De HSG khao sat doi tuyen du thi cap tinh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (173.15 KB, 4 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>UBND HUYỆN NGỌC LẶC PHÒNG GD&ĐT. KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: TOÁN. ĐỀ CHÍNH THỨC. Ngày khảo sát: 24/01/2016 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi này gồm 05 câu, 01 trang. Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức:. x 2 y2 x y x y . P 2 2 xy x y x 2 y2 x y x y . với x y 1 (*). a) Rút gọn biểu thức P. b) Với điều kiện (*) và x y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Câu 2: (4,0 điểm) 2 2 x 5xy 2y 3 2 a) Giải hệ phương trình: 4xy y 4. 1 b) Giải phương trình x3 x2 x 3 . Câu 3: (4,0 điểm) a) Cho biểu thức P = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì P là một số chính phương. b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2x2 + 2y2 - 2xy + x + y = 0. Câu 4: (6,0 điểm) Cho đường tròn (O, R) và hai đường kính AB, MN. Các đường thẳng BM, BN cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tương ứng tại M’ và N’. Gọi P, Q theo thứ tự là các trung điểm M’A và N’A. a) Chứng minh tứ giác MNN’M’ nội tiếp. b) Chứng minh rằng các đường cao của BPQ cắt nhau tại trung điểm của bán kính OA. c) Giả sử AB cố định, MN thay đổi. Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích BPQ theo R. Câu 5: (2,0 điểm) Cho 100 số tự nhiên đầu tiên, xóa hai số bất kỳ và thay bằng hiệu bình phương của chúng. Quá trình tiếp tục như vậy. Hỏi có lúc nào trên bảng gồm toàn số 0 không?. ........................................... Hết ........................................... Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh:.................................................................SBD:.....................
<span class='text_page_counter'>(2)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9 - NĂM HỌC 2015 - 2016. Câu 1: a) Ta có:. 2. ( √ x− y ) x−y x 2+ y 2 √ P= + . √ x + y + √ x− y √ ( x+ y )( x− y ) −( √ x− y )2 √ x 2− y 2. (. 2. ). 2. 1 1 x +y P=√ x− y + . √ x+ y+ √ x− y √ x + y− √ x− y √ x 2− y 2 √ x+ y . x 2+ y 2 x2+ y 2 P=√ x− y . P= y √ x2 − y 2 . Vậy y. (. ). 2. 2 y +2 y+1 1 P= =2+2 y + y y b) từ x= y+1 thay vào ta có: 1 1 P=2+ y + + y≥2+2 y . +1=5 y y Ta có: ( theo côsi và do y≥1 ). ( ). √. 1 y y =1 x= y +1 y ≥1 ¿ {¿ {¿ {¿ ¿ ¿ ¿ y=. ⇔ x =2 y =1 ¿ ¿ {¿ ¿ ¿. Vậy Pmin =5 đạt được khi: 2 2 x 5xy 2y 3(1) 2 Câu 2: a) 4xy y 4(2) Nhân hai vế của (1) với 4, nhân 2 vế của (2) với 3 rồi cộng theo vế, ta được: 4x2 - 8xy - 5y2 = 0 (3). Vì y = 0 không phải là nghiệm của (3), chia hai vế của (3) cho y2 ta được: 2. x x 4 8 5 0 y y x 5 1 Đặt t = y ta được 4t2 - 8t - 5 = 0⇔ t = 2 hoặc t = 2 x 5 5 25 - Với t = 2 thì y = 2 hay x2 = 11 (vô lí). x 1 1 - Với t = 2 thì y = 2 hay y = - 2x, thay vào (2) tìm được x2 = 1. Hệ phương trình có hai nghiệm (x ; y) = (1 ; -2); (x ; y) = (-1 ; 2). b) Phương trình 3x3 3x2 3x 1 4x3 x3 3x2 3x 1 1 4x3 (x 1)3 x 4 x 1 x 4 1 . 1 3 Vậy nghiệm của phương trình là x 4 1 . 3. 3. Câu 3: a) P = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)(x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 4y2 = a. Ta có: P = a(a + 2y2) + y4 = (a + y2)2 = (x2 + 5xy + 5y2)2. (đpcm).
<span class='text_page_counter'>(3)</span> S2 b) Đặt x + y = S; xy = P. Ta có (x +y)2 ≥ 4xy, hay P ≤ 4 . 2(x + y)2 - 6xy + (x + y) = 0 2S2 S S2 2 6 4 ⇒ S2 + 2S ≤ 0 ⇒ -2 ≤ S ≤ 0, do S ∈ Z ⇒ S = ⇔ 2S - 6P + S = 0 ⇒ P = -2; S = -1; S = 0. Tính được P = 1, P = 1/6 (loại), P =0. Các bộ nghiệm tìm được (0; 0); (-1; -1). Câu 4:. a) Ta có: M’N’N = M’BA (góc có cạnh tương ứng vuông góc) mà M’BA = BMN M’N’N = BMN M’MN + M’N’N = M’MN + BMN = 1800 Tứ giác MNN’M’ nội tiếp đường tròn b) Đặt : AM’ =a1 ; BM’ = a ; AN’ = b1 ; BN’ = b. (2đ). a1 b1 Ta có: PQ = 2 . M’BN’ vuông tại B, BA M’N’ BA2 = AM’.AN’ hay a1b1 = 4R2. Gọi H là trực tâm BPQ thì H AB (1đ) Xét hai tam giác: PAH và BAQ có HAP=BAQ = 1v, HPA=QBA (Cùng phụ với AQB) AH PA b1 a1 PAH # BAQ AQ BA hay AH: 2 2 : 2R. 2. R 2AH = 4 R 4 R AH = 2 Vậy trực tâm H của BPQ là trung điểm của OA. 1 AB.PQ R.PQ SBPQ nhỏ nhất khi PQ nhỏ nhất c) Ta có SBPQ = 2 M’N’ nhỏ nhất( Vì 2PQ=M’N’). a1 b1 4 R. (1đ). a1 b1 Từ PQ = 2 2PQ = a1+b1 mà a1b1 = 4R2 không đổi. 2PQ = a1+b1 nhỏ nhất khi a1 = b1 = 2R PQ = 2R M’N’ = 4R = 2AB. (1đ). 1 AB = 2 M’N’ và AM’ = AN’ BM’N’ cân BMN = BNM =BM’N’=BN’M’ MN//M’N’ MN AB tại O Vậy minSBPQ = 2R2 khi MN AB tại O. (1đ). Câu 5: Nhận xét a2 - b2 không chia hết cho 3 ⇔ a không chia hết cho 3 hoặc b không chia hết cho 3. Mỗi lần xóa hai số và tha bằng hiệu bình phương của chúng thì số các số không chi hết cho 3 không thay đổi hoặc giảm đi 2 đơn vị với lần ngay trước đó..
<span class='text_page_counter'>(4)</span> Trong 100 số tự nhiên đầu tiên có 100 - 33 = 67 số không chia hết cho 3. Do đó trên bảng luôn có một số lẻ số không chia hết cho 3. Vì vậy không có lúc nào trên bảng toàn gồm toàn số 0. Học sinh làm theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa..
<span class='text_page_counter'>(5)</span>
