Chuyen de Phuong trinh

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – HỆ THỨC VIET PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ TT Phần 1 I II III III.1 III.2 III.3 Phần 2 1 2 3 4 5. Nội dung Phương trình bậc hai – Hệ thức Viet Kiến thức cơ bản Các dạng bài tập cơ bản Phương trình có chứa tham sô Các dạng câu hỏi thường gặp Một sô ví dụ áp dụng Bài tập tự luyện Phương trình quy về bậc hai Phương trình tích Phương trình đa thức bậc cao Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức Phương trình vô ty Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đôi. Ghi chu. Phần 1 : PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – HỆ THỨC VIET I Kiến thức cơ bản 1. Công thức nghiệm: Phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có  = b2- 4ac +Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm b  = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 2a. +Nếu +Nếu  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:  b  2a ; 1 =.  b  2a x2 =. x 2. Công thức nghiệm thu gọn: Phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có ’=b’ 2- ac ( b =2b’ ) +Nếu ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm b  = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = a ’. +Nếu +Nếu ’> 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:. Chuyên đề Phương trình. 1. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái '.  b  a x1 = ;. '.  b  a x2 =. 3. Hệ thức Vi-ét a) Định lí Vi-ét: Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a0) b c thì : S = x1+x2 = a ; P = x1.x2 = a. b) Ứng dụng: +Hệ quả 1: Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có: a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: c 1 = 1; x2 = a. x +Hệ quả 2: Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x 1 = c -1; x2 = a. c) Định lí: (đảo Vi-ét) Nếu hai số x 1; x2 có x1+x2= S ; x1.x2 = P thì x1; x2 là nghiệm của phương trình : x 2- S x+P = 0 (x1 ; x2 tồn tại khi S2 – 4P  0) Chú ý: + Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm (tức là  ≥ 0) + Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu Bài 1:. II. Các dạng bài tập cơ bản Giải phương trình a) x2 - 49x - 50 = 0 b) (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0. Giải: a) Giải phương trình x2 - 49x - 50 = 0 + Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm (a = 1; b = - 49; c = 50)  = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601;  = 51 Do  > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 .  ( 49)  51  ( 49)  51   1 x2  50 2 2 ;. + Lời giải 2: Ứng dụng của định lí Viet Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0  50 50 1. . Nên phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = + Lời giải 3:  = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601 Theo định lí Viet ta có : Chuyên đề Phương trình. 2. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái.  x1  x2 49 (  1)  50  x  1   1   x1.x2 49  50 ( 1).50  x2 50. Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 =. .  50 50 1. b) Giải phương trình (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0 Giải: + Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm (a = 2- 3 ; b = 2 3 ; c = – 2 – 3 )  = (2 3 )2- 4(2- 3 )(– 2 – 3 ) = 16;  = 4 Do  > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 .  2 3 4  2 3 4 1 x2    (7  4 3 ) 2( 2  3 ) 2 ( 2  3 ) ;. + Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn (a = 2- 3 ; b’ = 3 ; c = – 2 – 3 ) ’ = ( 3 )2 - (2 - 3 )(– 2 – 3 ) = 4;  = 2 Do ’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 . . 3 2  3 2 1 x2    (7  4 3 ) 2 3 2  3 ;. + Lời giải 3: Ứng dụng của định lí Viet Do a + b + c = 2- 3 + 2 3 + (- 2 - 3 ) = 0 .  2 3   (7  4 3 ) 2 3. Nên phương trình có nghiệm: x1 = 1; x1 = *Yêu cầu: + Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức + Áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót) + Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán * Bài tương tự: Giải các phương trình sau: 2 1. 3x – 7x - 10 = 0 5. x2 – (1+ 2 )x + 2 = 0 2 2. x – 3x + 2 = 0 6. 3 x2 – (1- 3 )x – 1 = 0 3. x2 – 4x – 5 = 0 7.(2+ 3 )x2 - 2 3 x – 2 + 3 = 0 4. 3x2 – 2 3 x – 3 = 0 Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441 Giải Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trình x2 – 42x + 441 = 0 (*) Ta có: ’ = (- 21)2- 441 = 0 Phương trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21 Vậy u = v = 21 *Bài tương tự: 1. Tìm hai số u và v biết: a) u + v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24 Chuyên đề Phương trình. 3. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái. c) u + v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10 2. Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m2 Bài 4: Cho phương trình x2 + 3 x - 5 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau: 1 1  A = x2 x2 ;. 1 1  2 2 C = x2 x2 ;. B = x12 + x22 ;. D = x 1 3 + x2 3. Giải Do phương trình có 2 nghiệm là x1 và x2 nên theo định lí Viet ta có: x1 + x2 =  3 ;. x1.x2 =  5. x  x2 1 1    1  x1 .x 2  A = x2 x2. 1 15 5 5 ; 2 B = x12 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= ( 3 )  2( 5 ) 3  2 5 x12  x 22 3  2 5 1   (3  2 5 ) x12 .x 22 ( 5 ) 2 5. C=. 3. . ;. D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = ( 3 )[3  2 5  ( 5 )]  (3 3  3 15 ) * Bài tương tự: Cho phương trình x2 + 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau: 1 1 1 1  2  2 A = x2 x2 ; B = x12 + x22 ; C = x2 x2 ; 6 x12  10 x1 x 2  6 x 22 3x12  5 x1 x 2  3x 22 3 3 2 2 E = 5 x1 x2  5 x1 x 2 ; F = 4 x1 x 2  4 x1 x 2. D = x 1 3 + x2 3. III. Phương trình có chứa tham sô Các dạng câu hỏi thường gặp : Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có: 1. Có nghiệm (có hai nghiệm)    0 2. Vô nghiệm   < 0 3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)   = 0 4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)   > 0 5. Hai nghiệm cùng dấu   0 và P > 0 6. Hai nghiệm trái dấu   > 0 và P < 0  a.c < 0 7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0)   0; S > 0 và P > 0 8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)   0; S < 0 và P > 0 9. Có nghiệm dương ( Nghiệm âm) 9. Hai nghiệm đối nhau   0 và S = 0 10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau   0 và P = 1 11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S < 0 12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S > 0 Chuyên đề Phương trình. 4. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái. b c (ở đó: S = x1+ x2 = a ; P = x1.x2 = a ). 13. Có 2 nghiệm x1 ; x2 thoả mãn các điều kiện nào đó. 14. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số. 15. Lập phương trình bậc hai ( ẩn mới ) theo biểu diễn của nghiệm phương trình đã cho. * Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện tổng quát, giúp học sinh chủ động khi giải loại toán này Bài 2: Giải phương trình (giải và biện luận): x2 - 2x + k = 0 ( tham số k) Giải ’ = (-1)2- 1.k = 1 – k Nếu ’< 0  1- k < 0  k > 1  phương trình vô nghiệm Nếu ’= 0  1- k = 0  k = 1  phương trình có nghiệm kép x1= x2=1 Nếu ’> 0  1- k > 0  k < 1  phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1- 1  k ; x2 = 1+ 1  k Kết luận: Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1 Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x1 = 1- 1  k ; x2 = 1+ 1  k Bài 3: Cho phương trình (m - 1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m) a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó? c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)? Giải 3 a) + Nếu m-1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0  x = 2 (là nghiệm). + Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’=12 - ( -3)(m - 1) = 3m - 2 2 (1) có nghiệm  ’ = 3m-2  0  m  3 2 + Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m  3 thì phương trình có nghiệm 3 b) + Nếu m-1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0  x = 2 (là nghiệm). + Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 2 (1) có nghiệm duy nhất  ’ = 3m-2 = 0  m = 3 (thoả mãn m ≠ 1) 1 1   3 2 m 1 1 3 Khi đó x = 3 +Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 2 Với m = 3 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. Chuyên đề Phương trình. 5. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái. c) Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có: 3 (m - 1)22 + 2.2 - 3 = 0  4m – 3 = 0  m = 4 3 1  Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 = 4 -1= 4 ≠ 0) 3 3  12  x 2 6 1 m 1  4 Theo đinh lí Vi - et ta có: x1.x2 = 3 Vậy m = 4 và nghiệm còn lại là x2 = 6. * Giáo viên cần khắc sâu trường hợp hệ số a có chứa tham số (khi đó bài toán trở nên phức tạp và học sinh thường hay sai sót) Bài 4: Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x) a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22  10. e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m f) Hãy biểu thị x1 qua x2 Giải 2. 1  15  m   2 4 a) Ta có: ’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) =  2. 1  15  m   0 0 2  Do  với mọi m; 4   > 0 với mọi m.  Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm) b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0  – 3 – m < 0  m > -3 Vậy m > -3 c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đó phương trình có hai nghiệm âm  S < 0 và P > 0 2(m  1)  0     (m  3)  0. m  1  m3  m   3. Vậy m < -3 d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo bài A  10  4m2 – 6m  0  2m(2m-3)  0. Chuyên đề Phương trình. 6. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái.  m 0  2m  3 0     m 0   2m  3 0.  m 0   m  3 3  m   2   2   m  0   m  0   3  m  2 . 3 Vậy m  2 hoặc m  0. e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm  x1  x 2 2(m  1)  x  x 2 2m  2  . 1  2 x1 .x 2  2m  6 Theo định lí Viet ta có:  x1 .x 2  (m  3).  x1 + x2+2x1x2 = - 8 Vậy x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8  x1(1+2x2) = - ( 8 +x2)  x1 . 8  x2 1  2 x2. x2 . x1 . 8  x2 1  2 x2. 1 2). Vậy ( Bài 5: Cho phương trình: x2 + 2x + m -1= 0 ( m là tham số) a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1 + 2x2 = 1 y1  x1 . 1 1 y2  x2  x2 ; x1 với x ; x là nghiệm của 1 2. c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn phương trình ở trên Giải a) Ta có ’ = 12 – (m-1) = 2 – m Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau ' 0    P 1. 2  m 0   m  1 1. m  2  m 2  m  2. Vậy m = 2 b) Ta có ’ = 12 – (m-1) = 2 – m Phương trình có nghiệm    0  2 – m  0  m  2 (*) Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2) Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3)  x1  x2  2   3 x1  2 x2 1  Từ (1) và (3) ta có:.  2 x1  2 x2  4   3 x1  2 x2 1.  x1 5    x1  x2  2.  x1 5   x2  7. Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1  m = - 34 (thoả mãn (*)) Vậy m = -34 là giá trị cần tìm d) Với m  2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2) y1  y 2  x1  x2 . Khi đó:. 1 x1. . Chuyên đề Phương trình. 1 x2.  x1  x2 . x1  x2 x1 x2.  2 . 7. 2 m 1. . 2m 1 m. (m≠1) Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Trường THCS Hồng Quang y y (x  1. 2. 1. 1 x. )( x  2. 2. 1. Đỗ Trọng Thái ) x x . x. 1. 1. 2. 1 xx 1. 1.  2 m  1 . 2 . m 1. 2. m. 2. m 1. (m≠1). 2. 2m m  y1; y2 là nghiệm của phương trình: y - 1  m .y + m  1 = 0 (m≠1) 2. Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0 *Yêu cầu: + HS nắm vững phương pháp + HS cẩn thận trong tính toán và biến đổi + Gv: cần chú ý sửa chữa những thiếu sót của học sinh, cách trình bày bài và khai thác nhiều cách giải khác * Bài tương tự: 1) Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x) a) Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm. 2) Cho phương trình : x2 – 4x + m + 1 = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10 3) Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 a) C/m , phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 < x1 < x2 <6 4) Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0 a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m. b) Đặt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2 *) CMR: A = 8m2 – 18m + 9 **) Tìm m sao cho A =27 c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia 5) Cho phương trình ; x2 -2(m + 4)x + m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: a) A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất. b) B = x12 + x22 – x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất. c) Tìm hệ thức giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m 6) Cho phương trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0 a) C/m phương trình luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m b) Xác định m để: x12 + x22 = 4(x1 + x2) c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y1 và y2 thoả mãn: y1 y  2 3 y1 + y2 = x1 + x2 và 1  y 2 1  y1. 