5 dang toan ham so luong giac dien hinh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (9.14 MB, 19 trang )
ta1lieucuatul.org
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. KIEN THUC CO BAN CAN NAM
1. Hàm sỐ y =sinx
"Có
tậpxácđịnh
D= #;
"_
Là hàm số lẻ;
m
Là hàm số tuần hồn với chu kì 27, sin(x + k27m ) =sinx;
Do hàm số y=sinx là hàm tuần hoàn với chu kỳ 274 nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó
trên đoạn có độ dài 2r , chẳng hạn trên đoạn | ~;1 |.
Khi vẽ đồ thị của hàm sỐ y =sinx trên đoạn | —1 1 | ta nên để ý rằng : Hàm số y = sin x là hàm sỐ
lẻ, do đó đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Vì vậy, đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số
y=sinx
trên đoạn [0:1 |
Bảng biến thiên:
1
—†1
Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những
đoạn có độ dài
2#,47r,Ớ,... thì ta được tồn bộ
đồ thị hàm số y =sinx. Đồ thị đó được gọi là
một đường hình s1m.
Ham
số
y=sinx
đồng
biến
trên
khoảng
©.” | và nghịch biến trên khoảng |,“ [
22
2° 2
+
++
**
<
24
2
®
%
om
a
* **
%
tu
°
J
8 SAS
8
wae
* **
Se
Se
ta1lieucuatul.org
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
Từ
đó
do
tính
tn
hồn
với
chu
kì
2#,
hàm
số
y=sinx
đồng
biến
trên
khoảng
š + k2 5 + kan) va nghich bién trén khoang (= +k2n; # +k2n
2. Hàm số y = cosx
=
C6 tap xacdinh D= R;
=
Laham sd chan;
=
Laham số tuần hoàn với chu kì 27 ;
"Do hàm số y=coSx là hàm tuần hồn với chu kỳ 2# nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó
trên đoạn có độ đài
27, chẳng hạn trên đoạn
| —1 51 | .
Khi vẽ đồ thị của hàm số y = cOSsx trên đoạn | —1 T | ta nên để ý rằng : Hàm số y = cosx là hàm
số chan, đo đó đồ thị của nó nhận trục
Oy
làm trục đối xứng. Vì vậy, đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số
y =cosx trén doan | 0:2 |
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số y = cOSx trên đoạn |0; |
+
Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những đoạn có độ dài
2x,4x,6ï,... thì ta được tồn bộ đồ
thị hàm số y = cosx. Đồ thị đó được gọi là một đường hình sin
sư
rhs.Tran
: 25/5/52
a3
ï
%2
œ
5 5752525
+s
LER,
5
Dinh
% S552 sr
$
: S20
xà,
J
;
:
:
Cu
>
ta1lieucuatul.org
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
et
+
Hàm số y =cosx đồng biến trên khoảng (_n ; 0)
va nghich bién trén khoang (0:x ) . Từ đó do tính
tuần hồn với chu kì 27, hàm số y =sinx đồng biến trên khoảng (
va nghich bién
trên khoảng (k2m; £ + k2m).
3. Hàm sỐ y = tanx
=
C6 tap xac dinh la D=#\|5
=
Co tap giatrila R;
TU
sim
kez),
"Là hàm số lẻ;
“.
Hàm số tuần hoàn với chu ky 7, tan(x + k7 ) = tanx;
Do hàm số y=tanx là hàm tuần hoàn với chu kỳ 7# nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên đoạn
có độ đài z, chẳng hạn trên đoạn -£-2
.
~
aA
.
2
`
NA
Khi vẽ đồ thị của hàm số y =tanx
^
trên đoạn
TU
TU
^
A?
7
vy
x
x
ta nên để ý răng : Hàm số y =tanx
-2|
`
x
là hàm
số lẻ, do đó đồ thị của nó nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Vì vậy, đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số
y=tanx
T
^
trên đoạn oe
Bang bién thién:
0
|
Xx
Tỉ
Tỉ
4
2
+
__——”
y=tanx
co
1
eT
0
¬
ˆ
T
Đồ thị hàm số y = tanx trên c =
ee
wâ
a
8%
5
a
ww
:
T
LER,
es
a5
đ
$
x2
ae
2
Ry
ninan
`
J
ss
x,
BAA
J
X
J
:
3
6
ta1lieucuatul.org
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
Zz
TT
2
|
h|4—
Lấy đối xứng phần đồ thị này qua gốc tọa độ lập thành đồ thị hàm số y =tanx trên đoạn -52|
—4—-
Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những đoạn có độ đài
7,27,37r,... thì ta được tồn bộ
n
n
ð|#+
n
mỊ
đồ thị hàm số y = tanx.
