Tuan 1 Ly Tu Trong

<span class='text_page_counter'>(1)</span>BẤT ĐẲNG THỨC I.. Kiến thức cần nhớ:  Định nghĩa: Ta gọi hệ thức có dạng a > b (hoặc a < b; a ≥ b ; a ≤ b ) là một bất đẳng thức. Để chứng minh bất đẳng thức a > b, ta xét hiệu a – b và chứng minh rằng hiệu đó là số dương.  Tính chất: 1. Tính chất bắc cầu: a>b; b>c →a>c 2. Cộng cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số: a> b→ a+ c> b+c. 3. Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số: a> b; c> 0→ ac >bc a> b; c< 0→ ac <bc. 4. Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều, được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đa cho: a> b , c> d → a+c >b+ d. 5. Trừ từng vế hai bất đẳng thức ngược chiều, được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ: a> b , c< d → a−c> b−d. 6. Tính chất đơn điệu của phép nhân: a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương: a>b , c> 0→ ac >bc. b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm và đổi chiều của bất đẳng thức: a> b , c< 0→ ac <bc 7. Nhân từng vế của bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm: a> b≥ 0 , c >d ≥ 0→ ac >bd. 8. Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức: a> b>0 → an +bn n. a> b↔ a > b. n. với n lẻ. |a|>|b|↔ an >b n với n chẵn 9. So sánh hai lũy thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương: Nếu m>n>0 thì: a>1 → am >a n m. n. a=1→ a =a m n 0< a<1→ a < b.  Đẳng thức liên qua đến trị tuyệt đối a) a2 ≥ 0≥ ;−a2 ≤ 0.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> b) |a|≥ 0. Xảy ra đẳng thức khi a = 0 c) |a|≥ a . Xảy ra bất đẳng thức khi a ≥ 0 d) |a+ b|≤|a|+|b| . Xảy ra bất đẳng thức khi ab ≥ 0 e) |a−b|≥|a|−|b| . Xảy ra đẳng thức khi ab> 0 và |a|≥|b| Bài tập:. II.. Bài 1. Chứng minh các hằng đẳng thức sau: a). a +b ≥ 2 ab. b). (a+ b)2 ≥ 4 ab. c). 1 1 4 + ≥ a b a+ b. d). a b + ≥2 b a. e). (a2 +b 2)(x 2 + y 2)≥(ax +by )2. 2. 2. (bất đẳng thức Cô – si) với a, b ¿ 0. với a, b ¿ 0 (bất đẳng thức Bu – nhi – a – cốp –. xki) Chú ý: Đây là các bất đẳng thức cơ bản, thường được dùng để chứng minh các bất đẳng thức khác. Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức: a). a +b + c ≥ ab+bc +ca. b). a +b + c +d ≥ 4 abcd. c). a2 +b 2+ c 2+ d2 + 4 ≥ 2 ( a+b+c +d ). d). 3 ( a2 +b 2+c2 ) ≥ ( a+b +c ). e). a ( a−b ) +b ( b−c ) + c ( c−a ) ≥0. f). a 4 +b4 + c 4 ≥ abc ( a+ b+c ). g). a8 +b 8 +c 8 ≥a 2 b 2 c 2 ( ab+bc +ca ). h). a +b ≥ ab. i). x 2+ xy + y 2 ≥ 0. j). a ( a+ b ) ( a+b+ c )+ b2 c 2 ≥ 0. k). ( a 2+b 2 )( a4 + b4 ) ≥ ( a 3+ b3 ). l). 