DS11Ch13PHUONG TRINH BAC HAI VA QUY VE BAC HAI VOI MOT HAM SO LUONG GIAC

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Lượng giác – ĐS và GT 11. Đây là trích 1 phần tài liệu gần 2000 trang của Thầy Đặng Việt Đông. Quý Thầy Cô mua trọn bộ File Word Toán 11 và 12 của Thầy Đặng Việt Đông giá 400k (lớp 11 là 200K, lớp 12 là 200K) thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 của ĐH Sư Phạm TPHCM. File Word liên hệ: 0937351107. Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Lượng giác – ĐS và GT 11. PHẦN I: ĐỀ BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ BẬC HAI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 1. Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác Dạng. Đặt. Điều kiện. asin 2 x  b sin x  c  0. t = sinx.  1 t 1. a cos2 x  b cos x  c  0. t = cosx.  1 t 1. a tan 2 x  b tan x  c  0. t = tanx.  x   k (k  Z ) 2. 2 t = cotx 2 a cot x  b cot x  c  0 t  sin x hoặ c t  sin x thì ñieà u kieä n : 0  t 1. Nếu đặt:. x k (k  Z ). B– BÀI TẬP Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác 2 2 A. 2sin x  sin 2 x  1 0. B. 2sin 2 x  sin 2 x 0. C.. cos 2 x  cos2 x  7 0.. 2 D. tan x  cot x  5 0.. 2 Câu 2: Nghiệm của phương trình sin x – sin x 0 thỏa điều kiện: 0  x   .  x 2. B. x  . C. x 0 . A.. D.. x .  2..  2 là: Câu 3: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2sin x  3sin x  1 0 thỏa điều kiện    5 x x x x 3 2 6 6 A. B. C. D. 2 Câu 4: Phương trình sin x  3sin x  4 0 có nghiệm là:  x   k 2 , k  Z 2 A. B. x   k 2 , k  Z 0 x . 2.  x   k , k  Z 2 C. x k , k  Z D.    x 2 2. Câu 5: Nghiệm của phương trình sin x  sin x 0 thỏa điều kiện: 2 File Word liên hệ: 0937351107. Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. x 0 .. B. x  .. C.. x. Lượng giác – ĐS và GT 11.  3..  x 2. D.. A. 2 0; 2  Câu 6: Trong  , phương trình sin x 1  cos x có tập nghiệm là      A.  ;  ; 2  . B.  0;   . C. 0; ;   . 2   2 .    D. 0; ;  ; 2  .  2 . 2 Câu 7: Phương trình: 2sin x  3 sin 2 x 2 có nghiệm là:      x  6  k 2  x  6  k ,k  ,k     x   k 2  x    k   2 2 A.  B.    x   k , k   x   k 2 , k   2 2 C. D.. 2 Câu 8: Nghiệm của phương trình sin x  4sin x  3 0 là :   x   k 2 , k   x   k 2 , k   2 2 A. B.  x   k 2 , k   2 C. D. x k 2 , k   2 Câu 9: Nghiệm của phương trình 5  5sin x  2cos x 0 là   k 2 , k   k  , k   k 2  , k   A. . B. . C. 2 . D.   k 2 , k   6 . 3 sin 2 x  2sin x  0 4 Câu 10: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: .   5 x   k 2 (k  ) x   k ; x   k (k  ) 6 6 6 A. . B. .  5   x   k ; x   k (k  ) x   k 2 ; x   k 2 (k  ) 6 6 6 6 C. . D. . 2 Câu 11: Phương trình 2sin x  sin x  3 0 có nghiệm là:     k , k    k 2 , k     k 2 , k   A. k , k   . B. 2 . C. 2 . D. 6 . Câu 12: Các họ nghiệm của phương trình cos 2 x  sin x 0 là  2   2   k ;  k 2 ; k   k ;  k 2 ; k   6 3 2 6 3 2 . B. A. ..  2   k ;  k 2 ; k   3 2 C. 6 ..  2  k ;  k 2 ; k   3 2 D. 6 .  0 x  2 2. Câu 13: Nghiệm của phương trình 2sin x – 3sin x 1 0 thỏa điều kiện:. File Word liên hệ: 0937351107. Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A x.  6..  x 4. B.. C.. x. Lượng giác – ĐS và GT 11.  2.. D.. x .  2.. A. 2. Câu 14: Nghiệm của phương trình 2sin x – 5sin x – 3 0 là:  7  5 x   k 2 ; x   k 2 x   k 2 ; x   k 2 6 6 3 6 A. . B. .   5 x   k ; x   k 2 x   k 2 ; x   k 2 2 4 4 . D. . C. 2 Câu 15: Nghiêm của pt sin x – sinx  2 là:.  x   k 2 . 2 A..  x   k . 2 B.. C.. Câu 16: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình:  x   k 2 (k  ) 6 A. .  5 x   k 2 ; x   k 2 (k  ) 6 6 C. .. x.   k 2 . 2. D. x k .. 3 0 4 .  5 x   k ; x   k (k  ) 6 6 B. .   x   k ; x   k (k  ) 6 6 D. .. sin 2 x  2sin x . 2 Câu 17: Nghiệm của phương trình cos x  sin x  1 0 là   x   k 2 , k   x   k , k   2 2 A. . B. .   x   k 2 , k   x   k 2 , k   2 2 C. . D. . 2 Câu 18: Nghiêm của phương trình sin x  sin x  2 là  x   k 2 , k   x  k  , k   2 A. . B. .. C.. x .   k 2 , k   2 ..  x   k , k   2 D. .. 