Giaovienvietnam.com
CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
A. Các kiến thức thường sử dụng là:
+ Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số khơng âm a, b; ta có bất đẳng thức:

a+b
≥ ab ;
2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”.
2
+ Bất đẳng thức: ( ac + bd ) ≤ ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) (BĐT: Bunhiacopxki);
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

a b
= .
c d

+ a + b ≥ a + b ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0.
+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Nếu y = a + [ f ( x)] thì min y = a khi f(x) = 0.
2

Nếu y = a − [ f ( x)] thì max y = a khi f(x) = 0.
2

+ Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2).
B. CÁC DẠNG TỐN VÀ CÁCH GIẢI
•

Dạng 1: CÁC BÀI TỐN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC

Bài tốn 1: Tìm GTNN của các biểu thức:
a) A = 4 x 2 + 4 x + 11
b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)
c) C = x 2 − 2 x + y 2 − 4 y + 7
Giải:
a) A = 4 x + 4 x + 11 = 4 x + 4 x + 1 + 10 = ( 2 x + 1) + 10 ≥ 10
2

2

2

1
⇒ Min A = 10 khi x = − .
2

b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)
= (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 ≥ -36
⇒ Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5.

c) C = x 2 − 2 x + y 2 − 4 y + 7
= (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2 ≥ 2
⇒ Min C = 2 khi x = 1; y = 2.

Trang 1


Giaovienvietnam.com
Bài tốn 2: Tìm GTLN của các biểu thức:

a) A = 5 – 8x – x2
b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y

Giải:
a) A = 5 – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 ≤ 21
⇒ Max A = 21 khi x = -4.

b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y
= -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7
= -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7 ≤ 7
1
⇒ Max B = 7 khi x = 1, y = − .
2

Bài tốn 3: Tìm GTNN của:
a) M = x − 1 + x − 2 + x − 3 + x − 4
b) N = ( 2 x − 1) − 3 2 x − 1 + 2
2

Giải:
a) M = x − 1 + x − 2 + x − 3 + x − 4
Ta có:

x −1 + x − 4 = x −1 + 4 − x ≥ x −1+ 4 − x = 3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x) ≥ 0 hay 1 ≤ x ≤ 4
x − 2 + x −3 = x − 2 + 3− x ≥ x − 2+ 3− x =1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x) ≥ 0 hay 2 ≤ x ≤ 3
Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi 2 ≤ x ≤ 3 .

b) N = ( 2 x − 1) − 3 2 x − 1 + 2 = 2 x − 1 − 3 2 x − 1 + 2
2

2

Đặt t = 2 x − 1 thì t ≥ 0
1
1
⇒N ≥− .
4
4
3
3
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t − = 0 ⇔ t =
2
2
3
5


2x −1 =
x=


3
3
1
2 ⇒
4


Do đó N = − khi t = ⇒ 2 x − 1 = ⇒ 
2
2
4
2 x − 1 = − 3  x = − 1

2 
4

Do đó N = t2 – 3t + 2 = (t − 32 ) 2 −

Trang 2


Giaovienvietnam.com
1
4

Vậy min N = − ⇔ x =

5
1
hay x = − .
4
4

Bài toán 4: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3.
Giải:
M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2
2


x2 y2 x2
y2 1 2
y 
 x
= +
+ − xy +
= (x + y2 ) + 
−
÷
2
2
2
2 2
2
 2
1
⇒ M ≥ ( x2 + y 2 )
2

Ngoài ra: x + y = 1 ⇒ x2 + y2 + 2xy = 1 ⇒ 2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1
=> 2(x2 + y2) ≥ 1
1
1
1
và x 2 + y 2 = ⇔ x = y =
2
2
2
1

1
1 1 1
Ta có: M ≥ ( x 2 + y 2 ) và ( x 2 + y 2 ) ≥ ⇒ M ≥ . =
2
2
2 2 4
1
1
Do đó M ≥ và dấu “=” xảy ra ⇔ x = y =
4
2
1
1
Vậy GTNN của M = ⇔ x = y =
4
2

Do đó x 2 + y 2 ≥

Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện:
(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2.
Giải:
(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
⇔ [(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
⇔ x4 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
⇔ x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + 1 = 0
⇔ x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + 1 = -4x2
⇔ (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2


Đặt t = x2 + y2. Ta có: t2 – 3t + 1 = -4x2
Suy ra:

t2 – 3t + 1 ≤ 0

Trang 3


Giaovienvietnam.com
3
9 5
⇔ t 2 − 2. .t + − ≤ 0
2
4 4
2

3
5
 3 5
⇔ t − ÷ ≤ ⇔ t − ≤
2
2
 2 4
5
3
5
≤t− ≤
2
2 2
3− 5

3+ 5
⇔
≤t ≤
2
2
⇔−

Vì t = x2 + y2 nên :
3+ 5
2
3− 5
GTNN của x2 + y2 =
2

GTLN của x2 + y2 =

Bài toán 6: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
P = a + b + c – ab – bc – ca.
Giải:
Ta có:

P = a + b + c – ab – bc – ca
= (a – ab) + (b - bc) + (c – ca)
= a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) 0 (vì 0 ≤ a, b, c ≤ 1 )
Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = b = c = 0

Vậy GTNN của P = 0
Theo giả thiết ta có: 1 – a ≥ 0; 1 – b ≥ 0; 1 – c ≥ 0;
⇒ (1-a)(1-b)(1-c) = 1 + ab + bc + ca – a – b – c – abc ≥ 0
⇒ P = a + b + c – ab – bc – ac ≤ 1 − abc ≤ 1


Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý ∈ [ 0;1]
Vậy GTLN của P = 1.
Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.
Tìm GTLN và GTNN của x + y.
Giải:
Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 ≥ (x + y)2
⇔ 2(x2 + y2) ≥ (x + y)2

Mà

x2 + y2 = 1 ⇒ (x + y)2 ≤ 2
Trang 4


Giaovienvietnam.com
⇔ x+ y ≤ 2 ⇔ − 2 ≤ x+ y ≤ 2

- Xét x + y ≤ 2
x = y


Dấu “=” xảy ra ⇔ 

 x + y = 2

⇔x= y=

2
2


- Xét x + y ≥ − 2
x = y


Dấu “=” xảy ra ⇔ 

 x + y = − 2

⇔x= y=

Vậy x + y đạt GTNN là − 2 ⇔ x = y =

− 2
2

− 2
.
2

Bài toán 8: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 ≤ 27.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx.
Giải:
Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 ≥ 0 ⇔ 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx ≥ 0
⇒ (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 +2(xy + yz + zx) ≤ 3(x2 + y2 + z2) ≤ 81
⇒ x + y + z ≤ 9 (1)

Mà xy + yz + zx ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 27 (2)
Từ (1) và (2) => x + y + z + xy + yz + zx ≤ 36.
Vậy max P = 36 khi x = y = z = 3.

Đặt A = x + y + z và B = x2 + y2 + z2
A2 − B ( A + 1) 2 B + 1
B +1
=
−
≥−
2
2
2
2
B +1
≥ -14 ⇒ P ≥ -14
Vì B ≤ 27 ⇒ −
2
 x + y + z = −1
Vậy min P = -14 khi  2 2 2
 x + y + z = 27
⇒ P = A+

Hay x = − 13; y = 13; z = −1 .
Bài toán 9:
Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10 . Tìm giá trị của x và y
để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN. Tìm GTNN ấy.
Giải:
Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + 1
Trang 5


Giaovienvietnam.com
Đặt t = xy thì:

x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t
x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100
P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101

Do đó:

= (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2 + 45
⇒ P ≥ 45 và dấu “=” xảy ra ⇔ x + y =

10 và xy = 2.

Vậy GTNN của P = 45 ⇔ x + y = 10 và xy = 2.
Bài tốn 10:
Cho x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 + y2.
Giải:
Ta có: x + y = 2 ⇒ y = 2 – x
Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2
= x2 + 4 – 4x + x2
= 2x2 – 4x + 4
= 2( x2 – 2x) + 4
= 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2
Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1.
•

Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC

Bài tốn 1:
Tìm GTLN và GTNN của: y =

4x + 3

.
x2 + 1

Giải:
* Cách 1:
y=

4x + 3
−ax 2 + 4 x + 3 − a
=
a
+
x2 + 1
x2 + 1

Ta cần tìm a để −ax 2 + 4 x + 3 − a là bình phương của nhị thức.
 a = −1
a = 4

Ta phải có: ∆ ' = 4 + a(3 − a) = 0 ⇔ 
- Với a = -1 ta có:
y=

4x + 3
x2 + 4x + 4
( x + 2) 2
= −1 +
=
−
1

+
x +1
x2 + 1
x2 + 1

Trang 6


Giaovienvietnam.com
⇒ y ≥ −1. Dấu “=” xảy ra khi x = -2.

Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.
- Với a = 4 ta có:
4x + 3
-4x 2 + 4 x − 1
(2 x − 1) 2
= 4+
=
4
−
≤4
x +1
x2 + 1
x2 + 1
1
Dấu “=” xảy ra khi x = .
2
1
Vậy GTLN của y = 4 khi x = .
2

y=

* Cách 2:
Vì x2 + 1 ≠ 0 nên: y =

4x + 3
⇔ yx 2 − 4 x + y − 3 = 0 (1)
2
x +1

y là một giá trị của hàm số ⇔ (1) có nghiệm
- Nếu y = 0 thì (1) ⇔ x = −

3
4

- Nếu y ≠ 0 thì (1) có nghiệm

⇔ ∆ ' = 4 − y ( y − 3) ≥ 0 ⇔ ( y + 1)( y − 4) ≤ 0
 y +1 ≥ 0
 y +1 ≤ 0
⇔
hoặc 
y − 4 ≤ 0
y − 4 ≥ 0
⇔ −1 ≤ y ≤ 4

Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.
Vậy GTLN của y = 4 khi x =


1
.
2

Bài tốn 2: Tìm GTLN và GTNN của: A =

x2 − x + 1
.
x2 + x + 1

Giải:
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm:
x2 − x + 1
a= 2
(1)
x + x +1
1
2

Do x2 + x + 1 = x2 + 2. .x +

2

1 3 
1 3
+ =x+ ÷ + ≠ 0
4 4 
2 4

Nên (1) ⇔ ax2 + ax + a = x2 – x + 1 ⇔ (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2)

• Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0.
•

Trường hợp 2: Nếu a ≠ 1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là ∆ ≥ 0 , tức
là:
Trang 7


Giaovienvietnam.com
(a + 1) 2 − 4(a − 1)( a − 1) ≥ 0 ⇔ (a + 1 + 2a − 2)( a + 1 − 2a + 2) ≥ 0
1
⇔ (3a − 1)(a − 3) ≤ 0 ⇔ ≤ a ≤ 3( a ≠ 1)
3
−(a + 1)
a +1
1
Với a = hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là x = 2(a − 1) = 2(1 − a)
3
1
Với a = thì x = 1
3

