Chuyen de gioi han co dap an va loi giai chi tiet Dang Viet Dong File word

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.47 MB, 138 trang )

(1)Giới hạn – ĐS&GT 11. Trang 1.

(2) Giới hạn – ĐS&GT 11. MỤC LỤC PHẦN I – ĐỀ BÀI .................................................................................................................................... 4 GIỚI HẠN DÃY SỐ ................................................................................................................................ 4 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP ................................................................................................. 4 B – BÀI TẬP ............................................................................................................................................ 4 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA ........................................................................... 4 DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN ...................................................................................................................................................... 7 GIỚI HẠN HÀM SỐ .............................................................................................................................. 15 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT ................................................................................................................ 15 B – BÀI TẬP .......................................................................................................................................... 16 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM .................... 16 DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH. 0 ........................................................................... 19 0. DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH.  .......................................................................... 25 . DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC ............................................ 29 DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƢỢNG GIÁC ............................................................................................... 31 HÀM SỐ LIÊN TỤC .............................................................................................................................. 34 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP ............................................................................................... 34 B – BÀI TẬP .......................................................................................................................................... 34 DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM ........................................................ 34 DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH ............................................. 39 DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH .................... 43 ÔN TẬP CHƢƠNG IV .......................................................................................................................... 44 PHẦN II – HƢỚNG DẪN GIẢI ............................................................................................................ 52 GIỚI HẠN DÃY SỐ .............................................................................................................................. 52 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP ............................................................................................... 52 B – BÀI TẬP .......................................................................................................................................... 52 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA ......................................................................... 52 DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN .................................................................................................................................................... 57 GIỚI HẠN HÀM SỐ .............................................................................................................................. 80 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT ................................................................................................................ 80. Trang 2.

(3) Giới hạn – ĐS&GT 11 B – BÀI TẬP........................................................................................................................................... 80 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM .................... 80 DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH. 0 ........................................................................... 87 0. DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH.  .......................................................................... 97 . DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC ........................................... 108 DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƢỢNG GIÁC ............................................................................................. 112 HÀM SỐ LIÊN TỤC ............................................................................................................................ 120 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP.............................................................................................. 120 B – BÀI TẬP......................................................................................................................................... 120 DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM ....................................................... 120 DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH ........................................... 128 DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH .................. 136 ĐÁP ÁN ÔN TẬP CHƢƠNG IV ......................................................................................................... 138. Trang 3.

(4) Giới hạn – ĐS&GT 11. PHẦN I – ĐỀ BÀI GIỚI HẠN DÃY SỐ A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP GIỚI HẠN HỮU HẠN 1. Giới hạn đặc biệt: 1 1 lim  0 (k  ¢  ) lim  0 ; n nk n n lim q  0 ( q  1) ; n. n. lim C  C. n. 2. Định lí : a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì  lim (un + vn) = a + b  lim (un – vn) = a – b  lim (un.vn) = a.b u a  lim n  (nếu b  0) vn b b) Nếu un  0, n và lim un= a thì a  0 và lim. un  a. c) Nếu un  vn ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 d) Nếu lim un = a thì lim un  a 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn u S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1  q  1 1 q. GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Giới hạn đặc biệt:. lim n  . lim nk   (k ¢  ). lim qn   (q  1) 2. Định lí:. a) Nếu lim un   thì lim. 1 0 un. b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim. un vn. =0. c) Nếu lim un = a  0, lim vn = 0 u  neá u a.vn  0 thì lim n =  neá u a.vn  0 vn  d) Nếu lim un = +, lim vn = a  neá u a 0 thì lim(un.vn) =  neá u a 0  * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô 0  định: , ,  – , 0. thì phải tìm cách khử 0  dạng vô định.. B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phƣơng pháp:  Để chứng minh lim un  0 ta chứng minh với mọi số a  0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho un  a n  na ..  Để chứng minh lim un  l ta chứng minh lim(un  l )  0 .  Để chứng minh lim un   ta chứng minh với mọi số M  0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên. nM sao cho un  M n  nM .  Để chứng minh lim un   ta chứng minh lim(un )   .  Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:. Trang 4.

(5) Giới hạn – ĐS&GT 11 A. Nếu lim un   , thì lim un   .. B. Nếu lim un   , thì lim un   .. C. Nếu lim un  0 , thì lim un  0 .. D. Nếu lim un  a , thì lim un  a .. 1 bằng: n 1 A. 0 B. 1 1 Câu 3. Giá trị của lim k (k  ¥ *) bằng: n A. 0 B. 2 2 sin n Câu 4. Giá trị của lim bằng: n2 A. 0 B. 3 Câu 5. Giá trị của lim(2n  1) bằng: A.  B.  2 1 n Câu 6. Giá trị của lim bằng: n A.  B.  2 Câu 7. Giá trị của lim bằng: n 1 A.  B.  cos n  sin n Câu 8. Giá trị của lim bằng: n2  1 A.  B.  n 1 Câu 9. Giá trị của lim bằng: n2 A.  B.  3 3n  n Câu 10. Giá trị của lim bằng: n2 A.  B.  2n Câu 11. Giá trị của lim bằng: n 1 A.  B.  2n  1 Câu 12. Giá trị của A  lim bằng: n2 A.  B.  2n  3 Câu 13. Giá trị của B  lim 2 bằng: n 1 A.  B. . Câu 2. Giá trị của lim. n2  1 bằng: n 1 A.  B.  n2 n Câu 15. Giá trị của A  lim bằng: 2n. C. 2. D. 3. C. 4. D. 5. C. 5. D. 8. C. 0. D. 1. C. 0. D. 1. C. 0. D. 1. C. 0. D. 1. C. 0. D. 1. C. 0. D. 1. C. 0. D. 1. C. 2. D. 1. C. 0. D. 1. C. 0. D. 1. 1 2. D. 1. Câu 14. Giá trị của C  lim. A. . Trang 5. B. . C..

(6) Giới hạn – ĐS&GT 11 n sin n  3n 2 bằng: n2 B.  1 bằng: C  lim 2 n 2 n 7 B.  4n  1 bằng: D  lim n2  3n  2 B.  n a lim  0 bằng: n! B.  n lim a với a  0 bằng: B. . Câu 16. Giá trị của B  lim A.  Câu 17. Giá trị của A.  Câu 18. Giá trị của A.  Câu 19. Giá trị của A.  Câu 20. Giá trị của A. . Trang 6. C. 3. D. 1. C. 0. D. 1. C. 0. D. 4. C. 0. D. 1. C. 0. D. 1.

(7) Giới hạn – ĐS&GT 11. DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN Phƣơng pháp:  Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đƣa về các giới hạn cơ bản. f ( n) ta thƣờng chia cả tử và mẫu cho n k , trong đó k là bậc lớn nhất của tử và  Khi tìm lim g ( n) mẫu.  Khi tìm lim  k f (n)  m g (n)  trong đó lim f (n)  lim g (n)   ta thƣờng tách và sử dụng phƣơng pháp nhân lƣợng liên hơn.. Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:. + Dùng các hằng đẳng thức:. HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”. Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 . a  b  a  b   a  b;.  3 a  3 b   3 a2  3 ab  3 b2   a  b.  Dùng định lí kẹp: Nếu un  vn ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trƣờng hợp sau đây:  Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.  Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.  Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu. Câu 1. Cho dãy số  un  với un . 1 . 2 n cos 2n   Câu 2. Kết quả đúng của lim  5  2  là: n 1   A.. 1 . 4. n u 1 và n 1  . Chọn giá trị đúng của lim un trong các số sau: n 4 un 2. A. 4. Câu 3. Giá trị của. A  lim. Trang 7. B.. C. 0 .. D. 1 .. B. 5.. C. –4.. D.. 2n  1 bằng: 1  3n. 1 . 4.

(8) Giới hạn – ĐS&GT 11 B. . A.  Câu 4. Giá trị của. B  lim. 2 3. B. . Câu 5. Kết quả đúng của lim 3 . 3. Câu 6. Giới hạn dãy số  un  A.  .. C.. 4 9. là 3n 4  2 2 B.  . 3 3n  n 4 với un  là: 4n  5. 1 C.  . 2. B.  .. C.. 3 . 4. 2 . 5 2n2  3n  1 Câu 8. Giá trị của A  lim 2 bằng: 3n  n  2 B.. C.  .. A. . B. . C.. n 2  2n n  3n 2  1. A.  Câu 11. Giá trị của D  lim A.  Câu 12. Giá trị của C  lim. 2.  1  n  2  4. n2  1  3 3n3  2 2n 4  n  2  n. D. 1. 1 1 3. C. 0. D.. C. 16. D. 1. bằng: C.. 1 3 3 4 2 1. D. 1. 3n3  1  n. bằng: 2n4  3n  1  n A.  B.  (n  2)7 (2n  1)3 Câu 13. Giá trị của. F  lim bằng: (n2  2)5 A.  B.  n3  1 Câu 14. Giá trị của. C  lim bằng: n(2n  1) 2 Trang 8. 2 3. D.  .. bằng:. B.  4. D. 0 .. 9. n17  1 B.  4. 1 . 2. bằng:. B. .  2n Câu 10. Giá trị của C  lim. D.. n 3  2n  5 : 3  5n. A. 5 .. A. . D. 1.  n 2  2n  1. Câu 7. Chọn kết quả đúng của lim. Câu 9. Giá trị của B  lim. D. 1. 4n2  3n  1 bằng: (3n  1)2. A. . A. . C. . C. 0. D. 1. C. 8. D. 1.

(9) Giới hạn – ĐS&GT 11 A.  Câu 15. Giá trị của. D  lim A.  Câu 16. Giá trị của. E  lim A.  Câu 17. Giá trị của. F  lim. B. . C.. 1 4. D. 1. n3  3n2  2 bằng: n 4  4n 3  1 B. . C. 0. D. 1. n  2n  1 bằng: n2 B. . C. 0. D. 1. 3. 4. n  2n  1  2n 4. 3. 3n3  n  n. B. . A. . Câu 18. Cho dãy số un với un   n  1 A.  . Câu 19. lim A.  .. bằng:. B. 0 . 10 n  n2  1 4. C.. 2n  2 . Chọn kết quả đúng của lim un là: n  n2  1 C. 1 . D.  .. B. 0 . 1  3  5  ....   2n  1 3n2  4 1 B. . 3. Câu 22. Chọn kết quả đúng của lim 3  A. 4 . Câu 23. Giá trị của D  lim bằng: A. . C. 0 .. D.  .. C. 1. 1 D. . 2. 2 C. . 3. D. 1 .. C. 2 .. D.. n2  1 1  . 3  n 2 2n. B. 3 .. 1 . 2. ak nk  ...  a1n  a0 (Trong đó k , p là các số nguyên dƣơng; ak bp  0 ). bp n p  ...  b1n  b0. B.  2  5n  2 Câu 24. Kết quả đúng của lim n là: 3  2.5n 1 5 A.  . B.  . 2 50 n n 1 3  4.2  3 Câu 25. lim bằng: 3.2n  4n A.  . B.  .. Trang 9. D. 1. bằng :. A. 1 .. A. 0 .. 3 3 1. 4. B. 10 . n 1  4 Câu 20. Tính giới hạn: lim n 1  n. Câu 21. Tính giới hạn: lim. 3. C. Đáp án khác. D. 1. 5 . 2. D. . C. 0 .. D. 1 .. C.. 25 . 2.

(10) Giới hạn – ĐS&GT 11 Câu 26. Giá trị của C  lim. 3.2n  3n bằng: 2n 1  3n 1. B. . A. . C. . Câu 27. Giá trị đúng của lim  3n  5n  là: A.  .. B.  . 3.2n  3n Câu 28. Giá trị của. K  lim n 1 n 1 bằng: 2 3 1 A.  B.  3 5n  1 Câu 29. lim n bằng : 3 1 A.  . B. 1 .. D. 1. C. 2 .. D. 2 .. C. 2. D. 1. C. 0. D.  .. 1 C. . 4. D.  .. C. 0. D. 1. n 1. 4 2 bằng : 3n  4n  2 n. Câu 30. lim 4. 1 3. 1 B. . 2. A. 0 . Câu 31. Giá trị của. C  lim A. . 3.3n  4n bằng: 3n 1  4n 1 1 B. 2. Câu 32. Cho các số thực a,b thỏa a  1; b  1 . Tìm giới hạn I  lim. 1  a  a 2  ...  a n . 1  b  b2  ...  bn. 1 b 1 a k k 1 a .n  a n  ...  a1n  a0 Câu 33. Tính giới hạn của dãy số A  lim k p k 1 p 1 với ak bp bp .n  bp 1n  ...  b1n  b0 A.  B.  C. Đáp án khác n   Câu 34. lim  n2 sin  2n3  bằng: 5   A.  . B. 0 . C. 2 . B. . A. . Câu 35. Giá trị của. M  lim Câu 36. Giá trị của. H  lim. . . A.  Bài 40. Giá trị của K  lim n. D.  .. D. 1. 1 2. D. 1. C. 0. D. 1. 2n 2  1  n bằng:. B. . . . n 2  1  n bằng:. .:. D. 1. C. 3. C.. . . 0. n2  n  1  n bằng:. B. . A. . Trang 10. . D. 1. n  6n  n bằng: 2. B. . A. . Câu 37. Giá trị của B  lim. . C..

(11) Giới hạn – ĐS&GT 11 B. . A. . . . Câu 38. Giá trị đúng của lim. C.. Câu 39. Giá trị của A  lim. D. 1. n2  1  3n2  2 là:. B.  .. A.  .. 1 2. . C. 0 .. . D. 1 .. Đăng ký mua file word trọn. n 2  6n  n bằng:. bộ chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”. Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 A.  Câu 40. Giá trị của B  lim. . A.  Câu 41. Giá trị của D  lim. . A. . B. . 1 12. Câu 43. Giá trị của. N  lim A.  Câu 44. Giá trị của. K  lim. B.  n  2n  n  2n. A.  Câu 45. Giá trị của. N  lim. 3. 2. 3. 2. . D. 3. 1 3. D. 1. 3. C. 0. D. 1. C.. . 1  n2  8n3  2n bằng:. B. . . . 4n2  1  3 8n3  n bằng:. B.  3. C. 0. 3. . C. . . 5 12. B.  C. 0 Câu 46. Giá trị đúng của lim  n n  1  n 1  là:   A. 1 . B. 0 . C. 1 .. . A. . Trang 11. . D. 1. n3  3n2  1  n bằng:. A. . Câu 47. Giá trị của. H  lim n. D. 1. n3  n2  1  3 4n2  n  1  5n bằng:. B. . . C. 0.  bằng:. B. . . D. 1. n3  9n2  n bằng:. 3. Câu 42. Giá trị của. M  lim A. . . C. 3. 3. D. 1. . D.  .. . 8n3  n  4n2  3 bằng:. B. . C. . 2 3. D. 1.

(12) Giới hạn – ĐS&GT 11 Câu 48. Giá trị của A  lim. . . n2  2n  2  n bằng:. B. . A. . C. 2. D. 1. Câu 49. lim 200  3n  2n bằng : A. 0 . B. 1 . C.  . 3 2n  sin 2n  1 Câu 50. Giá trị của. A  lim bằng: n3  1 A.  B.  C. 2 n n! Câu 51. Giá trị của. B  lim bằng: n 3  2n A.  B.  C. 0 n 1 Câu 52. Giá trị của. D  lim bằng: n2 ( 3n 2  2  3n 2  1) 2 A.  B.  C. 3 5. 5. 2. Câu 53. Giá trị của. E  lim( n2  n  1  2n) bằng: A.  B.  Câu 54. Giá trị của. F  lim A. . . . D.  .. D. 1. D. 1. D. 1. C. 0. D. 1. C. 0. D. 1. n  1  n bằng:. B. . Câu 55. Giá trị của. H  lim( n  1  n  1) bằng: A.  B.  C. Đáp án khác D. 1 1 1 1 Câu 56. Tính giới hạn của dãy số un  :   ...  2 1 2 3 2 2 3 (n  1) n  n n  1 A.  B.  C. 0 D. 1 k. p. 2. 2. (n  1) 13  23  ...  n3 : 3n3  n  2 1 C. D. 1 9 n(n  1) 1 1 1 .:  (1  )(1  )...(1  ) trong đó Tn  2 T1 T2 Tn 1 C. D. 1 3 23  1 33  1 n3  1 .:  3 . 3 .... 3 2 1 3 1 n 1 2 C. D. 1 3 n 2k  1  k .: 2 k 1 C. 3 D. 1 2 n .:  q  2q  ...  nq với q  1. Câu 57. Tính giới hạn của dãy số un  A. . B. . Câu 58. Tính giới hạn của dãy số un A. . B. . Câu 59. Tính giới hạn của dãy số un A. . B. . Câu 60. Tính giới hạn của dãy số un A.  B.  Câu 61. Tính giới hạn của dãy số un A. . Trang 12. B. . C.. q. 1 q . 2. D.. q. 1 q . 2.

(13) Giới hạn – ĐS&GT 11 n. n k 1 n  k. Câu 62. Tính giới hạn của dãy số un   A. . B. . Câu 63. Tính giới hạn của dãy số B  lim A. . A. . B. . D. 1. n  n  1  4 n  2n  1 (2n  3)2 6. 4. .:. C. 3. . B. . Câu 65. Tính giới hạn của dãy số D  lim. .: C. 3. 3. B. . Câu 64. Tính giới hạn của dãy số C  lim A. . 2. 4n 2  n  1  2n. D.. . .:. C. 3. . D.. n 2  n  1  2 3 n3  n 2  1  n. C. . 3 4. . 1 6. 1 4. .: D. 1. 1 Câu 66. Cho dãy số ( xn ) xác định bởi x1  , xn1  xn2  xn ,n  1 2 1 1 1 Đặt Sn  . Tính lim Sn .  L  x1  1 x2  1 xn  1 A.  B.  C. 2 1 2 k Câu 67. Cho dãy ( xk ) đƣợc xác định nhƣ sau: xk    ...  2! 3! (k  1)!. D. 1. n Tìm lim un với un  n x1n  x2n  ...  x2011 .. A. . B. . C. 1 . 1 2012!. u0  2011 u3  Câu 68. Cho dãy số (un ) đƣợc xác định bởi:  1 . Tìm lim n . n un 1  un  u 2 n  A.  B.  C. 3 x 1 1 Câu 69. Cho dãy x  0 xác định nhƣ sau: f ( x)  . Tìm  0;   . x A.  B.  C. 2010 n. 1  3  5  ...  (2n  1) Câu 70. Tìm lim un biết un  2n 2  1 1 A.  B.  C. 2 3  x  2  2x 1 khi x  1  Câu 71. Tìm lim un biết f ( x)   x 1 3m  2 khi x  1  A. . Trang 13. B. . D. 1 . D. 1. D. 1. D. 1. 3. C. 2. D.. 6 2. 1 2012!.

(14) Giới hạn – ĐS&GT 11.  x  1 1 khi x  0  Câu 72. Tìm lim un biết f ( x)   x 2 x 2  3m  1 khi x  0  A.  B.  C. 2  2x  4  3 khi x  2  Câu 73. Tìm lim un biết f ( x)   trong đó x  1 . x 1 khi x  2  2  x  2mx  3m  2 B. . A. . D. 1. Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ. Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”. Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 C.. 1 3. D. 1 n. 1. Câu 74. Tìm lim un biết un  . n2  k B.  k 1. A. . C. 3. D. 1. C. 2. D. 1. Câu 75. Tìm lim un biết un  2 2... 2 1 42 43 n dau can. B. . A. . Câu 76. Gọi g ( x)  0, x  2 là dãy số xác định bởi  . Tìm lim f ( x)  lim x 2. B. . A. . C. 2. 2. 4 3. x 2. . . 2x  4  3  3 . D. 1. 1   1  1 Câu 77. Cho dãy số A   x12  x1 x2    x1 x2  x22   x12 x22  3  0 đƣợc xác định nhƣ 2   4  2 sau  x1  x2 . 3 Đặt x  . Tìm  x3  2 x  3 3  2 x  4  0 . 2 1 A.  B.  C. D. 1 2 Câu 78. Cho a, b  ¥ å ,(a, b)  1; n ab  1, ab  2,... . Kí hiệu rn là số cặp số (u, v)  ¥ å  ¥ å sao cho. rn 1  . n  n ab. n  au  bv . Tìm lim. Trang 14.

(15) Giới hạn – ĐS&GT 11 A. . B. . C.. 1 ab. D. ab  1. 1  u1  2 Câu 79. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi :  . Tìm kết quả đúng của lim un . un 1  1 , n  1 2  un  1 A. 0 . B. 1 . C. 1 . D. 2 1  1 1 1  Câu 80. Tìm giá trị đúng của S  2 1     ...  n  .......  . 2  2 4 8  1 A. 2  1 . B. 2 . C. 2 2 . D. . 2  1 1 1  Câu 81. Tính giới hạn: lim    ....   n  n  1  1.2 2.3 3 A. 0 B. 1 . C. . D. Không có giới 2 hạn.  1  1 1 Câu 82. Tính giới hạn: lim    ....   n  2n  1  1.3 3.5 2 A. 1 . B. 0 . C. . D. 2 . 3  1  1 1 Câu 83. Tính giới hạn: lim    ....   n  n  2  1.3 2.4 3 2 A. . B. 1 . C. 0 . D. . 4 3  1 1 1   ...  Câu 84. Tính giới hạn: lim   . n(n  3)  1.4 2.5 11 3 A. . B. 2 . C. 1 . D. . 18 2  1  1  1  Câu 85. Tính giới hạn: lim 1  2 1  2  ... 1  2   .  2  3   n   1 1 3 A. 1 . B. . C. . D. . 2 4 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Giới hạn hữu hạn 1. Giới hạn đặc biệt: lim c  c lim x  x0 ; x x0. (c: hằng số) 2. Định lí: Trang 15. x x0. Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực 1. Giới hạn đặc biệt:  neá u k chaü n lim xk   ; lim xk    neá u k leû x x .

(16) Giới hạn – ĐS&GT 11 a) Nếu lim f ( x)  L và lim g( x)  M x x0. x x0. thì: lim  f ( x)  g( x)  L  M x x0. lim  f ( x)  g( x)  L  M. x x0. lim  f ( x).g( x)  L.M. x x0. f ( x) L (nếu M  0)  x x0 g( x) M b) Nếu f(x)  0 và lim f ( x)  L lim. x x0. thì L  0 và lim. x x0. f ( x)  L. c) Nếu lim f ( x)  L thì lim f ( x)  L x x0. x x0. 3. Giới hạn một bên: lim f ( x)  L  x x0. lim f ( x)  lim f ( x)  L. x x0. x x0. lim c  c ;. x. c. 0 xk 1 lim   x0 x lim. x. 1   ; x0 x 1 1 lim  lim     x0 x x0 x 2. Định lí: Nếu lim f ( x)  L  0 và lim g( x)   thì: lim. x x0. x x0.  neá u L vaølim g( x) cuø ngdaá u  x x0 lim f ( x)g( x)   u L vaølim g( x) traù i daá u x x0  neá x x0  0 neá u lim g( x)   x x0  f ( x)  lim   neá u lim g( x)  0 vaøL .g( x)  0 x x0 g( x) x x0   neá u lim g( x)  0 vaøL .g( x)  0  x x0   0 lim f ( x)  x * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: x , x0 0  ,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định. . B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM Phƣơng pháp: + Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số. + Nếu f ( x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f ( x0 ) + Nếu f ( x) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải). x3  2 x 2  1 Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: x 1 2 x5  1 1 1 A. 2 . B.  . C. . D. 2 . 2 2 4 x3  1 Câu 2. lim 2 bằng: x 2 3 x  x  2 11 11 A . . B.  . . C. . . D. . 4 4 x 1 Câu 3. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x  2 A.  B.  C. 2 D. 1. Trang 16.

(17) Giới hạn – ĐS&GT 11. . . Câu 4. Tìm giới hạn hàm số lim x3  1 bằng định nghĩa. x 2. B.  C. 9 x3 2 Câu 5. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 A. . A. . B. . C. 2. x3 bằng định nghĩa. x2 A.  B.  C. 2 2 2x  x 1 Câu 7. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x  x2 A.  B.  C. 2 3x  2 Câu 8. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 2 x  1 A.  B.  C. 5. D. 1. D.. 1 4. Câu 6. Tìm giới hạn hàm số lim. x . Câu 9. Cho hàm số f ( x)  5 . 9. A. . D. 1. D. 1. 4 x  3x . Chọn kết quả đúng của lim f ( x) : x 2  2 x  1  x3  2  2. 5 5 . C. . 9 3 x4 2 Câu 10. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 0 2x 1 A.  B. C. 2 8 4x  3 Câu 11. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 A.  B.  C. 2 3x  1 Câu 12. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 2 x  2 A.  B.  C. 2 2 2x  x  3 Câu 13. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 A.  B. 5 C. 2 x 1 Câu 14. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. 4 x 2 2  x. A.. D. 1. B.. B. . C. 2. D.. D. 1. D. 1. D. 1. D. 1. D. 1. 2. 3x bằng định nghĩa. 2x2  1 3 A.  B.  C. 2 2 Câu 16. Tìm giới hạn hàm số lim x  x  1 bằng định nghĩa.. Câu 15. Tìm giới hạn hàm số lim. x . x . A. . Trang 17. . B. . D. 1. . C. 2. D. 1. 2 . 9.

(18) Giới hạn – ĐS&GT 11 x2  4. Câu 17. Tìm giới hạn hàm số lim.  x4  1  2  x . x 2. A. . B. . bằng định nghĩa. C. 0. x  3x  2 bằng định nghĩa. x 1 A.  B.  C. 2 2 x  x 1 Câu 19. Tìm giới hạn hàm số A  lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 1 A.  B.  C. 2 2 tan x  1 Câu 20. Tìm giới hạn hàm số B  lim bằng định nghĩa.  sin x  1 x. D. 1. 2. Câu 18. Tìm giới hạn hàm số lim x 1. D. 1. D. 1. 6. A. . B. . C.. 4 36 9. x  2  x 1 bằng định nghĩa. 3x  1 A.  B.  C. 3 2  1 3 7x 1 1 Câu 22. Tìm giới hạn hàm số D  lim bằng định nghĩa. x 1 x2 A.  B.  C. 2 x 1 Câu 23. Tìm giới hạn hàm số A  lim 2 bằng định nghĩa. x 2 x  x  4 1 A.  B.  C.  6 2 sin 2x  3cos x Câu 24. Tìm giới hạn hàm số B  lim bằng định nghĩa. tan x x. Câu 21. Tìm giới hạn hàm số C  lim. D. 1. 3. x 0. D. 1. D. 3. D. 1. 6. A. . B. . C.. 3 3 9  4 2. D. 1. 2 x2  x  1  3 2 x  3 Câu 25. Tìm giới hạn hàm số C  lim bằng định nghĩa. x 1 3x 2  2 3 3 9 A.  B.  C. D. 2  3 5  4 2 3x  1  2 Câu 26. Tìm giới hạn hàm số D  lim 3 bằng định nghĩa. x 1 3x  1  2 1 A.  B.  C.  D. 0 6  x 2  3 khi x  2 Câu 27. Cho hàm số f  x    . Chọn kết quả đúng của lim f  x  : x 2  x  1 khi x  2 A. 1 . B. 0 . C. 1 . D. Không tồn tại.. Trang 18.

(19) Giới hạn – ĐS&GT 11 2   x  ax  1 khi x  2 Câu 28. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x  2 f ( x)   2 .  2 x  x  1 khi x  2. A. . B. . Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ. Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”. Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 C.. 1 2. D. 1. 2  khi x  0 5ax  3x  2a  1 Câu 29. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x  0 f ( x)   . 2 1  x  x  x  2 khi x  0   2 A.  B.  C. D. 1 2 2  5ax  3x  2a  1 khi x  0 Câu 30. Tìm a để hàm số. f ( x)   có giới hạn tại x  0 2 1  x  x  x  2 khi x  0  . A. . B. . C.. 2 2. D. 1. 2   x  ax  1 khi x  1 Câu 31. Tìm a để hàm số. f ( x)   2 có giới hạn khi x  1 . 2 x  x  3 a khi x  1   1 A.  B.  C.  D. 1 6 0 DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0 P( x) 1. L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0 x  x0 Q ( x ) Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. Chú ý: + Nếu tam thức bậc hai ax2  bx+c có hai nghiệm x1 , x2 thì ta luôn có sự phân. tích ax2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ) . + an  bn  (a  b)(a n1  a n2b  ...  ab n2  b n1 ) P( x) 2. L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc x  x0 Q ( x ) Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. Các lƣợng liên hợp: Trang 19.

