Giáo trình Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.39 MB, 210 trang )
Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học Cơ Bản
Bộ Môn Toán
GIÁO TRÌNH
TOÁN CAO CẤP A2
(Lưu hành nội bộ - Tháng 9/ 2016)
Lời mở đầu
Giáo trình “Toán Cao cấp A2” này được biên soạn nhằm phục vụ cho nhu
cầu về tài liệu học tập của sinh viên Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật thành phố
Hồ Chí Minh. Nội dung giáo trình này gồm 5 chương:
Chương 1 : Ma trận – Định thức.
Chương 2 : Hệ phương trình tuyến tính.
Chương 3: Không gian vec tơ-Không gian Euclide và hình học giải tích.
Chương 4: Trị riêng, vec tơ riêng, chéo hóa ma trận, dạng toàn phương.
Chương 5: Phép tính vi phân hàm nhiều biến và ứng dụng.
Nội dung môn học như trên là khá phong phú. Tuy nhiên, thời lượng dành
cho môn học này chỉ có 3 tín chỉ (45 tiết lên lớp) là hơi ít. Do đó, để tiếp thu tốt
môn học, các bạn sinh viên cần đọc kỹ bài học trong giáo trình trước khi đến lớp.
Các bạn cần làm bài tập đầy đủ để hiểu rõ nắm vững các khái niệm, nội dung, ý
nghóa các bài toán và suy nghó về việc ứng dụng vào đời sống.
Trước mỗi chương hay mỗi bài tác giả nêu ra những nội dung, những kiến
thức cơ bản mà sinh viên cần phải đạt được. Dựa vào đó mà các bạn sinh viên biết
được mình sẽ phải học những gì, cần phải hiểu rõ những khái niệm nào, những nội
dung nào cần phải nắm vững và những bài toán dạng nào phải làm được. Trong mỗi
chương, tác giả đưa vào khá nhiều ví dụ phù hợp để minh họa làm sáng tỏ các khái
niệm vừa được trình bày đồng thời chỉ ra được rất nhiều ứng dụng vào thực tế. Sau
mỗi chương hay bài học có phần bài tập được chọn lọc phù hợp để sinh viên tự
luyện tập nhằm đạt được sự hiểu biết sâu rộng hơn các khái niệm đã đọc qua và
thấy được các ứng dụng rộng rãi của các kiến thức này vào thực tế.
Mục tiêu chúng của tôi khi viết giáo trình này:
Dễ đọc, dễ hiểu, có thể tự học với sự hỗ trợ chút ít của giáo viên;
TOÁN CAO CAÁP A2 …………………………………………….…………………………………………….…………...……………… Trang
1
Người đọc có thể nắm vững tất cả kiến thức môn học mà tốn ít thời gian
nhất. Do đó, chúng tôi chọn cách trình bày hình thức đối với các khái niệm
không phức tạp cho ngắn gọn đỡ mất thời gian; còn đối với các khái niệm
phức tạp (chẳng hạn như không gian vectơ) chúng tôi chọn cách trình bày
từ cụ thể, trực quan, trừu tượng dần để bảo đảm bạn đọc hiểu được.
Đọc giáo trình như một hành trình khám phá tri thức và khả năng ứng
dụng vào cuộc sống. Người đọc cảm thấy thích thú, hạnh phúc, tư duy
logic cùng trí tưởng tượng và khả năng sáng tạo tăng lê rõ rệt.
Người đọc biết ứng dụng những gì đã học làm công cụ để học tiếp các
môn khác và biết ứng dụng vào thực tế.
Tuy có rất nhiều cố gắng trong công tác biên soạn , nhưng chắc chắn giáo
trình này vẫn còn thiếu sót. Chúng tôi xin trân trọng tiếp thu ý kiến đóng góp của
các bạn sinh viên và các đồng nghiệp để giáo trình này ngày càng hoàn chỉnh hơn.
Thư góp ý xin gửi về :
Ngô Hữu Tâm
Trường Đại học Sư Phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh
Khoa Khoa học Cơ bản
Bộ môn Toán
Email:
TOÁN CAO CẤP A2 …………………………………………….…………………………………………….…………...……………… Trang
2
Chương 1
MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Chương này gồm các nội dung sau:
Khái niệm ma trận, một số ma trận đặc biệt;
Các phép toán ma trận, tính chất;
Phép biến đổi sơ cấp hàng, ma trận tương đương hàng;
Ma trận rút gọn bậc thang, hạng ma trận.
Khái niệm và cách tính định thức;
Các tính chất định thức;
Hai cách thường sử dụng để tính định thức;
p dụng định thức tìm hạng ma trận.
Khái niệm ma trận khả nghịch và ma trận đảo của một ma trận
vuông;
Các tính chất ma trận khả nghịch;
Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông khả nghịch;
Hai cách cơ bản tìm ma trận đảo của một ma trận khả nghịch;
Ứng dụng ma trận đảo để giải phương trình ma trận và hệ phương
trình tuyến tính.