Hàm số y = tanx đồng biến trên khoảng (-£.2) Từ đó do tính tuan hoan véi chu ky 7 nén
hàm số y = tanx đồng biến trên khoảng -š + Kĩ 21 ks
MA
.
`
^/
^
Rs
`
ở
1
Đồ thị hàm số y = tanx nhận môi đường thăng x = 5 +k7
Ths.Trần
.
X
^
`
oA
^
£
làm một đường tiệm cận (đứng).
Đình
CƯ
¡
ta1lieucuatul.org
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
4. Hàm số y = cotx
"
Cótậpxácđịnhlà D=/\{kx|keZ};
"_
Có tập giá trịlà
"m
Là hàm số lẻ;
=
Ham so tuan hoan vdi chu ky 71,
;
cot (x + kĩ ) =cotx;
Do hàm số y = cotx là hàm tuần hoàn với chu kỳ 7 nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên đoạn
có độ đài m , chang han trén doan | 0; x J.
3
Na
+
»
oS
Bang bién thién:
D6 thi ham sé y = cotx trên | 0:2 |
Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những đoạn có độ dài
thị hàm số y = cotx.
Ths.Trần
£
r,2r,3m.... thì ta được tồn bộ đồ
ta1lieucuatul.org
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (0: 1 ) . Từ đó do tính tuần hồn với chu kỳ 7 nên hàm
số y=cotx
đồng biến trên khoảng (km:
7L + kTt ) .
Đồ thị hàm số y = cotx nhận mỗi đường thẳng x = k4 làm một đường tiệm cận (đứng).
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số
Phương pháp: Để tìm tập xác định của hàm số ta cần lưu ý các điểm sau
=
y=,fu(x) cóngHĩa khi và chỉ khi u{x) xác định và u(x)> 0.
y= TỦ
có nghĩa khi và chỉ u(x), v(x) xác định và v(x) z0.
V(X)
UX)
2
1+.
LH: TA
Tỉ
conglhia khi va chỉ u(x),
ar
`
=»
y=—=—
=
Ham sé y =sinx, y =cosx xac định trên # và tập giá trị của nó là:
V(x)
—-l
v(x) xac dinh va v(x)>0.
-—Il
y= sin| u(x) |. y= cos| u(x) | xac dinh khi va chi khi
u(x)
xac dinh.
»
y= tanu(x) có nghĩa khi và chỉ khi u(x) xác định và u(x) # 5 +km,ke Z
".
v= cotu(x)
có nghĩa khi và chỉ khi u(x) xác định và u(x) #kn,keZ.
I. Cac vi du mau
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a) y = in|
¬
}
xế]
b) y=cosV4—x”;
c) y = vsinx;
đ) y=2-sinx.
Giải
a)
Hamso y = sn
x°
>
-l
xác định © x7 -l#0<>x#z+I.
Vậy D=R\ {+1}.
b) Hàm số y=coslx? ~4 xác định ©
4-x”>0©>x”<4©-2
Vậy D={xe#|-2
c
Hàm số y =^jsinx xác định ©>sinx >0 © k2m
Vậy D={xe #|k2n
k2n,ke Z}.
Ta có: -l
Do đó, hàm só ln ln xác định hay D = #.
Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a
=t
yy
anf
7L
——|;
3
b)
7L
y=cot}|
x+—}];
)y=co :
|
sin X
=;
oy
COS(X 7L)
d)
)y
y=
1
tanx-1
.
Gii
HH
wâ
ww
T
a
a5
5
x2
a
đ
ae
LER,
es
2
Ry
ninan
`
J
x,
BAA
3
J
X
J
ta1lieucuatul.org
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
a) Ham sé ytan[
A
Vay
27
¬.
2)
xac dinh
ox
Zeb rknexe
+ kmk€ Z,
+knkeZ}.
