Chon loc

<span class='text_page_counter'>(1)</span>1. Nh¾c l¹i B§T Bunhiacopsky + Giáo viên có thể đặt vấn đề về BĐT Bunhiacopsky cho học sinh với n = 2 và n = 3 theo ph¬ng ¸n sau ®©y sÏ rÊt hiÖu qu¶. - Tõ ( a 2+b 2 )( x2 + y 2 ) =( ax+ by )2 + ( ay − bx )2 ∀ a ,b , x , y 2 ⇒ ( ax + by ) ≤ ( a2 +b2 ) ( x 2 + y 2 ) . DÊu “=” cã. hay a = b. ⇔ ay =bx. x y 2 2 2 2 2 2 2 2 - Tõ ( a +b + c )( x + y + z )=( ax + by+ cz ) +( bz − cy ) +( cx −az ) + ( ay − bx )2 ∀ a,b,c, x , y , z 2 (2) ⇒ ( ax + by+ cz ) ≤ ( a2+ b2 +c 2 ) ( x 2+ y 2 + z 2 ) DÊu “=” cã ⇔ay =bx , cx=az , bz=cy → a = b = c x y z. + Bé 2 sè:. a. a + Bé 3 sè:. 2. 2. b. 2.  x. 2. y.   xa  by . 2. 2. dấu “=” xảy ra khi.  b 2  c 2   x 2  y 2  z 2   xa  by  cz . 2. (1). a kx  b ky. a kx  b ky  dấu “=” xảy ra khi c kz. + Tổng quát:  a12  a22  ...  an2   x12  x22  ...  xn2   a1x1  a2 x2  ...  an xx  2 dấu “=” xảy ra khi ai = kxi 2. Chứng minh BĐT nhờ sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky Mét sè chó ý * D¹ng to¸n cho biÕt bËc thÊp, chøng minh bËc cao hoÆc ngîc l¹i ( hoÆc ... ), ta thêng tiÕn hµnh nh sau: x 2+ y 2 ≥. 1) D¹ng cho ax + by = c , C/m do ⇒ ( ax + by )2 ≤ ( a2 +b2 ) ( x 2 + y 2 ). c2 , ta chọn bộ 2 số (a, b) và (x, y). Khi đó a 2+ b2. ⇒ ®pcm.. ABc2 , a2 B+ b2 A a b , ta chän bé 2 sè vµ √A √B Ax 2+ By2 ≥. 2) D¹ng cho ax + by = c , C/m. (. Khi đó 3) Cho. 2. 2. 2. ) (. ( x √ A , y √B). ). (. Khi đó. ). a b a b ( 2 .x √A+ . y √B ≤ + Ax + By2 ) ⇒ ®pcm A B √A √B √a 2 B2 +b2 A 2 |k| , 2 2 2 2 2 A x + B y =k C/m |ax + by|≤ |AB| ta chän bé 2 sè a , b vµ ( Ax , By ) A B. (. (. 2. 2. 2. ). 2. 2. 2. 2. a b a b 2 a B +b A . Ax+ . By ≤ 2 + 2 ( A2 x 2+ B2 y 2 ) ⇔ ( ax+ by ) ≤ ⇒ ®pcm 2 2 A B A B A B. ) (. ). .... Mét sè bµi tËp ¸p dông.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> *. I. Chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 1.1: Cho a, b > 0. Chứng minh 1 1 4 a)   a b a b n 2 m2  m  n  b)   a b a b. 2. Lêi giải a) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có: 2 1  1   1 1 . a . b  4     a  b   b  a b  a  1 1 4    a b a b 2  n2 m2  m 2  n  b)   . a . b   n  m    a  b   b  b  a   a n 2 m2  n  m     a b a b Tổng quát:. 2. 2. a12 a22 an2  a1  a2  ...  an    ...   b bn b1  b2  ...  bn b  0, i  1. n  Cho i thì 1 b2 (1) 2  a  a  ...  an  a1 a2 a   ...  n  1 2 cn a1c1  a2c2  ...  