TOÁN CAO CẤP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang
3
§1. MA TRẬN
Trong bài này, bạn sẽ học
---------------------------------------------------------------------------------------- Khái niệm ma trận, một số ma trận đặc biệt;
Các phép toán ma trận, tính chất;
Phép biến đổi sơ cấp hàng, ma trận tương đương hàng;
Ma trận rút gọn bậc thang, hạng ma trận;
-----------------------------------------------------------------------------------------1- Ma trận (matrices)
1.1 -Định nghóa và ký hiệu ( K = là tập số thực hoặc K = là tập số phức)
Một ma trận A cấp mn (cỡ mn, kích thước mn) trên K là một bảng chữ nhật gồm mn
phần tử trong K được viết thành m hàng và n cột như sau:
a11
a 21
A =
a
m1
a12
a 22
a m2
a1n
a 2n
a mn
hay
a11
a
21
A =
a m1
a12
a 22
a m2
a1n
a 2 n
a mn
Trong đó aij K là phần tử (số hạng) ở vị trí hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A. Đôi
khi ma trận A được ký hiệu vắn tắt là: A = [aij]mxn = ( aij)mxn = A mxn.
Ký hiệu M mxn(K) là tập hợp tất cả các ma trận cấp mn trên K.
Ma trận không (zero matrix ) là ma trận mà tất cả các phần tử đều bằng 0, ký hiệu là 0
0
0
mxn (hay 0 nếu không có sự nhầm lẫn): 0 mxn =
0
0 0
0 0
=0
0 0
a11
a 21
Ma trận cột (column matrix) là ma trận chỉ có một cột : A =
a
n1
Ma trận hàng (row matrix) là ma trận chỉ có một hàng: A = a11 a12
...... a1n .
TOÁN CAO CẤP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang
4
Ma trận có số hàng bằng số cột gọi là ma trận vuông (square matrix). Ma trận vuông
a11
a 21
có n hàng gọi là ma trận vuông cấp n: A =
a
n1
a12
a 22
an2
a1n
a 2n
= [aij]nxn .
a nn
Các phần tử a11, a22, .…, ann gọi là các phần tử chéo của ma trận vuông A. Vết ma trận
vuông A, ký hiệu Tr(A), được định nghóa như sau: Tr(A)
ĐN
a11 +a22 +….+ann
Ký hiệu M n(K) là tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên K.
Ma trận vuông A = [aij]nxn gọi là ma trận tam giác trên nếu aij = 0 khi i > j, tức là nó
a11
0
có dạng: A =
0
a12
a1n
a 2n
a nn
a 22
0
Ma trận vuông A = [aij]nxn gọi là ma trận tam giác dưới nếu aij = 0 khi j > i, tức là
a11
a 21
nó có dạng: A =
a
n1
0
a 22
an2
0
0
a nn
Ma trận vuông D gọi là ma trận chéo nếu D vừa là ma trận tam giác trên vừa là ma
trận tam giác dưới, tức là nó có dạng :
a11
0
D=
0
0
a 22
0
0
0
a nn
kýhiệu
dg(a11 , a22 , ……, an n).
Ma trận chéo mà tất cả các phần tử chéo đều bằng 1 gọi là ma trận đơn vị, ma trận đơn
1 0 0
0 1 0
vị cấp n ký hiệu là In hay I khi không có sự nhầm lẫn: In =
=I
0 0 1
Ví dụ 1.1
3 4 5 2i
là ma trận cấp 2 3 ; a11 3, a12 4, a13 5 2i, , a 23 9
7
9
a) A
6
TOAÙN CAO CAÁP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang
5
7 3
5
b) A 2 i 1 6 là ma trận vuông cấp 3 .
8 3i 9 12
0
5 7 3
5 0
c) C 0 1 6 laø ma trận tam giác trên; C ' 2 1 0 là ma trận tam giác
0 0 12
4 2 13
dưới.
4 0 0 0
0 3 0 0
d) D
= dg (4,3,1,2) laø ma trận chéo cấp
0 0 1 0
0 0 0 2
0 0
1 0
0 0 0
1 0
, I 2
, I 3 0 1
e) 0 32 0 0 , 0 23
0 0 0
0 1
0 0
0 0
4.
0
0
1
1.2 - Các phép toán ma trận
1.2.1- Định nghóa -Ví dụ minh họa
a) Ma trận bằng nhau: Ma trận A = [aij]mxn gọi là bằng ma trận B = [bij]mxn, ký
hiệu A = B, nếu a ij bij i 1, m và j 1, n .
ĐN
A = B aij = bij , i = , m vaø j = 1, n
x 1 y 1
7 3
, B
. Tìm x, y, z , t để A B .
t 3
6 4
Ví dụ 1.2 Cho A
2z
Giaûi
x 1
y 1
A B
2z
t 3
x
y
6
z
t
4
7
3
6
4
3
7
b)Pheùp cộng, trừ các ma trận cùng cấp: Cho A = [aij]mxn, , B = [bij]mxn
ÑN
A + B [aij + bij]mxn
;
A-B
ĐN
[aij - bij]mxn
Tức là khi cộng, trừ hai ma trận cùng cấp chúng ta cộng, trừ các số hạng cùng vị trí
với nhau.
