ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ I
MƠN: TỐN 9
Năm học: 2019- 2020

UỶ BAN NHÂN DÂN QUẬN CẦU GIẤY
TRƯỜNG THCS DỊCH VỌNG HẬU
A. LÝ THUYẾT
* Đại số:

1) Trả lời 5 câu hỏi ôn tập chương I và thuộc 9 công thức biến đổi căn thức SGK trang 39
2) Học thuộc phần tóm tắt các kiến thức cần nhớ chương II SGK trang 60.
* Hình học:
1) Học thuộc phần tóm tắt các kiến thức cần nhớ chương I SGK trang 92.
2) Học thuộc phần tóm tắt các kiến thức cần nhớ chương II SGK trang 126.
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1. Cho biểu thức A 

x 1
với x  0
x 1

1) Tính A khi x  6  4 2;
2) Tính A khi x là nghiệm của phương trình

2 x 2  3 x  5  x  1;

1
3) Tìm giá trị của x để A  ;
6

4) Tìm giá trị của x để A  A;

5) Tìm giá trị của x để A2  A  0;
6) So sánh A với 1.
7) So sánh A với biểu thức N 
8) Tìm x   để

x 3
2 x

2
 ;
A

9) Tìm x để A ;





10) Tìm giá trị nhỏ nhất của P  A x  x  2 ;
11) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q 
12) Tìm giá trị nhỏ nhất của R 

A
 0  x  4 ;
x  3 x  2
x
 x  1 ;
A

13) Tìm giá trị lớn nhất của B  2  A;

14) Tìm giá trị lớn nhất của C 

A
 x  1 ;
x 7


15) Tìm x thỏa mãn A



 



x 1  2 6 1

x  2 x  2 x  5  1;

16) Tìm m để phương trình A=m có nghiệm;
Bài 2. Cho biểu thức A 

2 x
x  1 3  11 x


,B 
9 x
x 3
x 3


x 3
với x  0; x  9.
x 1

2
2

.
2 1
2 1

a) Tính giá trị của B tại x 
b) Rút gọn A.

c) Tìm số nguyên x để P=A.B là số nguyên.
Bài 3. Cho biểu thức M 

2 x 9
x  3 2 x 1


.
x 5 x 6
x  2 3 x

a) Rút gọn M;
b) Tính giá trị của M khi x  11  6 2;
c) Tìm các giá trị thực của x để M=2;
d) Tìm các giá trị thực của x để M  1;

e) Tính giá trị nguyên của x để M nguyên.
Bài 4: Cho biểu thức: A 

2 x
x9 x
x5 x

và B 
với x  0; x  9; x  25
x9
x  25
x 3

a)Rút gọn biểu thức A và B

b)Đặt P 

A
. Hãy so sánh P với 1
B

c)Tìm giá trị nhỏ nhất của P .
Bài 5: Cho biểu thức: P 
a)Rút gọn P

2 x
2
6

và Q 

với x  0; x  9
x9
x 3
x 3 x

b) Tìm x để A 

Q
2 x 1
với A  .
2
P

c) So sánh A và A2 .

Bài 6: Cho đường thẳng d: y   3  2m  x  2m  5 ( m là tham số ).
a)Với giá trị nào của m thì đường (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 .
b)Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y  2015  x .
c)Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m.
d) Tìm phương trình đường thẳng (d) , biết đồ thị đi qua I  2; 2  và có hệ số góc bằng 2 .
Bài 7: Cho hàm số bậc nhất y  1  2m  x  m  1 có đồ thị là  d  .
a) Tìm m để đồ thị hàm số trên song song với đồ thị hàm số y  2 x  3 .


b) Vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm được ở câu a)
c) Tìm m để đường thẳng  d  và đường thẳng y  3 x  1 cắt nhau tại một điểm có hồnh độ
bằng 1.
d*) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng  d  là lớn nhất.
Bài 8: Cho các đường thẳng  d1  : y  4mx   m  5  với m  0 ;  d 2  : y   3m 2  1 x   m 2  9 
a) Với giá trị nào của m thì  d1  / /  d 2  .