2 Câu 19: Phương trình 2sin x  3sin x  2 0 có nghiệm là   k , k   A. k , k   . B. 2 .   5  k 2 , k    k 2 ;  k 2 , k   6 C. 2 . D. 6 .. 0x. 2.  2 là:. Câu 20: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2cos x  3sin x  3 0 thõa điều kiện    5 x x x x 3. 2. 6. 6 . A. B. C. D. 2 Câu 21: Nghiệm của phương trình 1  5sin x  2cos x 0 là. File Word liên hệ: 0937351107. Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Lượng giác – ĐS và GT 11.    x  6  k 2 ,k    x  5  k 2  6 B.  .    x  3  k 2 ,k    x  2  k 2  3 D.  ..    x  6  k 2 ,k    x    k 2  6 A.  .    x  3  k 2 ,k    x    k 2  3 C.  .. 2 Câu 22: Nghiệm của phương trình 5  5sin x  2cos x 0 là:   k 2 , k   A. k , k   . B. k 2 , k  . C. 2 ..   k 2 , k   D. 6 .. 2 Câu 23: Họ nghiệm của phương trình sin 2 x  2sin2x  1 0 là :       k  k  k 2   k 2 A. 4 . B. 4 . C. 4 . D. 4 . 2 Câu 24: Một họ nghiệm của phương trình cos 2 x  sin 2x  1 0 là       k k  k k 2. A. 2 . B. 3 . C. 2 D. 2 . Câu 25: Một họ nghiệm của phương trình 2 cos 2 x  3sin x  1 0 là  1  1   arcsin     k 2   arcsin     k 2  4  4 A. . B. .  1   1  1  arcsin     k  arcsin     k 2 2 2 4    4 C. . D. . 2    ;  Câu 26: Nghiệm của phương trình sin 2 x  2sin 2 x  1 0 trong khoảng   3    3    3   ;    ;   ;  4 . A.  4 B.  4 4  . C.  4 4  . 2 Câu 27: Giải phương trình: sin x  2sin x  3 0 .     k  k 2 k . B. 2 . C. 2 . A. 4 2 Câu 28: Giải phương trình lượng giác 4sin x  12cos x  7 0 có nghiệm là:     x   k 2 x  k x   k 4 4 2. 4 A. . B. C. .   5     cos 2  x    4 cos   x   3  6  2 có nghiệm là: Câu 29: Phương trình.    x  6  k 2   x   k 2  2 A.  ..    x  6  k 2   x  3  k 2  2 B.  ..    x  3  k 2   x  5  k 2  6 C.  .. là :   3   ;  4 . D.  4. D.. D.. .   k 2 2 .. x .   k 4 ..    x  3  k 2   x   k 2  4 D.  .    x    ;0  2 sin 2 x   2m  1 sinx  m 0  2 . Câu 30: Tìm m để phương trình có nghiệm File Word liên hệ: 0937351107. Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A.  1  m  0.. Lượng giác – ĐS và GT 11. B. 1  m  2.. C.  1  m  0. D. 0  m  1. 2 Câu 31: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: cos x  4 cos x  3 0 .  x   k 2 (k  ) x    k 2  ( k   ) 2 A. . B. . C. x k 2 (k  ) . D. x k (k  ) . 2 Câu 32: Giải phương trình 2cos x  3cos x  1 0     x   k 2 , k   k 2 ,   k 2 , k   3 . 3 A. . B.   x   k 2 , k   3 C. . D. x k 2 , k  . Câu 33: Phương trình cos 2 x  2cos x  11 0 có tập nghiệm là: x arccos   3  k 2 , k   x arccos   2   k 2 , k   A. , .  B. . x arccos   2   k 2 , k   C. . x arccos   3  k 2 , k   D. . Câu 34: Phương trình nào sau đây vô nghiệm: 2 A. sin x  3 0 . B. 2 cos x  cos x  1 0 . C. tan x  3 0 . D. 3sin x  2 0 . x x sin 2  2 cos  2 0 3 3 Câu 35: Phương trình: có nghiệm là: A. x k , k   B. x k 3 , k   C. x k 2 , k  D. x k 6 , k  . cos 2 2 x  cos 2 x . Câu 36: Phương trình : 2 x   k , k   3 A. .  x   k , k   6 C. .. 3 0 4 có nghiệm là.  x   k , k   3 B. .  x   k 2 , k   6 D. . 2 Câu 37: Nghiệm của phương trình cos x – cosx 0 thỏa điều kiện 0  x   :.  x 6. A..  x 2. B..  x 4. C.. x .  2.. D.  3 x 2 2 . Câu 38: Nghiệm của phương trình cos x  cos x 0 thỏa điều kiện: 2  3 3 x x x  x  . 3. 2 . 2 . B. C. D. A. 2 Câu 39: Nghiệm của phương trình 3cos x – 8cos x – 5 là:  x   k 2 x k . 2 B. x   k 2 . C. x k 2 . D. . A. Câu 40: Nghiệm của pt 2 cos 2 x  2 cos x – 2 0 File Word liên hệ: 0937351107. Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Lượng giác – ĐS và GT 11.   x   k x   k 2 3 4 B. C. 2 Câu 41: Phương trình 2cos x  3cos x  2 0 có nghiệm là     k 2 , k     k 2 , k   A. 6 . B. 3 . 2    k 2 , k    k 2 , k   3 C. . D. 3 .  x   k 2 4 A.. 2 Câu 42: Phương trình lượng giác: sin x  3cos x  4 0 có nghiệm là   x   k 2 , k   x   k , k   2 6 A. B. x    k 2 , k   C..  x   k 3 D.. D. Vô nghiệm. 2. Câu 43: Phương trình lượng giác: cos x  2cos x  3 0 có nghiệm là  x   k 2 , k   x  k 2  , k  2 A. B. x 0 C. D. Vô nghiệm 3 sin 2 2 x  2 cos 2 x  0 4 Câu 44: Phương trình có nghiệm là   x   k , k   x   k , k   6 4 A. . B. .  