Tai lieu boi duong hoc sinh gioi Chuyen de 9 Ung dung tich phan Le Hoanh Pho

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ 9 - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Diện tích hình thang cong: Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a , x  b ( a  b ). Giả sử f là hàm số liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn  a; b  . Diện tích S của hình thang cong đó là: S  F  b   F  a  . Diện tích hình phẳng Từ định nghĩa tích phân, với y  f  x   0 và liên tục trên đoạn  a; b  thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị. y  f  x  , trục hoành và 2 đường thẳng x  a, x  b là: b. S   f  x  dx . a. Tương tự, diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị d. x  g  y  , trục tung và 2 đường thẳng y  c , y  d là: S y   g  y  dy . c. Mở rộng cho y  f  x  bất kỳ liên tục trên đoạn  a; b  thì diện tích giới hạn như trên là: S . b.  f  x  dx a. Đối với 2 đồ thị y  f  x  , y  g  x  liên tục trên đoạn  a; b  thì diện tích giới hạn bởi 2 đồ thị đó và 2 đường thẳng x  a , x  b là: b. S   f  x   g  x  dx a. Chú ý: - Xác định theo định nghĩa gồm 1 hàm y  f  x  và trục Ox, nếu chưa có hai biên thì phải tìm hoành độ giao điểm. - Xác định theo đồ thị thì phải đánh dấu miền diện tích giới hạn các biên. Phá dấu giá trị tuyệt đối thì xét dấu, chia miền so sánh hoặc dùng đồ thị trên dưới.. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

<span class='text_page_counter'>(2)</span> - Ngoài cách tính trực tiếp thì ta có thể chai ra nhiều phần diện tích để tính, lấy diện tích lớn trừ bớt phần dư hoặc đổi vai trò x và y; dựa vào tính đối xứng để tính gọn. Thể tích khối tròn xoay b. Thể tích vật thể tổng quát V  S  x  dx.  a. Thể tích khối tròn xoay: Khi quay hình phẳng giới hạn bởi. y  f  x  , y  0 (trục hoành) và x  a, x  b quanh trục b. . hoành: V   y 2 dx a. Tương tự, nếu quay quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi x  g  y  , x  0 và y  c, y  d thì có thể tích: d. V    x 2 dy . c. Chú ý: - Xác định theo công thức hình giới hạn bởi 1 hàm y  f  x  và trục Ox khi quay quanh trục Ox, nếu chưa có hai biên thì phải tìm hoành độ giao điểm. - Xác định hình theo đồ thị thì phải đánh dấu miền diện tích giới hạn các biên. - Ngoài cách tính trực tiếp thì ta có thể chai ra nhiều phần thể tích để tính tổng thể tích khối tròn xoay, liaasy thể tích lớn trừ bớt phần dư, dựa vào tính đối xứng để tính gọn.. 2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 9.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y   x  2  e2 x , trục hoành và 2 đường thẳng x  0, x  3 . Hướng dẫn giải 3. S    x  2  e2 x dx  0. 3. 3. 1  x  2 d  e2 x   30 3. 1 1 1 1 3   x  2  e2 x   e2 x dx   5e6  2    e6  1   3e6  1 (đvdt). 2 20 2 4 4 0 Bài toán 9.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:. y  x  x  1 x  2 và trục hoành.. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Hướng dẫn giải. y  0  x  1, x  0, x  2 2. S.  x  x  1 x  2 dx. 1. . . 0. 2. 1. 0. 3 2 3 2   x  x  2 x  dx     x  x  2 x  dx. 37 (đvdt). 12. Bài tập 9.3: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  của hàm số:. 2 x 2  10 x  12 y và trục hoành. x2 Hướng dẫn giải. y  0  x  1, x  6 Diện tích hình phẳng S cần tìm là: 6. S. . 1. 2 x 2  10 x  12 dx x2. 16     14  2 x   dx x  2   1 6.  14 x  x 2  16ln x  2 . 6 1.  