8 ( a 4 +b 4 ) ≥ ( a+b ). 2. 2. 2. 4. 4. 4. 2. 4. 2. 2. 2. 4. m) (a2 +b 2)2 ≥ ab(a+ b)2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> n). a2 +b 2+ c 2 ≥ ab ( b+ c ). o). a2 +b 2+ c 2+ d2 ≥ a ( b+c +d ). p). x 4−4 x +5>0. q). 1 x 4−x + >0 2. r). 2 2 2 3 a +b + c + ≥ a+b +c 4. s). a 4 +b4 + 2≥ 4 ab. t). ( x−1 ) ( x −3 ) ( x −4 )( x−6 ) +9 ≥ 0. u). a2 + 4 b2 + 4 c 2 ≥ 4 ab−4 ac+8 bc. v). 4 a −4 a +5 a −2 a+ 1≥ 0. 4. 3. 2. 2 w) ab+ bc+ c ¿ ≥3 abc( a+b+ c). ¿. 8. 8. 3. 3. 5. 5. x). 2(a +b )≥( a +b )(a + b ). y). 3( a8 +b8 +c 8 )≥ (a3 +b 3+ c3 )(a 5+ b5 +c 5). Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau với mọi a). 2 ( a3 +b3 ) ≥ ( a+ b ) ( a2 +b2 ). b). 4 ( a3 +b 3) ≥ ( a+ b ). c). a +b ≥ a b+ a b. 3. 3. 2. a , b>0 :. 3. 2. Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau với mọi. a). bc ac ab + + ≥ a+ b+c a b c. b). ab bc ca a+ b+c + + ≤ a+b b+c c + a 2. c). 1<. d). a2 b2 a b + ≥ + b2 a2 b a. e). a2 b2 c2 + + ≥ a+ b+c b c a. f). a2 b2 c2 a+ b+c + + ≥ b+c c +a a+b 2. a b c + + <2 a+b b+c c +a. a , b , c >0 :.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 3. g). a ≥ a2 +ab−b 2 b. h). a3 b3 c 3 + + ≥ ab+bc +ca b c a. i). a b c + + ≥3 b c a. j). 8 ( a3 + b3 +c 3 ) ≥ ( a+ b ) + ( b+ c ) +(c +a)3. 3. 3. k) ( a+b ) ( b+c ) ( c+ a ) ≥ 8 abc Bài 4. Cho a , b , c. là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh. rằng: a). a2 +b 2+ c 2<2 ( ab+ bc+ ca ). b). a2 ( b+ c−a ) +b 2 ( c +a−b )+ c 2 ( a+ b−c ) ≤ 3 abc. c). a( b−c)2 +b( c−a)2 +c (a+ b)2> a3 +b3 +c 3. d). a2 ( b+ c ) +b 2 ( c + a ) +c 2 ( a+b ) ≤ a3 +b3 +c 3. e). a3 +b 3+ c 3< a2 ( b+c ) +b 2 ( c +a )+ c 2 ( a+ b ). f). a 4 +b4 + c 4−2 a 2 b 2−2 a2 c2 −2b 2 c 2 <0. g). ( a+b +c )2 ≤ 9 bc. h). |(. i). 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + a+b−c b+ c−a c+ a−b a b c. j). abc ≥ (a+b−c )(b+ c−a)(a+ c−b). k). a +b + c <2(a b + b c + c a ). với a ≤ b ≤ c. a b c a c b + + − + + <1 b c a c b a. 4. )|. )(. 4. 4. 2. Bài 5. Cho a , b , c. 2. 2 2. 2. 2. là các số dương. Chứng minh rằng:. a). 1 1 (a+ b)( + )≥ 4 a b. b). ( a+b +c ). c). 2 a b+c + ≥2 b+c 2 a. d). a b c 3 + + ≥ b+c c +a a+b 2. ( 1a + b1 + 1c ) ≥ 9.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> e). a b c a+ b b+ c c+ a 15 + + + + + ≥ b+c c +a a+b c a b 2. f). ( x+ y+ z ). g). a2 b2 c2 1 ( + + ≥ a+b+c ) b+c c +a a+b 2. h). ab bc ca 1 + + ≤ ( a+b+ c ) a+b b+c c + a 2. Bài 6. Cho. ( x +1 y + y 1+z + z +1 x )≥ 92. x , y , z ≥ 1 . Chứng minh rằng:. a). 