng xử của kết cấu tấm vật
liệu phân lớp chức năng sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Kết cấu đƣợc mô
phỏng bằng các phần tử tam giác ba nút với bảy bậc tự do cho mỗi nút. Trong phần tử đề
xuất CS-MITC3+, biến dạng màng và uốn của ma trận độ cứng đƣợc tính tốn bởi kỹ thuật
trơn hóa trên miền trơn dựa trên miền con của phần tử đƣợc định nghĩa bằng cách nối 2 nút
đỉnh với nút nổi (buble node) của phần tử. Để giải quyết hiện tƣợng khóa cắt ―shear
locking‖ khi tấm có chiều dày mỏng dần, kỹ thuật nội suy các thành phần ten xơ (mixed
interpolation tensorial components) MITC3+ đƣợc sử dụng để xấp xỉ lại biến dạng cắt
ngồi mặt phẳng.
Ngơn ngữ MATLAB đƣợc sử dụng để lập trình tính tốn trong các ví dụ số dựa trên cơng
thức phần tử CS-MITC3+ đề xuất. Độ chính xác và tính hiệu quả của phần tử CS-MITC3+
dùng để phân tích tấm phân lớp chức năng chịu tải trọng cơ nhiệt đƣợc kiểm chứng thông
qua các ví dụ số. Kết quả số cho bởi phần tử CS-MITC3+ đƣợc tác giả so sánh và đánh giá
với lời giải giải tích và một số lời giải bằng các phƣơng pháp số khác đã đƣợc công bố
trƣớc đây.

iii


ABBSTRACT
Analysis of functionally graded materials (FGM) plates under mechanical
temperature loadings using CS-MITC3+ elements
La Tuấn Minh
In this thesis, the cell-based smoothed finite element method (CS-FEM) has been
developed for the MITC3+ elements to analyze static behaviors of functionally graded
materials (FGM) plates based on the high order shear deformation theory (HSDT). The
plates are modeled by 3-node triangular elements with seven degrees of freedom for each

node. In the proposed element CS-MITC3+, the membrane and bending strains of the
element stiffness matrix are smoothed on smoothing domains which are the subtriangular
domains defined by connecting the element nodes with the bubble node. To remove the
shear-locking phenomenon which occurs when the plate thickness becomes thin, the mixed
interpolation tensorial components (MITC3+) technique is employed to independently
interpolate the transverse shear strains.
The MATLAB programming language has been used to implement the CS-MITC3+
formulation. The accuracy and efficiency of the proposed elements used to analyze the
FGM plates under mechanical temperature loadings are verified by solving some
benchmark problems. Numerical results provided by the CS-MITC3+ elements are
compared with those given by other analytical or numerical methods previously published.

iv


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .................................................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN....................................................................................................................... ii
TÓM TẮT LUẬN VĂN ...................................................................................................... iii
ABBSTRACT ...................................................................................................................... iv
MỤC LỤC ............................................................................................................................ v
DANH SÁCH CÁC CHỮ VIẾT TẮT .............................................................................. vii
DANH SÁCH CÁC HÌNH ............................................................................................... viii
DANH SÁCH CÁC BẢNG ................................................................................................ ix
Chƣơng 1: TỔNG QUAN.................................................................................................... 1
1.1 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG VÀ NGỒI NƢỚC .......................................................... 1
1.2 MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI ................................................................................................... 4
1.3 NHIỆM VỤ VÀ GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI .............................................................................. 4
1.4 PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .......................................................................................... 4
Chƣơng 2: LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO CHO TẤM PHÂN LỚP

CHỨC NĂNG (FGM) .......................................................................................................... 5
2.1 TẤM PHÂN LỚP CHỨC NĂNG (FGM) .............................................................................. 5
2.2 LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO CHO TẤM FGM ................................................... 7
2.2.1 Trƣờng chuyển vị .................................................................................................. 8
2.2.2 Trƣờng biến dạng ................................................................................................ 10
2.2.3 Trƣờng ứng suất .................................................................................................. 11
2.2.4 Nội lực trong tấm ................................................................................................ 12
Chƣơng 3: CÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN CS-MITC3+ CHO TẤM
FGM THEO HSDT ............................................................................................................ 15
3.1 CÔNG THỨC PTHH TAM GIÁC MITC3+ CHO TẤM FGM ............................................. 15
3.2 CÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN CS-MITC3+ CHO TẤM FGM ........................... 19
Chƣơng 4: CÁC VÍ DỤ SỐ ............................................................................................... 23
4.1 TẤM VNG AL/ZRO2-1 CHỊU TẢI TRỌNG PHÂN BỐ ĐỀU ............................................ 23
4.2 TẤM VUÔNG AL/AL2O3 CHỊU TẢI TRỌNG HÌNH SIN .................................................... 25
4.3 TẤM XIÊN AL/ZRO2-1 LIÊN KẾT GỐI TỰA ĐƠN CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU ....................... 30
4.4 TẤM VUÔNG AL/ZRO2-1 CHỊU TẢI TRỌNG NHIỆT......................................................... 32
4.5 TẤM VUÔNG AL/ZRO2-1 CHỊU TẢI TRỌNG CƠ NHIỆT ................................................... 33
Chƣơng 5: KẾT LUẬN ..................................................................................................... 35

