BáGI ODệCV
OT O
TRìNG
I HC QUY NHèN

TRNB

CU

B T NG THC ERDOS - MORDELL:
MáT Să M RáNG V
NG DệNG

LU NV NTH CS TO NH¯C

B…nh ành - 2020


1

M

u

BĐt flng thức l mt trong nhng chuyản ã cỡ b£n cıa To¡n håc nâi
chung, to¡n phŒ thæng v to¡n sỡ cĐp nõi riảng. CĂc b i toĂn vã bĐt
flng thøc v cüc trà h…nh håc thuºc lo⁄i nhœng b i toĂn khõ, những
thữớng xuyản xuĐt hiằn trong cĂc ký thi chồn hồc sinh giọi trong nữợc
v quc t. Thỹc sü nâ l mºt phƒn quan trång cıa To¡n håc v nhng
kin thức vã bĐt flng thức hnh hồc cụng l m phong phó th¶m ph⁄m
vi øng dưng cıa To¡n hồc. Trong s rĐt nhiãu bĐt flng thức hnh hồc

liản quan ‚n tam gi¡c, chóng ta khỉng th” khỉng nh›c tợi bĐt flng
thức õ l bĐt flng thức Erdos - Mordell. V… v“y tỉi chån • t i " B T NG
THC ERDOS - MORDELL: MáT Să M RáNG V NG DệNG"
lm

ã t i lun vôn tt nghiằp ca mnh.

Ngo i phƒn Mð ƒu, K‚t lu“n v T i li»u tham khÊo, ni dung chnh ca
lun vôn ữổc chia l m hai ch÷ìng.
Ch÷ìng 1. B T NG THÙC ERDOS-MORDELL V MáT SăH QU .
Chữỡng n y tp trung trnh b y v chứng minh bĐt

flng thức Erdos

- Mordell. Nảu cĂc h» qu£ cıa b§t flng thøc Erdos - Mordell v cĂc ứng
dửng.
Chữỡng 2. MáT Să M RáNG CếA B T NG THÙC ERDOS MORDELL.
Trong ch÷ìng n y s‡ tr…nh b y mºt sŁ mð rºng cıa b§t flng thøc
Erdos - Mordell trong tam gi¡c v mð rºng trong a gi¡c, tø di»n, cịng
vỵi mºt sŁ v‰ dư v øng dưng cıa chóng.


2

Lun vôn ữổc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn v giúp ù tn tnh ca
TS. Lả Thanh Bnh, Khoa ToĂn v Thng kả, Trữớng i hồc Quy Nhỡn.
Tổi xin b y tä sü k‰nh trång v lỈng bi‚t ỡn sƠu sc n Thy  giúp ù
tổi trong sut quĂ trnh thỹc hiằn lun vôn n y.
Qua Ơy, tổi cụng xin gòi lới cÊm ỡn n quỵ thy(cổ) Trữớng ⁄i håc Quy
Nhìn, PhỈng o t⁄o Sau ⁄i håc, Khoa ToĂn v Thng kả cũng quỵ Thy,

Cổ giĂo giÊng dy lợp Cao hồc Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp khõa 21 ¢
gióp ï v t⁄o i•u ki»n thu“n lỉi cho tỉi trong suŁt qu¡ tr…nh håc t“p v
nghi¶n cøu.
M°c dị lu“n vôn ữổc thỹc hiằn vợi sỹ nỉ lỹc c gng ca bÊn thƠn,
những do iãu kiằn thới gian cõ hn, trnh kin thức v kinh nghiằm
nghiản cứu cặn hn ch nản lun vôn khõ trĂnh khọi nhng thiu sõt.
Chúng tổi rĐt mong nhn ữổc nhng gõp ỵ ca quỵ thy cổ v bn
ồc lun vôn ữổc ho n thiằn hỡn.
Bnh
nh, thĂng 7 nôm 2020
Hồc viản

Trn BĂ Cu


3

Chữỡng 1

B T NG THC ERDOS-MORDELL V
MáT Să H QU

Trong ch÷ìng n y, chóng tỉi ph¡t bi”u v tr…nh b y c¡c c¡ch chøng
minh cıa b§t flng thøc Erdos - Mordell, c¡c h» qu£ v mºt sŁ b i to¡n ¡p
döng.
Cho tam gi¡c ABC v P l i”m n‹m trong tam giĂc ABC. Kỵ hiằu a, b, c
ln lữổt l º d i c¡c c⁄nh BC, CA, AB v h a, hb, hc l c¡c ÷íng cao h⁄ tł ¿nh
A, B, C cıa tam gi¡c ABC, S

ABC


l di»n t‰ch cıa tam giĂc ABC . Kỵ

hiằu R1, R2, R3 ln lữổt l kho£ng c¡ch tł i”m P tỵi c¡c ¿nh A, B, C cıa
tam gi¡c ABC v r1, r2, r3 lƒn lữổt l khoÊng cĂch t im P tợi cĂc cnh
BC, CA, AB cıa tam gi¡c ABC.
1.1

B§t

flng thøc Erdos - Mordell.

