CONG THUC TOAN GHON NHE TIEN DUNG

<span class='text_page_counter'>(1)</span>tan.cot  1. sin         k  cos   2  cos    cot     k sin  2. Cung liên kết a. Hai cung đối nhau cos()  cos  sin()   sin  b. Hai cung bù nhau sin(  )  sin  cos(  )   cos  c. Hai cung phụ nhau   sin      cos  2 . 1  tan 2  . tan  . 1  cot 2  . 1 cos2  1 sin 2 . tan()   tan  cot()   cot  tan(  )   tan  cot(  )   cot    tan      cot  2 .   cos      sin  2  d. Hai cung hơn kém nhau .   cot      tan  2 . sin(  )   sin . tan(  )  tan . cos(  )   cos . cot(  )  cot . e. Giá trị lƣợng giác của các góc đặc biệt 0.  6.  4.  3.  2. 00. 300. 450. 600. 900. sin. 0. 1 2. 2 2. 3 2. 1. cos. 1. 3 2. 2 2. 1 2. 0. tan. 0. 3 3. 1. 3. cot. 3. 3. Công thức biến đổi a. Công thức cộng sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a. sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b b. Công thức nhân đôi cos 2  cos   sin  2. 2. cos 2  2cos   1  1  2sin  2. 2. 3 3. 1. 0. tan a  tan b 1  tan a.tan b tan a  tan b tan(a  b)  1  tan a.tan b tan(a  b) . sin 2  2sin .cos  2 tan  tan 2  1  tan 2 . c. Công thức nhân ba. sin 3  3sin   4sin3 . cos3  4cos3   3cos . GV: BÙI VĂN THANH(SĐT:01689341114) – CÔNG THỨC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH. sin 2  cos2  1. d. Công thức hạ bậc 1  cos 2 sin 2   2 1  cos 2 2 cos   2 e. Công thức biến đổi tổng thành tích ab a b cos a  cos b  2cos .cos 2 2. cos a  cos b   2sin. ab a b .sin 2 2. ab a b .cos 2 2 ab a b sin a  sin b  2cos .sin 2 2 sin a  sin b  2sin. 1  cos 2 tan   1  cos 2 2. tan a  tan b . sin(a  b) cos a.cos b. tan a  tan b . sin(a  b) cos a.cos b. sin(a  b) cot a  cot b  sin a.sin b cot a  cot b . sin(b  a) sin a.sin b.     sin   cos   2.sin      2.cos     4 4  .     sin   cos   2 sin       2 cos     4 4   f. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos a.cos b  cos  a  b   cos  a  b   2 1 sin a.sin b   cos  a  b   cos  a  b   2 1 sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b   2 t ana  tan b tan a.tan b  cot a  cot b 4. Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản a. sin x  sin   x    k 2 hoặc x      k 2 (k  Z ).    k 2 ; sin x   1  x    k 2 2 2 b. cos x  cos   x     k 2 (k  Z ). ĐB: sin x  0  x  k  ; sin x  1  x .   k  ; cos x  1 x  k 2 ; cos x   1 x    k 2 2 c. tan x  tan   x    k  (k  Z ) d. cot x  cot   x    k  (k  Z ) II. TỔ HỢP – XÁC SUẤT n! 1. Hoán vị: Pn  n!  1.2.3n 2. Chỉnh hợp: Ank  (n  k )! ĐB: cos x  0  x . 3. Tổ hợp:. Cnk. n! ; Cnk  Cnn k ; Cnk  Cnk11  Cnk1  k !(n  k )!. 4. Nhị thức Newton: (a  b)  n. n. . k 0. Cnk a n  k bk. 5. Xác suất: Khoâng gian maãu : laø taäp caùc keát quaû xaûy ra của phép thử. Bieán coá A: laø taäp caùc keát quaû laøm xaûy ra A. A   n( A) Xaùc suaát cuûa bieán coá: P(A) = n ( ). HÃY ƢỚC MƠ NHỮNG ĐIỀU TỐT ĐẸP VÀ ĐỪNG BAO GIỜ LÙI BƢỚC TRƢỚC KHÓ KHĂN. CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG!. I. LƢỢNG GIÁC 1. Hệ thức cơ bản. III. DÃY SỐ 1. Cấp số cộng: (un ) laø caáp soá coäng với công sai d, ta có: un  u1  (n  1)d un+1 = un + d. uk 1  uk 1 n(u1  un ) Sn  u1  u2  ...  un  2 2 2. Cấp số nhân: (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có: uk . un+1 = un.q. un  u1.qn 1. uk2  uk 1.uk 1.  Sn  nu1  n  S  u1(1  q )  n 1 q. IV. ĐẠO HÀM 1. Công thức đạo hàm (u  v) = u  v.  u  uv  vu    v v2 (C)' = 0 (xn) = n.xn–1. với q  1 với q  1. (uv) = uv + vu (ku) = ku (x) = 1 (un) = n.un–1.u. x  1     2 x x. u  1     2 u u.  x  .  