Dai so va Giai tich 11

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 (Sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000) (Tái bản lần thứ sáu) 3 PHẦN MỘT Chương I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC *Góc và cung lượng giác. *Hàm số lượng giác. *Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác. *Các công thức lượng giác. BÀI 1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC I- ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ CUNG 1. Độ a) Để đo các góc, ta dùng đơn vị “độ”. Ta đã biết: Đơn vị độ được chia thành những đơn vị nhỏ hơn: 1o = 60’ (phút); 1’ = 60’’ (giây). b) Số đo của cung tròn. Ở lớp dưới, ta đã định nghĩa: Số đo của một cung tròn nhỏ hơn nửa đường tròn là số đo của góc ở tâm chắn cung tròn đó. Nếu … thì số đo của cung (nhỏ) … là ao. Ta viết: 4 Như vậy, cung một phần tư của đường tròn có số đo 90o, cung nửa đường tròn có số đo 180o. 2. Radian Để thuận tiện cho việc nghiên cứu lí thuyết, người ta sử dụng một đơn vị khác để đo góc và cung: đó là “radian” (viết tắt là rad). Ta định nghĩa radian như sau: Góc bẹt (180o) có số đo là pi radian. Ta viết: Suy ra:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Quy ước: Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị radian người ta quy ước không viết chữ “radian” hay “rad” sau số đo. Chẳng hạn, cung…, được viết là cung… Nếu góc (cung) có số đo bằng độ là a, số đo bằng radian là…thì: Sau đây là bảng tương ứng giữa số đo bằng độ và số đo bằng radian của một số góc (hay cung) thông dụng. 5 3. Độ dài của một cung tròn Định lí: Trên đường tròn bán kính R, cung có số đo… có độ dài là: Chứng minh: Đường tròn bán kính R có số đo… và có độ dài… Do đó nếu cung có số đo… thì có độ dài là: Áp dụng: Trên đường tròn có bán kính R = 5cm, cho cung AM có số đo 100o. Tính độ dài cung AM. Giải: Cung 100o có số đo bằng radian là… Vậy: độ dài… Hệ quả: 1) Nếu… (rad) thì l = R. Như vậy: Cung có số đo 1 radian là cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn mang cung đó. 6 2) Nếu R = 1 thì… Như vậy: Trên đường tròn có bán kính R = 1, độ dài của một cung và số đo của nó bằng radian đều được biểu thị bằng cùng một số thực. II- GÓC LƯỢNG GIÁC 1. Mở rộng khái niệm góc Ở các lớp dưới ta đã xét những góc và miền góc có số đo ao với… Tuy nhiên trong thực tiển còn có những góc lớn hơn 360o. Chẳng hạn bán kính OM của một bánh xe có thể quay… vòng, 2 vòng,… khi nó quay…, ta nói nó quay được một góc…; khi nó quay 2 vòng ta nói nó quay được một góc….

