Tai lieu boi duong hoc sinh gioi Chuyen de 8 Nguyen ham ham vo ti va ham logarit

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ 8 - NGUYÊN HÀM HÀM VÔ TỈ VÀ HÀM LÔGARIT 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Nguyên hàm vô tỉ: Với   1 thì:. x 1 u 1   x .dx    1  C ;  u .u '.dx    1  C . m. Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển, nhân chia lượng liên hợp, mũ phân số. n. a m  a n ,…. Các dạng tích phân vô tỉ: b. . dx : nhân hợp liên hiệp (trục căn ở mẫu) px  q  px  r. b. xk dx : trục căn ở tử xk. a.  a. b. dx.   x  m  x  n  : Đặt t . xm . xn. a. b.  a. px x m 2. dx : Đặt u  x 2  m. b. . k 2  x 2 dx : Đặt x  k sin t hoặc k cos t. a. b.  a. 1 x m 2. :Đặt t  x  x 2  m. b. . x 2  mdx : Đặt u  x 2  m , dv  dx. a. b.   x    a. dx px 2  qx  r. : Đặt t . 1 x  . .  R  x,. k 2  x 2 dx : Đặt x  k sin t hoặc k cos t.  R  x,. k 2  x 2 dx : Đặt x  k tan t hoặc k cot t. b. a. b. a. . Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> .  R  x, b. x 2  k 2 dx : Đặt x . a. . b.  R  x;. x    x . n. . a. k k hoặc sin t cos t.  x    dx : Đặt t  n  x  .  R  x,  x      x  dx : Đặt x         sin b. 2. t. a. .  R  x, b. px 2  qx  r dx : Đặt. a. px 2  qx  r  t  x p hoặc. px 2  qx  r  t  x r. Nguyên hàm mũ và lôgarit:.  e dx  e x. x.  e .u ' dx  e. c. u. u. c. au  a .u '.dx  ln a  c  a  0, a  1. ax  a dx  ln a  c. u. x. Các dạng tích phân từng phần: b.  P  x  .e. x. dx : Đặt u  P  x  , dv  e x dx. a. b. x. . .ln xdx : Đặt u  ln x, dv  x .dx. a. b. e. x. .sin  xdx : Đặt u  e x , dv  sin  xdx. a. b. e. x. .cos  xdx : Đặt u  e x , dv  cos  xdx. a. 2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 8.1: Tính a). . . x  3 x dx. b).  x. 3. . x  4 x  1 dx. Hướng dẫn giải 1  12  2 23 3 43 3 x  x dx    x  x  dx  x  x  C 3 4  . a). . b).  x. 3. 3. . 3 1  56  6 116 4 74 4 23 4 2 x  x  1 dx    x  x  2 x  dx  x  x  x  C 11 7 3   4. . Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài toán 8.2: Tính a). . x x x dx x2. 1   1  3  dx x x. . b) . Hướng dẫn giải 3    1 x x x 2 a)  dx     x 2  dx  2 x  C 2 x x  x . 1    1 1  3  1 b)    3  dx     x 3  dx  2 x  3 x 2  C 2 x  x  x . Bài toán 8.3: Tính a) I . . dx x3 x4. b) J . . dx , a  0, b  c ax  b  ax  c Hướng dẫn giải. 1 7. a) I .  b) J . . . x  3  x  4 dx . 3 3 2   2   x  4 2  C x  3     21  . 1 bc . . 1 1 1   2   x  4  2 dx x  3      7  . . . ax  b  ax  c dx. 2 a b  c . .  ax  b . Bài toán 8.4: Tính a) E . 3. . .  ax  c . 3. C. x 4  x 4  2dx. b) F . . 3. xdx x2. Hướng dẫn giải 2 1  1 1   x 2  dx    x 2  2  dx  x3   C x  3 x . a) E .  x. b) F . 2 1 5 2 x22 3    3  2  x  2  3 dx  3  3 x  2 3  C dx  x  2 x  2       3 x2   5 . 2. Bài toán 8.5: Tính: a) A .   2 x  3. x  3dx. b) B . 1. 1. x. dx. Hướng dẫn giải Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> a) Đổi biến: Đặt t . x  3  x  t 2  3  dx  2t.dt. A  2  2t 2  3 dt  2  2t 4  3t 2  dt 2. 