u  . 1 2 x. (sinx) = cosx (cosx) = – sinx  tan x    12 cos x.  cot x    . 1 sin 2 x. u 2 u. (sinu) = ucosu (cosu) = – usinx  tan u    u2 cos u.  cot u     u2. sin u.  e x   e x.  eu   eu .u.  a x   a x ln a.  au   au ln a.u.  ln x   1.  ln u   u. x.  loga x  .  n x  . 1 x ln a 1. n n x n 1. u   loga u   u lnu a  n u   n un 1 n u. 2. Ý nghĩa hình học : f (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M  x0 ;f(x0 ) . Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị haøm soá y = f(x) taïi M  x0 ;f(x0 ) laø: y – y0 = f (x0).(x – x0) - Nếu tiếp tuyến song song với đt y = ax + b thì f (x0) = a - Nếu tiếp tuyến vuông góc với đt y = ax + b thì a.f (x0) = -1 3. Đạo hàm cấp cao: f ''(x)   f '(x) ; f '''(x)   f ''(x) ;.  f (n) (x)  f (n 1) (x) (n  N, n  4) 4. Vi phaân: dy  df(x)  f(x).dx.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> VI. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT loga 1  0 a0  1. a a. c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I. 2. Cực đại, cực tiểu (CĐ, CT) của hàm số Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0} a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0 thì f đạt CT tại x0. b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x 0 thì f đạt CĐ tại x0. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0 ) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0. a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt CĐ tại x0. b) Nếu f (x0 ) > 0 thì f đạt CT tại x0. 3. GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. - Tính f (x). - Giải phương trình f  (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] . - Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn). - So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.. M  max f ( x)  max  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ) [a; b]. m  min f ( x )  min  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ) [a; b]. 4. Tieäm caän  Đường thẳng x  x0 đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. y  f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: lim f ( x )   ; lim f ( x )   ; lim f ( x )   ; lim f ( x )  . x  x0 . x  x0 . x  x0 . x  x0 .  Đường thẳng y  y0 đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. y  f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:. lim f ( x)  y0 ;. x . lim f ( x)  y0. x . 5. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá.  Xét sự biến thiên của hàm số: + Tính y. + Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định. + Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có). + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị cuûa haøm soá.  Vẽ đồ thị của hàm số: + Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị. + Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ. Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xaùc hôn. + Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.. GV: BÙI VĂN THANH(SĐT:01689341114) – CÔNG THỨC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH. b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại hữu hạn điểm) thì f NB trên I.. an . 1 a. log a ab  b. n. a .a  a. a a. aloga b  b.  a . . b. loga a  1. 1. a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại hữu hạn điểm) thì f ĐB trên I.. VIII. TÍCH PHÂN. loga (bc)  loga b  loga c. . a a     b b. b log a    log a b  log a c c. (ab)  a .b. loga b   loga b. (a )  a.. logb c . log a c log a b. log a b . 