v


TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 36
PHỤ LỤC............................................................................................................................ 40
BÀI TOÁN TẤM VUÔNG AL/ZRO2-1 CHỊU TẢI TRỌNG PHÂN BỐ ĐỀU (BIÊN TỰA ĐƠN) ........ 40
BÀI TỐN TẤM VNG AL/ZRO2-1 CHỊU TẢI TRỌNG PHÂN BỐ ĐỀU (BIÊN NGÀM) ............. 47
BÀI TỐN TẤM VNG AL/AL2O3 CHỊU TẢI TRỌNG HÌNH SIN .......................................... 53
BÀI TỐN TẤM XIÊN AL/ZRO2-1 LIÊN KẾT GỐI TỰA ĐƠN CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU .............. 60
BÀI TỐN TẤM VNG AL/ZRO2-1 TỰA ĐƠN CHỊU TẢI TRỌNG NHIỆT ................................ 67
BÀI TỐN TẤM VNG AL/ZRO2-1 TỰA ĐƠN CHỊU TẢI TRỌNG CƠ NHIỆT ........................... 72


vi


DANH SÁCH CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Phần tử hữu hạn .............................................................................................. PTHH
Phƣơng pháp phần tử hữu hạn ........................................................................ PP PTHH
Lý thuyết tấm cổ điển của Kirchhoff – Love .................................................. CPT
Lý thuyết tấm nhiều lớp cổ điển ..................................................................... CLPT
Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất .................................................................... FSDT
Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao....................................................................... HSDT
Phƣơng pháp nội suy hỗn hợp các thành phần ten-xơ .................................... MITC

vii


DANH SÁCH CÁC HÌNH
Hình 2.1: Tấm vật liệu FGM (Functionally Graded Materials) ............................................. 5
Hình 2.2: Đồ thị thể hiện hàm phân phối Vc theo chiều dày tấm z/h [46] .............................. 6
Hình 2.3: Đồ thị thể hiện hàm phân phối nhiệt độ dọc theo chiều dày tấm............................ 7
Hình 2.4: Hình dáng biến dạng cắt ngoài mặt phẳng của tấm khi chƣa biến dạng, biến dạng
theo lý thuyết tấm cổ điển (CLPT), lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và lý
thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) [47] ............................................................................ 7
Hình 2.5: Các chuyển vị u, v, w và các góc xoay x, y trong tấm với chiều dƣơng qui ƣớc
[47] ......................................................................................................................................... 8
Hình 3.1: Vị trí các điểm buộc của phần tử MITC3+ [20] .................................................. 17
Hình 3.2: Miền làm trơn là các miền con (Δ1, Δ2, Δ3) của phần tử đƣợc tạo ra bằng cách nối
2 nút đỉnh và nút nổi tại trọng tâm của phần tử tam giác..................................................... 19
Hình 4.1: Độ võng không thứ nguyên tại tâm tấm Al/ZrO2-1 khi L/h = 5 với các cách chia
lƣới và n khác nhau .............................................................................................................. 24

Hình 4.2: Độ võng khơng thứ ngun tại tâm tấm Al/ZrO2-1 khi L/h = 5, 100, 500 và 1000
ứng với các cách chia lƣới và n khác nhau ........................................................................... 25
Hình 4.3: Tấm vng Al/Al2O3 tựa đơn 4 cạnh và chịu tải trọng hình sin

p sin( x / L)sin( y / L) ...................................................................................................... 26
Hình 4.4: So sánh sự phân bố các thành phần ứng suất không thứ nguyên theo chiều dày
tấm Al/Al2O3 tựa đơn chịu tải trọng hình sin khi khi L/h = 10 cho bởi phần tử CS-MITC3+
và ES-MITC3 ....................................................................................................................... 29
Hình 4.5: Tấm xiên Al/ZrO2-1 tựa đơn 4 cạnh và chịu tải trọng phân bố đều ..................... 30
Hình 4.6: Độ võng không thứ nguyên của tấm xiên Al/ZrO2-1 tựa đơn 4 cạnh và chịu tải
trọng phân bố đều ứng với các góc xiên  và hệ số n khác nhau ......................................... 31
Hình 4.7: Sự phân bố ứng suất không thứ nguyên  x  z    h pL  x  L 2, L 2, z  theo
chiều dày tấm xiên Al/ZrO2-1 với  = 30o, 45o, 75o và (a) n = 0,5 và (b) n = 2 ................. 32
Hình 4.8: Độ võng tại tâm tấm vuông Al/ZrO2-1 tựa đơn 4 cạnh và chịu các tải trọng nhiệt
độ thay đổi ứng với các hệ số n = 0, 0,5 và 2 ....................................................................... 33
Hình 4.9: Sự thay đổi của độ võng tƣơng đối wc/h tại tâm tấm vuông Al/ZrO2-1 tựa đơn 4
cạnh chịu tải trọng nhiệt và tải trọng cơ p thay đổi ứng với n = 0, 0,5, 2 ............................ 34

viii


DANH SÁCH CÁC BẢNG
Bảng 3.1: Tọa độ các điểm buộc của phần tử MITC3+ với d = 1/10000 [20] .................... 17
Bảng 4.1: Đặc trƣng vật liệu thành phần của tấm FGM trong các ví dụ số ......................... 23
Bảng 4.2: Độ võng không thứ nguyên wc  100wc Em h3 /12(1  2 ) pL4 tại tâm tấm Al/ZrO21 khi L/h = 5 ......................................................................................................................... 23
Bảng 4.3: Độ võng không thứ nguyên wc  100wc Em h3 /12(1  2 ) pL4 tại tâm tấm Al/ZrO21 khi L/h =5, 100, 500 và 1000 ............................................................................................ 25
Bảng 4.4: Độ võng tại tâm tấm và ứng suất không thứ nguyên của tấm Al/Al2O3 tựa đơn
chịu tải trọng hình sin khi L/h = 10 ...................................................................................... 26
Bảng 4.5: Sự phân bố các thành phần ứng suất không thứ nguyên theo chiều dày tấm
Al/Al2O3 tựa đơn chịu tải trọng hình sin khi khi L/h = 10 ................................................... 27