ancn (2)  Với ai ci  0 với i 1.n thì c1 c2 Thật vậy: 2.  a1   a12 a22 an2  a2 an 2   ...  b  b  ...  b  . b  . b  ...  . b    1 2 n 1 2 n   a1  a2  ...  an   bn  b2 bn  b1 b2  b1  2. a12 a22 an2  a1  a2  ...  an     ...   b1 b2 bn b1  b2  ...  bn đặt aici = bi > 0 thay vào (1) được (2) (Mét sè tµi liÖu gäi B§T (1) vµ (2) lµ B§T céng mÉu sè). Ví dụ 1.2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh a2 b2 c2   a  b  c. b c a 3 3 a b c3 c)   a 2  b 2  c 2 b c a a). a2 b2 c2 a bc    b c c  a a b 2 3 3 3 2 a b c a  b2  c2 d)    b c c  a a b 2 b).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Lêi giải 2. a 2 b2 c 2  a  b  c  a) Ta có :    a  b  c b c a a b c 2. a2 b2 c2  a  b  c  a  b  c b)    b  c c  a a  b 2 a  b  c  2 3. 3. 3. 4. 4. 4. a . 2.  b2  c 2 . 2. a b c a b c      a 2  b 2  c 2 b c a ab bc ca ab  bc  ca 3 3 3 4 a b c a b4 c4 a 2  b2  c2 d)       b  c a  c a  b ab  ac ab  bc ac  bc 2. c). Ví dụ 1.3: 25a 16b c   8 Cho a, b, c > 0. Chứng minh: b  c c  a a  b Lêi giải c  a   b  Ta có : VT 25   1  16   1   1  42   bc   c a  a b 2. 25 16 1   5  4  1  42 8    a  b  c     a  b  c  2 a  b  c   b c c a a b  b c a c a b    a 0 5 4 1 Dấu “=” xảy ra khi vô lí suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 1.4: x2 y2 z 2 x y z  2  2   2 y z x y z x Cho x, y, z > 0. Chứng minh: Lêi giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có 2 x2 y2 z 2 1  x y z  1  x y z   x y z  x y z              y 2 z 2 x 2 3  y z x  3  y z x   y z x  y z x Gi¶i thÝch thªm: 2. 2. 2. x y z + + =¿ y2 z2 x2 2 2 1 1 1 + + = √3 √3 √3. 2. [( ) ( ) ( ) ] [ (. 2. 2. x y z + + y z x. 2. ) ( ) ( )] [. VÝ dô 1.5: Cho x, y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 3x + 4y = 7 Chøng minh r»ng:. x2  y 2 . 49 25. 2. 1 x 1 y 1 z 1 x y z ≥ . + . + . = + + √ 3 y √3 z √ 3 x 3 y z x. ] (. 2. ).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Lêi gi¶i Theo B§T Bunhiac«pski ta cã:  49 25  x 2  y 2  . 3x  4 y . 3. 2.  42   x 2  y 2   7  25  x 2  y 2 . 49 x2  y 2 25. VÝ dô 1.6: Cho x  2 y 10.CMR : x  y 20 Lêi gi¶i áp dụng BĐT Bunhiacôpski cho hai bộ số (1 ; 2) và ( x ; y ) ta đợc:.  1.. x  2. y. 2.   1  2   x  y   10 2. 2. 2. 