He Phuong Trinh Doi Xung Loai 2

<span class='text_page_counter'>(1)</span>( Phần dùng lượng giác với hàm số phía sau chưa phải làm nha. Kiến thức đó lên 11, 12 mới dùng được) 2. Hệ đối xứng loại (kiểu) II: a. Định nghĩa: ìï f(x, y) = 0 ïí ï f(y, x) = 0 Là hệ phương trình có dạng tổng quát ïî (đổi vị trí x và y cho nhau thì. phương trình này trở thành phương trình kia) b. Phương pháp giải chung: Trừ hai phương trình cho nhau, đưa về phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) rồi thế vào một trong hai phương trình của hệ. c. Chú ý: Ngoài phương pháp chung ta có thể sử dụng các phương pháp khác như: - Phương pháp đánh giá. - Phương pháp đồ thị. - Phương pháp điều kiện cần và đủ. d. Ví dụ: ìï 2x2 - 3x = y2-2 (*) ï í 2 ïï 2y - 3y = x2-2 (**) Ví dụ 11: Giải hệ phương trình ïî (11). GIẢI Lấy (*) trừ (**) vế với vế ta được: 3x2 - 3y2 - (3x - 3y) = 0 Û (x - y)(x + y) - (x - y) = 0. éx - y = 0 Û (x - y)(x + y - 1) = 0 Û ê êx + y - 1 = 0 Û ê ë. éx = y ê êx = 1 - y ê ë. Với x= y thay vào (*) ta có : éx = 1 2x2 - 3x = x2 - 2 Û x2 - 3x - 2 = 0 Û ê êx = 2 Û ê ë. éx = y = 1 ê êx = y = 2 ê ë. Với x=1- y thay vào (*) ta có : 2y2 - 3y = (1- y)2 - 2 Û y2 - y + 1 = 0 (vô nghiệm). Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (1; 1) và (2; 2). * Các trường hợp khác: i) Có những hệ phương trình sau khi đưa ra dạng tích không biểu diễn được x theo y mà phải sử dụng cách đánh giá..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ìï x3 = 3x + 8y(*) ï (12) í 3 ïï y = 3y + 8x (**) Ví dụ 12: Giải hệ phương trình ïî. GIẢI Lấy (*) trừ (**) vế với vế ta được: x3 - y3 = - 5x + 5y Û (x - y)(x2 + y2 + xy) + 5(x - y) = 0. 1 3 Û (x - y)(x2 + y2 + xy + 5) = 0 Û (x - y)[(x + y)2 + y2 + 5] = 0(* * *) 2 4 1 3 (x + y)2 + y2 + 5 > 0 2 4 Do với " x, y nên (***) Û x - y = 0 Û x = y thay vào (*) ta éx = 0 ê 3 3 x = 3x + 8x Û x - 11x = 0 Û ê êx = 11 Û ê êx = - 11 ë được:. éx = y = 0 ê êx = y = 11 ê ê êx = y = - 11 ë. Vậy hệ (12) có 3 nghiệm (0;0) ; ( 11 ; 11 ) ; (- 11 ; - 11 ) ii) Có những hệ phương trình sau khi đưa ra dạng tích không biểu diễn được x theo y mà cũng không sử dụng được cách đánh giá. ìï x3 = 2x + y(*) ï (13) í 3 ïï y = 2y + x (**) Ví dụ 13. Giải hệ phương trình ïî. GIẢI Nhận xét: Nếu dùng cách giải thông thường trừ (*) cho (**) vế với vế ta được: éx - y = 0 (x - y)(x2 + xy + y2 - 1) = 0 Û ê êx2 + xy + y2 - 1 = 0(* * *) ê ë. Đối với trường hợp (***) nếu kết hợp với 1 trong 2 phương trình của hệ thì rất phức tạp. Ta có thể giải theo cách sau: ìï (x - y)(x2 + xy + y2 - 1) = 0 ï í ïï (x + y)(x2 - xy + y2 - 3) = 0 Trừ và cộng (*) và (**) vế với vế ta được: ïî ìï x2 + xy + y2 - 1 = 0 ìï x - y = 0 ìï x - y = 0 ïìï x + y = 0 ï ï Û í Úí Úí Ú ïí ïï x + y = 0 ïï x2 - xy + y2 - 3 = 0 ïï x2 + xy + y2 - 1 = 0 ïï x2 - xy + y2 - 3 = 0 î î î ïî. TH1:. ïìï x - y = 0 Û í ïï x + y = 0 î. ïìï x = 0 í ïï y = 0 î.