(20) Giới hạn – ĐS&GT 11 + ( a  b )( a  b )  a  b 3 2 3 2 3 3 3 + ( a  b )( a m ab  b )  a  b. + ( n a  n b )( n a n1  n an2b  ...  n bn1 )  a  b P( x) 3. L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc x  x0 Q ( x ) Giả sử: P(x) =. m. u( x)  n v( x) với m u( x0 )  n v( x0 )  a .. Ta phân tích P(x) =  m u( x)  a    a  n v( x)  . Trong nhiều trƣờng hợp việc phân tích nhƣ trên không đi đến kết quả ta phải phân tích nhƣ sau: n u( x)  m v( x)  ( n u( x)  m( x))  ( m v( x)  m( x)) , trong đó m( x)  c . x2  2 x  1 Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: x 1 2 x 3  2 1 A.  . B. 0 . C. . 2 3 2 x  3x  2 Câu 2. Tìm giới hạn A  lim 2 : x 1 x  4 x  3 3 A.  B.  C. 2 4 2 x  5x  4 Câu 3. Tìm giới hạn B  lim : x 2 x3  8 1 A.  B.  C.  6 3 4 (1  3x)  (1  4 x) Câu 4. Tìm giới hạn C  lim : x 0 x 1 A.  B.  C.  6 x 3 Câu 5. Cho hàm số f  x   . Giá trị đúng của lim f  x  là: x 3 x2  9 A. . . B. 0. . C. 6. . (1  x)(1  2 x)(1  3x)  1 Câu 6. Tìm giới hạn D  lim : x 0 x 1 A.  B.  C.  6 n x 1 Câu 7. Tìm giới hạn A  lim m (m, n  ¥ *) : x 0 x  1 n A.  B.  C. m n 1  ax  1 Câu 8. Tìm giới hạn B  lim (n  ¥ *, a  0) : x 0 x a A.  B.  C. n. Trang 20. D.  .. D. 1. D. 1. D. 25. D. .. D. 6. D. m  n. D. 1. n a.

(21) Giới hạn – ĐS&GT 11 n. Câu 8. Tìm giới hạn A  lim m x 0. A. . B. . : C.. am bn. D. 1. am bn. 1   x 3 1   x 4 1   x 1 với   0 . : x. Câu 9. Tìm giới hạn B  lim x 0. A. . 1  ax  1 với ab  0 1  bx  1. B. . C. B . . 4. . . 3. .  2. D. B .  4. 2 x  5x  2 : x 2 x 3  3 x  2 2. Câu 10. Tìm giới hạn A  lim A. . B. . Câu 11. Tìm giới hạn B  lim x 1. A. . B. . x 3. B.  3. x 0. C.. 1 5. D. 1. x 7. 3. C. . 1 3. D. 1. x 1 1 : 2x 1 1. B. . Câu 14. Tìm giới hạn E  lim A. . D. 1. 2x  3  x : x2  4 x  3. Câu 13. Tìm giới hạn D  lim 4 A. . 1 3. x 4  3x  2 : x3  2 x  3. Câu 12. Tìm giới hạn C  lim A. . C.. C.. 2 3. D. 1. C.. 8 27. D. 1. 4x 1  x  2 : 4 2x  2  2. B. . (2 x  1)(3x  1)(4 x  1)  1 : x 9 A.  B.  C. 2 3 1 4x  1 6x Câu 16. Tìm giới hạn M  lim : x 0 x2 1 A.  B.  C. 3 m n 1  ax  1  bx Câu 17. Tìm giới hạn N  lim : x 0 x a b A.  B.  C.  m n m n 1  ax 1  bx  1 Câu 18. Tìm giới hạn G  lim : x 0 x. Câu 15. Tìm giới hạn F  lim x 0. Trang 21. D. 1. D. 0. D.. a b  m n. .  3. .  2.

(22) Giới hạn – ĐS&GT 11 A. . B. . 1  mx   1  nx  Tìm giới hạn V  lim n. Câu 19.. A. . a b  m n. D.. a b  m n. C.. mn  n  m  2. D.. mn  n  m  2. 1 n!. D. 0. m. x2. x 0. C. :. B. . 1  x 1  x  ...1  x  : Câu 20. Tìm giới hạn K  lim 3. 1  x . x 1. A. . n. n 1. B. . Câu 21. Tìm giới hạn L  lim. C..  . . n. 1  x2  x . x 0. 1  x2  x. B.  2 x2  5x  2 Câu 22. Tìm giới hạn A  lim : x 2 x3  8 B. . Câu 23. Tìm giới hạn B  lim x 1. A. . B. . C.. 1 4. D. 0. D. 0. C. . 2 5. D. 0. 2x  3  3 : x  4x  3 2. x 3. B.  3. Câu 25. Tìm giới hạn D  lim x 0. A. . C. 2n. x 4  3x 2  2 : x3  2 x  3. Câu 24. Tìm giới hạn C  lim A. . :. x. A. . A. . . n. C.. 1 6. D. 0. C.. 1 3. D. 0. x 1 1 : 2x 1 1. B. . (2 x  1)(3x  1)(4 x  1)  1 : x 9 B.  C. n n. Câu 26. Tìm giới hạn F  lim x 0. A. . Câu 27. Tìm giới hạn M  lim x 0. A. . 1 4x  3 1 6x : 1  cos 3x. B. . 1  ax  n 1  bx Câu 28. Tìm giới hạn N  lim : x 0 1  x 1 m. Trang 22. D. 0. C.. 4 9. D. 0.

(23) Giới hạn – ĐS&GT 11 A. . B. . 1  mx   1  nx  Câu 29. Tìm giới hạn V  lim n. A. . 2  an  bm  mn. D. 0. C.. 2  an  bm  mn. D. mn  n  m . m. :. 1  2 x  3 1  3x. x 0. C.. B. . 1  x 1  x  ...1  x  : Đăng ký mua file Câu 30. Tìm giới hạn K  lim 3. x 1. n. 1  x . 2 n 1. word trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”. Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 A. . B. . x 0. B. . x 1. B. . Câu 33. Tìm giới hạn C  lim. x 1. A. . x 2. A. . x 0. C.. 4 3. D. 0. C.. 4 3. D.. C.. 4 3. D. 3. C.. 4 3. D. 1. 2 5. 2 x  3  3 2  3x : x  2 1. x x2 : x  3 3x  2. B. . Câu 35. Tìm giới hạn A  lim. Trang 23. 4. B. . Câu 34. Tìm giới hạn D  lim. D. 0. 4x  5  3 : 5x  3  2. Câu 32. Tìm giới hạn B  lim 3 A. . 1 n!. 4x 1  3 2x 1 : x. Câu 31. Tìm giới hạn A  lim A. . C.. 1  2 x  3 1  3x : x2.

(24) Giới hạn – ĐS&GT 11 A. . B. . Câu 36. Tìm giới hạn B  lim. x 1. A. . Trang 24. C.. 1 2. D. 0. C.. 4 3. D. 1. 5  4x  3 7  6x : x3  x 2  x  1. B. .

(25) Giới hạn – ĐS&GT 11. DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH.  . Phƣơng pháp:.  P( x) trong đó P( x), Q( x)   , dạng này ta còn gọi là dạng vô định . x  Q ( x )  với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn. – Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x. – Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lƣợng liên hợp. Tƣơng tự nhƣ cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đƣa về các giới hạn: + lim x 2 k   ; lim x 2 k 1   () .. L = lim. x  ( x  ). x  ( x  ). k  0 (n  0; k  0) . x  x n ( x  ). + lim. + lim f ( x)   ()  lim x  x0. x  x0. k  0 (k  0) . f ( x). 5 bằng: x  3 x  2. Câu 1. lim A. 0 .. B. 1 .. 5 . 3. D.  .. C. 7. .. D. .. C.. x4  7 là: x  x 4  1 B. 1. .. Câu 2. Giá trị đúng của lim A. 1.. Câu 3. Tìm giới hạn C  lim. x . A. . 2 x  3x  2 2. 5x  x2  1. :. B. . C.. 2 3 6. D. 0. 1 B.  . 3. C.. 1 . 3. D. 2 .. 2x2 1 bằng: x  3  x 2. Câu 4. lim A. 2 .. Câu 5. Cho hàm số f ( x)  A.. 1 . 2. Câu 6. lim. x . A. . 3 2 . 2. 1  3x 2 x2  3. x2  1 . Chọn kết quả đúng của lim f ( x) : x  2 x4  x2  3 2 B. . C. 0 . 2. bằng: B.. Câu 7. Tìm giới hạn D  lim. x . Trang 25. D.  .. 3. 2 . 2. 1  x4  x6 1  x3  x 4. C. :. 3 2 . 2. D. . 2 . 2.

(26) Giới hạn – ĐS&GT 11 B. . A. . Câu 8. Cho hàm số f  x    x  2  A. 0 . Câu 9. lim x 1. A. 3 .. C.. 4 3. D. 1. x 1 . Chọn kết quả đúng của lim f  x  : x  x  x2  1 4. B.. 1 . 2. C. 1 .. D. Không tồn tại.. B.. 1 . 2. C. 1 .. D.  .. x2  x  3 bằng: 2 x 1. x4  8x là: x  x 3  2 x 2  x  2 24 C.  . 5. Câu 10. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim A. . 21 . 5. 21 . 5. B.. D.. 24 . 5. Câu 12. Tìm giới hạn E  lim ( x 2  x  1  x) : x . A. . B. . C. . 1 2. D. 0. Câu 13. Tìm giới hạn F  lim x( 4 x 2  1  x) : x . 4 3 Câu 14. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim 4 x5  3x3  x  1 là: A. . B. . C.. x . A.  .. B. 0 .. . . C. 1 .. . D.  .. x 4  x3  x 2  x là:. x . B. 0 .. . C. 4 .. Câu 15. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim A.  .. D. 0. D.  .. Câu 16. Tìm giới hạn B  lim x  x 2  x  1 : x . A. . B. . C.. 4 3. D. 0. Câu 17. Tìm giới hạn M  lim ( x 2  3x  1  x 2  x  1) : x . A. . B. . Câu 18. Tìm giới hạn N  lim. x . A. . x . . 4. x . . 4 3. D. Đáp án khác. C.. 4 3. D. 0. . 8x 3  2x  2x :. . 16 x 4  3x  1  4 x 2  2 :. B. . Câu 20. Tìm giới hạn K  lim. Trang 26. 3. B. . Câu 19. Tìm giới hạn H  lim A. . . C.. C.. . x2  1  x2  x  2 x :. 4 3. D. 0.

(27) Giới hạn – ĐS&GT 11 A. . B. . C. . 1 2. D. 0. 3x 2  5 x  1 : x  2 x 2  x  1. Câu 21. Tìm giới hạn A  lim A. . B. . C.. 3 2. D. 0. a0 x n  ...  an 1 x  an (a0b0  0) : x  b x m  ...  b 0 m 1 x  bm 4 B.  C. 3. Câu 22. Tìm giới hạn B  lim A. . 3. Câu 23. Tìm giới hạn A  lim. 3x3  1  2 x 2  x  1. x . A. . 4. B. . x . 3. : C. . x x2  1  2 x  1. Câu 24. Tìm giới hạn B  lim A. . 4 x4  2. 2 x3  2  1. D. Đáp án khác. 3. 3 2 2. D. 0. :. B. . C.. 4 3. D. 0. (2 x  1)3 ( x  2) 4 Câu 25.Tìm giới hạn A  lim : x  (3  2 x)7 A. . B. . C. . 4 x 2  3x  4  2 x. Câu 26. Tìm giới hạn B  lim. x2  x  1  x B. . x . A. . 2 x  3x 2  2. Câu 27. Tìm giới hạn C  lim. 5x  x2  1. x . A. . 3. 1  x3  x 4. x . A. . x . x . Trang 27. . . D. 0. : C.. 2 3 4. D. 0. C.. 4 3. D. 1. :. . x 2  x  1  3 2 x3  x  1 :. B. . Câu 30.Tìm giới hạn C  lim A. . C. 2. B. . Câu 29. Tìm giới hạn A  lim A. . 1  x4  x6. D. 0. :. B. . Câu 28. Tìm giới hạn D  lim. 1 16. C.. 4 3. D. 0. C.. 1 2. D. 0. . 4 x2  x  1  2 x :. B. .

(28) Giới hạn – ĐS&GT 11 Câu 31. Tìm giới hạn D  lim. x . A. . 3. . x3  x 2  1  x 2  x  1 :. B. . Câu 32. Tìm giới hạn A  lim. x . A. . . . C. . . 1 6. D. 0. x2  x  1  2 x2  x  x :. B. . C.. 3 2. D. 0. Câu 33.Tìm giới hạn B  lim x( x 2  2 x  2 x 2  x  x) : x . A. . B. . C. . 1 4. D. 0. a0 x n  ...  an1 x  an , (a0b0  0) : x  b x m  ...  b 0 m 1 x  bm 4 B.  C. 3. Câu 34. Tìm giới hạn A  lim A. . 4 x 2  x  3 8 x3  x  1. Câu 35. Tìm giới hạn B  lim. x . A. . 4. B. . 4 x 2  2  3 x3  1. Câu 36. Tìm giới hạn C  lim. x2  1  x. x . A. . B. . Câu 37. Tìm giới hạn D  lim. x x2  1  2 x  1. x  3. A. . x4  3. 2 x3  x  1  x. B. . : C.. 4 3. D. 4. C.. 3 2. D. 0. C.. 4 3. D. 0. :. :. Câu 38. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim x 2 cos x 0. A. Không tồn tại.. Trang 28. B. 0 .. D. Đáp án khác. C. 1 .. 2 là: nx. D.  ..

(29) Giới hạn – ĐS&GT 11. DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC Phƣơng pháp: 1. Giới hạn một bên : Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thƣơng.. 2. Dạng  – : Giới hạn này thƣờng có chứa căn Ta thƣờng sử dụng phƣơng pháp nhân lƣợng liên hợp của tử và mẫu, Sau đó tìm cách biến đổi đƣa  về dạng .  3. Dạng 0.: Ta cũng thƣờng sử dụng các phƣơng pháp nhƣ các dạng ở trên.  1 2 Câu 1. Chọn kết quả đúng của lim  2  3  : x 0  x x  A.  . B. 0 . C.  . D. Không tồn tại. x3  x 2 bằng: x 1 x 1 1  x A. 1 . B. 0 . 2 x  x 1 Câu 3. lim bằng: x 1 x2 1 A. –. B. –1. x 3 Câu 4. Giá tri đúng của lim x 3 x  3 A. Không tồn tại. B. 0 .. Câu 2. lim. Câu 5. Tìm giới hạn A  lim. x . . . D.  .. C. 1.. D. +.. C. 1 .. D.  .. x2  x  1  x :. B. . A. . C. 1 .. . C. . . 1 2. D. 0. Câu 6. Tìm giới hạn B  lim 2 x  4 x 2  x  1 : x . B. . A. . C.. 1 4. D. 0. 1 1 . Chọn kết quả đúng của lim f  x  :  x 1 x 1 x 1 2 2 A.  . B.  . C. . 3 3 Câu 8. Tìm giới hạn C  lim [ n ( x  a1 )( x  a2 )...( x  an )  x] :. Câu 7. Cho hàm số f ( x) . 3. D.  .. x . A. . B. . C.. a1  a2  ...  an n. D.. a1  a2  ...  an 2n. Câu 9. Tìm giới hạn A  lim ( x 2  x  1  x) : x . A. . B. . Câu 10. Tìm giới hạn B  lim x( 4 x 2  1  x) : x . Trang 29. C. . 1 2. D. 0.

(30) Giới hạn – ĐS&GT 11 A. . B. . 1 4. D. 0. C.. 1 4. D. Đáp án khác. C.. 1 4. D. 0. C.. Câu 11. Tìm giới hạn C  lim ( x 2  x  1  x 2  x  1) : x . A. . B. . Câu 12. Tìm giới hạn D  lim ( 3 8x 3  2x  2x) : x . A. . B. . Câu 13. Tìm giới hạn E  lim ( 4 16 x 4  3x  1  4 x 2  2) : x . A. . B. . C.. 1 4. D. 0. C.. 1 4. D. 0. Câu 14. Tìm giới hạn F  lim ( x  3 1  x3 ) : x . A. . Trang 30. B. .

(31) Giới hạn – ĐS&GT 11. DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƢỢNG GIÁC Phƣơng pháp: Ta sử dụng các công thức lƣợng giác biến đổi về các dạng sau: sin x x tan x x  lim  1 , từ đây suy ra lim  lim  1.  lim x 0 x  0 x  0 x  0 x sin x x tan x tan u ( x) sin u ( x)  Nếu lim u ( x)  0  lim  1.  1 và lim x  x0 x  x0 x  x0 u ( x) u ( x) 1  cos ax Câu 1. Tìm giới hạn A  lim : x 0 x2 a A.  B.  C. 2 1  sin mx  cos mx Câu 2. Tìm giới hạn A  lim : x 0 1  sin nx  cos nx m A.  B.  C. n 1  cos x.cos 2 x.cos 3x Câu 3. Tìm giới hạn B  lim : x 0 x2 A.  B.  C. 3 1  cos 2 x Câu 4.Tìm giới hạn A  lim : x 0 3x 2sin 2 A.  B.  C. 1 Câu 5. Tìm giới hạn B  lim x 0. D. 0. D. 0. D. 0. cos 2 x  cos 3x : x(sin 3x  sin 4 x). B. . A. . D. 0. tan 2 2 x : x 0 1  3 cos 2 x A.  B.  x2 Câu 7. Tìm giới hạn D  lim : x 0 1  x sin 3 x  cos 2 x. 5 2. D. 0. C. 6. D. 0. C.. 7 2. D. 0. C.. n m. D. 0. C.. 5 2. D. 1. C.. Câu 6. Tìm giới hạn C  lim. B. . A. . sin( x m ) Câu 8.Tìm giới hạn A  lim. : x 1 sin( x n ) B. . A. . . Câu 9. Tìm giới hạn B  lim(  x) tan x :  2 x 2. A.  Trang 31. B. .

(32) Giới hạn – ĐS&GT 11 Câu 10. Tìm giới hạn C  lim x sin x 0. A. . 1 (  0) : x. B. . C.. 5 2. D. 0. C.. 5 2. D. 0. C.. 7 11. D. 0. Câu 11.Tìm giới hạn D  lim (sin x  1  sin x ) : x . A. . B.  cos 3x  cos 4 x : x 0 cos 5 x  cos 6 x. Câu 12. Tìm giới hạn A  lim A. . B.  1  3 1  2sin 2 x : x 0 sin 3x. Câu 13. Tìm giới hạn B  lim A. . B. . 4 9. D. 0. C. 96. D. 0. C. . sin 2 2 x : x 0 cos x  4 cos x A.  B.  sin 4 2 x Câu 15.Tìm giới hạn D  lim 4 : x 0 sin 3 x Câu 14.Tìm giới hạn C  lim 3. A. . B. . C.. 16 81. D. 0. C.. 5 2. D. 0. C.. 5 2. D. 0. C.. b a  2n 2m. D. 0. C.. a 2n. D. 0. C.. 7 11. D. 0. . 1  sin( cos x) 2 Câu 16.Tìm giới hạn E  lim : x 0 sin(tan x). A. . B. . Câu 17. Tìm giới hạn F  lim. x . A. . B. . Câu 18. Tìm giới hạn H  lim x 0. A. . 3sin x  2cos x : x 1  x. m. cos ax  m cos bx : sin 2 x. B.  1  n cos ax : x 0 x2. Câu 19.Tìm giới hạn M  lim A. . B. . Câu 20.Tìm giới hạn A  lim x 0. A. . Trang 32. cos 3x  cos 4 x : cos 5 x  cos 6 x. B. .

(33) Giới hạn – ĐS&GT 11 1  3 1  2sin 2 x : x 0 sin 3x. Câu 21.Tìm giới hạn B  lim A. . B. . 4 9. D. 0. C. 96. D. 0. C. . sin 2 2 x : x 0 cos x  4 cos x A.  B.  sin 4 2 x Câu 23. Tìm giới hạn D  lim 4 : x 0 sin 3 x Câu 22. Tìm giới hạn C  lim 3. A. . B. . C.. . 1  sin( cos x) 2 Câu 24. Tìm giới hạn E  lim : x 0 sin(tan x) A.  B.  3sin x  2cos x Câu 25.Tìm giới hạn F  lim : x  x 1  x. A. . B. . Câu 26. Tìm giới hạn H  lim. m. x 0. A. . x 0. A. . 3. D. 0. C. 1. D. 0. C.. 5 2. D. 0. C.. b a  2n 2m. D. 0. cos ax  m cos bx : sin 2 x. B. . Câu 27. Tìm giới hạn M  lim. 16 81. 1  3x  1  2 x : 1  cos 2 x. B. . 3x  5sin 2 x  cos 2 x bằng: x  x2  2 A.  . B. 0 .. C. . 1 4. D. 0. Câu 28. lim. Trang 33. C. 3 .. D.  ..

(34) Giới hạn – ĐS&GT 11. HÀM SỐ LIÊN TỤC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP 1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0 . lim f ( x)  f ( x0 ). x  x0.  Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bƣớc: B1: Tính f(x0). B2: Tính lim f ( x) (trong nhiều trƣờng hợp ta cần tính lim f ( x) , lim x  x0. B3: So sánh. x  x0. x  x0. f ( x) ). lim f ( x) với f(x0) và rút ra kết luận.. x  x0. 2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. 3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và. lim f ( x)  f (a), lim f ( x)  f (b). x a . x b.  Hàm số đa thức liên tục trên R.  Hàm số phân thức, các hàm số lƣợng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x 0. Khi đó:  Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0.  Hàm số y =. f ( x) liên tục tại x0 nếu g(x0)  0. g ( x). 4. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = 0. Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phƣơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c (a; b). Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = min f ( x) , M = max f ( x) . Khi đó với mọi T  (m; M) luôn tồn  a ;b.  a ;b. tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = T.. B – BÀI TẬP. DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Phƣơng pháp:  Tìm giới hạn của hàm số y  f ( x) khi x  x0 và tính f ( x0 ).  Nếu tồn tại lim f ( x) thì ta so sánh lim f ( x) với f ( x0 ) . x  x0. x  x0. Chú ý: 1. Nếu hàm số liên tục tại x0 thì trƣớc hết hàm số phải xác định tại điểm đó 2. lim f ( x)  l  lim f ( x)  lim f ( x)  l . x  x0. x  x0. x  x0.  f ( x) khi x  x0 liên tục tại x  x0  lim f ( x)  k . x  x0 k khi x  x 0 . 3. Hàm số y  .  f1 ( x) khi x  x0 liên tục tại điểm x  x0 khi và chỉ khi  f 2 ( x) khi x  x0. 4. Hàm số f ( x)  . lim f1 ( x)  lim f 2 ( x)  f1 ( x0 ) .. x  x0. Chú ý:. Trang 34. x  x0.

(35) Giới hạn – ĐS&GT 11.  f ( x) khi x  x0 liên tục tại x  x0 khi và chỉ khi  Hàm số y   khi x  x0 k lim f ( x)  k . x  x0.  f ( x) khi x  x0 liên tục tại x  x0 khi và chỉ khi  Hàm số y    g ( x) khi x  x0 lim f ( x)  lim g ( x) . x  x0. x  x0. Câu 1. Cho hàm số f  x   A.. 3.. Câu 2. Cho hàm số f  x  . x2 1 và f  2   m2  2 với x  2 . Giá trị của m để f  x  liên tục tại x  2 là: x 1 B.  3 . C.  3 . D. 3. x 2  4 . Chọn câu đúng trong các câu sau:. (I) f  x  liên tục tại x  2 . (II) f  x  gián đoạn tại x  2 . (III) f  x  liên tục trên đoạn  2;2  .. A. Chỉ  I  và  III  .. C. Chỉ  II  .. B. Chỉ  I  .. D.. Chỉ.  II  và.  III   x2  1  Câu 3. Cho hàm số f  x    x3  x  6  b  3. A.. x  3; x  2 x  3; b  ¡. B.  3 .. 3.. . Tìm b để f  x  liên tục tại x  3 .. C.. 2 3 . 3. D. . 2 3 . 3. x 1 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x 1 f  x  gián đoạn tại x  1.. Câu 4. Cho hàm số f  x  . I   II  f  x  liên tục tại f  x   III  lim x 1. A. Chỉ  I  .. 1 2. x  1.. C. Chỉ  I  và  III  .. B. Chỉ  I  .. D.. Chỉ.  III  .  2x  8  2  Câu 5. Cho hàm số f  x    x2 0   I  lim f  x   0 .. x  2. . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:. x  2. x 2.  II  f  x  liên tục tại x  2.  III  f  x  gián đoạn tại x  2. A. Chỉ  I  và  III  . B. Chỉ  I  và  II  . Trang 35. C. Chỉ  I  .. D. Chỉ  I .  II  và.

(36) Giới hạn – ĐS&GT 11   4  x2. Câu 6. Cho hàm số f  x   .  1 f  x  không xác định tại x  3.. 2 x  2 x2. I   II  f  x  liên tục tại x  2. f  x  2  III  lim x 2 A. Chỉ  I  . C. Chỉ  I  và  III  .. . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:.. B. Chỉ  I  và  II  . D. Cả  I  ;  II  ;  III  đều sai..  sin 5 x x0  Câu 7. Cho hàm số f  x    5 x . Tìm a để f  x  liên tục tại x  0.  x0 a  2 A. 1 . B. 1 . C. 2 . 2  x  1 , x  1  Câu 8.Cho hàm số f  x    x 2  3 , x  1 . Tìm k để f  x  gián đoạn tại x  1 . k 2 , x 1  A. k  2 . B. k  2 . C. k  2 .  x 2 khi x  4   Câu 9.Cho hàm số f ( x)   x  4 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 1  khi x  4  4 A. Hàm số liên tục tại x  4 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhƣng gián đoạn tại x  4 C. Hàm số không liên tục tại x  4. D. 2.. D. k  1 .. D. Tất cả đều sai.  x 2  3x  2  2 khi x  1  Câu 10. Cho hàm số f ( x)   . Khẳng định nào sau đây đúng nhất x 1 3x 2  x  1 khi x  1  A. Hàm số liên tục tại x  1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục tại x  1 D. Tất cả đều sai. x  khi x  1  cos Câu 11. Cho hàm số 3. f  x    . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 2  x 1 khi x  1  A. Hàm số liên tục tại tại x  1 và x  1 . B. Hàm số liên tục tại x  1 , không liên tục tại điểm x  1 . C. Hàm số không liên tục tại tại x  1 và x  1 . D. Tất cả đều sai. Câu 12. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f ( x)  A. 1. Trang 36. B. 2. 2x  1 1 liên tục tại điểm x  0 . x( x  1) C. 3. D. 4.