b) Với giá trị nào của m thì  d1  cắt  d 2  . Tìm tọa độ giao điểm khi m  2 .
c) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng  d1  ln đi qua điểm cố định A ;  d 2  đi
qua điểm cố định B .
Bài 9: Cho hàm số y  ax  b .
a) Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y  2 x  3 và đi qua điểm A 1; 2  .
b) Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định rồi tính độ lớn của góc  tạo bởi đường thẳng trên và tia Ox .
c) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng trên với đường thẳng y  4 x  3 .
d) Tìm giá trị của m để đường thẳng trên song song với đường thẳng y   2m  3 x  2 .
Bài 10: Cho hàm số y   m  1 x  2

 m  1

a) Tìm điều kiện của m để hàm số (1) đồng biến trên R.
b) Tìm m biết đồ thị hàm số (1) là đường thẳng có hệ số góc là 2.
c) Tìm m biết đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A(2; 1)
d) Tìm giá trị của m và k để đồ thị hàm số (1) và đuờng thẳng y  x  k  1 trùng nhau.
e) Tìm m biết đồ thị hàm số (1) cắt hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 4.
Bài 11: Cho hàm số bậc nhất y   m  2  x  2m  5 có đồ thị là đường thẳng d.
a) Tìm m để d cắt trục tung có tung độ bằng 3
b) Vẽ đồ thị với m tìm được ở câu a
c) Tìm m biết đường thẳng d vng góc với đường thẳng d1 : 2 x  y  3  0
d) chứng tỏ đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.
e) Tìm m để khoảng cách từ M  2; 0  đến d là lớn nhất.
Bài 12: Cho ba đường thẳng d1 : y  3 x , d 2 : y 

1
x ; d3 : y   x  4
3



a) Vẽ d1 , d 2 , d 3 trên cùng một mặt phẳng toạ độ
b) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d 3 với d1 ; d 2 . Tìm toạ độ của điểm A và B
c) Chứng minh tam giác AOB cân
d) Tính diện tích của tam giác OAB.
Bài 13. Cho đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB. Qua điểm A kẻ tiếp tuyến Ax với
(O). Trên tia Ax lấy điểm C sao cho AC > R. Từ điểm C kẻ tiếp tuyến CM với đường tròn (O)
(M là tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng bốn điểm A, C, O, M cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh rằng MB // OC
c) Gọi K là giao điểm thứ hai của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng: BC.BK = R 2

  MBC

d) Chứng minh rằng CMK
Bài 14. Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB, tiếp tuyến Bx. Qua C trên nửa đường tròn
kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Bx ở M. Tia AC cắt Bx tại N.
a) Chứng minh 4 điểm O, C, M, B cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh: OM  BC
c) Chứng minh M là trung điểm của BN
d) Kẻ CH  AB , AM cắt CH ở I. Chứng minh I là trung điểm CH

AB2
e) Chứng minh: NC.NA  NO 
4
2

g) Khi C di động trên (O) thì trọng tâm G của tam giác BOC thuộc đường tròn cố định nào?
Bài 15. Cho đường trịn (O; 5cm) đường kính AB gọi E là một điểm trên AB sao cho BE = 2cm.
Qua trung điểm H của đoạn AE vẽ dây cung CD  AB .
a) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?

b) Gọi I là giao điểm của DE với BC. Chứng minh I thuộc đường trịn (O’) đường kính EB
c) Chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
d) Tính độ dài đoạn HI
Bài 16. Cho hai đường trịn (O) và (Ĩ) tiếp xúc ngồi ơ A. Tiếp tuyến chung ngồi cua hai
đường trịn, tiếp xúc với đường tịn (O) ở M, tiếp xúc với đường tròn (O’) ở N. Qua A kẻ đường
thẳng vng góc với OO’ cắt MN ở I.
a) Chứng minh ∆AMN vuông
b) ∆IOO’ là tam giác gì? Vì sao
c) Chứng minh rằng đường thẳng MN tiếp xúc với đường trịn đường kính OO’


d) Cho biết OA = 8cm, OA’ = 4,5cm. Tính độ dài MN
Bài 17. Cho đường trịn đường kính AB. Dây CD khơng qua O, vng góc với AB tại H. Dây
CA cắt đường tịn đường kính AH tại E và đường trịn đường kính BH cắt dây CD tại F. Chứng
minh rằng:
a) Tứ giác CEFH là hình chữ nhật
b) EF là tiếp tuyến chung cua đường trịn đường kính AH và đườnng kính BH
c) Tiếp tuyến tại A cắt đường thẳng BC tại M, gọi I là tâm hình chữ nhật CEHF, BI cắt AM ở N.
Chứng minh N là trung điểm của AM.
Bài 18. Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm. Từ một điểm A cách O là 5cm vẽ hai tiếp tuyến
AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm)
a) Chứng minh AO vng góc với BC
b) Kẻ đường kính BD. Chứng minh rằng DC song song với OA.
c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC
d) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với BD, đường thẳng này cắt tia DC tại E. Đường thẳng AE
và OC cắt nhau ở I. Đường thẳng OE và AC cắt nhau ở G. Chứng minh IG là trung trực của đoạn
thẳng OA.
Bài 19: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C trên đường tròn. Từ O kẻ một
đường thẳng song song với dây AC , đường thẳng này cắt tiếp tuyến tại B ở điểm D.
a) Chứng minh OD là phân giác của góc BOC .

b) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn.
c) Qua D kẻ cát tuyến DMN với đường tròn ( N nằm giữa D và M ). Chứng minh
DB 2  DM .DN .

d) Dây CM cắt đường kính AB tại I . Chứng minh rằng IC .IM  IA.IB.
Bài 20: Cho nửa đường tròn  O  đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vng góc với AB. (
Ax; By và nửa đường trịn cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm M thuộc nửa đường

tròn ( M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn, nó cắt Ax tại C và cắt By tại D.
  90o.
a) Chứng minh CD  AC  BD và COD

b) AD cắt BC tại N . Chứng minh: MN / / BD.
c) Tích AC .BD khơng đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.
d) Gọi H là trung điểm của AM . Chứng minh: ba điểm O, H , C thẳng hàng.


Bài 21: Cho nửa đường tròn  O; R  , đường kính AB . M là điểm thuộc nửa đường tròn  O; R  .
Đường cao MH . Tiếp tuyến tại M của  O; R  cắt tiếp tuyến tại A ở E , cắt tiếp tuyến tại B ở F
. OE cắt AM tại P , EB cắt MH tại K , OF cắt MB tại Q .
a) Tính MH ; HA; HB theo R khi 
ABM  30o
b) Tứ giác MPOQ là hình gì? Vì sao?
c) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường trịn  O; R  để diện tích tam giác EOF nhỏ nhất.
Tính giá trị nhỏ nhất đó theo R
d) Chứng minh rằng: P , K , Q thẳng hàng
Bài 22. Cho đường trịn  O; R  có đường kính AB. Qua A và B lần lượt vẽ hai tiếp tuyến (d ) và
(d ') với đường tròn (O ) . Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d ) ở M và cắt đường thẳng
(d ') ở P. Từ O vẽ một tia vng góc với MP và cắt đường thẳng (d ') ở N.


a) Chứng minh OM  OP và tam giác NMP cân.
b) Hạ OI vng góc với MN. Chứng minh rằng OI  R và MN là tiếp tuyến của đường tròn (O )
.
c) Chứng minh AM .BN  R 2 .
d) Tìm vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABNM nhỏ nhất.
Bài 23. Cho đường trịn tâm O đường kính AB  2 R . Vẽ hai tiếp tuyến Ax, By của đường tròn
(O ) ( A, B là tiếp điểm ). Trên (O ) lấy điểm C bất kì, tiếp tuyến tại C với (O ) cắt Ax, By lần lượt

tại E, F.
a) Chứng minh AE  BF  EF.
b) Chứng minh tam giác OEF là tam giác vuông.
c) Đường thẳng BC cắt tia Ax tại D. Chứng minh E là trung điểm của AD.
d) Gọi M là giao điểm của OE và AC, N là giao điểm của OF và BC, H là hình chiếu của C trên
AB. Chứng tỏ khi C di động trên đường tròn tâm O thì đường trịn ngoại tiếp tam giác MHN
ln đi qua một điểm cố định.
C. LỜI GIẢI
Bài 1.





2

1) x  6  4 2  2  2 ( thỏa mãn điều kiện x  0 )




Thay x  2  2




2

vào A ta được: A 

2  2 
2  2 

2

2

1



1

2  2 1 1 2 1 2 2


.
7
2  2 1 3  2

2)

x  1

x

1
x

1

0



 2
   x  3 TM   x  3
2 x 2  3x  5  x  1   2
2
 x  x  6  0 
2 x  3x  5  x  2 x  1
  x  2  L 
Thay x=3 ( thỏa mãn điều kiện x  0 ) vào A ta được A 

3 1
 2  3.
3 1

3)

A

x 1 1
7

49
  6 x  6  x 1  5 x  7  x   x 
( thỏa mãn điều kiện
5
25
x 1 6

1

6

x0) .
4) A  A  A  0 

x 1
 0  x  1  0  x  1  x  1.
x 1

Kết hợp với điều kiện x  0 .
Vậy x  1 .
5) A2


 A0 





x 1  x 1







x  1
x 1

2

2



x 1
0
x 1

2



x 1

2

0 

2x  2 x






x 1

2

 0  2x  2 x  0  2 x





x 1  0

 x 1  0
x  1


x  0
x  0

Kết hợp với điều kiện x  0 . Vậy 0  x  1 .
6) A 

x 1
2
 1

 1. Vậy A<1.
x 1
x 1

7) ĐKXĐ x>0
Xét A  M 






x 1
x  3 2x  2 x  x  2 x  3
x3



 0. Vậy A>M
x 1 2 x
2 x x 1
2 x x 1













2 2 x 1
4
 2
( điều kiện x  0; x  1 )
8) A 
x 1
x 1
Để

2
  khi 4
A

9) A 





x  1 Ư(4)  x  1 4; 4; 2; 2;1; 1  x  25;9; 4; 0 .

x  1 hay

x 1
2
 1

x 1
x 1

Để A   khi 2





x  1  x  1  Ư(2)  x  1 2; 2;1; 1  x  1; 0 .