`
Ww
b) Hàm số y eol| xi
T)
, 4
|xc nh
TL
TL
âx+t.2zknecexz+knkeZ,
Vy D=R\| Fv knke Z|
c) Hm
Vy
ơ
s y=
xac dinh
COS(X — 7L)
©cos(x~z)#0©x—x#
2
+
kg ©
xz CC + kx, ke Z,
2
`...
d) Ham sé y=
tanx 41
xac dinh
tanx—1
vay D=R\|
Oo
cosx #0
7
X#—+
K71
A
ke Z.
x#—4+kn
2
km2 lmk€Z]
Ví dụ 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y=cos2x+
1
COSX
3cos2x
;
b)y=—————.
sin3xcos3x
Giải
a) Hàm
sỐ y = cos2x+
xác định © cosx s Ú €ẻ X2
COSX
+ kn,k€ Z,
Vậy D= VE +kmke Z}.
b) Hàm số y = —20082x
siIn3xcos3x
sin3x cos3x
#0 <>
Vậy p= RV
Vi du 4. Tim
xác định =
sin6x #0 ©
6x # kh ©
x # ^^” ke
Z
xe}.
m để hàm
số sau day
xác định trên
R:
y= 2m
—3cosx.
Giải
Hàm số đã cho xác định trên
R khi và chí khi 2m — 3cosx > 0© cosx <^
Bất đẳng thức trên đúng với mọi
x khi 1< zm <c>m> 3
3
II. Bai tap rèn luyện
BT 1. Tim tap xác định của các hàm số sau:
(oS.
a
+
x
iran
osx
-
`
win
%
KV
+
ˆ
~
yLP
10
ta1lieucuatul.org
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
a) y=VI—cos x ;
b) y=
Joe ee
l+cosx
Giải
a)
Nhận thấy 0
Vay D=R.
b)
Ham
sé y =r
l+cosx
xác định <> + cosx # Ư ©x
# 7+ k21n,ke Z.
Vay D=R\{n+k2n,ke
Z}.
BT 2. Tim tap xac định của các hàm số sau
a)
)y
C)y=
y=tan|
7
3x-— |];
(
|
fan
2
` + cot
sinx +1
b)y
3x +=
;
6
= tan6x+
y
1
;
cot 3x
dy=—8nX
sin 4x — cos3x
Giải
a) Hàm
số y=tan{ 3x
xac dinh coin
SoS
kne
xe
ke ked.
Vay D=R\ sony
kez.
18 3
b) Ham so y = tan6x +
xac dinh
cot 3x
cos6x + 0
<>
& {sor
Z0 c>sinl2x+0<>x# ““ keZ.
sin6x #0
2
Vậy p= RV,
Ke}.
c) Ham sé y = 272% 4 cot] 3x +2 | xde dinh khi va chi khi
sinx +1
X#—T~+k2n
k
sinx #—l
cos2x # 0
.
7
snl 3x62]
6
&
0
Ket
xe
keZ.
2
18
Vay D=R\
3
Dy pont ee
2
4
ty
2
18
3
eg
.
đ) Hàm số y=—— “3X —— vác định khi và chỉ khi
sin4x — cos3x
“HH S257%
=
%
as
ta
œ
Tà
LER,
es
»
»
xo
xo
<3
*
ae
ˆ
'
2
Ry
2
SSO
'
j
'
II
ta1lieucuatul.org
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
n
KT
10
5
x #—+—
5X s2
{eos
>
sin4x # cos3x
+ kg
S&S
cos| B- ‘| # COS 3x
7 _ ax 43x+k2n
5 axe
&
n
Kĩ
X#—+—
10
5
n
Kĩ
xX #—+—
10
5
1x#-~—k2n<©
x#
TT
x#~_—k2n
x#—
k2
Vậy D=/\|
BT3.
EE
5 14
10
3x + ka
keg
TT poke zh.
7 `2
Tìm m để hàm số sau xác định trên
R
: y=
3x
2sin “x—~msinx+l
Giải
Hàm số xác định trên
R khi và chỉ khi: 2sin“x— msinx+l>0
với mọi te [—I|
Ta có: A=m^-—8
"-
THỊ: A<0©>m”~8<0<>-22
"
TH2:A=0<>m -§=0<>
m=-242
m=242
o_ Với m=-242 thì f(Q=2/ ~22t+1=(V3t 1]
Ta thấy f(t)= 0 tại t= S e| —I:1 | &hơng thỏa mãn)
o_ Với m=242 thì f(t)=2Ẻ +2/2t+1=(J2t + 1Ì
Ta thấy f(Q)=0
=
2
tại t=-—=e | -1;1] (khéng thoa man)
V2
m<-2
TH3: A>0<>m -§>0<>
m>2V2
ˆ khi đó tam thức f(t) có hai nghiệm phân biệt t,.t; (giả
sui t,
Ta có bảng xét dấu:
t
"oo
f(t)
tị
+
t,
0
"
+ oo
0
Từ bảng xét dấu ta thấy:
f(t)=2t* -mt+1>0,Vte]-11]<t, >1 hoae t, <1
“HH
a
8%a
$24
525282
se
Tà
he,
"
LER,
es
a5
:
®
ss+
tu
2
.