B§t flng thøc Erdos - Mordell ÷ỉc ph¡t bi”u nh÷ ành lỵ sau:
nh lỵ 1.1.1. (Xem [2]). Cho tam giĂc ABC v i”m P n‹m trong tam
gi¡c. Khi â, ta câ b§t flng thøc
R1 + R2 + R3 > 2(r1 + r2 + r3):
flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi tam gi¡c ABC •u v P l
gi¡c ABC.


4

BĐt flng thức (1.1) cõ nhiãu cĂch chứng minh khĂc nhau. Ngữới
chứng minh u tiản l Nh toĂn hồc L.J.Mordell v o nôm 1935, sau õ
nhiãu tĂc giÊ ữa ra c¡c c¡ch chøng minh kh¡c nhau. Sau ¥y, chóng tỉi
xin ÷a ra ba c¡ch chøng minh cho b§t flng thøc Erdos - Mordell.
Trong c¡ch ti‚p c“n ƒu ti¶n, chóng tỉi s‡ chøng minh r‹ng
c

b


R > r
1

a
R > r
2

+ r

a

2

a

3

3

b

1

c

+ r

1


b

R > r

CĂch 1

3

+ r

2

;
c
;
b
a

c

:

Chứng minh.

C

0

B
X


B

0

GiÊ sò ữớng thflng AX i xứng vợi ữớng thflng AP qua ữớng phƠn giĂc
trong ca gõc A ca tam giĂc ABC. Kỵ hiằu B, C lƒn l÷ỉt l h…nh
chi‚u vng gâc cıa i”m B, C l¶n AX. Khi â suy ra
[

\0 PAC
= BAB ;

[

\0 PAB
= CAC :


Ta câ
a

hay

T÷ìng tü, ta câ

Cºng v‚ theo v‚ cıa c¡c b§t flng thøc (1.2), (1.3) v
R1+R2+R3

p dưng b§t flng thøc Cauchy cho v‚ ph£i cıa b§t flng thøc (1.5), ta

câ
R1 + R2 + R3 > 2(r1 + r2 + r3):
Rª r ng, d§u flng thøc cıa b§t flng thøc (1.5) x£y ra khi v ch¿ khi a =
0

0

b = c hay tam gi¡c ABC •u v a = BB + C C suy ra B’ trịng
vỵi C’ v C’ thuºc BC. Tł â suy ra AC’ vng gâc vỵi BC. V tam giĂc
ABC ãu nản ữớng phƠn giĂc trong gõc A ch‰nh l AC’. Do â, AX trịng
vỵi AP trịng vợi AC, suy ra AP vuổng gõc vợi BC. Tữỡng tü, ta câ AP
vng gâc vỵi AB, AP vng gâc vợi AC hay P l trỹc tƠm ca tam
giĂc ABC.
Vy d§u flng thøc trong (1.1) x£y ra khi v ch¿ khi tam giĂc ABC
ãu v P l tƠm ca tam gi¡c ABC.
C¡ch chøng minh ti‚p theo, chóng tỉi s‡ chøng minh


R1 > r2


R2
R3
CĂch 2
Chứng minh.

F

R2


B

Hnh 1.2
GiÊ sò E, F ln lữổt l h…nh chi‚u vng gâc cıa i”m E, F l¶n DP.
p dửng nh lỵ h m s sin, ta cõ
0

R1 sin A = EF > EE + F F
suy ra

R

1

T÷ìng tü, ta câ
R2

0

= r3 sin B + r2 sin C;


R3


7

Cºng v‚ theo v‚ c¡c b§t

flng thøc (1.6), (1.7) v (1.8) ta


ữổc

R1+R2+R3

p dửng bĐt flng thức Cauchy cho v phÊi ca bĐt flng thức (1.9), ta
ữổc
R1 + R2 + R3 > 2(r1 + r2 + r3):
Rê r ng, dĐu flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi sin A = sin B = sin C suy
0

0

ra A = B = C hay tam gi¡c ABC •u v EF = EE + F F suy ra E’
trịng vỵi F’ hay EF vng gâc vỵi DP t⁄i E’. Do â EF song song vợi
BC. Tữỡng tỹ, ta cõ ED song song vợi AB, DF song song vỵi AC.
V… EF song song vỵi BC n¶n AB

AF

=

AE

AC suy ra AF = AE, ta

cơng suy ra P F = P E do tam gi¡c AFP b‹ng tam gi¡c AEP(c⁄nh huy•n
v c⁄nh gâc vng). Do â AP l ữớng phƠn giĂc ca gõc A. Tữỡng tỹ BP l
ữớng phƠn giĂc ca gõc B. Vy P l trüc t¥m cıa tam gi¡c ABC.