(37) Giới hạn – ĐS&GT 11 Câu 13. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f ( x)  A. 1. B. 2. 3. 2x  8  2 liên tục tại điểm x  0 . 3x  4  2 1 2 C. D. 9 9. x x2 khi x  1  Câu 14. Cho hàm số f ( x)   x  1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 2 x  3 khi x  1  A. Hàm số liên tục tại tại tại x0  1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục tại tại x0  1 . D. Tất cả đều sai.  x 1 3 x 1 khi x  0  Câu 15. Cho hàm số 3. f ( x)   . Khẳng định nào sau đây đúng nhất x 2 khi x  0  A. Hàm số liên tục tại x0  0 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm nhƣ gián đoạn tại x0  0 C. Hàm số không liên tục tại x0  0 D. Tất cả đều sai.  3 x 1 khi x  1  x  1 Câu 16. Cho hàm số f ( x)   . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 1 khi x  1  3 A. Hàm số liên tục tại x  1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục tại tại x  1 D. Tất cả đều sai.  x2  x  2  2 x khi x  2  Câu 17. Cho hàm số f ( x)   x  2  x2  x  3 khi x  2  . Khẳng định nào sau đây đúng nhất A. Hàm số liên tục tại x0  2 B. Hàm số liên tục tại mọi điẻm C. Hàm số không liên tục tại x0  2 D. Tất cả đều sai.  x  2a khi x  0 Câu 18. Tìm a để các hàm số f  x    2 liên tục tại x  0  x  x  1 khi x  0 1 1 A. B. C. 0 D. 1 2 4. Trang 37.

(38) Giới hạn – ĐS&GT 11.  4x 1 1 khi x  0  2 Câu 19. Tìm a để các hàm số f ( x)   ax  (2a  1) x liên tục tại x  0 3 khi x  0  1 1 1 A. B. C.  D. 1 2 4 6  3x  1  2 khi x  1  2  Câu 20.Tìm a để các hàm số f ( x)   x  1 liên tục tại x  1 2 a ( x  2)  khi x  1   x 3 1 1 3 A. B. C. D. 1 2 4 4. Trang 38.

(39) Giới hạn – ĐS&GT 11. DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Phƣơng pháp: + Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lƣơng giác, phân thức hữu tỉ … + Nếu hàm số cho dƣới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.. Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 1  I  f  x   2 liên tục trên ¡ . x 1 sin x có giới hạn khi x  0.  II  f  x   x.  III  f  x   9  x2 liên tục trên đoạn  3;3 . A. Chỉ  I  và  II  . B. Chỉ  II  và  III  .. C. Chỉ  II  .. D. Chỉ  III  .. C. Chỉ  I  và  III  .. D.. Câu 2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x 1 liên tục với mọi x  1 .  I  . f  x  x 1  II  . f  x   sin x liên tục trên ¡ ..  III  . f  x  . x liên tục tại x  1 . x. A. Chỉ  I  đúng.. B. Chỉ  I  và  II  .. Chỉ.  II . và.  III  .  x2  3 ,x 3  Câu 3. Cho hàm số f  x    x  3 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 2 3 ,x 3 .  I  . f  x  liên tục tại x  3 .  II  . f  x  gián đoạn tại x  3 .  III  . f  x  liên tục trên ¡ . A. Chỉ  I  và  II  . C. Chỉ  I  và  III  .. B. Chỉ  II  và  III  . D. Cả  I  ,  II  ,  III  đều đúng.. Câu 4. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:  I  . f  x   x5 – x2  1 liên tục trên ¡ . 1. liên tục trên khoảng  –1;1 . x2 1  III  . f  x   x  2 liên tục trên đoạn  2;   ..  II  . f  x  . A. Chỉ  I  đúng.. Trang 39. B. Chỉ  I  và  II  .. C. Chỉ  II  và  III  .. D. Chỉ  I  và  III  ..

(40) Giới hạn – ĐS&GT 11. 3  9  x , 0 x9  x  ,x0 Câu 5. Cho hàm số f  x   m . Tìm m để f  x  liên tục trên  0;   là. 3  ,x9  x 1 1 . C. . D. 1 . 2 6 x2 1 Câu 6. Cho hàm số f ( x)  2 .Khi đó hàm số y  f  x  liên tục trên các khoảng nào sau đây? x  5x  6 A.  3; 2  . B.  2;   . C.  ;3 . D.  2;3 . A.. 1 . 3. B..  x2  5x  6 khi x  2  Câu 7. Cho hàm số f  x    2 x3  16 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.  2  x khi x  2  A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục trên  2 :   D. Hàm số gián đoạn tại điểm x  2 ..  3 x 1 khi x  1   x 1 Câu 8. Cho hàm số f ( x)   . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.  3 1 x  2 khi x  1  x  2 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên 1:   D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  1 ..   tan x , x  0  x   k , k  ¢  Câu 9. Cho hàm số f  x    x . Hàm số y  f  x  liên tục trên các khoảng 2  ,x0 0 nào sau đây?.  . A.  0;. . . 2.  . B.  ;. . . 4.    ; .  4 4. C.  . D.  ;   .. a 2 x 2 , x  2, a  ¡ Câu 10. Cho hàm số f  x    . Giá trị của a để f  x  liên tục trên ¡ là: 2  2  a  x , x  2 A. 1 và 2 . B. 1 và –1 . C. –1 và 2 . D. 1 và –2 . 2 x , x 1  3  2x , 0  x  1 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: Câu 11. Cho hàm số f  x    1  x  x sin x , x  0  A. f  x  liên tục trên ¡ . B. f  x  liên tục trên ¡ \ 0 .. Trang 40.

(41) Giới hạn – ĐS&GT 11 D. f  x  liên tục trên ¡ \ 0;1 .. C. f  x  liên tục trên ¡ \ 1 .. Câu 12. Cho hàm số f ( x) . x2 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. x  x6 2. A. Hàm số liên tục trên ¡ B. TXĐ : D  ¡ \ 3; 2 .Ta có hàm số liên tục tại mọi x  D và hàm số gián đoạn tại x  2, x  3 C. Hàm số liên tục tại x  2, x  3 D. Tất cả đều sai. Câu 13. Cho hàm số f ( x)  3x 2  1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. A. Hàm số liên tục trên ¡ 1   1   B. Hàm số liên tục tại mọi điểm x   ;  ;    3  3   . C. TXĐ : D   ;. . 1   1   ;    2  2 . . 1 1  ; . 3 3  Câu 14. Cho hàm số f ( x)  2sin x  3tan 2 x . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số liên tục tại mọi điểm    C. TXĐ : D  ¡ \   k , k  ¢  D. Hàm số gián đoạn tại các điểm 2 2  D. Hàm số liên tục tại mọi điểm x   . x. . 4. k. . 2. ,k ¢.  x 2  3x  2 khi x  1  x 1 Câu 15. Cho hàm số f  x    . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.  a khi x  1  A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên 1:   D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  1 ..  2x  1 1 khi x  0  Câu 16. Cho hàm số f  x    . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. x  0 khi x  0  A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên  0;   D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  0 . 2 x  1 khi x  0  Câu 17. Cho hàm số f ( x)  ( x  1)3 khi 0  x  2 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.   x  1 khi x  2 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên  2;   D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  2 . 2  2 x  x  1 khi x  1 Câu 18. Cho hàm số f ( x)   . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. khi x  1  3x  1 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên  2;   D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  1 .. Trang 41.

(42) Giới hạn – ĐS&GT 11.   sin x khi x   2 Câu 19. Xác định a, b để các hàm số f  x    liên tục trên ¡  ax  b khi x   2 1 2 2 2     a  a  a  a  A.  B.  C.  D.      b  1 b  2 b  0 b  0  x3  3x 2  2 x khi x( x  2)  0  x( x  2)  khi x  2 Câu 20. Xác định a, b để các hàm số f ( x)  a liên tục trên ¡ b khi x  0   a  10 a  11 a  1 a  12 A.  B.  C.  D.  b  1 b  1 b  1 b  1  3 x  2  2x 1 khi x  1  Câu 21. Tìm m để các hàm số f ( x)   liên tục trên ¡ x 1 3m  2 khi x  1  4 A. m  1 B. m  C. m  2 D. m  0 3  x  1 1 khi x  0  Câu 22. Tìm m để các hàm số f ( x)   liên tục trên ¡ x 2 x 2  3m  1 khi x  0  1 A. m  1 B. m   C. m  2 D. m  0 6  2x  4  3 khi x  2  Câu 23. Tìm m để các hàm số f ( x)   liên tục trên ¡ x 1 khi x  2  2  x  2mx  3m  2 1 A. m  1 B. m   C. m  5 D. m  0 6. Trang 42.

(43) Giới hạn – ĐS&GT 11. DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH Phƣơng pháp :  Để chứng minh phƣơng trình f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y  f ( x) liên tục trên D và có hai số a, b  D sao cho f (a). f (b)  0 .  Để chứng minh phƣơng trình f ( x)  0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y  f ( x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai ; ai 1 ) (i=1,2,…,k) nằm trong D sao cho f (ai ). f (ai 1 )  0 .. Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: I. f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và f  a  . f  b   0 thì phƣơng trình f  x   0 có nghiệm.. II. f  x  không liên tục trên  a; b  và f  a  . f  b   0 thì phƣơng trình f  x   0 vô nghiệm. A. Chỉ I đúng.. B. Chỉ II đúng.. C. Cả I và II đúng.. D. Cả I và II sai.. Câu 2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:  I  f  x  liên tục trên đoạn  a; b và f  a  . f  b   0 thì tồn tại ít nhất một số c   a; b  sao cho f  c   0 ..  II  f  x  liên tục trên đoạn  a; b và trên b; c  nhƣng không liên tục  a; c  A. Chỉ  I  . B. Chỉ  II  . C. Cả  I  và  II  đúng. D. Cả  I  và  II  sai. Câu 3. Cho hàm số f  x   x3 –1000 x 2  0,01 . Phƣơng trình f  x   0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? I.  1;0  . II.  0;1 . III. 1; 2  . A. Chỉ I.. Trang 43. B. Chỉ I và II.. C. Chỉ II.. D. Chỉ III..

(44) Giới hạn – ĐS&GT 11. ÔN TẬP CHƢƠNG IV Câu 1. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ? 1 1 A. . B. . n n Câu 2. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? n. n.  4 4 A.   . B.    .  3 3 Câu 3. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? n n A.  0,999  . B. 1, 01 . Câu 4. Dãy số nào sau đây không có giới hạn? n n A.  0,99  . B.  1 .. Câu 5..  1. n 1 . n. D.. sin n . n n. n.  5 C.    .  3. 1 D.   . 3. C. 1, 01 .. D.  2, 001 .. n. n. C.  0,99  .. D.  0,89  .. C. 0 .. 1 D.  . 4. C.. 4 . 5. 4 D.  . 5. C.. 2 . 3. D.. n. n. n. n3. 1 A.  . 3. có giá trị là bao nhiêu? B. 1 ..  3  4n  Câu 6. lim   có giá trị là bao nhiêu?  5n  3 3 A. . B.  . 5 5 n n 2 3 Câu 7. lim có giá trị là bao nhiêu? 3n. A. 0 .. B. 1 .. Câu 8. lim 4  A. 0 .. C.. 5 . 3. cos 2n có giá trị là bao nhiêu? n B.. 2.. C. 2 .. D. 4 .. 3n  2n  1 có giá trị là bao nhiêu? 4n 4  2n  1 3. Câu 9. lim A. 0 .. Câu 10. lim A. 0 . Câu 11. lim 3 A.  . 4. Trang 44. B.  .. C.. 3 . 4. D.. 2 . 7. C.. 3 . 4. D.. 4 . 7. C.. 1 . 2. D.. 3 . 4. 3n 4  2n  3 có giá trị là bao nhiêu? 4n 4  2n  1. B.  . 2n 2  3n 4 có giá trị là bao nhiêu? 4n 4  5n  1. B. 0 ..

(45) Giới hạn – ĐS&GT 11 Câu 12. lim. 3n 4  2n  4 có giá trị là bao nhiêu? 4n 4  2n  3. B.  .. A. 0 .. C.. Câu 13. lim  3n3  2n2  5 có giá trị là bao nhiêu? A. 3 . B. 6 . 4 2 Câu 14. lim  2n  n  5n  có giá trị là bao nhiêu? A.  .. B. 0 .. 3 . 4. D.. 4 . 3. C.  .. D.  .. C. 2 .. D.  .. 4n  5  n  4 có giá trị là bao nhiêu? 2n  1 A. 0 . B. 1 . C. 2 . Câu 16. lim n  10  n có giá trị là bao nhiêu? 2. Câu 15. lim. . . A.  .. B. 10 .. C. 10 .. D.  .. D. 0 .. 3  2n  4n có giá trị là bao nhiêu? 4n2  5n  3 2. Câu 17. lim. 3 . 4 Câu 18. Nếu lim un  L thì lim un  9 có giá trị là bao nhiêu?. 4 D.  . 3. B. L  3 . C. L  9 . 1 Câu 19. Nếu lim un  L thì lim có giá trị là bao nhiêu? 3 u 8 n 1 1 1 A. . B. . C. 3 . L 8 L 2 L8. D.. A. 0 .. B. 1 .. C.. A. L  9 .. n4 có giá trị là bao nhiêu? n 1 A. 1 . B. 2 . 2 1  2n  2n Câu 21. lim 2 có giá trị là bao nhiêu? 5n  5n  3 1 A. 0 . B. . 5 4 10 n Câu 22. lim 4 có giá trị là bao nhiêu? 10  2n A.  . B. 10000 . 1  2  3  ...  n Câu 23. lim có giá trị là bao nhiêu? 2n 2 1 A. 0 . B. . 4. D.. L 3.. 3. 1 . L8. Câu 20. lim. n3  n Câu 24. lim có giá trị là bao nhiêu? 6n  2 1 1 A. . B. . 6 4. C. 4 .. D.  .. 2 . 5. 2 D.  . 5. C.. C. 5000 .. C.. 1 . 2. D. 1 .. D.  .. 3. Trang 45. 3. C.. 2 . 6. D. 0 ..

(46) Giới hạn – ĐS&GT 11 Câu 25. lim n A.  .. . . n2  1  n2  3 có giá trị là bao nhiêu? B. 4 .. n  sin 2n có giá trị là bao nhiêu? n5 1 2 A. . B. . 5 5 3 Câu 27. lim  3n  4n  có giá trị là bao nhiêu?. C. 2 .. D. 1 .. C. 0 .. D. 1 .. C. 3 .. D.  .. Câu 26. lim. A.  . B. 4 . Câu 28. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? 1  2n n 2  2n A. un  . B. un  . 2 5n  5 5n  n Câu 29. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng  ? A. un  3n2  n3 . B. un  3n2  n3 . Câu 30. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng  ? A. un  n4  3n3 . B. un  n4  3n3 .. C. un . 1  2n 2 . 5n  5. D. un . C. un  3n2  n .. D. un  n2  4n3 .. C. un  3n2  n .. D. un  n2  4n3 ..  1 ;... có giá trị là bao nhiêu? 1 1 Câu 31. Tổng của cấp số nhân vô hạn ;  ;...; 2 4 2n 2 1 1 A. 1 . B. . C.  . D.  . 3 3 3 n 1.  1 1 1 Câu 32. Tổng của cấp số nhân vô hạn  ; ;...; n ;... có giá trị là bao nhiêu? 2 4 2 1 1 2 A. . B.  . C.  . D. 1 . 3 3 3 n.  1 ;... có giá trị là bao nhiêu? 1 1 Câu 33. Tổng của cấp số nhân vô hạn ;  ;...; 3 9 3n 1 1 3 A. . B. . C. . D. 4 2 4 1 1 1 Câu 34. Tổng của cấp số nhân vô hạn ; ;...; n1 ;... có giá trị là bao nhiêu? 2 6 2.3 1 3 3 A. . B. . C. . D. 8 3 4 n 1. 3 . 2. 3 . 2.  1 ;... có giá trị là bao nhiêu? 1 1 Câu 35. Tổng của cấp số nhân vô hạn ;  ;...; 2 6 2.3n 1 8 3 3 2 A. . B. . C. . D. . 8 3 4 3 n 1.  1 1 1 Câu 36. Tổng của cấp số nhân vô hạn 1;  ; ;...; n 1 ;... có giá trị là bao nhiêu? 2 4 2 2 3 2 A.  . B. . C. . D. 2 . 3 2 3 Câu 37. Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ? n 1. Trang 46. 1  2n . 5n  5n 2.

(47) Giới hạn – ĐS&GT 11 1  2n n 2  2n . B. un  . 2 5n  5 5n  5n Câu 38. Dãy số nào sau đâu có giới hạn là  ? 9n 2  7 n A. un  . n  n2 C. un  2008n  2007n2 . Câu 39. Trong các giới hạn sau đâu, giới hạn nào bằng 2n 2  3 2n 2  3 A. lim . B. . lim 2n3  4 2n 2  1 Câu 40. Trong các giới hạn sau đâu, giới hạn nào bằng 2n 2  3n3 2n 2  3 A. lim . B. . lim 2n3  4 2n 2  1 Câu 41. Trong các giới hạn sau đâu, giới hạn nào bằng 2n 2  3 2n  3n3 A. lim 3 . B. lim . 2n 2  1 n 4 1 Câu 42. Dãy số nào sau đây có giới hạn nào bằng ? 5 2 1  2n n  2n A. un  . B. un  . 2 5n  5 5n  5n Câu 43. lim  3 có giá trị là bao nhiêu?. A. un . C. un . 1  n2 . 5n  5. 2007  2008n . n 1 D. n2  1 . 1 ? 2n 2  3 C. lim . 2n3  2n 2 0? 2n 2  3n 4 C. lim . 2n3  2n 2  ? 2n 2  3n 4 C. lim . 2n3  2n 2. D. un . B. un . C. un . 1  2n 2 . 5n  5. D. lim. 2n 3  3 . 2n 2  1. D. lim. 3  2n 3 . 2n 2  1. D. lim. 3  2n 3 . 2n 2  1. D. un . x1. A. 2 . B. 1 . 2 Câu 44. lim x  2 x  3 có giá trị là bao nhiêu?. C. 0 .. D. 3 .. A. 0 . B. 2 . 2 Câu 45. lim x  3x  5 có giá trị là bao nhiêu?. C. 4 .. D. 6 .. C. 3 .. D.  .. 3 . 5. D. .. x 1. x 2. . . . . A. 15 .. B. 7 .. 3x  2 x  3 có giá trị là bao nhiêu? x  5 x 4  3 x  1 4 A. 0. B. . 9 4 5 3x  2 x Câu 47. lim 4 có giá trị là bao nhiêu? x  5 x  3 x  2 2 3 A.  . B. . 5 5 2 5 3x  x Câu 48. lim 4 có giá trị là bao nhiêu? x  x  x  5 A. . B. 3. 4 5 3x  2 x Câu 49. lim 4 có giá trị là bao nhiêu? x  5 x  3 x 6  1 3 A. . B. . 5 4 5 3x  2 x Câu 50. lim 4 có giá trị là bao nhiêu? x 1 5 x  3 x 6  1 4. Câu 46. lim. Trang 47. n2  2 . 5n  5n3. C.. C. .. D. .. C. 1.. D. .. 2 C.  . 5. D. 0.. 1  2n . 5n  5n 2.

(48) Giới hạn – ĐS&GT 11 A.. 1 . 9. B.. 3 . 5. 3x 4  2 x5 có giá trị là bao nhiêu? x 1 5 x 4  3 x 2  1 1 5 A. . B. . 3 9 4 5 3x  x Câu 52. lim 4 có giá trị là bao nhiêu? x 1 x  x  5 4 4 A. . B. . 7 5 4 3x  2 x Câu 53. lim 4 có giá trị là bao nhiêu? x 2 x  3 x  2 7 13 A.  . B. . 4 6 2 3 x x Câu 54. lim 2 có giá trị là bao nhiêu? x 2 x  x  3 12 4 A.  . B. . 5 9 4 5 x  2x Câu 55. lim 4 có giá trị là bao nhiêu? x 1 2 x  3 x 5  2 1 1 A.  . B.  . 7 12 3 xx Câu 56. lim 2 có giá trị là bao nhiêu? x 2 x  x  1 10 10 A.  . B.  . 7 3 3 Câu 57. lim 4 x  2 x  3 có giá trị là bao nhiêu?. 2 C.  . 5. 2 D.  . 3. Câu 51. lim. C.. 3 . 5. D.. 5 . 3. C.. 2 . 5. D.. 2 . 7. C.. 11 . 6. D.. 13 . 6. C.. 4 . 3. D. .. 2 C.  . 3. C.. 6 . 7. D.. 1 . 2. D. .. x 1. A. 9. Câu 58. lim. x . A. 0.. 3x  4 x  3 có giá trị là bao nhiêu? 9 x5  5 x 4  1. x 2. A.. 1 . 15. Câu 60. lim. x 1. A.. 5. B.. Câu 59. lim. 1 . 8. Trang 48. D. 5.. C. 1.. B. 5. 4. 1 . 3. C.. 3 . 5. D.. C.. 35 . 9. D. .. 2 . 3. x4  4 x2  3 có giá trị là bao nhiêu? 7 x2  9x 1. B.. 1 . 3. x 4  4 x 2  3x có giá trị là bao nhiêu? x 2  16 x  1. B.. 3 . 8. C.. 3 . 8. D. ..

(49) Giới hạn – ĐS&GT 11 1  x3 có giá trị là bao nhiêu? 3x 2  x. Câu 61. lim x 1. B. 1.. A. 0. Câu 62. lim x 1. 1 A.  . 2. x2 có giá trị là bao nhiêu? x 1 1 B. . 2. x 1. 3 . 2. B.. Câu 64. lim. x . C. .. . . 11 . 4. 9 . 2. C.. 1 . 3. D. .. B. 3  5. C. . 2x  x  2x 1 Câu 65. lim có giá trị là bao nhiêu? x  x  2 x4 A. 2. B. 1. C. 1. 4. Câu 66. lim x x . 5 . 2. . 3. x . 11 . 2. . D. .. 2. . D. 2.. x 2  5  x có giá trị là bao nhiêu?. B.. Câu 67. lim x. D.. x  3  x  5 có giá trị là bao nhiêu?. A. 0.. A.. D.. 10  x3 có giá trị là bao nhiêu? 3x 2  x. Câu 63. lim A.. 1 . 2. C.. . 5 . 2. C.. 5.. D. .. C.. 1 . 2. D.. x 2  1  x có giá trị là bao nhiêu?. A. .. B. 0.. y4 1 có giá trị là bao nhiêu? y 1 y  1 A. . B. 4. 4 4 y a Câu 69. lim có giá trị là bao nhiêu? y a y  a A. . B. 2a3 . y4 1 Câu 70. lim 3 có giá trị là bao nhiêu? y 1 y  1. 1 . 2. Câu 68. lim. A. . Câu 71.. B. 0.. D. .. C. 4a3 .. D. 4a 2 .. C.. 3 . 4. lim. x . 4 x2  2  x  3 có giá trị là bao nhiêu? 2x  3 B. 1. C. 2.. lim. 4x  2  x  3 có giá trị là bao nhiêu? 2x  3. A. 0.. 2. Câu 72.. C. 2.. x . Trang 49. D.. 4 . 3. D. ..

(50) Giới hạn – ĐS&GT 11 B. 1.. A. 0.. x 2  3x  2 có giá trị là bao nhiêu? x 2 2x  4 3 A. . B. . 2 2 x  12 x  35 Câu 74. lim có giá trị là bao nhiêu? x 2 x 5 A. . B. 5. 2 x  12 x  35 Câu 75. lim có giá trị là bao nhiêu? x 5 5 x  25 1 A. . B. . 5 2 x  2 x  15 Câu 76. lim có giá trị là bao nhiêu? x 5 2 x  10. Câu 73.. 1 C.  . 2. lim. B. 4.. A. 8.. 1 . 2. 1 D.  . 2. C. 5.. D. 14.. C.. 2 . 5. 2 D.  . 5. C.. 1 . 2. D. .. C.. x 2  2 x  15 có giá trị là bao nhiêu? x 5 2 x  10 A. 4. B. 1. C. 4. 2 x  9 x  20 Câu 78. lim có giá trị là bao nhiêu? x 5 2 x  10 5 3 A.  . B. 2. C.  . 2 2 4 5 3x  2 x Câu 79. lim 4 có giá trị là bao nhiêu? x  5 x  3 x  2 2 3 A.  . B. . C. . 5 5 x3  1 Câu 80. lim 2 có giá trị là bao nhiêu? x 1 x  x A. 3. B. 1. C. 0. x Câu 81. lim  x  2  3 có giá trị là bao nhiêu? x  x 1 A. . B. 0. C. 1. 2 x  3x  2 Câu 82. lim có giá trị là bao nhiêu? x 1 x3  1 1 1 A.  . B. . C. 0. 3 3 Câu 83. lim x  3  x  5 có giá trị là bao nhiêu?. Câu 77.. lim. x . . B. 4.. 3x  7 x có giá trị là bao nhiêu? x 3 2x  3 2. lim. Trang 50. D. .. D. .. D. .. D. 1.. D. .. D. 1.. . A. . Câu 84.. D. .. C. 0.. D. ..

(51) Giới hạn – ĐS&GT 11 A.. 3 . 2. Câu 85.. B. 2.. C. 6.. D. .. 4 C.  . 3. D.. 6 x3  x 2  x có giá trị là bao nhiêu? x 1 x2 lim. 8 A.  . 3. B. 2.. 8 . 3. x2  1 có giá trị là bao nhiêu? x 1 x  1 A. . B. 2. C. 1. D. . x2  2 x Câu 87. Cho f  x   với x  0 . Phải bổ sung thêm giá trị f  0  bằng bao nhiêu thì x hàm số liên tục trên ¡ . 1 1 A. 0. B. 1. C. D. . . 2 2 2 x Câu 88. Cho f  x   với x  0 . Phải bổ sung thêm giá trị f  0  bằng bao nhiêu thì hàm x  1 1 số liên tục trên ¡ . A. 0. B. 1. C. 2. D. 2. 2 x  5x Câu 89. Cho f  x   với x  0 . Phải bổ sung thêm giá trị f  0  bằng bao nhiêu thì hàm số 3x liên tục trên ¡ . 1 5 5 A. . B. . C. 0. D.  . 3 3 3 2 x vớ i x  1, x  0 x  vớ i x0 Câu 90. Cho hàm số f  x   0 . Hàm số f  x  liên tục tại:  i x 1  x vớ  A. mọi điểm thuộc ¡ . B. mọi điểm trừ x  0. C. mọi điểm trừ x  1. D. mọi điểm trừ x  0 và x  1. Câu 91. Hàm số f  x  có đồ thị nhƣ hình bên không liên tục tại điểm có hoành độ là bao nhiêu?. Câu 86.. lim. A. x  0.. Trang 51. B. x  1.. C. x  2.. D. x  3..

(52) Giới hạn – ĐS&GT 11. PHẦN II – HƢỚNG DẪN GIẢI GIỚI HẠN DÃY SỐ A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP GIỚI HẠN HỮU HẠN 1. Giới hạn đặc biệt: 1 1 lim  0 (k  ¢  ) lim  0 ; n nk n n lim q  0 ( q  1) ; n. n. lim C  C. n. 2. Định lí : a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì  lim (un + vn) = a + b  lim (un – vn) = a – b  lim (un.vn) = a.b u a  lim n  (nếu b  0) vn b b) Nếu un  0, n và lim un= a thì a  0 và lim. un  a. c) Nếu un  vn ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 d) Nếu lim un = a thì lim un  a 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn u S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1  q  1 1 q. GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Giới hạn đặc biệt:. lim n  . lim nk   (k ¢  ). lim qn   (q  1) 2. Định lí:. a) Nếu lim un   thì lim. 1 0 un. b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim. un vn. =0. c) Nếu lim un = a  0, lim vn = 0 u  neá u a.vn  0 thì lim n =  neá u a.vn  0 vn  d) Nếu lim un = +, lim vn = a  neá u a 0 thì lim(un.vn) =   neá u a 0  * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô 0  định: , ,  – , 0. thì phải tìm cách khử 0  dạng vô định.. B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phƣơng pháp:  Để chứng minh lim un  0 ta chứng minh với mọi số a  0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho un  a n  na ..  Để chứng minh lim un  l ta chứng minh lim(un  l )  0 .  Để chứng minh lim un   ta chứng minh với mọi số M  0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên. nM sao cho un  M n  nM .  Để chứng minh lim un   ta chứng minh lim(un )   .  Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:. Trang 52.

