CHUYEN DE
SO PHUC
1. Kiến thức cơ bản.
Các phép toán trên số phức.
* Phép cộng và phép trừ, nhân hai số phức.
Cho hai số phức z = a + bỉ và z” =a' + b7. Ta định nghĩa:

Z+z'=(a+a)+(b+b}i¡
an

(a—=a)+(b—b}i

Zz'= qa — bb + (ab — a'b)i
* Phép chia số phức khác 0.

Cho số phức z = a + b¡ #0 (tic la a’ +b’ > 0)
Ta định nghĩa số nghịch đảo z” của số phức z # 0 là số
7

1
Pap

I1Z= Ey Zz
1

Thương * của phép chia số phức z° cho số phức z # 0 được xác định như sau:
xj

2. Cac dang bai tap.
2.1. Dạng 1: Các phép tốn trên số phức.
,

Ví dụ 1: Cho sơ phức
z = “si

1

,

Tính các sơ phức sau:

—

—

z; z7: (zy: l+z+2

Giải:

snz- XS 1z

- M3, 1,
2

2

*#Ta có zˆ =

43_1,

3


2

4

1p

4

M3,

2

1

2

v3,

2

2

=>(z}=

431,

2

_3,12,3,


4

2

1L

2

A3,

2

Chuyén cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để
10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55


(zy (zy.

3...
tate tatty

CSTs

WS

2

V3_


2

4

2

1,1 vB, _3+v3_1+N3,

Ta có: l+z+z“=l+——--i+—--—i=
2
2
2
2

2

2

Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của: z= (1+?)(— 2i + a
+i
Giải:
Ta có

.....
(3+G-j

".n.
10

53

9,
Suy y ra số p phức liên hợpIp của
z là: zZ = ——_—_Ï
I0
TƠ

Ví dụ 3: Tìm phân ảo của số phức z biết z= (V2 + i) (1 — V2i)
Giải:
Z =(1+2W2i)(1-V2i)=5+2i.

Suy ra, z=5-N2i

Phan ảo của số phức z =—^AÍ2
Vi du 4: Tìm mơ đun của số phức

z= ae

———
eos
Giải:

„
Ta có:

+

2i

5+i
.

z=——=l+—¡

5

5

Vậy mơ đun của z bang: |z| = J3]

Ví du 5: Cho số phức z thỏa mãn

Giải:
Ta cé: (1- V3!) =-8

-

z =

2

=ve

(I-M3)
ï

—Ĩ

3

¬


——. Tìm mơđun của sơ phức z +7z.

Do do -i= 8 = 4 di = c= 444i
—l

Chuyén cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để
10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55


=> z+ic=—4—4i+(-4+4i)i=-8-81

Vay [¢ +iz|
= 82.

Ví dụ 6: Tìm các số thực x, y thỏa mãn đăng thức:
a) 3x +y+5xi=2y—1+(x-y)i
b) (2x
+ 3y +

l)+(—x
+ 2y)! = (3x — 2y + 2) +(4x— y— 3)1.

c) x(3+5i)+ y(1-2i) =-35 +23:
Giải:
a) Theo giả thiết: 3x + y + 5x = 2y— 7 +(x— y)Í<©
3x+y=2y-1

2

Sx=x-y


b) Theo giả thiệt ta có:

|

(3x + y) + (5x)i = (2y— 1) +(x— y)i

1

a
4

2x+3y+l=3x-2y+2_
>

—x+2y=4x-y-3

>

=|

Í-x+5y=I
>

&

—3x+3y=-3

+


H

¢) Tacé (1-21) = (1-21) (1-21) = (-3—-41) (1-22) = 2i-11.
Suy ra x(3+5i)+ y(1—2i) =-35+ 237 & x(3+5i)+ y(2i-11) =-35
+4 23)

S(Gr=)+(Sx+29)7=-351 28
>

-1ly=-

» Pf
5x+2y = 23

=

°

y=4

Bai (tập tự luyện
Bail. Tìm các số thực x, y biết:
a)

(3x—2) + (2y +l)I=(x+

l)—(y— 5)1;

b)


(2x+y)+(2y—-Xx)!=(x— 2y

+3) + (y
+ 2x +])1;