TOÁN CAO CẤP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang
6
c) Phép nhân một số với một ma trận: Cho A = [aij]mxn , K
ĐN
A aijmxn
Tức là khi nhân một số với một ma trận chúng ta nhân số đó với tất cả các số của
ma traän.
2 4 1
6 3 1
, B
. Tính A B , 2 A 3B , 2 A 3B .
2
2 5 2
Ví dụ 1.3 Cho A
1 3
Giải
2 4 1 6 3 1
+
=
A B =
1 3 2 2 5 2
8 7 0
3 8 4
2 4 1 6 3 1
+ 3
=
2 A 3B = 2
1 3 2 2 5 2
22 17 1
8 21 10
2 4 1
6 3 1
3
=
2 A 3B = 2
1 3 2
2 5 2
14 1 5
4 9 2
d) Phép nhân hai ma trận có cấp thích hợp:(số cột ma trận trước phải bằng số hàng ma trận sau)
Cho các ma trận A aik m n , B bkj n p
ÑN
n
k
mxp
AB a ik . b kj
Sơ đồ của phép nhân ma trận như sau:
Cột j
n
aik .bkj
k 1
Cột j
a11 a12 a1n b11 b1 j b1 p
b21 b2 j b2 p
Haøng i ai1 ai 2 ain .
haøng i
a m1 a m 2 a mn bn1 bnj bnp
AB
A
B
e) Phép lũy thừa ma trận vuông: Cho ma trận vuông A = [aij]nxn
TOÁN CAO CẤP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang
7
A0 = I , A1 = A , A2 = AA, …, Ak = Ak 1 A = A.A.......
....A
k -lần
1
2
2
0
1
, B
. Tính AB , A 2 , A 3 ; giải thích vì sao
Ví dụ 1.4 Cho A
1 3
3 1 4
không tồn tại ma trận BA .
Giải
1 2 2
AB =
1 3 3
1 2 1
A 2 =
1 3 1
0
1 2 6 0 2 1 8
=
=
1 4 2 9 0 3 1 12
2 1 2
2 6 1 8
=
=
3 1 3 2 9 4 7
1 8 1 2 9 22
=
A 3 = A 2 A =
4 7 1 3 11 13
Vì B có 3 cột và A có 2 hàng nên không tồn tại BA .
8 2 9
7 3 11
f) Phép chuyển vị: Ma trận chuyển vị của A = [aij]mxn, ký hiệu A T , là ma trận xác
ĐN
định bởi A T [ a Tji ]nxm với a Tji = aij ; tức là AT có được từ A bằng cách chuyển hàng
thành cột.
Ví dụ 1.5
2 6 1
thì A T =
a) Với A
3
8
4
2
3
b) Với B
5
0
2 3
6 8 .
1 4
6
7
2 3 5 0
.
thì B T
9
6 7 9 8
8
1.2.2- Tính chất của các phép toán về ma trận
Với mọi ma trận A, B, C có cấp thích hợp để thực hiện được các phép toán và với
mọi số , K.
A+B=B+A
Amxn.0nxp = 0mxp = 0mxk.Akxp
A + (B + C) = (A + B) + C
0Amxn = 0mxn , 0mxn = 0mxn
Amxn + 0mxn = Amxn
(A B) = A B
( + )A = A + A
A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC
(AB)C = A(BC) = ABC
(A + B)T = AT + BT , (AB)T = BTAT
(ABC)T = CTBTAT
11 ImAmxn = Amxn = AmxnIn.
12 Neáu A = [aij]nxn thì AIn = A = In A
TOÁN CAO CẤP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang
8
(A) = ()A = (A)
(AB) = A(B) = (A)B
Chú ý Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán.
Ví dụ 1.6
2 0
2 1 2
2 1 0
, B
, C 1 1 . Tính (3 A 2 B )C , C T A T .
a) Cho A
6 1 4
3 2 2
3 2
1 2 1
b) Cho A 2 0 1 vaø f(x) = 3x2 + 2x - 4. Tính f ( A) .
1 1 2
Giaûi
2 0
11 5
2 1 2
1 1 =
; BC
a) AC =
6 1 4 3 2 25 9
2 0
3 1
2 1 0
1 1 =
3 2 2 3 2 14 6
11 5 3 1 39 13
-2
=
(3 A 2 B )C = 3 AC 2 BC = 3
25 9 14 6 47 15
11 25
C T A T = ( AC) T
5 9
1 2 1 1 2 1
b) A AA 2 0 1 2 0 1 =
1 1 2 1 1 2
2
6 3 5
3 5 4
5 4 4
6 3 5 1 2 1 1 0 0 16 13 17
f ( A) = 3 A 2 A 4 I = 3 3 5 4 +2 2 0 1 4 0 1 0 = 13 11 14 .