(53) Giới hạn – ĐS&GT 11 A. Nếu lim un   , thì lim un   . C. Nếu lim un  0 , thì lim un  0 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Theo nội dung định lý. Câu 2. Giá trị của lim A. 0 Hướng dẫn giải: Chọn A.. 1 bằng: n 1 B. 1. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na  Câu 3. Giá trị của lim A. 0 Hướng dẫn giải: Chọn A.. Câu 4. Giá trị của lim A. 0 Hướng dẫn giải: Chọn A.. D. Nếu lim un  a , thì lim un  a .. C. 2. D. 3. 1 1 1 1  1 ta có  0.   a n  na nên có lim a n 1 n  1 na  1. 1 (k  ¥ *) bằng: nk B. 2. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na . B. Nếu lim un   , thì lim un   .. k. C. 4. D. 5. 1 1 1 1 ta có k  k  a n  na nên có lim k  0 . a n n na. sin 2 n bằng: n2 B. 3. C. 5. D. 8. sin 2 n 1 1 1    a n  na nên có Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   2 ta có n  2 n  2 na  2 a sin 2 n lim 0. n2 Câu 5. Giá trị của lim(2n  1) bằng: A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn A.. C. 0. D. 1. M 1 2 Ta có: 2n  1  2nM  1  M n  nM  lim(2n  1)   .. Với mọi số dƣơng M lớn tùy ý ta chọn nM . Câu 6. Giá trị của lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn B.. 1  n2 bằng: n B. . Với mọi số dƣơng M lớn tùy ý ta chọn nM thỏa. Trang 53. C. 0 nM2  1 M nM. D. 1.

(54) Giới hạn – ĐS&GT 11. M  M2 4 . 2 n2  1 n2  1 Ta có:  M n  nM  lim   n n 1  n2 Vậy lim   . n 2 Câu 7. Giá trị của lim bằng: n 1 A.  B.  C. 0 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2  Với mọi a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na    1  1 a  2 2 Suy ra  a n  na  lim 0. n 1 n 1 cos n  sin n Câu 8. Giá trị của lim bằng: n2  1 A.  B.  C. 0 Hướng dẫn giải: Chọn C. cos n  sin n 1 cos n  sin n 2 Ta có 0  2 mà lim 2  0  lim 2 n n2  1 n n n 1 Câu 9. Giá trị của lim bằng: n2 A.  B.  C. 0 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1  Với mọi số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   2  1  1 a  n 1 1 n 1 Ta có:   a n  na  lim  0. n2 n2 n 1  nM . Câu 10. Giá trị của lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn A.. 3n3  n bằng: n2 B. . M  Với mọi M  0 lớn tùy ý, ta chọn nM     1 3 3 3n  n 1 Ta có:  3n   M n  nM 2 n n 3 3n  n Vậy lim   . n2. Trang 54. C. 0. D. 1. D. 1. D. 1. D. 1.

(55) Giới hạn – ĐS&GT 11 Câu 11. Giá trị của lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn B.. 2n bằng: n 1 B. . C. 0. D. 1. 2. 1  Với mọi M  0 lớn tùy ý, ta chọn nM    3   1 a  n2 3 Ta có:  n 1   1  n  3  M n  nM 1 n n 1 2n Suy ra lim   . n 1 2n  1 Câu 12. Giá trị của A  lim bằng: n2 A.  B.  C. 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 5 Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   2  2 a 2n  1 5 5 2    a n  na Ta có: n2 n  2 na  2 Vậy A  2 . 2n  3 Câu 13. Giá trị của B  lim 2 bằng: n 1 A.  B.  C. 0 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2n  3 Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa 2a a na  1. D. 1. D. 1. 1  a 2  4a  13  na  a 2n  3 Ta có: 2  a n  na  B  0 . n 1 Câu 14. Giá trị của C  lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn D.. n2  1 bằng: n 1 B. . Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na  Ta có:. C. 0. 1 1 a. n2  1 n2 1 1  1   a n  na n 1 n 1 na  1. Vậy C  1 .. Trang 55. D. 1.

(56) Giới hạn – ĐS&GT 11 Câu 15. Giá trị của A  lim. n2 n bằng: 2n. B. . A. . C.. 1 2. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 16. Giá trị của B  lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 17. Giá trị của C  lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 18. Giá trị của D  lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn D. Câu 19. Giá trị của lim. n sin n  3n 2 bằng: n2 B. . C. 3. D. 1. 1 bằng: n 2 n 7 B. . C. 0. D. 1. C. 0. D. 4. 2. 4n  1 n  3n  2 B.  2. bằng:. an  0 bằng: n! B. . A.  C. 0 Hướng dẫn giải: Chọn C. Gọi m là số tự nhiên thỏa: m  1  a . Khi đó với mọi n  m  1. an a a a a a a  a   . ... . ...  . Ta có: 0   n! 1 2 m m  1 n m!  m  1  m. D. 1. nm. nm.  a  an  0 Mà lim  . Từ đó suy ra: lim  0.  n!  m 1  Câu 20. Giá trị của lim n a với a  0 bằng: A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn D. Nếu a  1 thì ta có đpcm. . . n. . C. 0. .  Giả sử a  1 . Khi đó: a  1  n a  1   n n a  1   a Suy ra: 0  n a  1   0 nên lim n a  1 n 1 1  Với 0  a  1 thì  1  lim n  1  lim n a  1 . a a Tóm lại ta luôn có: lim n a  1 với a  0 .. Trang 56. D. 1.

(57) Giới hạn – ĐS&GT 11. DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN Phƣơng pháp:  Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đƣa về các giới hạn cơ bản. f ( n) ta thƣờng chia cả tử và mẫu cho n k , trong đó k là bậc lớn nhất của tử và  Khi tìm lim g ( n) mẫu.  Khi tìm lim  k f (n)  m g (n)  trong đó lim f (n)  lim g (n)   ta thƣờng tách và sử dụng phƣơng pháp nhân lƣợng liên hơn. + Dùng các hằng đẳng thức:. . a  b  a  b   a  b;.  3 a  3 b   3 a2  3 ab  3 b2   a  b.  Dùng định lí kẹp: Nếu un  vn ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trƣờng hợp sau đây:  Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.  Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.  Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu. Câu 1. Cho dãy số  un  với un . n u 1 và n 1  . Chọn giá trị đúng của lim un trong các số sau: n 4 un 2. 1 1 . B. . C. 0 . 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Chứng minh bằng phƣơng pháp quy nạp toán học ta có n  2n , n  ¥. A.. n n 1 n 1 Nên ta có : n  2  n  1  n n  n  n    2 2 .2 2 4 2. D. 1 .. n. n. n. n. 1 1 Suy ra : 0  un    , mà lim    0  lim un  0 . 2 2 n cos 2n   Câu 2. Kết quả đúng của lim  5  2  là: n 1  . A. 4.. B. 5.. C. –4.. Hướng dẫn giải: Chọn B. n n cos 2n n  2  2  2 n 1 n 1 n 1 n 1 1 n  lim .  0 ; lim 2 0  Ta có lim 2 2 n 1 n 11/ n n 1 n cos 2n   n cos 2n    lim  2   0  lim  5  2   5. n 1   n 1   Trang 57. D.. 1 . 4.

(58) Giới hạn – ĐS&GT 11 Câu 3. Giá trị của. A  lim. 2n  1 bằng: 1  3n. B. . A. . C. . 2 3. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn C.. 4n2  3n  1 Câu 4. Giá trị của. B  lim bằng: (3n  1)2 B. . A. . C.. 4 9. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 5. Kết quả đúng của lim 3 . 3 Hướng dẫn giải: Chọn A.. A. . lim.  n 2  2n  1 3n4  2.  n 2  2n  1 3n 4  2 2 B.  . 3. là 1 C.  . 2.  1  2 / n  1/ n   1  0  0    lim 2. 3 0. 3  2 / n2. Câu 6. Giới hạn dãy số  un  với un  A.  .. Vì lim n  ;lim. 1  2 / n. 2. C..  5 / n3 . 3/ n5. 2.  5 / n3 . 1  . 5. 3/ n5 2n2  3n  1 Câu 8. Giá trị của A  lim 2 bằng: 3n  n  2. Trang 58. 3 . 3. 3n  n là: 4n  5. Hướng dẫn giải: Chọn A. 3n  n4 3 / n3  1 lim un  lim  lim n3   . 4n  5 45/ n 3 / n3  1 1 Vì lim n3  ;lim  . 45/ n 4 n 3  2n  5 Câu 7. Chọn kết quả đúng của lim : 3  5n 2 A. 5 . B. . 5 Hướng dẫn giải: Chọn D.. 1  2 / n. 1 . 2. 4. B.  .. n 3  2n  5 lim  lim n . 3  5n. D..   .. 3 . 4. C.  .. D. 0 .. D.  ..

(59) Giới hạn – ĐS&GT 11 B. . A. . C.. 2 3. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn C.. 3 1  n n2  2 . Ta có: A  lim 1 2 3  2 3 n n 2. Câu 9. Giá trị của B  lim. n 2  2n n  3n 2  1. bằng:. B. . A. . 1 1 3. C. 0. D.. C. 16. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 n2  n 1 n  1 n Ta có: B  lim  lim 1 1 3 n  3n 2  1 1 3  2 n n.  2n Câu 10. Giá trị của C  lim.  1  n  2  4. 9. bằng:. n17  1 B. . A.  Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: C  lim. 2. 1 4 9 2 1 2 ) .n (1  )9 (2  2 ) 4 .(1  )9 2 n n  lim n n  16 1 1 n17 (1  17 ) 1  17 n n. n8 (2 . Câu 11. Giá trị của D  lim A. . n2  1  3 3n3  2 4. 2n 4  n  2  n. bằng:. B. . C.. 1 3 3 4 2 1. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn C.  1 2  n  1 2  3 3  3  n n  1 3 3 4 Ta có: D  lim  .   2 1 1 2 n  4 2  3  4  1 n n   Câu 12. Giá trị của C  lim A.  Hướng dẫn giải: Trang 59. 4. 3n3  1  n. 2n4  3n  1  n B. . bằng: C. 0. D. 1.

(60) Giới hạn – ĐS&GT 11 Chọn C.. 3 1 1  8  5 n n n  0. 2 Chia cả tử và mẫu cho n ta có đƣợc C  lim 3 1 1 2 3  4  n n n 4. (n  2)7 (2n  1)3 Câu 13. Giá trị của. F  lim bằng: (n2  2)5 A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn C. 7 3 1  2  1    2   n  n Ta có: F  lim  8 5 5   1  2   n  n3  1 Câu 14. Giá trị của. C  lim bằng: n(2n  1) 2. C. 8. D. 1. 1 4. D. 1. n3  3n2  2 Câu 15. Giá trị của. D  lim 4 bằng: n  4n 3  1 A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn C.. C. 0. D. 1. n 3  2n  1 Câu 16. Giá trị của. E  lim bằng: n2 A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn A.. C. 0. D. 1. B. . A. . C.. Hướng dẫn giải: Chọn C.. Câu 17. Giá trị của. F  lim A. . 4. n 4  2n  1  2n 3. 3n3  n  n. B. . bằng: C.. 3. 3 3 1. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 18. Cho dãy số un với un   n  1 A.  . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: lim un  lim  n  1 Trang 60. B. 0 .. 2n  2 n  n2  1 4. 2n  2 . Chọn kết quả đúng của lim un là: n  n2  1 C. 1 . D.  . 4.

(61) Giới hạn – ĐS&GT 11.  n  1  2n  2  2.  lim. n4  n2  1. 2n 3  2n 2  2n  2  lim n4  n2  1 ` 2 2 2 2  2 3 4  lim n n n n  0. 1 1 1 2  4 n n 10 Câu 19. lim bằng : n4  n2  1 A.  . B. 10 . Hướng dẫn giải: Chọn C. 10 10 Ta có: lim  lim 4 2 1 1 n  n 1 n2 1  2  4 n n 1 1 10 Nhƣng lim 1  2  4  1 và lim 2  0 n n n 10 Nên lim  0. 4 n  n2  1 n 1  4 Câu 20. Tính giới hạn: lim n 1  n. A. 1 .. B. 0 .. C. 0 .. D.  .. C. 1. 1 D. . 2. Hướng dẫn giải: Chọn B.. 1 1 4  2  n 1  4 n n n  0 0 .  lim Ta có: lim 1 n 1  n 1 1  2 1 n n 1  3  5  ....   2n  1 Câu 21. Tính giới hạn: lim 3n2  4 1 2 A. 0 . B. . C. . 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1  3  5  ....   2n  1 n2 1 1 Ta có: lim  lim 2  lim  . 2 4 3n  4 3n  4 3 2 3 n Câu 22. Chọn kết quả đúng của lim 3 . Trang 61. n2  1 1  . 3  n 2 2n. D. 1 ..

(62) Giới hạn – ĐS&GT 11 B. 3 .. A. 4 .. C. 2 .. D.. 1 . 2. Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 n 1 1 n2  1  3  1  0  2 lim 3    lim 3  n 3 3  n 2 2n 1 1 2 2 n a nk  ...  a1n  a0 Câu 23. Giá trị của D  lim k p (Trong đó k , p là các số nguyên dƣơng; ak bp  0 ). bp n  ...  b1n  b0 bằng: A.  B.  C. Đáp án khác D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta xét ba trƣờng hợp sau a a ak  k 1  ...  0k  if a b  0 k p n n  .  k  p . Chia cả tử và mẫu cho n k ta có: D  lim  bp b0  if a b  0  k p   ...  k n p k n a a ak  k 1  ...  0k n n  ak .  k  p . Chia cả tử và mẫu cho n k ta có: D  lim b bk bk  ...  0k n ak a0  ...  p p k p n n 0.  k  p . Chia cả tử và mẫu cho n : D  lim b0 bp  ...  p n n2 25 Câu 24. Kết quả đúng của lim n là: 3  2.5n 5 1 5 25 A.  . B.  . C. . D.  . 2 2 2 50 Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 1 1  0 n2 n 25 25   1 . lim n  lim 5 n 25  n 3  2.5 02 50 3    2. 5 n 3  4.2n 1  3 Câu 25. lim bằng: 3.2n  4n A.  . B.  . C. 0 . D. 1 . Hướng dẫn giải: Chọn C. 2. Trang 62. 1.

(63) Giới hạn – ĐS&GT 11 n n  2 1  3 1  4.    3.     3  3   3n  4.2n 1  3 3n  2.2n  3  lim  lim  lim 3.2n  4n 3.2n  4n   2 n  n 4  3.    1  4    n. n n  2 1  1  4.    3.    n   3  3   3   lim   0.   2 n  4  3.    1  4 . Câu 26. Giá trị của C  lim. 3.2n  3n bằng: 2n 1  3n 1. B. . A. . C. . 1 3. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn C. n. 2 3.    1 n n 3.2  3 1 3 Ta có: C  lim n 1 n 1  lim  n  2 3 3 2 2.    3 3 Câu 27. Giá trị đúng của lim  3n  5n  là:. A.  . Hướng dẫn giải: Chọn B.. B.  ..   3 n  lim  3  5   lim5     1   .  5     n  3   Vì lim5n  ;lim     1  1 .  5     3.2n  3n Câu 28. Giá trị của. K  lim n 1 n 1 bằng: 2 3 1 A.  B.  3 Hướng dẫn giải: Chọn A. n 2 3  1 1 3 K  lim  n  3 2 2   3 3 5n  1 Câu 29. lim n bằng : 3 1 A.  . B. 1 . Hướng dẫn giải: n. n. Trang 63. C. 2 .. D. 2 .. C. 2. D. 1. C. 0. D.  .. n.

(64) Giới hạn – ĐS&GT 11 Chọn A. n. 1 1   n 5 1 5 Ta có: lim n  lim n n 3 1 3 1     5 5 n n n n n  1  3 1 3 1 Nhƣng lim 1      1  0 , lim       0 và       0 n  ¥ *  5  5 5 5 5   5n  1 Nên lim n   . 3 1. Câu 30. lim 4. 4n  2n 1 bằng : 3n  4n  2. 1 B. . 2. A. 0 .. 1 C. . 4. D.  .. Hướng dẫn giải: Chọn B. n. Ta có: lim 4. 4n  2n 1 3n  4n  2. n. 1 1  2.   1 n 1 2 2  1  lim 4 .  lim n n 2 4 3 3 2 2   4   4 4 4 n. 1  3 Vì lim    0; lim    0. 2 4. Câu 31. Giá trị của. C  lim A. . 3.3n  4n bằng: 3n 1  4n 1 1 B. 2. C. 0. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn B. Câu 32. Cho các số thực a,b thỏa a  1; b  1 . Tìm giới hạn I  lim A. . B. . C.. 1 b 1 a. 1  a  a 2  ...  a n . 1  b  b2  ...  bn. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có 1, a, a 2 ,..., a n là một cấp số nhân công bội a 1  a  a 2  ...  a n  Tƣơng tự 1  b  b2  ...  bn . 1  bn1 1 b. 1  a n 1 1 b Suy ra lim I  lim 1  an 1  1 b 1 a 1 b ( Vì a  1, b  1  lim an1  lim bn1  0 ).. Trang 64. 1  a n1 1 a.

(65) Giới hạn – ĐS&GT 11 Câu 33. Tính giới hạn của dãy số A  lim A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta chia làm các trƣờng hợp sau. ak .n k  ak 1n k 1  ...  a1n  a0 với ak bp  0 bp .n p  bp 1n p 1  ...  b1n  b0 C. Đáp án khác D. 1. .:. ak 1 a  ...  0k n n  ak . TH 1: n  k , chia cả tử và mẫu cho n k , ta đƣợc A  lim b b bp bp  p 1  ...  0k n n ak 1 a ak   ...  0k  khi ak bp  0 n n  TH 2: k  p , chia cả tử và mẫu cho n k , ta đƣợc A  lim bp b b  khi ak bp  0  k p p11  ...  0k  k p n n n ak a a  pkk11  ...  0p p k n n 0. TH 3: k  p , chia cả tử và mẫu cho n p , ta đƣợc A  lim n bp 1 b0 bp   ...  p n n n   Câu 34. lim  n2 sin  2n3  bằng: 5   A.  . B. 0 . C. 2 . D.  . Hướng dẫn giải: Chọn C. n   sin  n  2  5  2    lim  n sin  2n3   lim n3   5    n    n   sin  5  2   2 Vì lim n3  ;lim    n    n n   sin sin  5  1 ;lim 1  0  lim 5  2   2 .   n n n  n    ak . Câu 35. Giá trị của. M  lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn C. 6n M  lim 3 2 n  6n  n Câu 36. Giá trị của. H  lim A.  Trang 65. . . n2  6n  n bằng:. B. . . C. 3. D. 1. 1 2. D. 1. . n2  n  1  n bằng:. B. . C..

(66) Giới hạn – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 n Ta có: H  lim  lim  2 1 1 n2  n  1  n 1  2 1 n n 1. n 1. Câu 37. Giá trị của B  lim. . . 2n 2  1  n bằng:. A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn A.  1  Ta có: B  lim n  2   1    n   Bài 40. Giá trị của K  lim n. . Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 38. Giá trị đúng của lim. lim. . n2  1  3n2  2 là:. n2  1  3n2  2  lim n. . C. 0 .. . D. 1 .. . 1  1/ n2  3  2 / n2   ..  Câu 39. Giá trị của A  lim  n  6n  n  bằng: Vì lim n  ;lim. D. 1. C.. . . . 1 2. . B.  .. A.  . Hướng dẫn giải: Chọn B.. D. 1. n 2  1  n bằng:. B. . A. . C. 0. 1  1/ n2  3  2 / n2  1  3  0 . 2. B. . A.  Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có A  lim  lim. . . n2  6n  n  lim. 6n.  lim. n  6n  n 2. Câu 40. Giá trị của B  lim. . Ta có: B  lim. Trang 66. . 3. n3  9n2  n. . C. 0. D. 3. n 2  6n  n. . n3  9n2  n bằng:. B. . A.  Hướng dẫn giải: Chọn D.. D. 1. n 2  6n  n 2. 6 3 6 1 1 n 3. C. 3.

(67) Giới hạn – ĐS&GT 11. 9n 2.  lim 3.  lim. n. 3.  9 n 2   n 3 n 3  9n 2  n 2 2. 9 2. 9  9 3 1    1 1 n  n. Câu 41. Giá trị của D  lim. .  3.. n2  2n  3 n3  2n 2.  bằng:. B. . A.  Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: D  lim. . . n2  2n  n  lim. . n3  2n2  n. 3. D. 1. C. 0. D. 1. . 2n 2. 2n.  lim. 1 3. C..  lim 3 n 2  2n  n ( n 3  2n 2 ) 2  n 3 n 3  2n 2  n 2 2 2 1  lim  lim  . 3 2 2 2 3 (1  ) 2  3 1  1 1 1 n n n Câu 42. Giá trị của. M  lim 1 12 Hướng dẫn giải: Chọn A. 3. (1  n2  8n3 ) 2  2n 3 1  n 2  8n3  4n 2. Câu 43. Giá trị của. N  lim. lim. . 3. . . C. 0. . 3. . 3. 8n3  n  2n. 1. 4n2  1  2n  lim. 8n2  n  2n  lim. 1 12. 4n2  1  3 8n3  n bằng:. 4n2  1  2n  lim. . . . . B. . A.  Hướng dẫn giải: Chọn C.. . . 1  n2  8n3  2n bằng:. 1  n2. Ta có: M  lim. Mà: lim. 3. B. . A. . Ta có: N  lim. . 4n  1  2 n n 2. D. 1. . 0. (8n2  n)2  2n 3 8n2  n  4n2. 0. Vậy N  0 . Câu 44. Giá trị của. K  lim A.  Hướng dẫn giải: Trang 67. . 3. . n3  n2  1  3 4n2  n  1  5n bằng:. B. . C. . 5 12. D. 1.

(68) Giới hạn – ĐS&GT 11 Chọn C. Ta có: K  lim. . . 3. . n3  n2  1  n  3lim. . 1 n3  n2  1  n  ; lim 3 1 3 5 Do đó: K     3 4 12. Mà: lim. 3. Câu 45. Giá trị của. N  lim. . 3. . . 4n2  n  1  2n. . 4n2  n  1  2n . . C. 0. 3n2  1. N  lim 3. 1 4. n3  3n2  1  n bằng:. B. . A.  Hướng dẫn giải: Chọn D.. . (n3  3n2  1)2  n. 3 n3  3n 2  1  n 2. D. 1. 1. . . Câu 46. Giá trị đúng của lim  n n  1  n 1  là:   A. 1 . B. 0 . C. 1 . D.  . Hướng dẫn giải: Chọn C.  n  n  1  n  1  2 n lim  n n  1  n  1   lim   lim  1.    n 1  1/ n  1  1/ n  n  1  n  1 . . . Câu 47. Giá trị của. H  lim n. 3. . Hướng dẫn giải: Chọn C.. . 3. . 8n3  n  2n  lim n. Câu 48. Giá trị của A  lim. . . C. . . 4n 2  3  2 n  . . 2 3. D. 1. 2 3. n2  2n  2  n bằng:. A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn A.   2 2 Ta có A  lim n  1   2  1     n n     2 2 Do lim n  ;lim  1   2  1  2 .   n n   Câu 49. lim 5 200  3n5  2n2 bằng : A. 0 . B. 1 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: lim 5 200  3n5  2n2  lim n 5. Trang 68. . 8n3  n  4n2  3 bằng:. B. . A. . H  lim n. . . 200 2 3 3 5 n n. C. 2. D. 1. C.  .. D.  ..

(69) Giới hạn – ĐS&GT 11 Nhƣng lim 5. 200 2  3  3  5 3  0 và lim n   5 n n. Nên lim 5 200  3n5  2n2   2n3  sin 2n  1 Câu 50. Giá trị của. A  lim bằng: n3  1 A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn C. sin 2n  1 2 n3 A  lim 2 1 1 3 n n n! Câu 51. Giá trị của. B  lim bằng: n 3  2n A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn C. n. Ta có:. n!. n  2n 3. . n. nn. n  2n 3. Câu 52. Giá trị của. D  lim A. . . C. 2. D. 1. C. 0. D. 1. n. 0 B 0 n  2n n 1 3. n2 ( 3n 2  2  3n 2  1). B. . bằng: C.. 2 3. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 53. Giá trị của. E  lim( n2  n  1  2n) bằng: A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn B. Câu 54. Giá trị của. F  lim n  1  n bằng:. . A.  Hướng dẫn giải: Chọn A.. C. 0. D. 1. C. 0. D. 1. . B. . Câu 55. Giá trị của. H  lim( k n2  1  n2  1) bằng: A.  B.  C. Đáp án khác D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. Xét các trƣờng hợp TH1: k  p  H   TH 2: k  p  H   TH 3: k  p  H  0 . 1 1 1 Câu 56. Tính giới hạn của dãy số un  :   ...  2 1 2 3 2 2 3 (n  1) n  n n  1 p. Trang 69.

(70) Giới hạn – ĐS&GT 11 A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 1 Ta có:   (k  1) k  k k  1 k k 1 1 Suy ra un  1   lim un  1 n 1. C. 0. (n  1) 13  23  ...  n3 Câu 57. Tính giới hạn của dãy số un  : 3n3  n  2 1 A.  B.  C. 9 Hướng dẫn giải: Chọn C.. D. 1. D. 1.  n(n  1)  Ta có: 1  2  ...  n    3  n(n  1)2 1 Suy ra un   lim un  . 3 3(3n  n  2) 9 2. 3. 3. 3. Câu 58. Tính giới hạn của dãy số un  (1  A. . B. . n(n  1) 1 1 1 .: )(1  )...(1  ) trong đó Tn  2 T1 T2 Tn 1 C. D. 1 3. Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 2 (k  1)(k  2) Ta có: 1   1   Tk k (k  1) k (k  1) 1 n2 1 Suy ra un  .  lim un  . 3 n 3 23  1 33  1 n3  1 Câu 59. Tính giới hạn của dãy số un  3 . 3 .... 3 .: 2 1 3 1 n 1 2 A.  B.  C. 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. k 3 1 (k  1)(k 2  k  1)  Ta có 3 k  1 (k  1)[(k  1) 2  (k  1)  1]. D. 1. 2 n2  n  1 2 Suy ra  un  .  lim un  3 (n  1)n 3 2k  1 .: 2k k 1 n. Câu 60. Tính giới hạn của dãy số un   A.  Hướng dẫn giải: Chọn C.. Trang 70. B. . C. 3. D. 1.

(71) Giới hạn – ĐS&GT 11 1 1 1 1 1  2n  1 Ta có: un  un     2  ...  n1   n1 2 2 2 2 2  2 1 3 2n  1  un   n 1  lim un  3 . 2 2 2 Câu 61. Tính giới hạn của dãy số un  q  2q 2  ...  nq n với q  1. B. . A. . C.. q. 1 q . 2. .: D.. q. 1 q . Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: un  qun  q  q 2  q3  ...  q n  nq n1.  (1  q)un  q. 1  qn q .  nq n 1 . Suy ra lim un  2 1 q 1  q  n. n k 1 n  k. Câu 62. Tính giới hạn của dãy số un  . 2. .:. A.  B.  C. 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. n n n 1 Ta có: n 2  un  n 2  2  un  1  2 n n n 1 n 1 n 1 n  un  1  2  0  lim un  1 . n 1 n 6  n  1  4 n 4  2n  1 Câu 63. Tính giới hạn của dãy số B  lim (2n  3)2. D. 1. 3. A. . B. . C. 3. Hướng dẫn giải: Chọn D. Chia cả tử và mẫu cho n 2 ta có đƣợc: 1 1 2 1 3 1  6  4 1 3  4 5 n n n n  1 4   3 . B  lim 2 4 4 3  2  n  Câu 64. Tính giới hạn của dãy số C  lim A. . . 4n 2  n  1  2n. B. . C. 3. Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 n 1 1 n Ta có: C  lim  lim  2 4 1 1 4n  n  1  2n 4  2 2 n n 1. Trang 71. . .: D.. 3 4. .: D.. 1 4. 2.