Bài 2. Chứng minh z = (1+2i)(2 - 3i)(2+i) (3-2i ) là một số thực
Bài 3. Tìm các số thực x, y thỏa mãn đăng thức:

x(3 - 21)

2+3i

+y(—27)'. =11+4i

Bài 4. Cho hai số phức: z¿ =2+5¡; z„ =3— 4¡ . Xác định phân thực, phân ảo của số phức z,.z,
Bài Š. Tìm phân thực, phân ảo và mô đun của sô phức:

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để
10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55


a) 2=(2+3/)0—-i)—4i

b) z=(2-21)(3+ 21)(5— 41) — (2+ 3i)°

c) z = 2i(3 + (2 + 4i)
d)z=
ys

_


—2+5i

(1+ 2i)(-4+ 1)

e)Z= ——————

(I+3J)(-2—)(1+¡)
y

,

ok

„

Bài 6. Tìm các sô phức: 2z+z

d—i)(4+ 31)

ma

251

“A

và ——, biệt z=3-— 4¡.

.


<

,

`

`

,

Bài 7. Cho sơ phức z = 2 + 3i.Tìm phân thực và phân ảo của sô phúc

Bai 8. Cho số phe z=-

147i
+

z+ỉ

w= *

IZ —

+ (3—2i)(—1+ 37) Tính mơ đun của z và tìm tọa độ điểm biéu dién

hình học của z trong hệ tọa độ Oxy.

Bài 9. Cho z thỏa mãn (2 + i)z +

2q+ 20

+1

=7+8¡. Tìm mơđun của số phức w =z + l+i

Bài 10.

Số phức z thỏa mãn (1+7'(2—?)z=8+¡i+(1+27)z. Tìm phần thực, phân ảo của z.

:
Baill.

2
4:Ä
CẢI
Cho sơẦ phức z thỏa mãn (I — 2i). Z— Tay= = (3 — i). z.Tìm tọa độ^ điêm
biêu
diễn củaở z trong
+1

mặt phẳng tọa độ Oxy.

Bài 12.

Tìm số phức z biết z” = 18 + 26i, trong dé z =x + yi (x,y € Z)

2.2. Dang 2: Tinh i" va 4p dung
Chú ý:

ge ia 1 i


Tị; t2 —-1;j"9#=-i;VneNVậy?e

{-1;1:-ii),VneN

% (1+i)? =2i;(1-i) =-2i
w

A;A,

Vidu 1: Tinh: i! +417 4 i7°-i**
Giải:

,:105, :23 , :20
:34. :426+1 , :4543 , :45 4.842
Tacói
3+1 +1 -iï =i
” + xi” +1
-_T
=i-i+1+1=2
Ví dụ 2: Tính số phức sau:

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để
10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55


a)z= (140)

b) z= T

.\16


I

(=|

.\8

1+i

Giải:
a) Taco: (1 +i)? =14+2i-1=2i5 (1 +i)" =(2i)’ = 128.4 = -128.i
nên z = (I+i)Ÿ = (1+! (1+) = -128i (1+) = -128 (-1 + i) = 128 — 128i.
b) Ta co:

ltt

(40+)

1-1

2

~ — =_i. vay TT
l+¡
1-1
1-1

1+i

_ 2 _,

2

16

1-1

8

(=)
=i'6 +(-i)* = 2
l+¡

Ví dụ 3: Tìm phân thực, phân ảo của số phức sau:

1+(1+2)+(1+7 +(+?} +..+(1+7) 7
Giải:

Pai v(ivi)(teiy rnin

(1+i)" -[(+?Ÿ Ïq+i)=(@)"(1+0)=-2"

_—2°(I+7)-1

=> P=

asi

=-2"+(2"+1)i¡

I


Vậy phân thực là —2'° va phan ao la 2'° +1

>

Bài (âp tự luyện

Bail.

Tìm phân thực, phân ảo của các sô phức sau:
N2

" (a)—i +(I-i)° +(243/)(2-3i) +! i
Bài 2.

Tìm phân thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn:

Bài 3.

Tim phản thực, phần ảo của số phức z =(1+?)”

(z +2— 3i)(1 — i) =(+Д"'.