7) Cho phương trình : x2 + ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x 1 , x2 thoả  x1  mãn :  x 2. 2. 2.  x     2    x1  > 7. 8) Cho phương trình : (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 (1) a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m Chuyên đề Phương trình. 8. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái. b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2: * Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m * Tìm m sao cho x1  x 2 2 Dạng: Tìm m để phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x 1, x2 thoả mãn đẳng thức cho trước. 2 2 Bài 1: Tìm m để phương trình : x  2( m  1 ) x  m  3m 0. có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = 8. 2 Bài 2: Tìm m để phương trình : x  ( 2 m  1 ) x  4 m  3 0. có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = 10.. ( 2 m  1 ) x 2  2( m  4 ) x  5 m  2 0. có 2 nghiệm x ,x thoả : Tìm m để phương trình : 1 2 Bài 3 2 2 mãn x 1  x 2  2 x 1 x 2  16. 2 Bài 4: Tìm m để phương trình: ( m  1 ) x  2 mx  m  1 0. có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn. x1 x 2 5    0. x2 x1 2. mx 2  ( m  4 ) x  2 m 0. có 2 nghiệm x ,x thoả mãn : Tìm m để phương trình: 1 2 Bài 5 2( x 12  x 22 )  5 x 1 x 2 0. x 2  ( m  2 ) x  m  5 0. có 2 nghiệm x ,x thoả mãn : Tìm m để phương trình : 1 2 Bài 6 x 12  x 22  10. x 2  ( m  2 ) x  2 m 0. có 2 nghiệm x ,x thoả mãn : Tìm m để phương trình : 1 2 Bài 7 x 12  x 22  8. x 2  ( m  3 ) x  3m 0. có 2 nghiệm x ,x thoả mãn : Tìm m để phương trình : 1 2 Bài 8 x 12  x 22  10. 2 Bài 9: Tìm m để phương trình : x  2( m  2 ) x  4 m  5 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn. x1 x2   1. x2 x1 2 Bài 10: Tìm m để phương trình : ( m  2 ) x  ( 2 m  1 ) x  m  3 0. có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 = 2x2. 2. Bài 11: Tìm m để phương trình : x  2( m  1 ) x  4 m  3 0. có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn 2x1 + x2 = 5. DẠNG: lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. 2 Bài 1: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: ( m  2 ) x  2( m  1 ) x  3  m 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. 2 Bài 2: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: x  2( m  1 ) x  m  3 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. 2 Bài 3: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: ( m  3 ) x  2( m  1 ) x  m  5 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.. Chuyên đề Phương trình. 9. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái 2. ( 4 m  3 ) x  3( m  1 ) x  2 m  2 0. Bài 4: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. 2 2 Bài 5: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: x  ( 2 m  1 ) x  m  m  1 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. 2 Bài 6: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: ( m  1 ) x  2( m  1 ) x  m 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.. Dạng : TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:  Am C  k  B (trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số) (*) Thì ta thấy : C m (v ì A 0 )  min C m  A 0. C k (v ì B 0 ). Ví dụ 1: Cho phương trình :.  max C k  B 0. x 2   2m  1 x  m 0. Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để : A x12  x22  6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất.. Bài giải: Theo VI-ÉT:.  x1  x2  (2m  1)   x1 x2  m 2. A x12  x22  6 x1 x2  x1  x2   8 x1 x2. Theo đ ề b ài : 2.  2m  1  8m 4m 2  12m  1 (2m  3) 2  8  8. min A  8  2m  3 0 hay. m. 3 2. Suy ra: 2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x  mx  m  1 0. Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B. 2 x1 x2  3 x  x22  2  x1 x2  1 2 1.  x1  x2 m  Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì :  x1 x2 m  1. Chuyên đề Phương trình. 10. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái. 2 x1 x2  3 2 x1 x2  3 2( m  1)  3 2m  1  B 2    2 2 2 x1  x2  2  x1 x2  1 ( x1  x2 )  2 m2  2 m 2. Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn Ta biến đổi B như sau: B. m 2  2   m 2  2m  1 m2  2.  m  1. 2. 0 .  m  1. 1 .  m  1. 2. m2  2. 2. 2. 0  B 1. m 2 Vì Vậy max B=1  m = 1 Với cách thêm bớt khác ta lại có:. 1 2 1 1 2 1 2 m  2m  1  m 2 m  4m  4    m 2  2    m  2  1 2 2 2 B 2   m2  2 m2  2 2  m2  2 2.  m  2. 2. 0 . Vì min B .  m  2. 2. 2  m  2 2. 0  B . 1 2. 1  m  2 2. Vậy Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. B. 2m  1  Bm2  2m  2 B  1 0 2 m 2. (Với m là ẩn, B là tham số) (**). 2.  1  B(2 B  1) 1  2 B  B. Ta có: Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì  0  2 B 2  B  1 0  2 B 2  B  1 0   2 B  1  B  1 0. hay. Vậy:.    B   2 B  1 0     B 1  B  1 0    2 B  1 0   B      B  1 0   B 1  max B=1  m = 1 1 min B   m  2 2. 1 2 1 2. . 1 B 1 2. Bài tập áp dụng 1. Cho phương trình : nhỏ nhất.. x 2   4m  1 x  2  m  4  0. .Tìm m để biểu thức. A  x1  x2 . 2. có giá trị. 2 2. Cho phương trình x  2(m  1) x  3  m 0 . Tìm m sao cho nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn điều kiện. x12  x22 10. .. Chuyên đề Phương trình. 11. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái. 3. Cho phương trình : x  2( m  4) x  m  8 0 xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn 2. 