Ry
nae
7
J
s*
:
SEA
J
x
J
3
12
ta1lieucuatul.org
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
cà
m-—-vVm7-8
VỚI t>l<â
>lâ
4
l2
BES
ge
VI
>4
ơ..
te
PB
m<3
<4"
.
(Voõnghiem)
<-4
m>
.
3 (Voõghiem)
Vy giỏ tr m can tim 1a -2V2
Phương pháp: Giả sử ta can xét tinh chan, lé cua ham sé y = f(x)
=_
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, kiểm chứng D là tập đối xứng qua số 0 tức là
Vx,xeD>-xeD
"m
(1)
Bước 2: Tính f(—x) và so sánh f(—x) với f(x)
- - Nếu f(-x)=f(x) thì f(x) là hàm số chẵn trên D
(2)
-
(3)
Nếu f(x)=-f() thì f() là hàm số lẻtrênD
- _ Nếu điều kiện (1) không nghiệm đúng thì f(x) là hàm khơng chẵn và khơng lẻ trên D;
- _ Nếu điều kiện (2) v à (3) khơng nghiệm đúng, thì ƒ(x) là hàm khơng chẵn và cũng khơng
l trên D.
Lúc đó, để kết luận f(x) là hàm không chẵn và không lẻ ta chỉ cần chỉ ra điểm
5 te
xạ eD
sao
# £(X9)
f(—Xạ)# -f(Xạ)
I. Cac vi du mau
Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các ham 86 sau:
a) y =sin2x;
b)y=
tan|x|;
c) y=sIn
x.
Giải
a)
TXD: D=R.
Ta có: f(-x)
Suyra VxeD>-xeD.
= sin(—2x) =-—sin2x = —f (x) .
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
b)
TXD:
D=R\[s2oknke
Ta có: f(-x)
Z)
Suy ra VxeD>-xeD.
= tan|—x| = tan|x| = f(x) .
Do đó hàm số đã cho là hàm sé chan.
c)
TXD: D=R.
Ta có: f(-x)
Suyra VxeD>-xeD.
= sin* (-x) =sin* x= f(x) .
Do đó hàm số đã cho là hàm sé chan.
Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) y = tanx + cotx;
b) y =sinx.cosx.
Giải
(oS.
a
+
x
iran
osx
-
`
win
%
KV
+
ˆ
~
yLP
l3
ta1lieucuatul.org
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
a)
TXD: b=#\|
Ta có: f(-x)
ke}.
Suy ra VxeD>-xeD
= tan(—x) + cot(—x) =—tanx-cotx = -(tanx + cot x) = -f (x)
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
b)
TXD: D=R
Ta có: f(-x)
.Suyra VxeD>-xeD
= sin(-x).cos(-x) = —SInXCOSX = -f(x)
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Ví dụ 3. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) y=2sinx +3;
b) y =sinx+cosx
.
Giải
a) TXD: D= £. Suy ra VxeD>-xeD
Ta có:
f| =
2
|=2sin|
(Cah
Nhận thấy
^
|43=1;¢] 2]=2sin) 2 ]43=5
2
2
2
RS
2
2
Do do ham s6 khong chan khong le.
b) TXD: D= R. Suy ra Vxe D>-xeD
Taco:
y =sinx + cosx = 2n
f
- /2sin
_
4
7,2
4
x + ;
=0;
4
f 5
4
- /2 sin
7,2
4
-/2
4
{-2) 4 i
Nhan thay
^
aT
4
4
{-2) 2 NH
4
4
Do đó hàm số khơng chẵn khơng lẻ.
Ví dụ 4. Xét tính chẵn,
a)
lẻ của các hàm số sau:
y= sin2x + cos;
b)
— CO§
y
X+Ï
sin? x
Giải
a) TXD: D=R
Chon
Suy ra VxeD>-xeD
x=~“eD=-“eD
4
4
Ta co: f| —= |= sin=+cos~
3
b) TXB:
2
2
D=R\{kn,ke Z}
“HH
a
8%a
$24
Suy ra VxeD>-xeD
525282
se
Tà
he,
"
LER,
es
a5
:
®
ss+
tu
2
.
