CHUN ĐỀ : GIẢI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC
A. Đặt vấn đề:
Các bài tốn về cực trị trong hình học rất đa dạng, phong phú và có một ý nghĩa
rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này. Để giải quyết các bài tập
toán về cực trị người ta phải bằng các cách giải thông minh nhất,tìm ra các biện
pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức ở bậc THCS để giải quyết các
bài tập toán dạng này. Tuy nhiên SGK lại khơng hướng dẫn phường pháp giải
tốn một cách cụ thể vì thế gây lúng túng cho HS khi gặp phải. Dạng tốn này
thường gắn liến với thực tiễn vì việc tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất chính là
việc tìm những cái tối ưu thường đặt ra trong đời sống và kĩ thuật.
Do đó,để giải loại tốn này địi hỏi người học phải có một cách suy nghĩ logic
sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ và mới một cách logic có hệ thống. Trong khi
đa số HS trường chúng tơi khơng thích nghiên cứu dạng tốn này cũng như các
bài tập hình học nói chung..
Khi dạy những tiết đầu tiên của lớp 9 chúng tôi cảm thấy băn khoăn trước
cách học của HS. Chúng tôi đã trao đổi,bàn bạc,thảo luận qua mỗi tiết dạy và
cũng có những lúc tranh cãi về các phương pháp dạy của mỗi người nhằm khắc
phục tính học vẹt,thiếu suy nghĩ và khơng sáng tạo cũng như thụ động tiếp thu
kiến thức của HS,chúng tôi đã tiến hành thống nhất đưa ra một số ví dụ thì đa
phần học sinh khơng biết cách làm như thế nào.
Trong qua trình dạy cũng như bồi dưỡng chúng tôi đã nghiên cứu tài liệu nhiều
nhưng đa phần các tài liệu đều đưa ra các bài tập và cách giải chứ ít đề cập đến lí
thuyết vì vậy HS khơng hiểu đề ,khơng tìm ra lời giải hoặc có khi chỉ đơn giản
khơng biết cách trình bày lời giải.
B. Các biện pháp và giải pháp thực hiện:
1.Phương pháp giải bài tốn cực trị trong hình học:
1.1)Dạng chung của bài tốn cực trị:
Trong tất cả các hình có cùng tính chất,tìm những hình mà một đại lượng nào đó
(số đo góc,độ dài đoạn thẳng,số đo diện tích….) có giá trị lớn nhất hoặc giá trị
nhỏ nhất.
1.2)Hướng giải bài tốn cực trị hình học:

a)Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn nhất ta
phải chứng tỏ được :
+ Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ¿ m ( m là hằng số)
+ Xác định vị trí của hình H trên miền D thì f = m
b)Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị nhỏ nhất ta
phải chứng tỏ được :
+ Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ¿ m ( m là hằng số)
+ Xác định vị trí của hình H trên miền D thì f = m
1.3 Cách trình bày lời giải bài tốn cực trị hình học:
Cách 1:Trong các hình có tính chất của đề bài, chỉ ra một hình rồi chứng minh
mọi hình đều có giá trị của đại lượng phải tìm cực trị nhỏ hơn (hoặc lớn hơn) giá
trị của đại lượng đó của hình đã chỉ ra.


Cách 2:Thay điều kiện một đại lượng đạt cực trị (lớn nhất hoặc nhỏ nhất ) bằng
các điều kiện tương đương,cuối cùng dẫn đến một điều kiện mà ta xác định được
vị trí của các điểm cực đạt cực trị.
2.Các kiến thức thường dùng giải bài tốn cực trị hình học:
2.1Sử dụng quan hệ giữa đường vng góc, đường xiên,hình chiếu :
a)Kiến thức cần nhớ:
B
A

A

a

H

b

A

C

B

H

C

K

B

a1) Δ ABC vuông tại A ⇒ AB ¿ BC và dấu “=” xảy ra ⇔ A ¿ C
a2) AH ¿ a ⇒ AH ¿ AB . Dấu “=” xảy ra ⇔ B ¿ H
AB < AC ⇔ HB < HC
a3) A , K ¿ a ; B ,H ¿ b ; a // b ; HK ¿ a ⇒ KH ¿ AB và dấu “=”
xảy ra ⇔
A ¿ K và B ¿ H
b) Các ví dụ :
Ví dụ 1:Trong các hình bình hành có hai đường chéo bằng 6cm và 8cm , hình
nào có diện tích lớn nhất ? Tính diện tích hình đó?
HD: Ta có :SABCD = 2. SABC = AC.BH ¿ BO . AC = 24(cm2)
Dấu “=” xảy ra ⇔ BH = BO ⇔ H ¿ O ⇔ BD ¿ AC
hình thoi có diện tích = 24(cm2).