2. a) A x1  x2  3x1 x2 đạt giá trị lớn nhất 2 2 b) B x1  x2  x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất 2 2 2 2 4. Cho phương trình : x  (m  1) x  m  m  2 0 . Với giá trị nào của m, biểu thức C  x1  x2 dạt giá trị nhỏ nhất. 2 2 2 5. Cho phương trình x  (m  1)  m 0 . Xác định m để biểu thức E  x1  x2 đạt giá trị nhỏ nhất.. C¸c bµi tËp tù luyÖn vÒ hÖ ph¬ng tr×nh bËc 2 Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh: m √2 x − ( √2 −1 )2= √ 2 − x +m 2 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=√ 2+1 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=3 − √ 2 c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất Bµi 2 Cho ph¬ng tr×nh: ( m− 4 ) x 2 − 2 mx +m− 2=0 (x lµ Èn ) a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=√ 2 .Tìm nghiệm còn lại b) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt c) TÝnh x 21+ x 22 theo m Bµi 3 Cho ph¬ng tr×nh: x 2 −2 ( m+1 ) x +m −4=0 (x lµ Èn ) a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m c) Chøng minh biÓu thøc M= x 1 ( 1 − x 2 ) + x 2 ( 1 − x 1 ) kh«ng phô thuéc vµo m. Bài 4 Tìm m để phơng trình: a) x 2 − x +2 ( m− 1 )=0 cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt b) 4 x 2 +2 x+ m−1=0 cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt c) ( m2+1 ) x 2 −2 ( m+1 ) x +2 m−1=0 cã hai nghiÖm tr¸i dÊu Bµi 5 Cho ph¬ng tr×nh: x 2 − ( a− 1 ) x −a 2+ a −2=0 a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh trªn cã 2 nghiÖm tr¸I dÊu víi mäi a b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2 .Tìm giá trị của a để x 21+ x 22 đạt giá trị nhỏ nhÊt Bµi 6 Cho b vµ c lµ hai sè tho¶ m·n hÖ thøc: 1 + 1 = 1 : CMR Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng b c. 2. 2. tr×nh sau ph¶i cã nghiÖm. x + bx +c=0 x 2 +cx +b=0. Bµi 7 Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm sè chung: 2 2 x − ( 3 m+2 ) x+12=0(1) 4 x 2 − ( 9 m −2 ) x +36=0(2) Bµi 8 Cho ph¬ng tr×nh: 2 x 2 −2 mx +m2 − 2=0. a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt b) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm kh«ng ©m, t×m nghiÖm d¬ng lín nhÊt cña ph¬ng tr×nh Bµi 9 Cho ph¬ng tr×nh bËc hai tham sè m: x 2+ 4 x +m+ 1=0 a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm b) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1vµ x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: x 21+ x 22=10 Bµi 10 Cho ph¬ng tr×nh: x 2 −2 ( m− 1 ) x +2 m− 5=0 a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm víi mäi m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ? Bµi 11 Cho ph¬ng tr×nh: x 2 −2 ( m+1 ) x +2 m+ 10=0 (víi m lµ tham sè ) a) Gi¶i vµ biÖn luËn vÒ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Chuyên đề Phương trình. 12. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái. b) Trong trêng hîp ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x 1 ; x 2 ; h·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x 1 ; x 2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m c) Tìm giá trị của m để 10 x1 x 2+ x 21 + x 22 đạt giá trị nhỏ nhất Bµi 12 Cho ph¬ng tr×nh: ( m− 1 ) x 2 − 2 mx +m+1=0 víi m lµ tham sè a) CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt ∀ m≠ 1 b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiªm cña ph¬ng tr×nh c) T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x 1 ; x 2 thoả mãn hệ thức:. x1 x2 5 + + =0 x2 x1 2. Bµi 13 Cho ph¬ng tr×nh: x 2 − mx +m− 1=0 (m lµ tham sè) a) Chøng tá r»ng ph¬nh tr×nh cã nghiÖm x 1 ; x 2 víi mäi m; tÝnh nghiÖm kÐp ( nÕu cã) cña ph¬ng tr×nh vµ gi¸ trÞ cña m t¬ng øng b) §Æt A=x 21 + x 22 − 6 x1 x 2  Chøng minh A=m2 −8 m+8  Tìm m để A = 8  T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A vµ gi¸ trÞ cña m t¬ng øng c) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nµy b»ng hai lÇn nghiÖm kia. Bµi 14 Cho ph¬ng tr×nh: x 2 −2 mx+2 m −1=0 a) Chøng tá r»ng ph¬nh tr×nh cã nghiÖm x 1 ; x 2 víi mäi m. b) §Æt A = 2(x 21+ x22 )− 5 x 1 x2  CMR A= 8 m2 −18 m+9  T×m m sao cho A = 27 c)T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nay b»ng hai nghiÖm kia. Bµi 15 Cho ph¬ng tr×nh : x 2 −2 ( m+1 ) x +m 2 − 4 m+5=0. a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và tr¸i dÊu nhau d) Gäi x 1 ; x 2 lµ hai nghiÖm nÕu cã cña ph¬ng tr×nh. TÝnh x 21+ x 22 theo m Bµi 16 Cho ph¬ng tr×nh x 2 − 4 x √ 3+8=0 cã hai nghiÖm lµ x 1 ; x 2 . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, 2. h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : M =. 2. 6 x1 +10 x 1 x 2+ 6 x2 3. 3. 5 x 1 x 2 +5 x1 x 2 x Bµi 17 Cho ph¬ng tr×nh: x − 2 ( m+2 ) x+ m+1=0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1 2. b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của m để: x 1(1 −2 x 2)+ x 2 (1− 2 x 1 )=m2 Bµi 18 Cho ph¬ng tr×nh: x 2+ mx +n −3=0. (1) (n , m lµ tham sè) a) Cho n = 0. CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m b) Tìm m và n để hai nghiệm x 1 ; x 2 của phơng trình (1) thoả mãn hệ:. x1 − x 2=1 x 21 − x 22=7. {. Bµi 19 Cho ph¬ng tr×nh: x 2 −2 ( k −2 ) x − 2 k − 5=0 ( k lµ tham sè) a) CMR ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña k b) Gäi x 1 ; x 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. T×m gi¸ trÞ cña k sao cho x 21+ x 22=18 Bµi 20 Cho ph¬ng tr×nh: ( 2 m−1 ) x 2 − 4 mx+ 4=0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m=1 Chuyên đề Phương trình. 13. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái. b) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m bÊt k× (T×m nghiÖm theo m) c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m Bµi 21 Cho ph¬ng tr×nh: x 2 − ( 2 m− 3 ) x+ m2 −3 m=0 a) CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn 1< x 1< x 2 <6 Phần 2 : PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Phương trình tích  A 0   B 0 a. Dạng tổng quát: A.B = 0. b. Cách giải: Để giải một phương trình bậc lớn hơn 2 ( đối với học sinh cấp 2) thường dùng phương pháp biến đổi về phương trình tích ở đó vế trái là tích của nhân tử còn về phải bằng 0.Muốn vậy học sinh phải có kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử. c. Ví dụ: *Ví dụ 1( Bài 36, trang 56 SGK Toán 9):Giải các phương trình a) (3x2 - 5x + 1)(x2 - 4) = 0 b) (2x2 + x - 4)2 -(2x-1)2 = 0 Giải x=± 2 ¿ 5± √ 13 x= 6 ¿ ¿ ¿ ¿.  