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ìï ï í ïï î. TH2:. éïì x = 3 êï êíï x=y êïïî y = 3 Û êì x2 = 3 êïï x = - 3 êí êï y = - 3 êïïî ë. ïìï í ïï î. TH3:. éìï x = 1 êïí êï y = - 1 y=- x êîï Û êìï x = - 1 x2 = 1 êï êíï y = 1 ê ëîï. ìï x - y = 0 ï Û í 2 ïï x - xy + y2 - 3 = 0 î. ïìï x + y = 0 Û í 2 ïï x + xy + y2 - 1 = 0 î. ïì x2 + xy + y2 - 1 = 0 ïí Û ïï x2 - xy + y2 - 3 = 0 ïî. ìï xy = - 1 ï Û í 2 ïï x + y2 = 2 î. ì ïíï ïï î. TH4:. éìï x = 1 êïí êï y = - 1 xy = - 1 îï Û ê êïì x = - 1 x+y = 0 êï êíï y = 1 êîï ë. Vậy hệ phương trình (13) có 5 nghiệm (0; 0); ( 3 ; 3 ); ( - 3 ; - 3 ) ; (1; -1) ; (-1; 1). iii) Có những hệ phương trình đối xứng loại II không giải được theo phương pháp quen thuộc ta phải dùng ẩn phụ để đưa về hệ phương trình đối xứng loại II giải được theo phương pháp quen thuộc. ìï x + 3 y - 1 = 1 ï (14) í ïï y + 3 x - 1 = 1 Ví dụ 14. Giải hệ phương trình ïî. GIẢI ìï u = ï í ïv= Đặt ïïî. 3. x- 1. 3. y- 1. ìï u3 + v = 0 ï í 3 ï v +u = 0 Hệ (14) trở thành ïïî theo phương pháp thông thường ta được nghiệm của. hệ (14) là (1;1) ìï x = y2 - 2 y ï (15) í ïï y = x2 - 2 x Ví dụ 15. Giải hệ phương trình ïî. GIẢI: ïìï u = x í ïv= y Đặt ïî ìï u = v2 - 2v ìï v2 - 2v - u = 0 ï Û í Û ïí 2 (15') 2 ïï v = u - 2u ïï u - 2u - v = 0 îï îï Hệ phương trình (15) trở thành. Giải theo phương pháp thông thường ta được nghiệm của hệ (15’) là :.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ìï 1 + 5 ìïï 1- 5 ïï u = ìï u = 0 ìï u = 3 ïï u = ïí 2 Úí 2 Ú ïí Ú ïí ïï v = 0 ïï v = 3 ïï ï 1- 5 ï 1+ 5 î î ïï v = ïï v = ïî îï 2 2. Vậy hệ phương trình (15) có các nghiệm là (0; 0) ; (3; 3) ; (3; -3) ; (-3; 3) ; (-3; -3) ; 1 + 15 1 - 15 - 1- 5 1- 5 - 1 - 15 - 1 + 5 1+ 5 - 1+ 5 2 2 2 2 2 ( 2 ; ); ( ; 2 );( ; );( 2 ; ); 1-. (. 5 1+ 5 1- 5 - 1- 5 - 1+ 5 1+ 5 - 1 + 5 - 1 - 15 2 ; 2 ); ( 2 ; 2 2 2 2 );( ; 2 );( ; ). iv) Một số dạng hệ phương trình đối xứng loại II thường được giải theo phương pháp biến đổi tương đương. ìï ï í ï Ví dụ 16. Giải hệ phương trình ïïî. x +5+ y- 2 = 7 (16) x- 2+ y+5 = 7. GIẢI: ìï x ³ 2 ïí ïy³ 2 Điều kiện ïî. Các vế của hệ phương trình (16) dều không âm. Bình phương hai vế ta được: ìï x + 5 + y - 2 + 2 (x + 5)(y - 2) = 49 ï Û í ïï x - 2 + y + 5 + 2 (x - 2)(y + 5) = 49 ïî. ìï x + y + 3 + 2 (x + 5)(y - 2) = 49(*) ï í ïï x + y + 3 + 2 (x - 2)(y + 5) = 49 ïî. => (x + 5)(y - 2) = (x - 2)(y + 5) Û x = y Thay x=y vào (*) ta được: ïì 23 - x ³ 0 2x + 3 + 2 (x + 5)(x - 2) = 49 Û ïí 2 Û x = 11 ïï x + 3x - 10 = (23 - x)2 î. Vậy hệ phương trình (16) có nghiệm (11; 11). v) Một số trường hợp khi điều kiện để các biểu thức có nghĩa ta suy ra được điều kiện cho ẩn từ đó có thể dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ bằng phép lượng giác hóa. Ta xét ví dụ sau: ìï x + 1 - y2 = 1 ïï (17) í ïï y + 1 - x2 = 1 Ví dụ 17. Giải hệ phương trình ïî. GIẢI: Điều kiện. x;y £1.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ìï x = sin a - p p ïí , £ a, b £ ï y = sin b 2 2 Đặt ïî. Biến đổi phương trình về dạng: ìï sin a + cosb = 1 ïí Û ïï sin b + cosa = 1 î. ìï sin a + cosb = 1 ïí Û ïï sin(a + b) = 0 î. éïì a = - b êïí êï Û êïî sin a + cos(-a ) = 1 Û ê êa = b = p ê ë 2. ìï ï ïíï ïï ïïî. sin a + cosb = 1 éa + b = 0 ê êa + b = p ê ë. éa = b = 0 éx = y = 0 ê ê Û ê p êx = y = 1 êa = b = ê ë ê ë 2. Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm (0; 0) ; (1; 1). vi) Một số trường hợp hệ phương trình đối xứng loại II không giải được theo các phương pháp quen thuéc vµ cũng không chọn được ẩn phụ nào thích hợp để đưa về các giải quen thuộc. Khi đó ta sẽ dïng phương pháp đánh giá hoặc sử dụng tính đơn điệu của hàm số. ìï ï í ï Ví dụ 18. Giải hệ phương trình ïïî. 7 + x + 11- y = 6 (18) 7 + y + 11 - x = 6. GIẢI: Điều kiện x,y Î [ - 7;11] Cộng vế theo vế của 2 phương trình của hệ ta có: 7 + x + 11- x + 7 + y + 11 - y = 12 (*). Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có: 7 + x + 11- x £ 6 7 + y + 11 - y £ 6. => 7 + x + 11- x + 7 + y + 11 - y £ 12 ìï Û ïí ï Do đó (*) ïïî. 7 + x = 11 - x 7 + y = 11 - y. Û x=y=2. Vậy hệ phương trình (18) có nghiệm duy nhất (2; 2). ìï ï í ï Ví dụ 19. Giải hệ phương trình ïïî. x + 2- y = 2 (19) y + 2- x = 2. GIẢI:.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Nhận xét: Bài toán này không thể giải quyết được theo phương pháp đánh giá như trên. Điều kiện 2 ³ x, y ³ 0 Trừ từng vế 2 phương trình của hệ ta được: xÛ. y + 2- y x-. 2- x =. 2- x = 0 y-. 2 - y Û f(x) = f(y) với f(t) =. t-. 2- t. Với 2 ³ t ³ 0 1. Ta thấy f’(t) = 2 t. +. 1 2 2- t. > 0; " t Î D. => Hàm luôn đồng biến trên D. Vậy f(x) = (f(y) Û x=y thay vào (*) ta được: x + 2- x =. 2 Û 2 + 2 2x - x2 = 2 Û. éx = 0 2x - x2 = 0 Û 2x - x2 = 0 Û ê êx = 2 ê ë. Vậy hệ phương trình (19) có 2 nghiệm (0; 0) ; (2; 2). 3. Mở rộng về dạng toán chứa tham số (Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình đối xứng có nghiệm duy nhất). * Để giải bài toán tìm giá trị của tham số để hệ phương trình đối xứng có nghiệm duy nhất ta dùng phương pháp điều kiện cần và đủ: Bước 1: Điều kiện cần - Nhận xét rằng nến hệ có nghiệm (x 0; y0) thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ. Do đó hệ có nghiệm duy nhất khi x0 = y0 (*). - Thay (*) vào hệ ta được giá trị của tham số. Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất. Bước 2: Điều kiện đủ - Thay giá trị vừa tìm được của tham số vào hệ và giải để kiểm tra tính duy nhất về nghiệm của hệ.  x  xy  y m  2 (20)  2 x y  xy 2 m  1  Ví dụ 20: Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất.. GIẢI: Bước 1: Điều kiện cần Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm (x 0; y0) thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ. Do đó hệ có nghiệm duy nhất khi x0 = y0 . Khi đó:.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  x02  2 x0 m  2 (20)   3  2 x0 m  1.  m 1  m 2 x03  1  m  3   3 2 2 x0  x 0  2 x0  1 0   m  3 4. Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất. Bước 2: Điều kiện đủ - Với m=1 ta được:. t2 - 3t + 2 = 0.  x  xy  y 3  2 2  x y  xy 2 . x+y và xy là nghiệm của phương trình:.   x  y 1 (vn)  xy  2  t 1      x  y 2 t  2    x  y 1   xy 1. là nghiệm duy nhất của hệ..  x  xy  y 1  2 2 - Với m= -1 ta được  x y  xy 0. Nhận thấy hệ luôn có hai cặp nghiệm (0; 1) và (1; 0).  x  xy  y  5  4  2 2 3  x y  xy  1 4  - Với m= - 4 ta được  x+y và xy là nghiệm của phương trình:. 5 1 t2 - 4 t + 4 = 0.   x  y 1 1   1  x y   2 xy   t 1   4     t 1   x  y  1  4 4 (vn)    xy 1  3. là nghiệm duy nhất của hệ.. Vậy với m=1 hoặc m= - 4 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất. ệ phương trình (10) có nghiệm duy nhất (2; 2)..

<span class='text_page_counter'>(8)</span>