63  16ln8 (đvdt). Bài toán 9.4: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số:. y  x 2  1 và y  5  x . Hướng dẫn giải Do tính đối xứng nên 3. . . S  2 5  x  x 2  1 dx 0. 3 1   2    5  x  1  x 2  dx    5  x  x 2  1 dx  1 0 . L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 3  1 3 1 2   1 3 1 2   73 (đvdt).   x  x  4 x     x  x  6 x    2 2 0  3  1  3  3. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài toán 9.5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: x  4  4 y 2 và x  1  y 4 . Hướng dẫn giải Do tính đối xứng nên S  2  S1  S2  1. 1  4  x 2 4 dx  2  dx  2 1  x     4  2 0 4. . 1. 16 8 56 (đvdt).   3 5 15.    4  y   1  y  dy 1. Cách khác: S  2. 4. 4. 0. Bài toán 9.6: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y 2  2 px, x 2  2 py  p  0  . Hướng dẫn giải Hoành độ giao điểm: 2.  x2     2 px  x  0, x  2 p  2p   x2  4 2 2 px  dx  p (đvdt)   0  2p  3. 2p. S. Bài toán 9.7: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong. y 2  x3 và y 2   2  x  . 2. Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của hệ phương trình:.  y 2  x3  2 3  y   2  x .  x3   2  x   x  1, y  1 3. 2 3. Nhánh nằm trên trục hoành của hai đường cong tương ứng là x  y và 2. y  2  y3 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Theo tính chất đối xứng thì 2 2    8 3 S  2   2  y   y 3 dy  (đvdt).   5  0   1. Bài toán 9.8: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y   x  1 3 3  4 x và trục hoành. Hướng dẫn giải Ta có: y   x  1. 3. 3  x  3  4x  0  4  x  1. 3  4 . Với x   ;1   x  1 3 3  4 x  0 Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 1. y   x  1 3 3  4 x và Ox: S    x  1 3 3  4 xdx 3 4. Đặt. 3. 3  4x  t  x . Khi x . 1 3 3  t 3  nên dx  t 2 dt .  4 4. 3  t  0; x  1  t  1 . 4 0. 3 3 1 1  9 (đvdt). S    t 3 1  t 3 dt    t 4  t 7   16 1 16  4 7  1 448 0. Bài toán 9.9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2 x  x 2 và trục hoành. Hướng dẫn giải. x  0 x  2. Cho y  0  x 2 x  x 2  0  . Vì x 2 x  x 2  0 với mọi x  0;2 nên diện tích giới hạn là: 2. 2. S   x 2 x  x dx   x 1   x  1 dx 2. 2. 0. 0.    ; thì dx  cos udu .  2 2 . Đặt x  1  sin u , u   . L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Khi x  0 thì u  . S.  2. , khi x  2 thì u . . . 2. 2.  1  sin u  cos u.cos udu   cos. . . 2. . 2.  2. . . 2. udu . 2.  cos u  d cos u  2. . 2. . . 2 1  cos 2u 1   u sin 2u  2   du  cos3 u    0    2 3 4   2 2    2. 2. 2. Vậy S .  2. 2. (đvdt).. Bài toán 9.10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f  x  . x2 2x x3 4 x và g  x     3 3 3 3. Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm. x3 4 x x 2 2 x f  x  g  x     3 3 3 3  x  x2  x  6  0  x1  2, x2  0, x3  3 Do đó: 3. S. . 2. 0. 3. 2. 0. f  x   g  x  dx    f  x   f  x dx    g  x   f  x dx. x3  x 2  6 x x3  x 2  6 x 16 21 253 (đvdt).  dx   dx    3 3 9 4 36 2 0 0. 3. Bài toán 9.11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x, y  1 và y . x2 trong miền 4. x  0, y  1 . Hướng dẫn giải Với x  0,0  y  1 thì x  y, x  2 y. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 1. . . S   2 y  y dy 0. 1.  4 32 1 2  5   y  y   (đvdt). 2 0 6 3. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Bài toán 9.12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  x 2 ,. y  4 x  4 và y  4 x  4 . Hướng dẫn giải Hai đường thẳng y  4 x  4 , y  4 x  4 là 2 tiếp tuyến của  P  : y  x 2. S. 0. 2. 2. 0. 2 2   x  4 x  4dx    x  4 x  4dx. 8 8 16 (đvdt).    