Với a = 3 thì x = -1
Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có:
GTNN của A =

1
khi và chỉ khi x = 1
3


GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1
Bài toán 3:
a) Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
A = ( a + b + 1)( a 2 + b 2 ) +

4
.
a+b

b) Cho m, n là các số nguyên thỏa

1 1 1
+ = . Tìm GTLN của B = mn.
2m n 3

Giải:
a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 và b2
a 2 + b 2 ≥ 2 a 2b 2 = 2ab = 2 (vì ab = 1)
4
4
4
⇒ A = (a + b + 1)(a 2 + b 2 ) +
≥ 2(a + b + 1) +
= 2 + (a + b +
) + (a + b)
a+b
a+b
a+b
4
Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b và

.
a+b
4
4
≥ 2 (a + b).
=4
Ta có: (a + b) +
a+b
a +b

Mặt khác: a + b ≥ 2 ab = 2
Suy ra: A ≥ 2 + (a + b +

4
) + ( a + b) ≥ 2 + 4 + 2 = 8
a+b

Với a = b = 1 thì A = 8
Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1.
b) Vì

1 1 1
+ = nên trong hai số m, n phải có ít nhất một số dương. Nếu có một trong
2m n 3

hai số là âm thì B < 0. Vì ta tìm GTLN của B = mn nên ta chỉ xét trường hợp cả hai số
m, n cùng dương.
Trang 8



Giaovienvietnam.com
Ta có:

1 1 1
+ = ⇔ 3(2m + n) = 2mn ⇔ (2m − 3)(n − 3) = 9
2m n 3

Vì m, n ∈ N* nên n – 3 ≥ -2 và 2m – 3 ≥ -1.
Ta có: 9 =1.9 = 3.3 = 9.1; Do đó xảy ra:
 2m − 3 = 1  m = 2
⇔
và B = mn = 2.12 = 24
n − 3 = 9
n = 12
 2m − 3 = 1  m = 3
⇔
+ 
và B = mn = 3.6 = 18
n − 3 = 3
n = 6
 2m − 3 = 9
m = 6
⇔
+ 
và B = mn = 6.4 = 24
n − 3 = 1
n = 4
m = 2
m = 6
Vậy GTLN của B = 24 khi 

hay 
 n = 12
n = 4

+ 

Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1. Tìm GTNN của biểu
thức: A =

x2 + y 2
.
x− y

Giải:
x +y
x − 2 xy + y + 2 xy ( x − y ) 2 + 2 xy
=
=
x− y
x− y
x− y
2
( x − y ) + 2 xy
2
x− y
2
x− y
= x− y+
=
+

+
Do x > y và xy = 1 nên: A =
x− y
x− y
2
x− y
2

Ta có thể viết: A =

2

2

2

2

Vì x > y ⇒ x – y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số khơng âm, ta có:
x− y 2
x− y
.
+
2 x− y
2
x− y
2
2
Dấu “=” xảy ra ⇔ 2 = x − y ⇔ ( x − y) = 4 ⇔ ( x − y) = 2 (Do x – y > 0)
2

Từ đó: A ≥ 2 + = 3
2
x − y = 2
Vậy GTNN của A là 3 ⇔ 
 xy = 1
A ≥ 2.

 x = 1 + 2
 x = 1 − 2
⇔
hay 
Thỏa điều kiện xy = 1
 y = −1 + 2
 y = −1 − 2
1
Bài toán 5: Tìm GTLN của hàm số: y = 2
.
x + x +1

Giải:
Ta có thể viết:

1
1
y= 2
=
2
x + x +1 
1 3
x+ ÷ +

2 4


Trang 9


Giaovienvietnam.com
2

4
1
1 3 3

Vì  x + ÷ + ≥ . Do đó ta có: y ≤ . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = − .
3
2
2 4 4

4
−1
Vậy: GTLN của y = tại x =
3
2
1
Bài toán 6: Cho t > 0. Tìm GTNN của biểu thức: f (t ) = t + .
4t

Giải:
f (t ) = t +


Ta có thể viết:

1 4t + 1 (2t − 1) 2 + 4t (2t − 1) 2
=
=
=
+1
4t
4t
4t
4t
2

Vì t > 0 nên ta có: f (t ) ≥ 1
Dấu “=” xảy ra ⇔ 2t − 1 = 0 ⇔ t =

1
2

1
2

Vậy f(t) đạt GTNN là 1 tại t = .
Bài tốn 7: Tìm GTNN của biểu thức: g (t ) =

t 2 −1
.
t2 +1

Giải:

Ta có thể viết: g (t ) =

t −1
2
= 1− 2
2
t +1
t +1
2

g(t) đạt GTNN khi biểu thức

2
đạt GTLN. Nghĩa là t2 + 1 đạt GTNN
t +1
2

Ta có: t2 + 1 ≥ 1 ⇒ min (t2 + 1) = 1 tại t = 0 ⇔ min g(t) = 1 – 2 = -1
Vậy GTNN của g(x) là -1 tại t = 0.
Bài toán 8: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm GTNN của
1

1

1

biểu thức: E = x3 ( y + z ) + y 3 ( z + x) + z 3 ( x + y ) .
Giải:
1


1

1

1

Đặt a = x ; b = y ; c = z ⇒ abc = xyz = 1
1

1

Do đó: x + y = a + b ⇒ x + y = (a + b).xy ⇒ x + y = c (a + b)
Tương tự:

y + z = a(b + c)
z + x = b(c + a)

Trang 10


Giaovienvietnam.com
⇒E=

1
1
1
1
1
1
.

