KI THUAT CHON DIEM ROI

<span class='text_page_counter'>(1)</span>KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI. Câu 1. Cho a 3. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 1 S a  . a. 1 1 2 a. 2  min S 2. a a Sai lầm thường gặp: 1  a   a 2 1  a 1  3. a Nguyên nhân sai lầm: minS=2 S a .  . Hướng dẫn .  . Dự đoán được điểm rơi là a=3.. a 3    1 3     9.  3   1 1  a 3  Ta tìm  sao cho Ta sẽ phân tích như sau:. S a  o. 1  a 1  8a a 1 8a 2 8.3 10 10     2 .     . m inS  khi a=3. a 9 a 9 9 a 9 3 9 3 Vậy 3. Câu 2. Cho a . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức.  . 1  8 1  7a a 1 7a 2 7a 2 7.2 9   2   2 . 2       . m inS  9 khi a=2. 2 a a a  8 8 a 8 8 4 8a 8 8.2 4. o Nguyên nhân sai lầm: o Chọn điểm rơi đúng và minS đúng.. 2 7a 2 7.2 9     8 8 4 là đánh giá sai. 8a 8.2. Nhưng đánh giá Để điều chỉnh lời giải sai về lời giải đúng ta cần biến đổi S sao cho khi sử dụng bất đẳng thức cô si sẽ khử hết biến số ở mẫu số. Hướng dẫn Ta sẽ phân tích như sau: o o. . S a  o. 1 a a 1    a2  8 8 a2. a a 1 6a 3 6.2 9  6a 9  3 . . 2     . minS  khi a=2.  8 8 a 8 4 8 4 Vậy  8 4. Câu 3. Cho a . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức. . 1 . a2. a 2    1 2     8.  4   1 1 2  a 4  Ta tìm  sao cho. Dự đoán được điểm rơi là a=2. Sai lầm thường gặp:. S a  . S a . Dự đoán được điểm rơi là a=6.. S a 2  . S a 2 . 18 . a.  a 2 36   18 36       2 6.  18 18  6    6 Ta tìm  sao cho  a. 18  a 2 18   1  2 a 2 18  1  2   a  2 .  1    1   a a 2 6 a  2 6 2 6 a  2 6 .. a a  1  2 6 6  1  2  1  1  a 6  6 36  3 6. 6  2 6 6  2 6 Vậy minS 36 3 6 khi a=6. 1 1 0a . S 2a  2 . 2 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức a Câu 4. Cho 6. o. Sơ đồ chọn điểm rơi 1:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1  a  1  1 4 2 a       8. 1 4 2  2     a 2 . o. o Cách giải 1:. S 2a  o. 1  1  7 1 7 3 7.4 1  a  a  2   2 3 3 a.a. 2  2   5. minS 5 khi a= . 2 a  8a  8a 8a 8a 2 8 2 Vậy. o Sơ đồ chọn điểm rơi 2:.   a   1  1 4 2 a       8. 2 1 2  4 2  a. o. o Cách giải 2:. S 2a  o o. 1  1  8a  8a  2 2 a a . 1 1    a 3 3 8a.8a. 2  a=12-14a    5. a 2 . 1 m inS 5 khi a= . 2 Vậy. Câu 5. Cho a, b  0, a  b  Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức o. o. Đặt. t. 1 1 1  ab  . S t  . ab t Khi đó: t. t Từ. Bài toán trở thành: Cho t 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 1 1  4. ab  a  b  2    2 . 1 S t  . t. Sơ đồ chọn điểm rơi:. o. t 4   1 4 t 4       16. 1 1 4     t 4. o. 1  t 1  15t t 1 15t 2 15t 2 15.4 17 S t      2. .       . m inS 17 khi a=b= 1 . t  16 t  16 16 t 16 4 16 4 16 4 4 2. 1 a b  . 2 Lời giải thu gọn: Do t=4 nên 1  1  15 1 S ab   ab  2 ab.   ab  16ab  16ab 16ab o. Nên. Câu 6. Cho a, b, c  0, a  b  c  Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức o Đặt ẩn phụ.. o o o. 1 . ab. Đặt ẩn phụ.. o o o. S ab . Đặt. t. 1 1 1  abc  . S t  . abc t Khi đó: t. 15. 17  . 4  a b  17 1 16  m inS  khi a=b= .  2   4 2 2. S abc . t Từ. 1 . abc. 1 1  . abc  a  b  c  3   3  . 1 S t  . t Bài toán trở thành: Cho t  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Sơ đồ chọn điểm rơi:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> o.  t 27     1 27 t 27       27 2. 1 1 27     t 27 2 2 1  t 1   27  1 t t 1  27  1 t 730 S t   2    2. .   . t  27 t 27 2 272 t 272 27. o. minS . o Lời giải thu gọn. o o. 1 a b c  . 3 nên ta biến đổi trực tiếp như sau: Do t=27 nên 1 1  27 2  1 1 27 2  1 730  S abc   abc  2   2 abc .   .  abc  27 abc  27 2 abc 272 abc 27 2 abc 27. Câu 7. Cho a, b  0. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức o Sơ đồ chọn điểm rơi:. o. 730 1 khi a=b=c= . 27 3. S. a b ab. . ab . a b.  a  b 2a 2  ab  a  1 2  a=b       4. 2   ab  a  1  a  b 2a 2 S. o. a b ab  a  b ab  3  a  b  a  b ab 3  a  b     2 .  .   ab a  b  4 ab a  b  4 ab 4 ab a  b 4 ab. 1 3.2 ab 5 5    . minS  khi a=b>0. 2 4 ab 2 Vậy 2 3 1 1 1 a, b, c  0, a  b  c  S a  b  c    . 2 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c Câu 8. Cho 1 a b c  2.  Dự đoán được điểm rơi là 1  a b c  2 1 2     4.  2   1  1  1 2  a  b  c   Ta tìm  sao cho  . Ta sẽ phân tích như sau:. S a  b  c  o. 1 1 1  1 1 1  3 1 1 1   .  a  b  c         . a b c  4a 4b 4c  4  a b c . 1 1 1 3 3 1 1 1  . .   3. . .  . 4a 4b 4c 4  a b c 9 1 9 1 27 1 15   . 3 3  . 3  .  . a  b  c 4 abc 4 4 a b c 2 3  6 a.b.c.. 15 1 minS  khi a=b=c= . 2 2 Vậy. Cách 2: Ngắn gọn hơn..  . Dự đoán được điểm rơi là Ta sẽ phân tích như sau:. S a  b  c  o. a b c . 1 2..    a  b  c  2   2   4.  2  1  1 1 2   Ta tìm sao cho  a b c. 1 1 1  1 1 1    4a  4b  4c      3  a  b  c  . a b c  a b c. 1 1 1 3.3 15 6 6 4a.4b.4c. . .  3  a  b  c  . 12   . a b c 2 2. 15 1 minS  khi a=b=c= . 2 2 Vậy.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 3 1 1 1 S a 2  b 2  c 2    . 2 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c Câu 9. Cho 1 a b c  2.  Dự đoán được điểm rơi là 1  2 2 2 a b c  4 1 2     8.  4   1  1  1 2    a  b  c   Ta tìm sao cho  a, b, c  0, a  b  c . . Ta sẽ phân tích như sau:. S a 2  b 2  c 2  o. 1 1 1  2 1 1 1 1 1 1  3 1 1 1    a  b 2  c 2             . a b c  8a 8b 8c 8a 8b 8c  4  a b c . 1 1 1 1 1 1 3 31 1 1 9 9 1 9 9 3 27 . . . . .  .3     3   .  . 8a 8b 8c 8a 8b 8c 4 a b c 4 4 abc 4 4 a  b  c 4 27 1 minS  khi a=b=c= . 4 2 o Vậy a, b, c  0   3 1 1 1 S  a2  2  b2  2  c2  2 . a  b  c  2 . b c a Câu 10. Cho Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 a b c  2.  Dự đoán được điểm rơi là 1  2 2 2  a b c  4 1 4     16.  4   1  1  1 4 2 2 2    a  b  c   Ta tìm sao cho  9 9 a 2b 2 c 2 .. . Ta sẽ phân tích như sau:. S  a2 . 1 1 1 1 1 1  ...   b2   ...   c2   ...  . 2 2 2 2 2 2 16 16 16  b    16  b  c    16  c  a    16  a 16 so. o. 16 so. 16 so.  17.17. a2 b2 c2 17 17  17.  17. . 1616.b32 1616.c32 1616.a32.  17.34. a2 b2 c2 34 34  17.  17. , 1616.b32 1616.c32 1616.a32. Ap dung. 2 2   a 2  b   c    17.  34  8 16   34  8 16   34  8 16   , Ap dung   16 .b   16 .c   16 .a     a b c   17  17 8 16  17 8 16  17 8 16  16 .c 16 .a   16 .b.  17.3. 3 17 . A m.n A. m. n. a m a n .. a 17 b 17 c 1 . . 3. 17.17 8 5 5 5 16 8 16 8 16 16 .b 16 .c 16 .a 16 .a .b .c 8. 3 17 2.17  2a.2b.2c . 5. . 3 17  2a  2b  2c  2.17   3  . x. o. m n. 2. 15. . 3 17 . 2.  y2   a2  b2 . 3 17 1 khi a=b=c= . 2 2 Vậy x b ax  by. Dau = khi  0. a y minS . Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski. o Ý nghĩa bất đẳng thức: Chuyển đổi một biểu thức toán học ở trong căn bậc hai thành một biểu thức khác ở ngoài căn để nhận được một biểu thức linh động hơn. o. Xét đánh giá giả định với các số  ,  ..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> o.  1  a2  1  . 2 2  b  2   1  2 1 .  b  2  2 c  2    2 1 1 .  c  2  2 a   2 .   2  1 2  2  1   a     .     2    2 b      2.   a   b .  1.   2  1 2   1   b     .  2   2      2 c     2 .    b   c .  2.   2  1 2   1   c     .  2   2      2 a       2 .   c   a .  3. 1   1 1 1   S 2 .   a  b  c         S 0 2      a b c  . o. Do S là biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán S=S0 tại điểm rơi. 1 . a=b=c= 2 Khi đó tất cả các biểu thức (1), (2), (3) đồng thời xảy ra dấu bằng tức là ta có sơ đồ điểm rơi như sau: 1  a b      1  1 1  b c  a b c a b c           2    1 1 1   4. b c a  1 c  a    Lời giải 2..  2 1 1  1   1  4 .   a 2  2  .  12  42     a  2   a    1 b b  b 17   17     1  1  1  4  2 1 .   b 2  2  . 12  42     b  2   b    2 c c  c 17   17      c 2  1  1 .   c 2  1  . 12  42   1  c  4   3   17  a     a2 a2  17     1  4 4 4 1  1 1 1 15  1 1 1    S         a b c       a b c  a b c 4a 4b 4c 4  a b c   17  17  1  6 1 15  1  1  45 1    3. 3 3 . 3  6. abc.     4a.4b.4c 4  abc   4 abc  17  17     1  45 1 1  45  3 17 3 17 1   minS  khi a=b=c= . 3  a b c    3  .2   4 4  2 2 2 17  17   3   . TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC.. Thí dụ 1. Cho. x, y  0. thỏa mãn. xy . 4 1 5 P  x 4y 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 4 1 5 5 P  y  x x 5  4x . 4 4 Lời giải. Từ giả thiết ta có . Khi đó 4 4  5 4 1 f  x   2  x   0;  f  x   x  5  4x 2 . x 5  4 x với  4  . Ta có Xét hàm số Bảng biến thiên x y .

<span class='text_page_counter'>(6)</span> min f  x   f  1 5. Từ bảng biến thiên ta có.  5 x 0;   4. .. 1 x 1, y  min P  5 4. Do đó đạt được khi. Thí dụ 2. Cho. x, y  . thỏa mãn. y 0, x 2  x  y  12. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức. Lời giải. Từ giả thiết. y 0, x 2  x  y  12. ta có. f  x   x 3  3x 2  9 x  7, x    4;3. Xét hàm số Ta có bảng biến thiên. y  x 2  x  12 . Ta có. min f  x   f  1  12. Từ bảng biến thiên ta có. x  4;3. .. P  xy  x  2 y  17. .. 2 3 2 và x  x  12 0 hay  4  x 3 . Khi đó P  x  3 x  9 x  7 .. f '  x  3 x 2  2 x  3. . .. max f  x   f   3  f  3 20. ,. x  4;3. .. x 1, y  10 x  3, y  6 Do đó min P  12 đạt được khi và max P 20 đạt được khi hoặc x 3, u 0 .. Thí dụ 3. Cho. x, y  0. thỏa mãn. x  y 1. P . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. x 1 x. y. . 1 y. x, y  0 , x  y 1 ta có y 1  x, 0  x  1 . x 1 x P  1 x x . Khi đó ta có 2 x x 1 x 1  x f  x    f  x   2 1  x 1  x 2x x 1 x x , Xét hàm số . Lời giải. Từ giả thiết. Bảng biến thiên. 1 1 min P  min f  x   f    2 x y  x 0;1 2   2. Suy ra đạt được khi Nhận xét. Qua ba thí dụ này cho ta một kỹ thuật giảm biến khi tìm GTNN, GTLN của biểu thức hai biến bằng cách thế một biến qua biến còn lại và sử dụng các giả thiết để đánh giá biến còn lại. Từ đó tìm GTNN, GTLN của hàm số chứa một biến bị chặn. Thí dụ 4(Đề thi tuyển sinh Đại học A – 2011).. x, y, z là ba số thực thuộc đoạn  1; 4 và x  y, x  z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Cho. P. x y z   2x  3 y y  z z  x. 1 1 2   1  a 1  b 1  ab (*), với a và b dương và ab 1 . Lời giải. Trước hết ta chứng minh : Thật vậy,.  *   a  b  2   1 . . ab 2  1  a   1  b .   a  b  ab  2 ab a  b  2ab  khi : a b hoặc ab 1 .. . . ab  1. a. b. . 2. 0. , luôn đúng với a, b dương và ab 1 . Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> P y thuộc đoạn  1; 4 và x  y , ta có: Áp dụng (*), với x và. Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi :. Xét hàm số :. f t . z x  y z. hoặc. x 1 y. . Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi t 2. . x t , t   1; 2 y. (1). Đặt. f  t   2 , t   1; 2 2t  3 1  t , t. 2. 2. x 1 1 1 2     2x  3 y 1  z 1  x 2  3y x 1 y z x y P . Khi đó:.  2  t 3  4t  3  3t  2t  1  9 .  2t. x 4  x 4, y 1 y. 2. 3. . 2. 1  t  2 P. (2). Suy ra. x 4, y 1 và z 2 . Vậy Từ (1) và (2) suy ra dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi :. 0 ,. t2. 2 1  t. 2t  3 2. .  f  t   f  2 . 34 33 .. 34 33 . min P . 34 33 , khi x 4, y 1, z 2 ..

<span class='text_page_counter'>(8)</span>