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Mặt khác, bán kính OM có thể quay theo hai chiều khác nhau. Ta quy ước: Chiều quay ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương, chiều quay ngược lại là chiều âm (h.3). Ta sẽ mở rộng khái niệm góc bằng cách đưa vào khái niệm góc lượng giác có số đo là một số thực bất kì. 2. Định nghĩa góc lượng giác Cho hai tia Ox và Oy trong mặt phẳng. Xét tia Oz cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu Oz quay quanh điểm O, theo một chíều nhất định từ Ox đến Oy, ta nói nó quét một góc lượng giác, kí hiệu là (Ox, Oy). Ox gọi là tia gốc, Oy gọi là tia ngọn. Oz có thể quay từ Ox đến Oy theo chiều dương hoặc chiều âm. Ngoài ra Oz có thể quay đến Oy lần thứ nhất rồi dừng lại, hoặc quay tiếp một vòng, hai vòng,… 7 Như vậy, với hai tia Ox, Oy cho trước ta có vô số góc lượng giác cùng kí hiệu (Ox, Oy). 3. Số đo của góc lượng giác Số đo của góc lượng giác (Ox, Oy) kí hiệu là sđ(Ox, Oy). Gọi ao là số đo của góc (miền góc) quét bởi Oz khi nó quay từ Ox đến Oy theo chiều dương (lần thứ nhất). Thế thì… Nếu Oz tiếp tục quay theo chiều dương thêm một vòng, hai vòng,... thì các góc (Ox, Oy) lần lượt có số đo ao + 360o, ao + 2(360o) (h.4). Nếu sau khi quay lần thứ nhất từ Ox đến Oy, tia Oz quay theo chiều âm thêm một vòng, hai vòng,…thì các góc (Ox, Oy) lần lượt có số đo ao - 360o, ao - 2(360o),… Tóm lại, số đo của các góc (Ox, Oy) được cho bởi công thức: Sđ(Ox, Oy) = a o + k360o,... (1) Nếu dùng đơn vị radian ta có công thức:… (2) Như vậy từ (1) hay (2), ta thấy các số đo của các góc lượng giác sai khác nhau một bội nguyên của 360o… III- CUNG LƯỢNG GIÁC 1. Đường tròn định hướng.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Đường tròn định hướng là đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương. Trên đường tròn định hướng ta thường chọn một điểm làm điểm gốc. 8 2. Cung lượng giác Cho góc lượng giác (Ox, Oy) và đường tròn định hướng tâm O cắt Ox tại A và Oy tại B. Xét tia Oz cắt đường tròn tại M (h.5). Khi Oz quay từ Ox đến Oy tạo thành góc lượng giác (Ox, Oy) thì điểm M di động từ A đến B tạo thành một cung gọi là cung lượng giác, kí hiệu… A gọi là điểm gốc, B gọi là điểm ngọn của cung… Góc lượng giác (Ox, Oy) còn viết là (OA, OB), được gọi là góc tương ứng với cung… hay chắn cung… Đảo lại, khi điểm M di động tạo thành cung lượng giác… thì tia OM tạo thành góc lượng giác (OA, OB). 3. Số đo của cung lượng giác Ta quy ước: Số đo của cung lượng giác… là số đo của góc (OA, OB). Số đo cung… được kí hiệu là… Ta có:… hay… 9 Chú ý: 1) Cũng như đối với góc lượng giác, với hai điểm A, B trên đường tròn định hướng thì kí hiệu… chỉ vô số cung lượng giác có điểm gốc là A, điểm ngọn là B. Số đo của các cung này sai khác nhau một bội nguyên của… 2. Để cho tiện, nếu không gây ra sự hiểu lầm, đôi khi ta cũng nói cung lượng giác có số đo… là cung… 3) Nếu trên đường tròn định hướng cho ba điểm A, B, C thì ta có hệ thức sau đây gọi là hệ thức Salơ(*) cho các cung lượng giác: Từ đó suy ra: IV- ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC 1. Định nghĩa:.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng có bán kính bằng đơn vị độ dài (R = l). Trong mặt phẳng tọa độ, xét hệ trục tọa độ vuông góc xOy và đường tròn lượng giác tâm O. Đường tròn lượng giác cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A(1; 0), A’(-1; 0), B(0; 1), B’(0; -1) (h.6). 10 Ta có:… 2. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác Để biểu diễn cung lượng giác có số đo…, ta quy ước chọn điểm A(1; 0) làm điểm gốc cho cung. Điểm ngọn M của cung được xác định bởi hệ thức… hoặc… Như vậy, muốn biểu diễn cung... trên đường tròn lượng giác, chỉ cần xác định điểm ngọn của cung này (vì điểm gốc của cung… là điểm A). Ta có kết quả sau: Nếu… là một số thực cho trước thì các hệ thức:… xác định một và chỉ một điểm M trên đường tròn lượng giác. Ví dụ 1: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung: a) b) 405o Giải. a) Ta có:… Điểm ngọn M của cung… được xác định bởi hệ thức:… hay… Vậy điểm M là điểm B’(0; -1). b) Ta có: 405 o = 45o + 360o. Điểm ngọn N của cung 450o được xác định bởi hệ thức:… hay… Điểm N là trung điểm của cung hình học nhỏ… 11 Ví dụ 2: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung có số đo:… Giải: Vì… nên k là số chẵn hoặc là số lẻ. Nếu k chẵn:… Ta có:.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Vậy điểm ngọn của cung… là điểm B(0; 1). Nếu k lẻ:… Ta có: Vậy điểm ngọn của cung… là điểm B’(0; -1). Tóm lại, các cung..., có hai điểm ngọn trên đường tròn lượng giác (giao điểm với trục tung). BÀI TẬP 1. Đổi số đo của các góc sau ra radian: a) 22o30’; b) 71o52’. 2. Đổi số đo của các cung sau ra độ, phút, giây: a) b) 3. Cho một đường tròn có bán kính 5cm. Tìm độ dài các cung trên đường tròn có số đo: a) 1; b) 1,5; c) 37o. 12 4. Cho một đường tròn có bán kính 8cm. Tìm số đo bằng độ của các cung có độ dài: a) 4cm; b) 8cm; c) 16cm. 5. Trên đường tròn lượng giác, hãy biểu diễn các cung có số đo: Trong các điểm ngọn của các cung, có những điểm trùng nhau, hãy giải thích. 6. Trên đường tròn lượng giác cho, điểm M xác định bởi… Gọi M1, M2, M3 lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc tọa độ. Tìm số đo của các cung… 7. Trên đường tròn lượng giác, xác định các điểm M khác nhau biết rằng cung... có số đo:.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> a) b) c) d) 8. Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây. a) Tính góc (theo độ và radian) mà bánh xe quay được 1 giây. b) Tính độ dài quảng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính bánh xe đạp là 680mm. BÀI 2: CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I- CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG… 1. Định nghĩa Xét đường tròn lượng giác tâm O và hệ trục tọa độ Oxy với các điểm A(1, 0), A’(-1, 0), B(0, 1), B’(0, -1) (h.7). 13 Với mỗi số thực…, cung lượng giác có số đo… được biểu diễn bởi một điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho:… *Trung độ y của điểm M gọi là sin của... kí hiệu là… *Hoành độ x của điẻm M gọi là cosin của… và kí hiệu là… *Nếu..., tỉ số… gọi là tang của… và kí hiệu là… *Nếu..., tỉ số… gọi là cotang của… và kí hiệu là… *Các giá trị… được gọi là các giá trị lượng giác của cung… *Trục tung còn gọi là trục sin, trục hoành gọi là trục cosin. Chú ý: 1) Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các cung lượng giác có số đo bằng độ và các góc lượng giác. 2) Nếu… thì các giá trị lượng giác của… cũng chính là các tỉ số lượng giác của góc… trong SGK Hình học 10. 14 2. Các hệ quả của định nghĩa a) Với mọi…, …và… đều được xác định. Ta còn có:….

<span class='text_page_counter'>(8)</span> b) Vì… nên ta có… Tương tự:… c) …không xác định khi… Điều này xảy ra khi điểm M trùng với B hoặc B’, tức là khi... hay như trong ví dụ 2 bài 1, IV-2, … Vậy… xác định khi… d) Tương tụ, …xác định khi… 3. Bảng giá trị lượng giác của một số cung hay góc đặc biệt 15 II- CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA BIẾN SỐ THỰC Các định nghĩa về các giá trị lượng giác ở trên xác định các hàm số lượng giác sau: *Hàm số sin *Hàm số cosin *Hàm số tang *Hàm số cotang III- Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA… VÀ… 1. Ý nghĩa hình học của… Từ A ta vẽ tiếp tuyến t’At với đường tròn lượng giác. Ta xác định trên tiếp tuyến này một trục, bằng cách chọn gốc tại A và vectơ đơn vị là… Cho cung lượng giác… Gọi T là giao điểm của OM với trục t’At. Ta có (h.8):… 16 Vì… nên từ (1) suy ra:… Vậy: …được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ AT trên trục t’At, trục này gọi là trục tang. 2. Ý nghĩa hình học của… Vẽ tiếp tuyến s’Bs với đường tròn lượng giác và xác định trên tiếp tuyến này một trục có gốc B, vectơ đơn vị… Gọi S là giao điểm của OM và trục s’Bs (h.9). Lí luận tương tự phần trên, ta có:.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> …được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ BS trên trục s’Bs, trục này gọi là trục cotang. 17 3. Ghi chú Từ ý nghĩa hình của… và… suy ra:… IV- CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Trong SGK Hình học 10 đã chứng minh các hằng đẳng thức lượng giác co bản sau: Hoàn toàn tương tự, ta dễ dàng chứng minh được hằng đẳng thức (1) với… là một số thực bất kì và hằng đẳng thức (2) với… Ngoài ra ta cũng dễ dàng chứng minh được các hằng đẳng thức sau: Ví dụ 1: Cho … Chứng minh rằng:… 18 Giải. Vì… nên… Do đó vế trái và vế phải có nghĩa. Ta có:… Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào …: Giải. V- DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 1. Nhận xét Dấu của… và… là dấu của hoành độ và tung độ điểm ngọn M của cung lượng giác… trên đường tròn lượng giác. Khi đã xác định được dấu của… và… thì áp dụng quy tắc nhân dấu để suy ra dấu của… và… 19 2. Bảng tóm tắt dấu khi điểm ngọn của cung… thuộc các góc phần tư của cung (h.10) Ví dụ 1: Cho… với… Tính… Giải. Vì… nên điểm ngọn của cung… thuộc góc phần tư thứ I, do đó….