10)

x 1
P  A x x 2 
. x 1
x 1
9
1
GTNN của P bằng
khi x  .
4
4



11) Q 






A

x  3 x  2 

GTNN của Q bằng







x 1

 

x 2 

x 1



x 1

x 2




x 1







1
1
4

 .
2
x x 2 
1 9 9
 x  
2 4


4
1
khi x  .
9
4

x
x 1 x  x
2
12) Ta có với x  1 thì R  A  x : x  1  x  1  x  2  x  1

 x 1

2
3 2
x 1





2
3 2 2 3
x 1

x 1 .

Vậy giá trị nhỏ nhất của R bằng 2 2  3 khi x  3  2 2
13) B  2  A  2 
B lớn nhất 

x 1

x 1

x 3
 1
x 1

2
x 1


2
lớn nhất  x  1 nhỏ nhất  x  0.
x 1

Vậy GTLN của B bằng 3 khi x=0.
14) C 

A

x 7





x 1



1
Vậy GTLN của C bằng 18 khi x=25.

15)





2


 x 5
1 1
1
1
  
  .
x  7 18 18 18 x  8 x  7 18 18

x 1



2

3 1
1

x 2  x 3 x  2   x      .
2 4
4





ĐKXĐ x  5
A




 



x 1  2 6 1

x 1
x 1





x  2 x  2 x  5  1;

 



x  1  2 6 1

x  2x  2 x  5  1


 x  2x  2 x  5 1
 2  2 6  x  2 x  5  2x  2
 1  6  x  x  5  x  1
 x 1  2 6 1




Mà 1  6



x  0; x  5 

1

Nên x  1 

2 5

x x

1
.
5

 x  5 .5 

1
2 5

x

2 5
2 5 1


Kết hợp với điều kiện ta kết luận PTVN.



Cách 2:  1  6



Vì 1  6







x  x  5  x 1  1 6



x   x  5  x  5  6
2

1  23

x  0 . Mà  x  5  x  5  6   x  5   
0
2
4



Vậy PT vô nghiệm.
16) A=m 

x 1
1  m
 m  x  1  m x  m   m  1 x  1  m  x 
m 1
x 1

Để phương trình A=m có nghiệm 

1  m
 0  1  m  1.
m 1

Bài 2.
a) ĐKXĐ x  0
x

2
2

 2.
2 1
2 1



 


2  1  2.

Thay x= 4 vào B ta tính được B 



2  1  4 thỏa mãn ĐKXĐ.

1
.
3

b)

A




 

2 x
x  1 3  11 x 2 x x  3




9 x
x 9

x 3
x 3

3x  9 x
3 x

x9
x 3



x 1

x9

x 3

  3  11

x9

x


P  A.B 
c)

3 x
x 3 3 x
3

.

 3
x  3 x 1
x 1
x 1
3
là số nguyên hay 3 x  1  x  1Ư (3)
x 1

Để P=A.B là số nguyên khi

 x  1 3; 3;1; 1  x  4;0 .
Bài 3.
a)
M 



2 x 9

x5 x 6

x  3 2 x 1


x 2 3 x


 x  2 x  3 

x x 2


x  2 
x 2





2 x 9
x 2


x  3
x 1



x 3



 

x9
x 2




x 3



 

2x  3 x  2
x 2



x 1
x 3

b) ĐKXĐ: x  4; x  9; x  0



x  11  6 2  3  2



2

thỏa mãn ĐKXĐ.



Thay x  11  6 2  3  2




2

vào M ta được M 

3  2 
3  2 

2

2

1
3



4 2
 2 2  1.
 2

c) ĐKXĐ: x  4; x  9; x  0
Thay M  2 

x 1
 2  x  1  2 x  6  x  7  x  49 (nhận).
x 3

Vậy x=49.

d) ĐKXĐ: x  4; x  9; x  0

M

x 1
4
 1
x 3
x 3

Để M  1 khi

4
 0  x  3  0  x  3  0  x  9.
x 3

Kết hợp với điều kiện ta được 0  x  9; x  4.
e) ĐKXĐ: x  4; x  9; x  0

M

x 1
4
 1
x 3
x 3

x 3





4
nguyên  4 x  3  x  3 Ư(4)
x 3

Để M nguyên khi

 x  3  4; 4; 2; 2;1; 1  x  49; 25;1;16; 4 .
Kết hợp với điều kiện ta được x  49; 25;1;16 .