3 3 3 Bài toán 9.13: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị:. y. x2 3x và y  x 1 4. Hướng dẫn giải.  x  1 x  0 3x x2   2  4 x 1 x  3  x  3x  0. Phương trình hoành độ giao điểm. 3x x2  Với x  0;3 thì . Diện tích hình giới hạn là 4 x 1 3. S 0. 3  3x 3x x2 x2   dx     dx 4 x 1 4 x  1  0. 3. 3x x2 3 1     dx   dx  x 2    x  1   dx = 4 x  1 8 x  1   0 0 0 0 3. 3. 3. 3. 3 27  1 2 15     x  x   ln x  1 0   2ln 2 (đvdt) 8 2 8 0. Bài toán 9.14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:. y  e x  1, y . 2 e 1 x. và x  ln 3. Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong:. ex  1 . 2 e 1 x.  ex  1  2  ex  1  x  0. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

<span class='text_page_counter'>(10)</span> ex  1  2 . Ta có ln 3. S. .  . ex  1 . 0. 2 e 1 x. ; x  0;ln 3 nên diện tích hình giới hạn là.  dx ex  1  2. Đặt t  e  1  dt . e x dx. x. 2 e 1 x.  dx . 2tdt t 2 1. Khi x  0  t  2; x  ln 3  2 ..  2  2tdt S    t  . 2  t  t 1 2 2. 2     2  t 2  1  dt  2 2.   2t  ln t  1  ln t  1 . 2 2. . 2. 1 . 1.   t  t  1  t  1  dt 2. . .  4  2 2  ln 9  6 2 (đvdt). Bài toán 9.15: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y  x 2  2 x và 2 tiếp tuyến qua B  2; 9  . Hướng dẫn giải Hai tiếp tuyến qua B là:. y  4 x  1 có tiếp điểm E  1;3 y  8x  25 có tiếp điểm F  5;15. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 2. 5. S  S1  S2    x  2 x   4 x  1 dx    x 2  2 x  8x  25dx  18 2. 1. 2. Bài toán 9.16: Tính diện tích của hình Elip (E) có phương trình đường biên:  E  :. x2 y 2   1. a 2 b2. Giải. x2 y 2 b 2 Ta có 2  2  1  y   a  x2 a b a. E. Phương trình của. trong góc phần tư thứ I là: y . b 2 a  x 2 . Theo tính đối xứng thì a. a. 4b S  4S1  a 2  x 2 dx  a 0 Đặt: x  a sin t , với 0  t .  2.  dx  a cos t.dt. Đổi cận: x  0  t  0; x  a  t   /2. S  4ab  0.  /2.  2ab  0.  2. . Khi đó:  /2.  /2. 0. 0. a  a sin t .cos tdt  4ab  cos t .cos tdt  4ab  cos 2 tdt 2. 2. 2.  /2. 1 1  cos 2t  dt  2ab  t  sin 2t    ab (đvdt)  2 0. Đặc biệt: khi a  b  R thì có diện tích hình tròn  R 2.  x2 3  y 2  1 và điểm A 1; Bài toán 9.17: Cho elip với PT:  nằm trên elip. Gọi d là tiếp tuyến với elip tại 4  2  A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d, trục hoành và đường elip. Hướng dẫn giải Phương trình tiếp tuyến d là. x 3  y  1. 4 2. d cắt Ox tại B  4;0  . Hạ AK vuông góc với trục hoành. Ta có AK . 3 3 3 ; KB  3 nên S AKB  2 4. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 2. 1 Diện tích tam giác cong AKC là S0   4  x 2 dx 21 Đổi biến x  2sin t thì dx  2cos tdt  2. . . 3. . Ta được S0  2cos 2 tdt . . 3 4. 6. Vậy S  S AKB  S 0  3 .  3. (đvdt).. Bài toán 9.19: Cho  P  : y  x 2 và đường thẳng d qua A 1;3 có hệ số góc k. Tìm k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và  P  có diện tích nhỏ nhất. Hướng dẫn giải. d : y  k  x  1  3 PT hoành độ giao điểm: x 2  k  x  1  3. x2  kx  k  30    k 2  4k  12  0, k Gọi 2 nghiệm x1 , x2 thì:. S. x2.   k  x  1  3  x dx 2. x1. x2. 3 k 2 x3  1 1 2 2   x   k  3 x     x2  x1   k  4k  12    k  4k  12  2 3 x 6 6 2 1 3. 1 2 2 2   k  2   8  2  nên min S khi k  2 .  6 3 Bài toán 9.20: Một hình phẳng được giới hạn bởi y  f  x   e x , y  0, x  0 và x  1 . Ta chia đoạn  0;1 1. thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang có tổng diện tích S n . Chứng minh lim Sn .  f  x  dx 0. Hướng dẫn giải. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Ta có Sn . 1 e  e n 1 n. 1 2 n. Do đó lim Sn  1  e. 1. n.  1 1 e  ...  e   e 1   n 1 e n n  n. 1. và. e. x. 1. 1  n. 1 1  e1   n 1 en 1. dx  1  e 1  đpcm.. 0. Bài toán 9.21: Tính thể tích của vật thể: a) Giữa hai mặt phẳng: x  0, x  2 và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0  x  2 ) là một nửa hình tròn đường kính. 5x 2 .. b) Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông có đáy là một tam giác cho bởi y  x, y  0 và. x  1. Hướng dẫn giải a) Ta có V  . b.   f  x . 2. a. 2. 2. 5x4 x5 dx    dx    4 (đvtt) 8 8 0 0. b) Thiết diện tại x  0;1 là hình vuông cạnh bằng x có diện tích S  x   x 2 . 1. 1. Vậy V  S  x  dx  x 2 dx .  0.  0. 1 (đvtt). 3. Bài toán 9.22: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh Ox, giới hạn bởi các đường y  cos x, y  0, x  0 và x .  4. . Hướng dẫn giải. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

<span class='text_page_counter'>(14)</span> V .  /4.  cos. 2. xdx . 0.   /4 2.  0.    2  1 (đvtt). 1  cos 2 x  dx   x  sin 2 x   2 2 8 0  /4. . Bài toán 9.23: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh Ox: x. a) Giới hạn bởi các đường y  xe 2 , y  0, x  0 và x  1 b) Giới hạn bởi các đường y  0, y . 2 9  x2 3 Hướng dẫn giải. 1. 1. . .  . . a) V   x 2e x dx   x 2 d e x   x 2e x 0. 0. . 1 0. 1.  2  xe x dx 0.  x1 1 x    e  2  xe   e dx     e  1 (đvtt). 0 0   b) Do tính đối xứng của hình phẳng qua trục tung nên:. 4 8 V  2   9  x 2 dx  9 9 0 3. 3. 1 3 8   27  9   16  9x  x   3 0 9 . Bài toán 9.24: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số. y  1  2 x .e3 x và các trục tọa độ, quanh trục hoành. Hướng dẫn giải. 1 2. Cho y  0 thì y  1  2 x .e3 x  0  x   . Vì.  1  1  2 x .e3 x  0 , với mọi x    ;0  nên thể tích khối tròn xoay là:  2 . V . 0.  1  2 x  e. 6x. dx. 1  2. Đặt u  1  2 x, dv  e6 x dx . Khi đó du  2dx, v . 1 6x e . 6. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 0   0 0  1  2 x   1 6x 1  1 1  1 6x  Ta có: V   e   e dx      1  e 3        3 1 6 17 9 18e3   6  1      1 2  2   2  . 1  1 (đvtt).  3   9 18e . Vậy V   . Bài toán 9.25: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh Ox: a) Giới hạn bởi y .   x, y  sin x, x  0;    2 2. b) Giới hạn bởi: y  x2  3x  3, y  x,0  x  3 Hướng dẫn giải a) V  V1  V2. .  /2.  0.  2 4x2  sin x  dx  2    . 2. 2.  2    (đvtt) 4 6 12 b) V  V1  V2   V3  V4  1. . . 3. . .     x  3x  3  x dx    x 2   x 2  3x  3 dx 0. . 2. 2. 2. 1. 2. 7 64 233   (đvtt) 2 15 30. Bài toán 9.26: Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  : y . x trục Ox và các đường thẳng x  2, x  4 khi quay quanh trục Ox. 1 x Hướng dẫn giải. 4. V  2. x2. 1  x . 2. dx. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

<span class='text_page_counter'>(16)</span>  2x 1     1   dx  1  x 2  2  4.  2x  2 1     1   dx 2 2   1  x 1  x     2  4. 4. 1  8 2     x  ln 1  x    2 ln 3 (đvtt)   1 x  2 3  Bài toán 9.27: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số. y. xe x , trục hoành và đường thẳng x  1 xung quanh trục hoành. ex  1 Hướng dẫn giải. xe x  x0 Ta có y  x e 1 xe x , y  0, x  0 và x  1 Do đó hình phẳng là hình thang cong được giới hạn bởi các đường cong y  x e 1 1. 1. Thể tích khối tròn xoay là V    y 2 dx    0. Đặt u  x, dv . e. ex x.  1. 2. 0. e. xe x x.  1. dx . Khi đó du  dx, v . 2. dx. 1 e 1 x. 1 1  x dx 1 ex  dx     1  Ta có:   dx 2 x x x   x e  1 e  1 e  1 e  1 0  0  e  1 0 0 1. 1. xe x. 1 1 e e 1   x  ln  e x  1   ln 0 e 1 e 1 2 0 1. e 1  e  ln  (đvtt). 2   e 1. Vậy thể tích khối tròn xoay là V   . Bài toán 9.28: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường. y  1  2 x .3 x , y  0, x  1 xung quanh trục hoành. Hướng dẫn giải L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Ta có y  1  2 x .3 x  0  x   Thể tích khối tròn xoay là V  . 1.  . 1 2. y 2 dx  . 1 2. 1.  1  2 x  3 . 2 x. 1 2. Đặt u  2 x  1, dv  32 x dx . Khi đó du  2dx; v  . 1 2 x 3 2ln 3. 1. 1. 1 1 Ta có:  1  2 x  3 dx   .32 x 1  2 x   1 2ln 3 ln 2 1  . 2 x. 2. 2. dx. 1. 3. 2 x. dx. 1  2. 1 1 26  3ln 3   32 x  2 1 6ln 3 2ln 3 18ln 2 3  1. 2. Vậy V . 26  3ln3  (đvtt). 18ln 2 3. Bài toán 9.29: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng quanh trục Oy: 1 3. a) Giới hạn bởi: y   2 x  1 , x  0, y  3 b) Giới hạn bởi: y  ln x, y  0, x  e . Hướng dẫn giải. y3  1 a) x  0  y   2 x  1  1, y   2 x  1  x  2 1 3. 1 3. 2.  y3  1  1 6 480 3 V     (đvtt).  dy    y  2 y  1 dy  2 4 7   0 0 1. b) x  e  y  ln x  1, y  ln x  x  e y 1. V  V1  V2     e2  e2 y  dy 0. 1. 1       e2 . y  e2 y    e2  1 (đvtt). 2  0 2 Bài toán 9.30: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng quay quanh Oy: L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

<span class='text_page_counter'>(18)</span> a) Giới hạn bởi các đường y  2 x  x 2 và y  0 2. b) Giới hạn bởi đường y  x 3 , x  0 và tiếp tuyến tại x  1 . Hướng dẫn giải a) Ta có. 2 x  x2  0  x  0 hoặc x  2 y  2 x  x 2   x  1  1  y 2.  x  1 1 y. . 1. V  V1  V2     1  1  y  0.   1  2. 1 y.   dy 2. 8 8 (đvtt) 1  ydy    1  y  1  y  3 3 0 1. 1.  4  0. b) Phương trình tiếp tuyến là y . 2 1 x 3 3. 1  2  3 1 3 V    y dy     y   dy    y  2 2 4 9 2 2 0 1/3  1. 1. 2. 31. . 3. 1/3.  36. (đvtt).. Bài toán 9.31: Giả sử  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  4  x  2  và y  x 2  4 x  7 . Tính 2. thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay  H  xung quanh trục tung. Hướng dẫn giải Hình  H1  giới hạn bởi đường cong. x  2. y y ,x  2 2 2. và hai đường thẳng y  0, y  4 . 2 2  y  y  V1     2     2    dy  2 2  0       4. 4.    4 ydy  0. 64 3. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Hình  H 2  được giới hạn bởi hai đường cong x  2 . y  3 , x  2  y  3 và hai đường thẳng. y  3, y  4 . 4. . V2     2  y  3  0. 16  2  y  3  dy    8 y  3dy   3 0.   2. . 4. 2. Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là: V  V1  V2  16 (đvtt) Bài toán 9.32: Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn  C  có phương trình: x 2   y  2   1 quanh trục 2. Ox. Hướng dẫn giải Đường tròn: x 2   y  2   1 có tâm I  0;2  , bán kính R  1 . 2.  y  2. 2.  1  x2  y  2  1  x2. Nửa  C  ở trên ứng với 2  y  4 có phương trình:. y  f1  x   2  1  x 2 với x   1;1 Nửa  C  ở dưới ứng với 0  y  2 có phương trình:. y  f 2  x   2  1  x 2 với x   1;1 Khi đó thể tích khối tròn xoay cần tính là:. .  V  V1  V2     2  1  x 2 1  1.   2  2. 1 x. 2. . 2.  2  dx  8  1  x dx 1 1. Đặt x  sin t thì dx  cos tdt Đổi cận: x  1 thì t   Khi đó: V  8.  /2. .  2. ; x  1 thì t . 2.  /2. cos t cos tdt  4 2.  /2. .  1  cos 2t  dt.  /2.  /2.  1   4  t  sin 2t   4 2 (đvtt)  2   /2.  . Bài toán 9.33: Chứng minh rằng thể tích V của khối chỏm cầu bán kính R và chiều cao h là V   h 2  R . h  3. Hướng dẫn giải L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Xét cung tròn  O; R  : y . R 2  x 2 thì thể tích chỏm cẩu cần tìm là: R.  2 x3  V     R  x  dx    R x   3  R h  R h R. 2. 2. 3  3 R3 R  h   h 2 2   R   R  R  h    h R   3 3  3  .  . Kết quả: Thể tích khối cầu V  2 R 2  R . R 4 3    R (đvtt) 3 3. Bài toán 9.34: Đường thẳng d qua y  kx  1  k cắt Ox, Oy tại M, N. Tìm k  0 để thể tích khối tròn xoay tạo ra khi quay tam giác OMN quanh Oy đạt giá trị bé nhất. Hướng dẫn giải. y  kx  1  k , k  0  x . y 1 1 k k. Thể tích khối nón tạo thành:. V k   . 1 k.  0. V ' k  . 1   1 3 y    1     2   k  3 , k  0 k 3k k k  2. . 2 3    3  2  1 ,V '  k   0  k  2 3 k k . Lập BBT thì min V  k   V  2  . 9 (đvtt). 4. 3. BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 9.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y  x3  4 x , trục hoành và 2 đường thẳng. x  2; x  4 . Hướng dẫn Dùng công thức S trực tiếp. Kết quả 44 (ddvdt) Bài tập 9.2: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị các hàm số y  4  x 2 , y   x  2 . Hướng dẫn. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm. Kết quả. 9 (đvdt) 2. Bài tập 9.3: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y  x3  1 và tiếp tuyến tại điểm A  1; 2  . Hướng dẫn Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm A  1; 2  rồi tìm thêm giao điểm khác A. Kết quả. 27 (đvdt) 4. Bài tập 9.4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị:. y. x 1  x4. , y  0 và x  0, x . 1 2 Hướng dẫn. Dùng công thức S trực tiếp. Đổi biến số t  x 2 rồi t  sin u . Kết quả.  (đvdt). 12. Bài tập 9.5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong:. y 2  2 x, 27 y 2  8  x  1. 3. Hướng dẫn Vẽ hình và xác định miền giới hạn. Kết quả. 88 2 (đvdt). 15. Bài tập 9.6: Tìm m để diện tích giới hạn bởi 2 đồ thị: y  x 2  1 và y  mx  2 là bé nhất. Hướng dẫn Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm và chú ý luôn có 2 nghiệm phân biệt. Kết quả m  0 . Bài tập 9.7: Cho hàm số y  f  x  đơn điệu từ  a; b  vào  c; d  có hàm ngược x  g  y  . Chứng minh thể b. tích quay quanh Oy của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục Ox, x  a, x  b là: VOy  2 xf  x  dx.  a. Hướng dẫn Dùng định nghĩa về diện tích và minh họa đồ thị. Bài tập 9.8: Tính thể tích của vật thể giữa hai mặt phẳng: x  0, x   vì thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0  x   ) là một tam giác đều cạnh là 2 sin x . Hướng dẫn L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

<span class='text_page_counter'>(22)</span> b. Dùng công thức thể tích vật thể tổng quát V  S  x  dx.  a. Kết quả 2 3 (đvtt) Bài tập 9.9: Cho hình phẳng S trong mặt phẳng Oxy giới hạn bởi các đường y  x 2  4 x, y   x 2  2 x  6 . Tính thể tích khối tròn xoay khi S quay quanh trục Ox. Hướng dẫn Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm. Kết quả 3 (đvtt) Bài tập 9.10: Cho hình phẳng S giới hạn bởi các đường: y . 1 x2 ; y  . Tính thể tích khối tròn xoay khi x2  1 2. S quay quanh Ox. Hướng dẫn Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm. Kết quả V . 2 4. . 3 (đvtt) 10. Bài tập 9.11: Tính thể tích khối quay quanh Ox, Oy của hình phẳng S giới hạn bởi: y . x , y  0 và. y  2 x. Hướng dẫn Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm. Kết quả. 32 5 (đvtt) và (đvtt) 15 6. L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo....

<span class='text_page_counter'>(23)</span>