3 4 2  t 5  2t 3  C   x  3 2  2 x  1  C 5 5. b) Đặt t  1  x  x  1  t   dx  2 1  t  dt 2. Q  2. t 1  1 dt  2 1   dt t  t.  2  t  ln t   C  2 Bài toán 8.6: Tính: a). . . . . x  ln 1  x  C. dx. x 1 x. . b). 2. . 1 x 9 2. dx. Hướng dẫn giải a) Đặt t  1  x  x  t 2  1  dx  2t.dt. . 1 x t 2 dt 1   dx  2 2  2 1  2  dt x t 1  t 1 . 1   1  2 dt      dt  2t  ln t  1  ln t  1  C  t 1 t  1 .  2 1  x  ln. 1  x 1 C 1 x 1. b) Đặt t  1  x  x  t 2  1  dx  2t.dt. . 1 x t 2 dt 1   dx  2 2  2 1  2  dt x t 1  t 1 . 1   1  2 dt      dt  2t  ln t  1  ln t  1  C  t 1 t  1 .  2 1  x  ln. 1  x 1 C 1 x 1. . b) Đặt t  x  x 2  9  dt  1 . .   dx  x2  9  x. dx x2  9. . dt t. Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> . dx x 9 2. . dt  ln t  C  ln x  x 2  9  C t 7/3. . Bài toán 8.7: Tính: a) K . 0. x 1 dx 3 3x  1. 3. b) L .  2. dx x 1  x 1. Hướng dẫn giải. t3 1 a) Đặt t  3x  1  x   dx  t 2 dt 3 3. 7 thì t  2 . 3. Khi x  0 thì t  1, x  2. 1 K    t 4  2t  dt  31 3. 1 b) L   22. . 2.  t5 t3  46      15 3  1 15 2. 3 3 1 73 3  2 2  x  1  x  1 dx    x  1 2   x  1 2   3 3 1. . a. Bài toán 8.8: Tính: a) A . . a /2. a  x dx 2. 2. b) B . 0.  0. dx a  x2 2. Hướng dẫn giải a) Đặt x  a sin t với .  2. t .  2. thì dx  a cos t. Khi x  0 thì t  0, x  a thì t   /2. Aa. 2. .  /2. cos t .cos tdt  a. 2. 0.  0.  2. .. a2 cos tdt  2 2.  /2.  1  cos 2t  dt 0.  /2. a 2  sin 2t   a2  t    2 2 0 4 b) Đặt x  a sin t với .  2. Khi x  0 thì t  0; x   /6. B.  0. a cos tdt  a cos t.  /6. t .  2. thì dx  a cos tdt.  a thì t  . 6 2. .  dt  6 0. Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> b. Bài toán 8.9: Tính: a) C . b. dx. . x b. 0. . b) D . 2. x 2  b .dx. 0. Hướng dẫn giải. .   dx  x2  b  x. a) Đặt t  x  x 2  b  dt  1 . . b  2b. . C. b. dt  ln t t. b  2b b. . b. b) D . .  ln 1  2. . x 2  bdx  x  x 2  b. 0. b. b 2. . x2  b  b. 0. x b. b 2 b nên D   2 2. 2. 0.  0. x2 x2  b b. dx  b 2  D  b . 1 x b 2. 2. Bài toán 8.10: Tính: a) K . 0. b. .  0. dx . x b 2. dt t. dx. 1 x b 2. . dx. b 2 1  ln 1  2 2 2. 1  x2 dx x4. . . 0. b. . . b. dx. 2. b) L . . x. 1/2. 2. .  1 dx. x x4  1. Hướng dẫn giải. 1 t. a) Đặt x   dx  1/2. 1 dt t2. K    t 1  t 2 dt   1. 2. b) L .  1/2. 1 2. 1  1 5 5 2 2 2 1  t d 1  t    2 2       1 3 8 . 1/2. 1 2 1 1  x 2 dx  dx   2 x 1  1/2  1 x2  2 x   2   x x . 1. 2. 2   1 1 13  3    ln x    x    2   ln   x x 13  3    1/2 1. 1. . Bài toán 8.11: Tính: a) A  x 0. 2. 1  x dx b) B   x5 1  x 2 dx 2. 0. Hướng dẫn giải Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>     t    dx  cot dt 2  2. a) Đặt x  sin t  . Khi x  0 thì t  0, x  1 thì t   /2. A. . sin 2 t cos 2 tdt . 0. 1  4.  /2.  0. 1 4.  2.  /2.  sin. 2. 2tdt. 0.  /2. 1  cos 4t 1  sin 4t    t    2 8 4 0 16. b) Đặt t  1  x 2  x 2  1  t 2  xdx  tdt Khi x  0 thì t  1, x  1 thì t  0 . 0. B   1  t 1. . 2 2. 1.  t7 2 5 1 3  8 .t  t  dt    t  2t  1 t dt    t  t   3  0 105 7 5 0 1. 4. 2. 2. Bài toán 8.12: Tính: 1. a) I . a/ 3. x 2 dx. . b) J . x2  x  1. 0.  0. xdx a2  x2 . a. 2.  x2 . 3. Hướng dẫn giải 2. 