V“y flng thøc trong (1.1) x£y ra khi v ch¿ khi tam giĂc ABC ãu v P l
tƠm ca tam gi¡c ABC.
C¡ch 3
” tr…nh b y c¡ch chøng minh ti‚p theo, chúng tổi cn sò dửng b ã
sau Ơy.
B ã 1.1.2. (Xem [6]). Vợi im P bĐt ký nm trong tam gi¡c ABC, ta câ

q

a2 + 4r12 >

D§u flng thøc x£y ra khi v ch¿ khi PO song song c⁄nh BC, vợi O l
tƠm ữớng trặn ngoi tip tam giĂc ABC.
Chøng minh. p dưng cỉng thøc thøc Heron, ta câ

S

ABC

=

p

p(p a)(p b)(p c);


trong â p =

Sß dưng flng thøc (1.12) ta chøng minh ÷ỉc

a

+

(ax + by + cz)2

2

2 2

=

2 2

2 2

[(2b c + a b + a c

trong â x, y, z l
2 2

a

+

16x S
(ax + by + cz)2

2


E

r3

P r

D
2

O
r1
B
F

C

H…nh 1.3
Cho x = r1, y = r2, z = r3. Th‚ v o bĐt flng thức (1.14) v sò dửng flng
thức ỡn gi£n

4

b


ar1 + br2 + cr3 = 2S

ABC

;


(1.15)


9

ta

ữổc
a2 + 4r12 >

hay bĐt flng thức (1.10) úng. Rê r ng, d§u flng thøc cıa b§t flng thøc
(1.10) x£y ra khi v ch¿ khi
2 2

2 2

2 2

(2b c + a b + a c b

4

4

2

c )r1

2


a(b + c

2

a )(br2 + cr3) = 0:
(1.16)

X†t c¡c tam gi¡c BPC, CPA, APB. Ta câ
1

S

BP C

S

S

CP A

AP B

=

ar ;

2 1
1
= br ;

2 2
1
= cr :
2 3

p dưng (1.12), ta suy ra (1.16) t÷ìng
2 2

2 2

ữỡng vợi

2 2

(2b c + a b + a c
2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

, (2b c + a b + a c
,S

BP C


,S

BPC[16S

2 2

(2b c + a b + a c
2

Ta x†t c¡c tr÷íng hỉp cıa gâc A.
- N‚u A = 2 v r1 = 0 th… P l im nm trản BC v tƠm O ca ữớng trặn
ngoi tip tam giĂc ABC ỗng thới l trung im cıa c⁄nh BC. Do
â PO n‹m tr¶n c⁄nh BC.
- N‚u A 6= th… S

CP B

6= 0tł (1.17), ta suy ra 2

2

16S

ABC

2 2

a (b
Tł (1.15) ta câ S


BP C

+S

CP A

+S

AP B

=S

ABC

, cho nản ta

ữổc


S

=

BPC


10

trong õ R l bĂn knh ữớng trặn ngoi tip cıa tam gi¡c ABC. M°t
kh¡c do S


OBC

=

V“y ta câ PO song song vợi BC. B ã 1.1.2 ữổc chứng minh.
Tr li vợi cĂch chứng minh thứ 3 ca bĐt
flng thức Erdos - Mordell.
Chøng minh. p dưng BŒ • 1.1.2, ta câ c¡c b§t flng thøc

q

b2 + 4r22

q

c2 + 4r32
A

D

r

3

R2

B

Tł 2S


Do õ

ABC

= aha v theo cổng thức (1.11), ta ữổc

ha =

DĐu flng thøc x£y ra khi v
p dưng b§t flng thøc (1.20) i vợi tam giĂc BPC, ta cõ

p dửng bĐt flng thøc (1.20) Łi vỵi tam gi¡c CPA, ta câ



11

p dửng bĐt

flng thức (1.20) i vợi tam giĂc APB, ta câ
q

Cºng v‚ theo v‚ c¡c b§t flng thøc (1.21), (1.22) v

q

2(R1 + R2 + R3) >
M°t kh¡c, cºng v‚ theo v cĂc bĐt flng thức (1.10), (1.18) v
ữổc

