Casiotuduykhai thac ti so trong HKG latex

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Trần Lê Quyền - Bùi Hùng Vương. “Chúng ta không học bấm máy, chúng ta học để sáng tạo cách bấm máy. . . ”. Liên hệ: \ Thầy Quyền - Quận 6 TP HCM - 01226678435 \ Thầy Vương - TP HCM - 0908939004 \ Page: Casiotuduy \ Group: Nhận đánh máy LATEX tài liệu, bài giảng, tiểu luận, luận văn. . . theo yêu cầu. Tháng 12 năm 2017.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Trần Lê Quyền - Bùi Hùng Vương. Khai thác tỉ số trong hình học không gian cổ điển Một trong những hướng tiếp cận và xử lí nhanh bài toán hình không gian chính là việc chú ý đến tỉ số giữa các đối tượng cùng loại. Thông qua việc lập tỉ số, chúng ta chuyển bài toán ban đầu về giải quyết một bài toán đơn giản và quen thuộc hơn. Ngoài ra, trong tài liệu một số thao tác sử dụng MTCT cũng đôi lần được nhắc đến. Để tính tỉ số diện tích của hai tam giác, ta chuyển về tính tỉ số giữa độ dài của các cạnh đáy và đường cao. Ý tưởng tương tự được áp dụng cho tỉ số thể tích của hai khối chóp. Sau đây là một số nhận xét đơn giản: (1) Nếu M là trung điểm cạnh BC của ∆ABC thì ta có 1 SABM = SACM = .SABC 2 (2) Nếu ABCD là một hình bình hành thì ta có 1 SABC = SBCD = SCDA = SDAB = .SABCD 2 (3) Đối với hình thang ABCD mà AB k CD, ta có SACD = SBCD . (4) Đối với hình thang ABCD mà AB k CD, AB = 2CD, ta có SACD = 31 .SABCD . (5) Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. (6) Xét ∆ABC với B 0 , C 0 lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, AC . Khi đó ta có AB AC SABC = . . SAB 0 C 0 AB 0 AC 0 (7) Xét hình chóp S.ABC với A0 , B 0 , C 0 lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB, SC .. Khi đó ta có VABC SA SB SC = . . . VAB 0 C 0 SA0 SB 0 SC 0. ThS. Trần Lê Quyền, Quận 6 - 0122 667 8435. 1.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Trần Lê Quyền - Bùi Hùng Vương (8) Giả sử đường thẳng qua hai điểm A, B cắt mặt phẳng (P ) tại I . Khi đó ta có d(A; (P )) AI = . d(B; (P )) BI. Riêng với trường hợp AB k (P ) thì ta có d(A; (P )) = d(B; (P )).. Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang nội tiếp đường tròn (C) tâm I, cho biết AB k CD, CD = 2AB, ∠CDA = 60◦ . Giả sử thể tích khối chóp S.ABCD bằng v , tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy là hình tròn (C).. Giải. Do hình chóp và hình nón đã cho có cùng đường cao nên tỉ số thể tích của khối chóp và khối nón bằng tỉ số diện tích của hai đáy, tức là bằng k=. 1 2 .(AB. + AC).AH π.r2. Dễ thấy tâm I là trung điểm CD, để cho đơn giản cho AB = 1 ta có √. (1 + 2). k= 2π.12. 3 2. √ 3 3 = . 4π. 4π 3 3. Vậy thể tích khối nón bằng √ .v Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = √ a 3 và (SAB) ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC . Tính thể tích của khối chóp S.BM DN .. ThS. Trần Lê Quyền, Quận 6 - 0122 667 8435. 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Trần Lê Quyền - Bùi Hùng Vương. Giải. Độ dài ba cạnh cho thấy ∆SAB vuông tại S . Kẻ SH ⊥ AB tại H ta có SH ⊥ (ABCD). Trong ∆SAB ta có √ SH.AB = SA.SB ⇒ SH =. Theo (1), VBM DN =. 1 2 .VABCD ,. trong khi VABCD. 3a . 2. √ 1 3a .(2a)2 . = . 3 2. Ví dụ 3. [Câu 40 ĐMH] Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50 cm × 240 cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây): • Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng. • Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó. thành mặt xung quanh của một thùng. Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của V hai thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số 1 V2. Giải. Vì hai thùng có cùng chiều cao nên tỉ số thể tích bằng tỉ số của diện tích đáy, do đó bằng bình phương tỉ số của hai bán kính. Ta có r1 =. 240 120 V1 r1 , r2 = ⇒ = ( )2 = 4. 2π 2π V2 r2. Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SC. Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a. ThS. Trần Lê Quyền, Quận 6 - 0122 667 8435. 3.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Trần Lê Quyền - Bùi Hùng Vương. Giải. Vì AB ⊥ (SM C) nên thu được SC ⊥ (AHB). Ta có theo (8) k=. VH.SAB d(H, (SAB)) HS = = VC.SAB d(C, (SAB)) CS √. √. √. Xem a = 1, nhờ AH.CS = 2.SSAC = 215 nên AH = 415 ⇒ SH = SA2 − AH 2 = 74 . Dễ √ √ tính được VS.ABC = 1211 , kết hợp với k = 87 thu được VS.ABH = 7 1611 . Kết quả tính theo √ a là VS.ABH = 7 1611 .a3 Ví dụ 5. [Câu 38 ĐMH] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh √ bằng 2a . Tam giác SAD cân tại S và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng 4 đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng .a3 . Tính khoảng cách h từ B đến mặt 3. phẳng (SCD).. Giải. Gọi H là trung điểm AD, ta có SH ⊥ AD ⇒ SH ⊥ (ABCD). Khi đó h = d(B, (SCD)) = d(A, (SCD)) = 2.d(H, SCD).. Để ý rằng d(H, (SCD)) được cho bởi công thức1 1 1 1 = + 2 2 d(H, (SCD)) d(H, CD) SH 2 1. Có thể tổng quát công thức này như sau: Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (P ). Với ∆ là đường thẳng chứa trong (P ) sao cho H 6∈ ∆, khoảng cách từ H đến mặt phẳng (S; ∆) được cho bởi: 1 1 1 = + 2 2 d(H, (S; ∆)) d(H, ∆) SH 2 ThS. Trần Lê Quyền, Quận 6 - 0122 667 8435. 4.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Trần Lê Quyền - Bùi Hùng Vương √. Xem a = 1, ta có SH = pt. 3. 4 √ 32 2. = 2, d(H, CD) = HD =. 2 và X = d(H, SCD)2 là nghiệm 2. 1 1 4 solve = + 2 −−−→ X = . X 4 9 4 3. Vậy h = .a. Ví dụ 6. Cho lăng trụ ABCD.A0 B 0 C 0 D0 có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 60◦ . Biết A0 .ABD là hình chóp đều, tính theo a thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ A0 đến mặt phẳng (BB 0 D0 D).. Giải. Gọi H là trọng tâm của tam giác đều ABD thì ta có A0 H ⊥ (ABD) do A0 .ABD là hình chóp đều. Gọi E = AC ∩ BD và lấy K ∈ AC sao cho A0 EKH là hình chữ nhật, ta có AO = 32 .KO và EK ⊥ (ABCD). Ta có d(A, (BB 0 D0 D)) = d(A0 , (BB 0 D0 D)) do AA0 k (BB 0 D0 D). Mà theo (8), d(A, (BB 0 D0 D) AO 3 = = . 0 0 d(K, (BB D D) KO 2. Tương tự bài trên, xem a = 1 và để tính d(K, (BB 0 D0 D) ta cần có √ 2 2 3 store −−−−→ Y d(K, BD) = KO = AH = .AO = . 3 3 2 store. Tiếp tục EK = A0 H = Y. tan 60◦ −−−−→ M , solve pt 1 1 2 12 = + X M Y trong đó (S; ∆) là mặt phẳng đi qua S và chứa ∆, và chỉ có những mặt phẳng có đặc điểm như vậy mới có thể áp dụng công thức trên.. ThS. Trần Lê Quyền, Quận 6 - 0122 667 8435. 5.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Trần Lê Quyền - Bùi Hùng Vương 3 4. thu được X = 14 . Khoảng cách cần tìm tính theo a bằng .a Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với BC = a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 30◦ . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD.. Giải. Gọi H là trung điểm AB , ta có SH ⊥ (ABCD). Xem a = 1 và đặt BH = x ta có √ √ 3 x 3 SH 1 store ⇔ =√ tan 30 = ⇒ x = √ −−−−→ A 2 CH 3 2 2 1+x ◦. Với E là điểm sao cho AEBO là hình bình hành, ta có d(SA, BD) = d(B, (SAE)) = 2.d(H, (SAE)) √ SABD 3 store −−−−→ B , vậy d(H, (SAE))2 = X cho bởi Ta có d(H, AE) = d(H, BD) = = BD 3 1 12 1 2 solve 3 = +√ −−−→ X = X B 17 3A. r Vậy d(SA, BD) = 2. 3 .a. 17. Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA ⊥ (ABCD), SA = a và M là trung điểm của cạnh SD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và BC.. ThS. Trần Lê Quyền, Quận 6 - 0122 667 8435. 6.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Trần Lê Quyền - Bùi Hùng Vương. Giải. Gọi N là trung điểm CD, ta có BC k (OM N ) nên d(BC, OM ) = d(BC, (M N O)) = d(C, (M N O)) =. 3.VM.ON C SM N O. Trong đó, VS.ABCD = 16.VM ON C do VS.ABCD SD SABCD 1 1 = . = . VM ON C M D SON C 2 8. và SM N O = 14 .SSBC do ∆M N O ∼ ∆CSB với tỉ số đồng dạng bằng 2. Bạn đọc hãy tự tính lấy VS.ABCD và SSBC để kết thúc bài toán.. Bài tập Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang cân với BC k AD. Biết SA = √ a 2, AD = 2a, AB = BC = CD = a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm cạnh AD. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. √. 3 3 .a A. 2. √. √ 3 3 3 C. .a 4. 3 3 B. .a 3. √. D.. 3 3 .a 4. Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có (SAC) ⊥ (ABCD). Biết B và D cách đều (SAC) và thể tích khối chóp S.ABCD bằng 2. Tính thể tích V của khối tứ diện SABC. A. V = 1. B. V =. 1 2. C. V =. 3 4. D. V =. 2 3. Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Biết thể tích khối lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 bằng 1. Tính thể tích khối tứ diện B 0 ABC . A.. 2 5. B.. 1 4. C.. 1 3. D.. 1 2. Câu 4. Nếu tăng chiều dài tất cả các cạnh của một tứ diện lên 2 lần thì thể tích tứ diện tăng mấy lần? A. 4 lần. B. 8 lần. C. 16 lần. D. 24 lần. Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA = SC = a và SA ⊥ (ABC). Gọi M là trung điểm SC, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MB và AC. A.. √. √. 3.a. 3 B. .a 2. C.. √. √ 2.a. D.. 2 .a 2. Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang nội tiếp đường tròn (C) tâm I. Cho biết AB k CD, AB = 2CD và ∠BAD = 45◦ . Gọi V là thể tích của khối ThS. Trần Lê Quyền, Quận 6 - 0122 667 8435. 7.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Trần Lê Quyền - Bùi Hùng Vương. chóp S.ABCD, V 0 là thể tích khối nón có đỉnh S và đáy là hình tròn (C). Tính tỉ số V . V0. A.. 1 5π. B.. 2 5π. C.. 3 5π. D.. 4 5π. Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ∠BAD = 60◦ . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên (ABCD) trùng với hình chiếu vuông góc của C lên đường thẳng AD. Góc giữa SA và (ABCD) bằng 60◦ , tính thể tích V của khối chóp S.AHCB . 3 8. 3 4. A. .a3. 9 4. B. .a3. 9 8. C. .a3. D. .a3. Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với BC = a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 30◦ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD. √. 3 3 A. V = .a 8. √ 2 3 3 B. V = .a 5. √ 4 3 3 C. V = .a 5. √. D. V =. 3 3 .a 4. Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = √ a 3 và (SAB) ⊥ (ABCD). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD). √ 3 5 A. .a 5. √ 4 5 B. .a 5. C.. a 2. D. a. Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a. Các mặt bên là các tam giác cân tại đỉnh S. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc 60◦ . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BC . r √ √ √ 3 2 3 3 A. d = .a B. d = .a C. d = .a D. d = 3.a 10. 5. 2. Câu 11. Cho hình trụ (T ) và mặt phẳng (P ) cố định, hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (Q) thõa mãn: • (Q) song song hoặc trùng với (P ) và • (Q) chia hình trụ (T ) thành hai phần có thể tích bằng nhau,. A. 1 mặt phẳng. B. 2 mặt phẳng. C. 3 mặt phẳng. D. 4 mặt phẳng. Câu 12. Cho hình nón (N ) và đường thẳng ∆ không cùng phương với trục của hình nón (N ). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P ) thỏa mãn: • (P ) song song hoặc chứa ∆ và ThS. Trần Lê Quyền, Quận 6 - 0122 667 8435. 8.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Trần Lê Quyền - Bùi Hùng Vương • (P ) chia hình nón (N ) thành hai phần có thể tích bằng nhau.. A. 1 mặt phẳng. B. 2 mặt phẳng. C. 3 mặt phẳng. D. 4 mặt phẳng. Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông có độ dài cạnh bằng 2a. Tam giác SAB vuông tại S và (SAB) ⊥ (ABCD). Biết ∠(SC, (ABCD)) = ∠(SD, (ABCD)). Tính thể tích khối chóp S.ABCD. A. 4.a3. 4 3. B. 2.a3. C. .a3. D. a3. Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Tam giác SAB cân tại S và (SAB) ⊥ (ABCD). Cho biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 60◦ , tính góc giữa (SCD) và (ABCD). r r √ √ 15 15 3 A. arctan B. arctan C. arctan 6 D. arctan 2. 2. 4. Câu 15. Cho hình lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 có diện tích mặt bên ABB 0 A0 bằng 8, khoảng cách giữa CC 0 và (ABB 0 A0 ) bằng 6. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 . A. V = 16. B. V = 24. C. V = 36. D. V = 48. Câu 16. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên các. SA0 1 SC 0 = , = SA 3 SC phẳng (α) đi qua A0 , C 0 và cắt các đoạn SB, SD lần lượt tại B 0 , D0 . Tính giá. đoạn thẳng SA, SC lần lượt lấy các điểm A0 , C 0 , sao cho. 1 . Mặt 5. trị nhỏ. nhất của tỷ số thể tích giữa hình chóp S.A0 B 0 C 0 D0 và S.ABCD. 1 A. 15. 1 B. 30. √. 4 C. 15. D.. 15 16. Câu 17. Xét một hình trụ nội tiếp trong hình nón như hình bên dưới, trong đó S là đỉnh hình nón, O là tâm đường tròn mặt đáy. Các đoạn AB, CD lần lượt là đường kính của đường tròn đáy của hình nón và hình trụ; AC, BD cắt nhau tại điểm M ∈ SO. SM 4 . Biết rằng tỷ số thể tích của hình trụ và hình nón là . Tính tỷ số 9. ThS. Trần Lê Quyền, Quận 6 - 0122 667 8435. 9. SO.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Trần Lê Quyền - Bùi Hùng Vương. A.. 7 9. B.. 2 3. C.. 4 5. D.. 5 9. Câu 18. Gọi V là thể tích của khối chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm BC , tính thể tích khối chóp S.ABM theo V . A.. V 3. B.. V 4. C.. V 6. D.. V 8. Câu 19. Cho hình chóp S.ABC với G là trọng tâm của tam giác SBC . Mặt phẳng (P ) đi qua hai điểm A, G và song song với BC chia khối chóp thành hai phần có tỉ số thể tích bằng bao nhiêu? A.. 4 5. B.. 1 2. C.. 4 9. D.. 3 4. Câu 20. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc 1 giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là α thoả mãn cos α = . Mặt phẳng (P ) qua AC và 3. vuông góc với mặt phẳng SAD chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau A. 0, 11. B. 0, 13. C. 0, 7. D. 0, 9. Câu 21. Cho tứ diện ABCD, gọi M N P lần lượt thuộc BCBDAC sao cho BC = 4BM, BD = 2BN, AC = 3AP . Mặt phẳng (M N P ) cắt AD tại Q. Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia bởi mặt phẳng (M N P ). A.. 2 3. B.. 7 13. C.. 5 13. D.. 1 3. Câu 22. Một tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của một hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón đó. Xác định diện tích xung quanh của hình nón.. ThS. Trần Lê Quyền, Quận 6 - 0122 667 8435. 10.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Trần Lê Quyền - Bùi Hùng Vương √ πa2 3 A. 3. √ πa2 3 B. 2. C.. πa2. √ 3. √ πa2 3 D. 6 √. Câu 23. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; R) và (O0 ; R), OO0 = R 2. Xét hình nón có đỉnh là O0 và đáy là hình tròn (O; R). Tính tỉ số của diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón. √ 2 6 A. 3. √ 2 3 B. 3. √ 2 2 C. 3. √. 6 3. D.. Câu 24. Biết thể tích của khối lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 bằng V , tính thể tích khối tứ diện A0 .ABC 0 theo V . A.. V 4. B. 2V. C.. V 2. D.. V 3. Câu 25. Cho hình khối lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 và M là trung điểm của CC 0 . Gọi khối đa diện (H) là phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A0 B 0 C 0 sau khi cắt bỏ khối chóp M.ABC . Tính tỉ số thể tích của (H) và khối chóp M.ABC . A.. 1 6. B. 6. C.. 1 5. D. 5. Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Gọi P là trung điểm của SC , một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD, SB lần lượt tại V1 M, N . Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.AM P N . Tìm giá trị nhỏ nhất của . V. A.. 3 8. B.. 1 3. ThS. Trần Lê Quyền, Quận 6 - 0122 667 8435. C.. 11. 2 3. D.. 1 8.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>