5 4 4 1 1 2 0 0 1 17 14 12
2
1.3 - Phép biến đổi sơ cấp hàng – Hạng của ma trận
1.3.1 - Định nghóa
Có 3 loại phép biến đổi sơ cấp hàng (elementary rows operations)
Loại 1 Hoán vị hai hàng : hi hj
Loại 2 Nhân một số khác 0 vào một hàng : hi hi, 0
TOÁN CAO CẤP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang
9
Loại 3 Thay một hàng bởi hàng đó cộng với lần hàng khác
hi + hj hi , ij.
Kết hợp loại 2 và loại 3 ta được : hi + hj hi , 0, ij.
1.3.2 -Ma trận tương đương hàng
biến đổi sơ
Nếu từ ma trận A ............. B thì ma trận A gọi là tương đương hàng với ma
cấp hàng
trận B , ký hiệu A B.
Vậy :
ĐN
biến đổi sơ
A B A ............. B.
cấp hàng
0 1 2
1 1 3
h1 h2
h3 2h1
Ví dụ 1.7 A 1 1 3 0 1 2
2 4 1
2 4 1
B
1 1 3
2
0 1
0 6 5
C
1 1 3
2 = D
0 1
0 0 17
h3 6h2
Khi đó, A B, A C, A D, B C,….
1.3.3- Ma trận rút gọn bậc thang
Ma trận Ar = [aij]mxn gọi là ma trận rút gọn bậc thang nếu nó thỏa đồng thời 3 tính
chất sau:
- Các số phía dưới số khác 0 đầu tiên trên mỗi hàng đều bằng 0.
- Các số khác 0 đầu tiên trên mỗi hàng xếp theo thứ tự bậc thang từ trên xuống
dưới và từ trái sang phải.
- Các hàng zêro nằm phía dưới các hàng khác zêro (hàng zêro là hàng mà tất cả các số
hạng đều bằng 0).
Ví dụ 1.8
2 3 1 17
a) A 0 0 7 9 là ma trận rút gọn bậc thang.
0 0 0
0
TOÁN CAO CAÁP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang
10
5
0
b) B
0
0
0 9 7
6 4 3
là ma trận rút gọn bậc thang.
0 0 3
0 0 0
2 3 1 8
c) C 0 0 7 9 không là ma trận rút gọn bậc thang vì không thỏa tính chất .
0 5 0 6
1.3.4 -Hạng ma trận
Hạng ma trận A = [aij]mxn , ký hiệu là r ( A) , là một số xác định như sau
Biến đổi sơ
Từ ma trận A .......... ....... A r
thì r ( A) số hàng khác zêro của A r
cấp hàng
với A r là ma trận rút gọn bậc thang
Ví dụ 1.9
2 3 1 8
2 3 1 8
h2 h3
a) Ma traän A 0 0 1 9 0 3 0 2 = Ar
0 3 0 2
0 0 1 9
Suy ra r ( A) 3 .
1 3 1 2
1 3 1 2
h2 h1
b) Ma traän B 1 3 0 10 0 0 1 8
h3 2 h1
2 6 1 12
0 0 1 8
h3 h2
1 3 1 2
0 0 1 8 Br
0 0 0 0
Suy ra r ( B ) 2 .
Ví dụ 1.10 Với m là tham số, hãy tìm hạng của ma trận sau:
1
2
a) A =
3
4
2
3
3 4
4 5
5 m
1 1 m m2
b) A 1 m 1 m
m 1 1 1
Giải
a) Ta có
TOÁN CAO CAÁP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang
11
1
2
3
4
2
3
3 4 h 2 2 h1; h3 3h1
h 4h
4 5
4
1
5 m
3
3
1 2
1 2
2 h3 2 h 2 0 1 2
0 1
0 2
4 h 4 3 h
0 0
0
2
0 3 m 12
0 0 m 6
3
1 2
0
1
2
h h
2 khi m 6
3
4
=
.
Suy
ra
r(A)
=
.
A
r
0 0 m 6
3 khi m 6
0 0
0
b)
1
1
m
A 0 m 1 1 m
h3 mh1
0 1 m 1 m2
h2 h1
1
1
m
m2
h3 h2
2
2
m m 0 m 1
1 m
mm
Ar
3
2
2
3
1 m
0
2 m m 1 m m m
0
m2
1 1 1 1
Khi m 1 thì Ar 0 0 0 0 neân r ( A) 1 .
0 0 0 0
Khi m 1 thì Ar có 3 hàng khác zêro nên r ( A) 3 .
Tính chất
i) r ( A) r ( A T ) . Suy ra khi tìm hạng ma trận có thể biến đổi sơ cấp cột.
ii) Nếu A B thì r(A) = r(B).
iii) Nếu A = [aij]mxn thì r(A) min m,n.
1 2
2 5
Ví dụ 1.12 Tìm hạng ma trận A
.
7 9
6 5
Giaûi
1 2 7 6
1 2 7 6
h2 2h1
ArT
A T
2 5 9 5
0 9 23 17
T
r ( A) r ( A ) số hàng khác zêro của ArT = 2.