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Vậy:… Ví dụ 2: Cho… Tính… Giải. *Ta có:… *Vì… nên điểm ngọn của cung… thuộc góc phần tư thứ IV, do đó… 20 *Vậy… *Ta có… VI- GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT 1. Cung đối nhau: Các điểm ngọn của hai cung… đối xứng nhau qua trục hoành (h.11) nên ta có:… 2. Cung bù nhau: Các điểm ngọn của hai cung… đối xứng nhau qua trục tung (h.12) nên ta có:… 21 3. Cung hơn kém…: Các điểm ngọn của hai cung… đối xứng nhau qua gốc tọa độ O (h.13) nên ta có:… 4. Cung phụ nhau: Các điểm ngọn của hai cung… đối xứng nhau qua phân giác… của góc xOy (h.14) nên ta có: 22 Áp dụng các công thức trên, ta có thể đưa việc tính các giá trị lượng giác của các cung (góc) có số đo… bất kì về việc tính các giá trị lượng giác của các cung có số đo trong đoạn… Ví dụ 1: Tính… Giải. Ta có… Ví dụ 2: Tính….

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Giải. Ta có… 23 Ví dụ 3: Tính… Giải. Ta có… BÀI TẬP 1. Tính… và… biết: a) b) c) d) 2. Biểu thị theo… các biểu thức sau, trong đó …: a) b) c) 3. Cho… Xét dấu các biểu thức: a) b) c) d) 4. Tính… biết: a) b) c) d) e) f) 5. Chứng minh các đẳng thức: a) tg2x – sin2x = tg2x . sin2x;.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> b) 24 c) d) 6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) A = 2cos4x – sin4x + sin2xcos2x + 3sin2x; b) B = (cotgx + tgx)2 – (cotgx – tgx)2; c) d) 7. Tính các giá trị lượng giác của cung… biết: a) b) c) d) 8. Rút gọn các biểu thức sau: a) b) 25 c) d) 9. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: a) sin(A + B) = sinC; b) cos(A + B) = - cosC; c) d) BÀI 3: SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I- TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Định nghĩa:.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 2. Tính tuần hoàn và chu kì của các hàm số y = sinx và y = cosx. Xét hàm số… Với mọi x… 26 Ta hãy chứng minh rằng… Giả sử… Nhưng Như vậy Vậy 3. Tính tuần hoàn và chu kì của các hàm số y = tgx và y = cotgx. Xét hàm số Với mọi Vậy hàm số 27 Giả sử có số T Như vậy ta phải có 4. Đồ thị của hàm số tuần hoàn: Giả sử Gọi 28 Lấy x0 bất kì Xét tại điểm Ta có Suy ra: II- HÀM SỐ y = sinx 1. Sự biến thiên. a) Tập xác định: b) Tập khảo sát:.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 29 c) Chiều biến thiên: Để tránh nhầm lẫn Vậy hàm số y – sinx đồng biến trên khoảng Vậy hàm số y = sinx nghịch biến trên khoảng 30 2. Đồ thị. a) Đồ thị của hàm số trên đoạn b) Đồ thị trên đoạn c) Đồ thị của hàm số 31 III- HÀM SỐ y = cosx 1.Sự biến thiên. a) Tập xác định: b) Tập khảo sát: c) Chiều biến thiên: 2. Đồ thị. Ta vẽ đồ thị 32 Sau đó, ta vẽ đồ thị trên đoạn IV- HÀM SỐ y = tgx 1.Sự biến thiên. a) Tập xác định: b) Tập khảo sát: 33 c) Chiều biến thiên: Ta có: 2. Đồ thị. 34.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> V- HÀM SỐ y = cotgx Tương tự, ta có bảng biến thiên của hàm số y = cotgx trên nửa khoảng 0; p/2 như sau: Đồ thị của hàm số y = cotgx 35 BÀI TẬP 1. Tìm tập xác định của các hàm số: a) b) c) d) 2. Khảo sát tính chẳng lẽ của các hàm số: a) b) c) d) 3. Chứng minh hàm số… 4. Chứng minh hàm số y = sin2x là tuần hoàn với chu kì… 5. Vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ: a) b) 6. Tím giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các ham số: a) b) 7. Chứng minh rằng: a) b) 36.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> BÀI 4: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I- CÔNG THỨC CỘNG: Với mọi số thực Mặt khác với các điều kiện Chứng minh: 1) Ta chứng minh 37 Mặt khác, vì Bây giờ ta chứng minh: 2) cos(a + b) = cos[a –(- b)] 3) sin(a – b)… 38 4) sin(a + b)… 5) Với các điều kiện đã nêu, ta có: 6) tg(a + b)… Ví dụ 1: Giải Ví dụ 2: 39 Giải: II- CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI: 1. Ta có các công thức sau gọi là công thức nhân đôi. Chứng minh: 7) sin2a 8) cos2a 8a) cos2a 40 8b) cos2a 9) tg2a.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Ví dụ 1: Giải Ví dụ 2: Giải 41 2. Công thức hạ bậc. Từ các công thức Ví dụ 1: Tính a) b) c) Giải a) Ta có b) Tương tự sin c) Ta có Ví dụ 2: Chứng minh 42 Giải 3. Công thức tính sina, cosa, tga theo t = tga/2. Giả sử: Chứng minh: 10) sina = 43 11) cosa = Ví dụ 1: Giải 44 Ví dụ 2: Giải.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> III- CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG: Từ công thức cộng, Chứng minh: 45 Ví dụ 1: Tính các biểu thức A= B= Giải A= B= Ví dụ 2: Biến đổi thành tổng các biểu thức C= D= 46 Giải C= D= IV- CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH: Ta có các công thức: Thay vào các công thức trên, 47 Mặt khác, với điều kiện Ví dụ 1: Giải 48 Ví dụ 2: Giải BÀI TẬP.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> I- CÔNG THỨC CỘNG: 1. Tính các giá trị lượng giác của các cung có số đo: a) b) 2. a) Biết:… b) Biết c) Cho hai góc nhọn a và b với tga = d) Biết 3. Chứng minh: a) b) 49 4. a) Cho… tính giá trị các biểu thức: A= B= b) Cho cosa = 5. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: a) b) II- CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI: 6. Tính… biết: a) b) 7. Cho… 8. Tính: a) b).