2 x   k , k   x   k ,, k   3 3 C. . D. . 2 Câu 45: Họ nghiệm của phương trình cos 2 x  cos 2x  2 0 là   k   k    k 2 A. 2 . B. 2 2 . C. 2 . 3cos 4 x  2 cos 2 x  5  0 Câu 46: Họ nghiệm của phương trình là   k 2 A. k 2 . B. 3 . C. k ..   k 2 D. 2 .. D.. .   k 2 3 .. 2. Câu 47: Các họ nghiệm của phương trình 3sin 2 x  3cos 2 x  3 0 là       k ;  k k ;   k k ;  k k  ;   k 4 2. 4 2. 4 4 A. B. C. . D. .        3 3  2 cos 2  2 x    3cos  2 x    5 0 ;   3 3 2 2       Câu 48: Nghiệm của phương trình trong khoảng là:  7  5   7  5   7  5   7  5  ; ;  ; ; ; ;    ; ;     6 6  . D.  6 6 6 . 6 6  A.  6 6 6  . B.  6 C.  6 . 2 Câu 49: Giải phương trình 3cos x  2 cos x  5 0 .  x   k 2 A. x k . B. . 2.  x   k 2 2 C. .. 2. Câu 50: Phương trình sin x  sin 2 x 1 có nghiệm là:. File Word liên hệ: 0937351107. Trang 7. D. x k 2 ..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A.    x  2  k (k  )   x   k  6 A.  .     x 12  k 3   x    k  3 C.  .. Lượng giác – ĐS và GT 11.     x 3 k 2   x    k  4 B.  .. D. Vô nghiệm.. 2. Câu 51: Phương trình tan x  5 tan x  6 0 có nghiệm là:  x   k ; x x arctan( 6)  k =  k   x = 4 A.  x   k 2 ;x x arctan( 6)  k 2 =  k   x = 4 C.  x   k ;x x arctan( 6)  k 2 =  k   4 B. x k ;x x arctan( 6)  k =  k   . D. 3 tan 2 x  1  3 tan x  1 0 Câu 52: Giải phương trình     x   k , x   k , k   x   k 2 , x   k 2 , k   4 6 3 4 A. . B. .     x   k 2 , x   k 2 , k   x   k , x   k , k   4 6 3 6 C. . D. . tan x  3cot x  4 k   Câu 53: Phương trình (với. .) có nghiệm là:    k 2 , arctan 3  k 2  k A. 4 . B. 4 .   k , arctan 3  k C. arctan 4  k . D. 4 . tan x  3cot x  4 k   Câu 54: Phương trình (với ) có nghiệm là    k 2 , arctan 3  k 2  k A. 4 . B. 4 .   k , arctan 3  k C. arctan 4  k . D. 4 .. . Câu 55: Phương trình    x  4  k   x   k  3 A.  .. . 3 tan 2 x   3  3  tan x  3 0 có nghiệm là      x  4  k  x  4  k    x    k  x   k   3 3 B.  . C.  ..   x    x   D. . 2 Câu 56: Phương trình 2 tan x  3 tan x  1 0 có nghiệm là  1  k ; arctan( ) ( k  ) k  ( k   ) 2 A. . B. 4 .. File Word liên hệ: 0937351107. Trang 8.   k 4   k 3 ..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A.  1  k 2 , arctan( ) (k  ) 2 C. 2 .. . Lượng giác – ĐS và GT 11.  1  k ; arctan( )  k (k  ) 4 2 .. D. Câu 57: Một họ nghiệm của phương trình tan 2 x  3tan 2x  2 0 là         k  k  k k 2. 2. A. 8 . B. 8 . C. 8 D. 8 Câu 58: Họ nghiệm của phương trình 3 tan 2 x  2 cot 2 x  5 0 là     1 2  1 2   k k  arctan  k arctan  k 2. 2. 3 2. 3 2. A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 2 Câu 59: Trong các nghiệm sau, nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2 tan x  5 tan x  3 0 là :    5     3. B. 4 . C. 6 . D. 6 . A.      ;  2 tan x  2 cot x  3  0 Câu 60: Số nghiệm của phương trình trong khoảng  2  là : B. 1 . C. 4 . D. 3 . A. 2 . 2 Câu 61: Giải phương trình : tan x  2 tan x 1 0 .     k   k  k 2 2. A. 4 B. 4 . C. 2 . D. k . Câu 62: Nghiệm của phương trình tan x  cot x  2 là   x   k 2 , k   x  k 2 , k   4 4 A. . B. .   x   k , k   x  k , k   4 4 C. . D. . tan x 1    cot  x   2 4  có nghiệm là:  Câu 63: Phương trình 1  tan x 2 2.       x  k x  k x  k 6 2. 8 4. 12 3. B. C. D. 2 2  sin x  cos x  .cos x 3  cos 2 x Câu 64: Phương trình có nghiệm là:   x   k x   k 6 6 A. , k  . B. , k  .  x   k 2 3 C. , k  . D. Vô nghiệm. sin 3 x  cos 3x   5  sin x   cos 2 x  3 1  2 sin 2 x  Câu 65: Giải phương trình  .  x   k 3 A. .. . A.. x   k 2 3. . , k  .. B.. C.. 3. 6. , k  .. . . x   k. x   k 2. , k  .. D.. x   k 6. , k  .. 1 4 tan x cos 4 x  m 1  tan 2 x Câu 66: Cho phương trình 2 . Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m phải thỏa mãn điều kiện: File Word liên hệ: 0937351107. Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. 5 m 0 A. 2 . 3 1 m  2. C. . Lượng giác – ĐS và GT 11. B. 0  m 1 . 