TOAN BO LY THUYET LOP 12

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (799.09 KB, 29 trang )

(1)GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 0 – ÔN TẬP CÁC CÔNG THỨC. CHƯƠNG 1 : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ I – TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Ñinh nghóa: Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) Haøm soá f nghòch bieán treân K ⇔ (∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) 2. Ñieàu kieän caàn: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I 3. Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghòch bieán treân I. c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f không đổi trên I. Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. II – CỰC TRỊ HÀM SỐ I. Khái niệm cực trị của hàm số Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D ⊂ R) và x0 ∈ D. a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x0 ∈ (a; b) sao cho f(x) < f(x0), với ∀x ∈ (a; b) \ {x0}. Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f. b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x0 ∈ (a; b) sao cho f(x) > f(x0), với ∀x ∈ (a; b) \ {x0}. Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f. c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f. II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f′ (x0) = 0. Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị 1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0}. BẢNG CÁC QUY TẮC ĐẠO HAØM CƠ BẢN. (C ) ' = 0. ( u ± v ) ' = ( u ) '± ( v ) '. ( u.v ) ' = ( u ) '.v + u. ( v ) '.  u  (u) ' v − u ( v) '  ' = v2 v. y=. a b c d. ax + b ⇒ y' = 2 cx + d ( cx +d). 2. y=. ax +bx+c a' x2 +b' x+c'. ⇒y' =. a b 2 a c b c x +2 x+ a' b' a' c' b' c'. (a'x +b' x+c') 2. 2. BẢNG ĐẠO HAØM CÁC HAØM SỐ THƯỜNG GẶP. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 1. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 2.

(2) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tieåu taïi x0. b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0. 2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f′ (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0. a) Nếu f′′ (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0. b) Nếu f′′ (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0. III – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HAØM SỐ 1. Ñònh nghóa: Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D ⊂ R).  f ( x) ≤ M , ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = M. a) M = max f ( x) ⇔  D.  f ( x) ≥ m, ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m. b) m = min f ( x) ⇔  D. 2. Tính chaát: a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì max f ( x) = f (b), min f ( x) = f ( a) . [ a;b ]. [ a;b]. b) Neáu haøm soá f N/bieán treân [a; b] thì max f ( x) = f (a), min f ( x) = f (b) . [ a;b ]. [ a;b ]. IV – ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HAØM SỐ 1. Ñònh nghóa: • Đường thẳng x = x0 đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:. lim f ( x) = +∞ ;. x → x0+. lim f ( x) = −∞ ;. x → x0+. lim f ( x) = +∞ ;. x → x0−. lim f ( x) = −∞. x → x0−. • Đường thẳng y = y0 đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:. lim f ( x) = y0 ;. x →+∞. lim f ( x) = y0. x →−∞. • Đường thẳng y = ax + b, a ≠ 0 đgl đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả maõn: lim [ f ( x) − (ax + b)] = 0 ; x →+∞. lim. x →−∞. [ f ( x) − (ax + b)] = 0. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 3. 2. Chuù yù: a) Neáu y = f ( x) =. P( x) là hàm số phân thức hữu tỷ. Q( x). • Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x = x0 . • Nếu bậc(P(x)) ≤ bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang. • Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên. b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thức sau: f ( x) ; b = lim [ f ( x) − ax ] x →+∞ x x →+∞ f ( x) hoặc a = lim ; b = lim [ f ( x) − ax ] x →−∞ x x →−∞ a = lim. V – KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VAØ VẼ ĐỒ THỊ HAØM SỐ 1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số • Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá. • Xét sự biến thiên của hàm số: + Tính y′. + Tìm các điểm tại đó đạo hàm y′ bằng 0 hoặc không xác định. + Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số. • Vẽ đồ thị của hàm số: + – Tính y′′. – Tìm các điểm tại đó y′′ = 0 và xét dấu y′′. + Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị. + Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn. + Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị. 2. Haøm soá baäc ba y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0) : • Taäp xaùc ñònh D = R. • Đồ thị luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. • Các dạng đồ thị:. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 4.

(3) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. a>0 y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät ⇔ ∆’ = b2 – 3ac > 0. ax + b (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) : cx + d d • Taäp xaùc ñònh D = R \ − . c d a • Đồ thị có một TCĐ là x = − và một TCN là y = . c c. 4. Haøm soá nhaát bieán y =. a<0. y. { }. y. I 0. 0. x. x. I. Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. • Các dạng đồ thị: y. y. y’ = 0 coù nghieäm keùp ⇔ ∆’ = b2 – 3ac = 0 0. y’ = 0 voâ nghieäm ⇔ ∆’ = b2 – 3ac < 0. y I. I. 0. ad – bc > 0. 0. x. x. 5. Hàm số hữu tỷ y =. { }. • Taäp xaùc ñònh D = R. • Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng. • Các dạng đồ thị: y. y’ = 0 coù 3 nghieäm p/bieät ⇔ ab < 0. a>0. • Đồ thị có một tiệm cận đứng là x = −. y. x. x. y. y′ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät. y. 0. x. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. b' vaø moät tieäm caän xieân. a'. Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. • Các dạng đồ thị: a.a′′ > 0 a.a′′ < 0. a<0. 0 0. ad – bc < 0. ax 2 + bx + c : a'x +b' b' • Taäp xaùc ñònh D = R \ − . a'. x. 3. Haøm soá truøng phöông y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) :. y’ = 0 chæ coù 1 nghieäm. 0. x. y. 0. Trang. x. 5. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 6.

(4) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12 y. y′ = 0 voâ nghieäm. 0. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. y. x. 0. x. V – MỘT SỐ BAØI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HAØM SỐ 1. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ 1. Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x). Để tìm hoành độ giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2) ta giaûi phöông trình: f(x) = g(x) (*) (goïi laø phương trình hoành độ giao điểm). Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị. 2. Đồ thị y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt ⇔ Phöông trình ax3 + bx 2 + cx + d = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät. ⇔ Hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d có cực đại, cực tiểu và yCĐ . yCT < 0 . 2. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PT BẰNG ĐỒ THỊ • Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) Soá nghieäm cuûa (1) = Soá giao ñieåm cuûa (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x) Nghiệm của (1) là hoành độ giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) • Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau: Daïng 1: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m (1) y (C) Khi đó (1) có thể xem là PT hoành độ (d) : y = m m A c. giao điểm của hai đường: yCÑ c. (C): y = f(x) , d: y = m • d cùng phương với trục hoành. • Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số xA x giao điểm của (C) và d. Từ đó suy ra yCT soá nghieäm cuûa (1) Daïng 2: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = g(m) (2) Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k. Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 7. Daïng 3: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = kx + m (3) (k: không đổi) y d1 Khi đó (3) có thể xem là phương trình y = kx hoành độ giao điểm của hai đường: b1 c.d (C): y = f(x), d: y = kx + m d2 • Vì d có hệ số góc k không đổi M1 nên d cùng phương với đường thẳng y = kx vaø caét truïc tung taïi ñieåm A(0; m). O • Vieát PT caùc tieáp tuyeán d1, d2, … x M2 cuûa (C) coù heä soá goùc k. m (C) A • Dựa vào các tung độ gốc m, b1, b2, … của d, d1, d2, … để biện luận. Daïng 4: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m(x – x0) + y0 (4) b2 Khi đó (4) có thể xem là phương trình hoành độ giao m = +∞ ∞ điểm của hai đường : y (C): y = f(x) , d: y = m(x – x0) + y0 d3 I m>0 • d quay quanh ñieåm (C) d coá ñònh M0(x0; y0). c. M (+) y0 M1 d1 • Vieát phöông trình caùc m=0 tieáp tuyeán d1, d2, … (–) IV m < 0 M2 0 cuûa (C) ñi qua M0. x0 x • Cho d quay quanh ñieåm M0 để biện luận. d2 Chuù yù: m = –∞ ∞ • Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện: α ≤ x ≤ β thì ta chỉ vẽ đồ thị (C): y = f(x) với α ≤ x ≤ β. • Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luaän theo m. 3. SỰ TIẾP XÚC CỦA 2 ĐƯỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG.. 1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M 0 ( x0 ; f ( x0 ) ) . Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M 0 ( x0 ; f ( x0 ) ) là: y – y0 = f ′(x0).(x – x0) (y0 = f(x0)) 2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp  f ( x) = g ( x)  f '( x) = g '( x). xuùc nhau laø heä PT sau coù nghieäm: . GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. (*). Trang. 8.

(5) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó. 3. Neáu (C1): y = px + q vaø (C2): y = ax2 + bx + c thì (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau ⇔ phöông trình ax 2 + bx + c = px + q coù n0 keùp.. Dạng 2: Trong trường hợp ta không thể tính được toạ độ của điểm M theo tham số m mà chỉ thiết lập được một hệ thức chứa toạ độ của M thì ta tìm cách khử tham số m trong hệ thức để tìm được hệ thức daïng F(x, y) = 0. Chú ý: Nếu bài toán chỉ hỏi : Điểm M chạy trên đường nào thì ta chỉ tìm phương trình F(x, y) = 0 mà không cần tìm giới hạn của quĩ tích.. 4. HỌ ĐỒ THỊ Cho họ đường (Cm): y = f(x, m) (m là tham số). M(x0; y0) ∈ (Cm) ⇔ y0 = f(x0, m) (1) Xem (1) laø phöông trình theo aån m. Tuỳ theo số nghiệm của (1) ta suy ra số đồ thị của họ (Cm) đi qua M. • Nếu (1) n0 đúng với mọi m thì mọi đồ thị của họ (Cm) đều đi qua M. Khi đó, M được gọi là điểm cố định của họ (Cm). • Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đồ thị của họ (Cm) đi qua M.. • Nếu (1) vô nghiệm thì không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua M. 5. TẬP HỢP ĐIỂM. Bài toán: Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả tính chất α. • Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng toạ độ là tìm phương trình của tập hợp điểm đó. Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M. 1) Tìm điều kiện (nếu có) của tham số m để tồn tại điểm M. 2) Tính toạ độ điểm M theo tham số m. Có các trường hợp xảy ra: Trường hợp 1:.  x = f ( m) M  y = g ( m). Khử tham số m giữa x và y, ta có một hệ thức giữa x, y độc lập với m có daïng: F(x, y) = 0 (goïi laø phöông trình quó tích) Trường hợp 2:. 6. HAØM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài toán: Vẽ đồ thị của hsố y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị. • Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối. • Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối. • Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định. Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị. Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x) . Đồ thị (C′) của hàm số y = f ( x) có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm soá y = f(x) nhö sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành. + Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua Ox. + Đồ thị (C′) là hợp của hai phần trên.. ( hso) x = a  y = g ( m). M. Khi đó điểm M nằm trên đường thẳng x = a. Trường hợp 3:.  x = f ( m) (hso) y = b. M. Khi đó điểm M nằm trên đường thẳng y = b. 3) Giới hạn quĩ tích: Dựa vào điều kiện (nếu có) của m (ở bước 1), ta tìm được điều kiện của x hoặc y để tồn tại điểm M(x; y). Đó là giới hạn của quĩ tích. 4) Kết luận: Tập hợp các điểm M có phương trình F(x, y) = 0 (hoặc x = a, hoặc y = b) với điều kiện của x hoặc y (ở bước 3).. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 9. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 10.

