Luan VanSKKN 62

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Đề tài : PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ. TRONG TOÁN HỌC BẬC THCS. A.Đặt vấn đề 1. Lí do chọn đề tài Đối với học sinh bậc THCS môn Toán được coi là một môn khoa học tự nhiên thuộc dạng khó, vì môn toán rất đa dạng và phong phú cả nội dung lẫn hình thức, đề giải được bài toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức cần phải có phương pháp suy nghĩ khoa học cùng với những kinh nghiệm cá nhân tích lũy được qua quá trình học tập, rèn luyện. Trong môn Toán ở trường THCS có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật toán để giải, một trong số đó là các bài toán thực tế, đối với dạng toán này giáo viên phải cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Nhiệm vụ khó khăn này đòi hỏi phải có thời gian và kinh nghiệm sư phạm, phải có lòng tận tâm và phương pháp đúng đắn, biết đề ra cho học sinh đúng lúc, đúng chổ những câu gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng và trong chừng mực nào đó sử dụng khéo léo, linh hoạt. Từ đó mới hình thành cho học sinh một số tri thức, phương pháp giải toán nhằm rèn luyện và phát triển ở họ năng lực tư duy khoa học. Qua đó cho thấy,bài toán thực tế học sinh muốn giải được là vấn đề nan giải, đa phần các em đều không giải được các bài toán dạng này. Vì vậy tôi nghiên cứu đề tài về “ phương pháp giải các bài toán thực tế môn toán bậc THCS” mong được góp một phần nhỏ vào thực hiện nhiệm vụ khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh cách giải bài toán thực tế.. 2. Cơ sở lí luận Các bài toán thực tế luôn được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường và nội dung của bài toán đề cập đến những vấn đề xung quanh đời sống sinh hoạt, lao động và học tập. Phương pháp chung nhằm giải các bài toán này là phương pháp giải toán bằng cách lập phương trình (hệ phương trình) và điều quan trọng nhất của phương pháp này là nắm cách chuyển đổi từ bài toán bằng lời thành phương trình ( hệ phương trình ) tương ứng. Muốn làm được điều đó trước tiên ta phải nắm vững “ ngôn ngữ đại số ”, thứ ngôn ngữ không dùng lời mà chỉ dùng kí hiệu toán học, sau đó là ta phải biết “phiên dịch” từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> B.Nội dung 1.Các bước giải toán bằng cách lập phương trình ( hệ phương trình ) Quá trình giải một bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình là tương tự nhau gồm ba bước sau: Bước 1: Lập phương trình, bước này gồm các khâu + Chọn ẩn số (kèm theo đơn vị nếu có) và xác định các điều kiện cho ẩn; + Biểu thị các số liệu chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết; + Lập phương trình (hệ Phương trình) biểu thị mối quan hệ đó. Ở bước này, chúng ta xuất phát từ nội dung bài toán mà phát hiện các đối tượng tham gia trong bài toán, các đại lượng liên quan đến chúng trong đó đại lượng nào đã biết , đại lượng nào chưa biết cần quan tâm ( là đại lượng cần tìm hay đại lượng mà biết nó thì sẽ biết được đại lượng cần tìm). Một trong các đại lượng chưa biết thì được chọn làm ẩn số và có thể có một số cách chọn ẩn khác nhau với cùng một bài toán. Với các bài toán không phức tạp thì thường ẩn số trực tiếp là đại lượng chưa biết cần tìm được nêu trong câu hỏi của bài toán. Điều kiện cho ẩn số có được là do khai thác từ ý nghĩa cụ thể của đại lượng được chọn là ẩn số. Chẳng hạn, nếu x là số người thì nguyên dương, x là chữ số thì x  N ,0 x 9 Hay cạnh của một hình, vận tốc ,thời gian, quảng đường thì lớn hơn 0….Khi ẩn số đã được lựa chọn, cần phát hiện các mối liên hệ giữa các đại lượng có trong bài toán với ẩn số. cần tìm được hai biểu thức chứa ẩn (hay một biểu thức và một số liệu cụ thể) biểu thị cùng một đại lượng. khi đó nối chúng lại bởi dấu “=” ta sẽ có phương trình cần lập. Ví dụ xét bài toán: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B mất 4 giờ và ngược dòng từ B về A mất 5 giờ. Tính khoảng cách hai bến A và B, biết vận tốc nước chảy là 2 km/giờ. Ở bài toán này các đối tượng tham gia là bến A, bến B, ca nô. Các số liệu; khoảng cách AB(chưa biết); vận tốc ca nô(chưa biết);thời gian ca nô xuôi(đã biết); thời gian ca nô ngược(đã biết);vận tốc nước(đã biết). Nếu chọn khoảng cách AB làm ẩn số x, sẽ có hai biểu thức biểu thị vận tốc ca x x 2 2 4 nô là ( vận tốc xuôi trừ vận tốc nước) và 5 ( vận tốc ngược cộng vận x x  2  2 5 tốc nước) từ đó ta có phương trình: 4 . Nếu chọn vận tốc ca nô là x thì sẽ. có hai biểu thức biểu thị khoảng cách là : (x + 2).4 ( vận tốc xuôi nhân thời gian xuôi) và (x - 2).5 ( vận tốc ngược nhân thời gian ngược) từ đó ta có phương trình: (x+2).4 = (x-2).5 giải ra tìm được vận tốc ca nô sẽ tìm được khoảng cách AB. Trong khâu biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết cũng có thể hướng dẫn học sinh cách tiến hành biểu thị các đại lượng qua ẩn số trên một bảng. chẳng hạn, với bài toán : vừa gà vừa chó, bó lại cho tròn, ba mươi sáu con, một trăm chân chẳn. hỏi có mấy ga mấy chó?.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Ta cỏ thể kẽ bảng sau: Số lượng con vật Số lượng chân Gà x 2x Chó x -36 4(x-36) Cả gà và chó 36 100 Từ đó ta lập phương trình cần thiết từ cột số liệu chân Ở bước này giáo viên cần lưu ý với học sinh ngoài các mối liên hệ có trong bài toán, còn có mối liên hệ là quan hệ có tính quy luật trong thực tế hay trong nội dung khác của toán, lí, hóa,... như mỗi gà có 2 chân, mỗi chó có 4 chân, quảng đường bằng vận tốc nhân thời gian, khối lượng công việc bằng năng suất nhân thời gian, vận tốc xuôi dòng bằng vận tốc ca nô cộng vận tốc nước, vận tốc ngược dòng bằng vận tốc ca nô trừ vận tốc nước...., các mối liên hệ kiểu này không được phát biểu trong bài toán nhưng cần được phát hiện và sử dụng thì mới lập được phương trình. Bước 2: Giải phương trình(hệ phương trình) Bước này là bước giải bài toán toán học ( có được từ bước 1) bằng công cụ toán học, có sự hổ trợ của máy tính CASIO. Bước 3: Đối chiếu điều kiện và kết luận. Bước ba là bước nhận định kết quả. Từ những nghiệm của phương trình đã tìm được ta loại bớt những nghiệm không thỏa manxcacs điều kiện đã đặt ra cho ẩn số. với các nghiệm còn lại ta có được câu trả lời cho bài toán ban đầu. Đễ học sinh có ý thức bước này thực sự cần thiết, cần đưa ra một số dạng bài tập mà ở bước này thực sự có nghiệm bị loại. chẳng hạn, tìm cạnh của một mảnh ruộng hình vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh thêm 10 m thì diện tích tăng thêm 20 m2. Gọi x là chiều dài cạnh hình vuông thửa ruộng, (x>0) ta sẽ có phương trình: (x + 10)2 = x2 + 20 Nghiệm phương trình là x = -4 không thỏa mản điều kiện x > 0 mặc dù phương trình lập được là có nghiệm nhưng câu trả lời của bài toán ban đầu là không có thửa ruộng nào thỏa mản yêu cầu đầu bài. Cũng có thể cho học sinh thêm thận trọng ở bước này, gióa viên có thể đưa ra một số bài toán mà phải suy nghỉ rồi mới quyết định được khâu nhận địnhkết quả từ nghiệm phương trình lập được. ví dụ bài toán sau: cha 40 tuổi, con 16 tuổi. Hỏi bao năm nữa tuổi cha gấp ba lần tuổi con. Gọi số năm từ nay tới khi sảy ra điều kiện nêu trong đề bài là x, ta có phương trình: 40 + x = 3.