+ 3.
+ 3.
3
x ( y + z ) y ( z + x) z ( x + y)

1
1
1
a2
b2
c2
+ b3 .
+ c3 .
=
+
+
a (b + c )
b (c + a )
c (a + b) b + c c + a a + b
a
b
c
3
+
+
≥
Ta có:
(1)
b+c c+a a +b 2
= a3 .


Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z

x+ y+z
2
y+z−x
z+x− y
x+ y−z
⇒a=
;b =
;c =
2
2
2
a
b
c
y+z−x z+x− y x+ y−z
VT =
+
+
=
+
+
b+c c+a a+b
2x
2y
2z
1 y x 1 z x 1 z y 3
3 3

=  + ÷+  + ÷+  + ÷− ≥ 1 + 1 + 1 − =
2 x y 2 x z  2 y z  2
2 2
⇒ a+b+c =

Khi đó,

Nhân hai vế (1) với a + b + c > 0. Ta có:

a ( a + b + c ) b( a + b + c ) c ( a + b + c ) 3
+
+
≥ (a + b + c)
b+c
c+a
a +b
2
2
2
2
3
a
b
c
a + b + c 3 abc 3
3
⇒
+
+
≥

≥
= ⇒E≥
b+c c+a a+b
2
2
2
2
3
⇒ GTNN của E là
khi a = b = c = 1.
2

Bài toán 9: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: 4x2 + y2 = 1
2x + 3y
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: a = 2 x + y + 2 .
2x + 3y

Từ a = 2 x + y + 2

(*).

Giải:
⇒ a(2x+y+z) = 2x+3y
⇔ 2ax + ay + 2a – 2x +3y = 0
⇔ 2(a – 1)x + (a – 3)y = -2a (1)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (2x; y) và (a – 1; a – 3)
Ta có: 4a2 = [2x(a-1)+y(a-3)]2 ≤ (4x2+y2).[(a-1)2+(a-3)2]
=>


4a 2 = (a − 1) 2 + ( a − 3) 2 (vì 4x2+y2 = 1)

Do đó ta có: 4a 2 ≤ (a − 1)2 + (a − 3) 2 = a 2 − 2a + 1 + a 2 − 6a + 9
⇒ 2a 2 + 8a − 10 ≤ 0 ⇔ a 2 + 4a − 5 ≤ 0

Trang 11


Giaovienvietnam.com
a + 5 ≥ 0
⇔ (a − 1)(a + 5) ≤ 0 ⇔ 
(Vì a + 5 > a – 1) ⇔ 1 ≤ a ≤ 5
a − 1 ≤ 0

* Thay a = 1 vào (1) ta được: -2y = -2 ⇒ y = 1
Thay y = 1 vào (*) ta có: x = 0 ⇒ (x; y) = (0;1)
* Thay a = -5 vào (1) ta được: 2(-5 – 1)x + (-5 – 3)y = -2(-5)
⇒ −12 x − 8 y = 10 ⇔ 6 x + 4 y = −5 ⇒ y =

−6 x − 5
4

2

Thay vào (*) ta được:

 −6 x − 5 
4x + 
÷ =1
 4 

2

⇔ 100 x 2 + 60 x + 9 = 0 ⇒ x = −

3
4
 −3 −4 
⇒ y = − ⇒ ( x; y ) =  ; ÷
10
5
 10 5 

Vậy GTLN của a là 1 khi x = 0; y = 1.
GTNN của a là -5 khi x = −

3
4
;y=− .
10
5

Bài toán 10:
Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = 1.
Hãy tìm gái trị nhỏ nhất cảu biểu thức:
2

2

1 
1


M = x+ ÷ + y+ ÷
x 
y


Giải:
2

2

1 
1

Ta có: M =  x + ÷ +  y + ÷
x
y







1
1
2
2
= x + x2 + 2 + y + y 2 + 2
x2 + y 2

1 
2
2 
2
2
= 4 + x + y + 2 2 = 4 + ( x + y ) 1 + 2 2 ÷
x y
 x y 

Vì x, y > 0 nên ta có thể viết:

(

x− y

)

2

≥ 0 <=> x + y ≥ 2 xy
1

1

Mà x + y = 1 nên 1 ≥ 2 xy <=> xy ≥ 2 <=> x 2 y 2 ≥ 16 (1)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y =

1
2


Ngồi ra ta cũng có:
( x − y ) 2 ≥ 0 ⇔ x 2 + y 2 ≥ 2 xy ⇔ 2( x 2 + y 2 ) ≥ 2 xy + x 2 + y 2

Trang 12


Giaovienvietnam.com
⇔ 2( x 2 + y 2 ) ≥ ( x + y )2 ⇔ 2( x 2 + y 2 ) ≥ 1 (vì x + y = 1)
1
⇔ x2 + y 2 ≥
(2)
2
1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y =
2

Từ (1) và (2) cho ta:
M = 4 + ( x 2 + y 2 )(1 +

Do đó: M ≥

1
1
25
) ≥ 4 + (1 + 16) =
2
x y
2
2
2


25
2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đồng thời ở (1) và (2) cùng xảy ra dấu “=” nghĩa là khi
x= y=