(6) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12 Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y = f ( x ) . Đồ thị (C′) của hàm số y = f ( x ) có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm soá y = f(x) nhö sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục Oy, bỏ phần bên trái trục Oy. + Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung. + Đồ thị (C′) là hợp của hai phần trên.. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12 GIẢI TÍCH 12 - CHƯƠNG 2 : HAØM SỐ LŨY THỪA – HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOGARIT I – LŨY THỪA 1. Bảng định nghĩa luỹ thừa Soá muõ α Cô soá a Luỹ thừa aα * α n a∈R α = n∈N a = a = a.a......a (n thừa số a) α =0 a≠0 aα = a 0 = 1 aα = a − n =. m (m ∈ Z , n ∈ N * ) n. a>0. aα = a n = a m ( n a = b ⇔ b n = a). α = lim rn (rn ∈ Q, n ∈ N * ). a>0. aα = lim a rn. α=. 7. ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ. n. α. aα a •  = α b b. = aα − β. •a .a = a. •. • (aα ) β = aα .β. • (ab)α = aα .bα. aβ. BẤT ĐẲNG THỨC:. Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên. • Phaân tích y =. an. m. 2. Bảng tính chất của luỹ thừa ĐẲNG THỨC : Với a > 0, b > 0 : aα α β α +β. Tìm điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ y =. 1. a≠0. α = −n ( n ∈ N * ). P( x) có toạ độ là số nguyên: Q( x). P( x) a thaønh daïng y = A( x) + , Q( x) Q ( x). A>1. aα > a β ⇔ α > β. 0<a<1. aα > a β ⇔ α < β. Với 0 < a 0 ; a m > bm ⇔ m < 0 Chuù yù: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a khác 0. + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a>0 3. Định nghĩa và tính chất của căn thức. với A(x) là đa thức, a là số nguyên. x ∈ ⇔ Q(x) là ước số của a. Từ đó ta tìm các giá trị y ∈. • Khi đó . x nguyên để Q(x) là ước số của a.. • Caên baäc n cuûa a laø soá b sao cho b n = a . • Với a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈ Z ta có:. • Thử lại các giá trị tìm được và kết luận.. n. n. ab = n a .n b. n. p. a p = ( n a ) (a > 0). p q = thì n m. n. ap =. m. a = b. mn. a q (a > 0). n. a. n. b. (b > 0) ;. a = mn a. Ñaëc bieät. n. a=. mn. am. • Neáu n laø soá nguyeân döông leû vaø a < b thì n a < n b . Neáu n laø soá nguyeân döông chaün vaø 0 < a (7) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12 III – HAØM SỐ MŨ – HAØM SỐ LŨY THỪA – HAØM SỐ LOGARIT 1. Khaùi nieäm a) Hàm số luỹ thừa y = xα (α là hằng số). n. Chú ý:+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu a . + Khi n chẵn, mỗi số a>0 có đúng 2 căn bậc n là hai số đối nhau. 4. Công thức lãi kép Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì. Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: C = A(1 + r ) N II - LOGARIT 1. Ñònh nghóa • Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 ta có: log a b = α ⇔ a = b α. a > 0, a ≠ 1 b > 0. n. (với e = lim  1 +  ≈ 2, 718281 ) 2. Tính chaát • log a 1 = 0. • log a a = 1. y=x. D=R. y = xn. D = R \ {0}. α là số thực không nguyên. y = xα. D = (0; +∞). b) Haøm soá muõ y = a x (a > 0, a ≠ 1).. • Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b = log e b 1 n. α = n (n nguyeân döông) α = n (n nguyên âm hoặc n = 0). Chú ý: Hàm số y = x n không đồng nhất với hàm số y = n x (n ∈ N *) .. lg b = log b = log10 b.  . Taäp xaùc ñònh D. n. 1. Chuù yù: log a b coù nghóa khi  • Logarit thaäp phaân:. Haøm soá y = xα. Soá muõ α. • log a a b = b. • a log a b = b (b > 0). • Cho a > 0, a ≠ 1, b, c > 0. Khi đó: + Neáu a > 1 thì log a b > log a c ⇔ b > c. • Taäp xaùc ñònh: D = R. • Taäp giaù trò: T = (0; +∞). • Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. • Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. • Đồ thị: y. y=ax. y. y=ax. + Neáu 0 < a < 1 thì log a b > log a c ⇔ b < c 1. 3. Caùc qui taéc tính logarit Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có: • log a (bc) = log a b + log a c. c. a>1. 1 log b a. 0<a<1. c) Haøm soá logarit y = log a x (a > 0, a ≠ 1). 4. Đổi cơ số Với a, b, c > 0 và a, b ≠ 1, ta có:. • log a b =. x. x. b • log a   = log a b − log a c. • log a bα = α log a b. log c • log b c = a log a b. 1. • Taäp xaùc ñònh: D = (0; +∞). • Taäp giaù trò: T = R. • Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. • Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. • Đồ thị:. hay log a b.log b c = log a c • log aα c =. 1. α. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. log a c (α ≠ 0). Trang. 13. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 14.

(8) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12 IV – PHÖÔNG TRÌNH MUÕ 1. Phöông trình muõ cô baûn:. y. y. y = logaa. y=logax. b > 0 ax = b ⇔   x = log a b. 2. Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình muõ a) Ñöa veà cuøng cô soá: Với a > 0, a ≠ 1: a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x). x. 1. x. O 1. Với a > 0, a ≠ 1:. O. Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: a M = a N ⇔ (a − 1)( M − N ) = 0. 0<a<1. a>1. b) Logarit hoá: c) Ñaët aån phuï:. 2. Giới hạn đặc biệt • lim (1 + x →0. 1 x) x. a f ( x ) = b g ( x ) ⇔ f ( x) = ( log a b ) .g ( x). x.  1 = lim  1 +  = e x →±∞  x. ln(1 + x) ex −1 • lim = 1 • lim =1 x →0 x →0 x x. 3. Đạo hàm :. t = a f ( x ) , t > 0 , trong đó P(t) là đa thức theo t.  P(t ) = 0. • Daïng 1: P(a f ( x ) ) = 0 ⇔ . • Daïng 2: α a 2 f ( x ) + β (ab) f ( x ) + γ b 2 f ( x ) = 0 a Chia 2 veá cho b 2 f ( x ) , roài ñaët aån phuï t =  . f ( x). b. • ( xα )′ = α xα −1 ( x > 0) ; Chuù y ù:. 1. ( n x )′ =. n. n x x )′. n −1. ( uα )′ = α uα −1.u ′. • Daïng 3: a.  với x > 0 nếu n chẵn    =>  với x ≠ 0 nếu n lẻ  u )′. =>. (a. =>. ( eu )′ = eu .u′. =>. ( log a u )′ =. ( ln x )′ = 1 (x > 0) =>. ( ln u )′ = u′. • (a. = a x ln a. ( e x )′ = e x ; • ( log a x )′ = x. 1 x ln a. ( n u )′ =. n u. +b. f ( x). = m , với ab = 1 . Đặt t = a. f ( x). ⇒ b f ( x) =. 1 t. d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Xeùt phöông trình: f(x) = g(x) (1) • Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1). • Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 laø nghieäm duy nhaát: • Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f (u ) = f (v) ⇔ u = v. u′ n. f ( x). n −1. = a u ln a.u′. u′ u ln a. e) Ñöa veà phöông trình caùc phöông trình ñaëc bieät A = 0. • Phöông trình tích A.B = 0 ⇔  B = 0. u. A = 0 B = 0. • Phöông trình A2 + B 2 = 0 ⇔ . f) Phương pháp đối lập : Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)  f ( x) ≥ M  g ( x) ≤ M. Nếu ta chứng minh được: . GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 15. thì.  f ( x) = M  g ( x) = M. (1) ⇔ . GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 16.

(9) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. V – PHÖÔNG TRÌNH LOGARÍT 1. Phöông trình logarit cô baûn Với a > 0, a ≠ 1: log a x = b ⇔ x = a b. VIII – BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARÍT • Khi giaûi caùc baát phöông trình logarit ta caàn chuù yù tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá logarit.. 2. Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình logarit a) Ñöa veà cuøng cô soá Với a > 0, a ≠ 1:. b) Mũ hoá Với a > 0, a ≠ 1:. log a f ( x) = b ⇔ a log a. f ( x). = ab. c) Ñaët aån phuï d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số e) Ñöa veà phöông trình ñaëc bieät f) Phương pháp đối lập Chuù yù: • Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa. • Với a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1: a logb c = c logb a VI – HEÄ PHÖÔNG TRÌNH MUÕ – LOGARÍT Khi giaûi heä phöông trình muõ vaø logarit, ta cuõng duøng caùc phöông phaùp giải hệ phương trình đã học như: • Phöông phaùp theá. • Phương pháp cộng đại số. • Phöông phaùp ñaët aån phuï. • …… VII – BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ • Khi giaûi caùc BPT ta caàn chuù yù tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá muõ. a f ( x) > a g ( x). a > 1   f ( x) > g ( x) > 0 log a f ( x) > log a g ( x) ⇔   0 < a < 1   0 < f ( x) < g ( x).  f ( x) = g ( x ) log a f ( x) = log a g ( x) ⇔   f ( x) > 0 (hay g ( x) > 0).  a > 1   f ( x) > g ( x) ⇔  0 < a < 1    f ( x) < g ( x). Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: log a B > 0 ⇔ (a − 1)( B − 1) > 0 ; log a A > 0 ⇔ ( A − 1)( B − 1) > 0 log a B. GIAÛI TÍCH 12 – CHÖÔNG 3 : NGUYEÂN HAØM – TÍCH PHAÂN ỨNG DỤNG I – NGUYEÂN HAØM 1. Khaùi nieäm nguyeân haøm • Cho haøm soá f xaùc ñònh treân K. Haøm soá F ñgl nguyeân haøm cuûa f treân K neáu : F '( x) = f ( x) , ∀x ∈ K • Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân K thì hoï nguyeân haøm cuûa f(x) treân K laø : ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , C ∈ R. • Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chaát. • Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phöông trình muõ : – Ñöa veà cuøng cô soá. – Ñaët aån phuï. – …. Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: a M > a N ⇔ (a − 1)( M − N ) > 0. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. • Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phöông trình logarit: – Ñöa veà cuøng cô soá. – Ñaët aån phuï. – ….. Trang. 17. ∫ f '( x)dx = f ( x) + C • ∫ [ f ( x) ± g ( x) ]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx • ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx (k ≠ 0) •. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 18.