1 3  x  x  1   x    ,  x 2  x  1 '  2 x  1 2 4  2. a) Ta có. 2  1 3 Đặt x  A   x      B  x  1  C  2  4   2. Đồng nhất thì được A  1, B  2, C  . 1 nên 2.   2 1 1 3 2x 1 1 1   I    x      2 3 2 4 0  1 3 2  1 3  2 x   x    2 4 2 4    .     dx   . 1.  2x  1 2 1  1   x  x  1  ln  x   x 2  x  1   8  2  0  4 Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> . 3 3 1 1  2   ln 1   4 8  3 a/ 3. xdx. . b) J . a2  x2 . 1  a2  x2. 0. xdx. Đặt t  1  a 2  x 2  dt  2 a 1.  . dt  2 t t. . J. a 1. 2 a 1 a 1. 2. a2  x2. . 2a  1  a  1. 4096. Bài toán 8.13: Tính: a) K . .  xdx   t  1 dt. xdx 3. 128. x2  4 x.  6. b) L .  4. dx x2  5x  6. Hướng dẫn giải a) Đặt x  t12 thì dt  12t11dt Khi x  128 thì t  2, x  4096 thì t  2 . 2  9 4 t14 t4  K  12  5 dt  12   t  t  5  dt t 1 t 1  2 2 2.  t10 t 5 1   12    ln t 5  1   10 5 5  b) Đặt t . 2. 2.  464  4 2 1 31   12   ln  5 5 4 2 1  . x 2  x 3.  1 1  x  2  x  3  dt    dx 2 x  2 2 x  3    1 1   dt     dx   2 x 2 2 x 3  6. L 4. 2 3. dx.  x  2  x  3. :. 2dt  t  ln t 2 1. dx.  x  2  x  3 2 3 2 1.  ln. . 2dt t. 2 3 2 1. Bài toán 8.14: Tính: 1. a) A .   x  1 0. dx x2  2x  2. 1/2. b) B .  x 0. dx. 2.  1 x 2  2. Hướng dẫn giải Trang 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 1 1 dt  x   1  dx   2 x 1 t t. a) Đặt t  1/2. dt. A . . Đặt u  t  t 2  1 . t2 1. 1. 1 5 /2. . Do đó A  . 1 2. dt t2 1. . du u. . 2 1 2 du 1 5 /2    ln u  1 2  ln u 1 5. . 2t 2 2dx b) Đặt t  x  2  x   dt  2 1 t  x2  2 x2  2 2. 2. 3/2. dt 1 D  2  3t  1 2 3 2 1  t 3 1    ln  2 3  t 3  1 . 3/2. . 1 1   dt 3 1 t 3 1 . . 1.   t 2. . 3/2. 2.  6. 5 3  12 3. 2 3. ln. . 23 7  2. Bài toán 8.15: Tính: 1. a) I n . 1. 1.  1  x  n. n. 0. 1 x. n. . b) J n  x n . 1  xdx. dx. 0. Hướng dẫn giải 1. a) I n . 1  xn  xn.  1  x  n. 0. . n. 1. 1  xn. dx   0. 1. 1  1   xd  n 1  xn 0 0  n 1  xn. x. 1 n. 1  xn. 1. dx   0. xn. 1  xn  n 1  xn. dx.  1 xn  dx   n n n  0 1  x  . 1  x. 1. 1. 1 xn xn 1  n  dx   dx  n n n n 2 0 1  x n  n 1  x n 2 0 1  x  . 1  x b) u  x n , dv  1  xdx Khi đó du  nx n1dx, v  . 2 Jn   x 3. . 1 x. . 3. 1. 2 3. 1  x . 3. 1. 2n n1  x  x  1 1  xdx 3 0 0. Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>  0 Vậy J n . 2n 2n J n1  J n1  J n   J n  3 2n  3 2n 2  n  1 2 2n1.n! . ... J 0  2n  3 2n  1 5 3.5... 2n  3 x. Bài toán 8.16: Tìm hàm số f và số thực a  0 thỏa mãn điều kiện:.  a. f t  dt  6  2 x với mọi x  0 . t2. Hướng dẫn giải Gọi F  t  là một nguyên hàm của hàm số. f t  t2. Theo định nghĩa tích phân, ta có với mọi x  0. F  x  F a  6  2 x Cho x  a ta được a  9 và F  x   F  0   6  2 x nên F '  x  . f  x 1 1  2   f  x   x3 x x x. Bài toán 8.17: Tính: a).  2. x. 3. . x 2. dx. b). . 5x 1  5 x  3x. dx. Hướng dẫn giải a).  2. x. 3. . x 2. 4x 6x 9x dx    4  2.6  9  dx  2  C ln 4 ln 6 ln 9 x. x. x. x. 5 x x   5x 1  5 x    5 1 3x 3 5 x  b)  dx   x       3 dx   C  3   5 ln 3 3x 3   ln 3 Bài toán 8.18: Tính: a). e. sin x. cos xdx. b). e. x. 1 dx  e x. Hướng dẫn giải a). e. sin x. cos xdx   esin x d  sin x   esin x  C 1 t. b) Đặt t  e x thì dt  e x dx  dx  dt. 1 1 1 1  1 1  dx  dt  dt     e x  e x  t  t  t 1   t 2  1 2   t  1 t  1 dt Trang 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> . 