TOÁN CAO CAÁP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang
12
§2. ĐỊNH THỨC
Trong bài này, bạn sẽ học
---------------------------------------------------------------------------------------- Định nghóa và cách tính định thức;
Các tính chất định thức;
Hai cách thường sử dụng để tính định thức;
p dụng định thức tìm hạng ma trận.
----------------------------------------------------------------------------------------2.1-Định nghóa - Cách tính
Ký hiệu định thức của ma trận vuông A = [aij]nxn là detA hay A.
* Định thức cấp 1: Với A = (a11) thì detA = a11.
* Định thức cấp 2: detA = A =
a
* Định thức cấp 3: detA = a
a
a b
= ad - bc.
c d
a
a
a
a
a = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)
a
-(a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12).
Quy tắc đường chéo
a11
a 21
a31
a12
a 22
a32
a13 a11 a12
a 23 a 21 a 22 =(a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32)-(a31a22a13+a32a23a11+ a33a21a12).
a33 a31 a32
* Định thức cấp n (n 2)
detA =
i j
n
i j
n
M ij , với Mij là định thức cấp (n-1) có
M ij = aij 1
i
1
aij 1
j 1
Khai triển hàng i
Khai triển cột j
từ A bằng cách bỏ hàng i và cột j và (1) i j M ij gọi là phần phụ đại số của aij.
2
0 1
1
1 1
Ví dụ 1.12 Tính các định thức: a) 1 3 2
3
b)
2
0 1
0 1 3 2
0
1
1 1
2
3
0 4
Giải
TOÁN CAO CAÁP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang
13
2
a)
0 1
1 3 2 = (6 0 1) (3 4 0) 2
1 1 1
b) Khai triển định thức theo cột 1
3
2
0 1
0 1 3 2
0
1
1 1
2
3
0 4
1 3 2
=31
2
0 1
1 1 + 0 + 0 + 2 1 3 2
0 4
1 1 1
3
= 3[(4 9 0) (6 0 12)] 2(2) = -39 – 4 = -43.
2.2- Tính chất của định thức
detA = detAT. Suy ra mọi tính chất của định thức nếu đã đúng với hàng thì cũng
đúng với cột và ngược lại. Do đó các tính chất tiếp theo sau đây ta chỉ cần phát biểu
đối với hàng.
det(AB) = detAdetB.
Hoán vị hai hàng (cột) thì định thức đổi dấu. Tức là,
h h
i
j
nếu A B thì A = -B
(hoặc viết gọn A
h h
i
j
-B)
Vậy nếu định thức có hai hàng (cột) giống nhau thì định thức bằng 0.
Nếu nhân một hàng (cột) của định thức với một số 0 thì định thức tăng lên
lần. Tức là,
h h
nếu A i i B thì A =
1
B , 0
h
(hoặc viết gọn A
i 1
B, 0 )
Vậy thừa số chung của một hàng (cột) có thể đặt ra ngoài dấu định thức.
Khi thực hiện phép biến đổi sơ cấp loại 3 trên hàng hay cột thì định thức không
đổi. Tức là,
h h h
i
j
i B thì A = B
nếu A
(hoặc viết gọn A
h h
i
j
B, i j )
TOÁN CAO CẤP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang
14
Nếu định thức có hai hàng (cột) tỷ lệ thì định thức bằng 0.
Nếu định thức có một hàng(cột) zero thì định thức bằng 0 (hàng zêro là hàng mà các
số hạng đều bằng 0).
Nếu mỗi số hạng ở một hàng của detA là tổng của hai số thì detA bằng tổng hai
định thức: Định thức thứ nhất suy từ A bằng cách thay mỗi số hạng ở hàng nói trên
nói trên bởi một trong hai số hạng của nó. Định thức thứ hai có đươc bằng cách thay
số hạng còn lại:
a a'
b b'
c c'
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a'
b'
c'
a
b
c a
b
c
a
b
c
a
b
c
Định thức ma trận tam giác (tam giác trên , tam giác dưới) bằng tích các số trên
đường chéo.
Thông thường, khi tính định thức chúng ta làm như sau:
Cách 1 p dụng các tính chất định thức để biến đổi định thức có một hàng hoặc một
cột thật nhiều số 0 rồi khai triển định thức theo hàng hoặc cột đó.
Cách 2 p dụng các tính chất định thức để biến đổi định thức về dạng định thức ma
trận tam giác. Khi đó, định thức bằng tích các số trên đường chéo.
Ví dụ 1.13 Tính các định thức sau
1 1 3
a) 1 2 3
2 2 6
1 a
1 2 3 4
1 1 3
b) 1 2 2
2 2 5
c)
0 3 4 1
1 5 8 9
1 2 4 3
d)
b
ab
1 a' b
a' b
1 a
ab'
b'
1 a ' b' a ' b'
Giaûi
a)
1 1 3
1 2 3 = 0 vì cột 1 và cột 3 tỷ lệ.