x2 - 4 = 0  2 a) (3x2 - 5x + 1)(x2 - 4) = 0  3x - 5x + 1 0 . 5  13 5  13   ;   2; 2;  6 6    V ậy S =. b) (2x2 + x - 4)2 -(2x-1)2 = 0  (2x2 + x – 4 + 2x - 1)(2x2 + x – 4 - 2x + 1) = 0  (2x2 +3x -5)(2x2 - x -3)= 0. Chuyên đề Phương trình. 14. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái. 2.  2x +3x - 5 = 0 (1)  2   2x - x - 3 = 0 (2). giải (1)và (2) ta được x1 = 1; x2 = -2.5; x3 = -1; x4 = 1.5 Vậy S =.  x1 = 1; x 2 = -2.5; x 3 = -1; x 4 = 1.5. *Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 x 3  7 x 2  7 x  2 0 (a). Chú ý hệ số ở vế trái, phân tích thành nhân tử: 2 x 3 +7 x 2+ 7 x +2=¿ ( 2 x 3 +2 ) + ( 7 x 2 +7 x ) 2( x 3  1)  7 x( x  1) 2( x  1)( x 2  x  1)  7 x( x  1) ¿ ( x+1 ) ( 2 x 2+5 x +2 ). (a).  ( x  1)(2 x 2  5 x  2) 0  x  1 0 (*)  2  2 x  5 x  2 0 (*)  x   1. (**). (**)  x  2; x . 1 2. (b). Vậy phương trình (a) có 3 nghiệm: x. 1 1= -1; x2= -2; x3= 2. d. Nhận xét: -Giải phương trình đưa về dạng tích chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích ta sẽ được một phương trình mà vế trái gồm các phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai đã biết cách giải. 3. 2. - Chú ý tới hai tính chất của phương trình bậc 3: ax + bx + cx+ d= 0 Nếu a+ b+ c + d = 0 thì phương trình có một nghiệm x 1 =1 Chuyên đề Phương trình. 15. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái. Nếu a – b + c – d = 0thì phương trình có một nghiệm x 1 = -1. Khi đã nhận biết được nghiệm, ta phân tích được vế trái của phương trình thành nhân tử. - Phương trình bậc 3 có các hệ số nguyên. Nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là bội số của hạng tử tự do ( Định lí về sự tồn tại của nghiệm nguyên của phương trình với hệ số nguyên) 2. Phương trình bậc cao 2.a. Phương trình trùng phương 1. Định nghĩa: Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0 (a 0) (1) 2.Cách giải: + Đặt x2 = t (t 0), từ (1) ta có phương trình at2 + bt + c = 0 (a 0) (2) + Giải phương trình bậc 2 với ẩn t + Chọn lấy giá trị t  0; loại giá trị t < 0 + Từ x2 = t  0  x  t + Kết luận nghiệm của phương trình (1) 3.Biện luận phương trình trùng phương Xét phương trình: ax4 + bx2 + c = 0 (với a 0) (1) 2 Đặt x = t (t 0) ta có phương trình bậc 2 ẩn t at2 + bt + c = 0 (2) a) Phương trình trùng phương (1) vô nghiệm + Trường hợp 1: phương trình (2) vô nghiệm    0  0   t1.t2  0  + Trường hợp 2: phương trình (2) có 2 nghiệm cùng âm t1  t2  0. b) Phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất  0  t1 t2 0. +Trường hợp 1: Phương trình (2) có nghiệm kép bằng 0 + Trường hợp 2:Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt: 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm   0   t1.t2 0 t  t  0 1 2. âm c) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biêt  0  t1 t 2  0. + Trường hợp 1: phương trình (2) có nghiệm kép dương + Trường hợp 2: phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu  a.c <0. Chuyên đề Phương trình. 16. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái. d) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt: 1   0   t1.t2 0 t  t  0 1 2. nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương e)Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt   0   t1.t2  0 t  t  0 1 2. Ví dụ 1: Cho phương trình: x4 +(1 -2a)x2 + a2 – 1 = 0. (1) ( a là tham số). Tìm a để phương trình (1) a) Vô nghiệm b)Có một nghiệm c)Có hai nghiệm phân biệt Giải Đặt x2 = t (t 0). ta có phương trình bậc 2 ẩn t. t2 + (1 – 2a)t + a2 – 1 = 0. (2). Xét   5 - 4a a) Phương trình (1) vô nghiệm khi nghiệm của phương trình (2) xảy ra các trường hợp  5  4a  0  a . +)Trường hợp 1: phương trình (2) vô nghiệm    0 +) Trường hợp 2: phương trình (2) có 2 nghiệm cùng âm. 5 4. 5  a  4 5  4 a 0   0   2  a  1  t1.t2  0  a  1  0     a1 t  t  0 2 a  1  0  a   1 1 2   1 a   2. 5 Vậy a < -1; a > 4 b) Phương trình (1) có 1 nghiệm khi nghiệm của phương trình (2) xảy ra các trường hợp  0  + Trường hợp 1: Phương trình (2) có nghiệm kép bằng 0 t1 t2 0. Chuyên đề Phương trình. 17. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái. 5  a   4  a  1  2 ( vô lý) Không có giá trị của a + Trường hợp 2:Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt: 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm. 5  4a 0    2a  1   2 0. 5  4 a  0   0    t1.t 2 0   a 2  1 0  t  t  0  2a  1  0 1 2 . 5  a  4  a 1  a  1  1 a  2 . âm Vậy a = -1 c) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi nghiệm của phương trình (2) xảy ra các trường hợp  0  +Trường hợp 1: phương trình (2) có nghiệm kép dương t1 t2  0. 5  a   4  a 5  4 a  1  2 +Trường hợp 2: phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu  a.c <0  a2  1  0   1  a 1 5 Vậy -1 < a < 1; a = 4 5  4a 0    2a  1   0  2. Ví dụ 2 Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4 - 2mx2 + m - 12 = 0 (1). ( m là tham số). Giải Đặt x2 = t (t 0) ta có phương trình bậc 2 ẩn t t2 -2mt + m – 12 = 0 Xét  '  m2 - m + 12 =. (m . (2). 1 2 47 )  2 4 > 0 với mọi m. Phương trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Chuyên đề Phương trình. 18. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái. Để phương trình ( 1) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân (luôn đúng với mọi m)   0   t1.t2  0  biệt t1  t2  0. m  12  0   2m  0. m  12  m  12  m  0. Vậy m > 12. 2.b Phương trình tích, trong đó có nhân tử là đa thức bậc hai. 1.Ví dụ :Giải các phương trình a) (3x2- 5x + 1)(x2- 4) = 0 b) (2x2 + x - 4)2 -(2x-1)2 = 0 2. Phương trình bậc 3: ax 3 + bx 2 + cx+ d= 0 Nếu a+ b+ c + d = 0 thì phương trình có một nghiệm x 1 =1 Nếu a – b + c – d = 0thì phương trình có một nghiệm x 1 = -1. Khi đã nhận biết được nghiệm, ta phân tích được vế trái của phương trình thành nhân tử. Giải phương trình đưa về dạng tích chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích ta sẽ được một phương trình mà vế tráigồm các phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai đã biết cách giải. Phương trình bậc 3 có các hệ số nguyên. Nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là bội số của hạng tử tự do ( Định lí về sự tồn tại của nghiệm nguyên của phương trình với hệ số nguyên. 