1 1 2 + ≥ 2 2 1+ x 1+ y 1+ xy. b). 1 1 1 3 + + ≥ 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 1+ xyz. Bài 7. Cho a , b , c >0 và a+b +c=1 . Chứng minh rằng: 1 2. a). ab+ bc+ ca<. b). a +b + c ≥. c). ( 1+a ) ( 1+b ) + ( 1+b )( 1+ c ) + ( 1+ c ) ( 1+a ) >5. d). 1 1 1 + + >4 b+c c +a a+b. e). a+2 b+ c ≥ 4 (1−a)(1−b)(1−c). f). 7 ( ab+ bc+ ca ) ≤ 2+9 abc. 2. 2. 2. 1 3. Bài 8. a) Cho a , b , c >0 . Chứng minh rằng: b) Cho P=. x , y , z > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:. x y z + + y + z z+ x x + y. Bài 9. Chứng minh rằng với mọi a). x 4 ( x 2−2 x +2 ) −2 x 3 +2 x2 −2 x +1 ≥0. b). x −x + x + x −x + x + x −x +1>0. 8. −a+b+ c a−b+c a+b−c 3 + + ≥ 2a 2b 2c 2. 7. 6. 5. 4. 3. 2. x ∈ R , ta có:.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> c). x 8−x 7 + x5 −x 4 + x 3−x+ 1> 0. d). ( x+ 4 )( x +7 ) ( x+ 8 ) ( x+11 )+ 36 ≥0. e). x +x + x + x +1>0. f). x −x + x −x +1>0. g). x 8−x 7 + x2 −x+1> 0. 4. 3. 8. 7. 2. 4. Bài 10. Chứng minh các bất đẳng thức sau với mọi a). a ( a−b ) ( a−c ) +b ( b−c ) ( b−a ) +c (c−a)(c−b)≥ 0. b). a6 +b 6 +c 6 ≥a 5 b+b5 c+c 5 a. Bài 11. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là. a,b,c≥0 :. chu vi 2 p .. a,b,c. Chứng minh:. a). 1 1 1 1 1 1 + + ≥2 + + p−a p−b p−c a b c. b). abc ≥( p−a)( p−b)( p−c) 8. (. Bài 12. Cho a , b , c. ). là ba số thực thỏa mãn 0 ≤ a , b , c ≤ 1 . Chứng. minh rằng: a). a +b + c ≤ 1+ a b+b c +c a. b). 2 ( a3 +b3 + c3 ) ≤ 3+a 2 b+ b2 c+ c2 a. c). a b c + + <2 bc+1 ca+1 ab+ 1. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Bài 13. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh của tam giác là và có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng: Bài 14. Cho các số thực a , b , c Chứng minh rằng cả ba số a , b , c. a,b,c. 2 2 2 a +b + c +2 abc <2 .. thỏa mãn điều kiện. a+b+ c >0 ac+ bc+ ca>0 abc>0. {. đều dương.. Bài 15. Cho a+b +c +d=2 . Chứng minh rằng: a2 +b 2+ c 2+ d2 ≥ 1.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bài 16. Chứng minh rằng tông tại một trong các số a−b ¿2 , ( b−c )2 ,( c−a)2 ¿. không lớn hơn. a+b+ c 2. .. Bài 17. Chứng minh các bất đẳng thức sau:. a). 1 2 3 4 100 + 2 + 3 + 4 +…+ 100 <2 2 2 2 2 2. b). 1 1 1 1 1 + 3 + 3 + …+ 3 < (n∈ N ; n ≥3) 3 3 4 5 n 12. c). 1 2 3 100 3 + + + …+ 100 < 3 32 33 4 3. d). n 1 1 1 1 1< + + + …+ <2 ¿ n+ 1 n+2 n+ 3 3 n+1. e). 3 1 1 1 1 3 < + + +…+ < 5 2004 2005 2006 4006 4. nguyên dương). ---------------------- HẾT ----------------------.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>