Ry
nae
7
J
s*
:
SEA
J
x
J
3
14
ta1lieucuatul.org
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
Ta có: f(-x) =
cos’ (—x)+1_ cos x +1
sin
(-x)
`...
—sin® x
sin? x
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Ví dụ 5. Xác định tham số m để hàm số sau: y = f(x) =3msin4x +cos2x là hàm s6 chan.
Giải
TXD: D=#£. Suy ra VxelD=>-xeD
Ta có:
f(-x)
=3m sin(—4x)
+ cos(~2x) = -3msin4x + cos2x
Dé ham sé da cho 1a ham s6 chan thi:
f(-x)
= f(x),vx cD<3msin4x
+ cos2x = -3m sin4x + cos2x,Vx e D
> 6msin4x =0S m=0
II. Bai tap ren luyén
BT 1. Xét tính chan, lé của các hàm số sau:
a) y=4X” +cos5X
;
b) y=x*sinx +cotx .
Giải
a) TXD: D=#
Ta có: f(-x)
Suyra VxeD—-xeD
= 4(-x)
+ cos(-5x) = 4x* + cos5x = f(x)
Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.
b) TXĐ:
D=#\{kmke Z}
Suy ra VxeD>-xeD
Ta có:
f(-x)
= (-x) sin(—x)
+ cot(—x) =—X” sỉnX —cotx = -(x°
sinx +cotx} = -f(x)
Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.
BT 2. Xét tinh chan, lẻ của các hàm số sau:
a
)y
=
x_3 +3sin”x ;
b) y=sinvl-x.
Giai
a) TXD: D= R\ {3}.
Ta có: x=-3eD nhưng -x=3£D nên D khơng có tính đối xứng.
Do đó, hàm số đã cho khơng chắn khơng lẻ.
b) TXĐ: D =[ I;+œ)
Ta có: x=3eD nhưng -x=-3£D nên D khơng có tính đối xứng.
Do đó, hàm số đã cho không chan không lẻ.
BT 3. Xét tinh chan, lé cia các hàm số sau:
a) y =Sinx +cosx
tan 3x + cot5x
b)y=—————
sin3x
;
Giải
a) TXD: D= R\ {3}.
(oS.
a
+
x
iran
osx
-
`
win
%
KV
+
ˆ
~
yLP
Is
ta1lieucuatul.org
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
Ta có:
f
_
= 3sin
2
_—
2
+2cos
20
+5=2;
2
t| = |=3sin] 2 |+2c0s| 2“ +5 =8
2
2
2
Nhan thay: KH
Do đó, hàm số đã cho khơng chẵn khơng lẻ.
b) TXD: D=R\{kn,ke Z}. Suy ra VxeD>-xeD
Ta có:
tan(—3x)+cot(—5x})
t3)
-
`
DO
tan(3x)+cot(5x
¡ -
` vs
`
¡
(x)
Vay ham số đã cho là hàm s6 chan.
BT 4. Tìm tham số a,b để hàm số:
(3a —1)sinx + bcosx,
y =f(x)=
khix <0
và.
là hàm số lẻ.
asinx +(3— 2b)cosx, khi x >0
Giải
TXD: D= R\{ka,ke
Z}. Suy ra VxeD=>-xeD
=
TH 1: Voi x <0 thi f(x)=(3a-1)sinx
+ bcosx
Và f(-x)=asin(—x)+(3-2b)cos(—x) = -asinx +(3-2b)cosx
Vì hàm số lẻ nén f(-x)=-f(x) hay
-asin x +(3— 2b}cosx =—(3a — 1)sinx — bcosx,Vx < 0
& (2a—1)sinx + (3— b)cosx =0,Vx<0
Đẳng thức trên đúng với mọi x<0 khi b
".
2a-l=0
b—0
a=
<>
TH2: Với x>0 thì f(x)= asinx+(3—2b}cosx
Và f(—x) = (3a — 1)sin(—x)+ bcos(—=x)= —(3a - 1)sinx + bcosx
Vì hàm số lẻ nên f(—x) =—f(x) hay
~(3a —1)sinx + beosx = =asinx = (3~ 2b)cosx
b=0
a=
<>
N]R
2a-l=0
b-
W
Đẳng thức trên đúng với mọi x >0 khi b
Vậy hàm số đã cho lẻ khi a =5.b =3,
Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất và và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Phương pháp: Cho hàm số y =f(x) xác định trên tập D
ee
525282
a
8%a
$24
š
se
Tà
he,
LER,
AAR
es
a5
:
®
ss+
tu
2
: Ry
5
nae
7
J
s*
:
SEA
J
x
J
3
ta1lieucuatul.org
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
f(x)
D
4x, €D:f(x))=M
=»
f(x)>m,VxeD
m=minf(x)©
D
4x, €D:f(x))=m
Lưu Ý:
e
—-l
—l
e
0
0
e
0
0
I. Cac vi du mau
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a)
y=2sn| x+ 2 ]+l
;
b) y =2vVcosx+1-3.