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 50 9. Chứng minh: a) b) c) 10. Chứng minh: a) b) c) III- CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI: 11. Biến đổi thành tổng: a) b) c) d) 12. Biến đổi thành tích: a) b) c) d) 13. Chứng minh: a) b) c) d) 51 14. Chứng minh: a).

<span class='text_page_counter'>(21)</span> b) 15. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: a) b) c) d) *CHỈ DẪN LỊCH SỬ: Như mọi khoa học khác, Các nhu cầu kể trên đã làm cho môn lượng giác phát sinh và phát triển 52 ƠLE (EULER) Ơle (1707 – 1783) là một trong những nhà toán học lớn nhất từ xưa đến nay. Ơle đã tiến hành nghiên cứu những đề tài khoa học rất đa dạng như cơ học, lí luận âm nhạc, lí thuyết vẽ bản đồ địa lí… Trong cuộc đời mình, Ơle đã viết trên 800 công trình về toán học, thiên văn và địa lí. Ơle là người rất say mê và cần cù trong công việc. ÔN TẬP CHƯƠNG I 1. Chứng minh: a) b) c) d) 53 2. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x:.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> a) b) c) d) 3. Rút gọn các biểu thức sau: a) b) c) d) 4. Chứng minh: a) b) 5. a) Biết… b) 54 6. Cho sina + cosa = m… a) b) c) 7. Tính: a) b) c) d) 8. Chứng minh rằng: a) b) 9. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> a) b) c) d) 55 Chương II PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số lượng giác của những biểu thức chưa ẩn Ví dụ: 56 2. Phương trình sinx = a a) Nếu b) Nếu Vậy phương trình sinx = a có các nghiệm là 57 Người ta thường nói Ví dụ: Giải các phương trình 1) sinx… 2) sinx… 3) sin(x – 2)… 4) sin(x + 200… Giải 1) sinx… 2) sinx… 58.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> 3) Đặt… 4) sin(x + 200)… Chú ý: 3. Phương trình cosx = a Phương trình cosx = a xác định với mọi… a) Nếu… 59 b) Nếu… Trường hợp đặc biệt: Ví dụ: Giải các phương trình 1) cosx… 2) cos2x… 60 3) cos(2x + 150)… 4) cos(x + 1)… Giải 1) cosx… 2) cos2x… 3) cos(2x + 150)… 4) cos(x + 1)… 61 4. Phương trình tgx = a Phương trình tgx = a xác định với mọi x… 62 Trên trục tang t’At ta lấy điểm H sao cho AH = a. OH cắt đường tròn tại hai điểm M và M’ Nếu alpha là số đo bằng radian của một cung lượng giác AM thì Hai công thức này có thể kết hợp thành một công thức Trường hợp đặc biệt:.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> 62 Ví dụ: Giải các phương trình 1) tg3x… 2) tg(2x + 100)… 3) tg(4x + 2)… Giải 1) tg3x… 2) tg(2x + 100)… 3) tg(4x + 2)… 63 5. Phương trình cotgx = a Phương trình cotgx = a xác định với mọi x… Trên trục cotang u’Bu lấy điểm K sao cho BK = a. OK cắt đường tròn tại M và M’ Nếu alpha là số đo bằng radian của một cung AM thì Ví dụ: Giải các phương trình 1) cotg4x… 2) cotg(2x – 300)… 3) cotg(x + 2)… Giải 1) cotg4x… 64 2) cotg(2x – 300)… 3) cotg(x + 2)… BÀI TẬP 1. Giải các phương trình: a).

<span class='text_page_counter'>(26)</span> b) c) d) 2. Giải các phương trình: a) b) c) 65 3. Giải các phương trình: a) b) c) d) 4. Giải các phương trình: a) b) c) d) BÀI 2: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1. Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: Đây là những phương trình bậc nhất… Ví dụ: Giải các phương trình 1) 2) 66 Giải.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> 1) 2) 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx… Cách 1: 67 Cách 2: Vì Khi đó (2) có dạng Ví dụ: Giải các phương trình 1) 2) Giải 1) Cho hai vế phương trình 68 2) Chia hai vế phương trình 69 Chú ý: 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx Đó là phương trình dạng: 70 Chú ý: 1) 2) Ví dụ: Giải phương trình Giải 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx là phương trình dạng:.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> 71 a) Cách giải: Ví dụ 1: Giải phương trình Giải 72 b) Chú ý: Ví dụ 2: Giải phương trình Giải Nghiệm t = -13 bị loại, ta nhận t = 1 và giải phương trình 73 BÀI TẬP 1. Giải các phương trình: a) b) c) d) 2. Giải các phương trình: a) b) c) d) 3. Giải các phương trình: a) b) c) d) 4. Giải các phương trình: a).

<span class='text_page_counter'>(29)</span> b) c) d) BÀI 3: NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Có nhiều phương trình lượng giác mà để giải chúng,… 74 Ví dụ 1: Giải các phương trình 1) 2) Giải 1) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta được: 2) Ta biến đổi phương trình về dạng: Họ nghiệm mp chứa trong hai họ nghiệm trên (với k = 2m hay l = 3m) nên nghiệm của phương trình đã cho là: Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: Sử dụng công thức hạ bậc, ta được: 76 Họ nghiệm… chứa trong họ nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình Giải: Ta viết phương trình đã cho dưới dạng Giải phương trình 77 BÀI TẬP 1. Giải các phương trình: a) b) c) d).