5  x  y   x  y 20. y x   x 4, y 16 2 DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi 1. VÝ dô 1.7: Cho ba sè kh«ng ©m x, y, z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x + y + z = 1. Chøng minh r»ng: A  x  y  y  z  z  x  6 Lêi gi¶i áp dụng BĐT Bunhiacôpski cho hai bộ ba số (1 ; 1 ; 1) và ( x  y ; y  z ; z  x ) ta đợc:. . A2 . xy  yz  zx. 2.   1 1 1   x  y  y  z  z  x   A 2. 2. 2. 2. 6  x  y  z  6  A  6. V× A > 0 nªn A  6 (dÊu “=” x¶y ra  x + y = y + z = z + x  x = y = z = 1/3) a b c 3 + + ≥ b+c a+ c a+b 2. VÝ dô 1.8: Cho a, b, c > 0. CMR: S =. (1) (B§T Nes bitt). Lêi gi¶i C1) Theo Bunhiacopsky ta cã:. (√. (. 2. a b c 2 . √ a ( b+c ) + . √ b ( c+ a ) + . √ c ( a+b ) = ( a+b+ c ) b+c c+ a a+b ( a+b+ c )2 a b c + + ( ab+ac + bc+ab+ ac+ bc ) =2 S ( ab+ bc +ca ) ⇒ S ≥ b+c c+ a a+ b 2 ( ab+ bc +ca ) 2 2 2 a + b +c +2 ( ab+ bc+ca ) 3 ( ab+ bc+ca ) 3 ≥ = . 2 ( ab+ bc +ca ) 2 ( ab+ bc +ca ) 2. √. ). √. ). C2) Dùng biến đổi tơng đơng và Cô si: (1) ⇔ a +1+ b +1+ c + 1≥ 9 ⇔ 2 ( a+ b+c ) 1 + 1 + 1 ≥ 9 b+ c. [. c+ a. ]. a+ b 2 b+c c +a a+b 1 1 1 ⇔ [ ( b+ c )+ ( c+ a ) + ( a+ b ) ] + + ≥9 b+c c+ a a+ b BĐT này đúng do ( x+ y+ z ) 1 + 1 + 1 =3+ x + y + y + z + x + z ≥ 9 x y z y x z y z x. [. ]. (. ) (. )(. )( ). (Cã thÓ sö dông hÖ qu¶ cña B§T Co si vµo viÖc gi¶i quyÕt bµi to¸n trªn) VÝ dô 1.9: (§Ò s¬ tuyÓn HSG Quúnh Lu 2007 - 2008) Cho a, b, c > 0 vµ abc = 1. Chøng minh r»ng A= a + b + c ≥1 2+a 2+b 2+ c Lêi gi¶i.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> §Æt a= x ; b= y ; c= z ⇒ abc=1 (phï hîp víi ®iÒu kiÖn) y. z x a b c x y z Khi đó A= + + = + + 2+a 2+b 2+ c 2 y+ x 2 z + y 2 x+ z x y z XÐt 2 d·y sè a1= ; a2 = ; a3 = 2 y+ x 2z+ y 2 x+z vµ x 1=√ x ( 2 y+ x ) ; x 2=√ y ( 2 z+ y ) ; x 3= √ z ( 2 x + z ) ¸p dông Bunhiacopsky ta cã: ( a1 x 1+ a2 x 2 +a3 x 3 )2 ≤ ( a1 + a2 + a3 )( x 1 + x2 + x 3 ). √. √. √. 2. Ta cã A=( a1 +a 2 + a3 ) ≥ 2. ⇔ A≥. 2. ( a1 x 1+ a2 x 2 +a3 x 3 ). 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. ( x1 + x2 + x3 ) 2. 2. 2. ( x+ y+ z )2 ( x + y + z )2 =.. .. . .. .. .= =1 . 2 x (2 y + x )+ y (2 z + y )+ z (2 x +z ) ( x+ y+z). DÊu b»ng cã khi vµ chØ khi x = y = z ---> a = b = c II. T×m GTLN, GTNN VÝ dô 2.1: T×m GTLN cña: A=2 √ x − 1+ 3 √5 − x Lêi gi¶i 2 A ≤ ( 4+9 )( x −1+5 − x )=4 .13 ⇒ A ≤ 2 √ 13 MaxA = 2 √ 13 ⇔ √ x −1 = √ 5 − x. (. 2. ). 3. VÝ dô 2.2: Cho 0 < x < 1. T×m GTNN cña: M =√ 22 ( x + x 2 ) + √ 32 ( x − x 2 ) . Lêi gi¶i M =√ 22 ( x + x ) + √ 32 ( x − x )=√ 11 . √2 ( x + x2 ) + √ 4 . √8 ( x − x 2 ) 2. 