2 2 6
1 1 3
b) 1 2 2
h2 h1 ; h3 2 h1
2 2 5
1 2 3 4
c)
0 3 4 1
1 5 8 9
1 2 4 3
h4 h1 ; h3 h1
1 1
3
0 1 1 = -1
0 0 1
1 2 3
4
0 3 4
1
0 3 5
5
0 0 1 1
h3 h2
1 2 3
4
0 3 4
1
0 0 1
4
0 0 1 1
h4 h3
1 2 3
4
0 3 4
1
0 0 1
4
= -15.
0 0 0 5
TOÁN CAO CẤP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang
15
1 a
d)
b
ab
1 a' b
a' b
h4 h2 , h3 h1
1 a
ab'
h2 h1
b'
a
1
1 a ' b' a ' b'
0 a ' a
b
ab
0
b(a ' a )
a (b'b)
1
0
0
b'b
0
0
b'b a ' (b'b)
h4 h3
a
0 a 'a
b
ab
0
b(a 'a )
0
0
b'b
a (b'b)
0
0
0
(b'b)(a 'a )
= (a'a) 2 (b'b) 2
2.3-p dụng định thức để tìm hạng ma trận Cho A = [aij]mxn
i)
Từ ma trận A ta chọn ra k hàng và k cột tùy ý, với k hàng và k cột vừa
chọn ra ta lập được một định thức cấp k, định thức này gọi là định thức
con cấp k của A.
ii)
r ( A) = cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của A.
2 1 0 3
Ví dụ 1.14 p dụng định thức tìm hạng ma trận A 1 4 2 1
3 6 2 7
Giải
Xét các định thức con cấp 3 của A:
2
1 0
2
1 3
2
0 3
1 0 3
1 4 2 0 , 1 4 1 0, 1 2 1 0 , 4 2 1 0
3 6 2
3 6 7
3 2 7
6 2 7
Suy ra, r ( A) 3.
Xét tiếp định thức con cấp 2 cuûa A:
2
1
1 4
90
Suy ra, r ( A) 2.
1 1 0 3
Ví dụ 1.15 p dụng định thức tìm hạng ma trận A 1 4 2 1
0 6 2 7
Giải
1 1 0
Xét các định thức con cấp 3 của A: 1 4 2 = 6 0
0 6 2
Suy ra, r ( A) 3.
TOAÙN CAO CAÁP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang
16
§3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Trong bài này, bạn sẽ học
---------------------------------------------------------------------------------------- Khái niệm ma trận khả nghịch và ma trận đảo của một ma trận
vuông;
Các tính chất ma trận khả nghịch;
Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông khả nghịch;
Hai cách cơ bản tìm ma trận đảo của một ma trận khả nghịch;
Ứng dụng ma trận đảo để giải phương trình ma trận và hệ phương
trình tuyến tính.
-----------------------------------------------------------------------------------------3.1. Định nghóa
Ma trận vuông A = [aij]nxn gọi là khả nghịch nếu có ma trận B = [bij]nxn sao cho
AB I n = BA
Khi đó B gọi là ma trận nghịch đảo hay ma trận đảo của A, ký hiệu là A-1.
Vậy A khả nghịch khi và chỉ khi tồn tại A-1 và AA-1 = In = A-1A
1 2
3
, B
Ví dụ 1.16 Với A
2 3
2
1 2 3 2
=
AB
2 3 2 1
1 0
=
0 1
3
Vaäy A khả nghịch và A 1
2
2
. Ta coù
1
3 2 1 2
= BA
2 1 2 3
2
1 2
= B ; B khả nghịch và B 1
A .
1
2 3
Lưu ý Với A = [aij]nxn, B = [bij]nxn : AB I n khi và chỉ khi BA I n .
3.2. Tính chất
Ma trận đảo của ma trận A (nếu có) thì duy nhất và (A-1) -1= A
Nếu A khả nghịch thì AT cũng khả nghịch và
(AT)-1 = (A-1)T
Nếu A = [aij]nxn, B = [bij]nxn, C =[cij]nxn khả nghịch thì tích AB, ABC cũng khả
nghịch và
-1
-1 -1
-1
-1 -1 -1
(AB) = B A
; (ABC) =C B A
TOÁN CAO CẤP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang
17
3.3 .Định lý ( điều kiện để một ma trận vuông khả nghịch) Cho A = [aij]nxn. Ta có :
A khả nghịch A In
A khả nghịch r(A) = n
A khả nghịch detA 0
bis A không khả nghịch detA = 0
3
1 2
4 .
Ví dụ 1.17 Biện luận theo tham số m tính khả nghịch ma traän A 1 1
1 1 m 3
Giaûi
1 2
3
4 7m
det A 1 1
1 1 m3
Khi m 7 thì det A 0 nên A không khả nghịch.
Khi m 7 thì det A 0 nên A khả nghịch.