2.3. Dạng 3: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số của số phức.

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để
10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55


Nếu trong hệ thức tìm số phức z xuất hiện 2 hay nhiều đại lượng sau: z, z, |z|.... ta sẽ sử dụng

Dang dai s6 clazla z=x+ yi voi x,yER
Ví dụ 1: Tìm số phức z biết z—(2+3i)z =|-9i
Gidi:
Goi z= at bi (a,b € RF) ta co:

z~(2+3i)z=1—9¡ ©a+bi—(2+3i)(a—bi) =1—9i
©=-a—3b~

—q— 3b = ]

(3a~— 3b)¡ = I— 9¡ ©

3a—-—3b=9

<>

a=2
b=-]

Vậy z= 2-i
Ví dụ 2: Tính mơ đun của số phức z biết rằng: (2z —1)(1+ i) + (z + i)(1- i) =2-2i
Giai:
Goi z= at bi (a, be KR)
Ta có

(22-1)(1+i)+(<+1)(1-i)
= 2-2i
<> | (2a-1)+ 2bi |(1+i)+| (a+1)—bi |(1-i) = 2-23
© (2a—2b-1)+(2a+2b-1)i+(a—b+1)-(a+b+l)i=2-2i
= (34-28) +(arb-2)i=2-21|


3a —3b =2

a+b-2=b-2= 27

ga

1

p=_1 1
3

?+b? = a
Suy ra mô đun: |z| = \a
Vi du 3: Tỡm sụ phc
z tha món: H
4

`

A

Lỏ

2?

~

2


+2z.2+|Â|
ơ

|?

=8

va z+z=2.
`



Gii
.
.
Goiz=x+1y

LT
.
2
|p
ot
(x, yER), tac6d Z=xX—-1y3|Z =|, =zz=x

+y

lzƒ +2zz+| | =8<€©4(x2+y?)=8<>(@+y?)=2 @)
Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để
10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55



z+z=2<>2x=2{©x=l(2)
Tu (1) va (2) tim duge
x =1;

y= +1

Vậy cac so phic can tim la 1 +ival -i
r

`

hoa,

›

x

gh

ger

Ví dụ 4: Tìm sô phức
z thỏa mãn hai điêu kiện:

J

(7

|z+1—2i|=|z+3+4i


Jo.

Và

27-21...

———
Zt

h

2

là một sô thuân ảo.

Giải

Đặt z= x+ yi (x.y e R)
Theo bài ra ta có

Ix+1+(y—2)|=|x+3+(4- y)j

©(x+1} +(y-2}Ÿ =(x+3} +(y-4) ©y=x+5

z~2¡_ x+(y=2)¡_ x ~(y-2)(y-1)+x@y-3)¡

Số phức w ==

Zt+I


x+(l-y)i

x +(y-1)

2
_
x-(y-2)@-J)=0
w là một số ảo khi và chỉ khi

x +(y-1) >0

[,_12
=

`

y=x+5

va

`
I2
23.
Vậy z=——+—I
77

Ví dụ 5: Tìm tắt cả các số phức z biết z” = |z|Í + z
Giải:
Goi z= at+ bi (a,b


R) ta có:

2 +|e) +2a(atbi)

=a? +b? +a-bi

Sa’ —b’ +2abi=a°
+b’ +a-bi
a=b=0
=

a —b’ =a +b’ +a

2ab = —b

=

a =—2b°

b(2a+1)=0

1


2°

L

I

2

a=-+.»-—!
2
2

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để
10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55


Vậy z=0;

=.-.....ˆ
2 2
2 2

Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa man H = 42 và zˆ là số thuần ảo.
Giải:
Goi z= at bi (a, b € R) Ta cé

zj=Va? +b? va 2? =a? —b?
+ 2abi

`

Yéu cau bai toan thoa man khi va chi khi

_|ø +b

=2

a’ —b’ =0

&

a’ =1
b* =1

&

Vậy các số phức cần tìm là I+i; 1-i; -I+i; -1-i
— 5+¡^Ÿ3
Ví dụ 7: Tìm số phức z biết z—

-1=0

<

Giải:
Gọi z= at bi (a,b 6) và a” +bˆ
#0 ta có

2 SHB yg ogni StS
Z

at+bi

—1=0<>z `+bˆ—5—-¡i^43-a—-bi=0

c(6 1H -0-9)-(o-sA)i-0-|

<>

a@-a-2=0
b-—J3

Vay

z=-I—i3

<>

hoặc

a°+bˆ—a—5=0
b+ 43-0

|a=-l:b=--V3
2=-a=-2:b--V3
z=2+iV3

Vi du 8: Tim sé phire z thoa man lz — i = V2 va (z -D{:

+ i) là số thực

Giải:
Giả sử z= x†

vI(x,yV€®Đ)

Khi đó,

lz—-i|=wv2x?+(y-1Ÿ =2(1)
(<-1)(z+i)=(x-1+ yi)(x-(y-1)i)=x(x-1)+ y(y-1)+(x+y-i

(z-1)(z+i}Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để
10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55


Từ (1) va (2) ta c6 x=1; y=0 hoac x=-1; y=2
Vay z=1; z=-14+ 21

>

Bai tap tu luyén

Bai 1, Tim s6 phire z thoa man: |z — 2 +i] = 2. Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vi.

Bài 2. Tìm số phức
z thoa man: | z| - iz = 1— 2i
Bài 3. Tìm số phức z thỏa mãn:

|z —(2+ i)| =10 và z.z= 25.

Bài 4. Tìm số phức z thỏa mãn |z—(I+ 2i)| =Al26 và z.z=25.

Bài 5. Tìm số phức z thỏa mãn từng trường hợp:

a)

lz| =2 vàz là số thuầnảo.

b) H = 5 và phân thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.

Bài 6. Tìm số phức z thoả mãn |z| = A2 và z? là số thuần ảo.
Bài 7. Giải phương trình:
a) z?+z=0.

b) z°+|z|=

Bài 8. Tìm số: phức z biết, (z+I)(I+ +

—Ï
—Ï

z

=|z[.

Bài 9. Tìm số phức z biết: lz — | =l và (l+¡)( z —1) có phan ao bang 1.
Bài 10. Tìm số phức z thỏa mãn: |z — | =5 và l7(z+ z)=5zz.

Bài 11. Tim số phức z thỏa mãn

|=V5
1s i) “Oi

2.4. Dạng 4: Biểu diễn hình học một số phức. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z.

Trong dạng này, ta gặp các bài tốn biểu diễn hình học của số phức hay cịn gọi là tìm tập hợp
điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thỏa mãn một hệ thức nào đó (thường là hệ thức liên
quan đến mơđun của số phức). Khi đó ta giải bài toán này như sau:
Giả sử z = x+yi (x, y e R). Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phăng phức bởi điểm M(x;y). Sử
dụng dữ kiện của đề bài để tìm múi liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M.
Ví dụ 1: Giả sử M(2) là điểm trên mặt phăng phức biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp các điểm M(2) thỏa
mãn một trong các điêu kiện sau đây:

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (để 15p,1 tiễt,học kỳ,giáo án,chuyên đề
10-11-12, dé thi thử 2018, sách word) -L/H tư vẫn: 016338.222.55


a) |z=l+il=2 — b) |J2+4|=ll-j

c)|z— 4i|+|z
+ 4i|= 10

Giải:
Đặt z =x +yi (x, y e R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y)

a) Xét hệ thức: |z-1+ i] =2 (1)
Đặt z = x +yvI (x,y eR)>z_—l+1=(x—

l)+(y+

II.

Khi đó (1)> J)?
+(y 4D? =2
© (x-l + (y + LÝ =4.— Tập hợp các điểm MŒ) trên mặt phăng tọa độ biểu diễn số phức

z thỏa mãn (1) là đường trịn có tâm tại I(I:-1) và bán kính R = 2.

b) Xét hệ thức |2+ z|=|z—i|_ © |&«+2) +yil = |-x+(1-y)i
© (x12) + yˆ =x” +(I-y)”©4x+2y + 3=0.
Vậy tập hợp các điểm M là đường thắng 4x + 2y + 3 = 0.