2 x
x9 x
x5 x

và B 
với x  0; x  9; x  25
x9
x  25
x 3

Bài 4:Cho biểu thức: A 

b)Đặt P 

a)Rút gọn biểu thức A và B

A
. Hãy so sánh P với 1
B


c)Tìm giá trị nhỏ nhất của P .
HD:
ĐKXĐ: x  0; x  9; x  25
a) A 



+) B 



2 x
x9 x

x9
x 3
x3 x
x 3



x5 x

x  25

b) Ta có: P 

x 3


x



A

B



 



x 5









x

x 3

x 5




2 x

x 3



x 5



x 3

x9 x
x 3



x 3





x
x 5






x 3

2x  6 x  x  9 x

 

x 3



x 3

x
x 3

x
x 5
.

x 3
x

x
x
:

x 3 x 5




x 5
x 3

Xét

P 1 

x 5
1 
x 3

c) Ta có: P 

P

A

B

x 5 x 3

x 3

x
x
:

x 3 x 5


8
 0  P 1
x 3

x
x 5
.

x 3
x

x 5
x 3

x 5
8
 1
x 3
x 3

Ta có:
x  0 x  0 x 33 
Dấu “=” xảy ra  x  0 (TMĐK)

8
8
8
8
5

   1
1  P 
3
3
3
x 3
x 3




Vậy GTNN của P 

5
tại x  0 .
3

Bài 5 : Cho biểu thức: P 
a)Rút gọn P

2 x
2
6

và Q 
với x  0; x  9
x9
x 3
x 3 x


b) Tìm x để A 

Q
2 x 1
với A  .
2
P

c) So sánh A và A2 .

HD :
a) ĐKXĐ: x  0; x  9

P

2 x
2


x9
x 3

Vậy P 



2 x
x 3




x 3



2
2 x 2 x 6
6


x9
x 3
x 3
x 3









6
với x  0; x  9 .
x9

b) Ta có: A 

Q

6
6

:

P x 3 x x9

Theo bài toán: A 

x



6
x 3



.



x 3



x 3

6




x 3
x

x  3 2 x 1

2
x

2 x 1

2

 2 x  6  2x  x

 2x  x  6  0 



 x  2  0  x  4(T / M )
x 2 2 x 3  0 
 2 x  3  0  2 x  3  x  





Vậy x  4
c) Ta có:

A  A2  A 1  A  

x 3
x 3
 1 

x 
x 

với mọi giá trị x  0; x  9 vì

x 3 x  x 3
.

x
x

x  3 3
.
0
x
x

x 3
3
 0 (do x  0 ) và
0
x
x


Do đó : A  A 2  0 . Vậy A  A2 .
Bài 6: a) Để (d) là hàm số bậc nhất 3  2m  0  m 

3
2

Để đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3  y  3; x  0 thay và (d) ta
được:


 3  2m  .0  2m  5  3
 2 m  5  3  2 m  2  m  1

Vậy khi m  1 thì đường (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 .
b) Để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y  2015  x

3  2m  1
 m  2 (t / m )

Ta có: 
2m  5  2015 m  1010
Vậy m  2 .
c) Gọi M  x0 ; y0  là điểm cố định mà đường thẳng d luôn đi qua
Ta có:
y0   3  2m  x0  2m  5  2m  x0  1  5  y0  3 x0  0

 x0  1  0
 x0  1

 M  1; 8  là điểm cố định mà đường

Với mọi m ta ln có: 
5  y0  3x0  0
 y0  8
thẳng d ln đi qua.
d) Gọi phương trình đường thẳng d có hệ số góc bằng 2 là y  -2x+b
biết đồ thị đi qua I  2; 2  nên Thay x  2, y  2 vào d ta được:

2.2  b  2  b  6 .
Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là y  2 x  6 .
Bài 7: a) Đồ thị hàm số là hàm số bậc nhất, song song với y  2 x  3 khi:

1

m


2
1  2m  0

1
1
1


1  2m  2  m    m   . Vậy m   thì đồ thị hàm số song song với y  2 x  3 .
2
2
2
m  1  3



m  4


1
3
b) Với m     d  : y  2 x  .
2
2

Đồ thị giao với Ox tại điểm A có tung độ y  0  x 

3
3 
 A ; 0 .
4
4 

3
3

Đồ thị giao với Oy tại điểm B có hồnh độ x  0  y    B  0;   .
2
2


Đồ thị hàm số  d  : y  2 x 
Hình vẽ:

3

là đường thẳng, đi qua hai điểm A, B .
2


y

A
0

-

3
2

3 1
4

x

B

1

1  2m  0
m 
c) Hai đường thẳng cắt nhau khi : 

2.
1  2m  3 m  2


Xét phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị:

1  2m  x  m  1  3x  1 1 . Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hồnh độ
nghiệm của phương trình

x  1 nên x  1 là

1 , suy ra 1  2m  .1  m  1  3.1  1  m  2 ( loại)

Vậy không tồn tại giá trị của m để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có hồnh độ x  1 .
d) Xét m  1  0  m  1  y   x . Đồ thị là đường thẳng qua gốc tọa độ nên d  O ,d   0 .
Với m  1; m 

1
 1 m 
, đồ thị hàm số y  1  2m  x  m  1 cắt trục Ox tại M 
; 0  và cắt
2
 1  2m 

trục Oy tại N  0; m  1 .
Từ O kẻ OH  MN suy ra khoảng cách từ O đến đường thẳng  d  là OH .


y

1-m
1-2m

0


x

M
H

N m-1

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông OMN ta có:
2
2m 2  2  m 2  2m  1
1  2m 

1
1
1
1
1
2m 2







2
2
2
2

2
OH 2 OM 2 ON 2
OH 2
 m  1  m  1
 m  1
 m  1

Vì

2m 2

 m  1

2

 0 m  1; m 

1
1
2m 2
2
.


 2  2  OH 
2
2
2
OH
2

 m  1

Dấu bằng xảy ra khi m  0 .
Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng  d  lớn nhất bằng

2
khi m  0 .
2

Bài 8 a) Hai đường thẳng  d1  / /  d 2  khi:

m  1
2
2
4m  3m  1
3m  4m  1  0
 2


1 .
2
m 
m  m  4  0
  m  5   m  9
3

m  1
Vậy 
1 thì  d1  / /  d 2  .
m 

3

b) Đường thẳng  d1 

m  1

cắt  d 2  khi 4m  3m  1  3m  4m  1  0  
1
m  3
2

2


m  1

Vậy 
1 thì  d1  cắt  d 2  .
 m  3
c) Ta có:  d1  : y  4mx   m  5   4mx  m  5  y  0  m  4 x  1  5  y  0 (1)
Gọi A  x; y  là điểm cố định mà  d1  luôn đi qua, suy ra phương trình (1) có nghiệm với mọi m

1

4 x  1  0
x 
1




4  A  ; 5  .
4

 5  y  0
 y  5
Ta có:

 d 2  : y   3m2  1 x   m2  9   m2  3x  1  x  9  y  0

(2)

Gọi B  x; y  là điểm cố định mà  d 2  luôn đi qua, suy ra phương trình (2) có nghiệm với mọi m
1

x

3 x  1  0

 1 28 
3


 B ; .
3 
 3
x  9  y  0
 y   28

3
1


Vậy: khi m thay đổi thì đường thẳng  d1  luôn đi qua điểm cố định A  ; 5  ;  d 2  đi qua
4

 1 28 
điểm cố định B   ;   .
3 
 3

a  2
Bài 9: a) Đồ thị hàm số y  ax  b song song với y  2 x  3  
.
b  3
Đồ thị hàm số y  ax  b qua A 1; 2   2  a.1  b mà a  2  b  4 .
Vậy hàm số cần tìm là y  2 x  4 .
b) Vẽ đồ thị hàm số y  2 x  4 .
Đồ thị cắt Ox tại điểm A có tung độ y  0  x  2  A  2;0  .
Đồ thị cắt Oy tại điểm B có hồnh độ x  0  y  4  B  0; 4  .
Đồ thị y  2 x  4 là đường thẳng đi qua hai điểm A, B .
Hình vẽ:


y

A

0

1


2

x

-4 B


Dựa vào hình vẽ, góc tạo bởi đường thẳng với tia Ox là OAB


Trong tam giác vng OAB có: tan OAB

4
  630
 2  OAB
2

c) Hoành độ giao điểm của y  2 x  4 và y  4 x  3 là nghiệm của phương trình:
2 x  4  4 x  3  x 

7
5
 y .
6
3

7 5
Vậy hai đồ thị cắt nhau tại điểm C  ;   .
6 3


d) Đường thẳng y  2 x  4 song song với y   2m  3 x  2 khi:
 2  2m  3
5
5
 m  . Vậy m  thì y  2 x  4 song song

2
2
 4  2  ld 

Bài 10:
a) Để hàm số đã cho đồng biến trên R

 m 1  0  m  1
b) Đồ thị hàm số (1) với hệ số góc bằng 2 ta có: m  1  2  m  3
c) Đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A  2;1 nên:

1  (m  1).2  2  m 

1
2
m  1  1
m  1

k  1  2
k  3

d) Đề hai đường thẳng trùng nhau thì: 

e) giao điểm của d với hai trục Ox và Oy lần lượt là:



A(

2
;0)
m 1

;

Tính được: S AOB 
Từ đó suy ra: m 

B  0;2 
1 2.2
2

4
2 m 1 m 1

3
1
;m 
2
2

Bài 11:
a) Gọi điểm B là giao điểm của đồ thị cắt trục tung. Ta được B (0;3)

 3   m  2  .0  2m  5  m  4

b) Hs tự vẽ
c) Vì đường thẳng d vng góc với đường thẳng d1 : y  2 x  3 nên:
Tích hai hệ số góc bằng -1:

  m  2  .2  1  m 

3
2

d) Gọi I  x0 ; y0  là điểm cố định của đường thẳng d.

 y0   m  2  x0  2m  5 m
2  x0  0
 x0  2
  2  x0  m  (2 x0  y0  5)  0  

2 x0  y0  5  0  y0  1
Vậy I ( 2, 1) là điểm cố định của đưường thẳng d.
e) Với mỗi m, Gọi H là hình chiếu vng góc của M(2; 0) trên d

 MH  MI  9 với mọi m.
Từ đó: MH max  9  d  MI .
Phương trình đường thẳng MI là: y 

1
1
a
4
2


Ta có: tích hai hệ số góc bằng -1.

1
  m  2  .  1  m  2
4
Bài 12.
a) Học sinh tự vẽ
b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng d1 và d 3 là nghiệm của phương trình:


3x   x  4
 x  1  y  3
Vậy toạ độ điểm A ( -1 ; -3)
Tương tự, toạ độ điểm B  3; 1
Xét tam giác AOB:

OA  (1)2  (3)2  10
OB  (3)2  (1)2  10

Vậy tam giác AOB có OA = OB nên là tam giác cân tại O.
d) Gọi H là chân đừơng cao hạ từ O xuống đờng thẳng d3.
Suy ra: OH vng góc AB. d (O , d3 )  OH

AB  (2)2  22  8
1
1
1
1 1
2






OH 2 OA2 OB 2 10 10 20
 OH  10
1
SOAB  . 8.10  20 .Hết
2
Bài 13.
x

C

K
M

A

O

  CMO
  90 (theo tính chất của tiếp tuyến)
a) Ta có: CAO

B


Xét CAO vuông tại A  CAO nội tiếp đường trịn đường kính CO (1)
Xét CMO vng tại M  CMO nội tiếp đường trịn đường kính CO (2)

Từ (1) và (2)
 4 điểm A, C, O, M cùng thuộc đường trịn đường kính OC

CA  CM
(t / c)
OA

O
M


b) Theo gt: CA, CM là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O)  
 OC là đường trung trực của AM  OC  AM (1)

  90  AM  MB (2)
Mặt khác, M thuộc đường trịn đường kính AB  AMB
Từ (1) + (2) suy ra MB // OC ( Quan hệ từ vng góc đến song song)

  90  AK  BC
c) K thuộc đường tròn đường kính AB  AKB
Áp dụng hệ thức lượng trong đường trịn đường kính AK có:

AB2  BC.BK  BC.BK  (2R)2  4R 2
d) Áp dụng hệ thức lượng trong đường trịn đường kính AK có:

AC 2  BC.CK mà AC = CM  CM 2  CB.CK 

CM CK

CB CM


 chung
C

Xét CKM và CMB có  CM CK  CKMCMB (c.g.c)


 CB CM

  CBM
 ( hai góc tương ứng) hay CMK
  MBC

 CMK


x

N
C
M
I
G
A

O

H

D


B

Bài 14.

  MBO
  90 (theo tính chất của tiếp tuyến)
a) Ta có: MCO
Xét CBO vng tại A  CBO nội tiếp đường trịn đường kính OM (1)
Xét CMO vng tại M  CMO nội tiếp đường trịn đường kính OM (2)
Từ (1) và (2)
 4 điểm O, C, M, B cùng thuộc đường trịn đường kính OM

 MB  MC (1)
( t / c)
OB  OC

b) MC, MB là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O)  
 OM là đường trung trực của BC  OM  BC

  BAC
  90  ANB
  90  OAC

c) Xét ANB vng tại B có ANB
  OCM
  MCN
  180  MCN
  90  ACO


Mặt khác có ACO
  ACO
  ANB
  MCN
  CNM
  MCN

Mà AOC cân tại O OAC

 MCN cân tại M
 MC  MN (2)
Từ (1) + (2) suy ra MB = MN  M là trung điểm của BN
d) Áp dụng định luật Ta-lét trong  ABM có IH // MB (cùng  AB ) có