2. 5 2 125 125 + ≤ 6 2 2 ¿ 11 1 = 2 2 ( x + x ) 2 ( x − x 2) 5 x= 6 ⇔ x=5 6 ¿{ ¿. ( ). ⇒ M 2 ≤ ( 11+ 4 ) ( 2 x+2 x 2+ 8 x −8 x 2 )=15 ( 10 x − 6 x 2) =− 90 x −. ⇒ M ≤5.. √. 5 . §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi 2. VÝ dô 2.3: Cho x 2+ y 2 ≤ x +3 . T×m GTNN cña: B = 2x + 3y. Lêi gi¶i 2. Tõ x 2+ y 2 ≤ x +3 ⇒ x − 1 + y 2 ≤ 13 .. ( 2). 4. Theo Bunhiacopsky, ta cã: 2. 1 1 2 2 13 2 1 13 13 2 x − +3 y ≤ ( 4+ 9 ) x − +y ≤ ⇒ 2 x − +3 y ≤ ⇒ 2 x +3 y ≤ +1=7,5 2 2 2 2 2 2. [( ) ]. [( ) ] ( ) ( ).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> VËy MaxB = 7,5 khi vµ chØ khi. ¿ 1 x− 2 y = ---> x, y 2 3 2 x +3 y=7,5 ¿{ ¿. VÝ dô 2.4: Cho x, y, z > 0. T×m GTNN cña C= 3 x + 4 y + 5 z . y+z z+x x+ y Lêi gi¶i C+12=. 3x 4y 5z 3 4 5 +3+ + 4+ +5=( x+ y+ z ) + + y+z z+x x+y y + z z + x x+ y 1 3 4 5 ¿ [ ( z + y ) +( x + z ) +( y + x ) ] + + ≥ 2 y + z z + x x+ y. (. [. 1 2. ). ]. 2. 2 2 3 4 5 1 1 =¿ ( √ 3+ √ 4 + √ 5 ) ⇒C ≥ ( √ 3+ √ 4 + √ 5 ) − 12→ GTNN √ z+ y . √ + √ z + x . √ + √ y + x . √ 2 2 √ y+z √z+x √ y+x §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi: √ 3 = √ 4 = √ 5. [. ]. y+z. z+ x. y+x. Ví dụ 2.5: Cho x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx =1. Tìm GTNN của biểu thức: A = x4 + y4 + z4 Lêi gi¶i Áp dụng Bunhiacopsky, ta có 2. 1  xy  yz  zx   x 2  y 2  z 2   x 2  y 2  z 2   x 2  y 2  z 2 . 2. 2.  1  x 2  y 2  z 2   1  1  1  x 4  y 4  z 4  1 1 3  P   minP = khi x = y = z = 3 3 3 4a 9b 16c   Ví dụ 2.6: Tìm GTNN của P = b  c  a c  a  b a  b  c trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Lời giải.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> a 1 b 1 c 1  29    P 4     9    16     bc a 2  ca b 2  a b  c 2 2 a bc 4 9 16  29 =     2  b c  a c  a  b a b  c  2 2. a b c  2  3  4 29  .  2  b  c  a   c  a  b   a  b  c 2 a b c 81 29 81 29 .    26 2 a b c 2 2 2 a b c  minP = 26 khi   7 6 5 Ví dụ 2.7: Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = + + trong đó a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1 . Lời giải 2 2 a  b  c a  b  c a b c   Ta có : Q      1 b2  4ac 2b  c 2c  a 2a  b a  2b  c   b  2c  a   c  2a  b  3  ab  bc  ca   minQ = 1 khi a b c . 1 3. Ví dụ 2.8: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm GTNN của 1 1 1 1 P 2    2 2 a b c ab bc ca Lời giải 1 1 1 9    ab bc ca ab  bc  ca 1 9  P 2  2 2 a b c ab  bc  ca   1 4 7  2    2 2 2  ab  bc  ca   ab  bc  ca  a b c .  