5 3 m   hay m  2 2. D.. 1 2   1  cot 2 x.cot x  0 4 cos x sin 2 x Câu 67: Phương trình: có các nghiệm là     x  k x  k 16 4 , k  . 12 4 , k  . A. B.     x  k x  k 8 4 , k  . 4 4 , k  . C. D. 48 . 2 Câu 68: Phương trình cos 2 x  sin x  2 cos x  1 0 có nghiệm là  x k 2   x   k 2 3 A.  , k  . B. x   k 2 , k   .    x  3  k    x    k x   k 2  3 3 C. , k  . D.  , k  .   3   cos 4 x  sin 4 x  cos  x   .sin  3 x    0 4 4 2   Câu 69: Phương trình: có nghiệm là:. A.. x k 2  k  . .. B.. x k 3  k  . ..  x   k  k   4 C. . D. . sin 3 x  cos 2 x  1  2sin x cos 2 x Câu 70: Phương trình tương đương với phương trình:  sin x 0   sin x 0  sin x 0  sin x  1  sin x 1  sin x  1 2. A.  . B.  . C.  D.  sin x 0   sin x  1  2. x k 4  k  . Câu 71: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 5 x  cos 2 x  2sin 3 x sin 2 x 0 trên A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 .   cos 4 x tan 2 x  0;  Câu 72: Số nghiệm của phương trình cos 2 x trong khoảng  2  là : B. 4 . C. 5 . D. 3 . A. 2 .. . cos x  cos x  2sin x   3sin x sin x  2 Câu 73: Nghiệm phương trình  x   k 2 4 A. . k  . File Word liên hệ: 0937351107. sin 2 x  1 B.. x . Trang 10.  1.   k 4 , k  ..  0; 2 . là.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Lượng giác – ĐS và GT 11. 3    k 2  k 2 x  x   k 2 4 4 4 C. , , k  . D. , k  . 2 Câu 74: Cho phương trình cos5 x cos x cos 4 x cos 2 x  3cos x  1 . Các nghiệm thuộc khoảng    ;   của phương trình là: 2   2      ,  ,  ,  , 3 3. A. B. 3 3 . C. 2 4 . D. 2 2 .   5   sin 4 x  sin 4  x    sin 4  x    4 4  4 có nghiệm là:   Câu 75: Phương trình: x .   x  k 8 4. A..    x  k x   k 4 2. 2 B. C. . D. x   k 2 .     cos  2 x    cos  2 x    4sin x 2  2  1  sin x  4 4   Câu 76: Phương trình: có nghiệm là:          x  6  k 2  x  3  k 2  x 12  k 2  x  4  k 2      x  5  k 2  x  2  k 2  x 11  k 2  x  3  k 2   6 3 12 4 A.  . B.  . C.  . D.  . sin 3x  cos 3x  3  cos 2 x   sin x   1  2sin 2 x  5 Câu 77: Cho phương trình:  . Các nghiệm của phương trình thuộc khoảng.  0;2  là:.  5 , A. 12 12 ..  5 , B. 6 6 ..  5 , C. 4 4 ..  5 , D. 3 3 .. sin 2 x  2  m  1 sin x cos x   m  1 cos 2 x m Câu 78: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình có nghiệm? A. 0 m 1 . B. m  1 . C. 0  m  1 . D. m 0 . sin 2 x  2  m  1 sin x  3m  m  2  0 Câu 79: Để phương trình: có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là: 1 1  1  1   2 m  2   3 m  3   2 m  1   1 m 1     A.  1 m 2 . B.  1 m 3 . C.  0 m 1 . D.  3 m 4 . 6 6 Câu 80: Để phương trình sin x  cos x a | sin 2 x | có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là: 1 1 3 1 1 0 a  a a a 8. 8. 4. 4. A. B. 8 C. D. 4 sin 4 x  cos4 x  8 sin 6 x  cos 6 x  4sin 2 4 x m Câu 81: Cho phương trình: trong đó m là tham số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là: 3  m  1 A.  1 m 0 . B. 2 . 3  2 m  2. C. D. m   2 hay m  0 .. . File Word liên hệ: 0937351107.  . . Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Lượng giác – ĐS và GT 11. sin 6 x  cos 6 x 2m.tan 2 x 2 2 Câu 82: Cho phương trình: cos x  sin x , trong đó m là tham số. Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là 1 1 1 1 m  m m  m 8 hay 8. 4 hay 4. A. B. 1 1 1 1 m m m m 8 hay 8. 4 hay 4. C. D.. File Word liên hệ: 0937351107. Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Lượng giác – ĐS và GT 11. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP. + Là phương trình có dạng lẻ.. f (sin x ,cos x) 0. trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng. k Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cos x 0 (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tan x . Phương trình đẳng cấp bậc hai: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1) Cách 1:  Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không?   x   k  sin2 x 1  sin x 1. 2 Lưu ý: cosx = 0. 