1 logb a. n. ab  n a .n b. n. a  b. n. ap  n a . mn. n. a. log a. nb. 1 c  log a c (  0) . ln b  loge b  e  2,718. p. lg b  log b  log10 b. a  mn a. a  b    log a b.  loga b   loga b. a M  a N   M  N  a  1  0. loga b    a  b. a  1: a  a    . loga b  loga c  b  c. 0  a  1: a  a    . a  1: loga b  loga c  b  c 0  a  1: loga b  loga c  b  c. \. VII. NGUYÊN HÀM.  0dx  C. a.  dx  x  C x. . dx . x. dx . x. a  C (0  a  1) ln a.  cos xdx  sin x  C. 1. x  C ,(  1)  1.  sin xdx   cos x  C 1. 1.  x dx  ln x  C.  cos2 x dx  tan x  C. e.  sin 2 x dx   cot x  C. x. 1. dx  e x  C 1.  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C 1  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C 1 1  cos2 ax  b dx  a tan  ax  b   C  . 1 ax b e C a 1 1  ax  b dx  a ln ax  b  C 1 1  sin 2 ax  b dx   a cot  ax  b   C  . e. ax  b. dx . HÃY ƢỚC MƠ NHỮNG ĐIỀU TỐT ĐẸP VÀ ĐỪNG BAO GIỜ LÙI BƢỚC TRƢỚC KHÓ KHĂN. CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG!. V. KHẢO SÁT VAØ VẼ ĐỒ THỊ HAØM SỐ 1. Sự đồng biến, nghịch biến (ĐB, NB) của hàm số Định lí 1: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.. 1. Định nghĩa:. b.  f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) (F là nguyên hàm của f). a. 2. Phƣơng pháp tính tích phân b. u( b ). a. u( a ). a. Phương pháp đổi biến số:  f u( x ) .u '( x )dx  Ñaëc bieät: f(x) có chứa 2. a x. . f (u)du. Cách đổi biến. 2. x  a sin t, . . . t 2 2   x  a tan t,   t  2 2. a2  x 2 x 2  a2. x.    a , t   ;  \ 0 sin t  2 2. b. Phương pháp tích phân từng phần:. b. b. b.  udv  uv a   vdu. a. a. b. Thường dùng cho tích phân có dạng: I   f ( x ).g( x )dx a. du  f '( x ) u  f ( x ) Ñaët:   dv  g( x )dx v   g( x )dx  G( x ) Thứ tự ưu tiên đặt u: “ Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” 3. Ứng dụng của tích phân  Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: Đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]; Trục hoành; Hai đường thẳng x = a, b. x = b laø: S   f ( x ) dx a.  Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: Đồ thị của cá c hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]; Hai đường thẳng b. x =a, x = b laø: S   f ( x )  g( x ) dx a. Chú ý:Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d). Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b. . a. f ( x ) dx . c. d. b. a. c. d.  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx. (vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)  Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: Đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi b. quay quanh truïc Ox laø: V    f 2 ( x )dx . a.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1. Vectơ. -  đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0):.         Góc giữa hai vectơ: Cho a, b  0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA  a,OB  b .    với 00  AOB   1800. Khi đó a, b  AOB     Đặc biệt:  a, b  = 900  a  b       Tích vô hƣớng của hai vectơ: a.b  a . b .cos  a, b  ..   2 Đặc biệt: a.a  a 2  a .    Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2). Khi đó: a.b  a1b1  a 2 b2 .  Ứng dụng của tích vô hƣớng  +) a  a12  a 22 ; Cho A(x A ; yA ), B(x B ; yB ) . Khi đó: AB  (x B  x A )  (yB  yA ) . 2.   +) cos(a, b) . a1b1  a 2 b2 a12  a 22 . b12  b22. 2.    ; a  b  a.b  0  a1b1  a 2b2  0. 2. Phƣơng trình đƣờng thẳng  Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng.  