(10) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. 3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :. • ∫ 0dx = C • ∫ dx = x + C • ∫ xα dx =. • ∫ a x dx =. • YÙ nghóa hình hoïc: Neáu haøm soá y = f(x) lieân tuïc vaø khoâng aâm treân đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị b. ax + C (0 < a ≠ 1) ln a. của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: S = ∫ f ( x)dx a. • ∫ cos xdx = sin x + C • ∫ sin xdx = − cos x + C. xα +1 + C , (α ≠ −1) α +1. 1. • ∫. • ∫ dx = ln x + C x • ∫ e x dx = e x + C. •. 1 • ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ≠ 0) a 1 • ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C (a ≠ 0) a. • •. 2. Tính chaát cuûa tích phaân. 1. dx = tan x + C cos 2 x 1 ∫ sin 2 xdx = − cot x + C 1 ax +b ax + b ∫ e dx = a e + C , (a ≠ 0) 1 1 ∫ ax + bdx = a ln ax + b + C. 4. Phöông phaùp tính nguyeân haøm a) Phương pháp đổi biến số Nếu ∫ f (u )du = F (u ) + C và u = u ( x) có đạo hàm liên tục thì:. b. 0 b. b. a. a. • ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx b. c. b. a. a. c. a b. a. a. a. a. b. • ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx. • ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx. ( ĐẢO CẬN) • Neáu f(x) ≥ 0 treân [a; b] thì. (CHEØN CAÄN). b. ∫ f ( x)dx ≥ 0. a b. b. a. a. ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx. 3. Phöông phaùp tính tích phaân a) Phương pháp đổi biến số. b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:. b. u (b ). a. u (a). ∫ f [u( x)].u '( x)dx = ∫. ∫ udv = uv − ∫ vdu II – TÍCH PHAÂN 1. Khaùi nieäm tích phaân • Cho haøm soá f lieân tuïc treân K vaø a, b ∈ K. Neáu F laø moät nguyeân hàm của f trên K thì : F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và. b. Chuù yù:. a. b. b. ∫ udv = uv a − ∫ vdu. a. ∫ f ( x)dx .. f (u )du. trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b ∈ K. b) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b ∈ K thì:. b. a. – Caàn xem laïi caùc phöông phaùp tìm nguyeân haøm. b. b. a. a. Trong tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho ∫ vdu dễ tính hơn ∫ udv .. b. ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a). a b. b. b. Moät soá tích phaân ñaëc bieät Daïng 1. Tích phaân cuûa haøm soá chaün, haøm soá leû. a. a. a. • Neáu h.soá f(x) lieân tuïc vaø laø haøm soá leû treân [-a; a] thì :. • Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:. b. • ∫ [ f ( x) ± g ( x) ]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx. • Neáu f(x) ≥ g(x) treân [a; b] thì. ∫ f [u ( x)] .u '( x)dx = F [u( x)] + C. kí hieäu laø. b. 0. • ∫ f ( x)dx = 0. ∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u)du = ... = F (b) − F (a). a. ∫. f ( x)dx = 0. −a. • Neáu h.soá f(x) lieân tuïc vaø laø h.s chaün treân [-a; a] thì. a. ∫. a. f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx. −a. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 19. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. 0. Trang. 20.

(11) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. Daïng 2. Neáu f(x) lieân tuïc vaø laø haøm chaün treân R thì: α. ∫. f ( x). dx = x −α a + 1. α. • Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d). Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:. (với α ∈ R+ và a > 0). ∫ f ( x)dx. 0. π.  π. Daïng 3. Neáu f(x) lieân tuïc treân 0;  thì  2 Để chứng minh tính chất này ta đặt:. 2. ∫. π. f (sin x)dx =. 0. t=. 2. ∫. f (cos x)dx. b. 0. π 2. ∫. a. −x. Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và f (a + b − x) = f ( x) hoặc f (a + b − x) = − f ( x) thì ñaët: t=a+b–x Ñaëc bieät, neáu a + b = π thì ñaët t=π–x neáu a + b = 2π thì ñaët t = 2π – x Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x) deã xaùc ñònh hôn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Ta thực hiện các bước nhö sau: Bước 1: Tìm hàm g(x). Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:  F ( x) + G ( x) = A( x) + C1 (*)   F ( x) − G ( x) = B( x) + C2 1 2. Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F ( x) = [ A( x) + B( x)] + C là n/hàm của f(x). III – ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1. Dieän tích hình phaúng • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], trục hoành, 3 đường thẳng x = a, x = b là:. b. a. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. b. f ( x) dx =. ∫ f ( x)dx a. Trang. a. c. d. (vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu) • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: d. Đồ thị của x = g(y), x = h(y), 2 đt : x = c, x = d là : S = ∫ g ( y ) − h( y ) dy c. 2. Theå tích vaät theå • Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với truïc Ox taïi caùc ñieåm caùc ñieåm a vaø b. S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) liên b. tục trên đoạn [a; b]. Thể tích của B la ø: V = ∫ S ( x)dx a. • Theå tích cuûa khoái troøn xoay: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) b. sinh ra khi quay quanh truïc Ox : V = π ∫ f 2 ( x)dx. CHƯƠNG IV : SỐ PHỨC I – SỐ PHỨC. Chuù yù:. ∫. d. b. c. (2). b. c. d. d. a. • Nếu trên đoạn [a; b], f(x) không đổi dấu thì :. a. c. ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx. g(y), truïc tung, y = c, y = d la ø: V = π ∫ g 2 ( y )dy. • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b], 2 đường thẳng x = a, x = b là : S = ∫ f ( x) − g ( x) dx. b. a. a. b. d. Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh trục Oy : (C): x =. (1). S = ∫ f ( x) dx. c. f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx =. 21. 1. Khái niệm số phức • Tập hợp số phức: C • Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b ∈ R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1) • z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0) z laø thuaàn aûo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0). GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 22.

(12) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. a = a ' • Hai số phức bằng nhau: a + bi = a '+ b ' i ⇔  (a, b, a ', b ' ∈ R ) b = b '. 2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) được biểu diễn bởi . điểm M(a; b) hay bởi u = (a; b) trong mp(Oxy) (mp phức). • w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0 • w ≠ 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau • Hai caên baäc hai cuûa a > 0 laø ± a • Hai caên baäc hai cuûa a < 0 laø ± − a .i 9. Phöông trình baäc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A ≠ 0 ). ∆ = B 2 − 4 AC −B ± δ , ( δ laø 1 caên baäc hai cuûa ∆) • ∆ ≠ 0 : (*) coù 2 n0 : z1,2 = 2A. • ∆ = 0 : (*) coù 1 nghieäm keùp: z1 = z2 = − 3. Cộng và trừ số phức: • ( a + bi ) + ( a '+ b ' i ) = ( a + a ') + ( b + b ') i • ( a + bi ) − ( a '+ b ' i ) = ( a − a ') + ( b − b ') i • Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi • u bieåu dieãn z, u ' bieåu dieãn z' thì u + u ' bieåu dieãn z + z’ vaø u − u ' bieåu dieãn z – z’. 4. Nhân hai số phức : • ( a + bi )( a '+ b ' i ) = ( aa '− bb ' ) + ( ab ' + ba ' ) i • k (a + bi ) = ka + kbi (k ∈ R ) 5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = a − bi z . z. • z = z ; z ± z ' = z ± z ' ; z.z ' = z.z ';  1  = 1 ; z.z = a 2 + b 2  z2  z2 • z là số thực ⇔ z = z 6. Môđun của số phức : z = a + bi. 1 z. 2. z (z ≠ 0) •. • z = 1 ⇔ z = cos ϕ + i sin ϕ (ϕ ∈ R) 11. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác Cho z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) , z ' = r '(cos ϕ '+ i sin ϕ ') : •. z r = [ cos(ϕ − ϕ ') + i sin(ϕ − ϕ ') ] z' r'. ( n ∈ N* ). • ( cos ϕ + i sin ϕ )n = cos nϕ + i sin nϕ 13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:. • z − z' ≤ z ± z' ≤ z + z'. • Số phức z = r (cosϕ + i sin ϕ ) (r > 0) có hai căn bậc hai là: ϕ ϕ ϕ ϕ  ϕ    ϕ  r  cos + i sin  & − r  cos + i sin  = r  cos  + π  + i sin  + π      2  2 2 2 2  2. z' z' z '.z z '.z • = w ⇔ z ' = wz = z ' z −1 = 2 = z z z . z z. 8. Căn bậc hai của số phức: • z = x + yi là căn bậc hai của số phức. • Mở rộng: Số phức z = r (cosϕ + i sin ϕ ) (r > 0) có n căn bậc n là: ϕ + k 2π ϕ + k 2π  n  r  cos .  x 2 − y 2 = a w = a + bi ⇔ z 2 = w ⇔  2 xy = b . GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. a b ; sin ϕ = r r • ϕ laø moät acgumen cuûa z, ϕ = (Ox, OM ) ⇔ r = a 2 + b 2 ; cos ϕ =. • [ r (cos ϕ + i sin ϕ )]n = r n (cos nϕ + i sin nϕ ) ,. 7. Chia hai số phức: • z −1 =. nghieäm cuûa (*). 10. Dạng lượng giác của số phức: • z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) (r > 0) laø daïng löông giaùc cuûa z = a + bi (z ≠ 0). 12. Công thức Moa–vrơ:. • z laø soá aûo ⇔ z = − z. . • z.z ' = z . z '. Chuù yù: Neáu z0 ∈ C laø moät nghieäm cuûa (*) thì z0 cuõng laø moät. • z.z ' = rr '.[ cos(ϕ + ϕ ') + i sin(ϕ + ϕ ')]. • z = a 2 + b 2 = zz = OM • z ≥ 0, ∀z ∈ C , z =0⇔ z=0 z z • = z' z'. B 2A. Trang. 23. n. + i sin. n.  , k = 0,1,..., n − 1 . GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 24.