2  Khi cos x  0 , chia hai vế phương trình (1) cho cos x 0 ta được:. a.tan 2 x  b.tan x  c  d (1  tan 2 x )  Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t: (a  d )t 2  b.t  c  d  0 Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 1  cos 2 x sin 2 x 1  cos 2 x (1)  a.  b.  c. d 2 2 2  b.sin 2 x  (c  a).cos2 x  2d  a  c (đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x). B– BÀI TẬP. KHÚC NÀY TÔI XÓA ĐI VÀ QUA LUÔN PHẦN HƯỚNG GIẢI CHI TIẾT ĐỂ ĐẢM BẢO BẢN QUYỀN, QUÝ THẦY CÔ MUA SẼ CÓ RẤT ĐẦY ĐỦ. File Word liên hệ: 0937351107. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Lượng giác – ĐS và GT 11. PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ BẬC HAI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 1. Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác Dạng. Đặt. Điều kiện. asin 2 x  b sin x  c  0. t = sinx.  1 t 1. a cos2 x  b cos x  c  0. t = cosx.  1 t 1. a tan 2 x  b tan x  c  0. t = tanx.  x   k (k  Z ) 2. 2 t = cotx 2 a cot x  b cot x  c  0 t  sin x hoặ c t  sin x thì ñieà u kieä n : 0  t 1. Nếu đặt:. x k (k  Z ). B– BÀI TẬP Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác 2 2 A. 2sin x  sin 2 x  1 0. B. 2sin 2 x  sin 2 x 0.. cos2 x  cos2 x  7 0. C. Hướng dẫn giải:. Chọn B.. 2 D. tan x  cot x  5 0.. 2 Câu 2: Nghiệm của phương trình sin x – sin x 0 thỏa điều kiện: 0  x   .  x 2. B. x  . C. x 0 . A. Hướng dẫn giải:: Chọn A.  x k  sin x 0 2 sin x – sin x 0      k    x   k 2 sin x  1   2  x 2. Vì 0  x   nên nghiệm của phương trình là. D.. x .  2..  2 là: Câu 3: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2sin x  3sin x  1 0 thỏa điều kiện    5 x x x x 3 2 6 6 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: Chọn C. 0 x . 2. File Word liên hệ: 0937351107. Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Lượng giác – ĐS và GT 11.  t 1 2t  3t  1 0    t 1 t sin x   1 t 1  2 Đặt , phương trình trở thành:  sin x 1  x   k 2  k   . 2 Với t 1 , ta có:    1 0   k 2   0 x  k  0. 2 nên 2 2 4 Do Vì k   nên không tồn tại k. 2.    x  6  k 2  1 1   x  5  k 2 t sin x  sin  6 2 , ta có: 2 6 Với .   0 x  x . 2 nên 6 Do   x 0 x  6 thỏa điều kiện 2. Vậy phương trình có nghiệm 2 Câu 4: Phương trình sin x  3sin x  4 0 có nghiệm là:  x   k 2 , k  Z 2 A. B. x   k 2 , k  Z  x   k , k  Z 2 C. x k , k  Z D. Hướng dẫn giải: Chọn A.  t 1  2 t sin x   1 t 1  t  4 (l ) . Đặt , phương trình trở thành: t  3t  4 0   x   k 2 2 Với t 1 , ta có: sin x 1.  k   .. 2. Câu 5: Nghiệm của phương trình sin x  sin x 0 thỏa điều kiện:  x x 0 . 3. B. x  . C. A. Hướng dẫn giải:: Chọn A.  x k  sin x 0    k    x    k 2 sin x  1  2 sin x  sin x 0  2    x 2 nên nghiệm của phương trình là x 0 . Vì 2. .   x 2 2.. 2 0; 2  Câu 6: Trong  , phương trình sin x 1  cos x có tập nghiệm là      A.  ;  ; 2  . B.  0;   . C. 0; ;   . 2   2 . Hướng dẫn giải:: File Word liên hệ: 0937351107. Trang 15.  x 2. D..    D. 0; ;  ; 2  .  2 .

<span class='text_page_counter'>(16)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Lượng giác – ĐS và GT 11. Chọn C..  x k  sin x 0 sin x 1  cos x  sin x sin x     k   .  x   k 2 sin x  1   2 2. 2.    Mà x   0; 2   x  0; ;  .  2  2 Câu 7: Phương trình: 2sin x  3 sin 2 x 2 có nghiệm là:      x  6  k 2  x  6  k ,k  ,k     x   k 2  x   k    2 2 A.  B.    x   k , k   x   k 2 , k   2 2 C. D. Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có :    1  cos 2 x  sin  2 x   sin  2.  3 sin 2 x 2 2 6 6 2sin x  3 sin 2 x 2  3 sin 2 x  cos 2 x 1  2      2 x    k 2  x   k     6 6 6   k   .  2 x  3  k 2    2 x    5  k 2    x   k    2 x   k 2 6 6 2 2 Câu 8: Nghiệm của phương trình sin x  4sin x  3 0 là :   x   k 2 , k   x   k 2 , k   2 2 A. B.  x   k 2 , k   2 C. D. x k 2 , k   Hướng dẫn giải:: Chọn C  sin x 1  sin 2 x  4sin x  3 0  sin x 3   x   k 2 , k   2 Với sin x 1 Phương trình sin x 3  1 vô nghiêm.. 2 Câu 9: Nghiệm của phương trình 5  5sin x  2cos x 0. B.. k , k   .. B. k 2 , k  ..   k 2 , k   C. 2 ..   k 2 , k   6 . Hướng dẫn giải:: Chọn C.. File Word liên hệ: 0937351107. Trang 16. là D..