1 1 ex 1 ln t  1  ln t  1   C  ln x C .  2 2 e 1. Bài toán 8.19: Tính: a).  1  tan x . 2. e2 x dx b).  x  1 dx.  x 1  xe  x. Hướng dẫn giải a).  1  tan . 2. e2 x dx   1  tan 2 x  2 tan x  e2 x dx.    tan x.e2 x  dx  tan x.e2 x  C b) Đặt t  1  xe x thì dt   x  1 e x dx.  x  1 dx. t 1 xe x  1 1  x 1  xe x     t  1  t  dt  ln t  C  ln 1  xe x  C. . . Bài toán 8.20: Tính: a) I  x3 .e x dx. b) J  e. 3 x 9. dx. Hướng dẫn giải. . . a) Đặt u  x3 , v '  e x thì J  x3 .e x dx  e x x3  3 x 2 .e x dx Đặt u  x 2 , v '  e x thì.  x .e dx  x e 2. x. . 2 x.  2 xe x dx  2 xe x  I. . Do đó J  e x x3  3x 2  6 x  6  C b) Đặt t  3x  9  3x  t 2  9  dx . J. 2 tdt 3. 2 t te dt . Đặt u  t , v '  et thì  tet dt  t.et  et  C  3. nên J . 2 3. . 3x  9e. Bài toán 8.21: Tính: a). 3 x 9. e.  ln xdx. 3 x 9. C. b). . x ln xdx Hướng dẫn giải. a) Đặt u  ln x, dv  dx . Khi đó du . 1 dx, v  x . Ta có: x. 1.  ln xdx  x ln x   x. x dx  x ln x   dx  x ln x  x  C Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 1 2 32 b) Đặt u  ln x, v '  x  u '  , v  x . Ta có: x 3. . 2 32 2 12 2 32 4 32 x ln xdx  x ln x   x dx  x ln x  x  C 3 3 3 9. Bài toán 8.22: Tính: a). .  ln x . 2. x. dx b)  x ln. x dx 1 x Hướng dẫn giải. a). .  ln x . 2. x. 1 2 dx    ln x  d  ln x   ln 3 x  C 3. x 1 x2 b) Đặt u  ln , du  xdx . Khi đó du  ,v  1 x x 1  x  2.  x ln. x x2 x 1 x dx  ln   dx 1 x 2 1 x 2 1 x. x2 x 1  1 x2 x 1 1   ln    1 dx  ln  ln 1  x  x  C 2 1 x 2 1 x  2 1 x 2 2 Bài toán 8.23: Tìm nguyên hàm a) I  x3 ln  2 x  dx. b) J  x 2 cos  2 x  dx. . . Hướng dẫn giải a) Đặt u  ln  2 x  , dv  x3dx . Khi đó du . 1 x4 dx, v  . x 4. x 4 ln  2 x  x 4 ln  2 x  x 4 x3   dx   C Ta có: I  4 4 4 16 b) Đặt u  x 2 , dv  cos  2 x  dx . Khi đó du  2 xdx, v  . sin  2 x  . 2. x 2 sin  2 x    x sin  2 x  dx Ta có: J  2 Đặt u  x, dv  sin  2 x  dx . Khi đó du  dx, v .  x sin  2 x  dx  . cos  2 x  : 2. x cos  2 x  cos  2 x  x cos  2 x  sin  2 x   dx   C 2 2 2 4. x 2 sin  2 x  x cos  2 x  sin  2 x    C nên J  2 2 4 Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Bài toán 8.24: Tính: a) I  sin  ln x  dx. b) J  e x  cos x  2 x sin x  dx. . . 2. Hướng dẫn giải a) Đặt u  ln x thì x  eu nên dx  eu du. A   sin u.eu du   sin ud  eu   sin u.eu   cos u.eu du.  sin u.eu   cos u.d  eu   sin u.eu  cos u.eu   sin u.eu du Từ đó suy ra A . 1 x  sin  ln x   cos  ln x    C 2. b) Đặt u  e x , dv  cos x . Khi đó du  2 xe x dx, v  sin x 2. e. x2. 2. .cos xdx  e x .sin x   2 xe x .sin xdx 2. 2. nên J  e x  cos x  2 x sin x   e x .sin x  C. . 2. 2. 1. x. Bài toán 8.25: Tính: a) K . 2. 1.  x  1 e dx. b) L . x. 0. x. 3.  2  e x dx. 0. Hướng dẫn giải a) Đặt u  x 2  x  1, dv  e x dx . Khi đó du   2 x  1 dx, v  e x . 1. 1. 0. 0. K   x 21  x  1 e x    2 x  1 e x dx  3e  1    2 x  1 e x dx 1. 