Cho đường thẳng  đi qua M0 (x 0 ; y0 ) và có VTCP u  (u1; u 2 ) ..  x  x 0  tu1 Phương trình tham số của :  (1) ( t là tham số).  y  y0  tu 2 Nhận xét:.  x  x 0  tu1 – M(x; y)     t  R:  .  y  y0  tu 2 – Gọi k là hệ số góc của  thì: + k = tan, với  là góc tạo bởi  với chiều dương trục hoành.. u + k = 2 , với u1  0 . u1  Phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng.  Cho đường thẳng  đi qua M0 (x 0 ; y0 ) và có VTCP u  (u1; u 2 ) .. x  x 0 y  y0 Phương trình chính tắc của : (2) (u1  0, u2  0).  u1 u2  Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng Phương trình: ax  by  c  0 với a 2  b2  0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. Nhận xét:.  – Nếu  có phương trình ax  by  c  0 thì  có: VTPT là n  (a;b) và   VTCP u  (b;a) hoặc u  (b; a) .  – Nếu  đi qua M0 (x 0 ; y0 ) và có VTPT n  (a;b) thì phương trình của  là: a(x  x 0 )  b(y  y0 )  0. Phương trình của :. x y   1 (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) . a b. -  đi qua điểm M0 (x 0 ; y0 ) và có hệ số góc k: Phương trình của : y  y0  k(x  x 0 ) (phương trình đường thẳng theo hệ số góc)  Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  0 và 2: a 2 x  b2 y  c2  0 .. a x  b1y  c1  0 Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ:  1 (1) a 2 x  b 2 y  c2  0 - 1 cắt 2  hệ (1) có một nghiệm  - 1 // 2  hệ (1) vô nghiệm  - 1  2. a1 b1 (nếu a 2 , b2 ,c2  0 )  a 2 b2. a1 b1 c1 (nếu a 2 , b2 ,c2  0 )   a 2 b2 c2. a b c  hệ (1) có vô số nghiệm  1  1  1 (nếu a 2 , b2 ,c2  0 ) a 2 b2 c2.  Góc giữa hai đƣờng thẳng.  Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  0 (có VTPT n1  (a1;b1 ) ) và 2:  a 2 x  b2 y  c2  0 (có VTPT n 2  (a 2 ;b2 ) )..       khi (n1 , n 2 )  900 (n1 , n 2 )  ( ,  )       1 2 0 0   180  (n1 , n 2 ) khi (n1, n 2 )  90   n1.n 2 a1a 2  b1b2    cos(   2 1 , 2 )  cos(n1 , n 2 )   n1 . n 2 a1  b12 . a 22  b22 Chú ý: - 1  2  a1a 2  b1b2  0 . - Cho 1: y  k1x  m1 , 2: y  k 2 x  m2 thì: + 1 // 2  k1 = k2 + 1  2  k1. k2 = –1.  Khoảng cách: Từ điểm M0 (x 0 ; y0 ) đến đường thẳng : ax  by  c  0 là:. d(M0 , ) . ax 0  by0  c a 2  b2.  Vị trí tƣơng đối của hai điểm đối với một đƣờng thẳng Cho đường thẳng : ax  by  c  0 và hai điểm M(x M ; yM ), N(x N ; y N )  . – M, N nằm cùng phía đối với   (ax M  byM  c)(ax N  byN  c)  0 . – M, N nằm khác phía đối với   (ax M  byM  c)(ax N  byN  c)  0 .. HÃY ƢỚC MƠ NHỮNG ĐIỀU TỐT ĐẸP VÀ ĐỪNG BAO GIỜ LÙI BƢỚC TRƢỚC KHÓ KHĂN. CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG!.  Các trƣờng hợp đặc biệt: GV: BÙI VĂN THANH(SĐT:01689341114) - CÔNG THỨC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH. Phần 1 - Tọa độ trong mặt phẳng:.  Phƣơng trình các đƣờng phân giác của các góc tạo bởi hai đƣờng thẳng Cho hai đường thẳng cắt nhau: 1: a1x  b1y  c1  0 và 2: a 2 x  b2 y  c2  0 Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường. a1x  b1y  c1. thẳng 1 và 2 là:. a12  b12. . a 2 x  b2 y  c2 a 22  b22. 3. Phƣơng trình đƣờng tròn Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R:. (x  a)2  (y  b)2  R 2 . Nhận xét: Phương trình x 2  y2  2ax  2by  c  0 , với. a 2  b2  c  0 , là phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R=. a 2  b2  c ..  Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) có tâm I(a; b) tại. M  x 0 ; y0    C là:  x0  a  x  x 0    y0  b  y  y0   0  Đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn (C) có tâm I  d(I, )  R 4. Phƣơng trình elip  Phƣơng trình chính tắc của elip:. x 2 y2   1 (a  b  0, b2  a 2  c2 ) a 2 b2 - Toạ độ các tiêu điểm: F1 (c;0), F2 (c;0) .. c c - Với M(x; y)  (E), MF1  a  x, MF2  a  x được gọi là các a a bán kính qua tiêu điểm của M. - Tâm sai của (E): e . c (0 < e < 1) a. - Toạ độ các đỉnh: A1 (a;0), A2 (a;0), B1 (0; b), B2 (0;b) - Độ dài các trục: trục lớn: A1A2  2a , trục nhỏ: B1B2  2b 5. Phƣơng trình hypebol  Phƣơng trình chính tắc của hypebol:. x 2 y2   1 (a, b  0, b2  c2  a 2 ) a 2 b2 - Toạ độ các tiêu điểm: F1 (c;0), F2 (c;0) .. c c - Với M(x; y)  (H), MF1  a  x , MF2  a  x được gọi là các a a bán kính qua tiêu điểm của M. - Toạ độ các đỉnh: A1 (a;0), A2 (a;0) - Độ dài các trục: trục thực: 2a, trục ảo: 2b - Tâm sai của (H): e . c (e > 1) a.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuù yù: - M  (Oxy)  z = 0; M  (Oyz)  x = 0; M  (Oxz)  y = 0 - M  Ox  y = z = 0; M  Oy  x = z = 0; M  Oz  x = y = 0  Tính chaát: Cho A(x A ; yA ; zA ), B(x B ; yB ; z B )  +) AB  (x B  x A ; yB  yA ;zB  zA ) +) AB  (x B  x A )2  (yB  yA )2  (z B  z A )2.  x  x B yA  yB z A  z B  +) Trung điểm của đoạn thẳng AB: M  A ; ;   2 2 2   x  x B  x C y A  y B  yC z A  z B  z C  ; ; +) Troïng taâm cuûa tam giaùc ABC: G  A  3 3 3   3. Tích có hướng của hai vectơ:    Ñònh nghóa: Cho a  (a1 , a 2 , a 3 ) , b  (b1 , b2 , b3 ) .      a 2 a 3 a 3 a 1 a1 a 2  ; ;    a 2 b3  a 3b2 ;a 3b1  a1b3 ;a1b 2  a 2b1  a, b   a  b    b2 b3 b3 b1 b1 b2   Ứng dụng của tích có hướng:       +) Điều kiện để ba vectơ: a, b và c đồng phẳng  [a, b].c  0   +) Dieän tích hình bình haønh ABCD: SABCD  AB, AD 1   +) Dieän tích tam giaùc ABC: SABC   AB, AC 2    +) Theå tích khoái hoäp ABCD.ABCD: VABCD.A'B'C'D'  [AB, AD].AA ' +) Thể tích tứ diện ABCD: VABCD . 1    [AB, AC].AD 6. 4. Phöông trình maët caàu: Phöông trình maët caàu (S) taâm I(a; b; c), baùn kính R: (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  R 2 Phương trình: x 2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 với a 2  b2  c2  d  0 laø phöông trình maët caàu taâm I(–a; –b; –c) vaø baùn kính R \. a 2  b 2  c2  d .. 5. Phöông trình maët phẳng:  Vectô phaùp tuyeán – Caëp vectô chæ phöông cuûa maët phaúng    - Vectơ n  0 là VTPT của () nếu giá của n vuông góc với ().   - Hai vectô a, b khoâng cuøng phöông laø caëp VTCP cuûa () neáu caùc giaù cuûa chúng song song hoặc nằm trên (). Chuù yù:   - Neáu n laø moät VTPT cuûa () thì kn (k ≠ 0) cuõng laø VTPT cuûa ().      - Neáu a, b laø moät caëp VTCP cuûa () thì n  a, b  laø moät VTPT cuûa ().  Phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng:. Ax  By  Cz  D  0  A2  B2  C2  0   - Neáu () coù phöông trình Ax  By  Cz  D  0 thì n  (A;B;C) laø moät VTPT cuûa ().  - Phöông trình maët phaúng ñi qua M0 (x 0 ; y0 ;z0 ) vaø coù moät VTPT n  (A;B;C) laø: A(x  x 0 )  B(y  y0 )  C(z  z0 )  0  Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:. x y z    1 (() cắt các trục toạ a b c. độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c))  Vị trí tương đối của hai mặt phẳng : Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình:(): A1x  B1y  C1z  D1  0 ; (): A2 x  B2 y  C2z  D2  0 +) (), () caét nhau . A1 B1 C1   A 2 B2 C2. +) () // () . A1 B1 C1 D1    A 2 B2 C2 D2. +) ()  () . A1 B1 C1 D1    A 2 B2 C2 D2. +) ()  ()  A1A2  B1B2  C1C2  0  Khoảng cách: Từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax  By  Cz  D  0 là : d  M0 , ()  . Ax 0  By0  Cz 0  D A2  B2  C2. 