CHUYEN DE GIAI VA BIEN LUAN PT BAC 2

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề : Giải và biện luận phương trình bậc hai :. ax 2  bx  c 0(2). Tóm tắt lý thuyết 2. A/ Giải và biện luận: Phương trình ax  bx  c 0(2) - a 0 : phương trình trở về phương trình bậc nhất bx + c = 0. 2 - a 0 : Đặt  b  4ac +   0 : pt(2) vô nghiệm.. +  0 : pt(2) có nghiệm kép. x . b 2a . x.  b   b  x 2a ; 2a. +   0 : pt(2) có 2 nghiệm phân biệt Kết luận: liệt kê từng trường hợp của tham số ứng với nghiệm của phương trình. B/ Hệ thức Vi-et 2  Hai số x1; x2 là hai nghiệm của phương trình ax  bx  c 0(2) khi và chỉ khi chúng thỏa. x1  x2 . b c va` x1.x2  a a .. các hệ thức:  Một số ứng dụng của hệ thức Vi-ét: - Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai. - Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó 2 là hai nghiệm của phương trình: X  SX  P 0 2 ( Điều kiện tồn tại hai số trên là S  4P 0 ) 2 - Phân tích một tam thức bậc hai thành nhân tử: Nếu đa thức f(x) ax  bx  c có hai nghiệm. x1; x 2. thì nó có thể phân tích thành nhân tử. f(x) a(x  x1 )(x  x2 ). - Tính giá trị các biểu thức đối xứng của hai nghiệm của phương trình bậc hai: +. b c ;P x1.x 2  . a a. S x1  x 2 . +. x12  x 22 S2  2P. +. x13  x 32 S3  3SP. C/ Các trường hợp về số nghiệm và dấu các của phương trình: 2. Cho phương trình ax  bx  c 0(2) . Đặt của phương trình (2). 1/ Pt(2) vô nghiệm.   a 0    b 0    c 0    a 0      0. S x1  x 2 . b c ; P x1.x 2  a a trong đó x1; x 2 là 2 nghiệm. 2/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm.   a 0   b 0    a 0     0.

<span class='text_page_counter'>(2)</span>  a 0  2 3/ Pt(2) có 2 nghiệm phân biệt  b  4ac  0  x1.x2  0  P  0. 4/Pt(2) có VSN.  a 0    b 0  c 0 . 5/ Pt(2) có 2 nghiệm trái dấu. 6/ Pt(2) có 2 nghiệm dương. 7/ Pt(2) có 2 nghiệm âm.  0   0  x1 x2   P  0 S  0 .  0   x1 x 2  0   P  0 S  0 . 8/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm dương. 9/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm âm.  a 0; x>0  x  0  x2  1   x1 x 2  0   x1 0  x2  0.  a 0; x<0  x  0  x2  1   x1 x 2  0   x1 0  x2  0. 10/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm dương.   a 0    x  c  0    b  P0 .   a 0     0  S  0   P 0    S  0.   a 0    a 0    0   c  x   0    S  0    b   P 0  P0     S  0.   a 0   a 0; x>0   x  c  0    x1 0  x2     b   x1 x 2  0  P 0    S  0 .  a 0    0  S  0  P  0.  a 0 b   x  2a 11/Pt(2) có nghiệm kép  0. 12/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm âm.   a 0   a 0; x>0   x  c  0    x1 0  x2     b   x1 x2  0  P 0    S  0 .  a 0    0  S  0  P  0. Các dạng bài tập áp dụng: I/ Dạng : Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc 2: Phương pháp:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> - Đặt điều kiện: (Tìm tập xác định của phương trình). - Quy đồng khử mẫu, quy về phương trình bậc hai. - Giải phương trình, so với điều kiện để nhận nghiệm. 2x  5 3x  2  5 x Ví dụ 1: Giải phương trình x  3. Giải. Điều kiện: x  3  x 0 Pt  (2x  5)x  (3x  2)(x  3) 4x(x  3)  x  6(nhan)  x2  6    x  6(nhan). Nghiệm phương trình x  6 Bài tập: Giải các phương trình 2x  1 x  1 3x  7   2 1/ x  2 x  3 x  5x  6 2x  1 x  1 5x  1   2 2/ x  4 x  1 x  5x  4. II/ Dạng: Giải và biện luận phương trình: 2 Ví dụ: Giải và biện luận phương trình (m  2)x  2(m  1)x  m  5 0 Giải. *. m  2 0  m 2 : Pt   6x  3 0  x . 1 2. 2 * m  2 0  m 2 :  ' (m  1)  (m  2)(m  5) 9m  9 9(m  1) +  '  0  9(m  1)  0  m  1 : Phương trình vô nghiệm.. m 1 x  2  '  0  9(m  1)  0  m  1 m 2 + : Phương trình có nghiệm kép . +  '  0  9(m  1)  0  m  1 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt  m 1  3 m  1 x  m 2   m 1  3 m  1 x   m 2. Kết luận: + m < 1: Phương trình vô nghiệm + m = 1: phương trình có nghiệm x = -2 + m = 2: phương trình có nghiệm. x . 1 2.  m 1  3 m  1 x  m 2   m 1  3 m  1 x  m 2 + 1  m 2 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài tập áp dụng: 2 1/ (m  1)x  (2m  3)x  m  2 0 2 2/ (m  1)x  2(m  2)x  m  4 0 2 3/ (m  1)x  2(m  1)x  3m  1 0 2 4/ (m  1)x  (2  m)x  1 0 2 III/ Dạng : Tìm giá trị của m để phương trình a.x  bx  c 0 có hai nghiệm phân biệt, chứng minh phương trình luôn có nghiệm: 2. Phương pháp: tính   b  4ac nếu  0 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2 + 5x + ( m - 4 ) = 0 có hai nghiệm phân biệt Giải Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì  25  4  m  4   0  41  4m  0 41  m 4 Ví dụ 2: cho phương trình x2 -2( m + 1 )x +4m = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m x1 x2 5   x b) Tìm m để phương trình có nghiệm x và x thoả mãn điều kiện 2 x1 2 1. 2. Giải a) Ta có 2   m  1  4m m 2  2m  1 2.  m  1 0 b) Theo vi ét ta có x1.x 2 2( m  1);x1  x 2 4m 2. x1 x2 5  x  x   2 x1x2  5    1 2 x2 x1 2 x1 x2 2 4m 2  2.2(m  1) 5   2( m  1) 2  4m 2  2.2(m  1) 5(m  1); m  1  4m 2  9m  9 0;  81  144 225,  15 9  15 24 9  15  3  m1   3; m2   8 8 8 4 Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho phương trình x2 + ( 2m – 1 )x – m = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 2 2 A  x  x  6 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất 1 2 b) Tìm m để Bài tập 2:Cho phöông trình baäc hai x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3 = 0 a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình có nghiệm là 2, tìm nghiệm còn lại 2 2 c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x và x thoả mãn x1 +x 2  8 1. 