(13) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. HÌNH HOÏC 12 – CHÖÔNG 0 – OÂN TAÄP HÌNH KHOÂNG GIAN 11 1/ C/m ñieåm thuoäc maët phaúng • Phöông phaùp : M Để chứng minh điểm M ∈ mp α ta chứng minh : a   . M ∈ Đường thẳng a ⇒ M ∈ mpα Đường thẳng a ⊂ mpα. Thường CM như sau:. 5/ Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy : • Phương pháp : Để chứng minh 3 đường thẳng : a, b, c đồng quy ta thực hiện các bước sau : Bước 1 : Đặt I = giao điểm của a và b. a c Bước 2 : Tìm hai mặt phẳng α và β nào đó sao cho. α. 2/Tìm giao điểm của đường thẳng và mp • Phöông phaùp : Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mp α ta thực hiện các bước sau : Bước 1 : Chọn mặt phẳng phụ β chứa đường thẳng a Bước 2 : Tìm giao tuyến ∆ của α và β. c = giao tuyeán cuûa α vaø β .  I ∈ mpα ⇒ I ∈ đường thẳng c  I ∈ mp β. α. β. ⇒ 3 đường thẳng a, b, c cùng đi qua I nên đồng qui. • Caùch khaùc :. β. M. α. Duøng ñònh lyù : “Neáu ba maët phaúng caét nhau theo ba giao tuyeán thì ba giao tuyến này // hoặc đồng quy’’ Như vậy nếu chúng ta loại trừ được khả năng // thì chúng sẽ đồng quy. 6/ CM điểm chạy trên đường thẳng cố định : • Phương pháp : Ta chứng minh điểm M chạy trên đường thẳng d giao tuyeán laø giao cuûa hai maët phaúng coá ñònh 7/ CM hai đường thẳng chéo nhau : • Phương pháp : Ta chứng minh chúng không cùng nằm trong một mặt. ∆. 3/ Tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng : • Phöông phaùp : C1 : Tìm hai ñieåm chung phaân bieät cuûa hai maët phaúng A  A , B ∈ mp α ⇒ Đường thẳng AB = mpα ∩ mpβ .  B  A , B ∈ mpβ C2 : Tìm moät ñieåm chung cuûa hai mp vaø phöông cuûa giao tuyeán α ( Giao tuyến // hoặc vuông góc với một đường thẳng cố định cho trước ) Chú ý : Khi tìm phương của giao tuyến ta cân quan tâm đến các định lý : - Hai mặt phẳng cắt nhau cùng // với một đường thẳng thì giao tuyến của hai mạt phẳng này // với đường thẳng đó . - Neáu a // (P) thì a // giao tuyeán d cuûa mp(P) vaø mp(Q) ñi qua a - Hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì các giao tuyeán naøy // 4/ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng : • Phương pháp : Để chứng minh 3 điểm : A, B, C thẳng hàng Ta chứng minh 3 điểm này cùng thuộc hai mặt phẳng A phaân bieät ( α ) vaø ( β ) ⇒ A, B, C thuoäc giao tuyeán cuûa. phẳng (dùng phương pháp chứng minh bằng phản chứng: Giả sử hai đường thẳng đó không chéo nhau. Suy luận để suy ra điều vô lý ) 8/ Chứng minh hai đường thẳng // . C1 : Dùng các quan hệ song song đã biết trong mặt phẳng. C2 : Chứng minh chúng phân biệt và cùng // với một đường thẳng thứ ba. β. a. b. C3 : Duøng ñònh lyù giao tuyeán: R. P. C Q. α. Trang. 25. a, b phaân bieät & a // c, a // c ⇒ a // b. c. B. ( α ) vaø ( β ) neân thaúng haøng. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. b. I. Bước 3 : Chứng minh : . a. Bước 3 : Gọi I = giao điểm của a và ∆ . =>I là giao điểm của đường thẳng a và mp α. (α ) ∩ ( β ) = AB   ⇒ C ∈ AB ,neân A, B, C thaúng haøng C ∈ (α ) ∩ (β ) . β. (P) // (Q), ( R) ∩ (P ) = a, ( R) ∩ (Q) = b ⇒ a // b. a. b. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 26.

(14) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. C4 : Duøng ñònh lyù giao tuyeán:. C3 : Duøng heä quaû: (P) // a, (Q) // a, (P ) ∩ (Q) = a ⇒ a // b. a. b. a. P. C5 : Duøng ñònh lyù giao tuyeán: ∆. b. 10/ Chứng minh hai mặt phẳng song song. C1 : C/m mp này chứa hai đường thẳng cắt nhau // với mặt phẳng kia. ∆. b. b. a. b. ∆ a. a, b ⊂ (Q) , a. P. P. Q. Q. P. Q. P. a. b. Q. a // (P), (Q) qua a, (P ) ∩ (Q) = b ⇒ a // b. b. caét b, a // (P) vaø b // (P). ⇒ (P ) // (Q). a. C6 : Duøng ñònh lyù giao tuyeán:. Q. // ( P). P. a // b, (P) qua a, (Q) qua b, (P ) ∩ (Q) = ∆ ⇒ ∆ // a, ∆ // b hoặc ∆ trùng với a hoặc b. Q. a. a ⊄ ( P ) , ( P ) ⊥ b, a ⊥ b ⇒ a. H. C2 : C/minh chúng phân biệt và cùng vuông góc với một đường thẳng . a. (P ) , (Q ) phaân bieät, (P ) ⊥ a, (Q) ⊥ a. P. 9/ CM : đường thẳng // với mặt phẳng. C1 : CM đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và // với một đường thaúng naèm trong maët phaúng. a. a ⊄ (P ) , b ⊂ (P ) ,. b. a // b , ⇒ a // (P ). C2 : Duøng heä quaû: Q. Q. C3 : Dùng hệ quả: Hai mặt phẳng phân biệt và cùng // với một mặt phẳng thứ ba thì // với nhau . 11/ Chứng minh hai đường thẳng vuông góc. C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.. P. .. ⇒ (P ) // (Q ). P. a. C2 : a ⊥ b ⇔ goùc (a; b) = 90o . a C3: Duøng heä quaû:. (P) // (Q), a ⊂ (Q) ⇒ a // (P ). P. b. P. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 27. a ⊥ (P)   ⇒ a ⊥ b ⇒ (P) b ⊂ ( P ). GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. // (Q). 28.

(15) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. C4: Duøng heä quaû: b. C3 : Duøng heä quaû: Q. a. b // c , a ⊥ b ⇒ a ⊥ c. c. a. (P ) ∩ (Q) = b   ⇒ a ⊥ (P ) a ⊂ (Q), a ⊥ b . b. C5 : Duøng heä quaû: a. a song song (P )  ⇒ a ⊥ b ⇒ (P) b ⊥ (P ) . b. P. // (Q). C4 : Duøng heä quaû:  (α ) ∩ ( β ) = ∆  ⇒ ∆ ⊥ (P) (α ) ⊥ (P ),( β ) ⊥ ( P ). P. C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc. C7: Duøng heä quaû: ∆ ⊥ AB, ∆ ⊥ AC => ∆ ⊥ BC ∆. ∆. (α α). B. (β β). P. 13/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc . C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông. A. C. 12/ C/m đường thẳng vuông góc mặt phẳng. C1 : Duøng ñònh lyù. a. b, c. O x. caét nhau , b, c ⊂ ( P ) , a ⊥ b, a ⊥ c ⇒ a ⊥ (P ). c. P. Khi đó: = ϕ : 0 ≤ ϕ ≤ 90o goùc ((α );(β )) = goùc (Ox; Oy) = xOy. y. ϕ. • (α ) ⊥ (β ) ⇔ ϕ = 90o α. b. • (α ) ∩ (β ) = ∆ , Ox ⊂ (α ), Ox ⊥ ∆ , Oy ⊂ ( β ), Oy ⊥ ∆. ∆. β. C2 : Duøng heä quaû:. C2 : Duøng heä quaû:. a. a ⊂ (β )  ⇒ (α ) ⊥ (β ) a ⊥ (α ) . β b. a. α. a // b , b ⊥ ( P ) ⇒ a ⊥ (P ) P. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 29. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 30.

(16) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. CAÙCH XAÙC ÑINH GOÙC 1. Góc của hai đường thẳng A a'. a. . α =(a; b). O b'. B. b. KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Choïn ñieåm O tuyø yù. Dựng qua O : a’ // a; b’ // b . Goùc (a,b) = goùc (a’,b’) = AOB Thường chọn điểm O ∈ a hoặc O ∈ b. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng M. H α Dùng: MH ⊥ (α α ), H thuéc (α α ) ta cã: d(M,(α α )) = MH. K/cách giữa hai đ/thẳng song song. 2. Goùc cuûa hai maët phaúng. Choïn ñieåm O thuoäc ∆ = ( α ) ∩ ( β ). Dựng qua O : O. OA ⊂ (α ) OB ⊂ ( β ) vaø   OA ⊥ ∆  OB ⊥ ∆. ∆ ϕ. B. ∆. ∆ 1 // ∆ 2. β. O. H. H. * . 0 ≤ ϕ ≤ 90o .. Neáu ϕ > 90o thi choïn ( α ; β ) = 180o − ϕ. α Chän ®iÓm M thuéc ∆ , dùng MH ⊥ ∆ ( H thuéc (α α )), ta cã d(∆ ∆ ,(α α )) = MH. Chän ®iÓm M trªn ∆ 1, dùng MH ⊥ ∆ 2 ( H thuéc ∆ 2) ta cã d(∆ ∆ 1,∆ ∆ 2) = MH. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α α ) // (β β ), ∆ chøa trong (α α). 3. Góc của đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chieáu cuûa noù treân maët phaúng +)Chọn điểm A thuộc đường thẳng a. +) Dựng hình chiếu B của A lên ( α ) A +) Dựng O = a ∩(α) (nếu chưa có. a ( OB laø hình chieáu cuûa a treân ( α )) +) => Goùc (a;(α )) = Goùc (OA, OB) ϕ. ∆ // (α α). ∆1. ∆2. Goùc (α , β ) = Goùc (OA, OB) = Chuù yù:. α. M. M. AOB = ϕ. A. Khoảng cách giữa mp và đ/thẳng //. ∆. β. M. H α Ta cã: d((α α ),(β β )) = d(∆ ∆ ,(α α )) = MH (M thuéc ∆ , MH ⊥ (α α ), H thuéc α ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau M. = AOB = ϕ .. A. B a' α. α. b. H. B. a. • Dùng mÆt ph¼ng (α α ) chøa b & (α α ) // a α ), M thuéc a, H thuéc (α α) • Dùng MH ⊥ (α • Dùng a' trong mÆt ph¼ng (α α ), a' // a ®−êng th¼ng a' c¾t ®−êng th¼ng b t¹i B • Dùng ∆ qua B vµ // MH, ∆ c¾t a t¹i A Khi đó: d(a,b) = d(a,(α α )) = d(M,(α α )) = MH = AB. • a vµ b chÐo nhau. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 31. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 32.