6. Phương trình của đường thẳng  Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0 (x 0 ; y0 ;z0 ) và có.  x  x o  a1t   VTCP a  (a1;a 2 ;a 3 ) là: (d) :  y  y o  a 2 t z  z  a t o 3  x  x 0 y  y0 z  z 0  Phöông trình chính taéc cuûa d là: ( a1a 2a 3  0 )   a1 a2 a3  Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng : Cho hai đường thẳng  x  x 0  ta1  x  x0  t a1   d :  y  y0  ta 2 vaø d :  y  y0  t a 2 z  z  ta z  z  t a  0 3 0 3    x 0  ta1  x0  t a1  +) d  d   y0  ta 2  y0  t a 2 (aån t, t) coù voâ soá nghieäm. z  ta  z  t a  3 0 3  0. HÃY ƢỚC MƠ NHỮNG ĐIỀU TỐT ĐẸP VÀ ĐỪNG BAO GIỜ LÙI BƢỚC TRƢỚC KHÓ KHĂN. CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG!. 2. Tọa độ của điểm:   Ñònh nghóa: M(x; y; z)  OM  (x; y;z). GV: BÙI VĂN THANH(SĐT:01689341114) - CÔNG THỨC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH. Phần 2 - Tọa độ trong không gian: 1. Tọa độ của vectơ:       Ñònh nghóa: u   x; y; z   u  xi  yj  zk    Tính chaát: Cho a  (a1;a 2 ;a 3 ), b  (b1;b2 ;b3 ), k  R    +) a  b  (a1  b1; a 2  b2 ; a 3  b3 ); ka  (ka1; ka 2 ; ka 3 )   +) a  b  a1  b1;a 2  b2 ;a 3  b3     +) 0  (0;0;0), i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1)       a a a +) a cuøng phöông b (b  0)  a  kb  1  2  3 (b1 , b2 , b3  0) b1 b2 b3    +) a.b  a1.b1  a 2 .b2  a 3.b3 ; a  b  a1b1  a 2 b2  a 3b3  0   +) a 2  a12  a 22  a 32 ; a  a12  a 22  a 22     a1b1  a 2 b2  a 3b3    a.b +) cos(a, b)     (với a, b  0 ) a.b a12  a 22  a 32 . b12  b 22  b32.  x 0  ta1  x0  t a1  +) d, d cắt nhau   y0  ta 2  y0  t a 2 (ẩn t, t) có đúng 1 nghiệm. z  ta  z  ta  3 0 3  0  x 0  ta1  x0  t a1  +) d, d cheùo nhau   y0  ta 2  y0  t a 2 (aån t, t) voâ nghieäm vaø z  ta  z  t a  3 0 3  0   a, a khoâng cuøng phöông.  x 0  ta1  x0  t a1    +) d // d   y0  ta 2  y0  t a 2 (aån t, t) voâ nghieäm vaø a, a cuøng z  ta  z  t a  3 0 3  0 phöông.    +) d  d  a  a  a.a  0  Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng : Cho mặt phẳng (): Ax  By  Cz  D  0 và đường thẳng d:.  x  x 0  ta1   y  y0  ta 2 z  z  ta 0 3  Xeùt phöông trình: A(x0  ta1 )  B(y0  ta 2 )  C(z0  ta 3 )  D  0 (aån t)(*) +) d // ()  (*) voâ nghieäm ; +) d cắt ()  (*) có đúng một nghiệm ; +) d  ()  (*) coù voâ soá nghieäm.  Khoảng cách: +) Từ một điểm M đến một đường thẳng d đi qua M 0 và có VTCP    M0 M, a   a laø: d(M, d)   a +) Hai đường thẳng chéo nhau d 1 và d2 với d1 đi qua điểm M1 và   coù VTCP a1 , d2 ñi qua ñieåm M2 vaø coù VTCP a 2 laø:    a1 , a 2 .M1M2 d(d1 , d 2 )     a1 , a 2  Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 bằng khoảng cách giữa d1 với mặt phẳng () chứa d2 và song song với d1 .  Goùc: +) Hai đường thẳng : Cho hai đường thẳng d 1, d2 lần lượt có các     VTCP a1 ,a 2 . Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa a1 , a 2 với:   a .a   cos  a1 , a 2    1 2 a1 . a 2 +) Đường thẳng và mặt phẳng : Cho đường thẳng d có VTCP   a  (a1;a 2 ;a 3 ) và mặt phẳng () có VTPT n  (A;B;C) . Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d của nó trên () với: Aa1  Ba 2  Ca 3  sin d, ()  A 2  B2  C2 . a12  a 22  a 32.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> A. A. B. . C. B. H. M. C.  Hệ thức lượng: AC AB AC AB sin  = ; cos  = ; tan  = ; cot  = BC BC AB AC  Ñònh lí Pitago: BC2 = AB2 + AC2 1  Dieän tích: S = AB.AC 2 1 1 1  Nghịch đảo đường cao bình phương:   AH 2 AB2 AC2 1  Độ dài đường trung tuyến AM = BC 2  Công thức khác :AB.AC = AH.BC; BA 2 = BH.BC b. Tam giác ABC đều:. 