<span class='text_page_counter'>(30)</span> 2. Giải các phương trình: a) b) c) 3. Giải các phương trình: a) b) c) 4. Giải các phương trình: a) b) c) 78 BÀI 4: SƠ LƯỢC VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Hệ phương trình lượng giác một ẩn Để giải một hệ phương trình… Ví dụ 1: Giải hệ phương trình Giải Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 79 Giải Chú ý: 1) 2) Ví dụ 3: Giải phương trình Giải 80 2. Hệ phương trình lượng giác hai ẩn.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Sau đây là một số ví dụ… Ví dụ 1: Giải hệ phương trình Giải Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 81 Giải Ví dụ 3: Giải hệ phương trình Giải: Biến đổi phương trình: 82 Phương trình này có hai nghiệm Vậy ta được hai hệ phương trình Nghiệm của hệ I là Nghiệm của hệ II là BÀI TẬP 1. Giải các hệ phương trình: a) b) c) 2. Giải các hệ phương trình: a) b) c) 83 3. Giải các hệ phương trình: a) b) c).

<span class='text_page_counter'>(32)</span> d) ÔN TẬP CHƯƠNG II 1. Giải các phương trình: a) b) c) 2. Giải các phương trình: a) b) c) 3. Giải các hệ phương trình: a) 84 b) 4. Giải các hệ phương trình: a) b) 85 PHẦN HAI Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Trong nhiều ngành toán học: Để chứng minh một mệnh đề như thế, hiển nhiên ta không thể thử trực tiếp với mọi số tự nhiên được, vì tập hợp số tự nhiên là vô hạn. Song ta có thể tiến hành như sau: 1) 2).

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Như thế mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n. 86 Phương pháp lập luận trên đây được gọi là phương pháp quy nạp toán học Bước 1 Bước 2 Chú ý Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên… Chứng minh:1) 2) 87 Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên… Chứng minh: Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có: 88 BÀI TẬP 1. Chứng minh rằng… 2. Chứng minh rằng… 3. Chứng minh rằng… 4. Chứng minh rằng… BÀI 2: DÃY SỐ 1. Định nghĩa: 89 Ví dụ: Cho dãy số hữu hạn Ví dụ a) Cho dãy số… b) Cho dãy số….

<span class='text_page_counter'>(34)</span> 90 2. Cách cho dãy số a) Cho số hạn tổng quát… Ví dụ: Cho dãy số… b) Cho một mệnh đề miêu tả các số hạng liên tiếp của nó: Ví dụ: Cho dãy số… c) Cho bằng phương pháp truy hồi, tức là: Ví dụ 1: 91 Ví dụ 2: 3. Cách biểu diễn hình học dãy số 4. Dãy số tăng, dãy số giảm Định nghĩa 1: Ví dụ: 92 Định nghĩa 2: Ví dụ: Định nghĩa 3: Chú ý: a) b) 93 Ví dụ: chứng minh rằng Giải 5. Dãy số bị chặn Định nghĩa: Ví dụ 1: 94.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> Ví dụ 2: BÀI TẬP 1. Viết 5 số hạng đầu của các dãy số sau: a) b) c) d) 2. Cho… 3. Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó: a) b) 4. Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: 5. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: a) b) c) 95 6. Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn trên? bị chặn dưới? bị chặn? a) b) c) d) 7. Chứng minh rằng dãy số (un) xác định bởi: BÀI 3: CẤP SỐ CỘNG 1. Định nghĩa: 96.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> Ví dụ 1: Ví dụ 2: 2. Số hạng tổng quát: Định lí: Chứng minh 1) 2) 97 Ví dụ: 3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng Định lí: Chứng minh: 4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng Định lí: 98 Chứng minh: a) Ta có: b) Vì Ví dụ: 1) 2) 99 3) BÀI TẬP 1. Trong các cấp số cộng dưới đây, hãy tính số hạng un đã chỉ ra: a) b) 2. Tìm công sai d của một cấp số cộng hữu hạn, biết số hạng đầu u1 = 1 và số hạng cuối u15 = 43..

<span class='text_page_counter'>(37)</span> 3. Trong các dãy số… a) b) c) 4. Xác định số hạng đầu và công sai của mỗi cấp số cộng dưới đây, biết: a) b) 5. Tính tổng 10 số hạng đầu của mỗi cấp số cộng dưới đây, biết: a) b) 6. Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Tìm ba góc đó. 100 7. Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng các số hạng là 176. Hiệu giữa số hạng cuối và số hạng đầu là 30. Tìm cấp số đó. 8. Bốn số lập thành một cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 22. Tổng các bình phương của chúng bằng166. Tìm bốn số đó. 9. Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây, v.v… Hỏi có bao nhiêu hàng? BÀI 4: CẤP SỐ NHÂN 1. Định nghĩa Ví dụ 101 2. Số hạng tổng quát Định lí: Chứng minh: Ví dụ.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> 3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân Định lí: Chứng minh: 102 4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân Định lí: Chứng minh: 103 Ví dụ: 1) 2) 3) 4) 104 BÀI TẬP 1. Trong các cấp số nhân dưới đây, a) b) 2. Tìm công bội q của một cấp số nhân hữu hạn… 3) Trong các cấp số nhân dưới đây, a) b) 4. Tìm các số hạn… a) b) 5. Một cấp số nhân có 5 số hạng. 6. Trong một cấp số nhân có 9 số hạng… 7. Tìm bốn góc của một tứ giác,.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> 8. Tính các cạnh của một hình hộp chữ nhật, 105 ÔN TẬP CHƯƠNG III 1. Chứng minh rằng 2. Xét tính đơn điệu… a) b) c) 3. Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết: a) b) 4. Năm số lập thành một cấp số cộng. 5. Bốn số nguyên lập thành một cấp số cộng. 6. Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết: a) b) 7. Một cấp số nhân có 5 số hạng, 8. Độ dài các cạnh của tam giác ABC 9. Tìm bốn số hạng đầu cua một cấp số nhân: 106 Chương IV: GIỚI HẠN BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Định nghĩa giới hạn của dãy số Ví dụ: Chẳng hạn, 107 Một cách tổng quát, muôn cho khoảng cách….