(72) Giới hạn – ĐS&GT 11 Câu 65. Tính giới hạn của dãy số D  lim. n 2  n  1  2 3 n3  n 2  1  n. B. . A.  Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: D  lim. . . . n2  n  1  n  2lim. C. . . 3. n3  n 2  1  n. 1 6. . .: D. 1. . 1 1 n 1 n Mà: lim n2  n  1  n  lim  lim  2 2 1 1 n  n 1  n 1  2 1 n n 2 n 1 lim 3 n3  n2  1  n  lim 3 2 2 3 (n  n  1)  n. 3 n3  n2  1  n2 1. . . . . 1.  lim. 1 n2. 2. 1 1  1 1  1  4  6   3 1   3  1 n n  n n  1 2 1 Vậy D     . 2 3 6. . 1 3. 3. 1 Câu 66. Cho dãy số ( xn ) xác định bởi x1  , xn1  xn2  xn ,n  1 2 1 1 1 Đặt Sn  . Tính lim Sn .  L  x1  1 x2  1 xn  1 A.  B.  C. 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Từ công thức truy hồi ta có: xn1  xn , n  1, 2,... Nên dãy ( xn ) là dãy số tăng. Giả sử dãy ( xn ) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim xn  x Với x là nghiệm của phƣơng trình : x  x2  x  x  0  x1 vô lí Do đó dãy ( xn ) không bị chặn, hay lim xn   . 1 1 1 1 Mặt khác:    xn1 xn ( xn  1) xn xn  1 1 1 1 Suy ra:   xn  1 xn xn 1 1 1 1 1 Dẫn tới: Sn    2  lim Sn  2  lim 2 x1 xn1 xn1 xn 1 1 2 k Câu 67. Cho dãy ( xk ) đƣợc xác định nhƣ sau: xk    ...  2! 3! (k  1)! n Tìm lim un với un  n x1n  x2n  ...  x2011 .. Trang 72. D. 1.

(73) Giới hạn – ĐS&GT 11 B. . A. . C. 1 . 1 2012!. D. 1 . Hướng dẫn giải: Chọn C. k 1 1 1 Ta có: nên xk  1    (k  1)! k ! (k  1)! (k  1)! 1 1 Suy ra xk  xk 1    0  xk  xk 1 (k  2)! (k  1)! n  n 2011x2011 Mà: x2011  n x1n  x2n  ...  x2011. Mặt khác: lim x2011  lim n 2011x2011  x2011  1  Vậy lim un  1 . 1 2012!. 1 . 2012!. u0  2011 u3  Câu 68. Cho dãy số (un ) đƣợc xác định bởi:  1 . Tìm lim n . n un 1  un  u 2 n  A.  B.  C. 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta thấy un  0, n 3 1 Ta có: un31  un3  3  3  6 (1) un un 3 3 Suy ra: un  un1  3  un3  u03  3n (2) 1 1 1 1 Từ (1) và (2), suy ra: un31  un3  3  3   un3  3   2 2 3 u0  3n  u  3n  3n 9n. D. 1. 0. Do đó: un3  u03  3n  Lại có:. 1 n 1 1 n 1    (3) 3 k 1 k 9 k 1 k 2. n 1 1 1 1 1 1  n .  1    ...   2   2   2 1.2 2.3 (n  1)n n k 1 k k 1 k n. 2 Nên: u03  3n  un3  u03  3n   9 3 3 3 u u u 2 Hay 3  0  n  3  0   n n n 9n 3 3 u Vậy lim n  3 . n. Trang 73. 1. k k 1. 2.  2n. 2n 3 2 . n. Câu 69. Cho dãy x  0 xác định nhƣ sau: f ( x)  A.  Hướng dẫn giải: Chọn C.. n. B. . x 1 1 . Tìm  0;   . x C. 2010. D. 1. 1 2012!.

(74) Giới hạn – ĐS&GT 11 Ta có un 1  un . un2 u u un  n1 n  2010 un1.un 2010un 1. 1 un 1   2010.    un 1  un un 1  u 1 1 1 Ta có  n  2010(  )  2010(1  ) un1 u1 un1 un1 Mặt khác ta chứng minh đƣợc: lim un   . u Nên lim( u )  2010 . un 1. . Câu 70. Tìm lim un biết un . n. 1  3  5  ...  (2n  1) 2n 2  1. B. . A. . C.. 1 2. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: 1  3  5  ...  2n 1  n2 nên lim un . 1 2.  3 x  2  2x 1 khi x  1  Câu 71. Tìm lim un biết f ( x)   x 1 3m  2 khi x  1  B. . A.  Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: 1  2  ...  n  Nên lim un . 3. 3. C. 2. n(n  1) n(n  1)(2n  1) và 12  22  ...  n2  2 6. 6 2.  x  1 1 khi x  0  Câu 72. Tìm lim un biết f ( x)   x 2 x 2  3m  1 khi x  0  A.  B.  C. 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 1 1 Ta có: Suy ra un  1   lim un  1   (k  1) k  k k  1 k k 1 n 1.  2x  4  3 khi x  2  Câu 73. Tìm lim un biết f ( x)   trong đó x  1 . x 1 khi x  2  2  x  2mx  3m  2 1 A.  B.  C. 3 Trang 74. D.. D. 1. D. 1. 6 2.

(75) Giới hạn – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 n2 1 1 2 (k  1)(k  2) Ta có: 1   1  Suy ra un  .  lim un  .  3 n 3 Tk k (k  1) k (k  1) n. 1. Câu 74. Tìm lim un biết un  . n k B.  2. k 1. A.  C. 3 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 n 1 1 n Ta có:   un   , k  1, 2,..., n Suy ra n2  n n2  n n2  k n2  1 n2  1 n n Mà lim  lim  1 nên suy ra lim un  1 . 2 n n n2  1 Câu 75. Tìm lim un biết un  2 2... 2 1 42 43 n dau can. B. . A.  Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: un  2. 1 1 1  ... n 2 22 2. 1 1   2. 2. n. C. 2. 1 1  2. ,nên lim un  lim 2. D. 1. n.  2.. Câu 76. Gọi g ( x)  0, x  2 là dãy số xác định bởi  . Tìm lim f ( x)  lim x 2. A. . B. . C.. 4 3. x 2. . . 2x  4  3  3 . D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn C. 4 8 4 8 Ta có 0  u1  u2  u3    3u1    3u2  u3 nên dãy (un ) là dãy tăng. 9 9 9 9 4 4 Dễ dàng chứng minh đƣợc un  , n  ¥ * .Từ đó tính đƣợc lim un  . 3 3 2 2 1   1  1 Câu 77. Cho dãy số A   x12  x1 x2    x1 x2  x22   x12 x22  3  0 đƣợc xác định nhƣ 2   4  2 sau  x1  x2 . 3 Đặt x  . Tìm  x3  2 x  3 3  2 x  4  0 . 2 1 A.  B.  C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C.. Ta có: un1  (un2  3un )(un2  3un  2)  1  (un2  3un  1)2  un2  3un  1. Trang 75.

(76) Giới hạn – ĐS&GT 11 Suy ra: un1  1  (un  1)(un  2)  Suy ra:. 1 un1  1. . 1 1  un  1 un  2. 1 1 1   un  2 un  1 un 1  1. n  1 1  1 1 1 1     Do đó, suy ra: vn     ui 1  1  u1  1 un 1  1 2 un 1  1 i 1  ui  1 2 Mặt khác, từ un1  un  3un  1 ta suy ra: un1  3n . 1 1 Nên lim  0 . Vậy lim vn  . 2 un 1  1. Câu 78. Cho a, b  ¥ å ,(a, b)  1; n ab  1, ab  2,... . Kí hiệu rn là số cặp số (u, v)  ¥ å  ¥ å sao cho rn 1 .  n  n ab. n  au  bv . Tìm lim A. . B. . C.. 1 ab. D. ab  1. Hướng dẫn giải: Chọn C.  n  1 Xét phƣơng trình 0; (1). n   Gọi (u0 , v0 ) là một nghiệm nguyên dƣơng của (1). Giả sử (u, v) là một nghiệm nguyên dƣơng khác. (u0 , v0 ) của (1). Ta có au0  bv0  n, au  bv  n suy ra a(u  u0 )  b(v  v0 )  0 do đó tồn tại k nguyên dƣơng sao cho v 1 u  u0  kb, v  v0  ka . Do v là số nguyên dƣơng nên v0  ka  1  k  0 . (2) a Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình (1) bằng số các số k nguyên dƣơng cộng với  v  1  n u 1 1. Do đó rn   0   1    0    1 .  a   ab b a  n u0 1 n u0 1 Từ đó ta thu đƣợc bất đẳng thức sau:    rn     1. ab b a ab b a 1 u0 1 rn 1 u0 1 1 Từ đó suy ra :        . ab nb na n ab nb na n r 1 Từ đây áp dụng nguyên lý kẹp ta có ngay lim n  . n  n ab 1  u1  2 Câu 79. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi :  . Tìm kết quả đúng của lim un . un 1  1 , n  1 2  un  1 A. 0 . B. 1 . C. 1 . D. 2 Hướng dẫn giải: Chọn B.. Trang 76.

(77) Giới hạn – ĐS&GT 11 1 2 3 4 5 Ta có: u1  ; u2  ; u3  ; u4  ; u5  .;... 2 3 4 5 6 n Dự đoán un  với n  ¥ * n 1 Dễ dàng chứng minh dự đoán trên bằng phƣơng pháp quy nạp. n 1  lim  1. Từ đó lim un  lim 1 n 1 1 n 1  1 1 1  Câu 80. Tìm giá trị đúng của S  2 1     ...  n  .......  . 2  2 4 8 . A. 2  1 .. B. 2 .. C. 2 2 .. Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1  1 1 1  Ta có: S  2 1     ...  n  .......   2. 2 2. 1 2  2 4 8  1 2  1 1 1  Câu 81. Tính giới hạn: lim    ....   n  n  1  1.2 2.3 3 A. 0 B. 1 . C. . 2 hạn. Hướng dẫn giải: Chọn B. Đặt : 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 A   ....   1     ...    1  1.2 2.3 n  n  1 2 2 3 n 1 n 1 n n 1. D.. 1 . 2. D. Không có giới.  1 1 1  n 1  lim    ....   lim 1   lim 1 1.2 2.3 n n  1 n  1     1 n  1  1 1 Câu 82. Tính giới hạn: lim    ....   n  2n  1  1.3 3.5 A. 1 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Đặt. Trang 77. B. 0 .. 2 C. . 3. D. 2 ..

(78) Giới hạn – ĐS&GT 11. A. 1 1 1   ....  1.3 3.5 n  2n  1.  2A . 2 2 2   ....  1.3 3.5 n  2n  1. 1 1 1 1 1 1 1  2 A  1       ...   3 3 5 5 7 n 2n  1 1 2n  2A  1  2n  1 2n  1 n  A 2n  1 1  1 1 n 1 1  ....   lim  . Nên lim     lim 1 2 n  2n  1  2n  1 1.3 3.5 2 n  1  1 1 Câu 83. Tính giới hạn: lim    ....   n  n  2  1.3 2.4. 3 A. . B. 1 . C. 0 . 4 Hướng dẫn giải: Chọn A.  1   1 1 1 2 2 2 Ta có : lim    ....   ....    lim    n  n  2  2 1.3 2.4 n  n  2  1.3 2.4 1 1 1 1 1 1 1 1 1  3 1 1   lim 1      ...    .   lim 1   2 3 2 4 3 5 2 2 n2 4 n n2  1 1 1   ...  Câu 84. Tính giới hạn: lim   . n(n  3)  1.4 2.5 11 A. . B. 2 . C. 1 . 18 Hướng dẫn giải: Chọn A. Cách 1:  1 1 1  1  1 1 1 1 1 1 1  lim    ...   lim  1       ...     n(n  3)  n n  3   3  4 2 5 3 6 1.4 2.5. 2 D. . 3. D.. 3 . 2. 1  1 1 1 1 1   lim  1        3  2 3 n  1 n  2 n  3   3n2  12n  11  11 11   lim   . 18 n  1 n  2 n  3       18 100 1 Cách 2: Bấm máy tính nhƣ sau:  và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn 1 x  x  3 hơn).. Trang 78.

(79) Giới hạn – ĐS&GT 11  1  1  1  Câu 85. Tính giới hạn: lim 1  2 1  2  ... 1  2   .  2  3   n   1 1 3 A. 1 . B. . C. . D. . 2 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. Cách 1:  1  1  1   1  1  1  1   1  1   lim 1  2 1  2  ... 1  2    lim 1  1  1  1   ... 1  1     2  3   n    2  2  3  3   n  n   1 n 1 1  1 3 2 4 n  1 n  1  lim .   lim  . . . ... .  2 n 2 n n  2 2 3 3 100 1   Cách 2: Bấm máy tính nhƣ sau:  1  2  và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn x  2  hơn).. Trang 79.

(80) Giới hạn – ĐS&GT 11. GIỚI HẠN HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Giới hạn hữu hạn 1. Giới hạn đặc biệt: lim x  x0 ; lim c  c x x0. x x0. (c: hằng số) 2. Định lí: a) Nếu lim f ( x)  L và lim g( x)  M x x0. x x0. thì: lim  f ( x)  g( x)  L  M x x0. lim  f ( x)  g( x)  L  M. x x0. lim  f ( x).g( x)  L.M. x x0. f ( x) L (nếu M  0)  x x0 g( x) M b) Nếu f(x)  0 và lim f ( x)  L lim. x x0. thì L  0 và lim. x x0. f ( x)  L. c) Nếu lim f ( x)  L thì lim f ( x)  L x x0. x x0. 3. Giới hạn một bên: lim f ( x)  L  x x0. lim f ( x)  lim f ( x)  L. x x0. x x0. Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực 1. Giới hạn đặc biệt:  neá u k chaü n lim xk   ; lim xk   u k leû x x  neá. lim c  c ;. x. c. 0 xk 1 lim   x0 x lim. x. 1   ; x0 x 1 1 lim  lim     x0 x x0 x 2. Định lí: Nếu lim f ( x)  L  0 và lim g( x)   thì: lim. x x0. x x0.  neá u L vaølim g( x) cuø ngdaá u  x x0 lim f ( x)g( x)   u L vaølim g( x) traù i daá u x x0  neá x x0  0 neá u lim g( x)   x x0  f ( x)  lim   neá u lim g( x)  0 vaøL .g( x)  0 x x0 g( x) x x0   neá u lim g( x)  0 vaøL .g( x)  0  x x0 . 0 * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: ,  0 lim f ( x)  x x0 x  ,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định. . B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM Phƣơng pháp: + Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số. + Nếu f ( x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f ( x0 ) + Nếu f ( x) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải). x3  2 x 2  1 Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là: x 1 2 x5  1. Trang 80.

(81) Giới hạn – ĐS&GT 11 A. 2 .. 1 B.  . 2. C.. 1 . 2. D. 2 .. Hướng dẫn giải: Chọn A. x3  2 x 2  1  1  2.  1  1 Cách 1: lim   2 5 x 1 2 x5  1 2  1  1 3. 2. x3  2 x 2  1 + CACL + x  1  109 và so đáp án. 5 2x 1 x3  2 x 2  1 Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so đáp án. 2 x5  1 x  1  109. Cách 2: Bấm máy tính nhƣ sau:. 4 x3  1 Câu 2. lim 2 bằng: x 2 3 x  x  2. A . . Hướng dẫn giải: Chọn B 4 x3  1 11 lim 2  . x 2 3 x  x  2 4. B. . 11 .. 4. C.. 11 .. 4. x 1 bằng định nghĩa. x 1 x  2 B.  C. 2. D. .. Câu 3. Tìm giới hạn hàm số lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn C.. Với mọi dãy ( xn ) : lim xn  1 ta có: lim. . D. 1. xn  1 x 1  2 Vậy lim  2 . x 1 x  2 xn  2. . Câu 4. Tìm giới hạn hàm số lim x3  1 bằng định nghĩa. x 2. A.  Hướng dẫn giải: Chọn C.. B. . Câu 5. Tìm giới hạn hàm số lim x 1. A.  Hướng dẫn giải: Chọn D. x3 2 1 lim  x 1 x 1 4. C. 9. D. 1. x3 2 bằng định nghĩa. x 1. B. . C. 2. x3 bằng định nghĩa. x  x  2 B.  C. 2. D.. 1 4. Câu 6. Tìm giới hạn hàm số lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn D.. Trang 81. D. 1.

(82) Giới hạn – ĐS&GT 11 2 x2  x  1 bằng định nghĩa. x  x2 B.  C. 2. D. 1. 3x  2 bằng định nghĩa. 2x 1 B.  C. 5. D. 1. Câu 7. Tìm giới hạn hàm số lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn B. 2x2  x  1 lim   x  x2. Câu 8. Tìm giới hạn hàm số lim x 1. A.  Hướng dẫn giải: Chọn C.. Với mọi dãy  xn  : lim xn  2 ta có: lim x 1. Câu 9. Cho hàm số f ( x)  5 . 9 Hướng dẫn giải: Chọn B.. A.. Cách 1: lim x 2. 3x  2 3.1  2 3x  2  lim n  5 2x 1 2 xn  1 2.1  1. 4 x 2  3x . Chọn kết quả đúng của lim f ( x) : x 2  2 x  1  x3  2 . B.. 4 x 2  3x   2 x  1  x3  2 . Cách 2: Bấm máy tính nhƣ sau:. 5 . 3. C.. 5 . 9. D.. 2 . 9. 4.22  3.2 5  3  2.2  1  2  2  3 4 x 2  3x + CACL + x  2  109 và so đáp án. 3  2 x  1  x  2 . Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim. 4 x 2  3x  2 x  1  x3  2 . và so đáp x  2  10. 9. án.. cos 5 x + CACL + x  109 và so đáp án. 2x cos 5 x Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad + lim và 2 x x  109 so đáp án. x4 2 Câu 10. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 0 2x 1 A.  B. C. 2 D. 1 8 Hướng dẫn giải: Chọn B. Với mọi dãy  xn  : lim xn  0 ta có: Cách 2: Bấm máy tính nhƣ sau: Chuyển qua chế độ Rad +. Trang 82.

(83) Giới hạn – ĐS&GT 11. lim x 0. x 4 2 x4 2  lim n  lim 2x 2 xn 2 xn. . xn xn  4  2. .  lim 2. . 1. 1  . xn  4  2 8. . 4x  3 bằng định nghĩa. x 1 x  1 B.  C. 2. Câu 11. Tìm giới hạn hàm số lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn A.. Với mọi dãy ( xn ) : xn  1, n và lim xn  1 ta có: lim x 1. D. 1. 4x  3 4x  3  lim n   . x 1 xn  1. 3x  1 bằng định nghĩa. x 2 x  2 B.  C. 2. Câu 12. Tìm giới hạn hàm số lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn B.. Với mọi dãy ( xn ) : xn  2, n và lim xn  2 ta có: lim x 2. D. 1. 3x  1 3x  1  lim n   . x2 xn  2. 2 x2  x  3 bằng định nghĩa. x 1 x 1 B. 5 C. 2. Câu 13. Tìm giới hạn hàm số lim A.  Hướng dẫn giải: Chọn B.. D. 1. 2 x 2  xn  3 2x2  x  3  lim n  lim  2 xn  3  5 . x 1 x 1 xn  1 x 1 Câu 14. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. 4 x 2 2  x. Với mọi dãy ( xn ) : lim xn  1 ta có: lim. A.  Hướng dẫn giải: Chọn A.. C. 2. B. . 3x 2 bằng định nghĩa. x  2 x 2  1 3 B.  C. 2. D. 1. Câu 15. Tìm giới hạn hàm số lim A. . D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn C. 3x 2 3 Đáp số: lim 2  x  2 x  1 2 Câu 16. Tìm giới hạn hàm số lim x 2  x  1 bằng định nghĩa. x . A.  Hướng dẫn giải: Chọn A.. . C. 2. B. . Câu 17. Tìm giới hạn hàm số lim x 2. Trang 83. . x2  4.  x4  1  2  x . bằng định nghĩa.. D. 1.

(84) Giới hạn – ĐS&GT 11 A.  Hướng dẫn giải: Chọn C.. B. . C. 0. x 2  3x  2 Câu 18. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩa. x 1 x 1 A.  B.  C. 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. x 2  3x  2 Do x  1  x  1  ( x  1) . Đáp số: lim  1 . x 1 x 1. Câu 19. Tìm giới hạn hàm số A  lim x 1. A. . B. . Hướng dẫn giải: Chọn C. x2  x  1 1  1  1 1 Ta có: A  lim   . x 1 x 1 11 2 Câu 20. Tìm giới hạn hàm số B  lim x. A.  Hướng dẫn giải: Chọn C.. B. . . 6. x2  x  1 bằng định nghĩa. x 1 1 C. 2. D. 1. D. 1. 2 tan x  1 bằng định nghĩa. sin x  1. C.. 4 36 9. D. 1. . 2 tan  1 2 tan x  1 4 36 6   Ta có B  lim .  sin x  1 9 x sin  1 6 6 3 x  2  x 1 Câu 21. Tìm giới hạn hàm số C  lim bằng định nghĩa. x 0 3x  1 A.  B.  C. 3 2  1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 x  2  x 1 3  2 1. Ta có: C  lim x 0 3x  1 3 7x 1 1 Câu 22. Tìm giới hạn hàm số D  lim bằng định nghĩa. x 1 x2 A.  B.  C. 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 3 7x 1 1 3 8 1   3 . Ta có: D  lim x 1 x2 1 2 x 1 Câu 23. Tìm giới hạn hàm số A  lim 2 bằng định nghĩa. x 2 x  x  4 Trang 84. D. 1. D. 1. D. 3.

(85) Giới hạn – ĐS&GT 11 B. . A. . C. . 1 6. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 24. Tìm giới hạn hàm số B  lim x. 6. sin 2 2x  3cos x bằng định nghĩa. tan x. B. . A. . C.. 3 3 9  4 2. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 25. Tìm giới hạn hàm số C  lim x 1. B. . A. . 2 x2  x  1  3 2 x  3 bằng định nghĩa. 3x 2  2 3 3 9  C. 4 2. D.. 235. Hướng dẫn giải: Chọn D. Câu 26. Tìm giới hạn hàm số D  lim 3 x 1. B. . A. . 3x  1  2 bằng định nghĩa. 3x  1  2 1 C.  6. D. 0. Hướng dẫn giải: Chọn D.  x 2  3 khi x  2 Câu 27. Cho hàm số f  x    . Chọn kết quả đúng của lim f  x  : x 2 x  1 khi x  2  A. 1 . B. 0 . C. 1 . D. Không tồn tại. Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có lim f  x   lim x 2  3  1 x 2. x 2. . . lim f  x   lim  x  1  1. x 2. x 2. Vì lim f  x   lim f  x   1 nên lim f  x   1 . x 2. x 2. x 2.  x 2  ax  1 khi x  2 Câu 28. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x  2 f ( x)   2 . 2 x  x  1 khi x  2 1 A.  B.  C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: lim f ( x)  lim( x 2  ax  2)  2a  6 . lim f ( x)  lim(2 x 2  x  1)  7 .   x 2. x 2. x 2. x 2. Hàm số có giới hạn khi x  2  lim f ( x)  lim f ( x)  2a  6  7  a  x 2. tìm.. Trang 85. x 2. 1 1 . Vậy a  là giá trị cần 2 2.

(86) Giới hạn – ĐS&GT 11 2  khi x  0 5ax  3x  2a  1 Câu 29. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x  0 f ( x)   . 2 1  x  x  x  2 khi x  0   2 A.  B.  C. D. 1 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 Ta có lim f ( x)  2a  1  1  2  lim f ( x)  a  . x 0 x 0 2 2  5ax  3x  2a  1 khi x  0 Câu 30. Tìm a để hàm số. f ( x)   có giới hạn tại x  0 2  1  x  x  x  2 khi x  0. B. . A. . C.. 2 2. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: lim f ( x)  lim 5ax 2  3x  2a  1  2a  1 x 0. x 0. . . . . lim f ( x)  lim 1  x  x 2  x  2  1  2. x 0. x 0. Vậy 2a  1  1  2  a . 2 . 2. 2   x  ax  1 khi x  1 Câu 31. Tìm a để hàm số. f ( x)   2 có giới hạn khi x  1 .  2 x  x  3a khi x  1 1 A.  B.  C.  D. 1 6 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: lim f ( x)  lim( x 2  ax  2)  a  3 .  x 1. x 1. lim f ( x)  lim(2 x 2  x  3a)  3a  1 . . x 1. x 1. Hàm số có giới hạn khi x  1  lim f ( x)  lim f ( x) x 1. x 1.  a  3  3a  1  a  1 . Vậy a  1 là giá trị cần tìm.. Trang 86.

(87) Giới hạn – ĐS&GT 11. DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH. 0 0. P( x) với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0 x  x0 Q ( x ) Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. Chú ý: + Nếu tam thức bậc hai ax 2  bx+c có hai nghiệm x1 , x2 thì ta luôn có sự phân. 1. L = lim. tích ax2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ) . + an  bn  (a  b)(a n1  a n2b  ...  ab n2  b n1 ) P( x) 2. L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc x  x0 Q ( x ) Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. Các lƣợng liên hợp: + ( a  b )( a  b )  a  b 3 2 3 2 3 3 3 + ( a  b )( a m ab  b )  a  b. + ( n a  n b )( n a n1  n an2b  ...  n bn1 )  a  b P( x) 3. L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc x  x0 Q ( x ) Giả sử: P(x) =. m. u( x)  n v( x) với m u( x0 )  n v( x0 )  a .. Ta phân tích P(x) =  m u( x)  a    a  n v( x)  . Trong nhiều trƣờng hợp việc phân tích nhƣ trên không đi đến kết quả ta phải phân tích nhƣ sau: n u( x)  m v( x)  ( n u( x)  m( x))  ( m v( x)  m( x)) , trong đó m( x)  c . x2  2 x  1 là: x 1 2 x 3  2 1 C. . 2. Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim A.  .. B. 0 .. D.  .. Hướng dẫn giải: Chọn B..  x  1 x 1 x2  2 x  1 Cách 1: lim  lim  lim 0 x 1 2 x 2  x  1 x 1 2 x  1 x 2  x  1 x 1 2 x 3  2      2. x2  2 x  1 + CACL + x  1  109 và so đáp án. 3 2x  2 x2  2 x  1 Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so đáp án. 2 x3  2 x  1  109. Cách 2: Bấm máy tính nhƣ sau:. Câu 2. Tìm giới hạn A  lim x 1. A. . Trang 87. x3  3x 2  2 : x2  4 x  3. B. . C.. 3 2. D. 1.

(88) Giới hạn – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn C. x3  3x 2  2 ( x  1)( x 2  2 x  2) x2  2x  2 3 Ta có: A  lim 2  lim  lim  . x 1 x  4 x  3 x 1 x 1 x 3 2 ( x  1)( x  3) 4 2 x  5x  4 Câu 3. Tìm giới hạn B  lim : x 2 x3  8 1 A.  B.  C.  D. 1 6 Hướng dẫn giải: Chọn D. ( x 2  1)( x  2)( x  2) x4  5x2  4 ( x 2  1)( x 2  4) ( x 2  1)( x  2) Ta có: B  lim  lim  lim  lim  1. x 2 ( x  2)( x 2  2 x  4) x 2 x 2 x 2 x3  8 x3  23 x2  2 x  4 (1  3x)3  (1  4 x) 4 Câu 4. Tìm giới hạn C  lim : x 0 x 1 A.  B.  C.  D. 25 6 Hướng dẫn giải: Chọn D. (1  3x)3  (1  4 x) 4 Ta có: C  lim x 0 x 3 (1  3x)  1 (1  4 x) 4  1  lim  lim x 0 x 0 x x 2 3x[(1  3x)  (1  3x)  1] 4 x(2  4 x)[(1  4 x) 2  1]  lim  lim x 0 x 0 x x 2  lim3[(1  3x)  (1  3x)  1]  lim 4(2  4 x)[(1  4 x) 2  1]  25 x 0. x 0. Câu 5. Cho hàm số f  x   A. . . Hướng dẫn giải: Chọn B. lim. x 3.  lim x 3. x 3 x2  9. x 3 x2  9 B. 0. .. . Giá trị đúng của lim f  x  là: x 3. C.. 6. .. D. .. C. . 1 6. D. 6.  x  3 .  x  3 x  3 2.  lim x 3.  x  3 0.  x  3. Câu 6. Tìm giới hạn D  lim x 0. A. . (1  x)(1  2 x)(1  3x)  1 : x. B. . Hướng dẫn giải: Chọn D. (1  x)(1  2 x)(1  3x)  1 6 x3  11x 2  6 x Ta có: D  lim  lim 6. x 0 x 0 x x Trang 88.

(89) Giới hạn – ĐS&GT 11 Câu 7. Tìm giới hạn A  lim x 0. A. . xn  1 (m, n  ¥ *) : xm 1. B. . C.. n m. D. m  n. Hướng dẫn giải: Chọn C. ( x  1)( x n1  x n2  ...  x  1) x n1  x n2  ...  x  1 n Ta có: A  lim  lim  . x 0 ( x  1)( x m 1  x m  2  ...  x  1) x 0 x m 1  x m  2  ...  x  1 m Câu 8. Tìm giới hạn B  lim. n. x 0. A. . 1  ax  1 (n  ¥ *, a  0) : x. B. . C.. a n. D. 1. n a. D. 1. am bn. Hướng dẫn giải: Chọn C. Cách 1: Nhân liên hợp Ta có: B  lim. ( n 1  ax  1)( n (1  ax) n1  n (1  ax) n2  ...  n 1  ax  1). x( n (1  ax) n 1  n (1  ax) n 2  ...  n 1  ax  1) a a B  lim  . x 0 n (1  ax)n 1  n (1  ax) n 2  ...  n 1  ax  1 n x 0. Cách 2: Đặt ẩn phụ t n 1 và x  0  t  1 a t 1 t 1 a  B  a lim n  a lim  . t 1 t  1 t 1 (t  1)(t n 1  t n  ...  t  1) n. Đặt t  n 1  ax  x . n. Câu 8. Tìm giới hạn A  lim m x 0. A. . 1  ax  1 với ab  0 1  bx  1. B. . : C.. am bn. Hướng dẫn giải: Chọn C. Áp dụng bài toán trên ta có: n 1  ax  1 x a m am . A  lim .lim m  .  x 0 x 0 1  bx  1 x n b bn 1   x 3 1   x 4 1   x 1 Câu 9. Tìm giới hạn B  lim với   0 . : x 0 x A. . B. . C. B . . 4. . . 3. . Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: 1   x 3 1   x 4 1   x  1 .  1   x 3 1   x ( 4 1   x  1)  1   x (( 3 1   x  1)  ( 1   x  1). Trang 89.  2. D. B .  4. .  3. .  2.

(90) Giới hạn – ĐS&GT 11 3 1   x 1 1   x 1 1   x 1  lim 1   x  lim x 0 x  0 x  0 x x x 2 2 x  5x  2 Câu 10. Tìm giới hạn A  lim 3 : x 2 x  3 x  2 1 A.  B.  C. 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. ( x  2)(2 x  1) 1 Ta có: A  lim  2 x 2 ( x  2)( x  2 x  1) 3 x 4  3x  2 Câu 11. Tìm giới hạn B  lim 3 : x 1 x  2 x  3 1 A.  B.  C. 5 Hướng dẫn giải: Chọn C. ( x  1)( x3  x 2  x  2) 1  Ta có: B  lim x 1 ( x  1)( x 2  x  3) 5. B  lim( 1   x 3 1   x ). 4. Câu 12. Tìm giới hạn C  lim x 3. Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: C  lim x 3. ( x  3)( x  1). ( x  3)( x  1). . 2x  3  x 3. Câu 13. Tìm giới hạn D  lim 4 x 0. C. . . . Ta có: D  lim. . x 0. 4. C.. 2x. . 3. . ( x  1) 2  3 x  1  1. x 7. Hướng dẫn giải: Chọn C.. Trang 90. 2 3. D. 1. 8 27. D. 1. 2. (2 x  1)3  4 (2 x  1) 2  4 2 x  1  1. Câu 14. Tìm giới hạn E  lim A. . D. 1. x 1 1 : 2x 1 1. Hướng dẫn giải: Chọn C. x. 1 3. 1 3. B. . A. . D. 1. 2x  3  x : x2  4 x  3. B. . A. . D. 1. 3. 3. 4x 1  x  2 : 4 2x  2  2. B. . C..

(91) Giới hạn – ĐS&GT 11 3 4x 1  x  2 4x 1  3 x  2 3 Ta có: E  lim 4  lim 4  lim 4  A B x 7 x  7 x  7 2x  2  2 2x  2  2 2x  2  2 3. 4x 1  3 A  lim 4  lim x 7 2 x  2  2 x 7 3. 2. . 4. 2x  2  2. . x 7.  2x  2. 2. 4.   64.   4x 1  3 4x 1  9 27  2x  2  2   2 x  2  4 8 x  2 3  lim  2. 3. 4. B  lim 4. 4. 2x  2  2. E  A B . 3. 2. 4. x 7. 2. . x2 3. . 3. 64 8 8   27 3 27. (2 x  1)(3x  1)(4 x  1)  1 : x 0 x 9 B.  C. 2. Câu 15. Tìm giới hạn F  lim A. . D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 16. Tìm giới hạn M  lim x 0. 1 4x  3 1 6x : x2. B. . A. . C.. 1 3. D. 0. Hướng dẫn giải: Chọn D. 3 4 x  1  (2 x  1) 1  6 x  (2 x  1)  lim 0 Ta có: M  lim 2 x 0 x  0 x x2 m 1  ax  n 1  bx Câu 17. Tìm giới hạn N  lim : x 0 x a b A.  B.  C.  m n Hướng dẫn giải: Chọn C. m n 1  ax  1 1  bx  1 a b  lim   Ta có: N  lim x 0 x 0 x x m n m n 1  ax 1  bx  1 Câu 18. Tìm giới hạn G  lim : x 0 x a b A.  B.  C.  m n Hướng dẫn giải: Chọn D. m. Ta có: G  lim x 0. Trang 91. 1  ax. . n.   lim. 1  bx  1. x. x 0. m. 1  ax  1 b a   x n m. D.. a b  m n. D.. a b  m n.

(92) Giới hạn – ĐS&GT 11. 1  mx   1  nx  Tìm giới hạn V  lim n. Câu 19.. x2. x 0. m. :. B. . A. . C.. mn  n  m  2. D.. mn  n  m  2. Hướng dẫn giải: Chọn C. (1  nx)m  (1  mnx) (1  mx) n  (1  mnx) mn(n  m) Ta có: V  lim .   lim x 0 x 0 2 x2 x2. 1  x 1  x  ...1  x  : Câu 20. Tìm giới hạn K  lim 3. 1  x . x 1. n. n 1. B. . A. . C.. 1 n!. D. 0. Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: K  lim x 1. 1 (1  x )( 3 x 2  3 x  1)...( n x n1  ...  1). Câu 21. Tìm giới hạn L  lim. .   n. 1  x2  x . x 0.  . 1 . n!. 1  x2  x. . n. :. x. A.  B.  Hướng dẫn giải: Chọn C. n n    2 2 1  x  x  1 1  x  x  1      2n . L  lim n x 0 x 1  x2  x. . . C. 2n. D. 0. . . . 2 x2  5x  2 : x 2 x3  8. Câu 22. Tìm giới hạn A  lim. B. . A. . C.. 1 4. D. 0. Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: A  lim x 2. (2 x  1)( x  2) 1  2 ( x  2)( x  2 x  4) 4. Câu 23. Tìm giới hạn B  lim x 1. A. . x 4  3x 2  2 : x3  2 x  3. B. . Hướng dẫn giải: Chọn C. ( x 2  1)( x 2  2) 2  Ta có: B  lim 2 x 1 ( x  1)( x  x  3) 5. Trang 92. C. . 2 5. D. 0.

(93) Giới hạn – ĐS&GT 11 Câu 24. Tìm giới hạn C  lim x 3. 2x  3  3 : x  4x  3 2. B. . A.  Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: C  lim x 3. 2( x  3). ( x  1)( x  3). . 2x  3  3. Câu 25. Tìm giới hạn D  lim x 0. 3. . . Hướng dẫn giải: Chọn C.. x. Ta có: D  lim. . 1 6. D. 0. C.. 1 3. D. 0. 1 6. x 1 1 : 2x 1 1. B. . A. . C.. . 2x 1 1. . 1 3. 2 x  3 ( x  1) 2  3 x  1  1   n (2 x  1)(3 x  1)(4 x  1)  1 Câu 26. Tìm giới hạn F  lim : x 0 x 9 A.  B.  C. n Hướng dẫn giải: Chọn C. Đặt y  n (2 x  1)(3x  1)(4 x  1)  y  1 khi x  0 x 0. D. 0. yn 1 (2 x  1)(3x  1)(4 x  1)  1  lim 9 x 0 x 0 x x yn 1 9  Do đó: F  lim n  1 n  2 x 0 x y  y  ...  y  1 n. Và: lim. . . Câu 27. Tìm giới hạn M  lim x 0. A. . 1 4x  3 1 6x : 1  cos 3x. B. . C.. 4 9. D. 0. C.. 2  an  bm  mn. D. 0. Hướng dẫn giải: Chọn C.. 1  4x  3 1  6x x2 2 4 .  2.  . 2 x 0 x 1  cos3x 9 9 m n 1  ax  1  bx Câu 28. Tìm giới hạn N  lim : x 0 1  x 1 Ta có: M  lim. A.  Hướng dẫn giải: Trang 93. B. .

(94) Giới hạn – ĐS&GT 11 Chọn C..  m 1  ax  1 n 1  bx  1  2(an  bm) x  a b   .2   . Ta có: N  lim  .     1 x 1  m n  x 0 x x mn  . 1  mx   1  nx  n. Câu 29. Tìm giới hạn V  lim x 0. m. 1  2 x  3 1  3x. :. B. . A. . C.. 2  an  bm  mn. D. mn  n  m . Hướng dẫn giải: Chọn D.  1  mx n  1 (1  nx)m  1 mn(n  m) x2 Ta có: V  lim   .2  mn(n  m) .   2 2 3 x 0 2 x x   1  2 x  1  3x. 1  x 1  x  ...1  x  : Câu 30. Tìm giới hạn K  lim 3. n. 1  x . 2 n 1. x 1. B. . A. . C.. 1 n!. D. 0. Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: K  lim x 1. 1 (1  x )( x  3 x  1)...( x 3. n. 2. Câu 31. Tìm giới hạn A  lim x 0. n 1.  ...  1). 1 . n!. 4x 1  2x 1 : x 3. B. . A. . . C.. 4 3. D. 0. Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 4x 1 1 2x 1 1  lim Ta có: A  lim x 0 x 0 x x 4x  1 1 4x 4 Mà: lim  lim  lim 2 x 0 x 0 x x 4 x  1  1 x 0 4 x  1  1. . . 2x  1 1 2x 2  lim  x 0 x 0 x x  3 (2 x  1) 2  3 2 x  1  1 3   2 4 Vậy A  2   . 3 3 4x  5  3 Câu 32. Tìm giới hạn B  lim 3 : x 1 5x  3  2 3. lim. A.  Hướng dẫn giải: Chọn D.. Trang 94. B. . C.. 4 3. D.. 2 5.

(95) Giới hạn – ĐS&GT 11. 4( x  1)  3 (5 x  3) 2  2 3 5 x  3  4  4  3 (5 x  3) 2  2 3 5 x  3  4  2    .  lim  Ta có: B  lim x 1 x  1 5 5( x  1)  4 x  5  3 5 4x  5  3. . . 2 x  3  3 2  3x Câu 33. Tìm giới hạn C  lim : x 1 x  2 1 4. B. . A. . C.. 4 3. D. 3. Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: C  lim. 4. x 1. 3 2x  3 1 3x  2  1  lim x  2  1 x1 x  2  1. 3 3( x  1)  1  1 2( x  1)  1  1 x 1 x 1  lim  lim  x 1 ( x  1)  1  1 x1 ( x  1)  1  1 x 1 x 1 x x2 Câu 34. Tìm giới hạn D  lim : x 2 x  3 3 x  2 4. 2 4  1  3 1 1 2 2. B. . A.  Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: D  lim. x. x 2. 2. C.. . x 0. t 3 1 và x  0  t  1 3. t3 1 t3  2 1 t t 3 3 Nên A  lim  9 lim 2 t 1 t 1 (t  1) 2 (t 2  t  1) 2  t3 1     3  t 1. t 3  3t 2  2  t3  2  (t  1) 2 (t 2  t  1) 2  t   3  . Trang 95. . 1  2 x  3 1  3x : x2. B. . Cách 1: Đặt t  3 3x  1  x . . . Hướng dẫn giải: Chọn C..  3lim. D. 1.  x 2  x. 3 3x  2  3 (3x  2) 2   x  2   x 2  x. 3 3x  2  3 (3x  2) 2    1.   lim  3 x 2 ( x  1) x  x  2 ( x  3x  2) x  x  2. Câu 35. Tìm giới hạn A  lim A. . 4 3. C.. 1 2. D. 0.

(96) Giới hạn – ĐS&GT 11 (t  1) 2 (t  2) t 1  t3  2  (t  1) 2 (t 2  t  1) 2  t   3   t2 1  3lim  . t 1 3  t 2  2 (t 2  t  1)2  t   3   Cách 2: Ta có: 3 1  2 x  (1  x) 1  3x  (1  x) A  lim  lim 2 x 0 x 0 x x2 1 3  x  lim  lim 2 x 0 1  2 x  1  x x 0 3 (1  3x)  (1  x) 3 1  3x  (1  x) 2  3lim. Do đó: A . 1 . 2. Câu 36. Tìm giới hạn B  lim. x 1. 5  4x  3 7  6x : x3  x 2  x  1. B. . A. . C.. 4 3. Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: B  lim. x 1. 5  4x  3 7  6x.  x  1  x  1 2. Đặt t  x  1 . Khi đó: 5  4x  3 7  6x 1  4t  3 1  6t lim  lim 2 x 1 t 0 t2  x  1 3 1  4t  (2t  1) 1  6t  (2t  1)  lim 2 x 0 t 0 t t2 4 8t  12  2.  lim  lim t 0 1  4t  2t  1 t 0 3 (1  6t )2  (2t  1) 3 (1  6t ) 2  (2t  1) 2 Do đó: B  1..  lim. Trang 96. D. 1.

(97) Giới hạn – ĐS&GT 11. DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH.  . Phƣơng pháp:.  P( x) trong đó P( x), Q( x)   , dạng này ta còn gọi là dạng vô định . x  Q ( x )  với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn. – Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x. – Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lƣợng liên hợp. Tƣơng tự nhƣ cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đƣa về các giới hạn: + lim x 2 k   ; lim x 2 k 1   () .. L = lim. x  ( x  ). x  ( x  ). k  0 (n  0; k  0) . x  x n ( x  ). + lim. + lim f ( x)   ()  lim x  x0. x  x0. k  0 (k  0) . f ( x). 5 bằng: x  3 x  2. Câu 1. lim. B. 1 .. A. 0 .. C.. 5 . 3. D.  .. Hướng dẫn giải: Chọn A.. 5 5  lim x  0 Cách 1: lim x  3 x  2 x  2 3 x 5 + CACL + x  109 và so đáp án (với máy casio 570 VN Plus) 3x  2 5 Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so đáp án. 3x  2 x  109. Cách 2: Bấm máy tính nhƣ sau:. x4  7 là: x  x 4  1 B. 1. .. Câu 2. Giá trị đúng của lim A. 1. Hướng dẫn giải: Chọn B. C. 7. .. 7 1 4 x4  7 x  1. lim  lim x  x 4  1 x  1 1 4 x Câu 3. Tìm giới hạn C  lim. x . Trang 97. 2 x  3x 2  2 5x  x2  1. :. D. ..

(98) Giới hạn – ĐS&GT 11 B. . A. . C.. 2 3 6. D. 0. Hướng dẫn giải:. 2 x2  2  3 Ta có: C  lim x  6 1 5  1 2 x 2 2x 1 Câu 4. lim bằng: x  3  x 2 1 1 A. 2 . B.  . C. . D. 2 . 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 2 2 2 2x 1 x 2  lim Cách 1: lim x  3 x  3  x 2 1 x2 2x2 1 Cách 2: Bấm máy tính nhƣ sau: + CACL + x  109 và so đáp án. 2 3 x 2x2 1 Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so đáp án. 3  x 2 x  109 2 3. Câu 5. Cho hàm số f ( x)  1 . 2 Hướng dẫn giải: Chọn C.. A.. Cách 1: lim. x . x2  1 . Chọn kết quả đúng của lim f ( x) : x  2 x4  x2  3. B.. 2 . 2. 1 1  x2  1 x2 x4  0  lim 2 x 4  x 2  3 x  2  1  3 x2 x4. Cách 2: Bấm máy tính nhƣ sau:. x2  1 + CACL + x  109 và so đáp án. 2 x4  x2  3. Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim Câu 6. lim. x . 1  3x 2 x2  3. 3 2 . 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. A. . Trang 98. D.  .. C. 0 .. x2  1 2 x4  x2  3. và so đáp án.. x  10. 9. bằng: B.. 2 . 2. C.. 3 2 . 2. D. . 2 . 2.

(99) Giới hạn – ĐS&GT 11 1 3 2 3 2 Cách 1: lim  lim x  x  2 2 x 2  3 x  2  3 2 x 1  3x Cách 2: Bấm máy tính nhƣ sau: + CACL + x  109 và so đáp án. 2 2x  3 1  3x Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: lim và so đáp án. 2 x 2  3 x  109 3 1  x4  x6 Câu 7. Tìm giới hạn D  lim : x  1  x3  x 4 4 A.  B.  C. D. 1 3 Hướng dẫn giải: 1 1 x2 3 6  2  1 x x 1 Ta có: D  lim x  1 1 2 x  1 x4 x2 x 1 Câu 8. Cho hàm số f  x    x  2  4 . Chọn kết quả đúng của lim f  x  : x  x  x2  1 1 A. 0 . B. . C. 1 . D. Không tồn tại. 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 1 2  3 4 2 x  1 x  2   x 1 x x x 0. lim f  x   lim  x  2  4  lim  lim x  x  x  1 1 x  x 2  1 x  x4  x2  1 1 2  4 x x 1  3x. x2  x  3 Câu 9. lim bằng: x 1 2 x 1 A. 3 .. B.. 1 . 2. C. 1 .. D.  .. Hướng dẫn giải: Chọn A.. 1 3 1 3 1 3 x 1  2 x 1  2 1  2 x x  lim x x  lim x x  3. .   x  1 x  1 1 1 2x 1   x2   2  x x   4 x  8x Câu 10. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim 3 là: x  x  2 x 2  x  2 21 21 24 A.  . B. . C.  . 5 5 5 Hướng dẫn giải: x2  x  3 lim  lim x 1 x 1 2 x 1. Trang 99. D.. 24 . 5.

(100) Giới hạn – ĐS&GT 11 Chọn C. x4  8x x4  8x thành lim x  x 3  2 x 2  x  2 x 2 x 3  2 x 2  x  2 x  x  2  x2  2x  4 x  x2  2x  4 x4  8x 24 lim  lim  lim  . 2 2 x 2 x 3  2 x 2  x  2 x 2 x  2 5  x  2   x  1  x  1 lim. Câu 12. Tìm giới hạn E  lim ( x 2  x  1  x) : x . B. . A.  Hướng dẫn giải: Ta có: E  lim. x . x 1 x  x 1  x 2. . C. . 1 2. D. 0. 1 2. Câu 13. Tìm giới hạn F  lim x( 4 x 2  1  x) : x . B. . A. . C.. 4 3. D. 0. Hướng dẫn giải:.   1 Ta có: F  lim x 2   4  2  1   x  x  . . . Câu 14. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim 4 x5  3x3  x  1 là: x . A.  . Hướng dẫn giải: Chọn A.. C. 4 .. B. 0 .. D.  .. 3 1 1  lim  4 x5  3x3  x  1  lim x5  4  2  4  5   . . x  x  x x x   Câu 15. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim. x . A.  . Hướng dẫn giải: Chọn D. lim. x . C. 1 .. B. 0 .. x 4  x3  x 2  x  lim. x . x 4  x3  x 2  x là:. D.  ..  1 1 1 x 4 1   2  3   . . x   x x. . . Câu 16. Tìm giới hạn B  lim x  x 2  x  1 : x . A. . B. . Hướng dẫn giải:  1 1 Ta có: B  lim  x  x 1   2 x  x x . C.. 4 3. D. 0.   1 1  x 1  1   2      xlim  x x   . Câu 17. Tìm giới hạn M  lim ( x 2  3x  1  x 2  x  1) : x . A.  Trang 100. B. . C.. 4 3. D. Đáp án khác.

(101) Giới hạn – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải: 2 khi x    x  3x  1  x  x  1 2 khi x   4x. Ta có: M  lim. x . 2. 2. Câu 18. Tìm giới hạn N  lim. x . . 3. . 8x 3  2x  2x :. B. . A. . C.. 4 3. D. 0. Hướng dẫn giải: 2x. Ta có: N  lim. x  3. (8 x3  2 x)2  2 x 3 8 x3  2 x  4 x 2. Câu 19. Tìm giới hạn H  lim. x . . 4. 0. . 16 x 4  3x  1  4 x 2  2 :. B. . A. . C.. 4 3. D. 0. Hướng dẫn giải: 16 x 4  3x  1  (4 x 2  2). Ta có: H  lim. x  4.  lim. x .  lim. x . . 4. 16 x 4  3x  1  4 x 2  2 16 x 4  3x  1  (4 x 2  2)2. 16 x 4  3x  1  4 x 2  2. . 16 x 4  3x  1  4 x 2  2. 16 x  3x  3. . 2. . 4. 16 x 4  3x  1  4 x 2  2. . 16 x 4  3x  1  4 x 2  2. . Suy ra H  0 . Câu 20. Tìm giới hạn K  lim. x . . . x2  1  x2  x  2 x :. B. . A. . C. . 1 2. D. 0. Hướng dẫn giải: Ta có: K  lim. x .  lim. x .  lim. x .  lim. x . .  . 2 x 2  x  1  2 ( x 2  1)( x 2  x) x2  1  x2  x  2x. 4( x 4  x3  x 2  x)   2 x 2  x  1. 2. . . x 2  1  x 2  x  2 x 2 ( x 2  1)( x 2  x)  2 x 2  x  1 4( x 4  x3  x 2  x)   2 x 2  x  1. 2. . . x 2  1  x 2  x  2 x 2 ( x 2  1)( x 2  x)  2 x 2  x  1. 8 x3  7 x 2  2 x  1. . . x 2  1  x 2  x  2 x 2 ( x 2  1)( x 2  x)  2 x 2  x  1 3x 2  5 x  1 : x  2 x 2  x  1. Câu 21. Tìm giới hạn A  lim. Trang 101. . 1 2.

(102) Giới hạn – ĐS&GT 11 B. . A. . C.. 3 2. D. 0. Hướng dẫn giải:. 5 1 5 1  2) 3  2 x x  lim x x 3 Ta có: A  lim x  2 x  1 1 1 1 2 x (2   2 ) 2  2 x x x x n a x  ...  an 1 x  an Câu 22. Tìm giới hạn B  lim 0 m (a0b0  0) : x  b x  ...  b 0 m 1 x  bm 4 A.  B.  C. 3 Hướng dẫn giải: a a a x n (a0  1  ...  nn11  nn ) x x x Ta có: B  lim x  m bm1 bm b1 x (b0   ...  m1  m ) x x x a a a a0  1  ...  nn11  nn x x x  a0 . * Nếu m  n  B  lim x  b b b b0  1  ...  mm11  mm b0 x x x a a a a0  1  ...  nn11  nn x x x 0 * Nếu m  n  B  lim x  m  n bm1 bm b1 x (b0   ...  m1  m ) x x x ( Vì tử  a0 , mẫu  0 ). * Nếu m  n a a a x n  m (a0  1  ...  nn11  nn )  khi a .b  0 0 0 x x x   B  lim .  x  bm1 bm b1  khi a b0  0 0  b0   ...  m1  m x x x 3 3x3  1  2 x 2  x  1 Câu 23. Tìm giới hạn A  lim : 4 x  4 x4  2 3 3 2 A.  B.  C.  2 Hướng dẫn giải: 1 1 1 x3 3 3  x 2  2 3 x x x  3 2 . Ta có: A  lim x  2 2 x 4 4  4 x x 2 (3 . Câu 24. Tìm giới hạn B  lim. x . A. . Trang 102. x x2  1  2 x  1 3. 2 x3  2  1. B. . D. Đáp án khác. D. 0. : C.. 4 3. D. 0.

(103) Giới hạn – ĐS&GT 11 Hướng dẫn giải:. 1 2 1 1 2 1   2 ) x( 1  2   2 ) 2 x x x  x x x   B  lim x  2 1 2 1 3 2 x( 3 2  3  )  x x x3 x (do tử   , mẫu  3 2 ). x2 ( 1 . (2 x  1)3 ( x  2) 4 : x  (3  2 x)7. Câu 25.Tìm giới hạn A  lim. B. . A. . C. . 1 16. D. 0. Hướng dẫn giải: 3 4 1  2  2  1      1 x  x A  lim   7 x  16 3    2 x  4 x 2  3x  4  2 x. Câu 26. Tìm giới hạn B  lim. x2  x  1  x B. . x . A.  Hướng dẫn giải: 3 4  4  2 2 x x B  lim 2 x  1 1  1  2  x x x. Câu 27. Tìm giới hạn C  lim. x . 2 x  3x 2  2 5x  x2  1. B. . A. . : C. 2. D. 0. : C.. 2 3 4. D. 0. C.. 4 3. D. 1. Hướng dẫn giải:. 2 x2  2  3 C  lim x  4 1 5  1 2 x 2 3. Câu 28. Tìm giới hạn D  lim. x . A.  Hướng dẫn giải: 1 1 3  2 1 6 x x D  lim  1 x  1 1  1  4 x x Trang 103. 3. 1  x4  x6 1  x3  x 4. B. . :.

(104) Giới hạn – ĐS&GT 11. . . Câu 29. Tìm giới hạn A  lim. x . x 2  x  1  3 2 x3  x  1 :. B. . A. . Hướng dẫn giải:  1 1 1 1  Ta có: A  lim  x 1   2  x 3 2  2  3  x  x x x x    1 1 1 1   lim x  1   2  3 2  2  3    x  x x x x   Câu 30.Tìm giới hạn C  lim. x . . 4 3. D. 0. C.. 1 2. D. 0. . 4 x2  x  1  2 x :. B. . A. . C.. Hướng dẫn giải: Ta có: C  lim. x .  1 1 x 1   1 1  x x  lim  lim  . 2 x  x  2 1 1 1 1 4x  x  1  2x x 4   2  2x 4  2 2 x x x x x 1. . Câu 31. Tìm giới hạn D  lim. x . Hướng dẫn giải: Ta có:. . x . . x3  x 2  1  x 2  x  1 :. B. . A. . D  lim. 3. 3. . x3  x 2  1  x  lim. M  lim. x . . C. . . x2  1 3. 2. 3. 2. Câu 32. Tìm giới hạn A  lim. x . Ta có: . x2  x  1  2. 2. . 1 3. 2. x2  x  1  2 x2  x  x. . x2  x  1  2 x2  x  x :.  x xx. 2 x x2  x  1  1  5x  2 x2. Trang 104. 2. B. . A.  Hướng dẫn giải:. 3. . D. 0. x2  x  1  x  M  N. ( x  x  1)  x. x  x  1  x 1 1 x 1 1 x N  lim  lim  2 x  x  2 1 1 x  x 1  x  1   2 1 x x 1 1 1 Do đó: B     . 3 2 6 x  3. 1 6. C.. . 3 2. 2. x 2  x  1  x  4( x 2  x) x2  x  1  2 x2  x  x. D. 0.