(17) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12 HÌNH HOÏC 12 – CHÖÔNG 1 : THEÅ TÍCH KHOÁI ÑA DIEÄN S 1. Thể tích của khối hộp chữ nhật : V = abc với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.. MỘT SỐ CÔNG THỨC HÌNH HỌC PHẲNG HAY DÙNG (oân toång theå) 1. Hệ thức lượng trong tam giác a) Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH. • AB 2 + AC 2 = BC 2 • AB 2 = BC.BH , AC 2 = BC.CH •. 1. =. 1. +. 1 3. với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp. 1. a b c = = = 2R sin A sin B sin C. • Công thức độ dài trung tuyến: b2 + c 2 a 2 c 2 + a 2 b2 a 2 + b2 c 2 − ; mb2 = − ; mc2 = − 2 4 2 4 2 4. 2. Các công thức tính diện tích a) Tam giaùc: 1 2. 1 2. 1 2. 1 2. 1 2. • S = a.ha = b.hb = c.hc • S = bc sin A = ca.sin B = ab sin C • S = pr • S = p ( p − a )( p − b )( p − c ). • ∆ABC vuoâng taïi A: • ∆ABC đều, cạnh a:. 2 S = AB. AC = BC. AH S=. a2 3 4. với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ 4. Moät soá phöông phaùp tính theå tích khoái ña dieän a) Tính thể tích bằng công thức • Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, … • Sử dụng công thức để tính thể tích. b) Tính theå tích baèng caùch chia nhoû Ta chia khoái ña dieän thaønh nhieàu khoái ña dieän nhoû maø coù theå deã dàng tính được thể tích của chúng. Sau đó, cộng các kết quả ta được theå tích cuûa khoái ña dieän caàn tính. c) Tính theå tích baèng caùch boå sung Ta coù theå gheùp theâm vaøo khoái ña dieän moät khoái ña dieän khaùc sao cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích. d) Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích Ta coù theå vaän duïng tính chaát sau: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B' trên Oy; C, C' trên Oz, ta đều có: A. C. G. H. B. * Boå sung : • Dieän tích xung quanh cuûa hình laêng truï (hình choùp) baèng toång dieän tích caùc maët beân • Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh với diện tích các đáy.. = 1 AC.BD S = AB.AD.sin BAD 2 1 f) Hình thang: S = ( a + b ) .h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) 2 1 g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: S = AC.BD 2. e) Hình thoi :. Trang. B1. VOABC OA OB OC = . . VOA ' B ' C ' OA ' OB ' OC '. b) Hình vuoâng: S = a2 (a: caïnh hình vuoâng) c) Hình chữ nhật : S = a.b (a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành : S = đáy × cao = AB.AD.sinBAD. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. C1. 3. Thể tích của khối lăng trụ : V = Sđáy .h. a 2 =b 2 + c2 -2bc.cosA; b 2 = c 2 + a 2 − 2ca.cos B; c 2 = a 2 + b 2 − 2ab.cos C. 1 2 abc • S= 4R. H. A1. b) Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là ma, mb, mc; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p. • Ñònh lí haøm soá cosin:. ma2 =. C A. B. AH 2 AB 2 AC 2 • AB = BC.sin C = BC.cos B = AC.tan C = AC.cot B. • Ñònh lí haøm soá sin :. h. 2. Thể tích của khối chóp : V = Sđáy .h. 33. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 34.

(18) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. HÌNH HOÏC 12 – CHÖÔNG 2 : KHOÁI TROØN XOAY I. Maët caàu – Khoái caàu: 1. Ñònh nghóa M • Maët caàu : Tập hợp các điểm M trong không R gian cách điểm O một khoảng bằng R>0 được gọi là O. 2) Hình nón: Hình nón tròn xoay là hình sinh ra bởi một tam giác vuông khi quay quanh một cạnh góc vuông. * Diện tích xung quanh: Sxq = π Rl l: độ dài đường sinh R: bán kính đường tròn đáy. 3) Khối nón : Hình nón cùng với phần trong của nó h được gọi là khối nón.. mặt cầu tâm O b/kính R. S (O; R) = {M OM = R} • Khoái caàu: V (O; R) = {M OM ≤ R}. 1 3. 2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng Cho maët caàu S(O; R) vaø maët phaúng (P). Goïi d = d(O; (P)).. h: độ dài đường cao , 2. A. M taâm H vaø baùn kính r = R 2 − d 2 . R • Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại điểm H. O ((P) ñgl tieáp dieän cuûa (S)) • Neáu d > R thì (P) vaø (S) khoâng coù ñieåm chung. Khi d = 0 thì (P) ñi qua taâm O vaø ñgl maët phaúng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R đgl đường tròn lớn. 3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng ∆. Gọi d = d(O; ∆). • Neáu d < R thì ∆ caét (S) taïi hai ñieåm phaân bieät. • Nếu d = R thì ∆ tiếp xúc với (S). (∆ đgl tiếp tuyến của (S)). • Neáu d > R thì ∆ vaø (S) khoâng coù ñieåm chung. – Giao điểm của (P) và ∆ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. II) MẶT NÓN, HÌNH NÓN, KHỐI NÓN: 1) Mặt nón: Cho hai đường thẳng ∆ và d cắt nhau tại O, và tạo thành góc α (0 < α < 900). Mặt tròn xoay sinh ra bởi đường thẳng d khi quay quanh đường thẳng ∆ gọi là mặt nón. * d: đường sinh * ∆: trục * O đỉnh * 2α: góc ở đỉnh. R B. O. R: bán kính đường tròn đáy. 2. tp. Theå tích. Trang. 2. . l =h +R * Lưu ý : III) MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ: B 1) Mặt trụ: Cho hai đường thẳng ∆ và d song song O nhau và cách nhau một khoảng bằng R . Mặt tròn xoay R A sinh bởi đường thẳng d khi quay quanh ∆ gọi là mặt trụ. * d: đường sinh * ∆: trục h 2) Hình trụ: Hình trụ tròn xoay là hình sinh ra bởi một hình chữ nhật khi quay quanh một cạnh. * Diện tích xung quanh: Sxq = 2 π Rl B' O' l: độ dài đường sinh R: bán kính đường tròn đáy. A' 3) Khối trụ: Hình trụ cùng với phần trong của nó được gọi là khối trụ. * Thể tích khối nón: V= R2 h h: độ dài đường cao R: bán kính đường tròn đáy Chú ý: đối với khối trụ h = l. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp Mặt cầu ngoại tiếp Maët caàu noäi tieáp Taát caû caùc ñænh cuûa hình ña Tất cả các mặt của hình đa diện đều Hình tiếp xúc với mặt cầu đa diện diện đều nằm trên mặt cầu Hai đường tròn đáy của hình Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và Hình truï naèm treân maët caàu mọi đường sinh của hình trụ truï Mặt cầu đi qua đỉnh và Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi Hình đường tròn đáy của hình nón đường sinh của hình nón noùn BẢNG TÓM TẮT DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Caàu Truï Noùn S xq = 2π Rh S xq = π Rl Dieän tích S = 4π R 2 S = S + 2S S = S +S. • Neáu d < R thì (P) caét (S) theo giao tuyeán laø đường tròn nằm trên (P), có. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. 1 3. * Thể tích khối nón: V= = h.Sday = π R2h .. S. 35. 4 V = π R3 3. xq. đáy. V = π R2h. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. tp. xq. đáy. 1 V = π R2h 3. Trang. 36.

(19) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12 C. 4. Tam giác ABC vuông cân tại A. ① BC = AB 2 = AC ② AB = AC = BC2. CÔNG THỨC CƠ BẢN. (ôn cụ thể từng hình) I. TAM GIÁC 1. Tam giác thường:. ①S. ∆ABC. =. 1 1 abc BC.AH = AB.AC.sin A = = pr A 2 2 4R. ∆ABM. ∆ACM. S ABCD = BC.AH = AB.AD.sin A. ∆ABC. 2. 2. 2. 2. C. 2. ∆ABC. 2. A. • Đường chéo: AC = AB 2 5. Hình thang:. C. H. 1 1 = AB.AC = AH.BC 2 2 2. 2. 2. C. 2. 2. 2. 2. 2. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. A. D. A. D. C. B. D. C. D. (AD + BC).AH 2. ① Thể tích khối lăng trụ: ② Diện tích xung quanh: ③ Diện tích toàn phần:. H. C. V = Sđáy.Chiều cao Sxq = Tổng diện tích các mặt bên Stp = Sxq + S2đáy.. 2. Hình chóp:. 2. 2. S ABCD =. B. III. CÁC HÌNH TRONG KHÔNG GIAN B 1. Hình lăng trụ:. ①S ② BC = AB + AC B H M ③ BA = BH.BC ④ CA = CH.CB ⑤ HA = HB.HC ⑥ AH.BC = AB.AC HB AB ⑦ AH1 = AB1 + AC1 ⑧ HC ⑨ AM = 21 BC = AC AB AC AB ⑩ sin B = AC ⑪ ⑫ ⑬ cos B = tan B = cot B = AB BC BC AC 2. C. B. 3. Hình chữ nhật: S ABCD = AB.AD A 4. Hình vuông: • Diện tích: S ABCD = AB2. 3. Tam giác ABC vuông tại A: ∆ABC. A. ACD đều. Khi đó S ABCD = 2SABC = 2SADC. a. B. H. D. 1 AC.BD = AB.AD.sin A 2 C = 60 0 hoặc BAC = 1200 thì các tam giác • Đặc biệt: khi ABC ABC,. 2. 3 a 3 ①S = 4 4 ② AH = canh2× 3 = a 23 => AG = 23 AH = a 33. B. S ABCD =. 2. Tam giác đều ABC cạnh a, G là trọng tâm:. ( canh ) =. B. A. 2. Hình thoi: • Diện tích:. 2. 2. A. II. TỨ GIÁC 1. Hình bình hành: Diện tích:. = p(p − a)(p − b)(p − c). G ② S = S = 12 S ③ AG = 23 AM (G là trọng tâm) B H M ④ Độ dài trung tuyến: AM = AB +2 AC − BC4 ⑤ Định lí hàm số cosin: BC = AB + AC − 2AB.AC.cos A ⑥ Định lí hàm số sin: sinaA = sinbB = sinc C = 2R A. 2. 37. ① Thể tích khối chóp: ② Diện tích xung quanh: ③ Diện tích toàn phần:. V=. 1 Sđáy.Chiều cao 3. Sxq = Tổng diện tích các mặt bên Stp = Sxq + Sđáy.. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 38.

(20) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12 3. Hình trụ: ① Diện tích xung quanh: ① Diện tích toàn phần: ① Thể tích của khối trụ : 4. Hình nón: ① Diện tích xung quanh:. S xq = 2π R.h. ①. O. Ta có: AB ⊥ (SAD). S tp = S xq + 2S đáy O'. S xq = π R.l. ① Thể tích của khối nón:. V=. Tương tự : Góc giữa cạnh bên SD và mặt bên (SAB) bằng DSA. l. I. ② Góc giữa cạnh bên SC và mặt bên (SAB) bằng α:. R. S = 4π R 2. B A. O. C - VÀI HÌNH THƯỜNG GẶP HÌNH 1 : Hình chóp S.ABCD có cạnh bên SA vuông góc với đáy, đáy ABCD là hình chữ nhật (hoặc hình vuông) 1. Đáy: ABCD là hình vuông hoặc S hình chữ nhật 2. Đường cao: SA 3. Cạnh bên: SA, SB, SC, SD 4. Cạnh đáy: AB, BC, CD, DA 5. Mặt bên: ∆SAB là tam giác vuông tại A. α A ∆SBC là tam giác vuông tại B. ∆SCD là tam giác vuông tại D. ∆SAD là tam giác vuông tại A B C. D. 6. Góc giửa cạnh bên với đáy :. α. D. A. ) (. (. B. ). = SC,SB = BSC =α ⇒ SC,(SAB). C. Tương tự : Góc giữa cạnh bên SC và mặt bên (SAD) bằng DSC. 8. Góc giữa mặt bên với mặt đáy. ① Góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABCD) bằng α: S Ta có: BC ⊥ AB tại B BC ⊥ SB tại B (?) α. (SBC) ∩ (ABCD) = BC. (. ) (. D A. B. ). = AB,SB = SBA =α => (SBC),(ABCD). C. Tương tự, góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy (ABCD) bằng SDA. ② Góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt đáy (ABCD) bằng α: S Đáy ABCD là hình chữ nhật:. =α Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABCD) là SBA Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy (ABCD) là SDA Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABCD) là SCA. Trong (ABCD), vẽ AH ⊥ BD tại H ⇒ BD ⊥ SH (?). (. ) (. ). = AH,SH = SHA =α ⇒ (SBD),(ABCD). 7. Góc giữa cạnh bên với mặt bên : (Xem tiếp trang sau). GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. S. ⇒ Hình chiếu của SC lên (SAB) là SB. 4 π R3 3. ① Diện tích mặt cầu:. C. Ta có: BC ⊥ (SAB). 5. Hình cầu: V=. ). B. 1 1 S.h = π R 2 .h 3 3. ① Thể tích khối cầu:. ) (. (. D A. = SB,SA = BSA =α ⇒ SB,(SAD). O. S tp = S xq + S đáy. α. ⇒ Hình chiếu của SB lên (SAD) là SA. V = π R 2 .h. ① Diện tích toàn phần:. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12 Góc giữa cạnh bên SB và mặt bên (SAD) bằng α: S. Chú ý:. Trang. 39. A. D. α. H B. C. Nếu AB < AD thì điểm H ở gần B hơn Nếu AB > AD thì điểm H ở gần D hơn. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 40.