3.4 . Cách tìm ma trận đảo và ứng dụng giải phương trình ma trận
Cách 1-Phương pháp Gauss- Jordan
Nếu A khả nghịch thì dãy các phép biến đổi sơ cấp hàng biến A thành In cũng
đồng thời biến In thành A-1. Tức là,
Biến đổi sơ
(A In) ................. (In A-1)
cấp hàng
Cách 2-Phương pháp định thức
Nếu A khả nghịch thì
A-1 =
1
PAT , PAT =[pij]nxn, pij =(-1)i + jMij; với Mij là định thức cấp (n-1) có từ A
detA
bằng cách bỏ đi hàng i cột j. Ma trận PA = [pij]nxn gọi là ma trận phụ hợp của A.
Ví dụ 1.18 Tìm ma trận X thỏa:
1
X 1
0
0
1
1
1 1 2
1 1 2
2
0
1 2
2
1
2
2 3 4
TOAÙN CAO CAÁP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang
18
Giaûi
1 0 1
1 1 2
1 1 2
2
X 1 1 0
2 3 4
2 1 2
0 1 2
1 0 1
1 1 2 1 1 2
0 2
X 1 1
2
3
4
2
1
2
0 1 2
1 0 1
1 3 2
XA B
X 1 1
0
2 5 6
0 1 2
A
p dụng phương pháp Gauss-Jordan:
1
A I 1
0
0
1 0
1 1 0 0
h h
0 0 1 0 0 1
1
1 20 0
1
3 h2
h
0
0
0
1 1
1 1 1
0 1 1
2
1
0
0
0
1
1 1
2
Suy ra A khả nghịch và A 1 2
1
1
1
2
1
1 .
1
1
7
0 0
1 1 1 0
1 2 0
1
0
0
h1 h3
h2 h3
( 1) h3
0 1
0 0 2
1
1
1 0 2
2
1
0 1 1
1
1
2
1
3
2
2
XA B X BA 1 X
2 5 6
1
6
0
1 1
1
2
1
1
6 7 4
1
12 14 9
1
4
.
Vaäy X
12 14 9
2
Ví dụ 1.19 Tìm ma trận X thỏa:
7
1
1 1 2 1 1 2
X
2 1 0 2 2 4
3
Giải
2
7
1
1 1 2 1 1 2
X
2 1 0 2 2 4
3
2
7
1
1 1 2 1 1 2
X
2 2 4 2 1 0
3
TOÁN CAO CẤP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang
19
0 2 0
2 1
(*)
X
7 3
0 1 4
A
3
p dụng phương pháp định thức ta tính được det A 1 và PA
1
Suy ra A 1
1 3 1 3
1 7 2 7
7
2
1
.
2
0 2 0
0 2 0
A 1 AX A 1
(*) AX
0
1
4
0
1
4
3
X
7
1 0 2 0 0 5 4
=
2 0 1 4 0 12 8
0 5
Vaäy X =
0 12
4
.
8
3.5 . Ứng dụng ma trận đảo giải hệ phương trình tuyến tính
1 1 2
Ví dụ 1.20 Cho ma trận A 1 2 1
2 3 2
a) Chứng minh A khả nghịch và tìm ma tận đảo A 1 .
b) p dụng kết quả câu (a) giải các hệ phương trình sau (m là tham số):
x1
x1
2 x
1
x2
2x2
3x 2
x1
x
1
2 x3
x3
2 x3
4x2
3x3
2x2
x2
x3
x3
x1
x1
2 x
1
1
m (1)
1
x2
2x2
x2
2 x3
3x3
2 x3
1
m (2)
1
1
m (3)
1
Giaûi
1 1 2
a) det A 1 2 1 1 0 nên A khả nghịch.
2 3 2
p dụng phương pháp Gauss-Jordan:
TOÁN CAO CẤP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang
20
1 1 2 1 0 0
1
h2 h1;h32h1
0
A I 1 2 1 0 1 0
2 3 2 0 0 1
0
1 0 3 2 1 0
1
h1 3h3
h2 h3
0 1 1 1 1 0
0
( 1) h3
0 0 1 1 1 1
0
1 4 3
1
2 1 .
Suy ra A 0
1
1
1
x1
1
b) Đặt X x 2 , B m
x
1
3
x 2 2 x3 1
x1
1 1
x1 2 x 2 x 3 m (1) 1 2
2 x 3 x 2 x 1
2 3
2
3
1
x1 1
1
A
A X A 1 B x 2 0
I
x
3 1
x1 2 4m
Suy ra x 2 2m 1 .
x
m
3
4
2
1
1
2 1
0 0
h h ;h h
1 1 1 1 0
1 22 0
0 0 1 4
1
1
2
3
2
3
1 0 0
2
1
0 1 1
1
1
2 x1 1
1 x 2 = m AX B
2 x 3 1
3 1 2 4m
1 m = 2m 1
1 1 m
x 2 2 x3 1
x1
1 1 2 x1
x1 2 x 2 3 x 3 m (2) 1 2 3 x 2 =
2 x
2 1 2 x
1 x 2 2 x3 1
3
T 1 T
T 1
1 T
(A ) A X (A ) B X (A ) B
1
T
m A X B
1
I
1
x1 1 0
1
x2 4 2
x
1 1
3 3
0
x1
Suy ra x 2 2m 3 .
x 2 m
3
1
m =
1
0
2m 3
2m
TOAÙN CAO CAÁP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang
21
x1
x
1
4x2
3x3
2x2
x2
x3
x3
1
m (3)
1
x1 1 1
AA
X AB x 2 1 2
I
x 2 3
3
1
1 4 3 x1
0
2 1 x 2 =
1
x3
1
1
2 1 3 m
1 m = 2 2m
2 1 4 3m
1
1
m A X B
1
x1 3 m
Suy ra x 2 2 2m .
x 4 3m
3
BÀI TẬP
Bài 1.1 Thực hiện các phép toán ma trận.