Bảng 4.6: Độ võng không thứ nguyên tại tâm tấm xiên hình bình hành Al/ZrO2-1 tựa đơn 4
cạnh chịu tải trọng phân bố đều với tỉ lệ L/h = 10 ............................................................... 30
Bảng 4.7: Độ võng tại tâm tấm vuông Al/ZrO2-1 tựa đơn 4 cạnh chịu tải nhiệt độ ............ 32
Bảng 4.8: Độ võng tƣơng đối wc/h tại tâm tấm vuông Al/ZrO2-1 tựa đơn 4 cạnh chịu tải
nhiệt độ Tm = 20oC, Tc = 300oC và tải trọng cơ p thay đổi .................................................. 34

ix


Chƣơng 1: TỔNG QUAN
1.1 Tình hình nghiên cứu trong và ngồi nƣớc
Phát triển bền vững, ít ảnh hƣớng đến mơi trƣờng và các nguồn nguyên liệu hóa thạch
đang là thách thức trong nhiều ngành cơng nghiệp chế tạo nói chung và lĩnh vực xây dựng
nói riêng. Các kết cấu có khả năng chịu lực tốt, bền nhẹ và đáp ứng nhu cầu sử dụng nhƣng
ít tiêu hao nhiên liệu hay ít ảnh hƣởng đến móng cơng trình địi hỏi phải có tìm ra những
loại vật liệu mới thay thế các vật liệu truyền thống. Những loại vật liệu mới này cần có các
đặc tính cơ học bền hơn, dẻo dai hơn và nhẹ hơn. Trong đó, vật liệu composite nhiều lớp là
một trong những loại vật liệu đáp ứng tốt các yêu cầu trên. Tuy nhiên, do đƣợc cấu tạo từ
những lớp vật liệu composite có hƣớng sợi khác nhau, tức là các đặc trƣng vật liệu trong
từng lớp khác nhau, vật liệu composite nhiều lớp thƣờng bị phá hoại do sự tập trung ứng
suất tại mặt tiếp xúc giữa các lớp, dẫn tới giảm tuổi thọ hay phá hoại do bong tách giữa các
lớp. Để khắc phục những nhƣợc điểm này, khái niệm vật liệu phân lớp chức năng
(Functionally Graded Materials - FGM) [1] lần đầu tiên đƣợc các nhà khoa học Nhật Bản
đề xuất năm 1984 trong một dự án nghiên cứu tàu không gian. Vật liệu FGM là một vật
liệu kết hợp giữa hai vật liệu khác nhau là gốm ở mặt trên, kim loại ở mặt dƣới và có các
đặc tính vật liệu biến thiên liên tục theo phƣơng chiều dày. Nhờ sự thay đổi liên tục các
đặc tính vật liệu theo một phƣơng nên vật liệu FGM tránh đƣợc sự tập trung ứng suất. Vật
liệu FGM kết hợp ƣu điểm cách nhiệt, chống hao mòn tốt của gốm với tính bền, dẻo,
chống mỏi của kim loại. Chính vì sự kết hợp những đặc tính ƣu việt này, vật liệu FGM
ngày càng đƣợc ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Việc tính tốn các kết cấu tấm hay vỏ bằng vật liệu FGM tƣơng tối phức tạp, địi hỏi phải
phát triển các lý thuyết phân tích cũng nhƣ phƣơng pháp giải thích hợp nhằm đƣa ra
những kết quả có khả năng dự đốn chính xác các ứng xử của kết cấu làm từ vật liệu này
có hình dáng, điều kiện biên và chịu tác dụng của các tải trọng khác nhau.
Ứng xử của tấm FGM có thể áp dụng lý thuyết tấm cổ điển Kirchhoff hoặc lý thuyết tấm
biến dạng cắt [2]. Lý thuyết tấm cổ điển Kirchhoff bỏ qua biến dạng cắt ngoài mặt phẳng
nên chỉ phù hợp cho các loại tấm mỏng. Lý thuyết tấm biến dạng cắt kể đến biến dạng cắt
ngoài mặt phẳng nên phù hợp cho ứng xử của các tấm dày. Reissner [3] và Mindlin [4] đã