(21) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12 Đáy ABCD là hình vuông: Gọi O = AC ∩ BD ⇒ AO ⊥ BD (?) ⇒ BD ⊥ SO (?). (. ) (. A. ). O. B. H. Trong mp(SAD), vẽ AH ⊥ SD tại H ⇒ AH ⊥ (SCD) (?)⇒ d[A,(SCD)] = AH. Vì AB // (SCD) (?) nên d[B,(SCD)] = d[A,(SCD)]. ③ Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). C. S. ① Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) ② Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD). D. α. = SO,AO = SOA =α ⇒ (SBD),(ABCD). 9 . Khoảng cách từ điểm – mặt. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. S. D A. B. S. Trong mp(SAB), vẽ AH ⊥ SB tại H H ⇒ AH ⊥ (SBC) (?) ⇒ d[A,(SBC)] = AH A Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) Vì AD // (SBC) (?) nên d[D,(SBC)] = d[A,(SBC)] B S Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Đáy ABCD là hình chữ nhật: • Trong (ABCD), vẽ AI ⊥ BD tại I A ⇒ BD ⊥ (SAI) (?) • Trong (SAI), vẽ AH ⊥ SI tại H ⇒ AH ⊥ (SBD) (?) B ⇒ d[A, (SBD)] = AH Chú ý: Nếu AB < AD thì điểm I ở gần B hơn Nếu AB > AD thì điểm I ở gần D hơn S Đáy ABCD là hình vuông: • Gọi O = AC ∩ BD ⇒ AO ⊥ BD (?) ⇒ BD ⊥ (SAO) (?) H • Trong (SAO), vẽ AH ⊥ SO tại H A ⇒ AH ⊥ (SBD) (?) ⇒ d[A, (SBD)] = AH O Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) B Vì O là trung điểm của AC nên d[C,(SBD)] = d[A,(SBD)]. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. C. D C. HÌNH 2 : Hình chóp S.ABCD có cạnh bên SA vuông góc với đáy, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B 1. Đáy : S Hình thang ABCD vuông tại A và B 2. Đường cao: SA 3. Cạnh bên: SA, SB, SC, SD 4. Cạnh đáy: AB, BC, CD, DA A D 5. Mặt bên: ∆SAB là tam giác vuông tại A. ∆SBC là tam giác vuông tại B. C D AB ∆SAD là tam giác vuông tại A. Chú ý: Nếu AB = BC và AD = 2BC thì AC ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (SAC) ⇒ ∆SCD vuông tại C B C 6. Góc giữa cạnh bên với đáy Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABCD): Ta có: SA ⊥ ABCD (gt) ⇒ Hình chiếu của SB lên (ABCD) là AB. ) (. (. ). = SB,AB = SBA ⇒ SB,(ABCD) Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy (ABCD) là SDA. H D. I C. Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABCD) là SCA 7. Góc giữa mặt bên với mặt đáy Góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABCD): Ta có : BC ⊥ AB tại B (?) ; BC ⊥ SB tại B (?) , (SBC) ∩ (ABCD) = BC. ) (. (. S. ). = AB,SB = SBA ⇒ (SBC),(ABCD). Góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy (ABCD):. D. Trong (ABCD), vẽ AM ⊥ CD tại M ⇒ SM ⊥ CD tại M (?) Mà (SCD) ∩ (ABCD) = CD. (. ) (. A. ). = AM,SM = SMA =α ⇒ (SCD),(ABCD). D M B. C. Chú ý: Nếu AB = BC và AD = 2BC thì AC ⊥ CD. Do đó M ≡ C. 8. Khoảng cách từ điểm đến mặt ( xem trang sau). C. 41. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 42.

(22) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. 8. Khoảng cách từ điểm đến mặt 1. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) S Trong mp(SAB), vẽ AH ⊥ SB tại H ⇒ AH ⊥ (SBC) (?) ⇒ d[A,(SBC)] = AH H 2. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) Vì AD // (SBC) (?) nên d[D,(SBC)] = d[A,(SBC)] A 3. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) • Trong (ABCD), vẽ AM ⊥ CD tại M S ⇒ CD ⊥ (SAM) (?). 7. Góc giữa mặt bên và mặt đáy Góc giữa mặt bên (SAB) và mặt đáy (ABCD): Ta có : OM ⊥ AB tại M (?) ⇒ AB ⊥ SM tại M (?). Góc giữa (SBC) và mặt đáy (ABCD)là SNO. D. C. A. D. ⇒ AH ⊥ (SCD) (?)⇒ d[A,(SCD)] = AH C. Chú ý: Nếu AB = BC và AD = 2BC thì AC ⊥ CD. Do đó M ≡ C.. 1. Đáy: ABCD là hình vuông. S. 2. Đường cao: SO 3. Cạnh bên: SA = SB = SC = SD 4. Cạnh đáy: AB = BC = CD = DA. A. 5. Mặt bên: ∆SAB,∆SBC, ∆SCD, ∆SAD là các tam giác cân tại S và bằng nhau.. B. C. 6. Góc giữa cạnh bên với đáy Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABCD): Ta có: SO ⊥ (ABCD) (? ). ) (. ). = SA,AO = SAO ⇒H/chiếu của SA lên (ABCD) là AO⇒ SA,(ABCD). Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABCD) laø SBO Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABCD) laø SCO. N. C S. H D M. O C. Hình 4 : Hình chóp S.ABC, SA vuông góc với đáy Đáy: tam giác ABC Đường cao: SA Cạnh bên: SA, SB, SC Cạnh đáy: AB, BC, CA Mặt bên: ∆SAB vuông tại A. ∆SAC vuông tại A. Chú ý: Nếu ∆ABC vuông tại B thì ∆SBC vuông tại B Nếu ∆ABC vuông tại C thì ∆SBC vuông tại C 6. Góc giữa cạnh bên và đáy. S. C. A B. 1. Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABC):. Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy (ABCD) laø SDO. (. ) (. ). = SB,AB = SBA Hình chiếu của SB lên (ABC) là AB ⇒ SB,(ABC). = SBO = SCO = SDO Chú ý: SAO → “Góc giữa các cạnh bên với mặt đáy bằng nhau” 7. Góc giữa mặt bên và mặt đáy ( xem trang sau). GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. P. O. = SNO = SPO = SQO SMO. 1. 2. 3. 4. 5.. Gọi O là tâm hình vuông ABCD ⇒ SO ⊥ (ABCD). D. M. B → “Góc giữa các mặt bên với mặt đáy bằng nhau”. D O. (. Chú ý:. Q. A. 8. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 1. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) Trong mp(ABCD), vẽ OM ⊥ CD tại M ⇒ CD ⊥ (SOM) (?) Trong mp(SOM), vẽ OH ⊥ SM tại H ⇒ d[O,(SCD)] = OH Chú ý: Điểm O cách đều các mặt bên. A 2. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Vì O là trung điểm của AC nên d[A,(SCD)] = 2d[O,(SCD)] B 3. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) Vì O là trung điểm của BD nên d[B,(SCD)] = 2d[O,(SCD)]. M. HÌNH 3 : HÌNH CHÓP TỨ GIÁC ĐỀU. Góc giữa (SCD) và mặt đáy (ABCD) là SPO Góc giữa (SAD) và mặt đáy (ABCD) là SQO. H. B. ). (. = SMO Mà (SAB) ∩ (ABCD) = AB ⇒ (SAB),(ABCD). B. • Trong (SAM), vẽ AH ⊥ SM tại H. S. 2. Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABC)là SCA. Trang. 43. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 44.

(23) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12 7. Góc giữa mặt bên (SBC) với mặt đáy (ABC) Trong (ABC), vẽ AM ⊥ BC tại M ⇒ BC ⊥ SM tại M, (SBC) ∩ (ABC) = BC. (. ) (. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. S. ). = AM,SM = SMA ⇒ (SBC),(ABC). Chú ý:. M không là trung điểm BC. C. S A. > ACB hay AB < AC Nếu 900 > ABC. M. thì M ở trên đoạn BC và gần B hơn. B. < ACB < 900 hay AB > AC Nếu ABC. thì M ở trên đoạn BC và gần C hơn Các trường hợp đặc biệt của ∆ABC Tam giác ABC vuông tại B => M ≡ B Tam giác ABC vuông tại C=> M ≡ C Tam giác ABC cân tại A (hoặc đều) => M không là trung điểm BC > 90 0 Tam giác ABC có ABC => M nằm ngoài đoạn BC và ở về phía B. C. A S. HÌNH 5 : Hình chóp tam giác đều S.ABC 1. Đáy: Tam giác ABC đều S 2. Đường cao: SO 3. Cạnh bên: SA = SB = SC = SD 4. Cạnh đáy: AB = BC = CA 5. Mặt bên : ∆SAB, ∆SBC, ∆SCA là các tam giác cân tại S và bằng nhau. Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC A ⇒ SO ⊥ (ABC) Chú ý: Tứ diện đều S.ABC là hình chóp O có đáy và các mặt bên là những tam giác đều bằng nhau.. Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC) là SAO. M. Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABC) là SBO. Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABC) là SCO. → “Góc giữa các cạnh bên với mặt đáy bằng nhau”. C. => M nằm ngoài đoạn BC và ở về phía C. = SBO = SCO SAO. Chú ý:. M. A. > 900 Tam giác ABC có ACB. 6. Góc giữa mặt bên và mặt đáy Góc giữa mặt bên (SAB) và mặt đáy (ABC):. B. 8. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. S. Ta có: OM ⊥ AB tại M (?). 1. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC). ⇒ AB ⊥ SM tại M (?). S. Trong mp(ABC), vẽ BH ⊥ AC tại H. Mà. ⇒ BH ⊥ (SAC) (?)⇒ d[B,(SAC)] = BH. = OM,SM = SMO ⇒ (SAB),(ABC). (SAB) ∩ (ABC) = AB. (. 2. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) Trong mp(ABC), vẽ CK ⊥ AB tại K. B. 6. Góc giữa cạnh bên và cạnh đáy. B. C. I. A. ⇒ CK⊥ (SAB) (?)⇒ d[C,(SAB)] = CH. H. K. C. M B. 3. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). ). O. M. Góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC)là SNO. Góc giữa mặt bên (SAC) và mặt đáy (ABC) là SPO. Chú ý:. • Trong (ABC), vẽ AM ⊥ BC tại M (?) ⇒ BC ⊥ SM tại M (?). ) (. P. A. C N. B. = SNO = SPO SMO. → “Góc giữa các mặt bên với mặt đáy bằng nhau”. • Trong mp(SAM), vẽ AI ⊥ SM tại I ⇒ d[A,(SBC)] = AI. 7. Khoảng cách từ điểm đến mặt (Xem trang sau). GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 45. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 46.