Nhận xét: Đường thăng 4x + 2y + 3 = 0 chính là
đường trung trực của đoạn AB.

c) Xét hệ thức: |z— 4/|+|z
+ 4/|= 10
Xét F¡, F› tương ứng biểu diễn các điểm 4i và -4i tức là F¡ (0:4) và Fa=(0:-4). Do đó:

|z—4i|+|z+4i]=10

MF¡ + ME; = I0

Ta có F¡F¿ = 8 — Tập hợp tất cả các điểm M năm trên (E) có hai tiêu điểm là F¡ và F; và có độ dải trục
lớn băng 10.
2

2

Phương trình của (E) là: > 42 =]
16
Ví dụ 2: Trong mặt phăng Oxy, tìm tập hợp điêm biêu diễn các sô phức z thỏa mãn

|z-¡|=|(I+?)4|
GIảI:
Dat z= xt yi (x,y € RK)

Ta co:

Chuyén cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để
10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55


Iza] =|(1+i) 2] <> |x+(y-1)=|(x-y) + (x4 y)i
©x+(y-1

=(x-y}

+(x+ y)

©x?+y°+2xy-l=0©x?+(y+l) =2
Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường trịn có phương trình x” + ( y+ ly =2

Ví dụ 3: Cho số phức z, =

(1+V3i)
(+? -

Tìm tập hợp điểm biểu diễnA = |: +2i4 , biét rangx — y—1=0.

Giải

>t

›

-

-4t=0<

t=4

¡=0— B(0:—1),C(4:— 1)
t =4 =B(4;-1),C(0;-1)
Giasu z,=x+yi

x,yER

Np = (a,b,c),a° +bˆ+c

biéu dién béi diém M(x:y). Khi do ta có:
z0

Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z„ là đường trịn tâm O, bán kính 2
Ví dụ 4: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện lz —2— 4i = |z —2i| .Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất.
Giả sử số phức z cần tìm có dạng z=x +yi

Ta có|x~2+(y~4)|=|x+(y-2)[_d)_
<> y=—x+4.

(x,y e R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y).

©-2+(y-4Ÿ =vJ3+(y-2Ÿ

Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường thắng

y=4. Mặt khác \z|=

x? +y

=x

x +

+x° —8x+16 = 2x? —8x+16

Hay |z|=/2(x-2)
+8 >2v2
Do do lz|,.. Vậy z=2+2¡
Ví dụ 5: Biết rằng số phức z thỏa mãn u = (z +3- i)(z +1+ 3i)la một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của

kÌ:
Giải
Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để
10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55


Dat
z= x+ yi (x,y € R) ta cé

u =| (x+3)+(y-1)i || (x+1)-(y-3)i |=2° + y? +4x-4y +64 2(x--y-4)i
Ta có: we RS x-y-4=0

Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thăng d: x-y-4=0, M(x;y) là điểm biểu diễn của z thì mơ đun
của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất = OM L đZ Tìm được M(-2;2) suy ra z=-2+2i.
Ví dụ 6: Tìm số phức Z. có mơ đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện Z(1 + i) —3+ 2i =

v13
a

Giải

>Z =x-— yí
Gọi z=x+ yi(x,yeR)
Ed+o~3+3|=
Gọi M (x:y)

=0

Ö ea2+y9x~5y+ 2

là điểm biểu diễn của z trong mặt phắng tọa độ Oxy=> M e (C) là đường trịn có tâm

v26

ICL; và bán kính Đ =———
2 2
4

Goi d 1a dudng thang di quaaO val >d:y=5x
,
1
1
Goi M;, M2 la hai giao diém cua d va (C) > M (2:2) va M, (4:2)
4 4
4 4

,„

Ta thây

JOM,>OM,
Ø@M,=OI+R>OM(M

r

`

.

2

<(C))
22

.„

3

15

—>sô phức cân tìm ứng với điêm biêu diễn M: hay z = 1 + a!
r

¬-

¬--

RoR

CÁ

°

DỰ

z+24+3i,..

Ví dụ 7: Tìm tập hợp các điêm biêu diễn của sô phức z sao cho # = ——————
zZ-1

2

¿

ho

2

là một sô thuân ảo.

Giai
Dat z= xt yi (x, y € RK), khi đó:
s (x+2)+(y+3)¡ _ I(x+2)+(y+3)¡ |[x—(y—1)i |
"

x+(y-])¡

x+(y-1}

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để
10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55


(?+y?+2x+2y-3}+2(2x-

y+])¡

x +(y-ly

u là số thuần ảo khi và chỉ khi

vty

+2xt+2y-3=0

x 4(y-l)

(x+1ÿ +(y+1} =5

>0

(x; y)

(0:1)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường trịn tam I(-1;-1), bán kính V5

>

trừ điểm (0;1)

Bai tap tu luyén

Bail.