Giai
a) Ta co:
.
7
-1ssin(x+ 219-25
Hay -l
=3
.
7
.
7
2sin{ x42) <2->-152sin{ x4]
+153
.Suy ra:
khi snl x+2)-1e98-Tekomked.
Miny =-1
khi snl x+ 2) --teox=
"skank
Z.
b) Ta có:
~]
—=0<2Acosx+1
<2A2 >-~3<2Acosx+1—3<2A2—3
Hay -3
=2V2
Miny =-3
-3
Suy ra
khi
khi
cosx =1@x=k2z,ke
Z.
cosx =0 €
x=S
+ kn.k€
Z,
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y=sinx +cosx
;
b) y = V3 sin2x —cos2x.
Giải
a) Ta có: `
...ồ
>-
2
.
Suy ra:
Maxy
= V2
Miny = _/2
khi SH
xe T ]>1e2x
khi snl x2)
HH
a
8%a
$24
525282
+
=-l<âx=
.
se
T
kmkeZ
_+
k2n.ke Z.
he,
"
LER,
es
a5
:
đ
ss+
tu
2
.
Ry
nae
7
J
s*
:
SEA
J
x
J
3
17
ta1lieucuatul.org
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
b) Ta có: y= V3 sin2x — COS2X = a
Suy ra: -2
.Do do:
Maxy =2
2x-—=
khi sin
Miny =-—2
khi sin
Ha
=l©2x-
6
2x_-^
6
cảm]
= 2sin( 28
2)
“= “+k2n<>x=~+k2x.keZ.
6
2
3
=-l©Ầ2x—-
“=-^“+k2x©x=-—
6
2
“+k2n.ke Z.
6
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a)
y =cos’x+2sinx+2;
b) y =sin* x—2cos*x +1.
Giải
a)
Ta có:
y =cos
2
2VÝ
x +2sinx +2=(L-sin x) + 2sinx +2
=~sin? x +2sinx+3=~(sinx-1)
Vi -1
+4
-2
= -4<-~(sinx-1) <0=0<-(sinx-1) +4<4
Hay 0
Maxy
=4
Miny =0
khi sinx=l €
X=2
+ k2m,k€ Z,
khi sinx=-l@x==+
k2n,ke Z.
Lưu ý:
Nếu đặt
t=sinx,te [—I|
. Ta có (P): y= f(t) =-t +2t+3
xác định với mọi
te| l;1|, (P) có hồnh độ đỉnh t=1 và trên đoạn | -1;1 | hàm số đồng biến
nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại
t=-—1 hay
sinx=-Ll
và đạt giá trị lớn
nhất khi t=lhay sinx =l.
Ta có
-
b)
2
y= sin* x —2cos’x +1= (1 ~ cos” x)
2
= cosf x—4cos” x +2 = (cos” x ~ 2]
Vì 0
~2cos?x +1
— 2
<= 22(cos* x2]
2
R
4> (cos x= 2)
2
>]
—22-1S22y2-1
14
Do do:
Maxy =2 khi
ee
S25282
=
%
as
ta
œ
Tà
LER,
es
»
»
xo
xo
<3
*
ae
ˆ
'
2
Ry
2
SSO
'
j
'
18
ta1lieucuatul.org
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
cos’ x= 0.
cosx =O
x=T+kt ke Z,
Miny =-—I khi
cos”x=l ©sinx=0<>x=
kx,ke Z.
Lưu ý:
Nếu đặt t=cos”x,te| 0;1| . Ta có (P): y=f(=tŸ—4t+2 xác định với mọi te 0;1|, (P) có hồnh
độ đỉnh t=2e| 0;1] và trên đoạn | 0;1 | hàm số nghịch biến nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại
t=l
và đạt giá trị lớn nhất khi t =0.
II. Bài tập rèn luyện
BT 1. Tìm GTLN và GTNN của hàm số
a) y =3Vsinx +2;
b)
y=sinx+3cosx+3.
Bài 2. Tìm GTLN và GTNN của hàm số
9y =L+ An
2x5
4
b)y=3_—2cos” 3x;
c)y=l+w2+sin2x
;
dy=——“——.