(24) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. 7. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) Trong(ABC), vẽ OM ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOM) Trong mp(SOM), vẽ OH ⊥ SM ⇒ d[O,(SAB)] = OH Khoảng cách từ C đến (SAB) Vì O là trọng tâm của ∆ABC nên. S. MC =3 MO. MC ⇒ d[C,(SAB)] = × d[O,(SAB)] MO. H C. A. = 3 d[O,(SAB)]. B HÌNH 6 : Hình chóp S.ABC có một mặt bên (SAB) vuông góc với đáy “Luôn luôn vẽ SH vuông góc với giao tuyến” Vẽ SH ⊥ AB tại H S Vì (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC) Chú ý: Tùy đặc điểm của tam giác SAB để xác định đúng vị trí của điểm H trên AB. Góc giữa cạnh SA và mặt đáy (ABC)là SAH Góc giữa cạnh SB và mặt đáy (ABC) là SBH. A. Góc giữa cạnh SC và mặt đáy (ABC) là SCH. C. S. ). 2. Góc giữa mặt bên với đáy 1. Góc giữa mặt bên (SAD) và mặt đáy (ABCD): Ta có: HA ⊥ AD (?) SH ⊥ AD (?) ⇒ AD ⊥ (SHA) ⇒ AD ⊥ SA Mà (SAD) ∩ (ABCD) = AD. S. ) (. ). C. B. C. S. HM ⊥ CD   ⇒ CD ⊥ (SHM) SH ⊥ CD . Trang. A. Mà (SCD) ∩ (ABCD) = CD. (. ) (. ). = HM,SM = SMH ⇒ (SCD),(ABCD). N. B. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. D. H. ⇒ CD ⊥ SM. A H. C. A. = SA,AH = SAH ⇒ (SAD),(ABCD). Ta có:. ⇒ BC ⊥ (SHN) , mà SN ⊂ (SHN)⇒ SN ⊥ AB. ) (. B. Trong (ABCD), vẽ HM ⊥ CD tại M. HN ⊥ BC  Vẽ HN ⊥ BC tại N. Ta có:  SH ⊥ BC . (. H. Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABCD)là SBH Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABCD)là SCH Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy (ABCD)là SDH. (. D. là SBH 3. Góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy (ABCD):. B. = HN,SN = SNH ⇒ (SBC),(ABC). ). 2. Góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABCD):. H. Góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC):. ) (. (. = SA,AH = SAH ⇒ SA,(ABCD). O. M. HÌNH 7 : Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy ABCD là hình vuông hay hình chữ nhật “Luôn luôn vẽ SH vuông góc với giao tuyến” • Vẽ SH ⊥ AB tại H S • Vì (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD) Chú ý: Tùy đặc điểm của tam giác SAB để xác định đúng vị trí của điểm H trên đường thẳng AB. 1. Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABCD): A Ta có: SH ⊥ (ABCD) (?) ⇒ Hình chiếu của SA lên (ABC) là AH. D. H. M. B 47. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. C Trang. 48.

(25) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. HÌNH 8 : Hình lăng trụ. HÌNH 9 : Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. ① Lăng trụ có:. 1. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: Là điểm cách đều các đỉnh của đáy và đỉnh của hình chóp ấy. M 2. Cách xác định tâm I: Cách 1 : Nếu A, B, C, … cùng nhìn đoạn MN I. Lăng trụ xiên. • Hai đáy // và là 2 đa giác bằng nhau • Các cạnh bên song song và bằng nhau. Cạnh bên vuông góc đáy. • Các mặt bên là các hình bình hành ① Lăng trụ đứng là lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy. theo 1 góc vuông thì A, B, C, …, M, N cùng thuộc mặt cầu có đường kính MN. N Tâm I là trung điểm MN. A Cách 2 : (Tổng quát) Dựng tâm I theo các bước: B Bước 1: Dựng trục ∆ của đáy. (vuông góc đáy tại tâm ngoại) C Bước 2: o Nếu cạnh bên SA cắt hoặc song song với ∆ thì trong mặt phẳng (SA, ∆), đường trung trực SA cắt ∆ tại I (hình a, b). o Nếu cạnh bên SA không đồng phẳng với ∆ thì mặt phẳng trung trực của SA cắt ∆ tại I. Cách 3 : I là giao của hai trục Bước 1: Dựng trục ∆1 của đáy. Bước 2: Dựng trục ∆2 của 1 mặt bên (chọn mặt bên là tam giác đặc biệt). Tâm I là giao của ∆1 và ∆2 (hình c).. Lăng trụ đứng. ① Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng, có đáy là tam giác đều ① Lăng trụ có đáy là tam giác đều là lăng trụ xiên, có đáy là tam giác đều. Đáy là đa giác đều. ① Lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng, có đáy là hình vuông. Lăng trụ đều. ① Lăng trụ có đáy là tứ giác đều là lăng trụ xiên, có đáy là hình vuông. ① Hình hộp là hình lăng trụ xiên, có đáy là hình bình hành. S. S. ∆. ① Hình hộp đứng là lăng trụ đứng, có đáy là hình bình hành ① Hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng, có đáy là hình chữ nhật. I. ① Hình lập phương là lăng trụ đứng, có đáy và các mặt bên là h/vuông.. A'. ① Lăng trụ đứng ABC.A′′B′′C′′.. Hình a Hình b 3. Tâm mặt cầu ngoại tiếp một số hình đặc biệt:. ). = AMA ' ⇒ (A'BC),(ABC). A. C. ∆2. xác định đúng vị trí của điểm M trên đường thẳng BC.. A'. B. ). = BCB' ⇒ (A'B'CD),(ABCD). B GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. D' C'. B'. D. A Trang. C. Hình c. ① Hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác ABC vuông tại B: S • Ta có BC ⊥ AB (?) ⇒ BC ⊥ SB (?). M. • Chú ý: Tùy đặc điểm của tam giác ABC để. (. I. I. B'. Vẽ AM ⊥ BC tại M ⇒ A′M ⊥ BC (?). ① Hình hộp chữ nhật ABCD.A′′B′′C′′D′′. • Góc giữa mp(A′B′CD) và mp(ABCD): Ta có: BC ⊥ CD ⇒ CD ⊥ B′C (?). A. ∆1. C'. • Góc giữa mp(A′BC) và mp(ABC):. (. A. S. = 900 (1) ⇒ SBC. I. = 90 0 (2) • Mặt khác ta có: SA ⊥ AC ⇒ SAC • Từ (1) và (2) suy ra A, B, S, C cùng thuộc mặt cầu đường kính SC. A Tâm I là trung điểm SC.. C. B 49. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 50.

(26) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. ① Hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác ABC vuông tại C: = 90 0 (1) • Ta có BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ SC ⇒ SCB = 900 (2) • Mặt khác ta có: SA ⊥ AB ⇒ SAB • Từ (1) và (2) suy ra A, C, S, B cùng thuộc mặt cầu đường kính SB. Tâm I là trung điểm SB.. S I. C. A. ① Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy và ABCD là hình chữ nhật: = 900 (?) SBC = 900 (?) SDC = 900 (?) • Ta có SAC ⇒ A, B, D cùng thuộc mặt cầu đường kính SC. Tâm I là trung điểm SC.. S. B I D A. ① Hình chóp tam giác đều S.ABC có góc B giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 450: • Ta có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 450. S. GA + GB + GC + GD = 0; OA + OB + OC + OD = 4OG. = SBO = SCO = 450 ⇒ SAO ⇒ ∆SOA, ∆SOB, ∆SOC là các A tam giác vuông cân tại O ⇒ OS = OA = OB = OC ⇒ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.. + Ñieàu kieän hai vectô cuøng phöông:. a vaø b cuøng phöông (a ≠ 0) ⇔ ∃! k ∈ R : b = ka. C. A. D. C. ① Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600: • Ta có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. B GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. 2. Sự đồng phẳng của ba vectơ • Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. • Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a , b , c , trong đó a & b không cùng phương. . . . . Khi đó: a , b , c đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R: c = ma + nb • Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý. Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R: x = ma + nb + pc. O. B. OA − kOB OM = 1− k. MA = k MB;. B S. = SBO = SCO = SDO = 450 ⇒ SAO ⇒ ∆SOA, ∆SOB, ∆SOC, ∆SOD là các tam giác vuông cân tại O ⇒ OS = OA = OB = OC = OD ⇒ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.. + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý. Ta có:. O. ① Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 450: • Ta có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 450. = SBO = SCO = SDO = 60 0 ⇒ SAO ⇒ ∆SAC, ∆SBD là các tam giác đều • Gọi I là trọng tâm ∆SAC thì I cũng là trọng tâm ∆SBD ⇒ IS = IA = IB = IC = ID ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. C. CHƯƠNG 3 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I – VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN 1. Định nghĩa và các phép toán + Qui taéc ba ñieåm : Cho ba ñieåm A, B, C baát kyø, ta coù: AB + BC = AC + Qui taéc hình bình haønh : Cho hình bình haønh ABCD, ta coù: AB + AD = AC + Qui taéc hình hoäp: Cho hình hoäp ABCD.A′B′C′D′, ta coù: AB + AD + AA ' = AC ' + Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuyø yù. Ta coù: IA + IB = 0 ; OA + OB = 2OI + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuyø yù. Ta coù: GA + GB + GC = 0; OA + OB + OC = 3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:. S. 3. Tích vô hướng của hai vectơ • Góc giữa hai vectơ trong không gian:. 0 AB = u , AC = v ⇒ (u , v ) = BAC (0 ≤ BAC ≤ 1800 ). A. I. D. • Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: + Cho u , v ≠ 0 . Khi đó: u .v = u . v .cos(u , v ) . O. . . . . + u ⊥ v ⇔ u .v = 0. C. Trang. . . . + Với u = 0 hay v = 0 . Qui ước: u.v = 0. 51. . . + u = u2. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 52.