Gia st M(z) la diém trén mat phang toa d6 biéu dién sé phic z. Tim tap hop nhting diém M(z)

thoa man diéu kién sau

a) |e+(=30|=|e+3—2j|
.

.

—b) 2\z-a=|e-z+2i]
,

3

© |z—(3-4j|=2
.

.

Bài 2. Trong các sơ phức thỏa mãn |z —2+ 3i = 2" Tìm sơ phức z có mơđun nhỏ nhât.

Bài 3.

Trong mặt phăng tọa độ. Tìm tập hợp điểm biều diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:

|z — i = E —3i- 2|, Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có môdun nhỏ nhất
Bài 4. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z —2— 4i = lz —2i| .Tìm số phức z có mơđun nhỏ
nhất.
Bài 5. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện lz +1- Sỉ = E +3-

. Tìm số phức z có mơđun nhỏ

nhất.

Bài 6. Trong các số phức z thỏa mãn |z —2— i = V52, tìm số phức z mà |z —4+2ïÏ

là nhỏ nhật.

Bài 7. Tìm số phức Z có mơ đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện Trong tất cả các số phức z thỏa mãn
|z —2+ 2i| = 1, hãy tìm số phức có H nhỏ nhất

Bài 8. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện

(I+¡)z

—Ï

+ 2| =1.Tìm số phức có mơ đun nhỏ nhất,

lớn nhất.

2.5. Dạng 5. Phương trình bậc hai trên tập số phức
2.5.1. Van dé 1. Tim căn bậc hai của một số phức. (Đọc thêm)

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để
10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55


Cho số phức w = ø + bi. Tìm căn bậc hai của số phức này.
Phương pháp:
+) Nếu w = 0 => w có một căn bậc hai là 0
+) Nếu w=a >0 (a € R) > wco hai can bac hai la Ja

+) Nếu
w =a< 0 (a e R) — w có hai căn bậc hai là

va-VJa

J—ai va

-J—-ai

+) Nếu
w =ø + bi (b#0)

Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bac hai cla w & z* = w © (xtyi) =a + bi
c„ịx

2_— y2 —

y=a

2xy=b
Để tìm căn bậc hai của w ta cần giải hệ này để tìm x, y. Mỗi cặp (x. y) nghiệm đúng phương trình
đó cho ta một căn bậc hai của w.

Nhận xét: Mơi sơ phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai sơ đơi nhau.
Ví dụ: Tìm các căn bậc hai của mỗi sô phức sau:

a) 4+6A5¡

b) -1-2^/6i

Giải:
1) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w =4 + 6^/5Ă
Khidb/2

S914

650

|

-35
JYSSC

eoyag

Ko

2xy

=6

5

ei

Pag

(2)

X

(2) â x~4x~ 45 =0 âx=9ôââx=+3.
x=3>y= V5
x=3>y=-V5
Vy s phc w = 4+ 6^/5 ¡ có hai căn bậc hai là: z¡=3+AJ5i và

z2 = -3 -^|5i

2) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w = -1-2^/6 ¡
Khi do: 27 = w © (xtyi)’=-1-2V6ic

eye
2xy =-2V6

S

[yes
x

@

vo

(2)©x†+x?-6=0<©x?=2©x=+2.
Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để
10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55


x= 2 =y=-3
x=-2 =y= 43
Vậy số phức w =4 + 6/5

¡ có hai

căn bậc hai là: z¡ = V42

-^/3i và

Z2

-/2

+35

2.5.2. Van đề 2: Giải phương trình bậc hai
Cho phuong trinh bac hai: Az’ +Bz +C = 0 (1) (A, B,C € C, A#0)
Phuong phap:

Tính A = B“~ 4AC
#) Nếu A # 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z¡ = —

ồ ,Z2=

—

ồ

(trong đó ồ là một căn bậc hai của A).
*) Néu A = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: z¡ = Z2 = ¬
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau trên tập sơ phức
4)z7—z+1=0

b) xẰ+2x+5=0

c€)z2+2z”-3=0

GIải:
4)z7—z+1=0

v

A=l-4=-3=3/

vx

căn bậc hai của A là +iJ3

1+i

1
vx Phương trình có nghiệm: z, = I+i3 =
v3 ị
2
2
2

1
—
2

v3,
2

b) x°+2x+5=0

¥v A=4-20=-16=16i"
¥

Can bac hai cua A 1a +47.