1


đề xuất lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất (FSDT). Tuy nhiên, lý thuyết FSDT lại giả
định ứng suất cắt ngoài mặt phẳng bất biến nên cần những hệ số điều chỉnh để thỏa mãn
các điều kiện biên tự do tại bề mặt trên và dƣới của tấm. Do đó, việc cải thiện lý thuyết
FSDT là cần thiết. Từ đó, lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao (HSDT) đƣợc hình thành và
phát triển. Theo các lý thuyết này, yếu tố điều chỉnh biến dạng cắt ngoài mặt phẳng có thể
bỏ qua nhƣng vẫn cho ra kết quả tính tốn ứng suất cắt ngồi mặt phẳng ổn định và chính
xác hơn. Đến nay, lý thuyết HSDT vẫn đƣợc điều chỉnh và phát triển không ngừng trong
các nghiên cứu [5]–[7].
Trong những thập kỷ qua, các phƣơng pháp giải tích và các phƣơng pháp số khác nhau đã
đƣợc đề xuất nhằm giải quyết bài tốn tấm FGM. Trong đó, phƣơng pháp phần tử hữu hạn
(PTHH) đƣợc sử dụng nhiều nhất và ƣu thế nhất do có thể giải quyết bài tốn tấm FGM có
hình dáng, điều kiện biên và tải trọng bất kỳ. Phƣơng pháp PTHH đƣợc bắt nguồn từ
những yêu cầu giải các bài toán phức tạp về lý thuyết đàn hồi, phân tích kết cấu trong xây
dựng và kỹ thuật hàng không. Những năm 1940, Hrennikoff, McHenry và Courant là
những ngƣời khởi đầu sự phát triển của phƣơng pháp PTHH. Sự phát triển chính thức của
phƣơng pháp PTHH đƣợc bắt đầu vào nửa sau những năm 1950 trong việc phân tích kết
cấu khung máy bay và cơng trình xây dựng [8]. Mặc dù có những ƣu điểm nhƣng hiệu quả
tính tốn bằng phƣơng pháp PTHH phụ thuộc vào nhiều yếu tố nhƣ mơ hình tốn học, lƣới

phần tử, … Do đó, việc tìm ra các cơng thức PTHH mới có khả năng tính tốn kết cấu với
độ chính xác cao và chi phí tính tốn thấp ln là u cầu cần thiết và tập trung nhiều sự
quan tâm nghiên cứu.
Năm 1970, Ahmad, Irons và Zienkiewicz [9] đã giới thiệu một phần tử tứ giác đẳng tham
số có xấp xỉ trƣờng chuyển vị và góc xoay độc lập. Phần tử này có thể giải quyết tốt bài
tốn tấm vỏ dày theo lý thuyết FSDT. Tuy nhiên, khi phân tích các kết cấu tấm vỏ mỏng,
chuyển vị và góc xoay cần hàm xấp xỉ bậc cao. Điều này dẫn đến số nút của phần tử lớn.
Nói cách khác, nếu sử dụng hàm xấp xỉ dạng C0 thì trƣờng xấp xỉ của chuyển vị và góc
xoay khơng thể biểu diễn đƣợc biến dạng cắt ngoài mặt phẳng bằng 0 nhƣ trong ứng xử
thực tế của kết cấu tấm vỏ mỏng. Điều này dẫn đến năng lƣợng biến dạng cắt của phần tử
này vƣợt trội năng lƣợng biến dạng cắt thực tế và biến dạng uốn khi chiều dày tấm mỏng
dần. Đây chính là hiện tƣợng khóa cắt xảy ra khi các phần tử hữu hạn dùng hàm xấp xỉ
dạng C0 để phân tích tấm vỏ mỏng.

2


Để khắc phục hiện tƣợng khóa cắt, nhiều phƣơng pháp đã đƣợc đề xuất cho các phần tử
tấm, vỏ tam giác 3 nút hoặc tứ giác 4 nút nhƣ phƣơng pháp tích phân giảm (RI) [10], tích
phân chọn lựa (SI) [11], phƣơng pháp giả sử biến dạng tự nhiên (ANS) [12], giả sử biến
dạng nâng cao (EAS) [13], phƣơng pháp giả sử biến dạng phần tử tấm Mindlin 3 nút
(MIN3) [14], phƣơng pháp khác biệt biến dạng cắt rời rạc (DSG3) [15] hoặc phƣơng pháp
nội suy các thành phần ten-xơ hỗn hợp (MITC3, MITC3+, MITC4, MITC4+, …) [16]–
[21].
Tuy lợi thế của phƣơng pháp PTHH nêu trên là rất rõ, nhƣng để phát triển xa hơn, nhiều
nhà khoa học đã đề xuất thêm nhiều phƣơng pháp mới hoặc kỹ thuật mới nhằm cải tiến
phƣơng pháp PTHH truyền thống. Trong nỗ lực đó, Liu và Nguyen-Thoi đã phát triển kỹ
thuật làm trơn hóa biến dạng để thiết lập cơng thức PTHH trơn dựa trên phần tử con (CS),
miền giữa 2 phần tử chung cạnh (ES) hoặc miền giữa các phần tử chung nút (NS) [22].
Phƣơng pháp PTHH trơn đã áp dụng thành cơng trong việc phân tích các bài tốn 2 chiều,

tấm, vỏ làm bằng các vật liệu đồng nhất đẳng hƣớng, vật liệu composite nhiều lớp hay vật
liệu FGM dƣới tác dụng của tải trọng cơ hay nhiệt độ [23]–[45]. Các kết quả nghiên cứu
cho thấy, độ chính xác cho bởi mỗi phƣơng pháp PTHH trơn trên miền (CS), trên cạnh
(ES) và trên nút (NS) phần tử phụ thuộc vào tùy loại bài toán. Đối với phần tử tam giác 3
nút, phƣơng pháp làm trơn trên cạnh (ES) thƣờng cho kết quả tốt nhất trong phần lớn các
loại bài toán. Tuy nhiên, phƣơng pháp làm trơn trên phần tử (CS) có chi phí tính tốn thấp
hơn so với phƣơng pháp làm trơn trên cạnh (ES) và trên nút (NS) vì khơng cần phải tìm
miền làm trơn chung cạnh hoặc chung nút. Ngoài ra, phƣơng pháp làm trơn trên miền phần
tử (CS) dễ dàng áp dụng cho các lƣới kết cấu có các phần tử không đồng phẳng nhƣ kết
cấu tấm gấp hay kết cấu vỏ.
Công thức PTHH trơn cho phần tử tấm tam giác 3 nút sử dụng các kỹ thuật khử khóa cắt
MIN3, DSG3, MITC3 để phân tích tấm FGM đã phát triển và công bố trong các nghiên
cứu sau:
Năm 2011, Nguyen-Xuan và cộng sự [29] phân tích tĩnh và tần số tấm FGM chịu tải trọng
cơ và nhiệt theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất bằng phần tử ES-DSG3.
Năm 2012, Nguyen-Xuan và cộng sự [32] phân tích tĩnh và tần số tấm FGM chịu tải trọng
cơ và nhiệt theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất bằng phần tử NS-DSG3.