⇔

ABCD là



B

C

A
OH

D

B

C
O

A

H
D

Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB = 2a.Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By
vng góc với AB. Qua trung điểm của M của AB có hai đường thẳng thay đổi
ln vng góc với nhau và cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D.Xác định vị trí
của các điểm C,D sao choc ho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất. Tính diện
tích tam giác đó.
Gọi K là giao điểm của CM và DB.Ta
y
có
x

MA = MB , ∠ A = ∠ B = 900 , ∠
D
AMC
= ∠ BMK ⇒ Δ MAC = Δ MBK
H
⇒

C

MC = MK.Mặt khác: DM ¿ CK
⇒

Δ

DKC cân tại D
⇒
∠ CDM = ∠ KDM
Kẻ MH ¿ CD. Δ MHD = Δ MBD
⇒
MH=MB=a
1
⇒
SMDC= 2 CD.MH ¿

1
2

A

M


B

k


1
AB.MH = 2 2a.a =a2

. SMDC = a2 ⇔ CD ¿ Ax khi
đó ∠ AMC =450, ∠ BMD = 450
⇒
min SMDC = a2
.Vậy các điểm C,D được xác định trên Ax , By sao cho :AC = BC = a
AC = BC = a
2.2 Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc :
a)Kiến thức cần nhớ: Với ba điểm A,B,C bất kỳ ta có: AC + CB ¿ AB K
AC + CB = AB ⇔ C thuộc đoạn thẳng AB.
b) Các ví dụ:
Ví dụ 3 :Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó.Xác định điểm B thuộc tia
Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và tổng AB + AC nhỏ nhất.m
D
Giải: Kẻ tia Om nằm ngồi góc xOy sao cho
∠ yOm = ∠ xOA. Trên tia Om lấy điểm D sao cho
C
OD = OA.Các điểm D và A cố định
OD = OA;OC = OB, ∠ COD = ∠ BOA
A
Δ
Δ

⇒
DOC =
AOB CD = AB
O
B
Do đó AC + AB = AC + CD.
Mà AC + CD ¿ AD ⇒ AC + AB ⇒ AD
.Xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi C thuộc AD

y

x

Ví dụ 4:Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD.Xác định vị trí
điểm F thuộc cạnh AB,G thuộc cạnh BC,H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác
EFGH có chu vi nhỏ nhất.
Gọi I, K, L, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG, EH
1
Δ AEF vng tại A có AI là trung tuyến ⇒
AI = 2
Δ

EF.

CGH vng tại C có CM là trung tuyến

1
⇒
CM = 2


GH.
D
E

F

B

I
K
G

M
D

H

C


IK là đường trung bình của Δ EFG

1
⇒
IK = 2

FG

1
⇒

KM = 2

KM là đường trung bình của Δ EGH
EH
Do đó :chu vi EFGH bằng EF+FG+GH+EH = 2(AI+IK+KM+MC)
Ta lại có:AI + IK + KM + MC ¿ AC.
Suy ra chu vi EFGH ¿ 2AC ( đọ dài AC không đổi)
Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC ⇔ A, I, K, M, C thẳng hàng.
Khi đó ta có EH // AC, GF // AC, ∠ AEI = ∠ EAI = ∠ ADB nên
EF//DB,tương tự GH // DB.Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành có các cạnh
song song với các đường chéo của hình chữ nhật ABCD.
2.3 Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn:
a)Kiến thức cần nhớ:
a1) AB là đường kính, CD là dây bất kì ⇒ CD ¿ AB.
a2)OH,OK là các khoảng cách từ tâm dến dây AB và DC:AB ¿ CD ⇔ OH
¿ OK .
a3) AB và CD là các cung nhỏ của (O):AB ¿ CD ⇔ ∠ AOB ¿ ∠ COD.
a4) AB và CD là các cung nhỏ của (O) : AB ¿ CD ⇔ ∠ AOB ¿ ∠
COD.
D
C
A

O

B

C

D


B
C

a1 )

C

Ak

D

D

B

A

a2

B

A

a4

a3

b) Các ví dụ:
Ví dụ 5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B .Một cát tuyến

chung bất kì CBD(B nằm giữa C và D) cắt các đường tròn (O) và (O’) tại C và
D.Xác định vị trí của cát tuyến CBD để Δ ACD có chu vi nhỏ nhất.
HD: Chỉ ra được số đo các góc của tam
giác ABC khơng đổi.Tam giác ACD có
chu vi lớn nhất khi nào?(Sử dụng định lí
Trong các dây của đường trịn dây lớn
nhất là đường kính) Hai cát tuyến CBD
và C’BD’ vng góc với dây chung AB.