3. Phương trình bậc 4: ax4+ bx3+ cx 2 + dx+ e = 0 a) Trường hợp đặc biệt: Nếu a+ b+ c + d +e = 0 thì phương trình có một nghiệm x 1 =1 Nếu tổng các hệ số hạng tử bậc lẻ bằng tổng các hệ số hạng tử bậc chẵn thì phương trình có một nghiệm x 1 = -1. Khi đã nhận biết được nghiệm, ta phân tích được vế trái của phương trình thành nhân tử. Chuyên đề Phương trình. 19. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái. Nếu phương trình có nghiệm nguyên, nhẩm nghiệm đưa về dạng tích chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích ta sẽ được một phương trình mà vế tráigồm các phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai đã biết cách giải. b) Phương trình hệ số đối xứng bậc 4: ax4+ bx3+ cx 2 + dx+ e = 0 có các hệ số cách đều số hạng đầu và cuối bằng nhau. Ví dụ : Giải phương trình: 10 x4-27x3-110x 2 -27x+10 = 0 * Nhận xét x=0 không là nghiệm của phương trình* nên chia cả hai vế của phương trình* cho x2 ta được phương trình: : 10x 2 - 27 x – 110Đạt ẩn phụ:. x+. 1 x. = t **. ⇒. x 2+. 1 2 x. =. t2. 27 x. 10 2 x. +. =0. -2 ta được phương trình bậc hai ẩn t .. Giải phương trình ẩn t thay vào hệ thức ** ta tìm được x c ) Phương trình bậc 4: ax4+ bx3+ cx 2 + dx+ e = 0 có các hệ số a, e khác 0 và d 2 ¿ b ¿. e a. =. trường hợp b là trường hợp đặc biệt của trường hợp này.. Ví dụ : Giải phương trình: x4-4x3- 9x 2 +8x+4 = 0 * Nhận xét x=0 không là nghiệm của phương trình* nên chia cả hai vế của phương trình* cho x2 ta được phương trình: : x 2 - 4 x – 9+ Đạt ẩn phụ:. x−. 2 x. = t **. ⇒. 2. x+. 1 x2. =. t. 2. 8 x. +. 4 x2. =0. +4 ta được phương trình bậc hai ẩn t .. Giải phương trình ẩn t thay vào hệ thức ** ta tìm được x 4. Phương trình dạng: (x +a) (x +b) (x +c) (x +d) = m Trong đó a+d =b+c Giải phương trình ta nhóm (x +a) (x +d) và (x +b) (x +c) khi đó phương trình có dạng : [ x 2+ ( a+d ) x+ ad ][ x 2+ ( b+d ) x+ bc ]=0 Đặt [ x 2+ ( a+d ) x+ ad ] =t ta được phương trình bậc hai ẩn t .Giải phương trình tìm t rồi thay vào hệ thức trên tìm x. 5. Phương trình dạng (x+a)4 +(x+b)4 =k. Chuyên đề Phương trình. 20. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái. Đặt ẩn phụ là trung bình cộng của x+a và x+b đưa phương trình đã cho về phương trình trùng phươngđã biết cách giải. Ví dụ: Giải phương trình: (x+3)4 +(x-1)4 = 626 Đặt t =(x+3+x-1):2 ta có phương trình (t+2)4 +(t-2)4 = 626 ⇔. t4 +242 -297 =0. ⇒. t =3 ;t=-3. ⇒. x=2; x=-4. III. Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu : a. Khái niệm: Phương trình chứa ẩn sô ở mẫu là những phương trình có ẩn sô nằm ở mẫu thức của phương trình nhờ các phép biến đổi tương đương ta đưa được phương trình về dạng trung gian: phương trình bậc hai . b. Cách giải: Thực hiện các bước giải như trong quy tắc chung giải một phương trình: chu ý biến đổi phương trình là tương đương ta làm như sau: - Tìm điều kiện xác định của phương trình chính là đặt điều kiện để phương trình có nghĩa ( giá trị của mẫu thức phải khác không) - Khử mẫu ( nhân cả hai vế của phương trình với mẫu thức chung của 2 vế) - Mở dấu ngoặc ở cả hai vế của phương trình chuyển vế: chuyển những hạng tử chứa ẩn về một vế , những hạng tử không chứa ẩn về vế kia) - Thu gọn phương trình về dạng tổng quát đã học. - Nhận định kết quả và trả lời ( loại bỏ những gía trị của ẩn vừa tìm được không thuộc vào tập xác định của phương trình) c.Ví dụ: * Ví dụ 1: giải phương trình: 3x 1 x2  2   2 x  2 x 1 x 2  1. (a). Phân tích mẫu thức thành nhân tử: 3x 1 x2  2   (a)  2( x  1) x 1 ( x  1)( x  1) x  1 0    x 1 x  1  0  Điều kiện. Chuyên đề Phương trình. 21. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Trường THCS Hồng Quang 2( x  1)( x  1). Mẫu thức chung : Khử mẫu ta có:. Đỗ Trọng Thái. 3x ( x  1)  2( x  1) 2( x 2  2). 2 2 Mở dấu ngoặc: 3x  3x  2 x  2 2 x  4 2 2 Chuyển vế đổi dấu : 3 x  3 x  2 x  2  2 x  4 0 2 Thu gọn: x  x  2 0. (b). Giải phương trình (b) ta được hai nghiệm:. x1 1; x2  2. Nhận định kết quả: đối chiếu với điều kiện ban đầu x 1 Vậy phương trình (a) có nghiệm là: x = -2. Ví dụ 2: giải phương trình: 4 1 4 1  2   0 2 2 x  3x  8 x  12 x  4 2 x  7 x  6 2 x  3 3. Vì. 2. (a). 2 x3  3x 2  8 x  12 (2 x3  8 x) (3 x 2  12). 2 x ( x 2  4)  (3 x 2  4) (2 x  3)( x  2)( x  2) 2 x 2  7 x  6 (2 x 2  3x)  (4 x  6) x(2 x  3)  2(2 x  3) ( x  2)(2 x  3). . 4 1 4 1    (2 x  3)( x  2)( x  2) ( x  2)( x  2) ( x  2)(2 x  3) 2 x  3. (a) x  2 0   x  2 0   2 x  3 0 .  x 2   3  x  2. Điều kiện: Mẫu thức chung:. ( x  2)( x  2)(2 x  3). Chuyên đề Phương trình. 22. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái.  4  (2 x  3)  4( x  2)  ( x  2)( x  2)  4  2x  3  4x  8  x2  4. (a) Thu gọn: x. 2.  6 x  5 0. (b). Phương trình (b) có hai nghiệm: x1 1; x2 5. Nhận định kết quả x 1 =1 và x 2 =5 đều thuộc miền xác định của phương trình (a) nên nó là nghiệm của phương trình (a). Ví dụ 3. Giải phương trình (4) Giải. Điều kiện của phương trình (4) là. và. Nhân hai vế của phương trình (4) với. ta được phương trình hệ quả. (4). .. . . .. Phương trình cuối có hai nghiệm là và .Ta thấy của phương trình (4), đó là nghiệm ngoại lai nên bị loại, còn một nghiệm của phương trình (4). Vậy phương trình (4) có nghiệm duy nhất là. không thỏa mãn điều kiện thỏa mãn điều kiện và là. .. d. Nhận xét: - Loại phương trình ở 2 ví dụ trên là dạng có nhiều ở trường trung học cơ sở. - Khi giải cần lưu ý: Tìm miền xác định của phương trình, cuối cùng phải nhận định kết quả và trả lời. IV. Ph¬ng tr×nh v« tØ: 1. Bình phương 2 vế của phương trình a) Phương pháp  Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : A  B  C  D , ta thường bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau Chuyên đề Phương trình. 23. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Trường THCS Hồng Quang Đỗ Trọng Thái 3 3 3 3 3 3 A  B  C  A  B  3 A.B A  B C  3 3 3 và ta sử dụng phép thế : A  B C ta được phương trình : A  B  3 A.B.C C. . b). . Ví dụ. Bài 1. Giải phương trình sau : Giải: Đk x 0. x  3  3 x  1 2 x  2 x  2. 