3


Năm 2013, Phung-Van và cộng sự [36] phân tích tĩnh và tần số tấm FGM chịu tải trọng cơ
và nhiệt theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao bằng phần tử CS-DSG3.
Năm 2014, Natarajan và cộng sự [37] phân tích tĩnh, tần số và ổn định tấm FGM chịu tải
trọng cơ và nhiệt theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất bằng phần tử CS-DSG3.
Năm 2014, Phung-Van và cộng sự [38] phân tích phi tuyến hình học tấm FGM chịu tải
trọng cơ và nhiệt theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao bằng phần tử CS-MIN3.
Năm 2016, Nguyen-Trung và cộng sự [42] phân tích tĩnh tấm FGM đẳng hƣớng và
sandwich chịu tải trọng cơ theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao bằng phần tử ES-MITC3.
Năm 2017, trong luận văn thạc sĩ, Nguyễn Văn Hinh [46] đã xây dựng công thức phần tử

ES-MITC3 cho tấm FGM chịu tải cơ và nhiệt.
1.2 Mục đích của đề tài
Từ các nghiên cứu tổng quan liên quan đến hƣớng giải quyết ứng xử tấm FGM bằng
phƣơng pháp PTHH, việc xây dựng và nghiên cứu hiệu quả của PTHH trơn trên miền phần
tử (CS) cho phần tử tam giác 3 nút sử dụng kỹ thuật khử khóa cắt MITC3+, gọi là phần tử
CS-MITC3+, khi phân tích tấm FGM theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao chƣa đƣợc thực
hiện. Đây chính là mục đích của đề tài.
1.3 Nhiệm vụ và giới hạn của đề tài
Nhiệm vụ đề tài tập trung vào
(1) Xây dựng công thức PTHH trơn trên miền phần tử cho phần tử MITC3+ dùng để
phân tích tấm FGM chịu tải trọng cơ và nhiệt.
(2) So sánh đánh giá độ chính xác của phần tử đề xuất với các phần tử cùng loại trong
việc phân tích tấm FGM chịu tải trọng cơ và nhiệt.
Đề tài giới hạn phân tích tuyến tính tấm FGM theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao.
1.4 Phƣơng pháp nghiên cứu
Để giải quyết đƣợc mục đích và nhiệm vụ đề tài, phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết kết
hợp với lập trình và so sánh đánh giá kết quả đƣợc thực hiện.

4


Chƣơng 2: LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO CHO TẤM PHÂN LỚP CHỨC
NĂNG (FGM)
2.1 Tấm phân lớp chức năng (FGM)
Trong luận văn này, tấm vật liệu phân lớp chức năng (FGM) đƣợc cấu tạo từ 2 loại vật liệu
kim loại và gốm sao cho đặc tính vật liệu thay đổi liên tục theo chiều dày tấm từ mặt dƣới
bằng kim loại đến mặt trên bằng gốm nhƣ Hình 2.1.

Hình 2.1: Tấm vật liệu FGM (Functionally Graded Materials)
Sự thay đổi liên tục của các đặc trƣng vật liệu theo chiều dày tấm đƣợc thể hiện qua hàm

đặc trƣng vật liệu P(z) theo qui luật hàm mũ nhƣ sau [32]

P( z )   Pc  Pm Vc  Pm

(2.1)

Trong đó, Pc, Pm lần lƣợt đại diện cho đặc trƣng vật liệu của gốm và kim loại; và giả sử
hàm phân phối vật liệu

1 z
Vc    
2 h

n

(2.2)

Ở đây, z theo phƣơng chiều dày tấm thay đổi từ -h/2 đến h/2 với h là chiều dày tấm; n  0
là số mũ phân phối vật liệu.
Đồ thị thể hiện thay đổi Vc theo chiều dày tấm với các giá trị khác nhau của số mũ phân
phối n đƣợc thể hiện ở Hình 2.2.

5


Hình 2.2: Đồ thị thể hiện hàm phân phối Vc theo chiều dày tấm z/h [46]
Giả sử mặt trên và mặt dƣới của tấm chịu nhiệt độ không đổi. Do đó, nhiệt độ T(z) chỉ thay
đổi theo chiều dày của tấm thỏa phƣơng trình dẫn nhiệt ở trạng thái ổn định một chiều [32]




d
dT 
 k  z
0
dz 
dz 

(2.3)

Trong đó, T(z = -h/2) = Tm và T(z = h/2) = Tc lần lƣợt là nhiệt độ mặt dƣới và mặt trên của
tấm; k(z) là hệ số dẫn nhiệt có qui luật thay đổi theo chiều dày cho bởi (2.1)
Lời giải (2.3) cho bởi [32] ở dạng đa thức nhƣ sau
k

n
 z
 kc  k m 
    0,5  k   nk  1

m
z
 k 0   t
T  z   Tm  Tc  Tm    0,5 
k

h

 kc  k m 



  nk  1
km 
k 0 


(2.4)

Ở đây, km, kc lần lƣợt là hệ số dẫn nhiệt của kim loại và gốm.
Đồ thị thể hiện sự thay đổi của nhiệt độ theo chiều dày tấm ứng với các giá trị khác nhau
của hệ số mũ phân phối n đƣợc minh họa trong Hình 2.3.