1
2

Vậy GTNN của M =

25
1
khi và chỉ khi x = y = .
2
2

* Dạng 3: CÁC BÀI TỐN MÀ BIỂU THỨC CHO CĨ CHỨA CĂN THỨC.
Bài tốn 1: Tìm GTLN của hàm số: y = x − 2 + 4 − x .
Giải:
* Cách 1:
x − 2 ≥ 0
⇔ 2 ≤ x ≤ 4(*)
4 − x ≥ 0

Điều kiện: 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
a b

= .
c d

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Chọn a = x − 2; c = 1; b = 4 − x ; d = 1 với 2 ≤ x ≤ 4
Ta có:

(

)

(

≤  x−2

⇔ y 2 ≤ ( x − 2 ) + ( 4 − x )  .2
y2 =

x−2 + 4− x

2

) +(
2

)

2
4 − x  . ( 12 + 12 )



⇔ y2 ≤ 4 ⇔ y ≤ 2

Vì y > 0 nên ta có: 0 < y ≤ 2
Dấu “=” xảy ra ⇔ x − 2 = 4 − x ⇔ x − 2 = 4 − x ⇔ x = 3 (Thỏa mãn (*))
Vậy GTLN của y là 2 tại x = 3.
* Cách 2:
Ta có: y = x − 2 + 4 − x
Trang 13


Giaovienvietnam.com
x − 2 ≥ 0
⇔2≤ x≤4
4 − x ≥ 0

Điều kiện: 

Vì y > 0 nên y đạt GTLN khi và chỉ khi y2 đạt GTLN.
Ta có: y 2 = x − 2 + 4 − x + 2 ( x − 2)(4 − x) ⇔ y 2 = 2 + 2 ( x − 2)(4 − x)
x − 2 ≥ 0
nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm
4 − x ≥ 0

Do 2 ≤ x ≤ 4 ⇒ 

cho ta: 2 ( x − 2)(4 − x) ≤ ( x − 2) + (4 − x) = 2
Do đó y 2 ≤ 2 + 2 = 4
Dấu “=” xảy ra ⇔ x − 2 = 4 − x ⇔ x = 3 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy GTLN của hàm số y là 2 tại x = 3.
Bài tốn 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = 3 x − 1 + 4 5 − x (1 ≤ x ≤ 5) .
Giải:
a) GTLN:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số:
(3; 4) và ( ( x − 1; 5 − x ) ta có:
y 2 = (3. x − 1 + 4. 5 − x )2 ≤ (32 + 42 ). 


(

) (
2

x −1 +

)

2
5 − x  = 100


<=> y 2 ≤ 100
=> y ≤ 10
Dấu “=” xảy ra <=

x −1 5 − x
x −1
5− x
=

−
hay
9
16
3
4

61
(thỏa mãn điều kiện)
25
61
Vậy GTLN của y là10 khi x =
25

=> x =

* b) Gía trị nhỏ nhất:
Ta có: y = 3 x − 1 + 4 5 − x = 3 x − 1 + 3 5 − x + 5 − x
= 3( x −1 + 5 − x ) + 5 − x
Đặt: A = x − 1 + 5 − x thì t2 = 4 + 2 ( x − 1) ( 5 − x )

≥ 4

=> A ≥ 2 và dấu “=” xảy ra khi x = 1 hoặc x = 5
Vậy y ≥ 3 . 2 + 0 = 6
Dấu “=” xảy ra khi x = 5
Trang 14


Giaovienvietnam.com

Do đó GTNN của y là 6 khi x = 5
Bài toán 3: GTNN của y là 6 khi x = 5
Tìm GTNN của biểu thức: M = ( x − 1994 ) + ( x + 1995) 2
2

Giải:
M = ( x − 1994 ) + ( x + 1995) 2 = x − 1994 + x + 1995
2

Áp dụng bất đẳng thức: a + b ≥ a + b ta có:
M = x − 1994 + x + 1995 = x − 1994 + 1995 + x
=> M ≥ x − 1994 + 1995 − x = 1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1994) . (1995 – x) ≥ 0
<=> 1994 ≤ x ≤ 1995
Vậy GTNN của M = 1  1994 ≤ x ≤ 1995
Bài tốn 4:
Tìm GTNN của B = 3a + 4 1 − a 2 với -1 ≤ a ≤ 1
Giải:
3
5

B = 3a + 4 1 − a 2 = 5 × ×a + 5 ×

16
2
×( 1 − a )
25

Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không õm cho ta
2


3 2
16
2
ìa
+ ( 1 a)

ữ
3
16
2
5
5 ì ìa + 5
×( 1 − a ) ≤ 5 × 
+ 5 ×25
5
25
2
2
2
2
 9 + 25a + 41 − 25a 
=> B 5 ì
ữ= 5
2 ì25



=> Do ú B 5 và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi.
3


 a = 5
3

<=> a =
5
 16 = 1 − a 2
 25

Vậy GTNN của B = 5 <=> a =

3
5

Bài toán 5:
Tìm GTNN của biểu thức:

Trang 15


Giaovienvietnam.com
A=

3
2 + 2x − x2 + 7

Giải:

Điều kiện: 2 x − x + 7 ≥ 0 <=> − ( x − 2 x + 1) + 8 ≥ 0
2


2

<=> -(x-1)2 + 8 ≥ 0 <=> ( x − 1) ≤ 8
2

<=> −2 2 ≤ x − 1 ≤ 2 2
<=> 1 − 2 2 ≤ x ≤ 2 2 + 1

Với điều kiện này ta viết:
2 x − x 2 + 7 = − ( x − 1) + 8 ≤ 8 => 2 x − x 2 + 7 ≤ 8 = 2 2
2