0. Đặt tiếp u  2 x  1, dv  dx thì được K  2  e  1 . b) Đặt u  x3  2, dv  e x dx . Khi đó du  3x 2 dx, v  e x . 1. L  e  x  2   3 x 2e x dx x. 3. 1. 0. 0. Dùng tích phân từng phần 2 lần nữa thì L  4 . ln 4. Bài toán 8.26: Tính: a) A . . ln 2. dx ex 1. 1. b) B . xe x.  1  x . 2. dx. 0. Hướng dẫn giải a) Đặt u  x 2  x  1, dv  e x dx . Khi đó du   2 x  1 dx, v  e x . 1. 1. 0. 0. K   x 2  x  1 e x    2 x  1 e x dx  3e  1    2 x  1 e x dx 1. 0. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Đặt tiếp u  2 x  1, dv  dx thì được K  2  e  1 . b) Đặt u  x3  2, dv  e x dx . Khi đó du  3x 2 dx, v  e x . 1. L  e  x  2   3 x 2e x dx x. 1. 3. 0. 0. Dùng tích phân từng phần 2 lần nữa thì L  4 . ln 4. Bài toán 8.26: Tính: a) A . dx. . ex 1. ln 2. 1. b) B . xe x.  1  x . 2. dx. 0. Hướng dẫn giải a) Đặt t  e x  1  e x  t 2  1  dx  3. A. t 1. 2tdt t2 1. dt  . Đặt t  tan u thì B  6 1. 2. 1. 1. ex ex dx   dx 2 1  x 1  x  0 0 . b) B  .  e x 1 1 e x  e ex  dx    dx    1 . 1 x 0 0 1 x  2 1 x 0   1. . . . . Bài toán 8.27: Tính: a) e cos xdx b) J  e 2 x sin 2 xdx x. 0. 0. Hướng dẫn giải a) Đặt u  cos x, dv  e x , du   sin x, v  e x . . 0. 0. I  cos x.e x   e x .sin xdx  1  e   sin xd  e x   0.  1  e   sin x.e . x. .   e  0. x. cos xdx  1  e  I. 0. 1  e Do đó 2 I  1  e  I   . 2 . . . . 1 1 1 b) J   1  cos 2 x  d  22 x   e 2 x 1  cos 2 x    e 2 x .sin 2 xdx 40 4 20 0 Dùng từng phần 2 lần liên tiếp thì J . 1 2  e  1 . 8 Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 1  x  1x  Bài toán 8.28: Tính a) I   1  x   e dx x 0.5  2. 1. b) J . 3x 0 3x  3 x dx. Hướng dẫn giải 2. a) I . e. x. 1 x. 0,5. Đặt u  e. 1  x  1x  dx    x   e dx x 0,5 . x. 2. 1 x. 1  x  1x  , dv  dx . Khi đó du   x   e dx, v  x x . 1 x 1  x  1x  Ta có:   x   e dx  xe x x 0,5  2. Suy ra I  xe. x. 1 2 x 0,5. 2. 2.  0,5. e. x. 1 x. dx. 0,5. 3  e 2,5 . 2. 3 x b) Xét E   x dx thì J  E   dx  1 3  3 x 0 0 1. 1. 3x  3 x 1 1 5 và J  E   x dx  .ln  3x  3 x   ln x 3 3 ln 3 ln 3 3 0 0 1. 1. Do đó: J . 1 1 5 ln  . 1  2  ln 3 3  1. . Bài toán 8.29: Tính: a) A . 1. 1  x2 dx 1  2x. 1. . b) B  x 2e x sin xdx 0. Hướng dẫn giải 0. a) A . . 1. 1  x2 1  x2 dx  0 1  2x dx 1  2x 1. 0. Đặt x  t thì. . 1 1. Do đó A .  0. 1  x2 2t 1  t 2 2x 1  x2 dx   dt   dx 1  2x 1  2t 1  2x 0 0 1. 1  2  x. 1  x2. 1  2x. Đặt x  sin t thì A .  4. 1. 1. dx   1  x 2 dx 0. .. b) Đặt u  x 2 sin x, dv  e x dx thì Trang 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> 1. B  e x sin x   e x  2 x sin x  x 2 cos x  dx x. 1. 2. 0. 0. 1. 1.  e sin1  2 xe sin xdx   x 2e x cos xdx x. 0. 0. Từ đó tính được B  e sin1 . 1. sin 2 x b) J   x dx 3 1 . dx Bài toán 8.30: Tính a) I   x 2 1  e  1 x  1. Hướng dẫn giải a) Đặt x  t thì dx  dt . Khi x  1  t  1, x  1  t  1 . 1. 1. Ta có I . 1. dx dt et    1  e x  1 x2  1 1  et  1 t 2  1 1  et  1t 2  1dt. 1. ex I x dx 2 1  e  1 x  1 1. nên 2 I  I  I . t. 1. dt    . Vậy I  . 1 2 4. 2. . b) Đặt x  t thì dx  dt nên: J  . . . . Do đó 2 J . 