6


Hình 2.3: Đồ thị thể hiện hàm phân phối nhiệt độ dọc theo chiều dày tấm
2.2 Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao cho tấm FGM

Hình 2.4: Hình dáng biến dạng cắt ngoài mặt phẳng của tấm khi chƣa biến dạng, biến
dạng theo lý thuyết tấm cổ điển (CLPT), lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và lý
thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) [47]

7


2.2.1 Trƣờng chuyển vị
Trƣờng chuyển vị theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đƣợc Reddy [47] xây dựng dựa trên
hàm xấp xỉ đa thức bậc 3 nhƣ sau

u  u0  z x  z 2 x ( x, y )  z 3 x ( x, y )

v  v0  z y  z 2 y ( x, y )  z 3 y ( x, y )

(2.5)

w  w0 ( x, y )
Trong đó, u, v, w là các chuyển vị theo phƣơng x, y, z; u0, v0, w0 là các chuyển vị theo
phƣơng x, y, z tại mặt trung bình của tấm; x, y lần lƣợt là các góc xoay quanh trục y và
trục x có chiều dƣơng qui ƣớc nhƣ Hình 2.5; x, y, x, y là các hàm số đƣợc xác định dựa
vào điều kiện khơng có biến dạng cắt ngồi mặt phẳng tại mặt trên và mặt dƣới của tấm.

Hình 2.5: Các chuyển vị u, v, w và các góc xoay x, y trong tấm với chiều dƣơng qui ƣớc
[47]
Tại mặt trên và mặt dƣới của tấm, ta có điều kiện

 xz

z  h / 2

 0;  yz z  h / 2  0


 u w 
0
 xz z  h / 2   


z

x



z  h /2


 v w 

 
0
yz

z

h
/
2


z

y


z  h /2

Thế trƣờng chuyển vị cho bởi (2.5) vào (2.7), điều kiện (2.6) đƣợc viết lại

8

(2.6)


(2.7)


w
h
h
  x  2    x  3   x  0  0
x
2
2

(2.8)

w
 h
 h
  x  2    x  3    x  0  0
x
 2
 2

(2.9)

w
h
h
  y  2   y  3   y  0  0
y
2
2


(2.10)

w
 h
 h
  y  2     y  3    y  0  0
y
 2
 2

(2.11)

2

 xz

z h/ 2

2

 xz

z  h / 2

2

 yz

z h/ 2


2

 yz

z  h / 2

x  0

Lấy (2.8) trừ (2.9), ta đƣợc

(2.12)

Thế (2.12) vào (2.8), suy ra

x  

w 
4 
  0
2  x
3h 
x 

Tƣơng tự, lấy (2.10) trừ (2.11), suy ra

y  0

(2.13)
(2.14)


Và thế (2.14) vào (2.10), ta đƣợc

y  

w 
4 
  0
2  y
3h 
y 

(2.15)

Thay các hàm x, x, y, y vừa tìm đƣợc ở (2.12), (2.13), (2.14), (2.15) vào (2.5), xấp xỉ
chuyển vị theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 3 đƣợc viết lại

w 
4z3 
u  u0  z x  2   x  0 
3h 
x 
w 
4z3 
v  v0  z y  2   y  0 
3h 
y 

(2.16)


w  w0 ( x, y )
Để có thể xấp xỉ chuyển vị bằng xấp xỉ PTHH dạng C0, lần lƣợt thay w0/x và w0/y
bằng các hàm số độc lập x và y [48]. Do đó, hàm xấp xỉ chuyển vị theo lý thuyết biến
dạng cắt bậc 3 của Reddy có dạng

9


4z3
 x   x 
3h 2
4z3
v  v0  z y  2  y   x 
3h
w  w0

u  u0  z x 

(2.17)

Trƣờng chuyển vị (2.17) chứa 7 hàm số độc lập u0, v0, w0, x, y, x, y cần xác định. Các
hàm số này chỉ phụ thuộc tọa độ x, y, không phụ thuộc tọa độ z. Trong đó, u0, v0 là các
chuyển vị màng; w0 là độ võng; x, y là các góc xoay quanh trục y và trục x; x, y là các
hàm vênh (warping).
2.2.2 Trƣờng biến dạng
Từ trƣờng chuyển vị (2.17), các biến dạng đƣợc xác định nhƣ sau:
+ Biến dạng trong mặt phẳng

x  
u x


  

3
εp   y   
v y
  ε 0  zκ 1  z κ 2
  u y  v x 

 xy  

(2.18)

 u0 


x


 v0 
ε0  

y


 u0 v0 





y
x 


(2.19)

  x



x


  y



κ1  

y


 



y
 x

x 

 y



(2.20)

Trong đó,

10




 x  x



x
x




 y  y


κ2  c 


y

y


 
   
  
 x  y    x  y  
x   y
x  
 y


Với c  

(2.21)