2
=> 2 + 2 x − x + 7 ≤ 2 + 2 2 = 2 ( 2 + 1)

Do đó:
1
2 + 2x − x2 + 7

Vậy A ≥ 3 ×

≥

2

1

(


)

2 +1

=

2 −1
2

2 −1
và dấu “=” xảy ra <=> x -1 = 0
2
3
2

Vậy GTNN của A =

(

<=> x = 1 (thỏa mãn điều kiện)

)

2 − 1 <=> x = 1

Bài tốn 6:
Tìm GTNN của biểu thức: A =

5 − 3x
1 − x2


Giải:
Điều kiện: 1 – x2 > 0 <=> x2 < 1 <=> - 1 < x < 1
=> A > 0 => GTNN của A  A2 đạt GTNN.
Ta có: A2 =

(

( 5 − 3x )
1 − x2

2

)

25 − 30 x + 9 x 2 ( 3 − 5 x )
=
=
+ 16 ≥ 16
1 − x2
1 − x2
2

2

Vậy GTNN của A = 4 khi x =

3
5


Bài toán 7: Cho x > 0 ; y = 0 thỏa mãn x + y ≤ 1
Tìm GTNN của biểu thức: A = x × 1 − x 2
Giải:
Trang 16


Giaovienvietnam.com
Điều kiện: 1 – x2 ≥ 0 <=> −1 ≤ x ≤ 1
Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số: x2 ≥ 0 và 1 – x2 ≥ 0
Ta có: x2 + 1 – x2 ≥ 2 x 2 ( 1 − x 2 ) => 1 ≥ 2 × x × 1 − x 2

1
2
1
2
− 2
Vậy GTLN của A = khi x = × hay x =
2
2
2

<=>

1 ≥ 2 ×A => A ≤

Bài tốn 8:
Tìm GTLN của biểu thức: y =

x − 1996 + 1998 − x


Giải:
Biểu thức có nghĩa khi 1996 ≤ x ≤ 1998
Vì y ≥ 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện 1996 ≤ x ≤ 1998
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
2 ( x − 1996 ) ( 1998 − x ) ≤ ( x − 1996) + (1998 − x) = 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 1996 = 1998 – x
<=> x = 1997
Do đó y2 ≤ 4 => y ≤ 2
Vậy GTLN của y là 2 khi x = 1997
Bài toán 9:
Cho 0 ≤ x ≤ 1 . Tìm GTLN của biểu thức y = x + 2 ( 1 − x )
Giải:
1
Ta có: y = x + 2 ( 1 − x ) = x + 2 × ( 1 − x )
2

Vì 0 ≤ x ≤ 1 nên 1 – x ≥ 0
Áp dụng bất đẳng thức Cô si đối với 2 số:

1
và (1 – x) cho ta:
2

1
1
3
( 1− x) ≤ x + + ( 1− x) =
2
2
2

1
1
Dấu “=” xảy ra <=> = 1 − x => x =
2
2
3
1
Vậy GTLN của y là tại x =
2
2
y = x + 2×

Bài tốn 10:
Trang 17


Giaovienvietnam.com
Cho M = a + 3 − 4 a − 1 + a + 15 − 8 a − 1
Tìm TGNN của M
Giải:
M = a + 3 − 4 a − 1 + a + 15 − 8 a − 1
= a − 1 − 4 a − 1 + 4 + a − 1 − 8 a − 1 + 16
=

(

a −1 − 2

)


2

+

(

a −1 − 4

)

2

Điều kiện để M xác định là a – 1 ≥ 0 <=> a ≥ 1
Ta có: M = a − 1 − 2 + a − 1 − 4
Đặt x = a − 1 điều kiện x ≥ 0
Do đó: M = x − 2 + x − 4
Ta xét ba trường hợp sau:
1) Khi x ≤ 2 thì x − 2 = − ( x − 2 ) = 2 − x
Và x − 4 = − ( x − 4 ) = 4 − x
=> M = 2 – x + 4 – x = 6 – 2x ≥ 6 − 2.2 = 2
Vậy x < 2 thì M ≥ 2
2) Khi x ≥ 4 thì x − 2 = x − 2 và

x-4 =x-4

=> M = x − 2 + x − 4 = 2 x − 6 ≥ 2 ×4 − 6 = 2
Vậy x > 4 thì M ≥ 2
3) Khi 2 < x < 4 thì x − 2 = x − 2 và x − 4 = 4 − x
=> M = x – 2 + 4 – x = 2 (không phụ thuộc vào x)
Trong trường hợp này thì: 2 ≤ a − 1 < 4

<=> 4 ≤ a − 1 ≤ 16
<=> 5 ≤ a ≤ 17
Cả ba trường hợp cho ta kết luận:
GTNN của M = 2 tương ứng với: 5 ≤ a ≤ 17
C. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1:
Tìm GTNN của biểu thức: A = (2x – 3)2 – 7 với x ≤ −1
hoặc x ≥ 3 .
Gợi ý:
Trang 18


Giaovienvietnam.com
- Xét 2 trường hợp: x ≥ 3 và x ≤ -1
- Kết luận: Min A = 2 <=> x = 3
Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)2 – 7 ≥ −7 . Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x =