1
6
a)
0
2
3
2
5
4
5 2 11 5
1
3
2
1
1
b)
2 1 2
4 1 3 2 c) 1 4 9 3 d)
0
2
0 7 3 2
1 2 1
0
3
5
1
3
2 1 1
2 1 0
; B
; C 2 . Tính (2A + 3B)C.
e) A
0 1 4
3 2 2
1
2 1
2
; f(x) = 3x + 2x - 4. Tính f(A)
0 3
f) A =
1 an
, a R vaø n N.
0 1
g)
Baøi 1.2
6 4
x y
x y x
=
+
3
z w 1 2w z w
1 2
2 3
, B =
.
b) Tính AB -BA neáu : A =
4 1
4 1
2 1
c) Tìm tất cả các ma trận cấp 2 giao hoán với ma trận A =
0 1
a) Tìm các số x, y, z, w nếu: 3
1 1 3
Bài 1.3 Cho các ma trận A = 1 2 2 , B =
2 2 5
, C =
a) Tính 5A -BC, (AB)C , CTBTAT.
b) Tính f(A) biết f(x) = 2x2 + 3x + 5 -
.
x
Baøi 1.4 Cho ma trận A = . Tìm ma trận nghịch đảo A -1
TOÁN CAO CAÁP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang
22
bằng phương pháp Gauss- Jordan ( phươmg pháp biến đổi sơ cấp hàng ma trận)
và áp dụng kết quả đó giải các hệ phương trình sau:
x y z x y z
1) x y z 2) x y z
x y z m x y z m
x y z
3) x y z
x y z m
Baøi 1.5 Cho ma traän A = . Tìm ma trận nghịch đảo A-1 bằng
cách sử dụng định thức và áp dụng kết quả đó giải các hệ phương trình sau:
x y z 3 x 2 y 3 z 4
3 x 4 y 5 z m
1) x y z 2) 4 x 3 y 5 z 5 3) 2 x 3 y z 2
3 x 5 y z 1
x
y
z m 5 x
y z 8
Bài 1.6 Tìm ma trận X trong các trường hợp sau:
1 2
3 0
. X
;
3 4
7 2
1)
3 2 1 2
;
2 1 1 1
. X.
2) X .
5) X
2 1
1 1 1 1
4)
. X X .
1 2
1 1 1 1
1 1 1 1 1 3
6) X 2 1 0 4 3 2
1 1 1 1 2 5
3)
=3
7) X
=
Baøi 1.7 Tính các định thức sau:
1) ;
ax
x
5) x b x
x
x
2) ;
x
x
cx
x
; 6) xy
xz
x y z
3)
;
4)
z
xy
xz
y
yz ;
yz
z
7)
x z y
;
y y x
a
a'
z x
a
a'
b
b
b'
b'
ab a' b ab' a' b'
TOÁN CAO CẤP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang
23
8)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
a x x ....... x x
....... n n
x a x ....... x x
....... n n
x x a ........ x x
........ n n
9)
; 10)
................................
......................................
x
x x x ........ a x
............ n
x x x ........ x a
........ n
Bài 1.8 Tìm hạng các ma trận sau (biện luận theo m):
1)
2)
m
3)
m
4)
1 7
0 4
2 2
3 1
5 3 2
2 2 0
4 0 1
7 1 3
Bài 1.9 Chứng minh rằng:
a) Nếu A, B là các ma trận vuông khả nghịch cấp n và AB = BA thì
A-1B-1 = B-1A-1
b) Nếu A1, A2, …., Ak là các ma trận vuông khả nghịch cấp n thì (A1.A2 ….Ak)-1
= A k1 .A k11 ......A 21 .A11
Bài 1.10
m
1) Cho ma traän A = m . Tìm các giá trị của m để r(A) = 2.
m
2) Cho ma trận A =
. Tìm các giá trị m để r(A) = 3.
m
Bài 1.11 Tìm hạng các ma trậnsau:
5 1
1 3
2 1 3 4
a)
5 1 1 7
9
1
7 7
2
4
0
5
2 1 3 2 4
1 4
b) 4 2 5 1 7 c) 3 1
7
2 1 1 8 2
5 10
0
2
3
0
1 1 2
Baøi 1.12 Cho các ma trận: A = 1 2 3 , B =
1 1 1
2 1 2
3 4 5
3 2 6 , C = 2 3 1
1 1 7
3 5 1
a) Tìm A-1
TOÁN CAO CẤP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang
24