<span class='text_page_counter'>(40)</span> Định nghĩa: Ta hãy vận dụng để chứng minh rằng 1) 2) 3) Giải 1) 108 Chú ý: Hiển nhiên ta cũng có: 2) 3) 2. Một số định lí về giới hạn của dãy số Định lí 1: Định lí 2: Định lí 3: 109 Định lí 4: Định lí 5: 110 Định lí 6: Ví dụ: a) b) c) d) 111 Chú ý: e) 3. Tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q….

<span class='text_page_counter'>(41)</span> 112 Ví dụ: 1) 2) 3) 4. Số e 113 5. Dãy số dần tới vô cực Ví dụ: Định nghĩa: Chú ý: 114 Ví dụ: Giải Định lí: Ví dụ: 1) 2) 115 Chú ý: BÀI TẬP 1. Áp dụng định nghĩa giới hạn của dãy số, chứng minh: a) b) 2. Tính các giới hạn sau: a) b) c).

<span class='text_page_counter'>(42)</span> d) e) g) 3. Tìm các giới hạn sau: a) b) 4. Cho dãy số… 116 5. Tìm các giới hạn sau: a) b) c) d) 6. Tìm tổng các cấp số nhân vô hạn sau: a) b) 7. Trong một hình vuông cạnh a, 8. Tìm các giới hạn sau: a) b) c) 117 BÀI 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa a) Ví dụ: 118 b) Định nghĩa:.

<span class='text_page_counter'>(43)</span> 2. Một số định lí về giới hạn của hàm số Định lí 1: Định lí 2: 119 Định lí 3: Định lí 4: Ví dụ: 1) 2) 120 3) 4) Tìm 5) Tìm 121 3. Mở rộng khái niệm giới hạn của hàm số 1) Hàm số gần tới vô cực: Ví dụ: Định nghĩa: 122 Chú ý: Định lí: Ví dụ: a) b) 123 2) Giới hạn tại vô cực: Ví dụ: Định nghĩa 1:.

<span class='text_page_counter'>(44)</span> 124 Chú ý: Ví dụ: 3) Giới hạn một bên: Định nghĩa: Định lí: 125 Ví dụ 1: Ví dụ 2; Giải Ví dụ 3: Giải 126 4. Các dạng vô định a) b) c) d) Ví dụ: a) 127 Giải b) Giải c) Giải 128 d).

<span class='text_page_counter'>(45)</span> Giải Chú ý: BÀI TẬP 1. Tính các giới hạn sau: a) b) c) d) 129 e) g) 2. Tính các giới hạn sau: a) b) 3. Cho 4. Tính các giới hạn sau: a) b) c) d) 5. Tính các giới hạn sau: a) b) 6. Tính các giới hạn sau: a) b) 130 c).

<span class='text_page_counter'>(46)</span> d) 7. Chứng minh rằng: 8. Hãy định nghĩa: 9. Tính: 10. Hãy định nghĩa hàm số dần tới vô cực: a) b) 11. Cho các hàm số: a) b) 131 12. Tính các giới hạn: a) b) c) BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC 1. Hàm số liên tục tại một điểm a) Định nghĩa: 132 b) Ví dụ: 1) Cho hàm số: 2) Cho hàm số: 133 c) Đặc trưng khác của tính liên tục tại một điểm: Định lí: Chứng minh: 134.

<span class='text_page_counter'>(47)</span> 2. Hàm số liên tục trên một khoảng a) Định nghĩa: b) Một số định lí về hàm số liên tục Định lí 1: Định lí 2: Ví dụ 1: Giải 135 Ví dụ 2: Giải Định lí 3: 1) 2) 136 Hệ quả: Ví dụ: Giải BÀI TẬP 1. Xét xem các hàm số sau có liên tục tại mọi x không, nếu chúng không liên tục thì chỉ ra các điểm không liên tục: a) b) c) d) e) 137 2. Cho các hàm số f(x) chưa xác định tại x = 0: a) b).

<span class='text_page_counter'>(48)</span> 3. Cho hàm số f(x): 4. Chứng minh rằng phương trình: a) b) ÔN TẬP CHƯƠNG IV 1. Tìm các giới hạn sau: a) b) c) d) 138 2. Tính tổng của các cấp số nhân sau: a) b) 3. Trong một hình cầu S bán kính R, 4. Tính các giới hạn sau: a) b) 5. Cho biết… Tính: a) b) c) d) 139 6. Xét tính liên tục của các hàm số: a) b) 7. Chứng minh rằng phương trình:.

<span class='text_page_counter'>(49)</span> *CHỈ DẪN LỊCH SỬ Các nhà toán học ở thế kỉ XVII và XVIII đã phát triển phép tính vi phân và phép tính tích phân. 140 VAIƠSTRAT Các Vaiơstrat là nhà toán học Đức, viện sĩ Viện Hàn lầm khoa học Beclin…. Năm 1856 Vaiơstrat được cử làm giáo sử toán học tại trường Bách khoa Hàng gia ở Beclin và được bầu làm viện sĩ Viện Hàn lâm khoa học Beclin… Danh tiếng của Vaiơstrat vang dội khắp châu Âu và châu Mĩ. Vaiơstrat bao giờ cũng gần gũi học trò của mình, ông quan tâm tới những khó khăn của họ về toán học cũng như về đời thường…. Trong số các học trò của Vaiơstrat có nhà nữ toán xuất sắc người Nga... 141 Về Mitac Leflơ, người học trò Thụy Điển xuất sắc Vaiơstrat… Tên của Vaiơstrat được đặt cho một miệng núi lửa ở phía khuất của Mặt Trăng. 142 Chương V: HÀM SỐ MŨ BÀI 1: MỞ RỘNG KHÁI NIỆM LŨY THỪA I- LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN 1. Lũy thừa với số mũ nguyên dương 2. Lũy thừa với số mũ 0. Lũy thừa với số mũ nguyên âm 143 Ví dụ: Áp dụng 3. Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên.

<span class='text_page_counter'>(50)</span> 1) Các tính chất biểu thị bằng đẳng thức: 144 2) Các tính chất biểu thị bằng bất đẳng thức: II- LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ 1. Căn bậc n a) Định nghĩa: b) Số nghiệm của phương trình xn = a *Hàm số y = xn, 145 *Số giao điểm của đồ thị hàm số… 146 c) Số căn bật n của số thực a Ví dụ: Chú ý: Ví dụ: 147 Ví dụ: 2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ a) Định nghĩa: Ví dụ: b) Tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ III- LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC 148 1. Định nghĩa Ví dụ 2. Tính chất 149 3. Hàm số lũy thừa.