1   x  3  3 x  1  x  2 x  2 x  1 Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được: , để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút . Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : 3 x  1  2 x  2  4 x  x  3 Bình phương hai vế ta có : Thử lại x=1 thỏa. 6 x 2  8 x  2  4 x 2  12 x  x 1. f  x  g  x  h  x  k  x  Nhận xét : Nếu phương trình : f x  h  x  g  x   k  x  Mà có :   , thì ta biến đổi phương trình về dạng : f  x  h  x  k  x  g  x sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả Bài 2. Giải phương trình sau : x3  1  x 1  x2  x 1  x  3 x 3 Giải: Điều kiện : x  1 Bình phương 2 vế phương trình ? Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào? Ta có nhận xét : (2) . x3  1  x 3. x3  1 . x  3  x 2  x  1. x  1 x 3 , từ nhận xét này ta có lời giải như sau : x  3  x2  x 1 . x 1. x3  1  x 2  x  1  x 2  2 x  2 0  x 3. Bình phương 2 vế ta được: Thử lại : x 1  3, x 1  3. l nghiệm f  x  g  x  h  x  k  x. Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình : Mà có :.  x 1  3   x 1  3. f  x  .h  x  k  x  .g  x . thì ta biến đổi. f  x . h  x  k  x . g  x. 2. Trục căn thức 2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung a) Phương pháp Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa A x 0 x  x0  A  x  0 về được dạng tích  ta có thể giải phương trình   hoặc chứng minh Chuyên đề Phương trình 24 Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Trường THCS Hồng Quang Đỗ Trọng Thái A  x  0 vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía A  x  0 vô nghiệm b) Ví dụ x 2  2  3  x 2  x  1 . 3x2  5 x  1 . x 2  3x  4. Bài 1 . Giải phương trình sau : Giải: 3x 2  5 x  1   3 x 2  3 x  3  2  x  2  x 2  2    x 2  3x  4  3  x  2    Ta nhận thấy : v  2x  4 3x  6  2 x  2  x2  3x  4 3x 2  5 x  1  3  x 2  x  1 Ta có thể trục căn thức 2 vế : Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình . Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) :. x 2  12  5 3 x  x 2  5. 5 3 Giải: Để phương trình có nghiệm thì : Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng  x  2  A  x  0 , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau : x2  4 x2  4 x 2  12  4 3 x  6  x 2  5  3  3  x  2   x 2  12  4 x2  5  3 x 2  12 .  x2   x  2   2  x  12  4. x 2  5 3x  5 0  x . x 1.   3  0  x 2 x2  5  3  x2 x2 5   3  0, x  2 3 x2  5  3 Dễ dàng chứng minh được : x  12  4 3 2 3 Bài 3. Giải phương trình : x  1  x  x  1 3 Giải :Đk x  2 Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình   2 x 3    x  3  x  3 x  9  3 3 2 x  1  2  x  3  x  2  5   x  3 1   2 2 2 3 3 x  1 x3  2  5    2 x  1  4  . x 3. 1. 2. 1 . x 3. . . 2. 2 . x 2  3x  9. 3 x  1 x  1 1  3   2 x  14 x3  2  5 Ta chứng minh : Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3 2.2. Đưa về “hệ tạm “ a) Phương pháp  Nếu phương trình vô tỉ có dạng A  B C , mà : A  B  C ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của x . Ta có thể giải như sau : 2. Chuyên đề Phương trình. 3. 2. 3. 25. 2. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Trường THCS Hồng Quang A B C  A B b) Ví dụ. A. Đỗ Trọng Thái.  A  B C  2 A C    B  A  B    , khi đĩ ta có hệ: . 2 2 Bài 4. Giải phương trình sau : 2 x  x  9  2 x  x  1  x  4 Giải: 2 x 2  x  9    2 x 2  x  1 2  x  4   Ta thấy : x  4 không phải là nghiệm Xét x  4 2x  8 x  4  2 x 2  x  9  2 2 Trục căn thức ta có : 2 x  x  9  2 x  x  1. 2 x 2  x  1 2.  2 x 2  x  9  2 x 2  x  1 2  2 2 x2  x  9 x  6    2 x 2  x  9  2 x 2  x  1 x  4 Vậy ta có hệ:  8 Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x= 7.  x 0   x 8 7 . 2 2 Bài 5. Giải phương trình : 2 x  x  1  x  x  1 3 x  2 x 2  x  1   x 2  x  1 x 2  2 x , như vậy không thỏa mãn điều kiện trên. Ta thấy : 1 t x thì bài toán trở nên đơn giản hơn Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau :. 1) 2) 3) 4) 5). x 2  3x  1  x  3 x 2  1 4  3 10  3 x  x  2 (HSG Toàn Quốc 2002) 2  2  x   5  x   x   2  x   10  x  3. x2  4  x  1  2 x  3. 3. x 2  1  3x 3  2 3x  2. 2 3 6) 2 x  11x  21  3 4 x  4 0 (OLYMPIC 30/4-2007). 7). 2 x2  1  x2  3x  2  2 x2  2 x  3  x2  x  2. 8). 2 x 2  16 x  18  x 2  1 2 x  4. 2 2 9) x  15 3x  2  x  8 3. Phương trình biến đổi về tích  Sử dụng đẳng thức u  v 1  uv   u  1  v  1 0. au  bv ab  vu   u  b   v  a  0. A2  B 2 Chuyên đề Phương trình. 26. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Trường THCS Hồng Quang Bài 1. Giải phương trình : pt  Giải:. . 3. . x 1  1. 3. 3. Đỗ Trọng Thái 3. 3. 2. x  1  x  2 1  x  3x  2.  x 0 x  2  1 0    x  1. . 3 2 3 2 3 3 Bi 2. Giải phương trình : x  1  x  x  x  x Giải: + x 0 , không phải là nghiệm  x 1  x 1 3 3  x 1  3 x  1   3  1 x x   + x 0 , ta chia hai vế cho x:. pt. . x  3  2x. . 3. . x  1 0  x 1. x  3  2 x x  1 2 x  x 2  4 x  3. Bài 3. Giải phương trình: Giải: dk : x  1 . .  x 1 x  1  1 0    x 0. . x 3  Bài 4. Giải phương trình : Giải: Đk: x 0. 4x 4 x x 3.  4x 4x 1 2  1 x 3 x 3  Chia cả hai vế cho x  3 :  Dùng hằng đẳng thức k k Biến đổi phương trình về dạng : A B. 2. 4x   0  x 1 x 3 . 3  x x 3  x Bài 1. Giải phương trình : Giải: 3 2 Đk: 0  x  3 khi đó pt đ cho tương đương : x  3x  x . 3 0. 3. 3 1  10 10  1   x   x   3 3 3 3  2 Bài 2. Giải phương trình sau : 2 x  3 9 x  x  4 Giải:. 1 . 3 x. . 2. Đk: x  3 phương trình tương đương : Bài 3. Giải phương trình sau : Giải : pttt. . . 3. x2 . 3. 3x. . 3.  x  3  1 3x 9 x    x  3  1  3 x  2. 2  3 3 9 x 2  x  2  2 x  3 3 3x  x  2 .  x 1   x   5  97  18. 2. 0  x 1. II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ 1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Chuyên đề Phương trình. 27. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái t  f  x  Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt và chú ý điều kiện t t của nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” .Nói chung những t  f  x phương trình mà có thể đặt hoàn toàn thường là những phương trình dễ . x. Bài 1. Giải phương trình: Điều kiện: x 1 Nhận xét.. x 2  1  x  x 2  1 2. x 2  1. x  x 2  1 1. x. 1 t  2  t 1 t Đặt t  x  x  1 thì phương trình có dạng: Thay vào tìm được x 1 2. 