3
nhưng
2

giá trị không thỏa mãn x ≤ −1 , không thỏa mãn x ≥ 3 . Do đó khơng thể kết luận được
GTNN của A bằng – 7.
Bài 2:
Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình:
x2 – (2m – 1) x + (m – 2) = 0
Tìm các giá trị của m để x12 + x22 có giá trị nhỏ nhất
Gợi ý:
∆ = 4(m - 1 )2 + 5 > 0. Phương trình đã cho có nghiệm với mọi m theo hệ thức Vi-ét,


ta có:
x12 + x22 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 = (2m − 1) 2 − 2( m − 2) = 4m 2 − 6m + 5
2

3  11 11

=  2m − ÷ + ≥
2
4 4

11
3
=> Min ( ( x12 + x22 ) = với m =
4
4

Bài toán 3:
Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3. Tìm GTNN của E = x2 + 2y2
Gợi ý:
Rút x theo y và thế vào E
Bài tốn 4:
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x2 + y2
Biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = 4
Gợi ý:
Từ x2 + y2 – xy = 4 <=> 2x2 + 2y2 – 2xy = 8
<=> A + (x – y)2 = 8
<=> Max A = 8 khi x = y
Mặt khác:

2x2 + 2y2 = 8 + 2xy

Trang 19


Giaovienvietnam.com
<=> 3A = 8 + (x + y)2 ≥ 8
8
3

=> A ≥ => min A =

8
khi x = - y
3

Bài toán 5:
Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: M = x + 2y.
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức: Bunhiacôpxki
(x +2y)2 ≤ ( x 2 + 4 y 2 ) (12 + 12) = 50
<=> x + 2 y ≤ 50 <=> − 50 ≤ M ≤ 50
5
5
;y=
2
2 2
5
5
Min M = -5 2 khi x = ;y=2
2 2


Vậy Max M = 50 khi x =

Bài tóan 6:
Cho x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = 1. Tìm GTLN của biểu thức:
x

y

A = x4 + y 2 + x2 + y 4
Gợi ý:
Từ (x2 – y)2 ≥ 0 => x 4 + y 2 ≥ 2 x 2 y
x

x

1

=> x 4 + y 2 ≤ 2 x 2 y = 2
Tương tự:

y
1
≤
2
y +x
2
4

 x2 = y

 2
=> A ≤ 1 => Max A = 1 khi  y = x <=> x = y = 1
 xy = 1


Bài tóan 7:
Tìm GTNN của biểu thức:

A = x + 2 ( 1 + x + 1) + x + 2 ( 1 − x + 1)
Gợi ý:
B = x + 1 + 1 + 1 − x + 1 => Min B = 2 khi - 1 ≤ x ≤ 0
Trang 20


Giaovienvietnam.com
Bài tốn 8: Tìm GTNN của biểu thức:
B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước.
Gợi ý:

( a + b + c)
a+b+c 
2
2
2
Biểu diễn B = 3.  x −
÷ +( a +b +c ) −
3
3



2

a + b + c)
=> GTNN của B = (a2 + b2 + c2) - (

2

2

3

Bài tốn 9: Tìm GTNN của biểu thức:
P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x + 3y + 45
Gợi ý:
Biểu diễn P = (x – 6 – y)2 + 5(y – 1)2 + 4
Vậy Min P = 4 khi y = 1 ; x = 7
Bài toán 10: Tìm GTLN của biểu thức:
E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – 3
Gợi ý:
Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – 3 (y – 2)2
=> GTLN của E = 10  y = 2 ; x = 3
Bài tốn 11: Tìm GTLN của biểu thức: P = 2 x + 4 y + 5 ×z
Biết x, y, z là các biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169
Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Max P = 65 khi

x
2

=


y
4

=

z
5



 x = 265 


⇔  y = 525 


 z = 13 5 
5 


Bài tốn 12:
Tìm GTNN của biểu thức sau:
x2 + 1
x+2
−8
b) B = 2
3x + 2
x2 −1
c) C = 2

x +1

a) A =

Với x ≥ 0
Với mọi x
Với mọi x

Trang 21


Giaovienvietnam.com
Gợi ý:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta:
5
−4≥ 2 5−4
x+2
−8
1
1
≥ −4 (vì
≤ )
b) B = 2
2
3x + 2
3x + 2 2
2
2x
c) C = −1 + 2 ≥ −1 => Min C = - 1 khi x = 0
x +1


A = (x + 2) +

Bài tốn 13:
Tìm GTNN của biểu thức A =

x 2 − 2 x + 2000
;( x ≠ 0)
x2

Gợi ý:
2000 x 2 − 2 ×2000 x + 20002 ( x − 2000)2 + 1999 x 2
=
2000 x 2
2000 x 2
( x − 2000) 2 1999 1999
+
≥
=
2000 x 2
2000 2000
1999
Vậy Min A =
Khi x = 2000
2000

A=

Bài tốn 14:
Tìm GTNN của biểu thức:

4 x 4 + 16 x 3 + 56 x 2 + 80 x + 356
P=
x2 + 2 x + 5

Gợi ý:
Biểu diễn P = 4 ×( x 2 + 2 x + 5) +

256
≥ 64 (áp dụng BĐT Côsi)
x + 2x + 5
2

=> Min P = 64 khi x = 1 hoặc x = -3
Bài tốn 15:
x2 + 4 x + 4
Tìm GTNN của A =
x
2
x
B=
x −1
x2 + x + 2

với x > 0
với x > 1

C=

x2 + x + 1
 1

D = (1 + x) 1 + ÷ với x > 0
 x
x
5
+
E=
với 0 < x < 1
1− x x

Trang 22


Giaovienvietnam.com
F=

x
2
+
2 x −1

với x > 1

Gợi ý:
4
x

4
x

A = x+ + 4 ≥ 2 x × + 4 = 8 (vì x > 0)