2  sin xdx . . . sin 2 t 3x.sin 2 x dt   dx x 1 1  3   1 3t. . 1  1  cos 2 x dx  J    2  2. 3.  . 2. . . Bài toán 8.31: Tính a) A  ln x  x dx b) B  x5 ln xdx 2. 2. 1. Hướng dẫn giải. 2x 1 1   dx  3ln 6  2ln 2    2  a) A  x ln  x  x     dx  3ln 3  2 2 x 1 x 1  2 2 3. 2. 3. b) Đặt u  ln x, dv  x5dx . Khi đó du . 3. dx 1 , v  x6 x 6. 2. 2 5  x 6 ln x  x dx 32 7 B   ln 2    3 4  6 1 1 6. Trang 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> e. e. . b) D . Bài toán 8.32: Tính a) C  x ln xdx 2. x. 2.  x  1 ln xdx. 1. 1. Hướng dẫn giải a) Đặt u  ln 2 x, dv  xdx . Khi đó du . 2ln x 1 dx, v  x 2 x 2. e. e e  x2 2  e2 C   ln x    x ln xdx    x ln xdx 2 1  2 1 1. dx x2 Đặt u  ln x, dv  xdx . Khi đó du  ,v  x 2 e. x2 1 e2 1 2 e2  1 1 x ln xdx  2 ln x  2 1 xdx  2  4  e  1  C  4 1 e. e. . . b) Đặt u  ln x, dv  x 2  x  1 dx thì: e. e  x3 x 2   x3 x 2 1 D     x  ln x      x  dx 3 2  3 2  x 1 1. . e  x2 x  e3 e 2 2e3 e2 31   e      1 dx    3 2 3 2 9 4 36  1. 1  ln x ln x dx dx b) J   x x 1. e. Bài toán 8.33: Tính: a) I . 4.  1. Hướng dẫn giải e. a) I .  1  ln x . 1 2. 1. 4. . b) J  2 ln xd. e.   . x  2 x .ln x. 1.  4ln 4  4. . . 3 1 2 d 1  ln x   1  ln x  2  2 2  1 2 3 1.  . 4. x. 1. . 4 1. 4.  2 1. dx x.  4  ln 4  1  /2. Bài toán 8.34: Tính: a) A . . cos x ln  sin x  dx. 3. . b) B  ln.  /4. 2. x 1 dx x 1. Hướng dẫn giải  /2. a) A .  /2.  ln  sin x  d  sin x   sin x.ln  sin x   /4. /4.  /2. .  cos xdx /4. Trang 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span>  /2. 2 2 2 2  ln 2  sin x  ln 2  4 4 2  /4 3. x 1  2x  b) B   x ln    2 dx  3ln 3  6ln 2 x 1  2 2 x 1  3. 3. Bài toán 8.35: Tính: a) C . 3  ln x.   x  1. 3. b) D . dx 2. 1. . . x ln x  x 2  1. 0. x2  1. dx. Hướng dẫn giải. 3  ln x dx  1  a) C    3  ln x  d    x  1 1 1 x  x  1  x 1 2 3. 3. 3. 3  ln 3 3 1 dx 1 27      dx     3  ln  4 2 1x x 1 4  16  1 3. 3. . . x. b) Đặt u  ln x  x 2  1 , dv . . D  x  1.ln x  x  1 2. 2. . x2  1 3. 0. thì:. 3.   dx  2ln 3  3 0. Bài toán 8.36: Tính: e. a) I . . 1  2 x  ln x  3 dx. 2. b) I . 1  x ln x. 1. x  2ln x.   x  1. 3. dx. 1. Hướng dẫn giải e. . a) Ta có I . 1  2 x  ln x  3 dx  e 2 1  x ln x   1  ln x  dx 1  x ln x. 1. . 1  x ln x. 1. 1  ln x 1  ln x e dx  2 x 1   dx  2  e  1  J 1  x ln x 1  x ln x 1 1. e. e.  2 dx   1 e. Tính J . e. 1  ln x.  1  x ln x dx 1. Đặt t  1  x ln x  dt  1  ln x  dx Khi x  1 thì t  1 , khi x  e thì t  1  e 1 e. nên J .  1. dt 1 e  ln t 1  ln 1  e  nên I  2  e  1  ln 1  e  t Trang 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 2. b) I . x  2ln x.   x  1. 3. 1.  1 1 2ln x  dx       dx 2 3 3   x  1  x  1  1   x  1 2. 2. 2. 2. 2. 1 1 1 ln x 7 ln x   .  2 dx   2 dx 2 3 3 x  1 1 2  x  1 12 1  x  1 1  x  1 1 2. Tính J . ln x.   x  1 dx 3. 1. Đặt u  ln x, dv . dx.  x  1 2. J . ln x 2  x  1. 2 1. 3. dx 1 1 ,v   . x 2  x  12. . Khi đó du . 2 2 1 dx ln 2 1  1 1 1           dx 2 1 x  x  12 18 2 1  x x  1  x  12 . 