D
A
m
O
n

D'
B

C'

C

O'


Ví dụ 6: Cho đường trịn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn.Xác định dây
AB đi qua P sao cho ∠ OAB có giá trị lớn nhất.
B'

HD:


∠

∠

OAB lớn nhất
AOB nhỏ nhất
⇔
cung AB nhỏ nhất ⇔ dây AB nhỏ nhất
⇔
Khoảng cách từ tâm O đến dây AB là
OH lớn nhất ….
So sánh OH với OP ?Suy ra được điều cần tìm.
⇔

O

A

H

P

B

A'

2.4.Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai:
a)Kiến thức cần nhớ:
Ta có: A2 ¿ 0 ; - A2 ¿ 0 ⇒ f = A2 + m ¿ m ; minf = m khi A = 0

f = - A2 + m ¿ m ;maxf = m khi A = 0
b)Các ví dụ:
Ví dụ 7:Cho hình vng ABCD có cạnh bằng 4cm. Trên các cạnh AB, BC, CD,
DA lấy theo thứ tự các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH.Tính độ
dài AE sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất?
HD:
Đặt AE = x Thì HA = BE = 4-x
Chứng minh:
HEFG là hình vng nên chu vi nhỏ
nhất khi một cạnh EH nhỏ nhất nhỏ nhất.
Áp dụng định lí py ta go để tính HE
(hình vẽ bên)
Khi đó HE = 2(x-2)2 + 8 ¿ 8 .Dấu “=” xảy ra
khi x = 2
Vậy chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất bằng 8 √ 2 cm,

x

A

4-x

E

B

4-x
F

H


C

G

D

khi đó AE = 2cm.
Ví dụ 8:Cho tam giác vng ABC có độ dài các cạnh góc vuông AB = 6cm, AC
= 8cm.M là điểm di chuyển trên cạnh huyền BC.Gọi D và E là chân các đường
vng góc kẻ từ M đến AB và AC.Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ADME?
A

ADME là hình chữ nhật .Đặt AD = x thì ME = x.

ME//AB

⇒

EM CE x CE
4
=
⇒ =
⇒ CE= x
AB CA 6
8
3

D


x

8-

4
3

x
E
C

B

M


4
⇒ AE=8− x
3
4
4
x
x
Ta có : SADME = AD.CE = x(8- 3 ) = 8x - 3 2 = -

4
( x−3 )2
3
+ 12 ¿


12.
Dầu “=” xảy ra khi x = 3.
Vậy diện tích lớn nhất của tứ giác ADME bằng 12cm2, khi đó D là trung điểm
của AB, M là trung điểm của BC và E là trung điểm của AC.
2.5.Sử dụng bất đẳng thức Cô-si:
a)Kiến thức cần nhớ:

x+ y
≥√ xy
2
0 ta có :

Bất đẳng thức Cơ-si :Với x ¿ 0; y ¿
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y .Bất đẳng thức Cô-si thường được sử dụng
các dạng sau:
( x + y )2
+ Dạng 1:x2 + y2
( x+ y )2
≥4
xy
+ Dạng 2:
;
¿

2

2

≥2 xy


.Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y

xy
1
≤
2 4
( x+ y )

2

2

;

( x+ y )
≤2
x 2+ y2

;

x +y
1
≥
2 2
( x+ y )

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
+Dạng 3: Với x ¿ 0 ; y ¿ 0 ; x + y khơng đổi thì xy lớn nhất khi và chỉ khi x
=y
+Dạng 4: Với x ¿ 0 ; y ¿ 0; xy không đổi thi x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x

=y
b)Các ví dụ :
Ví dụ 9:Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển Trên đoạn thẳng ấy>vẽ các
đường trịn có đường kính MA và MB. Xác định vị trí của điểm M để tổng diện
tích của hai hình trịn có giá trị nhỏ nhất.
Đặt MA = x và MB = y.Ta có : x + y = AB ( 0 < x , y < AB)
Gọi S và S’ theo thứ tự là diện tích của
hình trịn có đường kính là MA và MB.
x 2
y 2
x2+ y2
π
+π
=π
2
2
4
Ta có : S + S’ =

() ()

Ta có bất đẳng thức : x2 + y2

¿

( x + y )2
2

A


O

O'
M

nên

B


S + S’

¿

( x + y )2
AB 2
=π
8
8
π

AB
8

2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y.

Do đó min (S + S’) =
.Khi đó M là trung điểm của AB.