(27) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. II – HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHONG GIAN 1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong k/gian: Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i, j, k là các vectơ đơn vị, tương ứng. • Toạ độ trung điểm M của  x + xB y A + y B z A + z B  M A ; ;   2 2 2  đoạn thẳng AB: • Toạ độ trọng tâm G của  x + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC  G A ; ;  3 3 3   tam giaùc ABC: • Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :. treân caùc truïc Ox, Oy, Oz. Heä ba truïc nhö vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz. 2. 2. . 2. .  x + xB + xC + xD y A + yB + yC + yD z A + zB + zC + zC  G A ; ;   4 4 4 . . 4.. Chuù yù: i = j = k = 1 vaø i. j = i.k = k . j = 0 .. 2.. • •. • •. Tọa độ của vectơ: a) Ñònh nghóa:. u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk • 0 = (0; 0; 0), i = (1; 0;0), j = (0;1;0), k = (0;0;1) b) Tính chaát: Cho a = (a1 ; a2 ; a3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 ), k ∈ R • ka = (ka1 ; ka2 ; ka3 ) a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) a1 = b1 • a cuøng phöông b (b ≠ 0) ⇔ a = kb (k ∈ R)  a = b ⇔ a2 = b2 a1 = kb1 a a a a = b  ⇔ a2 = kb2 ⇔ 1 = 2 = 3 , (b1 , b2 , b3 ≠ 0) 3  3 b b b3 1 2 a = kb 3  3 a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3 • a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0 a 2 = a12 + a22 + a32 • a = a12 + a22 + a22. Góc giữa 2 véctơ : . a.b. a1b1 + a2 b2 + a3b3. a .b. a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32. • cos(a , b ) = = 3.. . a3 b3. ;. a3. a1. b3. b1. ;. a1 b1. a2   = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2 b1 ) b2 . b) Tính chaát: • i , j  = k ;  j , k  = i ;  k , i  = j • [a, b] ⊥ a; [a, b] ⊥ b . . . • [a, b] = a . b .sin ( a , b ). . • AB = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A )2 + ( z B − z A )2  x A − kxB y A − kyB z A − kz B  ; ;  1− k 1− k   1− k. => M . GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 53. . c) Ứng dụng của tích có hướng: • Điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ: a, b và c đphẳng ⇔ [ a, b].c = 0. S ABCD =  AB, AD  1 S∆ABC =  AB, AC  2. • Theå tích khoái hoäp ABCD.A′′B′′C′′D′′:. Chuù yù: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0 • M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 b) Tính chaát: Cho A( x A ; y A ; z A ), B( xB ; yB ; zB ). . • a, b cuøng phöông ⇔ [a, b] = 0. • Dieän tích tam giaùc ABC:. M ( x; y; z ) ⇔ OM = ( x; y; z ) (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ). • Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tæ soá k (k≠1) ⇔ MA = k MB.  a2  a , b  = a ∧ b =   b2. • Dieän tích hình bình haønh ABCD:. . (với a , b ≠ 0 ). Tọa độ của điểm: a) Ñònh nghóa: . • AB = ( xB − x A ; yB − y A ; zB − z A ). Tích có hướng của hai vectơ: a) Ñònh nghóa: Cho a = ( a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) .. VABCD. A ' B ' C ' D ' = [ AB, AD]. AA '. • Thể tích tứ diện ABCD:. VABCD =. 1 [ AB, AC ]. AD 6. Chú ý : – Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng. – Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, c/m các vectơ cùng phương.. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 54.

(28) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. 5. Phöông trình maët caàu: • Phöông trình maët caàu (S) taâm I(a; b; c), baùn kính R: 2. 2. 2. ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c) = R. 4.. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Cho hai maët phaúng (α), (β) coù PT :. (α): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 (β): A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. 2. • PT x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 với a + b + c − d > 0 là phương. • (α), (β) caét nhau ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2. trình maët caàu taâm I(–a; –b; –c) vaø baùn kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d . III – PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG 1. Vectô phaùp tuyeán – Caëp vectô chæ phöông cuûa maët phaúng • Vectơ n ≠ 0 là VTPT của (α) nếu giá của n vuông góc với (α). • Hai vectô a , b khoâng cuøng phöông laø caëp VTCP cuûa (α) neáu caùc giá của chúng song song hoặc nằm trên (α). Chuù yù : • Neáu n laø moät VTPT cuûa (α) thì kn (k ≠ 0) cuõng laø VTPT cuûa (α). • Neáu a , b laø moät caëp VTCP cuûa (α) thì n =  a , b  laø moät VTPT cuûa (α).. • (α) // (β) ⇔. A1 B1 C1 D1 = = ≠ A2 B2 C2 D2. • (α) ≡ (β) ⇔. A1 B1 C1 D1 = = = A2 B2 C2 D2. 2. 2.. 2. 2. 2. 2. 2. Phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng 2. 2. 2. Ax + By + Cz + D = 0 với A + B + C > 0 • Neáu (α) coù PT Ax + By + Cz + D = 0 thì n = ( A; B; C ) laø 1 VTPT cuûa (α). • PTMP ñi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vaø coù moät VTPT n = ( A; B; C ) laø:. • (α) ⊥ (β) ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 5.. d ( M 0 , (α ) ) =. 1.. Các trường hợp riêng. Caùc heä soá D=0 A=0 B=0 C=0 A=B=0 A=C=0 B=C=0. PTMP (α α) Ax + By + Cz = 0 By + Cz + D = 0. Ax + Cz + D = 0 Ax + By + D = 0 Cz + D = 0 By + D = 0 Ax + D = 0. Tính chaát maët phaúng (α α) (α) đi qua gốc toạ độ O (α) // Ox hoặc (α) ⊃ Ox (α) // Oy hoặc (α) ⊃ Oy (α) // Oz hoặc (α) ⊃ Oz (α) // (Oxy) hoặc (α) ≡ (Oxy) (α) // (Oxz) hoặc (α) ≡ (Oxz) (α) // (Oyz) hoặc (α) ≡ (Oyz). 2.. Chuù yù: • Nếu trong phương trình của (α) không chứa ẩn nào thì (α) song song hoặc chứatrục tương ứng. • Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:. x y z + + =1 a b c. (α) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c). GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 55. Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B 2 + C 2. IV – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương trình tham số của đường thẳng • Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vaø coù VTCP a = (a1 ; a2 ; a3 ) :  x = xo + a1t  (d ) :  y = yo + a2t ( t ∈ R) z = z + a t o 3  x − x0 y − y0 z − z0 • Neáu a1a2 a3 ≠ 0 thì (d ) : = = a1 a2 a3. A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0. 3.. K/cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến MP (α α): Ax + By + Cz + D = 0. ñgl phöông trình chính taéc cuûa d. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d, d′ có phương trình tham số lần lượt là:.  x = x0 + ta1  x = x0′ + t ′a1′   d :  y = y0 + ta2 vaø d ′ :  y = y0′ + t ′a2′  z = z + ta  z = z ′ + t ′a ′ 0 3 0 3   a, a′ cuøng phöông    x + ta1 = x0′ + t ′a1′ • d // d′ ⇔   0 heä  y0 + ta2 = y0′ + t ′a2′ (aån t, t ′) voâ nghieäm   z + ta = z′ + t ′a′ 3 0 3   0 a, a′ cuøng phöông a, a′ cuøng phöông ⇔ ⇔  ⇔  M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∉ d ′ a, M0 M0′ khoâng cuøng phöông. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. [ a , a ′] = 0    a , M 0 M 0′  ≠ 0. Trang. 56.

(29) GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12. GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 12 vaø maët caàu (S): ( x − a )2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R 2 (2).  x0 + ta1 = x0′ + t ′a1′  • d ≡ d′ ⇔ heä  y0 + ta2 = y0′ + t ′a2′ (aån t, t ′) coù voâ soá nghieäm   z0 + ta3 = z0′ + t ′a3′ a, a′ cuøng phöông ⇔   M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d ′ ⇔ a, a′, M0 M0′ ñoâi moät cuøng phöông ⇔ [ a , a ′] =  a , M 0 M 0′  = 0  x0 + ta1 = x0′ + t ′a1′  • d, d′ cắt nhau ⇔ hệ  y0 + ta2 = y0′ + t ′a2′ (ẩn t, t′) có đúng 1 nghiệm   z0 + ta3 = z0′ + t ′a3′ a , a′ khoâng cuøng phöông [ a , a ′] ≠ 0 ⇔  ⇔  a , a′, M0 M0′ đồng phẳng [ a , a ′].M 0 M 0′ = 0 a, a′ khoâng cuøng phöông    x + ta1 = x0′ + t ′a1′ • d, d′ cheùo nhau ⇔   0 heä  y0 + ta2 = y0′ + t ′a2′ (aån t , t ′) voâ nghieäm     z0 + ta3 = z0′ + t ′a3′ ⇔ a , a′, M0 M0′ không đồng phẳng ⇔ [ a , a ′].M 0 M 0′ ≠ 0. • d ⊥ d′ 3.. . . ⇔ a ⊥ a′.  M 0 M , a  d (M , d ) = a. 6.. d (d1 , d 2 ) =. 7.. . 8.. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng Cho mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d:. Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 bằng khoảng cách giữa d1 với mặt phẳng (α) chứa d2 và song song với d1. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (α) song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến MP (α). Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP a1 , a2 . . a .a cos ( a1 , a2 ) = 1 2 a1 . a2. (*). 9.. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP a = (a1 ; a2 ; a3 ) và mặt phẳng (α) có . VTPT n = ( A; B; C ) .Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d′ của nó trên (α). sin ( d , (α ) ) =.  x = x0 + ta1  Cho đường thẳng d:  y = y0 + ta2 (1)  z = z + ta 0 3 . Trang. . [ a1 , a2 ].M1M 2 [ a1 , a2 ]. Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa a1 , a2 .. • d // (α) ⇔ (*) voâ nghieäm • d cắt (α) ⇔ (*) có đúng một nghiệm • d ⊂ (α) ⇔ (*) coù voâ soá nghieäm Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2.d1 đi qua điểm M1 và có VTCP a1 , d2 ñi qua ñieåm M2 vaø coù VTCP a2 . ⇔ a.a ′ = 0.  x = x0 + ta1   y = y0 + ta2  z = z + ta 0 3  Xeùt PT: A( x0 + ta1 ) + B( y0 + ta2 ) + C ( z0 + ta3 ) + D = 0 (aån t). 4.. 5.. Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một PT (*). • d vaø (S) khoâng coù ñieåm chung ⇔ (*) voâ nghieäm ⇔ d(I, d) > R • d tiếp xúc với (S) ⇔ (*) có đúng một nghiệm ⇔ d(I, d) = R • d caét (S) taïi hai ñieåm phaân bieät ⇔ (*) coù hai nghieäm phaân bieät ⇔ d(I, d) < R Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP a và điểm M.. 57. Aa1 + Ba2 + Ca3 2. A + B 2 + C 2 . a12 + a22 + a32. GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164. Trang. 58.

(30)

TOAN BO LY THUYET LOP 12

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về