2. ln 2 1  x 1  ln 2 1  4 1     ln    ln     18 2  x  1 x  1  1 18 2  3 6  . ln 2 1 4 1  ln  18 2 3 12. Suy ra I . 7 4 ln 2 5  ln 2 1 4 1   2   ln    ln   12 3 9 72  18 2 3 12  ln 2. . Bài toán 8.37: Tính: a) I . 0. 2  xe x 0 x2  2 x  1dx 1. x dx x e  e x  2. b) I . Hướng dẫn giải ln 2. a) Ta có I .  0. x dx  x e  e x  2. Đặt u  x, dv . e. ex x.  1. ln 2. x Ta có: I   x  e 1 0 ln 2. Tính J . e 0. 2. ln 2.  0. e. xe x x.  1. 2. dx. dx . Khi đó du  dx, v  . ln 2.  0. dx ln 2   x e 1 3. ln 2. e 0. 1 e 1 x. dx 1. x. dt dx . Đặt e x  t thì x  ln t  dx  t 1. x. Khi x  0  t  1; x  ln 2  t  2 Trang 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 2 2 dt 1 1  J      dt  ln t 1  ln t  1 1 t t  1 1  t t  1  1  2. 2. 5  2ln 2  ln3 nên I  ln 2  ln 3 . 3 2 xe x xe x b) Ta có I   dx  dx   dx  1  dx 2 2 2 2    x  1 x  1 x  1 x  1 x  1         0 0 0 0 0 1. 1. Tính. 1. 2. xe x.   x  1. 2. 1. xe x. dx . Đặt u  xe x , dv . 0. Khi đó du   x  1 e x .dx; v   1. dx.  x  1. 2. 1. 1. .. 1 x 1. xe x 1 dx    Ta có:   x  1 e x dx 2  x 1 0 0 x 1 0  x  1 1. xe x. 1. 1. 1 e e e     e x dx    e x dx   1 0 2 0 2 2. Thay vào ta được I . e 2. 2. Bài toán 8.38: Chứng minh F  x  là nguyên hàm của f  x  :. . . a) F  x   ln x  1  x 2  C; f  x  . 1 1  x2. 1 x     C; f  x   cos x 2 4. b) F  x   ln tan . Hướng dẫn giải a) F '  x   b) F '  x  . . 1. x. x2  1  x  x2  1. 1 x2  1.  đpcm.. 1 1 . x  x  2cos 2    tan    2 4 2 4. 1 1 1     cos x x  x   2cos    sin    sin  x   2 2 4 2 4  Trang 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Bài toán 8.39: Tìm cực đại và cực tiểu của hàm số f  x  . e2 x.  t ln tdt. ex. Hướng dẫn giải Gọi F  t  là một nguyên hàm của hàm số t ln t trên  0; .     f '  x   F '  e  2e  F '  e  e. Ta có: f  x   F e2 x  F e x , suy ra: 2x. 2x. x. x.  4 xe4 x  xe2 x  xe2 x  4e2 x  1. f '  x   0  x  0  x   ln 2 Lập BBT thì f đạt cực tiểu tại x  0 và đạt cực đại tại x   ln 2 .. . Bài toán 8.40: Đặt I n  x ne x dx, n . *. . Tính I theo I n 1 với n  2 . Suy ra I 3 . Hướng dẫn giải. I n   x n d  ex   x n .e x  n  x n1e x dx  x n .e x  nI n1 Do đó I 3  x3e x  3I 2 , I 2  x 2e x  2I1 , I1  xe x dx  e x  x  1  C. . . . nên I 3  e x x3  3x 2  6 x  6  C . 1. . Bài toán 8.41: Cho I n  x n e x dx . Tính I n theo I n 1 . 0. Hướng dẫn giải 1. 1. I n   x n d  e x    x n .e x   n  x n1e x dx  e  nI n1 1. 0. 0. 0. e. Bài toán 8.42: Cho J n .   ln x . n. dx . Chứng minh J n1  J n . 1. e n 1. Hướng dẫn giải. J n  x  ln x . n e 1. e.  n   ln x . n 1.  e  nJ n1. 1. Với 1  x  e  0  ln x  1  J n1  J n Do đó J n  e  nJ n1  e  nJ n.   n  1 J n  e  đpcm. Bài toán 8.43: Tính tích phân Trang 21.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> x2  1 1 x2 ln xdx 2. 1. . b) I . a) I  x 2  x dx 2. 0. Hướng dẫn giải 1. 1. 1. 1/2 1 1 a) I   x 2  x dx     2  x 2  d  2  x 2     u1/2 du 20 22 0 2. 2. . . 1 1  1   u1/2 du (đặt u   2  x 2  )   u 3/2   2 2  1 . 21 3 1 3 2. x2  1 1 x2 ln xdx 2. b) I . dx Đặt t  ln x   dt , x  et , t 1  0, t  2   ln 2  I  x. ln 2.  