2 Bài 2. Giải phương trình: 2 x  6 x  1  4 x  5 Giải 4 x  5 Điều kiện:. t2  5 x 4 . Thay vào ta có phương trình sau: Đặt t  4 x  5(t 0) thì t 4  10t 2  25 6 2 2.  (t  5)  1 t  t 4  22t 2  8t  27 0 16 4  (t 2  2t  7)(t 2  2t  11) 0 Ta tìm được bốn nghiệm là:. t1,2  1 2 2; t3,4 1 2 3. Do t 0 nên chỉ nhận các gái trị t1  1  2 2, t3 1  2 3 Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: x 1  2 vaø x 2  3 2 Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện 2 x  6 x  1 0 2 2 2 Ta được: x ( x  3)  ( x  1) 0 , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.. Đơn giản nhất là ta đặt : 2 y  3  4 x  5 và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ) Bài 3. Giải phương trình sau: x  5  x  1 6 Điều kiện: 1  x 6 2 4 2 Đặt y  x  1( y 0) thì phương trình trở thnh: y  y  5 5  y  10 y  y  20 0 ( với 1  21  1  17  y (loại), y  y  5)  ( y  y  4)( y  y  5) 0 2 2 11  17 x 2 Từ đó ta tìm được các giá trị của 2. 2. Bài 4. (THTT 3-2005) Giải phương trình sau : Giải: đk 0  x 1 Chuyên đề Phương trình. . . x  2004  x 1  1 . 28. x. . 2. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Trường THCS Hồng Quang 2  2  1  y   y 2  y  1002  0  y 1  x 0 y  1  x Đặt pttt 1 x 2  2 x x  3x  1 x Bài 5. Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện:  1  x  0 Chia cả hai vế cho x ta nhận được: 1 t x  x , ta giải được. Đặt. x2 x. Đỗ Trọng Thái. 1 1 3  x x. 2 3 4 2 Bài 6. Giải phương trình : x  x  x 2 x  1. 1 1   x    3 x  2 x x Giải: x 0 không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được:  1 1 5 3 x t 1  x  3 x , Ta có : t  t  2 0  2 Đặt t= Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau 2 2 a. 15 x  2 x  5  2 x  15 x  11 2 b. ( x  5)(2  x) 3 x  3 x 2 c. (1  x)(2  x) 1  2 x  2 x 2 2 d. x  17  x  x 17  x 9. e.. 3 x  2  x  1 4 x  9  2 3 x 2  5 x  2. 2 2 f. x  x  11 31 n 2 2 2 n n g. 2 (1  x)  3 1  x  (1  x) 0 2 h. x (2004  x )(1  1  x ) i. ( x  3 x  2)( x  9 x  18) 168 x. 1  x 2  2 3 1  x 2 3 j. Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với t lại quá khó giải 2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến : 2 2  Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u   uv   v 0 (1) bằng cách 2. u u         0 v Xét v 0 phương trình trở thành :  v  v 0 thử trực tiếp Các trường hợp sau cũng đưa về được (1) Chuyên đề Phương trình. 29. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Trường THCS Hồng Quang a. A  x   bB  x  c A  x  .B  x  . Đỗ Trọng Thái.  u   v  mu 2  nv 2  Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này . a. A  x   bB  x  c A  x  .B  x  a) . Phương trình dạng : Q  x   P  x  Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu  P  x   A  x  .B  x   Q  x  aA  x   bB  x  Xuất phát từ đẳng thức : x3  1  x  1  x 2  x  1 x 4  x 2  1  x 4  2 x 2  1  x 2  x 2  x  1  x 2  x  1. . x4 1  x2 . . . 2x 1 x2  2x 1. 4 x 4  1  2 x 2  2 x  1  2 x 2  2 x  1 2 4 Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: 4 x  2 2 x  4  x  1 Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai at 2  bt  c 0 giải “ nghiệm đẹp”. Bài 1. Giải phương trình :. 2  x 2  2  5 x 3  1. 2 Giải: Đặt u  x  1, v  x  x  1. 2 u  v 2. phương trình trở thnh : 5  37 x 2 Tìm được: Bài 2. Giải phương trình :. 2. .  u 2v 5uv    u 1 v  2. x 2  3 x  1 . 3 4 x  x2 1 3. 2 3 Bài 3: giải phương trình sau : 2 x  5 x  1 7 x  1 Giải: Đk: x 1. Nhận xt : Ta viết.   x  1    x 2  x  1 7. Đồng nhất thứ ta được.  x  1  x 2  x  1. 3  x  1  2  x  x  1 7.  x  1  x 2  x  1.  v 9u 3u  2v 7 uv    v 1 u 2  4 Đặt u  x  1 0 , v  x  x  1  0 , ta được: Chuyên đề Phương trình. 30. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Trường THCS Hồng Quang Ta được : x 4  6. Đỗ Trọng Thái 3. x3  3x 2  2  x  2   6 x 0 Bài 4. Giải phương trình : Giải: Nhận xét : Đặt y  x  2 ta hy biến pt trn về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :  x y x 3  3x 2  2 y 3  6 x 0  x3  3xy 2  2 y 3 0    x  2 y Pt có nghiệm : x 2,. x 2  2 3. 2 2 b).Phương trình dạng :  u   v  mu  nv Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.. 2 2 4 2 Bài 1. giải phương trình : x  3 x  1  x  x  1 Giải: u  x 2  2 2 v  x2  1 Ta đặt :  khi đó phương trình trở thành : u  3v  u  v 2 2 Bài 2.Giải phương trình sau : x  2 x  2 x  1  3x  4 x  1 Giải 1 x 2 . Bình phương 2 vế ta có : Đk. x. 2.  2 x   2 x  1  x 2  1 . x. 2.  2 x   2 x  1  x 2  2 x    2 x  1.  1 5 v u  2 2 2 uv u  v   u  x 2  2 x  1 5  u v  v  2 x  1 2   Ta có thể đặt : khi đó ta có hệ : 1 5 1 5 u v  x2  2x   2 x  1 u , v  0 2 2 Do . 5 x 2  14 x  9 . Bài 3. giải phương trình : Giải:. x 2  x  20 5 x  1. 2 x 2  5 x  2 5  x 2  x  20   x  1 x  5 Đk . Chuyển vế bình phương ta được: 2 x 2  5 x  2   x 2  x  20     x  1  ,  Nhận xét : không tồn tại số để : vậy ta không thể đặt 2 u  x  x  20  v  x  1 . Nhưng may mắn ta có :. x. 2.  x  20   x  1  x  4   x  5   x  1  x  4   x 2  4 x  5 . Chuyên đề Phương trình. 31. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Trường THCS Hồng Quang. Đỗ Trọng Thái. 2  x  4 x  5   3  x  4  5 ( x  4 x  5)( x  4) 2. Ta viết lại phương trình: giải quyết .. 2. . Đến đây bài toán được. Bµi tËp: giải các phương trình : Bµi 1: √ x2 − 4 x+ 4+ √ x 2 +2 x +1=3 Bµi 2: √ x+2 √ x −3 − 2+ √ x −2 √ x −3 −2=3 2 Bài 3: 1) x  1  x  4 x  5 2 2) 3x  1  4 x  13 x  5 3 3 3) x  2 3 3x  2 4x  9 7 x 2  7 x 28 4). x 0. 3 3 5) x  1 2 2 x  1. 6). . . x 3 35  x 3 x  3 35  x3 30. 2 7) 4 x  13x  5  3 x  1 0. V. Phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyêt đối VÝ dô:Gi¶i ph¬ng tr×nh: |3 x − 2|+|3 x −1|=3 Ta cã thÓ gi¶i nh sau: LËp b¶ng xÐt vÕ tr¸i: x 1 3 −3 x +2 −3 x +1 −6 x +3. |3 x − 2| |3 x −1|. −3 x +2 3 x −1 0 x+1. 2 3 3 x −2 3 x −1 6 x−3. VÕ tr¸i céng l¹i VËy: + Víi x ≤ 1 th× ph¬ng tr×nh (1) ⇔ − 6 x+3=3 ⇔− 6 x =0 ⇔ x=0 ( tho¶ m·n) 3. + Víi 1 ≤ x ≤ 2 th× ph¬ng tr×nh (1) ⇔ 0 x +1=3 3. 3. ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.. + Víi x ≥ 2 th× ph¬ngtr×nh (1) ⇔6 x −3=3 ⇔6 x=6 ⇔ x=1 tho¶ m·n. 3 Bµi tËp: Bµi 1: |x − 2|+|2 x+1|=5 Bµi 2: ||x|+3|+ 2 x=4. Chuyên đề Phương trình. 32. Năm học 2016 - 2017.

<span class='text_page_counter'>(33)</span>