<span class='text_page_counter'>(51)</span> BÀI TẬP 1. Tính: 2. Tính giá trị của biểu thức: 3. Rút gọn các biểu thức sau: a) b) 150 c) 4. Đưa nhân tử từ ngoài vào dấu căn: a) b) 5. Trục căn ở mẫu số của các biểu thức sau: a) b) c) d) e) 6. Tính biểu thức: 7. Tìm các số thực… a) b) 8. Rút gọn biểu thức: a) b) c) d) 151.

<span class='text_page_counter'>(52)</span> BÀI 2:HÀM SỐ MŨ 1. Định nghĩa 2. Tính chất 1) Tập xác định: 2) Tập giá trị: 3) 4) Với 5) Nếu 6) Hàm số 152 7) Bảng biến thiên: Ví dụ: 1) 2) 153 Giải BÀI TẬP 1. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến? a) b) c) d) 154 2. Vẽ đồ thị của các hàm số sau đây: a) b) c) d).

<span class='text_page_counter'>(53)</span> 3. Cho a > 1. Với giá trị nào của x thì đồ thị y = ax: a) b) 4. Cùng câu hỏi như bài tập 3, với điều kiện 0 < a < 1. 5. Chứng minh rằng hàm số sau đơn điệu: 6. Tìm x biết: a) b) ÔN TẬP CHƯƠNG V 1. Tính: a) b) 155 2. Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ các biểu thức sau: a) b) c) d) 3. Chứng minh đẳng thức: 4. Đơn giản hóa biểu thức: 5. Chứng minh rằng hàm số: 6. Tìm x biết: a) b) 156 Chương VI: HÀM SỐ LÔGARIT BÀI 1: HÀM SỐ NGƯỢC.

<span class='text_page_counter'>(54)</span> 1. Định nghĩa Nếu với mọi giá trị… Theo thông lê,… Về mặt hình học… 157 Ví dụ 1) 2) Chú ý 1) 2) 2. Điều kiện đủ dể có hàm số ngược Định lí: 158 Chứng minh: 3. Đồ thị của hàm số ngược Định lí: Chứng minh: Theo định nghĩa… 159 Ngược lại, BÀI TẬP 1. Tìm hàm số ngược của các hàm số sau: a) b) 2. Chứng minh rằng hàm số y = x2 – 2x + 2 không có hàm số ngược..

<span class='text_page_counter'>(55)</span> 3. Cho hàm số a) b) 4. Cho hàm số 160 BÀI 2: HÀM SỐ LÔGARIT 1. Định nghĩa Ví dụ: 1) 2) 3) 4) 161 5) 2. Sự biến thiên và đồ thị 162 Đồ thị của hàm số y = logax, 3. Các tính chất cơ bản của lôgarit 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 163 4. Các định lí về lôgarit Định lí 1.

<span class='text_page_counter'>(56)</span> Định lí 2 Chứng minh: Chú ý: 1) 2) Định lí 3 164 Chứng minh: Vì vậy Mặt khác Từ đó suy ra Chú ý Định lí 4 Chứng minh Mặt khác Chú ý Hệ quả 165 Vậy, Ví dụ 1 Giải Từ đó suy ra Ví dụ 2 Giải Định lí 5 166 Chứng minh: ta có Hệ quả 1.

<span class='text_page_counter'>(57)</span> Thật vậy Ví dụ: 1) 2) Hệ quả 2 Thật vậy, 167 Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức Giải Ví dụ 2 Giải 5. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên Định nghĩa 168 Logarit thập phân của x > 0 được kí hiệu là lgx (đọc là lốc của x); logarit tự nhiên của x được kí hiệu là lnx (đọc là logarit Nêpe của x). Với mọi x> 0, theo công thức đổi cơ số ta có: Vì 10 và e đều lớn hơn 1 nên các hàm số lgx và lnx có tất cả các tính chất của hàm số lôgarit với cơ số lớn hơn 1 Lôgarit thập phân thường được dùng trong việc tính toán cụ thể. Lôgarit tự nhiên đóng vai trò quan trọng trong toán học lí thuyết. Ví dụ. Biết Tính: 1) 2) 3) 4) BÀI TẬP 1. Vẽ đồ thị của các hàm số.

<span class='text_page_counter'>(58)</span> a) b) c) 2. Vẽ đồ thị của các hàm số a) b) 3. Tính a) b) c) d) 4. Tìm giá trị bằng số của của biểu thức a) b) c) 5. Tìm x biết a) b) c) d) 6. Tìm giá trị bằng số của các biểu thức a) b) c) d) 7. Tìm giá trị bằng số của các biểu thức a) b).

<span class='text_page_counter'>(59)</span> c) d) 8. Các lôgarit sau đây dương hay âm? a) b) c) d) 9. So sánh các số sau đây a) b) c) d) 170 10. Tìm 11. Chứng minh các đẳng thức sau a) b) 12. Biết a) b) c) BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT 1. Phương trình mũ a) Định nghĩa Ví dụ 1 b) Phương trình mũ đơn giản nhất 171.

<span class='text_page_counter'>(60)</span> Cách giải Ví dụ 2 1) 2) c) Phương trình mũ thường gặp * Phương pháp đưa về cùng một cơ số Ví dụ 3. Giải 172 * Phương pháp đặt ẩn số phụ Ví dụ 4 Giải * Phương pháp lôgarit hoá Ví dụ 5 Giải * Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ Ví dụ 6 173 Giải Với x > 2, ta có: Với x < 2, ta có 174 2. Phương trình lôgarit a) Định nghĩa Ví dụ b) Phương trình lôgarit đơn giản nhất Cách giải Ví dụ.

<span class='text_page_counter'>(61)</span> 1) Giải phương trình Giải 2) Giải phương trình 175 Giải Chú ý c) Phương trình lôgarit thường gặp * Phương pháp đưa về cùng một cơ số Ví dụ Giải * Phương pháp đặt ẩn số phụ Ví dụ 176 Giải * Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số lôgarit Ví dụ Giải Với x > 2, ta có 177 3. Hệ phương trình mũ và lôgarit Ví dụ 1 Giải Ví dụ 2 Giải 178 4. Bất phương trình mũ và lôgarit Ví dụ 1 Giải.