t e. t.  e t  dt. 0. Đặt u  t  du  dt , dv  et  et , chọn v  et  et.  I  t  et  et    0 ln 2. ln 2.  e. t.  et  dt . 0. Cách khác: Đặt u  ln x  du . dv . 5ln 2  3 2. dx x. x2  1 1  1  dx  1  dx  v  x    2 x2 x  x  2. 2. 1 1  dx 5 1 5 1      I   x   ln x    x    ln 2   1  2  dx  ln 2   x   x x x 2 x  2 x 1   1 1 1 2. 2. 5 1 5 3   ln 2   2    ln 2  . 2 2 2 2 . 3. BÀI LUYỆN TẬP Bài toán 8.1: Chứng minh F  x  là một nguyên hàm của f  x  : a) F  x   x ln x  x; f  x   ln x b) F  x   ln tan. x 1  C; f  x   2 sin x Hướng dẫn. a) Dùng định nghĩa và công thức đạo hàm Trang 22.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> b) Dùng định nghĩa và công thức  ln u  ' . . u' u b) P . Bài tập 8.2: Tính: a) A  x 7  3x 2 dx. . x 3. x2  4. dx. Hướng dẫn 3 1 2 2 a) Đổi biến t  7  3x . Kết quả   7  3x   C 3. 2. 2 3 2 b) Kết quả  x  4  3  C 4. Bài tập 8.3: Tính a). . . dx. x 1 x. .  2x. b). 2. xdx 2.  1  3 x2  1. Hướng dẫn a) Đổi biến t  1  x . Kết quả . 1  b) Kết quả ln 2. . x2  1  1. 2 C 1 x. 2. 2 x2  1  1. C. Bài tập 8.4: Tính a) I . . b) I . 1  x 2 dx. . 1  2 x x2  1  2 x2 1  x  x2  1. dx. Hướng dẫn a) Dùng nguyên hàm từng phần Kết quả. b) Kết quả. . . 1 ln x  1  x 2  x 1  x 2  C 2. . 1 x  x2  1  2 1. Bài tập 8.5: Tính: a) I .  0.   x 1  2. 3. x3dx 4 x. .  x 2  1  2ln x  x 2  1  1   C . 2. b) J .  0. x5  2 x3 x 1 2. dx. Hướng dẫn a) Đổi biến t  4  x 2 . Kết quả. 16 3 3 3 Trang 23.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> b) Kết quả. 26 5 1. Bài tập 8.6: Tính: a) C . 1. dx 0 1  x  x  1. b) D .  x 0. x3dx x2  1. Hướng dẫn a) Trục căn thức ở mẫu. Kết quả b) Kết quả D . . . 1 3  2  ln 1  2 3. . 2 2 1 15. Bài tập 8.7: Tính a).  x e dx 4 x. 12 x dx b)  x 16  9 x Hướng dẫn. a) Dùng tích phân từng phần 4 lần liên tiếp.. . . Kết quả x 4  4 x3  12 x 2  24 x  24 e x  C b) Kết quả. 1 4 x  3x .ln x C 2  ln 4  ln 3 4  3x. Bài tập 8.8: Tính: a). . ln  sin x  dx b)  ln x  1  x 2 dx 2 cos x. . . Hướng dẫn a) Dùng tích phân từng phần. Kết quả tan x.ln  sin x   x  C. . . b) Kết quả x ln x  1  x 2  1  x 2  C. 1 x Bài tập 8.9: Tính a) I   x ln dx 1 x. e. b) J . ln x dx x2 1. . Hướng dẫn a) Dùng tích phân từng phần Kết quả. 1 2 1 x 1 1 x 1 x ln  ln  xC 2 1 x 4 1 x 2. b) Kết quả 1 . 2 e. Bài tập 8.10: Tính:. Trang 24.

<span class='text_page_counter'>(25)</span>  /2. a) I .  e. sin x.  /2.  cos x  cos xdx. b) J . 0. e. 3x. sin 5 xdx. 0. Hướng dẫn a) Tách 2 tích phân và dùng đổi biến, tích phân từng phần. Kết quả e .  4. 1. 3. 3.e 2  5 b) Kết quả 34 1.  . . Bài tập 8.11: Tính: a) I  ln x  1 dx 2. e. b) J . 1.   ln x . 2. dx. 1. Hướng dẫn a) Dùng tích phân từng phần. Kết quả ln 2  2 .  2. b) Kết quả e  2 Bài tập 8.12: Tính: 1. a) I .   x  1 e. x. e. .  x. b) J  . dx. 1. 0. 1   2  ln xdx 1  3ln x . Hướng dẫn a) Dùng tích phân từng phần. Kết quả 2 . 3 e. b) Tách 2 tích phân và dùng đổi biến, tích phân từng phần. Kết quả. 62 . 27. Trang 25.

<span class='text_page_counter'>(26)</span>