2. Bài tập 3: Tìm các giá trị của m để các nghiệm của phương trình 2 2 x 2   m  2  x  m  5 0 a) Thoả mãn x1  x2 10 2 x x  2  x1  x2   19 0 b) x  mx  (m  1) 0 Thoả mãn 1 2 2 Bài tập 4: Cho phöông trình x   m  3 x  2( m  2) 0. a) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn x1 2 x2 2  x1  x2   x1 x2 c) Chứng tỏ rằng A = độc lập với m 2 Bài tập 5: Cho phương trình bậc hai (m – 4)x – 2( m – 2)x + m – 1 = 0 a ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 1  5 x b) Tìm m để 1 x2. c) Tìm hệ thức giữa x1 và x2 độc lập với m giải 2m  4 2m  4 4  S  2  2 m 4 m 4 m  4 (1) HD: c) m 1 m 1 3 P  P  1  1 (2) m 4 m 4 m 4 S 2 4   3  S  2  4  P  1 Lấy (1) chia cho (2) ta có: P  1 3  3S  4 P  2 0  3( x1  x2 )  4 x1 x2  2 0 S. II/ Dạng 2: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép Phương pháp tính  rồi xét  = 0 thì phương trình có nghiệm kép 2 2 Ví dụ 1:Tìm m để phương trình x  3mx  (2m  m  1) 0 có nghiệm kép tìm n kép đó Giải  9m  4  2m  m  1 9m  8m  4m  4 ( m  2) 2 2. 2. 2. 2. 2 Phương trình có nghiệm kép khi  ( m  2) 0  m  2 3m  6 x1 x2    3 2 2 Nghiệm kép đó là.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bài tập: Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau có nghiệm kép tìm nghiệm kép đó a) mx 2  2(m  2)  9 0 b)(m  4) x 2  2mx  m  2 0 c)( m  1) x 2  m3 x  m 2 (m  1) 0 d )( m  3) x 2  mx  m 0 IV/ Dạng : Tìm điều kiện để hai phương trình có nghiệm chung 2 2 Ví dụ 1: Tìm m để hai phương trình sau x  mx  1 0 và x  x  m 0 có nghiệm chung tìm nghiệm chung đó Giải 2 2 Giả sử x là nghiệm chung của hai phương trình ta có x0  mx0  1 0 và x0  x0  m 0 0. Trừ vế với vế của mỗi phương trình ta được ( m – 1)(x0 – 1) = 0 a) Nếu m = 1 thì hai phương trình đã cho trở thành x2 + x +1 = 0 Phương trình này vô nghiệm do   3  0 Vậy m 1 do đó x0 = 1 Thay x0 = 1 vào phương trình (1)ta được m = -2 -Với m = -2 thì phương trình x2 – 2x + 1 = 0 có nghiệm kép x1= x2 = 1 Phương trình x2 +x – 2 = 0 có nghiệm x3 = 1; x4 = -2 Vậy nghiệm chung x0 = 1 Bài tập 1: với giá trị nào của m thì hai phương trình sau 2 x 2  (3m  1) x  9 0 và 6 x 2  (7 m  1) x  19 0 có ít nhất một nghiệm chung tìm nhiệm chung đó. Bài tập 2: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung x 2  x  (m  2) 0 và x 2  (m  2) x  8 0 V/ Dạng : Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện. 2 Ví dụ: Định m để phương trình x  2(m  1)x  2m  1 0 có 2 nghiệm bằng nhau và tìm nghiệm đó. 2 Giải: phương trình đã cho có nghiệm kép   ' (m  1)  (2m  1) 0.  m 0  m 2  4m 0    m 4 Với m 0  x m  1  1 Với m 4  x 4  1 3. Vậy m = 0 thì nghiệm x = -1 m = 4 thì nghiệm x = 3 Bài tập 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó. 2 1/ mx  2(m  3)x  m  1 0 2 2/ (1  4m)x  4mx  m  3 0 2 3/ (m  2)x  mx  2m  3 0.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bài tập 2: Chứng tỏ phương trình sau có nghiệm với mọi m thuộc R 2 1/ x  2(m  1)x  4m  3 0 2 2 2/  2x  2(m  1)x  m  m 0 2 2 2 3/ (2m  1)x  2(m  4)x  1 0 2. 4/ x  (2m  7)x  2m 0 Bài tập 3: Chứng tỏ phương trình sau vô nghiệm với mọi m thuộc R 2 2 1/ 2x  2(m  3)x  m  3m  5 0 2 2 2/ 3x  2(3m  2)x  3m  4m  3 0 2 2 4 2 3/ (m  1)x  (m  2m  1)x  1 0.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>