3  Diện tích tam giác đều: S = (cạnh)  4 2. 3  Chiều cao tam giác đều: h = cạnh  2 c. Hệ thức lượng trong tam giác:  Ñònh lí Coâsin: a2 = b2 + c2 - 2bccosA; b2 = a2 + c2 - 2accosB; c2 = a2 + b2 - 2abcosC  Ñònh lí sin: a b c    2R sin A sin B sin C d. Các công thức tính diện tích tam giác ABC: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh tương ứng là a, b, c; chiều cao tương ứng với các góc A, B, C là h a, hb, hc; r, R lần lượt là bán kính đườn g tròn nội tiếp, ngoại tiếp ABC; Gọi S là diện tích ABC: 1 1 1 1 1 1  S = ah a  bh b  ch c  S = bcsin A  acsin B  absin C 2 2 2 2 2 2. abc 4R abc  S = p(p  a)(p  b)(p  c) (với p = ) 2 e. Dieän tích caùc hình ñaëc bieät khaùc:  Hình vuoâng: S = caïnh  caïnh 1  Hình thoi: S = (cheùp daøi  cheùo ngaén) 2  Hình chữ nhật: S = dài  rộng 1  Hình thang: S = (đáy lớn + đáy bé)  chiều cao 2  Hình troøn: S = R2  Hình bình hành: S = đáy  chiều cao  S = pr. S=. GV: BÙI VĂN THANH(SĐT:01689341114) - CÔNG THỨC HÌNH HỌC TỔNG HỢP. a. Tam giaùc ABC vuoâng taïi A:. f. Hai tam giác đồng dạng và định lí Talet:  ABC ~ MNP nếu chúng có hai góc tương ứng bằng nhau. MP MN MP  Neáu ABC ~ MNPthì   AC AB AC g. Các đường và điểm đặc biệt trong tam giác:  Trọng tâm G của tam giác là giao điểm ba đường trung tuyến và AG . 2 AM . 3. A. b. c. G. a. B. C. M.  Trực tâm H của tam giác ABC là giao điểm ba đường cao. A ha. b. c H. hc. hb a. B. C.  Tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực . A. O. R. C. B.  Tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác trong. A. b. c. I r C. a. B. 2. Khoảng cách.  Khoảng cách từ một điểm tới một đƣờng thẳng , đến một mặt phẳng: O O H H (P). a. Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm O và H, trong đó H là hình chiếu của điểm O trên đường thẳng a (hoặc trên mp(P)). KH: d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH  Khoảng cách giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng song song: O a. H P. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên a đến mp (P). KH: d(a;(P)) = OH (O  a). HÃY ƢỚC MƠ NHỮNG ĐIỀU TỐT ĐẸP VÀ ĐỪNG BAO GIỜ LÙI BƢỚC TRƢỚC KHÓ KHĂN. CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG!. 1. Một số kiến thức trong tam giác..  Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: O P. H Q. Là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. KH: d((P);(Q)) = d(O;(Q)) = OH (O  (Q)) .  Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau: a. A. B. b. Là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó: d(a;b) =AB Là khoảng cách từ điểm A  a đến mp(P) với: b  (P) // a . 3. Góc  Góc giữa hai đƣờng thẳng a và b a. a'. A. O B. b'. b. Là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b.  Góc giữa đƣờng thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P). Là góc giữa a và hình chiếu a của nó trên mp(P). Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 90 0.  Góc giữa hai mặt phẳng B. A a. a. b. A. O P. Q. P. O b B Q. Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm. 4. Thể tích 1  Khối chóp: V  B.h (B: diện tích đáy; h: chiều cao) 3  Khối lăng trụ: V  B.h (B: diện tích đáy; h: chiều cao). 1  Khối nón: V  ..r 2 .h (r: bán kính đáy; h: chiều cao) 3  Khối trụ: V  .r 2 .h (r: bán kính đáy; h: chiều cao). 4  Khối cầu: V  ..r 3 (r: bán kính) 3.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>

<span class='text_page_counter'>(7)</span>