4
3h 2

+ Biến dạng cắt ngoài mặt phẳng (biến dạng trƣợt)

 xz  u z  w x 
2
γ 
  εs  z κ s

 yz   v z  w y 

(2.22)


w 

x  0 

x 

εs  

 y  w0 
y 




(2.23)

 x   x 
κ s  3c 

 y   y 

(2.24)

Trong đó,

+ Biến dạng trong điều kiện nhiệt độ

 xth 
1 
 th 

 
εth   y    z T ( z ) 1 
 th 
0 
 
 xy 

(2.25)

Trong đó, T(z) là chênh lệch nhiệt độ từ bề mặt đến điểm cần tính; z là hệ số dãn nở
nhiệt đƣợc tính theo qui luật phân phối hàm mũ cho bởi (2.1).
2.2.3 Trƣờng ứng suất
+ Ứng suất trong mặt phẳng

11


σ   x  x  xy   E  ε p  εth   E  ε 0  zκ1  z 3κ 2  εth 
T

(2.26)

+ Ứng suất cắt ngoài mặt phẳng

τ   xz  yz   G  ε s  z 2κ s 
T

(2.27)

+ Ứng suất do nhiệt độ

T

σth   xth  yth  xyth   Eεth

(2.28)

Trong đó,



 1  ( z)
0 

E( z) 
E
 ( z) 1
0 
2 
1  ( z ) 
1  ( z ) 
0
 0

2 


G

E ( z ) 1 0
2 1   ( z )  0 1


(2.29)

(2.30)

Với E(z) là mô đun đàn hồi và (z) là hệ số Poisson thay đổi theo qui luật hàm phân phối
(2.1).
2.2.4 Nội lực trong tấm
Các thành phần nội lực trong tấm đƣợc xác định bằng cách lấy tích phân các ứng suất theo
chiều dày tấm nhƣ sau:
+ Trong mặt phẳng

 N x  h 2  x 


 
N   N y     y  dz
 N  h 2  
 xy 
 xy 

(2.31)

 M x  h 2  x 


 
M   M y    z  y  dz
 M  h 2  
 xy 

 xy 

(2.32)

12


 Px  h 2  x 
 
 
P   Py    z 3  y  dz
 P  h 2  
 xy 
 xy 

(2.33)

Qx  h 2  xz 
Q        dz
Qy  h 2  yz 

(2.34)

 Rx  h 2 2  xz 
R      z   dz
 Ry  h 2  yz 

(2.35)

+ Ngoài mặt phẳng


Thế các quan hệ giữa ứng suất và biến dạng cho bởi (2.26) và (2.27) vào các phƣơng trình
nội lực trên và lấy tích phân theo chiều dày tấm, ta có

N  Aε 0  Bκ1  Eκ 2  N th
M  Bε 0  Dκ1  Fκ 2  M th

(2.36)

P  Eε 0  Fκ1  Hκ 2  P th

Q  A sε s  B sκ s

(2.37)

R  B s ε s  Ds κ s
Trong đó,
h2

 A , B , D , E , F , H    1, z, z , z , z , z  Edz
2

ij

ij

ij

ij


ij

3

ij

4

6

(2.38)

h 2

h2

 A , B , D    1, z , z  Gdz

(2.39)

1 
 
Nth    z T  z  E 1  dz
h 2
0 
 

(2.40)

1 

 
M    z T  z  Ez 1  dz
h 2
0 
 

(2.41)

1 
 
Pth    z T  z  Ez 3 1  dz
h 2
0 
 

(2.42)

s
ij

s
ij

s
ij

2

4


h 2

h2

h2

th

h2

13


Công thức (2.36) và (2.37) đƣợc viết lại ở dạng ma trận nhƣ sau
th
 N   A B E   ε0   N 
  
    th 
M    B D F   κ1   M 
 P   E F H  κ   Pth 
  
 2 


Q   A s
  s
R   B

Bs   εs 
 

Ds  κ s 

14

(2.43)

(2.44)


Chƣơng 3: CÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN
CS-MITC3+ CHO TẤM FGM THEO HSDT
3.1 Công thức PTHH tam giác MITC3+ cho tấm FGM
Rời rạc tấm FGM bằng các phần tử tam giác 3 nút. Trƣờng chuyển vị đƣợc xấp xỉ thông qua
chuyển vị tại nút phần tử và tại nút nổi có tọa độ tại trọng tâm phần tử nhƣ sau [20]
4

4

3

i 1

i 1

i 1

4

4


u0   N iu0i ; v0   N i v0i ; w0   N i w0i

 x   N i xi ;  y   N i yi
i 1

i 1

4

4

i 1

i 1

(3.1)

 x   N i  xi ;  y   N i  yi
Trong đó, u0i, v0i, w0i, xi, yi, xi, yi là các bậc tự do tại nút i. Chú ý, tại nút 4 (nút nổi)
không có giá trị độ võng, tức là w04 = 0. Ni là các hàm dạng liên tục đƣợc định nghĩa trong
hệ tọa độ tự nhiên ,  với

1
N1  1      N 4
3
1
N2    N4
3
1
N3    N 4

3
N 4  27 1     

(3.2)

Thế xấp xỉ PTHH (3.1) vào các biến dạng trong mặt phẳng (2.19), (2.20), (2.21) và các biến
dạng ngồi mặt phẳng (2.23), (2.24), ta có quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút phần tử
nhƣ sau
4

4

4

i 1

i 1

i 1

ε 0   Bimdi ; κ1   Bib1di ; κ 2   Bbi 2di

(3.3)

4

ε s   Bis 0di

(3.4)


i1
4

κ s   Bis1di
i1

15

(3.5)