1+2sin”x
Bai 3. Tim GTLN va GTNN cua ham sé
a)y = 6cos” x + cos” 2x;
b)y =3sinx +4cosx — Ì
C)y= 2sin” x+ 3sin2xT— 4cos” x;
C)y= (4sinx—3cosx)
2
—4(4sinx -3cosx)+1
2
Bài 4. Cho hai sỐ x,y thỏa mãn 7 + > =1. Tìm GTLN và GTNN (rếu có) của biểu thức
P=x+2y+l
Dạng 4. Chứng minh hàm số tuần hoàn và xác định chu kỳ của nó {Tham khảo}
Phương pháp
Muốn chứng minh hàm số tuần hoàn f(x) tuần hoàn ta thực hiện theo các bước sau:
m
Xét hàm số y =f(x), tập xác định là D
“".
Với mọi xeD,tacó
x-TạcD
và x+Tạ eD
(1). Chỉ ra f(x + Tạ)= f(x) (2)
Vậy hàm số y = f(x) tuần hoàn
Chứng minh hàm tuần hoàn với chu kỳ T,
Tiếp tục, ta đi chứng minh T. là chu kỳ của hàm số tức chứng minh T, là số dương nhỏ nhất thỏa
(1) và (2). Giả sử có T sao cho 0
0
Một số nhận xét:
- - Hàm sỐ y =sinx,y =cosx tuần hoàn chu kỳ 2z. Từ đó y =sin(ax + b),y = cos(ax + b) có chu
kỳ may
(oS.
a
+
x
iran
osx
-
`
win
%
KV
+
ˆ
~
yLP
I9
ta1lieucuatul.org
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
- - Hàm số y =tanx, y=cotx tuần hoàn chu kỳ z. Từ đó y =tan(ax + b),y = cot(ax + b) có chu kỳ
Ty =
Chi y:
|
y=f,() có chu kỳ Ta
y=f(Œ) có chu kỳ Tì;
Thi ham sé y = f(x) + £ (x) có chu kỳ To là bội chung nhỏ nhất của Tì và T›.
Các dấu hiệu nhận biết hàm số khơng tuần hồn
Hàm số y =f(x) khơng tuần hồn khi một trong các điều kiện sau vi phạm
=
Tap xac dinh cua ham số là tập hiru han
"
Tôn tại số a sao cho ham so khong xac dinh voi x>a
=
Phuong trinh f(x)=k
hofic x
cé v6 sé'nghiém hitu han
"Phương trình †(x)=k có v6 số nghiệm sắp thứ tự ..
<... mà Kn —X„m„i| >0 hay ©
+1
I. Cac vi du mau
Bài 1. Chứng minh răng các hàm số sau là những hàm số tuần hoàn với chu ky co so T,
T, = 21;
b)f(x) =tan2x,
Ty =
Nia
a)f(x)=sinx,
Hướng dẫn:
a) Taco:
f(x+27)=f(x),
VxeR.
Gia ste cd sé thyrc dUong T < 27 thoa f(x+T)=f(x)
Cho
x5
VIO)=sin| 5+1 |=sex
sin(x + T) =sinx ,Vxe R
(*)
VPCŒ)=sinS =1
—= (*) không xảy ra với mọi x e #¿. Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ T, = 27
b) Ta có: fx +) =f00), VxeD.
Giả sử có số thực dương T “5 thỏa f(x+T)=f(x)<©
Cho x=0= VT(**) = tan2T #0;
tan(2x + 2T) =tan2x ,VxeD
(**)
VP(**) =0
T
B=(**) không xảy ra với mọi x eD. Vậy hàm số đã cho tuân hoàn với chụ kỳ TT = 5
II. Bai tap rèn luyện
BT 1. Tim chu kỳ của hàm số:
a/ y =sin2x
b/ y= cos
c/ y =sin? x
.
X
d/ y=sin2x+ cos
e/ y = tanx+ cot3x
3X.
2X
f/ y= cos“ — sin—-
ø/ ÿy = 2sinx. cos3x
h/ y =cos* 4x
i/ y = tan(-3x + 1)
BT 2. Xét tính tuần hồn và tìm chu ky cơ sở (nếu có) của các hàm số sau
a) f(x)= cos
cos
;
b)y=cosx+ cos(V3x);
¡ns.
merge |
3
vu
œ
c)f(x) = sin(x? }
lrần †2inh
5 2n
3
tù,
: MSEC
ˆ
‘
: 220%
HỘ,
d)y= tanvx.