<span class='text_page_counter'>(17)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Lượng giác – ĐS và GT 11.  sin x 1  2  sin x  7 2 2  5  5sin x  2 1  sin x  0 5  5sin x  2cos x 0   2sin x  5sin x  7 0  2  sin x 1  x   k 2 , k   2 Với 7 sin x    1 2 Phương trình vô nghiêm. 3 sin 2 x  2sin x  0 4 Câu 10: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: .   5 x   k 2 (k  ) x   k ; x   k (k  ) 6 6 6 A. . B. .  5   x   k 2 ; x   k 2 (k  ) x   k ; x   k (k  ) 6 6 6 6 C. . D. . Hướng dẫn giải::. . . Chọn C. 1   sin x  2  3  sin x  3 sin 2 x  2sin x  0  2 4    x  6  k 2  k  5 1  x   k 2 sin x   6 2 Với 3 sin x   1 2 Phương trình vô nghiêm. 2 Câu 11: Phương trình 2sin x  sin x  3 0 có nghiệm là:     k , k    k 2 , k     k 2 , k   A. k , k   . B. 2 . C. 2 . D. 6 . Hướng dẫn giải:: Chọn C.  sin x 1   sin x   3 2 2sin x  sin x  3 0  2   x   k 2 , k   2 Với sin x 1 3 sin x    1 2 Phương trình vô nghiêm. Câu 12: Các họ nghiệm của phương trình cos 2 x  sin x 0 là  2   2   k ;  k 2 ; k   k ;  k 2 ; k   6 3 2 6 3 2 . B. A. .. File Word liên hệ: 0937351107. Trang 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A.  2   k ;  k 2 ; k   3 2 C. 6 . Hướng dẫn giải: Chọn C.. Lượng giác – ĐS và GT 11.  2  k ;  k 2 ; k   3 2 D. 6 ..   x   k 2  2  sin x  1   2 cos 2 x  sin x 0  1  2sin x  sin x     x   k 2  k   1   sin x  6   2  x  5  k 2 6  Ta có .  0 x  2 2. Câu 13: Nghiệm của phương trình 2sin x – 3sin x 1 0 thỏa điều kiện:     x x x x  6. 4. 2. 2. B. C. D. A. Hướng dẫn giải:: Chọn A.    x  2  k 2   sin x 1      x   k 2  k   1   sin x  6   2  x 5  k 2 2 6  2sin x – 3sin x  1 0   x 0 x  6. 2 nên nghiệm của phương trình là Vì 2 Câu 14: Nghiệm của phương trình 2sin x – 5sin x – 3 0 là:  7  5 x   k 2 ; x   k 2 x   k 2 ; x   k 2 6 6 3 6 A. . B. .   5 x   k ; x   k 2 x   k 2 ; x   k 2 2 4 4 . D. . C. Hướng dẫn giải:: Chọn A.    sin x 3  1  x   k 2 6    k   1  sin x   x  7  k 2  2  6 2sin 2 x – 5sin x – 3 0 . 2 Câu 15: Nghiêm của pt sin x – sinx  2 là:.  x   k 2 . 2 A. Hướng dẫn giải::.  x   k . 2 B.. C.. x.   k 2 . 2. ChọnA. File Word liên hệ: 0937351107. Trang 18. D. x k ..

<span class='text_page_counter'>(19)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Lượng giác – ĐS và GT 11. t 1 Đặt t sin x . Điều kiện. tt2  tt 2  Phương trình trở thành:. 2.  t 1 ( TM)   2 0    t  2 (L).  t 1  sin x 1  x   k 2 (k  Z). 2 Với Câu 16: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình:  x   k 2 (k  ) 6 A. .  5 x   k 2 ; x   k 2 ( k  ) 6 6 C. . Hướng dẫn giải:: Chọn C. 3  sin x   3 2 sin 2 x  2sin x  0   4  sin x  1  2. 3 3 sin x   1 2 + vô nghiệm vì 2 .. 3 0 4 .  5 x   k ; x   k (k  ) 6 6 B. .   x   k ; x   k ( k  ) 6 6 D. .. sin 2 x  2sin x .   x   k 2  1  6 sin x   sin x sin   ,  k   2 6  x  5  k 2  6 + . 2 Câu 17: Nghiệm của phương trình cos x  sin x  1 0 là   x   k 2 , k   x   k , k   2 2 A. . B. .   x   k 2 , k   x   k 2 , k   2 2 C. . D. . Hướng dẫn giải: Chọn C cos 2 x  sin x  1 0  1  sin 2 x  sin x  1 0   sin 2 x  sin x  2 0  sin x  1    x   k 2 , k   sin x  2( vn )  2 2 Câu 18: Nghiêm của phương trình sin x  sin x  2 là. A. x k , k   .  x   k 2 , k   2 C. .. File Word liên hệ: 0937351107.  x   k 2 , k   2 B. .  x   k , k   2 D. .. Trang 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Lượng giác – ĐS và GT 11. Hướng dẫn giải: Chọn B  sin x 1    x   k 2 , k   2 2 sin x  sin x  2  sin x  sin x  2 0  sin x  2(vn) 2 2 Câu 19: Phương trình 2sin x  3sin x  2 0 có nghiệm là   k , k   A. k , k   . B. 2 .   5  k 2 , k    k 2 ;  k 2 , k   6 C. 2 . D. 6 . Hướng dẫn giải: Chọn D.   x   k 2  1  6  ,k  sin x    5 2   x   k 2  6 2sin 2 x  3sin x  2 0  sin x  2(vn) 0x. 2.  2 là:. Câu 20: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2cos x  3sin x  3 0 thõa điều kiện    5 x x x x 3. 2. 6. 6 . A. B. C. D. Hướng dẫn giải:: Chọn C . 2 2cos 2 x  3sin x  3 0  2 1  sin x  3sin x  3 0. . .   x k     x   k 2 , k    sin x 1  6    5  sin x  1  x   k 2 2 6  2sin x  3sin x  1 0   2 .   0x x 2 nên ta chọn 6. Do 2 Câu 21: Nghiệm của phương trình 1  5sin x  2 cos x 0    x  6  k 2 ,k    x    k 2  6 A.  . B.. File Word liên hệ: 0937351107. là    x  6  k 2 ,k    x  5  k 2  6 .. Trang 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Lượng giác – ĐS và GT 11.      x  3  k 2  x  3  k 2 ,k  ,k     x    k 2  x  2  k 2   3 3 C.  . D.  . Hướng dẫn giải:: Chọn B . 2 1  5sin x  2 cos 2 x 0  1  5sin x  2 1  sin x 0  2sin 2 x  5sin x  3 0   x   k 2 1   6 sin x    2   x  5  k 2   sin x  sin   sin x  3  VN  6 6 , k  .. . . 2 Câu 22: Nghiệm của phương trình 5  5sin x  2 cos x 0 là:    k 2 , k    k 2 , k   A. k , k   . B. k 2 , k  . C. 2 . D. 6 . Hướng dẫn giải:: Chọn C . 2 5  5sin x  2cos 2 x 0  5  5sin x  2 1  sin x 0  2sin 2 x  5sin x  3 0 .  sin x 1   sin x  3  VN   x   k 2 , k    2 2 .. . . 2 Câu 23: Họ nghiệm của phương trình sin 2 x  2sin2x  1 0 là :      k  k  k 2 A. 4 . B. 4 . C. 4 . Hướng dẫn giải:: Chọn B.   sin 2 2 x  2sin 2 x 1 0  sin 2 x 1  2 x   k 2  x   k  k  . 2 4 2 Câu 24: Một họ nghiệm của phương trình cos 2 x  sin 2x  1 0 là      k k  k 2. A. 2 . B. 3 . C. 2 Hướng dẫn giải:: Chọn D.  sin 2 x 1 cos 2 2 x  sin 2x  1 0   sin 2 2 x  sin 2x 0    sin 2 x 0 .   sin 2 x 1  2 x   k 2  x   k  k   . 2 4 +) k sin 2 x 0  2 x k  x  2  k   . +). D.. Câu 25: Một họ nghiệm của phương trình 2 cos 2 x  3sin x  1 0 là  1  1   arcsin     k 2   arcsin     k 2  4  4 A. . B. .. D.. File Word liên hệ: 0937351107. Trang 21. .   k 2 4 .. k.  2..

<span class='text_page_counter'>(22)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A.  1  1  arcsin     k  4 C. 2 2 . Hướng dẫn giải:: Chọn B.. Lượng giác – ĐS và GT 11.   1  arcsin     k  4 D. 2 ..  sin x 1 2 cos 2 x  3sin x  1 0  2  1  2sin x   3sin x  1 0   4sin x  3sin x  1    sin x  1  4.  sin x 1  x   k 2  k   . 2 +) 2. 2.   1 x arcsin     k 2  1  4 sin x    4   1  x   arcsin   4   k 2  k   +) . 2    ;   là : Câu 26: Nghiệm của phương trình sin 2 x  2sin 2 x  1 0 trong khoảng   3    3    3    3   ;    ;   ;   ;  4 . 4 . A.  4 B.  4 4  . C.  4 4  . D.  4 Hướng dẫn giải:: Chọn B. sin 2 2 x  sin 2 x  1 0  sin 2 x  1.  2 x .   k 2 2.  x .   k  k   4 ..   x    k 0  3 5 4    x   k      k      3  4 4 4  k 1 x  4 . Theo đề ra 2 Câu 27: Giải phương trình: sin x  2sin x  3 0 .     k  k 2 k . B. 2 . C. 2 . A. Hướng dẫn giải:: Chọn C. Phương trình:  sin x 1   sin x  3 sin 2 x  2sin x  3 0 . .  sin x 1  x   k 2  k   2 + .. D.. .   k 2 2 .. + sin x  3 phương trình vô nghiệm. 4 2 Câu 28: Giải phương trình lượng giác 4sin x 12 cos x  7 0 có nghiệm là:     x   k 2 x  k x   k 4 4 2. 4 A. . B. C. . Hướng dẫn giải::. File Word liên hệ: 0937351107. Trang 22. D.. x .   k 4 ..

<span class='text_page_counter'>(23)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Lượng giác – ĐS và GT 11. Chọn B. Ta có: 4sin 4 x  12 cos 2 x  7 0  4sin 4 x  12sin 2 x  5 0 ..    x  4  k 2   x  3  k 2  4  1  5  2  x    k 2  sin x  2  sin x  2  L  4     1 5   k  sin 2 x  1 sin x   x    k 2  x   ,  k     2 2  4  4 2 .     5 cos 2  x    4 cos   x   3  6  2 có nghiệm là: Câu 29: Phương trình.        x  3  k 2  x  6  k 2  x  6  k 2     x  5  k 2  x   k 2  x  3  k 2    6 2 2 A.  . B.  . C.  . D. Hướng dẫn giải:: Chọn A.       5    5  cos 2  x    4 cos   x    1  2sin 2  x    4 cos    x     3 3 3  2 .  6  2  2 .    x  3  k 2   x   k 2  4 ..   5   3      1  2sin 2  x    4sin  x     2sin 2  x    4sin  x    0 3 3 2 3 3 2     .    3      x    k 2 x   k 2  sin  x  3   2        3 6 6   sin  x   sin     ,  k    5    3 6  1    x    k 2 x   k 2  sin  x     3 6 2  3 2   .    x    ;0   2 . có nghiệm C.  1  m  0. D. 0  m  1.. 2 sin 2 x   2m  1 sinx  m 0. Câu 30: Tìm m để phương trình A.  1  m  0. B. 1  m  2. Hướng dẫn giải:: Chọn C.    x    ;0    1  sin x  0  2  Với 1  sin x    2  2 sin 2 x   2m  1 sinx  m 0  sin x m. 2 Câu 31: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: cos x  4 cos x  3 0 .  