Trong đó, di = [u0i v0i w0i xi yi xi yi]T, i = 1,2,3,4 và w04 = 0, là chuyển vị nút phần tử và

 N i

 x

Bim   0

 N i

 y

0
N i
y
N i
x



0 0 0


Bbi 1  0 0 0


0 0 0


0 0 0


Bbi 2  c 0 0 0


0 0 0



0 0
s0
Bi  
0 0



0 0 0 0 0


0 0 0 0 0



0 0 0 0 0


(3.6)


0 0


0 0


0 0


(3.7)

N i
x

0
N i
y
N i
x

0
N i

y
N i
x

N i
y
N i
x

0
N i
y

Ni
x
Ni
y

N i
x

0

Ni

N i
y

0


0

0 0 0 Ni
Bis1  3c 
0 0 0 0

0

Ni

0
Ni


0 

N i 
y 
N i 

x 


0 0

0 0


Ni
0


0
Ni 

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Biến dạng cắt ngoài mặt phẳng s ở (3.4) tính trực tiếp từ xấp xỉ (3.1) sẽ khơng tiến đến 0.
Do đó, biến dạng cắt này khơng thể biểu diễn chính xác ứng xử cắt khi chiều dày tấm mỏng.
Ngƣợc lại, khi tấm càng mỏng thì xấp xỉ biến dạng cắt này càng lớn, vƣợt xa biến dạng uốn,
làm cho lời giải chuyển vị bằng PTHH nhỏ hơn rất nhiều so với ứng xử thực tế. Hiện tƣợng
khi tấm càng mỏng, biến dạng cắt hay năng lƣợng cắt càng lớn do sử dụng hàm xấp xỉ
chuyển vị bậc thấp đƣợc gọi là hiện tƣợng khóa cắt.

16


Trong luận văn này, để khắc phục hiện tƣợng khóa cắt của phần tử tam giác 3 nút có 1 nút
nổi, phƣơng pháp khử khóa cắt MITC3+ đƣợc sử dụng [20]. Theo phƣơng pháp MITC3+,
biến dạng cắt ngoài mặt phẳng đƣợc xấp xỉ lại thông qua giá trị biến dạng tính từ xấp xỉ
chuyển vị (3.1) tại các điểm buộc nhƣ sau

2



ˆ    B   B     C   C   cˆ(3  1)

3
2
3
 3
1

2
1
ˆ    A   A
3
2

1

1

1
 1 C
C
          cˆ(3  1)
3
 3

(3.11)

cˆ   F   D    F   E 

Với

Trong đó, ˆ , ˆ là biến dạng cắt ngoài mặt phẳng trong hệ tọa độ tự nhiên và


 A ,  A ,  B ,  B ,  C ,  C ,  D ,  D ,  E ,  E ,  F ,  F là các biến dạng cắt ngoài mặt phẳng
trong hệ tọa độ tự nhiên tính tại các điểm buộc A, B, C, D, E, F có vị trí và tọa độ nhƣ Hình
3.1 và Bảng 3.1.
Từ quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị tính tại các điểm buộc vào (3.11) và chuyển giá trị
biến dạng từ hệ tọa độ tự nhiên (,,) sang hệ tọa độ (x,y,z), ta có thể rút ra quan hệ giữa
biến dạng cắt ngoài mặt phẳng và tọa độ nút phần tử nhƣ sau
4

T
ˆ s 0d
εˆ s  ˆxz ˆ yz    B
i
i

(3.12)

i 1

Hình 3.1: Vị trí các điểm buộc của phần tử MITC3+ [20]
Bảng 3.1: Tọa độ các điểm buộc của phần tử MITC3+ với d = 1/10000 [20]
Điểm buộc





A

1/6


2/3

17


B

2/3

1/6

C

1/6

1/6

D

1/3 + d

1/3 – 2d

E

1/3 – 2d

1/3 + d


F

1/3 + d

1/3 + d

Dạng yếu của điều kiện cân bằng trên mặt trung bình tấm FGM chịu tác dụng của tải trọng
phân bố p và nhiệt độ đƣợc viết [49]
T
T
T
T
T
T
T
T
s
T
T
  ε0 κ1 κ 2  D ε0 κ1 κ 2  d    εˆ s κ s  D εˆ s κ s  d
T

T





(3.13)


T

   wpd    ε κ κ   Nth M th P th  d


T
0



T
1

T

T
2

T

T



Trong đó,

A B E 
D   B D F 
 E F H 


(3.14)

As
Ds   s
B

(3.15)

Bs 

Ds 

Và  là diện tích mặt trung bình của tấm.
Thế các quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị vào phƣơng trình dạng yếu (3.13), ta đƣợc
phƣơng trình cân bằng rời rạc

Kd  F

(3.16)

Trong đó, K là ma trận độ cứng kết cấu đƣợc lắp ghép từ các ma trận độ cứng phần tử

k ij 

T
 Bi DB j d 

e

s

s s
 Bi D B j d
T

(3.17)

e

T

T
T
T
ˆ s 0T B
ˆ s1T 
Với e là diện tích phần tử và Bi  Bim Bib1 Bib 2  ; Bis  B
i
i







T



(3.18)


F là véc-tơ lực do tải trọng của kết cấu đƣợc lắp ghép từ véc-tơ tải trọng của phần tử

fi 

  0 0 Ni

e

0 0 0 0 pd 
T

T

T
th
th
th
 Bi N M P  d
T

e

18

T

T

(3.19)