IH
AI

(3)
MB AM


Tương tự áp dụng định luật Ta-lét trong AMN có
Từ (3) + (4) suy ra

IC
AI

(4)
MN AM


IH
IC

mà MB = MN (chứng minh câu c)
MB MN

 IH  IC  I là trung điểm của CH
  90 ) có
e) Áp dụng hệ thức lượng trong ABN đường cao BH (vì ACB

BN2  NC.NA (5)
2

AB
Áp dụng định luật Pi-ta-go trong OBN vuông tại B có BN  ON  OB  ON 
(6)
4
2

2

2

2

AB2
Từ (5) + (6) suy ra NC.NA  NO 
4
2


g) Gọi D là trung điểm của OB suy ra trọng tâm G của BOC là giao điểm của OM và CD
x

C

N
I

M

G
A

O

J

D

H

B

Kẻ đường thẳng qua G song song với OC cắt OB tại J

1
R

GJ  OC 


GJ DJ DG 1 
3
3


 
Áp dụng định lý Ta-lét trong OCD có OC DO DC 3
JD  1 DO  R

3
6
Vì D là trung điểm của OB, mà OB không đổi  D cố định  J cố định
 G thuộc đường tròn cố định tâm J bán kính

Bài 15

R
3


C

I
A

O

H

E


O'

B

D

a) Xét (O) có OH là một phần đường kính
CD là dây
OH  CD   H 

 H là trung điểm CD ( Quan hệ vng góc đường kính và dây)
Xét tứ giác ACED có :
H là trung điểm của AE,
H là trung điểm CD
AE cắt CD tại H
 tứ giác ACED là hình bình hành, lại có AE  CD  tứ giác ACED là hình thoi

b) Tứ giác AECD là hình thoi (cmt)  AC // CE mà AC  CB (vì C thuộc đường trịn

  90  I thuộc đường trịn (O’) đường
đường kính AB)  DE  CB  EI  IB  EIB
kính EB
c) Xét tam giác CID vng tại I có IH là đường trung tuyến

 IH 

CD
  HIC
 (1)

 HC  CHI cân tại H  HCI
2

Xét tam giác EIB vng tại I có IO’ là đường trung tuyến

 IO ' 

AB
  O'BI
 (2)
 O'B  IO 'B cân tại O’  O'IB
2


  O'IB
  HCI
  O'BI
  90  HIO'
  90  HI  IO' tại I
Từ (1) + (2) suy ra  HIC
Xét (O’) có:

HI  IO '  I
I thuộc (O’)
 HI là tiếp tuyến của đường trịn (O’)

d) Ta có: IO' 

1
1

1
1
1
EB  .2  1 (cm) ; HO'  HE  EO'  AE  EB  .AB  5 (cm)
2
2
2
2
2

Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác HIO vng tại I có

IH 2  IO'2  HO '2  IH  HO'2  IO '2  52  12  24  2 6 (cm)
Bài 16:

a) Ta có AI, MI là hai tiếp tuyến của  O 

 MI  AI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (1)
Ta có AI, NI là hai tiếp tuyến của  O '

 AI  NI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (2)
Từ (1) và (2)  AI  NI  MI 
Xét tam giác AMN có

1
MN
2


AI là đường trung tuyến


AI 

1
MN
2

 AMN vuông tại A (dhnb)
b) Ta có AI, MI là hai tiếp tuyến của  O 

 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
 IO là tia phân giác của MIA
Ta có AI, NI là hai tiếp tuyến của  O '

 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
 IO ' là tia phân giác của NIA


Ta có IO là tia phân giác của MIA

Và IO’ là tia phân giác của NIA
  MIA
  180o
Mà NIA

 IO  IO ' tại I
 IOO ' vuông tại I
c) Gọi E là trung điểm OO’
Ta có OM  MN
Và ON  MN


 OM // ON ( từ  đến //)
 MNO’O là hình thang (dhnb)
Có E ,I lần lượt là trung điểm OO’, MN

 EI là đường trung bình trong hình thang MNO’O (dhnb)
 EI // MO
Mà MO  MN

 EI  MN tại I
Mà EI  EO  EO ' 

OO '
( do O ' vuông tại I)
2

 OO ' 
 MN là tiếp tuyến của  E;
 (dhnb)
2 

d) Tam giác IOO’ Vuông tại I có AI là đường cao

 AI 2  OA.AO ' (hệ thức lượng)
 AI 2  8.4,5  36

 AI  6 cm