( 16 + x). Phương trình có nghiệm x = -4, nghiệm này không loại mà câu trả lời sẽ là : trước đây 4 năm tuổi cha gấp 3 lần tuổi con.. 2. phương pháp giải các dạng toán thực tế 2.1 Dạng tìm số.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> - khi giải bài toán về số tự nhiên hay số nguyên mà có nhiều chữ số cần lưu ý học sinh các chữ số là những số tự nhiên nằm trong khoảng từ 0 đến 9 hoặc từ 1 đến 9 tùy theo vị trí của chúng. - Đối với bài toán tìm số giáo viên cần cho học sinh ôn lai các kiến thức như: ab 10a  b abc 100a  10b  c. Hay về phép chia a = b.q + r Trong đó : a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư Bên cạnh đó giáo viên còn hướng dẫn cho học sinh cách phiên dich ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số Ví dụ : Hai số kém nhau 12 đơn vị. Nếu chia số nhỏ cho 7, số lớn cho 5 thì thương thứ nhất bé hơn thương thứ 2 là 4 đơn vị. Tìm hai số đó. Ta phiên dich như sau : Tìm hai số Hai số kém nhau 12 đơn vị Số nhỏ chia cho 7 Số lớn chia cho 5 x (số nhỏ), y (số lớn) y – x = 12 x 7 y 5 y x  4 Thương thứ nhất bé hơn thương thứ 2 4 đơn vị : 5 7  y  x 12  y x   4 Từ đó ta có hệ phương trình  5 7. Giải ra ta được x = 28, y = 40. 2.2 Dạng chuyển động - Khi giải các bài toán về chuyển động cùng chiều hoặc ngược chiều ta nên dùng hình vẽ để học sinh hình dung một cách trực quan các đoạn đường mà các vật chuyển động đã đi. Chẳng hạn, khi hai vật chuyển động ngược chiều nhau giữa A và B và chúng gặp nhau ở C thì có thể biểu diễn ở hình sau: A. C. B.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Như vậy, tổng độ dài hai quảng đương đi được của hai vật chuyển động bằng quảng đường AB. Khi hai vật A và B chuyển động cùng chiều theo hướng từ A đến B và chúng gặp nhau ở C, biểu diến ở hình sau: A. B. C. Ta có hiệu hai quảng đường đi được của hai vật chuyển động bằng khoảng cách AB - Giáo viên cần ôn lại cho học về công thức tính quảng đường : s = v.t Trong đó: s là quảng đường, v là vận tốc, t là thời gian s s v  ;t  t v Và nắm được công thức biến đổi của nó :. - Đối với dạng toán chuyển động phải cho học sinh xác định rỏ các đối tượng, các đại lượng tham gia bài toán, từ đó có hướng phân tích bằng bảng và biểu thị dưới cùng một đại lượng Ví dụ : Bác Hiệp và cô Liên đi từ làng lên tỉnh trên quảng đường dài 30 km, khởi hành cùng một lúc, vận tốc xe bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe cô Liên là 3 km/h nên bác Hiệp đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. Gọi x (km/h) là vận tốc của xe bác Hiệp , ĐK : x >3. khi đó ta có bảng sau : Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quảng đường (km) Bác Hiệp. x. Cô Liên. x–3. 30 x 30 x 3. 30 30. Vì bác Hiệp đến trước cô Liên nửa giờ (1/2 h) nên ta có phương trình 30 30 1   x 3 x 2. Giải phương trình ta được x1 = 15 (tmđk) ; x2 = -12 (loại) Vậy vận tốc của bác Hiệp là 15 km/h ; của cô Liên là 12 km/h. 2.3 Dạng năng suất - Để giải bài toán năng suất cần phải yêu cầu học sinh xác định các đối tượng, các đại lượng tham gia bài toán. Từ đó liên hệ bởi công thức: Khối lượng công việc (tổng SP) = năng suất x thời gian Ở dạng này cũng có thể phân tích bài toán bằng bảng từ đó biểu thị các biểu thức cùng một đại lượng để lập phương trình (hệ phương trình) Ví dụ: Theo kế hoạch, một công nhân phải hoàn thành 60 sản phẩm trong thời gian nhất định. Nhưng do cải tiến kĩ thuật nên mỗi giờ người công nhân đó làm thêm được 2 sản phẩm, vì vậy chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 30 phút mà còn vượt mức 3 sản phẩm. hỏi theo kế hoạch mỗi giờ người đó làm bao nhiêu sản phẩm..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Gọi x là số sản phẩm mà người công nhân làm theo kế hoạch. ĐK: x > 0 Ta có bảng sau:. Số SP mỗi giờ Kế hoạch. x. Thức tế. x+2. Thời gian (giờ) 60 x 63 x 2. Số SP 60 63. Vì thời gian hoàn thành sớm hơn 30 phút(1/2 giờ) nên ta có phương trình : 60 63 1   x x2 2. Kết quả : x1=12 (tmđk) ; x2 = -20 (loại) TL : theo kế hoạch mỗi giờ người đó làm được 12 SP - Khi giải toán về làm chung làm riêng, cần coi toàn bộ công việc như 1 đơn vị. - Với dạng toán làm chung, làm riêng hay toán về vòi nước chảy, giữa thời gian hoàn thành công việc và năng suất trong một đơn vị thời gian là hai số nghịch đảo của nhau. - Đối với toán năng suất không được lấy thời gian HTCV của Đơn vị I cộng với thời gian HTCV của Đơn vị II bằng thời gian HTCV của cả hai Đơn vị. còn năng suất thì được phép cộng. 2.4 Dạng hình học Để giải dạng này học sinh cần nắm vững các công thức tính diện tích, chu vi, thể tích các hình đã học như tam giác, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang…. Bên cạnh đó còn phải biết phiên dịch từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số. Ví dụ: Cho tam giác vuông, nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tăng thêm 50 cm2. Nếu giảm đi mỗi cạnh góc vuông 2 cm thì diện tích tam giác sẽ giảm đi 32 cm2. Tính hai cgóc vuông của tam giác. Bài toán được phiên dịch như sau: (tìm) hai cạnh góc vuông của tam giác x và y (x,y > 0) 1 ( 2 x.y). (ta nghĩ ngay đến diện tích tam giác) Tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm Diện tích tăng thêm 50 cm2 Giảm cả hai cạnh đi 2 cm 2. x + 2 và y + 3 1 1 ( x  2)( y  3)  xy  50 2 2. (1). x – 2 và y – 2 1 1 ( x  2)( y  2)  xy  32 2 2. Diện tích giảm đi 32 cm Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình, Giải ra ta được x = 26 ; y = 8 (tmđk) Vậy hai cạnh góc vuông cần tìm là 26 cm và 8 cm.. (2).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 2.5 Dạng tăng trưởng Đối với dạng này thường là toán về dân số, kinh tế, khi giải cần chú ý điều kiện (sau bao năm…..) và ta tách nó ra từng năm một để việc phiên dịch được thuận tiện hơn. Ví dụ: Dân số của thành phố Hà Nội sau hai năm tăng từ 2000000 lên 2048288 người. tính xem hằng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu phần trăm? Gọi số phần trăm tăng dân số trung bình hang năm là x(%) ĐK: x > 0 x Số dân tăng của năm thứ nhất là: 2000000. 100 (=20000.x) x Số dân tăng của năm thứ hai là: (2000000+20000x). 100 (= 200x(x + 100)). Sau hai năm tăng từ 2000000 lên 2048288 người nên ta có: 2000000+20000x + 200x(x + 100) = 2048288 Giải PT ta được x1 = 1,2 (tmđk); x2 = - 201,2 (loại) Vậy dân số tăng trung bình hang năm là 1,2 %. 2.6 Các dạng khác Các dạng toán còn lại thường là toán về hóa học và một số dạng toán về ngăn kéo, trang sách hay về bàn ghế của lớp học. để giải dạng này đòi hỏi học sinh có kiến thức căn bản của môn hóa học và thành thạo trong việc phiên dịch ngôn ngữ. Ví dụ: Cho một lượng dung dịch chứa 10% muối. Nếu pha thêm 200 gam nước thì được dung dịch 6%. Hỏi có bao nhiêu gam dung dịch đã cho. Ta có thể phiên dịch như sau: x( x  0) Có bao nhiêu gam dung dịch đã cho 10 x Chứa 10% muối Thêm 200 gam nước Được dung dịch 6%. 100 x  200 10 x 6  ( x  200) 100 100. Giải PT ta được x = 300(tmđk) Vậy có 300 gam dung dịch. 3. một số chú ý khi giải toán - Khi giải toán bằng cách lập phương trình, ngoài ẩn đã chọn đôi khi người ta còn biểu thị những đại lượng chưa biết khác bằng chữ. Điều lí thú là các chữ đó tuy tham gia vào quá trình giải bài toán nhưng chúng lại không có mặt trong đáp số của bài toán. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ: Một người đi một nửa quảng đường AB với vận tốc 20 km/h, và đi phần còn lại với vận tốc 30 km/h.tính vận tốc trung bình của người đó trên toàn bộ quảng đường AB.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Giải: Gọi vận tốc trung bình phải tìm là x (km/h), (x > 0). Ta biểu thị một nửa quảng đường AB là a km (a > 0) . a Thời gian người đó đi nửa quảng đường đầu là 20 (h) a Thời gian người đó đi nửa quảng đường sau là 30 (h) a a 2a 1 1 2   hay   20 30 x , x=24 (tmđk) Từ đó ta có phương trình: 20 30 x. Vậy vận tốc trung bình của người đó là 24 km/h - Trong phát biểu có các dữ liệu là mối lien hệ giữa các đại lượng mang nội dung thức tế khác nhau nhưng các dữ kiện đó lại có cùng một bản chất về toán học. chẳng hạn, hai ô tô đi ngược chiều từ A và Từ B gặp nhau là tương tự như hai vòi nước cùng chảy vào bể hay hai đội sản xuất cùng làm chung công việc, hai ô tô chạy cùng chiều từ Avà từ B khi nào gặp nhau là tương tự như dữ kiện về hai vòi nước, một vòi chảy vào bể và một vòi chảy từ bể ra; khi nào sé đầy bể.. C.kết luận Kết luận chung Xưa nay đối với môn toán học sinh cứ hiểu là học để biết chứ có ứng dụng gì trong thực tế đâu?! Và thực sự khi các em tiếp xúc với các bài toán thực tế thì số đông các em cũng chẳng tiếp thu được gì, vì đây là dạng toán khó đòi hỏi các em phải tư duy cao vả lại phương pháp truyền thụ của giáo viên chưa thực sự lôi cuốn các em vào trong “thực tế”. Qua từng năm giảng dạy tôi luôn rút kết cho mình những kinh nghiệm về việc hướng dẫn học sinh giải các bài toán thực tế, càng dần về sau tôi thấy các em rất thích giải các bài toán thực tế. Thiết nghĩ trong thời công nghiệp hóa, hiện đại hóa thì xã hội đòi hỏi người lao động phải đủ tiêu chuẩn và chất lượng, đặc biệt là có tính thực tế cao, tránh rơi vào tình trạng thừa thầy thiếu thợ như hiện nay. Vì vậy việc dạy học các bài toán thực tế là hết sức quan trọng, mong rằng mỗi người thầy chúng ta cần phấn đấu hơn nữa mà tìm ra phương pháp giảng dạy tối ưu để học sinh xem việc giải các bài toán thực tế là chuyện “bình thường”, giúp các em sau này đáp ứng được nhu cầu của xã hội thời công nhiệp. Dù cố gắng hết mình, nhưng trong quá trình nghiên cứu đề tài không thể tránh những thiếu sót.Rát mong sự đóng góp ý kiến chân tình của quý đồng nghiệp. Chân thành cảm ơn! Tân Thạnh, ngày 16 tháng 3 năm 2010 Người viết. Nguyễn Thanh Biểu.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>