vx Phương trình có nghiệm: x =—l—2¡, x; =—l+2¡
c€)z2+2z”-3=0

Đặtt=7Z..
v

Phương trình trở thành:

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để

10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55


f“+2£-3=0<>

v_

t=-3

<>

z

3

Vậy phương trình có 4 nghiệm: -l, 1, —j3,

<>

¡J3

Ví dụ 2: Giải các phương trình bậc hai sau:
a)

Z72+2z+5=0

b) z“+(1-3i)z— 2(1+1)=0 ham khảo)
Giải:
a) Xét phương trình: z” + 2z + 5 = 0
Ta có: A = -4 = 4Í” = phương trình có hai nghiệm: z¡ = -1 +2i và z; = -l — 2i.

b) Ta có: A = (1-3i)ˆ +8(1+i) = 2i = (1+П
nên I+¡ là một căn bậc hai của số phức 21

— Phương trình có hai nghiệm là: z¡ =

3i—l+l+r_
5

i

—

Vi du 3: Goi z; va z 1a hai nghiém phic cua phuong trinh z* + 2z+10=0

Tinh gia tri biéu thitc

A=|zŸ +|s[
Giải:
Ta có

z?+2z+10=0©(z+1}
>

=-9©(z+l}

=()

Ty

z=-l1-3i

z =—I+3 >|z|=2J(1 +3? =x0
Z2 =-I-3/=|z,|=

10

Vậy A=|z) +|z,f =20
Vi du 4: Cho sé phi z thoa man z* —6z7+13=O0Tinh

6

Z+—

Z+1

Giải:
2-624 13=06(<-3)' =

(6-3) =IŸ ©j

Z=

-d-Z

Chuyén cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để
10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55


Với z=3+2i ta có z+—C |=|B+27+

z+ï

6
Với . z=3— 2i . ta có |j£¿+———
TH

343i

¬

6

z+ï

r

“ae

`

A

3-i|
A

„

|=|4+i|=1?7
1
.

=-|24-7i|=5

5

kK

„

4z—3+

7i

Ví dụ 5: Giải phương trình sau trên tập hợp các sô phức: ———————— =
Z—I

.

2

z - 2¡ (tham khảo)

Giải
Điều kiện: z # —l
Phương trình đã cho tương đương với z” — (4 + 31 ) z+1+7i=0

Phương trình có biệt thức A =(4+ 3i) —4(1+7i) =3-4i =(2- i)
Phương trình có hai nghiệm là: z = [+ 27 và z=3+¡.
>

Bài (âp tư luyện

Bail.

Cho z,. z, là các nghiệm phức của phương trình 2z”—4z+11=0. Tính giá trị của biểu thức

Ac lal +l

(z,+2,)

Bài 2. Giải phương trình: z7 — 2.

(+i)

ap
—Ï

z+2i=O0

trén tap sé phirc. (Tham khao)

Bài 3. Gọi z,:z, là các nghiệm phức của phương trình: zZ”“—4z+5=0.Tính:

(z, -—DP +z,

ĐẾ””

2.5.3. Van dé 3: Phuong trình quy về bậc hai
- Đối với dạng này ta thường gặp phương trình bậc 3 hoặc phương trình bậc 4 dạng đặc biệt có thể
quy được về bậc hai.
- Đối với phương trình bậc 3 (hoặc cao hơn), về ngun tắc ta cơ găng phân tích về trái thành nhân
tử ( để đưa về phương trình tích) từ đó dẫn đến việc giải phương trình bậc nhất và bậc hai.

- Đối với một số phương trình khác, ta có thể đặt ấn phụ để quy về phương trình bậc hai mà ta đã
biết cách giải.
q. Phương pháp phân tích thành nhân tứ.