(105) Giới hạn – ĐS&GT 11. 2x.  . . . x2  x  1  x. . x2  x  1  2 x2  x  x 2 x( x  1). x2  x  1  2 x2  x  x. x2  x  1  2 x2  x  x. . 1  5x. . 1  5x. . x2  x  1  2 x2  x  x. x2  x  1  x. . . . 2. Do đó: A  lim. 2 x.   1 1 1  1 1  1   2  2 1   1 1   2  1 x x x  x x   1 5 1 5 3 x  lim    x  4 4 2 1 1 1 1  2  2 1 1 x x x x . . Câu 33.Tìm giới hạn B  lim x( x 2  2 x  2 x 2  x  x) : x . B. . A. . C. . 1 4. D. 0. Hướng dẫn giải: x  2x  2 x  x  x . Ta có:. 2.  2x. . 2. 2 x2  2 x  2 x x2  2 x  4 x2  4 x x2  2 x  2 x2  x  x. x2  2 x  x  1 x2  2 x  2 x2  x  x 2 x. ( x 2  2 x  2 x 2  x  x)( x 2  2 x  x  1). Nên B  lim. .. 2 x 2. ( x 2  2 x  2 x 2  x  x)( x 2  2 x  x  1) 2 1  lim  . x  4 2 1 2 1 ( 1   2 1   1)( 1   1  ) x x x x n a x  ...  an1 x  an , (a0b0  0) : Câu 34. Tìm giới hạn A  lim 0 m x  b x  ...  b 0 m 1 x  bm 4 A.  B.  C. 3 Hướng dẫn giải: a a a x n (a0  1  ...  nn11  nn ) x x x Ta có: A  lim x  m bm1 bm b1 x (b0   ...  m1  m ) x x x x . Trang 105. D. Đáp án khác.

(106) Giới hạn – ĐS&GT 11. a a a1  ...  nn11  nn x x x  a0 .  Nếu m  n  B  lim x  b b b b0  1  ...  mm11  mm b0 x x x a a a a0  1  ...  nn11  nn x x x 0  Nếu m  n  B  lim x  m  n bm1 bm b1 x (b0   ...  m1  m ) x x x ( Vì tử  a0 , mẫu  0 ). a a a x n m (a0  1  ...  nn11  nn )  khi a .b  0 0 0 x x x   Nếu m  n , ta có: B  lim  x  bm1 bm b1  khi a 0b0  0  b0   ...  m1  m x x x 3 2 3 4 x  x  8x  x  1 Câu 35. Tìm giới hạn B  lim : 4 4 x  x 3 4 A.  B.  C. 3 Hướng dẫn giải: 1 1 1 1 1 1 x 4   x. 3 8  2  3 4  3 8 2  3 x x x  lim x x x 4 Ta có: B  lim x  x  3 3 4 1 x 4 1 4 x x4 a0 . 4 x 2  2  3 x3  1. Câu 36. Tìm giới hạn C  lim. x2  1  x. x . :. B. . A. . D. 4. C.. 3 2. D. 0. Hướng dẫn giải:. 2 1  x 3 1 3  2 x x  lim x  1 x 1 2  x x. x 4 Ta có: C  lim. x . Câu 37. Tìm giới hạn D  lim. x x2  1  2 x  1. x  3. A. . 2 x3  x  1  x. B. . Hướng dẫn giải:.  1 2 1  x2  1  2   2  x x x     . Ta có: D  lim x   1 1 1 2 3 2 x  3 5 6   x x x  x. Trang 106. 2 3 1  1 3 2 x x 3 2   1   1  2  1 x   4. : C.. 4 3. D. 0.

(107) Giới hạn – ĐS&GT 11 Câu 38. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim x 2 cos x 0. A. Không tồn tại. B. 0 . Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 2  1  0  x 2 cos  x2 Cách 1: 0  cos nx nx 2 Mà lim x 2  0 nên lim x 2 cos  0 x 0 x 0 nx. 2 là: nx. C. 1 .. Cách 2: Bấm máy tính nhƣ sau: Chuyển qua chế độ Rad + x 2 cos so. Trang 107. D.  .. 2 + CACL + x  109 + n  10 và nx.

(108) Giới hạn – ĐS&GT 11. DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC Phƣơng pháp: 1. Giới hạn một bên : Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thƣơng.. 2. Dạng  – : Giới hạn này thƣờng có chứa căn Ta thƣờng sử dụng phƣơng pháp nhân lƣợng liên hợp của tử và mẫu, Sau đó tìm cách biến đổi đƣa  về dạng .  3. Dạng 0.: Ta cũng thƣờng sử dụng các phƣơng pháp nhƣ các dạng ở trên.  1 2 Câu 1. Chọn kết quả đúng của lim  2  3  : x 0  x x  A.  . B. 0 . C.  . D. Không tồn tại. Hướng dẫn giải: Chọn C.  1 2  x2 lim  2  3   lim  3  x 0  x x  x 0  x  lim  x  2   2  0 x 0. Khi x  0  x  0  x3  0  x2 Vậy lim  3    . x 0  x  x3  x 2 bằng: x 1 x 1 1  x A. 1 . B. 0 . Hướng dẫn giải: Chọn C.. Câu 2. lim. D.  .. C. 1 .. x 2  x  1 x3  x 2 x x 1 x lim  lim  lim  lim  1. . 2 x 1 x  1 x  1 x  1 x 1  1  x x 1 1  x 1 1 x 1 x  1   x  1. . Câu 3. lim x 1. . . . x2  x  1 bằng: x2 1. A. –. B. –1. C. 1. Hướng dẫn giải: Chọn D. x2  x  1 lim   vì lim x 2  x  1  1  0 và lim x 2  1  0; x 2  1  0 . 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 3 Câu 4. Giá tri đúng của lim x 3 x  3 A. Không tồn tại. B. 0 . C. 1 . Hướng dẫn giải: Chọn A.. . Trang 108. . . D. +.. . D.  ..

(109) Giới hạn – ĐS&GT 11. x 3  x 3  lim 1  x 3 x 3 x 3 x  3 x 3 x  3   lim   xlim 3 x  3 x 3 x  3 x 3 x  3 lim  lim  1  x 3 x  3 x 3 x  3 Vậy không tồn tại giới hạn trên. lim. Câu 5. Tìm giới hạn A  lim. x . . . x2  x  1  x :. B. . A. . C. . 1 2. D. 0. Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: A  lim. ( x 2  x  1  x)( x 2  x  1  x). x2  x  1  x x2  x  1  x2 x 1 1  lim  lim  . 2 2 x  x  2 x  x 1  x x  x 1  x x . . . Câu 6. Tìm giới hạn B  lim 2 x  4 x 2  x  1 : x . A. . B. . C.. 1 4. D. 0. Hướng dẫn giải: Chọn C. B  lim. (2 x  4 x 2  x  1)(2 x  4 x 2  x  1). x 1.  lim. . 1 . 4. x  2x  4x2  x  1 2 x  4 x2  x  1 1 1 Câu 7. Cho hàm số f ( x)  3 . Chọn kết quả đúng của lim f  x  :  x 1 x 1 x 1 2 2 A.  . B.  . C. . 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn A.   x2  x  lim f  x   lim  3  x 1 x 1  x 1  x . D.  .. lim   x 2  x   2. x 1. Khi x  1  x  1  x3  1  0 Vậy lim f  x    . x 1. Câu 8. Tìm giới hạn C  lim [ n ( x  a1 )( x  a2 )...( x  an )  x] : x . A. . B. . Hướng dẫn giải: Chọn C. Đặt y  n ( x  a1 )( x  a2 )...( x  an ). Trang 109. C.. a1  a2  ...  an n. D.. a1  a2  ...  an 2n.

(110) Giới hạn – ĐS&GT 11.  y n  xn  ( y  x)( y n1  y n1 x  ...  xn1 )  y  x . y n  xn y n1  y n1 x  ...  x n1. y n  xn x  x  y n 1  y n  2 x  ...  x n 1 y n  xn x n 1 .  C  lim n 1 n  x  y  y 1 x  ...  x n 1 x n 1 b b b y n  xn Mà lim  lim (a1  a2  ...  an  2  32  ...  nn1 ) n  1 x  x  x x x x  a1  a2  ...  an .  lim ( y  x)  lim. y k x n1k y n1  y n2 x  ...  x n1  lim  1  k  0,..., n n.  1 x  x  x n1 x n1 a  a  ...  an Vậy C  1 2 . n lim. Câu 9. Tìm giới hạn A  lim ( x 2  x  1  x) : x . B. . A. . C. . 1 2. D. 0. Hướng dẫn giải: Chọn C. x 1 1 A  lim  2 x  2 x  x 1  x Câu 10. Tìm giới hạn B  lim x( 4 x 2  1  x) : x . B. . A. . C.. 1 4. D. 0. 1 4. D. Đáp án khác. Hướng dẫn giải: Chọn B. Câu 11. Tìm giới hạn C  lim ( x 2  x  1  x 2  x  1) : x . B. . A.  Hướng dẫn giải: Chọn D..  lim . lim. x . x .  x  x  1   lim. x 2  x  1  x 2  x  1  lim. x2  x  1 . C.. 2 x. x . x  x  1  x2  x  1 2 x. x . x2  x  1  x2  x  1. 2. 2.  1.  1.. Câu 12. Tìm giới hạn D  lim ( 3 8x 3  2x  2x) : x . A.  Hướng dẫn giải: Chọn D. Trang 110. B. . C.. 1 4. D. 0.

(111) Giới hạn – ĐS&GT 11 2x. D  lim. x  3. (8 x  2 x)  2 x 3 (8 x3  2 x)  4 x 2 3. 2. 0. Câu 13. Tìm giới hạn E  lim ( 4 16 x 4  3x  1  4 x 2  2) : x . B. . A.  Hướng dẫn giải: Chọn D. E  lim. x . . 4. . 16 x 4  3x  1  2 x  lim. x . C.. . 1 4. D. 0. 1 4. D. 0. . 4 x2  2  2 x  0. Câu 14. Tìm giới hạn F  lim ( x  3 1  x3 ) : x . A.  Hướng dẫn giải: Chọn D.. Trang 111. B. . C..

(112) Giới hạn – ĐS&GT 11. DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƢỢNG GIÁC Phƣơng pháp: Ta sử dụng các công thức lƣợng giác biến đổi về các dạng sau: sin x x tan x x  lim  1 , từ đây suy ra lim  lim  1.  lim x 0 x  0 x  0 x  0 x sin x x tan x tan u ( x) sin u ( x)  Nếu lim u ( x)  0  lim  1.  1 và lim x  x0 x  x0 x  x0 u ( x) u ( x) 1  cos ax Câu 1. Tìm giới hạn A  lim : x 0 x2 a A.  B.  C. 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2 ax   2 ax 2sin sin  a 2  a lim  2 Ta có: A  lim  ax   . 2 x 0 x  0 x 2 2    2  1  sin mx  cos mx Câu 2. Tìm giới hạn A  lim : x 0 1  sin nx  cos nx m A.  B.  C. n Hướng dẫn giải: Chọn C. mx mx mx 2sin 2  2sin cos 1  sin mx  cos mx 2 2 2  Ta có: nx nx nx 1  sin nx  cos nx 2sin 2  2sin cos 2 2 2 mx nx mx mx sin sin  cos m 2 . 2 . 2 2  n mx sin nx sin nx  cos nx 2 2 2 2 mx nx mx mx sin sin  cos m 2 .lim 2 .lim 2 2  m. A  lim n x0 mx x0 sin nx x0 sin nx  cos nx n 2 2 2 2 1  cos x.cos 2 x.cos 3x Câu 3. Tìm giới hạn B  lim : x 0 x2 A.  B.  C. 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: 1  cos x.cos 2 x.cos 3x 1  cos x  cos x cos 2 x(1  cos3x)  cos x(1  cos 2 x)  x2 x2. Trang 112. D. 0. D. 0. D. 0.

(113) Giới hạn – ĐS&GT 11 1  cos x 1  cos3x 1  cos 2 x  cos x.cos 2 x  cos x 2 2 x x x2 1  cos x 1  cos3x 1  cos 2 x B  lim  lim cos x.cos 2 x  lim cos x 3 2 2 x 0 x  0 x  0 x x x2 1  cos 2 x Câu 4.Tìm giới hạn A  lim : x 0 3x 2sin 2 A.  B.  C. 1 . D. 0. Hướng dẫn giải: Chọn D.. 3x sin sin 2 x sin x 2 3 2  0.  lim x( ) . lim Ta có: A  lim x 0 x  0 3 x x 0 3 x x 2 sin 2 2 cos 2 x  cos 3x Câu 5. Tìm giới hạn B  lim : x 0 x(sin 3 x  sin 4 x) A. . B. . C.. 5 2. Hướng dẫn giải: Chọn C. 5x x 5x 2sin sin sin 5 2 2   lim( . 2 ).lim 1  5 . B  lim x 0 x 0 2 x 0 7x x 5x 7x 2 2 x cos sin cos 2 2 2 2 2 tan 2 x Câu 6. Tìm giới hạn C  lim 3 : x 0 1  cos 2 x A.  B.  C. 6 Hướng dẫn giải: Chọn C.. D. 0. D. 0. tan 2 2 x tan 2 2 x(1  3 cos 2 x  3 cos 2 2 x ) C  lim 3  lim x 0 1  cos 2 x x 0 1  cos 2 x. tan 2 2 x(1  3 cos 2 x  3 cos 2 2 x ) x 0 2sin 2 x tan 2 x 2 x 2  2 lim( ) .( ) (1  3 cos 2 x  3 cos 2 2 x ). x 0 2x sin x  C  6. x2 Câu 7. Tìm giới hạn D  lim : x 0 1  x sin 3 x  cos 2 x  lim. A.  Hướng dẫn giải: Chọn C.. Trang 113. B. . C.. 7 2. D. 0.

(114) Giới hạn – ĐS&GT 11. 1 x 0 1  x sin 3x  cos 2 x x2 1  x sin 3x  cos 2 x 1  x sin 3x  1 1  cos 2 x  lim  lim Mà : lim 2 2 x 0 x 0 x 0 x x x2 sin 3x 1 7  3lim( . )2  . x 0 3x 2 1  x sin 3x  1 7 Vậy: D  . 2 sin( x m ) Câu 8.Tìm giới hạn A  lim. : x 1 sin( x n ) n A.  B.  C. m Hướng dẫn giải: Chọn C. sin  (1  x m ) sin  (1  x m )  (1  x n ) 1  xn A  lim  lim .lim .lim x 1 sin  (1  x n ) x 1  (1  x m ) x 1 sin  (1  x n ) x 1 1  x m 1  xn (1  x)( x n1  x n 2  ...  1) n  lim  lim  . x 1 1  x m x 1 (1  x)( x m 1  x m  2  ...  1) m  Câu 9. Tìm giới hạn B  lim(  x) tan x :  2 x Ta có: D  lim. D. 0. 2. B. . A.  Hướng dẫn giải: Chọn D.. 5 2. D. 1. C.. 5 2. D. 0. C.. 5 2. D. 0. C.. . x sin x  x)  lim 2 .lim sin x  1 . Ta có: B  lim(  2 cos x x  sin(   x) x  x 2 2 2 2 1 Câu 10. Tìm giới hạn C  lim x sin (  0) : x 0 x. . A. . B. . Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 Ta có: 0 | x sin | x . Mà lim x  0 x 0 x Nên theo nguyên lí kẹp  A39  0 . Câu 11.Tìm giới hạn D  lim (sin x  1  sin x ) : x . A.  Hướng dẫn giải: Chọn D. Trang 114. B. .

(115) Giới hạn – ĐS&GT 11 Trƣớc hết ta có: sin x  x. x  0. Ta có: sin x  1  sin x  2sin. x 1  x x 1  x .cos  2 2. 1 x 1  x. 1  0 nên D  0 . x  x 1  x cos 3x  cos 4 x Câu 12. Tìm giới hạn A  lim : x 0 cos 5 x  cos 6 x. Mà lim. B. . A. . C.. 7 11. D. 0. Hướng dẫn giải: Chọn C.. 7x x sin 2 2  7 Ta có: A  lim x 0 11x x 11 sin sin 2 2 1  3 1  2sin 2 x Câu 13. Tìm giới hạn B  lim : x 0 sin 3x sin. B. . A.  Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có B  lim x 0. . 4 9. D. 0. C. 96. D. 0. C. . 2sin 2 x. sin 3x 1  3 1  2sin 2 x  3 (1  2sin 2 x) 2. sin 2 2 x : x 0 cos x  4 cos x B. . . . 4 9. Câu 14.Tìm giới hạn C  lim 3 A.  Hướng dẫn giải: Chọn C.. sin 2 2 x x2 Ta có: C  lim 3  96 x 0 cos x  1 1  4 cos x  x2 x2 sin 4 2 x Câu 15.Tìm giới hạn D  lim 4 : x 0 sin 3 x. A. . B. . Hướng dẫn giải: Chọn C.. C.. 16 81. D. 0. C.. 5 2. D. 0. . 1  sin( cos x) 2 Câu 16.Tìm giới hạn E  lim : x 0 sin(tan x). A.  Hướng dẫn giải: Trang 115. B. .

(116) Giới hạn – ĐS&GT 11 Chọn D.   1  sin  cos x  2  tan x E  lim 0 x 0 sin(tan x) tan x. Câu 17. Tìm giới hạn F  lim. x . 3sin x  2cos x : x 1  x. B. . A.  Hướng dẫn giải: Chọn D. 3sin x  2cos x Ta có: 0   x 1  x Vậy F  0 .. D. 0. C.. b a  2n 2m. D. 0. C.. a 2n. D. 0. 1  0 khi x   x 1  x. Câu 18. Tìm giới hạn H  lim x 0. m. cos ax  m cos bx : sin 2 x. B. . A. . 5 2. C.. Hướng dẫn giải: Chọn C. cos ax  1 1  n cos bx  b a x2 x2 Ta có: H  lim   2 x 0 sin x 2n 2m 2 x 1  n cos ax Câu 19.Tìm giới hạn M  lim : x 0 x2 m. B. . A.  Hướng dẫn giải: Chọn C.. 1  cos ax 1  cos ax  ( cos ax )2  ...  ( n cos ax )n1 1  cos ax 1  M  lim lim n 2 n x 0 x  0 x 1  cos ax  ( cos ax )2  ...  ( n cos ax )n1 cos 3x  cos 4 x Câu 20.Tìm giới hạn A  lim : x 0 cos 5 x  cos 6 x 7 A.  B.  C. 11 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: 1  n cos ax . Trang 116. n. n. a 1 a .  .  2 n 2n. D. 0.

(117) Giới hạn – ĐS&GT 11. 7x x sin 2 2  7 Ta có: A  lim x 0 11x x 11 sin sin 2 2 1  3 1  2sin 2 x Câu 21.Tìm giới hạn B  lim : x 0 sin 3x sin. B. . A.  Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có B  lim x 0. 2sin 2 x. . 4 9. D. 0. C. 96. D. 0. C. . sin 3x 1  3 1  2sin 2 x  3 (1  2sin 2 x) 2. sin 2 2 x : x 0 cos x  4 cos x B. . . . 4 9. Câu 22. Tìm giới hạn C  lim 3 A.  Hướng dẫn giải: Chọn C.. sin 2 2 x x2 Ta có: C  lim 3  96 x 0 cos x  1 1  4 cos x  x2 x2 sin 4 2 x Câu 23. Tìm giới hạn D  lim 4 : x 0 sin 3 x. B. . A. . C.. 16 81. D. 0. Hướng dẫn giải: Chọn C. 4. 4.  sin 2 x   3x  16 16 Ta có: D  lim   .  .  x 0  2 x   sin 3x  81 81. . 1  sin( cos x) 2 Câu 24. Tìm giới hạn E  lim : x 0 sin(tan x) A.  B.  C. 1 Hướng dẫn giải: Chọn D.   1  sin  cos x  2   sin(tan x) tan x Ta có: E  lim Mà lim  1; x 0 x 0 sin(tan x) tan x tan x. Trang 117. D. 0.

(118) Giới hạn – ĐS&GT 11.     1  sin  cos x  1  cos  (1  cos x)  2   lim 2  lim x 0 x 0 tan x tan x x   sin 2   2 sin 2   2   sin 2 x    2 .x. x  0  lim x  0 x x 4 tan x  sin 2 ( )2 2 2 2 Do đó: E  0 .. x   sin 2   2 2sin 2   2      lim x 0 tan x. 3sin x  2cos x : x  x 1  x. Câu 25.Tìm giới hạn F  lim. B. . A.  Hướng dẫn giải: Chọn D. 3sin x  2cos x Ta có: 0   x 1  x Vậy F  0 .. 5 2. D. 0. 1  0 khi x   x 1  x. Câu 26. Tìm giới hạn M  lim x 0. 3. 1  3x  1  2 x : 1  cos 2 x. B. . A. . C.. C. . 1 4. D. 0. Hướng dẫn giải: Chọn C. 3x  1  2 x  1 1  2 1 x Ta có: M  lim  2  . x 0 1  cos 2 x 2 4 2 x 3x  5sin 2 x  cos 2 x Câu 27. lim bằng: x  x2  2 A.  . B. 0 . C. 3 . Hướng dẫn giải: Chọn B. 3x  5sin 2 x  cos 2 x 3x 5sin 2 x cos 2 x lim  lim 2  lim 2  lim 2 x  x  x  2 x  x  2 x  x  2 x2  2 3 3x A1  lim 2  lim x  0 x  2 x 1  2 x  x2 3. Trang 118. D.  ..

(119) Giới hạn – ĐS&GT 11 5 5sin 2 x 5  0  A2  lim 2  lim 2  0  A2  0 x  x  2 x  x  2 x  x  2 0 cos2 x 1 lim 2  0  A3  lim 2  lim 2  0  A3  0 x  x  2 x  x  2 x  x  2 3x  5sin 2 x  cos 2 x Vậy lim 0. x  x2  2 lim. 2. Trang 119.

(120) Giới hạn – ĐS&GT 11. HÀM SỐ LIÊN TỤC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP 1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0 . lim f ( x)  f ( x0 ). x  x0.  Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bƣớc: B1: Tính f(x0). B2: Tính lim f ( x) (trong nhiều trƣờng hợp ta cần tính lim f ( x) , lim x  x0. B3: So sánh. x  x0. x  x0. f ( x) ). lim f ( x) với f(x0) và rút ra kết luận.. x  x0. 2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. 3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và. lim f ( x)  f (a), lim f ( x)  f (b). x a . x b.  Hàm số đa thức liên tục trên R.  Hàm số phân thức, các hàm số lƣợng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x 0. Khi đó:  Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0.  Hàm số y =. f ( x) liên tục tại x0 nếu g(x0)  0. g ( x). 4. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = 0. Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phƣơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c (a; b). Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = min f ( x) , M = max f ( x) . Khi đó với mọi T  (m; M) luôn tồn  a ;b.  a ;b. tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = T.. B – BÀI TẬP. DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Phƣơng pháp:  Tìm giới hạn của hàm số y  f ( x) khi x  x0 và tính f ( x0 ).  Nếu tồn tại lim f ( x) thì ta so sánh lim f ( x) với f ( x0 ) . x  x0. x  x0. Chú ý: 1. Nếu hàm số liên tục tại x0 thì trƣớc hết hàm số phải xác định tại điểm đó 2. lim f ( x)  l  lim f ( x)  lim f ( x)  l . x  x0. x  x0. x  x0.  f ( x) khi x  x0 liên tục tại x  x0  lim f ( x)  k . x  x0 k khi x  x 0 . 3. Hàm số y  .  f1 ( x) khi x  x0 liên tục tại điểm x  x0 khi và chỉ khi  f 2 ( x) khi x  x0. 4. Hàm số f ( x)  . lim f1 ( x)  lim f 2 ( x)  f1 ( x0 ) .. x  x0. x  x0. Chú ý:. Trang 120.

(121) Giới hạn – ĐS&GT 11.  f ( x) khi x  x0 liên tục tại x  x0 khi và chỉ khi  Hàm số y   khi x  x0 k lim f ( x)  k . x  x0.  f ( x) khi x  x0 liên tục tại x  x0 khi và chỉ khi  Hàm số y    g ( x) khi x  x0 lim f ( x)  lim g ( x) . x  x0. x  x0. Câu 1. Cho hàm số f  x  . x2 1 và f  2   m2  2 với x  2 . Giá trị của m để f  x  liên tục tại x  2 là: x 1 B.  3 . C.  3 . D. 3. A. 3 . Hướng dẫn giải: Chọn C Hàm số liên tục tại x  2  lim f  x   f  2  . x 2. x 1  lim  x  1  1 . x  1 x 2 m  3 Vậy m2  2  1   .  m   3 2. Ta có lim x 2. Câu 2. Cho hàm số f  x  . x 2  4 . Chọn câu đúng trong các câu sau:. (I) f  x  liên tục tại x  2 . (II) f  x  gián đoạn tại x  2 . (III) f  x  liên tục trên đoạn  2;2  .. A. Chỉ  I  và  III  .. C. Chỉ  II  .. B. Chỉ  I  .. D.. Chỉ.  III  Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: D   ; 2   2;   . lim f  x   lim x 2  4  0 . x 2. f  2  0 .. x 2. Vậy hàm số liên tục tại x  2 .  x2  1  3 Câu 3. Cho hàm số f  x    x  x  6  b  3 A.. 3.. x  3; x  2 x  3; b  ¡. B.  3 .. Hướng dẫn giải: Chọn D. Hàm số liên tục tại x  3  lim f  x   f  3 . x 3. Trang 121. . Tìm b để f  x  liên tục tại x  3 .. C.. 2 3 . 3. D. . 2 3 . 3.  II  và.

(122) Giới hạn – ĐS&GT 11 x2  1 1 .  3 x 3 x x6 3 f  3  b  3 .. lim. 1 1 2 . b 3  3 3 3 x 1 Câu 4. Cho hàm số f  x   . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x 1  I  f  x  gián đoạn tại x  1.. Vậy: b  3 .  II  f  x  liên tục tại f  x   III  lim x 1. A. Chỉ  I  .. x  1.. 1 2. C. Chỉ  I  và  III  .. B. Chỉ  I  .. D.. Chỉ.  III  . Hướng dẫn giải: Chọn C. D  ¡ \ 1 x 1 1 1  lim  x 1 x  1 x 1 x 1 2 Hàm số không xác định tại x  1. Nên hàm số gián đoạn tại x  1. .  2x  8  2 x  2  Câu 5. Cho hàm số f  x    . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x2 0 x  2   I  lim f  x   0 . lim. x 2.  II  f  x  liên tục tại x  2.  III  f  x  gián đoạn tại x  2. A. Chỉ  I  và  III  . B. Chỉ  I  và  II  . Hướng dẫn giải: Chọn B. 2x  8  2 lim  lim x 2 x 2 x2. . 2x  8  4 2x  8  2. . x2. C. Chỉ  I  ..  lim x 2. . 2 x2 2x  8  2. . D. Chỉ  I .  0.. Vậy lim f  x   f  2  nên hàm số liên tục tại x  2. . x 2.   4  x2. Câu 6. Cho hàm số f  x   .  1 f  x  không xác định tại x  3.. I   II  f  x  liên tục tại f  x  2  III  lim x 2 A. Chỉ  I  . Trang 122. 2 x  2 x2. . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:.. x  2. B. Chỉ  I  và  II  ..  II  và.