=> Min A = 8 khi x = 2
B=

x2 −1 + 1
1
= 2 + ( x − 1) +
≥ 2 + 2 = 4 (vì x > 1)
x −1
x −1

=> Min B = 4 <=> x = 2
( x 2 + x + 1) + 1

2 × x2 + x + 1

≥
=2
x2 + x + 1
x2 + x + 1
1
 1
D = (1 + x) 1 + ÷ ≥ 2 x .2. = 4 (vì x > 0)
x
 x

C=

5( 1− x)
x
5 − 5x + 5x

x
x 5( 1− x)
+
=
+
+5≥ 2
×
+5 = 2 5 +5
1− x
x
1− x
x
1− x
x
x −1 +1
2
x −1
2
1
x −1 2
1
+
=
+
+ ≥2
×
+
F=
2
x −1

2
x −1 2
2 x −1 2
1
3
3
= +2=
=> Min F = khi x = 3.
2
2
2

E=

Bài 16: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
P=

8 x 2 + 6 xy
x2 + y2

Gợi ý:
( y + 3 x) 2
P = 9 - 2 2 − 1 ≥ −1
x +y
( x − 3 y)2
P= 9 - 2 2 ≤9
x +y

Bài 17: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y = 10
1


1

Tìm GTNN của biểu thức S = x + y
x+ y

10

Gợi ý: S = 1x + 1y = xy = x(10 − x)
S có GTNN <=> x(10-x) có GTLN <=> x = 5.
=> GTNN của S =

2
khi x = y = 5.
5

Bài 18: Tìm GTNN của biểu thức:
Trang 23


Giaovienvietnam.com
E = x2 + x + 1 + x2 − x + 1
Gợi ý:
Ta có E > 0 với mọi x
Xét E2 = 2 (x2 + 1 + x 4 + x 2 + 1) ≥ 4
=> Min E = 2 khi x = 0
Bài 19: Cho a và b là hai số thỏa mãn: a ≥ 3 ; a + b ≥ 5
Tìm GTNN của biểu thức S = a2 + b2
Gợi ý:
a+ b ≥ 5 => 2a + 2b ≥ 10 => 3a + 2b ≥ 13 (vì a ≥ 3)

2
2
2
=> 132 ≤ ( 3a + 2b ) ≤ 13 ( a + b )
=> Min S = 13
Bài 20:
Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – 2 = 0
Tìm m để cho x1 − x2 đạt GTNN.
Gợi ý:
∆ ' = (2m − 1) 2 + 1 > 0 => phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt x 1; x2.

Theo

định lý vi-ét ta có:
 x1 + x2 = 2m

2
 x1.x2 = −3m + 4m − 2

Do đó x1 − x2 = ( 4m − 2 ) + 4 ≥ 4 = 2
2

GTNN của x1 − x2 là 2 khi m =

m∈ R

1
2

Bài 21:

Tìm giá trị nhỏ nhất của:
y = x − 1 + x − 2 + ... + x − 1998
Gợi ý:
Ta có:

y = ( 1x − 1 + x − 1998 ) + ( x − 2 + x − 1997 ) + …+ ( x − 998 + x − 999 )
x − 1 + x − 1998 nhỏ nhất bằng 1997 khi x ∈ [ 1;1998]
x − 2 + x − 1997 nhỏ nhất bằng 1995 khi x ∈ [ 2;1997 ]

Trang 24


Giaovienvietnam.com
x − 998 + x − 1999 nhỏ nhất bằng 1 khi x ∈ [ 999;1000]

Vậy y đạt GTNN bằng 1 + 3 + …+ 1997
Số các số hạng của 1 + 3 + … + 1997 là (1997 – 1) : 2 + 1 = 999
Vậy Min y = 9992 khi 999 ≤ x ≤ 1000
Bài 22:
Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2
Với x, y, z, t là các số nguyên không âm , tìm gia strị nhỏ nhất của M và các giá trị
tương ứng của x, y, z, t. Biết rằng:
 x 2 − y 2 + t 2 = 21
 2
2
2
 x + 3 y + 4 z = 101

(1)
(2)


Gợi ý:
Theo giả thiết:

x2 – y2 + t2 = 21
x2 + 3y2 + 4z2 = 101
=> 2x2 + 2y2 + 4z2 + t2 = 122
=> 2M = 122 + t2

Do đó 2M ≥ 122 <=> M ≥ 61
Vậy Min M = 61 khi t = 0
Từ (1) => x > y ≥ 0 => x + y ≥ x − y ≥ 0
Do đó: (x + y )(x – y) = 21.1 = 7.3
Từ (2) => 3y2 ≤ 101 => y 2 ≤ 33 => 0 ≤ y ≤ 5
Ta chọn x = 5 ; y = 2 => z = 4
Vậy Min M = 61 tại x = 5 ; y = 2 ; z = 4; t = 0
Bài 23:
Cho phương trình: x4 + 2x2 +2ax – (a – 1)2 = 0

(1)

Tìm giá trị của a để nghiệm của phương trình đó:
a) Đạt GTNN.
b) Đạt gía trị lớn nhất.
Gợi ý:
Gọi m là nghiệm của phương trình (1) thì:
Trang 25