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để
10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55


Ví dụ 1: Giải các phương trình: z”— 27 = 0
z=l

Giải: z”— 27=0 ©(z—1)(7+3z+90)=0<©

c©

2+3z+9=0 `

—

ly, —-

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình trên tập hợp số phức: z” — zÌ+6z” -6z—16=0
Giải:
Nhận biết được hai nghiệm z=-l và z=2

Phương trình đã cho tương đương với (z — 2) (z + I)(Giải ra ta được bốn nghiệm:

z=—Ï;

z=2;

z= +24/2i

Vi du 3: Cho phuong trinh sau: z* + (2 — 2i)z” + (5 — 4i)z — 10i = 0 (1)biết rằng phương trình có nghiệm
thuần ảo. (Tham khảo)

Giải:
Đặt z = yI vớiy e R

Phương trình (1) có dạng: (iy)? + (2i-2)(yi)? + (5-4i)(yi) — 10i = 0
© -iy`— 2y” + 2iy” + 5iy + 4y— 101 =0 =0 + Oi
đồng nhất hoá hai về ta được:
er

táy=6

—y`+2y°+5y-I0=0

giải hệ này ta được nghiệm duy nhất y = 2

Suy ra phương trình (1) có nghiệm thuần ảo z = 2i.
* VỊ phương trình (1) nhận nghiệm 2I
— về trái của (1) có thể phân tích dưới dạng:

z”+(2—21z”+(5—4i)z— I0i =(z—20ŒŸ +az + b) (a,b eR)
đồng nhất hoá hai về ta giải được a = 2 và b = 5.

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (để 15p,1 tiễt,học kỳ,giáo án,chuyên đề
10-11-12, dé thi thử 2018, sách word) -L/H tư vẫn: 016338.222.55


=()©(Œ-200ˆ+2z+5)=0<©

<—

2;

+,

Z=2I

ZÏ

Zz +2z+5=0

<©4z=-I-2i
z=-l+2¡

;

Vậy phương trình (1l) có 3 nghiệm.

Ví dụ 4: Giải phương trình zŸ -(3-i)z

-(2- ¡)z+16—2i =0

biết răng phương trình có 1 nghiệm

thực. (Tham khảo)
Giải
Gọi nghiệm thực la zo ta cd:

z, -(3-i) 4 -(2-i)z,
+16-2i1 =0
3

=|

Zz, 0 —3z,

2
0

—2z,+16=0
0

3
Z,+Zạ—~=2=0


Khi đó ta có phương trình (z + 2)(z

— (5 — i)z +8— i) =0

Tìm được các nghiệm của phương trình 1a z= -2; z= 2+ i; z= 3- 21

Ví dụ 5ã:

Giải phương trình z”— (2 — 3i)z” + 3“ — 2i)z +97 = 0 biết răng phương trình có một nghiệm

thuần ảo. (tham khảo)

Giải
Giả sử phương trình có nghiệm thuần ảo 1a bi, be R
Thay vào phương trình ta được:

(bi}`—(2-3)(bƯ}Ÿ +3(1-27)(bi)+9¡ =0
<> 2b

3

+ 6b +(-b

3

— 3b

ad

+3b+9]¡=0©

2b° + 6b =0
—b’ —3b° +3b+9=0

&b=-3

>z=-31
Phương trình có thể phân tích thành (z + 31 ) (2 —2z+ 3) =0
Các nghiệm của phương trình là z= -3i; z = + \2¡
b. Phương pháp đặt ẩn phụ.

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để
10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55


Ví dụ 1: Giải phương trình sau trên tập số phức (Z” + z)” + 4(z + z) -I2 =0
Giải:
Đặt t = zÝ + z, khi đó phương trình đã cho có dạng:

ớn.

=

_— -I+A/23¡
rẽ
„-=I=423/

han.
z+z-2=0

2

z=l
|z=—2

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình sau trên tập số phức (Zˆ + 3z +6)ˆ + 2z(zˆ + 3z +6) — 3zˆ= 0
Giải:
Đặt t = zˆ + 3z +6 phương trình đã cho có dang:

+2zt— 3z” =0 ©

CC

(t—z)(+3z) =0 ©

/Ưt3/46-270/24

,

f—=z
=

3

8246049]

"=....a

IZ

z--14+V5i

z=--1-V5i
z=-3+43

z=-3-V3

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Ví dụ 3: Giải phương trình: (z” — z)( + 3)(+ 2) = 10, zeC.

Giải:
PT<>

z(z+2)(z—1)(z+3) = 10 © (zˆ +2z)(z”+2z—3)=0

Đặt £ = z” +2z.. Khi đó phương trình (8) trở thành:

Đặt 7 = z” + 2z. Khi đó phương trình (8) trở thành
t* —3t-10=0

Chun cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để
10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55