1  2. 2.  a  b  c. 2. . 9 21 9  30 2 ab  bc  ca  a  b  c. 1 3 VÝ dô 2.9: (§Ò s¬ tuyÓn HSG Quúnh Lu 2006 - 2007) Cho a, b. c > 0. T×m GTNN cña P= a + b +  minP = 30 khi a = b = c =. c 2 b+3 c 2 c+ 3 a 2 a+3 b.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Lêi gi¶i a b c ; a 2= ; a3 = 2 b+3 c 2 c +3 a 2a+ 3 b vµ x 1=√ a ( 2b +3 c ) ; x 2=√ b ( 2 c+ 3 a ) ; x3 =√ c ( 2 a+3 b ) Theo Bunhiacopsky ta cã: ( a1 x 1+ a2 x 2 +a3 x 3 )2 ≤ ( a1 + a2 + a3 )( x 1 + x2 + x 3 ). XÐt 2 d·y sè a1=. √. √. √. 2. Ta cã P=( a1 +a2 +a 3 ) ≥ 2. 2. ( a1 x1 +a 2 x 2+ a3 x3 ). 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. ( x 1 + x2 + x 3 ) 2. 2. 2. ( a+b+ c )2 ( a+ b+c )2 3 . = ≥ a ( 2 b+3 c ) +b ( 2 a+3 c ) +c ( 2 a+3 b ) 5 ( ab+ bc+ca ) 5 Chó ý: ( a+b +c )3 ≥ 3 ( ab+ bc+ ca ) VËy min P= 3 ⇔ a=b=c . 5 ⇒P≥. VÝ dô 2.10: (S¬ tuyÓn huyÖn Quúnh Lu 2005 - 2006) Cho 0 < x < 1. T×m GTLN cña A= √32 ( x − x2 ) + √ 22 ( x+ x2 ) Lêi gi¶i 2 2 Ta cã A= √ 32 ( x − x ) + √22 ( x+ x ) =2 √8 ( x − x 2 ) + √ 11 . √ 2 ( x+ x 2 ) Theo Bunhiacopsky ta cã A 2 ≤ ( 4+11 ) ( 8 x −8 x 2+ 2 x +2 x 2 ) =15 ( 10 x −6 x 2 ) 25 5 −6 x − 6 6. 2. 125 2. [ ( )] √ . DÊu b»ng cã VËy MaxA = √ . ¿ 15. ⇒ A ≤5 .. ≤. 5 2. 5. ⇔ √ 11 √ 8 ( x − x 2 ) =2 √ 2 ( x+ x2 ). 5 2. vµ x= 5 ⇒ x= 5 6. 6. Bµi tËp luyÖn tËp. 2 2 1. Cho biÕt 3x + 4y = 7. Chøng minh r»ng: 3x  4 y 7 2. 2. 2. Cho x, y lµ 2 sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: 2 x  3 y 5 . Chøng minh:  5 2 x  3 y 5 3. a, b, c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng, c lµ c¹nh huyÒn, x vµ y lµ hai sè thùc tho¶ 2 2 hÖ thøc: ax + by = c. Chøng minh r»ng: x  y 1 .. 4. Chøng minh r»ng nÕu: 5. Chøng minh r»ng. a 2  b 2 c 2  d 2 1  ac  bd 1. a sin x  b cos x  a 2  b 2. 2 2 2 6. Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng B= a + b + c ≥ a+b+ c. b+c c+ a a+ b. 7. Cho x, y, z > 0 vµ xyz = 1. T×m GTNN cña A=. 2. 1 1 1 + 3 + 3 x ( y + z ) y ( z+ x ) z ( x+ y ) 3. 8. Cho c¸c sè x, y, z > 0 tho¶ m·n √ xy + √ yz+ √ zx=1 . 2 2 2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B= x + y + z. x+ y. y+ z z+ x. 9. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> √ p< √ p − a+ √ p − b+ √ p− c ≤ √ 3 p.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>