x   k 2 (k  ) x    k 2  ( k   ) 2 A. . B. . C. x k 2 (k  ) . D. x k ( k  ) .. File Word liên hệ: 0937351107. Trang 23.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Lượng giác – ĐS và GT 11. Hướng dẫn giải:: Chọn C..  cos x 1   x k 2  k    cos x 3  VN  cos2 x  4 cos x  3 0 . 2 Câu 32: Giải phương trình 2cos x  3cos x  1 0     x   k 2 , k   k 2 ,   k 2 , k   3 . 3 A. . B.   x   k 2 , k   3 C. . D. x k 2 , k  . Hướng dẫn giải:: Chọn B.  cos x 1   cos x  1 2 2cos x  3cos x  1 0  2 Với cos x 1  x k 2 , k   . 1  cos x   x   k 2 , k   2 3 Với Câu 33: Phương trình cos 2 x  2cos x  11 0 có tập nghiệm là: x arccos   3  k 2 , k   x arccos   2   k 2 , k   A. , .  B. . x arccos   2   k 2 , k   C. . x arccos   3  k 2 , k   D. . Hướng dẫn giải:: Chọn B.  cos x 3  2  cos x  2 vô nghiệm. cos 2 x  2cos x  11 0  2cos x  2cos x  12 0. Câu 34: Phương trình nào sau đây vô nghiệm: 2 A. sin x  3 0 . B. 2cos x  cos x  1 0 . C. tan x  3 0 . D. 3sin x  2 0 . Hướng dẫn giải:: Chọn A . sin x  3 0  sin x  3   1  PT vô nghiệm. x x sin 2  2 cos  2 0 3 3 Câu 35: Phương trình: có nghiệm là: x  k  , k   x  k 3  , k   A. B. C. x k 2 , k  D. x k 6 , k   Hướng dẫn giải: Chọn D. x  x x x x 2 x sin 2  2 cos  2 0   1  cos   2 cos  2 0  cos 2  2 cos  3 0 3 3  3 3 3 3 Ta có: .. File Word liên hệ: 0937351107. Trang 24.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Lượng giác – ĐS và GT 11. x   cos 3 1   cos x  3 (vn)  x k 2  x k 6  k   .  3 3 cos 2 2 x  cos 2 x . 3 0 4 có nghiệm là. Câu 36: Phương trình : 2  x   k , k   x   k , k   3 3 A. . B. .   x   k , k   x   k 2 , k   6 6 C. . D. . Hướng dẫn giải:: Chọn B . 1   cos 2 x  2  3  cos 2 x  3 (VN) 2 cos 2 x  cos 2 x  0  2 4     cos 2 x cos  2 x   k 2  x   k 3 3 6 2 Câu 37: Nghiệm của phương trình cos x – cosx 0 thỏa điều kiện 0  x   :.  x 6. A. Hướng dẫn giải: Chọn B..  x 2. B..  x 4. C.. D.. x .  2.. 2  cos x  cosx  1 0 Ta có cos x – cosx 0   x   k  cos x 0    k   2    cosx  1 0  x k 2. 1  1   k     2 k  0   k    2    k 0   k    2 1     0k   x  0  k 2    VN  2   2 Với 0  x    3 x 2 2 . Câu 38: Nghiệm của phương trình cos x  cos x 0 thỏa điều kiện: 2  3 3 x x x  x  . 3. 2 . 2 . B. C. D. A. Hướng dẫn giải:: Chọn A.   x   k  cos x 0     k   2  cos x  1  x   k 2 2  cos x  cos x 0. File Word liên hệ: 0937351107. Trang 25.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Lượng giác – ĐS và GT 11.  3 x 2 nên nghiệm của phương trình là x  . Vì 2 2 Câu 39: Nghiệm của phương trình 3cos x – 8cos x – 5 là: x k .. B. x   k 2 .. C. x k 2 ..  x   k 2 2 D. .. A. Hướng dẫn giải:: Chọn B.  cos x  1  3cos x  8cos x  5 0    x   k 2  k    cos x  5   1 3  3cos 2 x – 8cos x – 5 . Câu 40: Nghiệm của pt 2 cos 2 x  2 cos x – 2 0 2.  x   k 4 B..  x   k 2 4 A..  x   k 2 3 C..  x   k 3 D.. Hướng dẫn giải:: Chọn A 2 cos 2 x  2 cos x – 2 0.  2  2 cos 2 x  1  2 cos x – 2 0  4 cos 2 x  2 cos x  2   2  cos x  2   1 2  cos x   2. . 2 0.   loai . 2 Câu 41: Phương trình 2 cos x  3cos x  2 0 có nghiệm là     k 2 , k     k 2 , k   A. 6 . B. 3 . 2    k 2 , k    k 2 , k   3 C. . D. 3 .. Hướng dẫn giải: Chọn B 1  cos x    2    x   k 2 , k   2 2cos x  3cos x  2 0  cos x  2(vn) 3 . 2 Câu 42: Phương trình lượng giác: sin x  3cos x  4 0 có nghiệm là   x   k 2 , k   x   k , k   2 6 A. B. x    k 2 , k   C. Hướng dẫn giải:. File Word liên hệ: 0937351107. Trang 26. D. Vô nghiệm.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A. Lượng giác – ĐS và GT 11. Đây là trích 1 phần tài liệu gần 2000 trang của Thầy Đặng Việt Đông. Quý Thầy Cô mua trọn bộ File Word Toán 11 và 12 của Thầy Đặng Việt Đông giá 400k (lớp 11 là 200K, lớp 12 là 200K) thẻ cào Vietnam mobile liên hệ số máy Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc Gia + Ấn phẩm Casio 2018 của ĐH Sư Phạm TPHCM. File Word liên hệ: 0937351107. Trang 27.

<span class='text_page_counter'>(28)</span>