<span class='text_page_counter'>(62)</span> Ví dụ 2 Giải 179 BÀI TẬP 1. Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e) g) 2. Giải các phương trình sau a) b) c) d) e) g) 180 3. Giải các hệ phương trình sau a) b) 4. Giải các bất phương trình sau a) b) ÔN TẬP CHƯƠNG VI 1. Chứng minh rằng các hàm số sau đây có hàm số ngược, tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số ngược đó.

<span class='text_page_counter'>(63)</span> a) b) 2. Tìm hàm số ngược của hàm số 3. Chứng minh rằng 4. Chứng minh rằng a) 181 b) c) 5. Giải các phương trình sau a) b) c) 6. Giải các phương trình sau a) b) 7. Giải các phương trình sau a) b) c) 8. Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất 182 9. Tìm tập xác định của các hàm số sau a) b) c) d) 10. Giải các bất phương trình sau a).

<span class='text_page_counter'>(64)</span> b) 11. Giải các bất phương trình sau a) b) c) d) 12. Giải các hệ phương trình a) b) 183 *CHỈ DẪN LỊCH SỬ Các luỹ thừa với số mũ phân và những quy tắc phép tính đơn giản nhất trên các luỹ thừa với số mũ phân đã được nhà toán học Pháp Ôresmơ đề xuất ở thế kỉ XIV. Đến thế kỉ XV, nhà toán học Pháp Suykê khảo sát các luỹ thừa với số mũ âm và số mũ không. 183 Nhà toán học Đức… Lôgarit đã được đưa vào một cách độc lập với nhau bởi nhà toán học Anh Nepe… Các số lôgarit thập phân được đưa vào bởi nhà toán học Anh Bơritgơ… NÊPE (NAPIER) Nepe (1550 – 1617) là nhà toán học người Xcôtlen (Anh)… Trong công trình “Mô tả các bảng lôgarit” (1614) Nepe trình bày các tính chất của lôgarit, mô tả bảng lôgarit, cho quy tắc dùng bảng và những thí dụ ứng dụng. 184.

<span class='text_page_counter'>(65)</span> Các bảng của Nepe dùng để tìm lôgarit của các đại lượng lượng giác và cũng có thể dùng để tìm lôgarit của các số tự nhiên. Nepe đã phát minh ra đường cong lôgarit Tên của Nepe được đặt cho một miệng núi lửa trên mặt hiện của Mặt Trăng. BÀI TẬP ÔN CUỐI NĂM 1. a) Tính các biểu thức b) Giải phương trình 2. a) Chứng minh rằng 1) 2) b) Giải hệ phương trình 185 3. a) Rút gọn các biểu thức 1) 2) b) Giải hệ phương trình 4. a) Biến đổi các tổng thành tích 1) 2) b) Với giá trị nào của k thuộc Z phương trình sau có nghiệm 5. a) Chứng minh rằng 1) 2).

<span class='text_page_counter'>(66)</span> b) Giải phương trình 186 6. a) Chứng minh rằng với mọi x thuộc R hàm số b) Giải hệ phương trình 7. a) Chứng minh đẳng thức b) Giải phương trình 8. a) Chứng minh rằng nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác và thoả mãn điều kiện b) Giải hệ phương trình 9. a) Tìm a để biểu thức sau thoả mãn với mọi x b) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 187 10. a) Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện b) Giải phương trình 11. Chứng minh rằng 12. Tìm 3 số, biết rằng 13. Cho cấp số cộng 14. Tìm limSn biết 15. Tìm các giới hạn sau đây: a) b) 188 16. Cho dãy số a) b).

<span class='text_page_counter'>(67)</span> c) 17. Tìm các gới hạn sau đây a) b) c) d) 18. Xét tính liên tục của hàm số sau đây trên toàn trục số 19. Chứng minh rằng phương trình sau đây có ít nhất hai nghiệm 20. Vẽ đồ thị các hàm số sau: a) b) 189 21. Giải các phương trình sau: a) b) c) d) 22. Giải các bất phương trình sau a) b) 23. Tìm a để phương trình sau đây có nghiệm 24. Cho hàm số 25. Chứng minh rằng 190 MỤC LỤC PHẦN MỘT Chương I Bài 1 Bài 2.

<span class='text_page_counter'>(68)</span> Bài 3 Bài 4 Chỉ dẫn lịch sử, ôn tập chương I Chương II Bài 1 Bài 2 Bài 3 Bài 4 Ôn tập chương II PHẦN HAI Chương III Bài 1 Bài 2 Bài 3 Bài 4 Ôn tập chương III Chương IV Bài 1 Bài 2 Bài 3 Ôn tập chương IV, chỉ dẫn lịch sử Chương V Bài 1 Bài 2 Ôn tập chương V Chương VI Bài 1 Bài 2.

<span class='text_page_counter'>(69)</span> Bài 3 Ôn tập chương VI, chỉ dẫn lịch sử, Bài tập ôn tập cuối năm Bản quyền thuộc Nhà Xuất bản Giáo dục - Bộ Giáo dục và Đào tạo Ban biên tập: TRẦN VĂN HẠO (chủ biên Phần Một) CAM DUY LỄ, NGÔ THÚC LANH (chủ biên Phần Hai) NGÔ XUÂN SƠN – VŨ TUẤN Biên tập nội dung: LÊ SĨ ĐỒNG (Phần một) PHẠM PHU (Phần hai) Biên tập tái bản: NGUYỄN VĂN NHO Trình bày bìa: BÙI VIỆT DŨNG Biên tập mĩ thuật: ĐOÀN HỒNG, NGUYỄN BÍCH LA Sửa bản in: NGUYỄN THỊ ANH, VƯƠNG THỊ TRÌNH Sắp chữ: PHÒNG CHẾ BẢN (NXB GIÁO DỤC) Chịu trách nhiệm xuất bản: Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc NGÔ TRÂN ÁI Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập NGUYỄN QUÝ THAO ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11. Mã số: 3H105t6. Số XB: 1517/321-05. Số in: 03. In xong và nộp lưu chiểu tháng 01 năm 2006..

<span class='text_page_counter'>(70)</span>