ị
1
:
:
Cự»
ta1lieucuatul.org
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
Hướng dẫn
c) Hàm sỐ f(x) = sin(x”] khơng tuần hồn vì khoảng cách giữa các nghiệm (khơng điểm) liên tiếp
của nó đần toi 0
(k+1)x- Vkn = ——
^ l(k + l)n + Xkn
>O0khik >
d) Ham s6 f(x) = tanvx khơng tuần hồn vì khoảng cách giữa các nghiệm (khơng điểm) liên tiếp
của nó dần tới +œ
(k-+1)1? -k’n
> 0 khik
>0
BT 3. Cho hàm sỐ y =f(x) và y =g(x) là hai hàm số tuần hoàn với chu kỳ lần lượt là T; ,T,. Chứng
minh rằng nếu TL là số hữu tỉ thì các hàm sỐ f(x) + g(x); f(x).g(x); sọ
2
số tuần hoàn.
(a(x) z 0)
là những hàm
Dạng 5. Vẽ đồ thị hàm số lượng giác
Phương pháp
1/
Vẽ đồ thị hàm số lượng giác:
- — Tìm tập xác định D.
- _ Tìm chu kỳ To của hàm số.
- _ Xác định tính chẵn - lẻ (nếu cần).
- __ Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T o có thé chon:
xe |0. Ty | hoặc
xe -%
a
-
Vé do thi trén doan cé dé dai bang chu ky.
-
ROi suy ra phn dé thi con lai bang phép tinh t jén theo véc to y = k.T).i vé bén trai va
phai song song voi truc hoanh Ox (voi ¡ là véc tơ đơn vị trên trục Ox).
2/_
Một số phép biến đổi đồ thị:
a)
Tir d6 thi ham sé y = f(x), suy ra dé thi ham sd y = f(x) + a bằng c ách tịnh tiến đồ thị y =
f(x) lên trên trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hồnh a don
vị nếu a<0.
b) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x +a) bằng cách tịnh tiến đồ thị y =
f(x) sang phải trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến sang trái trục hoành a đơn vị nếu
a <0.
c)
Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = -f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục
hồnh.
đ)
Đồ thị
y= |f(«) =
f(x), nế
f(x) > 0
được suy
-f(x), nế f(x) < 0
từ đồ thị vy == f(x)
£(x) bằng g cách g ø1
y
nguyean phaan noa tho y = f(x) 6a phia trên trục hoành và lấy đối xứng phần
noa tho y = f(x) naem 60 phia d6oui truic hoagnh qua truic hoaenh.
Mối liên hệ đồ thị giữa các hàm số
¡hns.
merge |
3
vu
œ
lrần
5 2n
3
tù,
ˆ
: MSEC
‘
: 220%
inn Cir
HỘ,
ị
1
:
:
2
ta1lieucuatul.org
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
y=-f(x)
D ix ng qua Ox
T nh ti n theo Ox,ad nv
D ix ng qua Oy
T nh ti n theo Oy, bd
<
y=-f(-x)
D ix
y=f(x+a)
D ix
ng quag
T nh tỉ n theo
cO
y=f(x)
vect
|
>
=
v=(a;b)
vy=f(x+a)+b
|
T nh tỉ n theo Ox,a đ ny
ng qua Ox
y=f(-x)
nv
D
ix
ng qua Oy
T nh ti n theo Oy,
Vi du 1. Hay xac dinh cac gia tri cua x trén doan
a2
bd
y=f(x)+b
nv
để hàm số y = tanx
a) Nhận giá trị bằng 0;
b) Nhận giá trị bằng 1
c) Nhận giá trị dương;
đ) Nhận giá trị âm.
Ví dụ 2. Dựa vào đồ thị y=sinx , hãy vẽ đồ thị hàm số y = |sinx|
Ví dụ 3. Chứng minh rằng sin2(x + km) =sin2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số
y=sin2x.
Ví dụ 4. Vẽ đồ thị hàm số. y =cosx , tim các gia tri cua x dé cosx = 2
iA
~
LA
°
`
aS
éX
ft
of
°
2
wn?
1
Ví dụ 5. Dựa vào đồ thị hàm số y =sinx , tìm các khoảng giá trị của x để hàm số nhận giá trị âm
Ví dụ 6. Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx , tìm các khoảng giá trị của x để hàm số nhận giá trị dương.
Ths.Trần
Đình
Cử
-