(123) Giới hạn – ĐS&GT 11 D. Cả  I  ;  II  ;  III  đều sai.. C. Chỉ  I  và  III  . Hướng dẫn giải: Chọn B. D   2; 2. f  x  không xác định tại x  3. lim 4  x 2  0 ; f  2   0 . Vậy hàm số liên tục tại x  2.. x 2. lim f  x   lim 4  x 2  0 ; lim f  x   1 . Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số khi x  2. .. x  2. x 2. x 2.  sin 5 x x0  Câu 7. Cho hàm số f  x    5 x . Tìm a để f  x  liên tục tại x  0.  x0 a  2 A. 1 . B. 1 . C. 2 . Hướng dẫn giải: Chọn B. sin 5 x Ta có: lim  1 ; f  0  a  2 . x 0 5x Vậy để hàm số liên tục tại x  0 thì a  2  1  a  1 .  x  12 , x  1  Câu 8.Cho hàm số f  x    x 2  3 , x  1 . Tìm k để f  x  gián đoạn tại x  1 . k 2 , x 1  A. k  2 . B. k  2 . C. k  2 . Hướng dẫn giải: Chọn A. TXĐ: D  ¡ . Với x  1 ta có f 1  k 2 Với x  1 ta có. lim f  x   lim  x 2  3  4 ; lim f  x   lim  x  1  4 suy ra lim f  x   4 . 2. x 1. x 1. x 1. x 1. x 1. Vậy để hàm số gián đoạn tại x  1 khi lim f  x   k  k  4  k  2 . 2. 2. x 1.  x 2 khi x  4   x4 Câu 9.Cho hàm số f ( x)   . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 1 khi x  4  4 A. Hàm số liên tục tại x  4 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhƣng gián đoạn tại x  4 C. Hàm số không liên tục tại x  4 D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải:. Chọn C. x 2 1 1  lim   f (4) x  4 x4 x 2 4 Hàm số liên tục tại điểm x  4 . Ta có : lim f ( x)  lim x 4. Trang 123. x 4. D. 2.. D. k  1 ..

(124) Giới hạn – ĐS&GT 11.  x 2  3x  2  2 khi x  1  Câu 10. Cho hàm số f ( x)   . Khẳng định nào sau đây đúng nhất x 1 3x 2  x  1 khi x  1  A. Hàm số liên tục tại x  1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục tại x  1 D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải:. Chọn C.  ( x  1)( x  2)  lim f ( x)  lim   2  2 x 1 x 1 x 1   2 lim f ( x)  lim 3x  x  1  3  lim f ( x). x 1. x 1. . . x 1. Hàm số không liên tục tại x  1 .. x  khi x  1  cos Câu 11. Cho hàm số 3. f  x    . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 2  x 1 khi x  1  A. Hàm số liên tục tại tại x  1 và x  1 . B. Hàm số liên tục tại x  1 , không liên tục tại điểm x  1 . C. Hàm số không liên tục tại tại x  1 và x  1 . D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải:. Chọn B.. Hàm số liên tục tại x  1 , không liên tục tại điểm x  1 .. 2x  1 1 liên tục tại điểm x  0 . x( x  1). Câu 12. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f ( x)  A. 1 Hướng dẫn giải:. B. 2. C. 3. D. 4. Chọn A. 2 x  1 1 2x  lim 1 x 0 x( x  1) x( x  1) 2 x  1  1. Ta có : lim f ( x)  lim x 0. . x 0. . Vậy ta chọn f (0)  1. Câu 13. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f ( x)  A. 1. B. 2. 3. 2x  8  2 liên tục tại điểm x  0 . 3x  4  2 1 2 C. D. 9 9. Hướng dẫn giải:. Chọn C. Ta có : lim f ( x)  lim x 0. x 0. Vậy ta chọn f (0) . Trang 124. 2 . 9. 3. . 2 3. . 3x  4  2. . (2 x  8)  2. 3 2 x  8  4 2. . . 2 9.

(125) Giới hạn – ĐS&GT 11. x x2 khi x  1  Câu 14. Cho hàm số f ( x)   x  1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 2 x  3 khi x  1  A. Hàm số liên tục tại tại tại x0  1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục tại tại x0  1 . D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải:. Chọn C. Ta có: f (1)  1 và lim f ( x)  lim  2 x  3  1 x 1. x 1. x x2 x2  x  2  lim x 1 x 1 x 1 ( x  1)( x  x 1 x  2) x2 3 lim  x 1 x  x2 2 Suy ra lim f ( x)  lim f ( x) lim f ( x)  lim. x 1. x 1. Vậy hàm số không liên tục tại x0  1 ..  x 1 3 x 1 khi x  0  Câu 15. Cho hàm số 3. f ( x)   . Khẳng định nào sau đây đúng nhất x 2 khi x  0  A. Hàm số liên tục tại x0  0 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm nhƣ gián đoạn tại x0  0 C. Hàm số không liên tục tại x0  0 D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải:. Chọn C. Ta có: f (0)  2 lim f ( x)  lim x 0. x 0.  1  3 x 1  x  1  3 x 1  lim 1   x 0 x x  . 1    lim 1    2  f (0) 3 x 0  1  x 1  x 1  Vậy hàm số liên tục tại x  0 .  3 x 1 khi x  1  x  1 Câu 16. Cho hàm số f ( x)   . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 1 khi x  1  3 A. Hàm số liên tục tại x  1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục tại tại x  1 D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải:. Chọn C. Trang 125.

(126) Giới hạn – ĐS&GT 11 x 1 1 1  lim   f (1) 3 2 x  4 3 x 1 x  x 1 3 Hàm số liên tục tại điểm x  1 .  x2  x  2  2 x khi x  2  Câu 17. Cho hàm số f ( x)   x  2  x2  x  3 khi x  2  Ta có : lim f ( x)  lim x 1. 3. x 4. . Khẳng định nào sau đây đúng nhất A. Hàm số liên tục tại x0  2 B. Hàm số liên tục tại mọi điẻm C. Hàm số không liên tục tại x0  2 D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải:. Chọn C.  ( x  1)( x  2)   2x  4 x2  . Ta có : lim f ( x)  lim  x 2 x 2. lim f ( x)  lim  x 2  x  3  5  lim f ( x). x 2. x 2. x 2. Hàm số không liên tục tại x0  2 ..  x  2a khi x  0 Câu 18. Tìm a để các hàm số f  x    2 liên tục tại x  0  x  x  1 khi x  0 1 1 A. B. C. 0 D. 1 2 4 Hướng dẫn giải:. Chọn A. x 2  x  1)  1 Ta có : lim f ( x)  lim(  x 0. x 0. lim f ( x)  lim( x  2a )  2 a . x 0. x 0. 1 . 2  4x 1 1 khi x  0  2 Câu 19. Tìm a để các hàm số f ( x)   ax  (2a  1) x liên tục tại x  0 3 khi x  0  1 1 1 A. B. C.  D. 1 6 2 4 Suy ra hàm số liên tục tại x  0  a . Hướng dẫn giải:. Chọn C. Ta có : lim f ( x)  lim x 0.  lim x 0. x 0. 4x  1 1 x  ax  2a  1 4.  ax  2a  1 . Hàm số liên tục tại x  0 . Trang 126. . 4x 1 1. . 2 2a  1. 2 1 3 a  . 2a  1 6.

(127) Giới hạn – ĐS&GT 11  3x  1  2 khi x  1  2  Câu 20.Tìm a để các hàm số f ( x)   x  1 liên tục tại x  1 2 a ( x  2)  khi x  1   x 3 1 1 3 A. B. C. D. 1 2 4 4 Hướng dẫn giải:. Chọn C. 3x  1  2 3  x 1 x 1 x2 1 8 2 a( x  2) a lim f ( x)  lim  x 1 x 1 x 3 2 a 3 3 Suy ra hàm số liên tục tại x  1    a  . 2 8 4 Ta có : lim f ( x)  lim. Trang 127.

(128) Giới hạn – ĐS&GT 11. DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Phƣơng pháp: + Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lƣơng giác, phân thức hữu tỉ … + Nếu hàm số cho dƣới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.. Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 1  I  f  x   2 liên tục trên ¡ . x 1 sin x có giới hạn khi x  0.  II  f  x   x.  III  f  x   9  x2 liên tục trên đoạn  3;3 . A. Chỉ  I  và  II  . B. Chỉ  II  và  III  .. C. Chỉ  II  .. D. Chỉ  III  .. Hướng dẫn giải: Chọn B. Dễ thấy kđ (I) sai, Kđ (II) là lí thuyết. Hàm số: f  x   9  x 2 liên tục trên khoảng  3;3 . Liên tục phải tại 3 và liên tục trái tại 3 . Nên f  x   9  x 2 liên tục trên đoạn  3;3 . Câu 2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x 1 liên tục với mọi x  1 .  I  . f  x  x 1  II  . f  x   sin x liên tục trên ¡ ..  III  . f  x  . x liên tục tại x  1 . x. A. Chỉ  I  đúng.. B. Chỉ  I  và  II  .. C. Chỉ  I  và  III  .. D.. Chỉ.  III  . Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có  II  đúng vì hàm số lƣợng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.. x , khi x  0 x  x  Ta có  III  đúng vì f  x   . x  x  , khi x  0  x Khi đó lim f  x   lim f  x   f 1  1 . x 1. x 1. x liên tục tại x  1 . x  x2  3 ,x 3  Câu 3. Cho hàm số f  x    x  3 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 2 3 ,x 3  Vậy hàm số y  f  x  . Trang 128.  II . và.

(129) Giới hạn – ĐS&GT 11.  I  . f  x  liên tục tại x  3 .  II  . f  x  gián đoạn tại x  3 .  III  . f  x  liên tục trên ¡ . A. Chỉ  I  và  II  . C. Chỉ  I  và  III  .. B. Chỉ  II  và  III  . D. Cả  I  ,  II  ,  III  đều đúng.. Hướng dẫn giải: Chọn C.. . Với x  3 ta có f.  . . x2  3 3;  , 1 . liên tục trên khoảng ; 3 và x 3 x2  3 3  2 3 và lim f  x   lim  2 3  f 3 nên hàm số liên tục tại x 3 x 3 x  3. Với x  3 ta có hàm số f  x  .  .  . x  3 ,  2 Từ 1 và  2  ta có hàm số liên tục trên ¡ .. Câu 4. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:  I  . f  x   x5 – x2  1 liên tục trên ¡ . 1. liên tục trên khoảng  –1;1 . x2 1  III  . f  x   x  2 liên tục trên đoạn  2;   ..  II  . f  x  . B. Chỉ  I  và  II  .. A. Chỉ  I  đúng.. C. Chỉ  II  và  III  .. D. Chỉ  I  và  III  .. Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có  I  đúng vì f  x   x5  x 2  1 là hàm đa thức nên liên tục trên ¡ . Ta có  III  đúng vì f  x  . x  2 liên tục trên  2;   và lim f  x   f  2   0 nên hàm số liên tục trên x 2.  2;   .. 3  9  x , 0 x9  x  ,x0 Câu 5. Cho hàm số f  x   m . Tìm m để f  x  liên tục trên  0;   là. 3  ,x9  x 1 1 1 A. . B. . C. . D. 1 . 3 2 6 Hướng dẫn giải: Chọn C. TXĐ: D   0;   . Với x  0 ta có f  0   m . Ta có lim f  x   lim x 0. x 0. 1 1 3 9 x  .  lim x 0 3  9  x 6 x. Vậy để hàm số liên tục trên  0;   khi lim f  x   m  m  x 0. Trang 129. 1 . 6.

(130) Giới hạn – ĐS&GT 11 Câu 6. Cho hàm số f ( x)  A.  3; 2  .. x2 1 .Khi đó hàm số y  f  x  liên tục trên các khoảng nào sau đây? x 2  5x  6 B.  2;   . C.  ;3 . D.  2;3 .. Hướng dẫn giải: Chọn B..  x  3 .  x  2. Hàm số có nghĩa khi x 2  5 x  6  0  . x2  1 liên tục trên khoảng  ; 3 ;  3; 2  và  2;   . x2  5x  6  x2  5x  6 khi x  2  Câu 7. Cho hàm số f  x    2 x3  16 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.  2  x khi x  2  A. Hàm số liên tục trên ¡ Vậy theo định lí ta có hàm số f  x  . B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục trên  2 :   D. Hàm số gián đoạn tại điểm x  2 . Hướng dẫn giải:. Chọn D. TXĐ : D  ¡ \ 2 x2  5x  6  hàm số liên tục 2 x3  16  Với x  2  f ( x)  2  x  hàm số liên tục  Tại x  2 ta có : f (2)  0.  Với x  2  f ( x) . lim f ( x)  lim  2  x   0 ;. x 2. x 2. ( x  2)( x  3) 1   lim f ( x) 2 x 2 x 2 2( x  2)( x  2 x  4) 24 x2 Hàm số không liên tục tại x  2 .  3 x 1 khi x  1   x 1 Câu 8. Cho hàm số f ( x)   . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.  3 1 x  2 khi x  1  x  2 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên 1:   lim f ( x)  lim. D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  1 . Hướng dẫn giải:. Chọn A. Hàm số xác định với mọi x thuộc ¡. 1 x  2  hàm số liên tục x2 3 x 1  hàm số liên tục  Với x  1  f ( x)  x 1.  Với x  1  f ( x) . Trang 130.

(131) Giới hạn – ĐS&GT 11.  Tại x  1 ta có : f (1)  lim f ( x)  lim. x 1. 3. x 1. 2 3. x 1 ( x  1)( x  1) 2  lim  ; x  1 x1 ( x  1)( 3 x 2  3 x  1) 3. 1 x  2 2   lim f ( x)  f (1) x 2 x 1 x2 3 x1 Hàm số liên tục tại x  1 . Vậy hàm số liên tục trên ¡ .   tan x , x  0  x   k , k  ¢  Câu 9. Cho hàm số f  x    x . Hàm số y  f  x  liên tục trên các khoảng 2  ,x0 0 lim f ( x)  lim. nào sau đây?.  . A.  0;. .  . B.  ;. . 2.  ..    ; .  4 4. D.  ;   .. C.  . 4. Hướng dẫn giải: Chọn A..    k , k  ¢  . 2  Với x  0 ta có f  0   0 . TXĐ: D  ¡ \ . sin x 1 tan x  lim .lim  1 hay lim f  x   f  0  . x 0 x 0 x 0 x 0 x x0 cos x x Vậy hàm số gián đoạn tại x  0 . a 2 x 2 , x  2, a  ¡ Câu 10. Cho hàm số f  x    . Giá trị của a để f  x  liên tục trên ¡ là: 2  2  a  x , x  2 A. 1 và 2 . B. 1 và –1 . C. –1 và 2 . D. 1 và –2 . lim f  x   lim. Hướng dẫn giải: Chọn D. TXĐ: D  ¡ . Với x  2 ta có hàm số f  x   a 2 x 2 liên tục trên khoảng. . . 2;  .. . . Với x  2 ta có hàm số f  x    2  a  x 2 liên tục trên khoảng ; 2 . Với x  2 ta có f.  2   2a . 2. lim f  x   lim  2  a  x 2  2  2  a  ; lim f  x   lim a 2 x 2  2a 2 .. x 2. x 2. Để. x 2. hàm. x  2  lim f  x   lim f  x   f x 2. x 2. số x 2.  2   2a. Vậy a  1 hoặc a  2 thì hàm số liên tục trên ¡ .. liên 2. tục. a  1  2  2  a   a2  a  2  0   .  a  2.  x2 , x 1  3  2x , 0  x  1 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: Câu 11. Cho hàm số f  x    1  x  x sin x , x  0  Trang 131. tại.

(132) Giới hạn – ĐS&GT 11 A. f  x  liên tục trên ¡ .. B. f  x  liên tục trên ¡ \ 0 .. C. f  x  liên tục trên ¡ \ 1 .. D. f  x  liên tục trên ¡ \ 0;1 .. Hướng dẫn giải: Chọn A. TXĐ: TXĐ: D  ¡ . Với x  1 ta có hàm số f  x   x 2 liên tục trên khoảng 1;   . 1. 2 x3 liên tục trên khoảng  0;1 .  2  1 x Với x  0 ta có f  x   x sin x liên tục trên khoảng  ;0  .  3 Với 0  x  1 ta có hàm số f  x  . 2 Với x  1 ta có f 1  1 ; lim f  x   lim x  1 ; lim f  x   lim x 1. x 1. x 1. Suy ra lim f  x   1  f 1 .. x 1. 2 x3 1 1 x. x 1. Vậy hàm số liên tục tại x  1 . Với x  0 ta có f  0   0 ; lim f  x   lim x 0. x 0. suy ra lim f  x   0  f  0  .. sin x 2 x3 0  0 ; lim f  x   lim  x.sin x   lim x 2 . lim x 0 x 0 x 0 x 0 x 1 x. x 0. Vậy hàm số liên tục tại x  0 .  4  Từ 1 ,  2  ,  3 và  4  suy ra hàm số liên tục trên ¡ .. Câu 12. Cho hàm số f ( x) . x2 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. x  x6 2. A. Hàm số liên tục trên ¡ B. TXĐ : D  ¡ \ 3; 2 .Ta có hàm số liên tục tại mọi x  D và hàm số gián đoạn tại x  2, x  3 C. Hàm số liên tục tại x  2, x  3 D. Tất cả đều sai Hướng dẫn giải:. Chọn B. TXĐ : D  ¡ \ 3; 2 . Ta có hàm số liên tục tại mọi x  D và hàm số gián đoạn tại x  2, x  3. Câu 13. Cho hàm số f ( x)  3x 2  1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. A. Hàm số liên tục trên ¡ 1   1   ;   B. Hàm số liên tục tại mọi điểm x   ;   3  3   . C. TXĐ : D   ;. . 1   1   ;    2  2 . . D. Hàm số liên tục tại mọi điểm x   . . Hướng dẫn giải:. Chọn B. . TXĐ : D   ; . . Trang 132. 1   1     ;   3  3 . 1 1  ; . 3 3.

(133) Giới hạn – ĐS&GT 11 . Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm x   ; . . lim.  1  x     3. . 1   1  ;    3  3 .  1  1 f ( x)  0  f     hàm số liên tục trái tại x   3 3 .  1  1 lim  f ( x)  0  f   hàm số liên tục phải tại x    1  3  3 x    3. . 1 1  ; . 3 3  Câu 14. Cho hàm số f ( x)  2sin x  3tan 2 x . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số liên tục tại mọi điểm    C. TXĐ : D  ¡ \   k , k  ¢  D. Hàm số gián đoạn tại các điểm 2 2  Hàm số gián đoạn tại mọi điểm x   . x. . 4. k. . 2. ,k ¢. Hướng dẫn giải:. Chọn D..     k ,k ¢  4 2  . TXĐ : D  ¡ \ . Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc D và gián đoạn tại các điểm. x. . 4. k. . 2. ,k ¢ ..  x 2  3x  2 khi x  1  x 1 Câu 15. Cho hàm số f  x    . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.  a khi x  1  A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên 1:   D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  1 . Hướng dẫn giải:. Chọn D.. Hàm số liên tục tại mọi điểm x  1 và gián đoạn tại x  1.  2x  1 1 khi x  0  Câu 16. Cho hàm số f  x    . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. x  0 khi x  0  A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên  0;   D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  0 . Hướng dẫn giải:. Chọn D.. Hàm số liên tục tại mọi điểm x  0 và gián đoạn tại x  0. 2 x  1 khi x  0  Câu 17. Cho hàm số f ( x)  ( x  1)3 khi 0  x  2 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.   x  1 khi x  2 Trang 133.

(134) Giới hạn – ĐS&GT 11 A. Hàm số liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên  2;  . B. Hàm số không liên tục trên ¡ D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  2 .. Hướng dẫn giải:. Chọn D.. Hàm số liên tục tại mọi điểm x  2 và gián đoạn tại x  2 2  2 x  x  1 khi x  1 Câu 18. Cho hàm số f ( x)   . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. 3 x  1 khi x  1   A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên  2;   D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  1 .. Hướng dẫn giải:. Chọn D.. Hàm số liên tục tại mọi điểm x  1 và gián đoạn tại x  1 ..    sin x khi x  2 Câu 19. Xác định a, b để các hàm số f  x    liên tục trên ¡ ax  b khi x    2 1 2 2 2     a  a  a  a  A.  B.  C.  D.      b  1 b  2 b  0 b  0 Hướng dẫn giải:. Chọn D..  2 a b 1   2 a   Hàm số liên tục trên ¡      a  b  1 b  0   2  x3  3x 2  2 x khi x( x  2)  0  x( x  2)  khi x  2 Câu 20. Xác định a, b để các hàm số f ( x)  a liên tục trên ¡ b khi x  0   a  10 a  11 a  1 a  12 A.  B.  C.  D.  b  1 b  1 b  1 b  1 Hướng dẫn giải:. Chọn C. a  1 . b  1. Hàm số liên tục trên ¡  .  3 x  2  2x 1 khi x  1  Câu 21. Tìm m để các hàm số f ( x)   liên tục trên ¡ x 1 3m  2 khi x  1 . Trang 134.

(135) Giới hạn – ĐS&GT 11 A. m  1. B. m . 4 3. C. m  2. D. m  0. Hướng dẫn giải:. Chọn B. x  2  2x 1 nên hàm số liên tục trên khoảng ¡ \ 1 x 1 Do đó hàm số liên tục trên ¡ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x  1 Ta có: f (1)  3m  2 Với x  1 ta có f ( x) . lim f ( x)  lim x 1. 3. x 1. 3. x  2  2x 1 x 1.  x3  x  2  lim 1  x 1  2 2 3 3  ( x  1) x  x x  2  ( x  2). . .    .   x2  x  2  lim 1  2 x 1  x 2  x 3 x  2  3 ( x  2)2  Nên hàm số liên tục tại x  1  3m  2  2  m  Vậy m . 4 3. 4 là những giá trị cần tìm. 3.  x  1 1 khi x  0  Câu 22. Tìm m để các hàm số f ( x)   liên tục trên ¡ x 2 x 2  3m  1 khi x  0  1 A. m  1 B. m   C. m  2 6. D. m  0. Hướng dẫn giải:. Chọn B. x 1 1 nên hàm số liên tục trên  0;   x  Với x  0 ta có f ( x)  2 x2  3m  1 nên hàm số liên tục trên (;0) . Do đó hàm số liên tục trên ¡ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x  0 Ta có: f (0)  3m  1.  Với x  0 ta có f ( x) . x  1 1  lim x 0 x. 1 1  x 0 x 0 x 1 1 2 2 lim f ( x)  lim 2 x  3m  1  3m  1 lim f ( x)  lim. x 0. x 0. . . Do đó hàm số liên tục tại x  0  3m  1 . 1 1 m 2 6. 1 thì hàm số liên tục trên ¡ . 6  2x  4  3 khi x  2  Câu 23. Tìm m để các hàm số f ( x)   liên tục trên ¡ x 1 khi x  2  2  x  2mx  3m  2 Vậy m  . Trang 135.

(136) Giới hạn – ĐS&GT 11 A. m  1. B. m  . 1 6. C. m  5. D. m  0. Hướng dẫn giải:. Chọn C. Với x  2 ta có hàm số liên tục Để hàm số liên tục trên ¡ thì hàm số phải liên tục trên khoảng  ; 2  và liên tục tại x  2 ..  Hàm số liên tục trên  ; 2  khi và chỉ khi tam thức. g ( x)  x2  2mx  3m  2  0, x  2  '  m2  3m  2  0. TH 1: .  g (2)  m  6  0. . 3  17 3  17 m 2 2. m2  3m  2  0    '  m  3m  2  0 TH 2:   m  2   '  (m  2) 2  x1  m   '  2  2.  3  17 3  17 m    m6 2 2 m  6  3  17  m  6 (*) thì g ( x)  0, x  2 2  lim f ( x)  lim 2 x  4  3  3. Nên. x 2. x 2. . . x 1 3  x 2 x 2 x  2mx  3m  2 6m 3 Hàm số liên tục tại x  2   3  m  5 (thỏa (*)) 6m lim f ( x)  lim. 2. DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH Phƣơng pháp :  Để chứng minh phƣơng trình f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y  f ( x) liên tục trên D và có hai số a, b  D sao cho f (a). f (b)  0 .  Để chứng minh phƣơng trình f ( x)  0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y  f ( x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai ; ai 1 ) (i=1,2,…,k) nằm trong D sao cho f (ai ). f (ai 1 )  0 .. Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: I. f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và f  a  . f  b   0 thì phƣơng trình f  x   0 có nghiệm.. II. f  x  không liên tục trên  a; b  và f  a  . f  b   0 thì phƣơng trình f  x   0 vô nghiệm. A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng. C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai. Hướng dẫn giải: Chọn A. Câu 2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:  I  f  x  liên tục trên đoạn  a; b và f  a  . f  b   0 thì tồn tại ít nhất một số c   a; b  sao cho f  c   0 .. Trang 136.

(137) Giới hạn – ĐS&GT 11.  II  f  x  liên tục trên đoạn  a; b và trên b; c  A. Chỉ  I  . C. Cả  I  và  II  đúng.. nhƣng không liên tục  a; c . B. Chỉ  II  . D. Cả  I  và  II  sai.. Hướng dẫn giải: Chọn D. KĐ 1 sai. KĐ 2 sai.. Câu 3. Cho hàm số f  x   x3 –1000 x 2  0,01 . Phƣơng trình f  x   0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? I.  1;0  . II.  0;1 . III. 1; 2  . A. Chỉ I. B. Chỉ I và II. C. Chỉ II. D. Chỉ III. Hướng dẫn giải: Chọn B. TXĐ: D  ¡ . Hàm số f  x   x3  1000 x 2  0,01 liên tục trên ¡ nên liên tục trên  1;0 ,  0;1 và 1; 2 , 1 . Ta có f  1  1000,99 ; f  0   0, 01 suy ra f  1 . f  0   0 ,  2  . Từ 1 và  2  suy ra phƣơng trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng  1;0  . Ta có f  0   0,01 ; f 1  999,99 suy ra f  0  . f 1  0 ,  3 . Từ 1 và  3 suy ra phƣơng trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng  0;1 . Ta có f 1  999,99 ; f  2   39991,99 suy ra f 1 . f  2   0 ,  4  . Từ 1 và  4  ta chƣa thể kết luận về nghiệm của phƣơng trình f  x   0 trên khoảng 1; 2  .. Trang 137.

(138) Giới hạn – ĐS&GT 11. ĐÁP ÁN ÔN TẬP CHƢƠNG IV Câu 1. Câu 2. Câu 3. Câu 4. Câu 5. Câu 6. Câu 7. Câu 8. Câu 9. Câu 10. C. D. A. B. C. D. B. C. A. C. Câu 11. Câu 12. Câu 13. Câu 14. Câu 15. Câu 16. Câu 17. Câu 18. Câu 19. Câu 20. A. B. C. D. B. D. B. C. D. A. Câu 21. Câu 22. Câu 23. Câu 24. Câu 25. Câu 26. Câu 27. Câu 28. Câu 29. Câu 30. C. C. B. A. C. D. A. D. C. B. Câu 31. Câu 32. Câu 33. Câu 34. Câu 35. Câu 36. Câu 37. Câu 38. Câu 39. Câu 40. B. B. A. C. D. B. C. D. B. A. Câu 41. Câu 42. Câu 43. Câu 44. Câu 45. Câu 46. Câu 47. Câu 48. Câu 49. Câu 50. C. A. D. D. B. C. C. D. D. A. Câu 51. Câu 52. Câu 53. Câu 54. Câu 55. Câu 56. Câu 57. Câu 58. Câu 59. Câu 60. D. A. D. C. B. A. B. D. B. B. Câu 61. Câu 62. Câu 63. Câu 64. Câu 65. Câu 66. Câu 67. Câu 68. Câu 69. Câu 70. A. C. D. A. B. B. D. B. C. D. Câu 71. Câu 72. Câu 73. Câu 74. Câu 75. Câu 76. Câu 77. Câu 78. Câu 79. Câu 80. B. A. C. C. D. B. C. B. D. A. Câu 81. Câu 82. Câu 83. Câu 84. Câu 85. Câu 86. Câu 87. Câu 88. Câu 89. Câu 90. C. A. C. B. D. A. C. D. D. A. Câu 91 B. Trang 138.

(139)

Chuyen de gioi han co dap an va loi giai chi tiet Dang Viet Dong File word

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về