Ví dụ 10 :Cho tam giác ABC,M là một điểm di động trên cạnh BC.Qua M kẻ
các đường thẳng song song với AC và với AB, chúng cắt AB và AC theo thứ tự
ở D và E.Xác định vị trí của điểm M sao cho hình bình hành ADEM có diện tích
lớn nhất
A

S ADME

S ABC lớn nhất .
SADME lớn nhất ⇔
Kẻ BK ¿ AC cắt MD ở H.

1
SADME = MD.KH ; SABC = 2 AC.BK
S ADME
MD HK
.
S ABC = 2. AC BK .

Đặt MB = x và MC = y , MD // AC
MD BM
x
=
=
ta có : AC BC x + y
xy
1
≤
2 4
Theo bất đẳng thức : ( x+ y )


Suy ra

D

E

B

S ADME
S ABC

M

C

2 xy
1
≤
2 2
= ( x+ y )

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y .

1
Vậy maxSADME = 2 SABC khi đó M là trung điểm của BC.
B
2.6.Sử dụng tỉ số lượng giác :
a) Kiến thức cần nhớ :
a

Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
c
+ b = a.sinB = a.cosC
+ b = c.tanB = c.cotC
A
b
b) Các ví dụ :
Ví dụ 11: Chứng minh rằng trong các tam giác cân có cùng diện tích tam giác
có cạnh đáy nhỏ hơn là tam giác có góc ở đỉnh nhỏ hơn.
A

Kẻ AH ¿ BC.Đặt ∠ BAC =
Δ AHC vng tại H, ta có :
∠

HAC =

α
α
2 ; AH = HC.cot 2

C

α

1
α
= 2 BC.cot 2
B


H

C


1
1
α 1
α
. BC . AH= . BC . BC cot = . BC 2 . cot
2
2 4
4
Do đó S = 2
4S
α
=2 . S . tan
α
2
cot
⇒ BC =
2
α
Do S không đổi nên BC nhỏ nhất ⇔ tan 2 nhỏ nhất ⇔

√

√

α

2

nhỏ nhất

∠

nhỏ nhất
BAC nhỏ nhất.
Ví dụ 12: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh BC, CD lần lượt lấy các điểm
K, M sao cho BK : KC = 4 : 1; CM : MD = 4 : 1.Tìm tỉ số AB : BC để góc
KAM lớn nhất.
⇔

α

⇔

(GV sẽ cung cấp cho HS công thức :
tan x +tan y
tan(x + y) = 1−tan x . tan y )
A
∠
∠
Đặt
BAK = x và
DAM = y ( x + y < 900)
∠ KAM lớn nhất ⇔
∠ BAK + ∠ DAM nhỏ nhất
K
⇔ x + y nhỏ nhất ⇔ tan(x + y) nhỏ nhất

Giả sử AB : BC = 1 : m (m > 0 )
D
4m
Khi đó :tanx = 5

1
; tany = 5m

B

M

C

Áp dụng cơng thức :
tan x +tan y
tan(x+y)= 1−tan x . tan y =

( 45m + 51m ) :(1− 45m . 51m )=2521 .( 45m + 51m )

4m
1
5 + 5m nhỏ nhất.
tan(x+y) nhỏ nhất ⇔
4m 1 4
4m
1
¿2
. =
5 5m 5 .

Theo bất đẳng thức cơ-si thì 5 + 5m
1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m = 2 . Do đó ∠ KAM lớn nhất ⇔ AB : BC

√

= 2: 1
2.7 Một số bài tập vận dụng:
Bài 1:Cho hình vng ABCD.Hãy xác định đường thẳng d đi qua tâm hình
vng sao cho tổng các khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vng đến đường
thẳng đó là: a) lớn nhất
b) Nhỏ nhất
Bài 2: Cho điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB.Vẽ các tam giác đều AMC và
BMD về một phía của AB.Xác định vị trí điểm M để tổng diện tích hai tam giác
đêù trên là nhỏ nhất?


Bài 3:Cho điểm A nằm bên trong dải tạo bởi hai đường thẳng song song d và d’.
Dựng điểm B thuộc d, điểm C thuộc d’ sao cho tam giác ABC vng tại A và có
diện tích nhỏ nhất?
Bài 4: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 10cm.Một dây CD = 6cm có hai
đầu di chuyển trên nửa đường trịn .Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của A
và B trên CD.Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABFE.
Bài 5:Cho tam giác ABC nhọn, điểm M di chuyển trên cạnh BC.Gọi P,Q là hình
chiếu của M trên AB và AC. Xác định vị trí của điểm M để PQ có độ dài nhỏ
nhất.