q

> 2(
p dưng b§t flng thøc Cauchy cho v‚ ph£i cıa b§t flng thức (1.25) ta
thu ữổc bĐt flng thức Erdos - Mordell. D§u flng thøc trong b§t flng

thøc (1.1) x£y ra khi v ch¿ khi tam gi¡c ABC •u v P l tƠm ca tam giĂc
ABC.
BĐt flng thức Erdos - Mordell nâi l¶n mŁi quan h» giœa tŒng
kho£ng c¡ch tł mºt i”m trong tam gi¡c tỵi c¡c ¿nh so vỵi tŒng kho£ng
c¡ch tł i”m â tỵi c¡c c⁄nh cıa tam gi¡c. Ngo i ra, cỈn câ mŁi quan h»
giœa t‰ch v tŒng c«n b“c hai c¡c kho£ng c¡ch tł mºt i”m trong tam gi¡c
tỵi c¡c ¿nh so vỵi t‰ch v tŒng côn côn bc hai cĂc khoÊng cĂch t im õ
tợi cĂc cnh ca tam giĂc. iãu n y ữổc th hi»n qua hai h» qu£ sau.
1.2

C¡c h» qu£.


H» qu£ ƒu ti¶n nâi l¶n mŁi li¶n h» giœa t‰ch kho£ng c¡ch tł mºt
i”m n‹m trong tam gi¡c tỵi c¡c ¿nh so vỵi t‰ch kho£ng c¡ch tł i”m â tỵi
c¡c c⁄nh cıa tam gi¡c.
H» qu£ 1.2.1. Cho tam gi¡c ABC v P l i”m n‹m trong tam gi¡c. Khi â,
ta câ b§t flng thøc
R1:R2:R3 > 8r1:r2:r3:


Chứng minh. Trữợc ht, ta nhc li cĂc bĐt flng thức (1.2), (1.3) v
(1.4):


NhƠn v theo v cĂc bĐt flng thøc n y, ta câ

R1:R2:R

B

p dưng b§t flng thøc Cauchy cho v‚ ph£i cıa §t flng thøc (1.27), ta
câ
R1:R2:R3 > 8r1:r2:r3:
Tł H» qu£ 1.2.1, ta câ c¡c k‚t qu£ sau

1.

R

1

2

r2r3

+

R

r3r1

2

2


+

R

3

2

> 12,

r1r2

r

2.

R1
2

+ r3



13

3.p

R1


+p

R2

+p

R3

> 6.

r2r3r3r1r1r2

Chøng minh. p dưng b§t flng thøc Cauchy, ta câ
1.

rr

1
2 3

+

2
1

r3r

2

2


R

R
r2 +

2.

p

3.

1

r3

R

+

2

r3 + r 1

+p

rr

rr


23

R1

H» qu£ ti‚p theo cho ta lản mi liản hằ gia tng côn cĂc khoÊng
cĂch tł mºt i”m n‹m trong tam gi¡c tỵi c¡c ¿nh so vợi tng côn cĂc
khoÊng cĂch t im õ tợi c¡c c⁄nh cıa tam gi¡c.
H» qu£ 1.2.2. Cho tam gi¡c ABC v P l i”m n‹m trong tam gi¡c. Khi â,
ta câ b§t flng thøc

R1

p
Chøng minh.
A

D

r

3

R

2

B

H…nh 1.6


+

p

31


T cĂc bĐt flng thức (1.2), (1.3), (1.4) v sò dưng b§t flng thøc Cauchy,


14

ta suy ra

Cºng v‚ theo v‚ c¡c b§t flng thøc (1.29), (1.30) v
p

R1 + p R 2

p dưng b§t flng thøc Cauchy cho v‚ ph£i cıa b§t flng thøc (1.32), ta
÷ỉc
p


Sau ¥y, chóng tỉi s‡ tr…nh b y mºt sŁ b i to¡n h…nh håc sì c§p m
dưng b§t flng thøc Erdos - Mordell.
1.3

Mºt sŁ b i to¡n ¡p döng.


Trong v‰ dư ƒu ti¶n, ta xem x†t mŁi li¶n h» gia tng khoÊng
cĂch t tƠm ữớng trặn ni tip tợi cĂc nh ca tam giĂc so vợi bĂn knh
ữớng trặn nºi ti‚p cıa tam gi¡c.
V‰ dö 1.3.1. Gåi I, r ln lữổt l tƠm v bĂn knh ca ữớng trặn nºi ti‚p
tam gi¡c ABC. Chøng minh r‹ng tam gi¡c ABC •u khi v ch¿ khi
IA + IB + IC = 6r: