De HSG Toan 920162017 169

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề bồi dương giáo viên PHÖÔNG PHAÙP HEÄ SOÁ BAÁT ÑÑNH Phương pháp giải toán dựa trên cơ sở tính toán và biến đổi hệ số của đa thức người ta gọi là phương pháp hệ số bất đđnh. Phương pháp này được sử dụng rất tiện lợi khi giải toán về chia hết , phân tích thành nhân tử và rút gọn biểu thức .Nhưng do t rnh độ có hạn nên tôi xin t rnh bày một số hiểu biết của mnh về việc vận dụng phương pháp hệ số bất đđnh để giải một số dạng toán thông thường . Vậy tôi rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để chuyên đề này phát huy taùc duïng trong vieäc daïy cho hoïc sinh vaø boài döô ơng hoïc sinh gioûi .Sau ñaây laø moät soá noäi dung chuû yeáu I ) KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ) ÑÑnh lyù : a) Nếu đa thức bằng 0 với mọi giá tr của các biến th́ hệ số của các hạng tử đều bằng 0 Nếu đa thức f(x) = an xn+an-1xn-1 +.....+ a1x + a0 = 0 với mọi x  Q th́ ai = 0 ( i = 0;1;2;3;... n). b) Nếu hai đa thức cùng bậc mà hằng đẳng với nhau với mọi giá tr của các biến th́ hệ số của các hạng tử đồng dạng bằng nhau . cho hai đa thức f(x) = an xn+an-1xn-1 +.....+ a1x + a0 và g(x) = bnxn+ bn-1xn-1 + ....+ b1x+ b0 Neáu f(x) = g(x) th́ ai = bi ( i = 0;1;2;3;.....n ) 2 ) ÑÑnh lyù Bôzu : a) ĐĐnh lý : Nếu đa thức f(x) chia cho nh thức ( x - a ) có số dư r th́ r = f(a) b) Hệ quả : Nếu đa thức f(x) chia hết cho ( x- a) th́ f(a) = 0 Từ hệ quả ta suy ra nếu đa thức f(x) chia hết cho (x - a) th́ khi phân tích đa thức f(x) thành nhân tử th́ có chứa thừa số là x-a . Điều này có nghĩa f(x)  ( x - a) th́ f(x) = (x - a ) .q(x) II ) LOẠI TOÁN VỀ TÍNH TOÁN HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC Bài 1 : Không làm phép tính , haơy viết đa thức sau dưới dạng chính tắc (x - 2)(x + 1)(2x - 3) + 4x - 3 Giải : đa thức trên sau khi biến đổi là đa thức bậc 3 đối với biến x , do vậy sau khi biến đổi có daïng A x3 + Bx2 +Cx + D . Theo baøi ra ta coù (x - 2)(x + 1)(2x - 3) + 4x - 3 = A x3 + Bx2 +Cx + D với mọi xQ cho x = 0 th́ D = 3 cho x = 1 th́ A + B + C + D = 3  A + B + C = 0 (1) ; cho x = - 1 th́ -A + B - C + D = -7  -A + B - C = - 10 (2) cho x= 2 th́ 8A + 4B + 2C + D = 2  4A + 2B + C = 1 (3) Lấy (1) + (2) ta được 2B = - 10  B = - 5  A + C = 5 Từ (3) ta có 4A + C = 11 ; cho nên ( 4A + c) - ( A + C ) = 3A = 6  A = 2 và C = 3 ́ laø 2x3 - 5x2+ 3x + 3 hay Vậy đa thức cần tm (x - 2)(x + 1)(2x - 3) + 4x - 3 = 2x3 - 5x2+ 3x + 3 Bài 2 ) Viết đa thức 3x3 + 4x - 5 dưới dạng luơy thừa giảm dần của x - 1. Giaûi Caùch 1: Ta coù 3x3 + 4x - 5 = a(x - 1)3 + b(x - 1)2 + c(x - 1) + d = a x3 + ( b - 3a)x2 + (3a - 2b + c)x -a + b - c + d cho neân a = 3 b - 3a = 0 3a - 2b + c = 4  a = 3 ; b = 9 ; c = 13 ; d = 6 -a + b - c + d = -1 caùch 2 : cho x = 1 th́ d = 6 cho x = 0 th́ -a + b - c + d = -1  -a + b - c = -7(1) cho x = -1 th́ -8a + 4b - 2c + 6 = -8  -8a + 4b - 2c = -14 hay -4a + 2b - c = -7(2).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> cho x = 2 th́ a + b + c + d = 31  a+ b + c = 25 (3) Từ (1) và (3) ta được 2b = 18  b = 9 ; a + c = 16 (4) ; từ (2) và (4) ta có 4a + c = 25 v́ vaäy a = 3 ; c = 13 Vaäy 3x3 + 4x - 5 = 3(x - 1)3 + 9(x -1)2 + 13(x -1) + 6 Baøi 3 : Cho đa thức x3 + mx + n = (x - 1)(x - 2)(x + a) Tính a; m;n Giaûi : Veá phaûi = x3 + (a - 3)x2 + (2 - 3a)x + 2a Cho neân a - 3 = 0 ; 2 - 3a = m ; 2a = n  a = 3 ; n = 6 ; m = 4 Bài 4 : T́m a , b để đa thức x4 + 4x3 - 8x2 + ax +b bằng b́nh phương của đa thức x2 + mx + n . Giaûi :ta coù x4 + 4x3 - 8x2 + ax +b = (x2 + mx + n)2 = x4 + m2x2 + n2 + 2mx3 + 2nx2 + 2mnx = x4 + 2mx3 + (m2 + 2n)x2 + 2mnx + n2. . Baøi 5 :. ¿ 2 m=4 ⇒ m=2 m2+ 2n=−8 ⇒ n=− 6 2 mn=a ⇒ a=−24 n2=b ⇒b=36 ¿{{{ ¿. Với giá tr nào của a và b để đa thức x 4 + 2x3 - a x2 + 3x + b chia hết cho đa thức x2 + 3x - 1. Giaûi : Thực hiện phép chia đa thức. x4 + 2x3 - a x2 + 3x + b x2 + 3x - 1 x4 + 3x3 - x2 x2 - x + (4 - a) - x3 + (1 - a)x2 + 3x + b - x3 - 3x2 +x 2 (4 - a)x + 2x + b ( 4 - a)x2 + ( 12 - 3a)x -(4 - a) (3a - 10)x + (b - a + 4). Để đa thức x4 + 2x3 - a x2 + 3x + b  (x2 + 3x - 1 )  (3a - 10)x + (b - a + 4) = 0 với mọi ¿ 3 a −10=0 10 2 ; b=− b − a+4=0 cho neân  a= 3 3 ¿{ ¿ Bài 6 : Xác đĐnh a , b để cho đa thức 2x4 - 6x3 + a x2 - 7x + 3 chia hết cho đa thức x2 - x + b. Giaûi : Thực hiện phép chia 2x4 - 6x3 + a x2 - 7x + 3 x2 - x + b 2x4 - 2x3 + 2bx2 2x2 - 4x + a - 2b - 4 - 4x3 + (a - 2b)x2 - 7x +3 - 4x3 + 4x2 - 4bx (a -2b -4)x2 + (4b-7)x +3 (a -2b - 4)x2 - (a-2b-4)x + b(a-2b-4) (a+2b-11)x +3-b(a-2b-4) 4 3 2 Để đa thức 2x - 6x + a x - 7x + 3 chia hết cho đa thức x2 - x + b. ¿ a+2 b −11=0 Û(a+2b-11)x +3-b(a-2b-4) = 0 với mọi x  3 −b (a −2 b − 4)=0 ¿{ ¿ (1) Từ a+2b - 11 =0  a = 2b + 11 Từ 3 - b(a-2b-4) = 0  3 - ab + 2b2 + 4b = 0 (2) . Thay (1) vào (2) ta được 3 - b( -2b + 11) +2b2 +4b = 0 hay 4b2 - 7b + 3 = 0  (b - 1)(4b - 3) = 0  b = 1 hoặc b = 3/4.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> do vaäy ta coù hai caëp soá ( a,b) = ( 9 ; 1) ; ( 19/2 ; 3/4) Bài 7 ) Chứng minh rằng không tồn tại các số a, b,c ,m , n ,p sao cho với mọi x , y , t th́ (a x + by + ct )(mx + ny + pt ) = x2 + y2 + t2 Giaûi Giả sử tồn tại các số a,b,c,m,n,p sao cho x2 + y2 + t2 = (a x + by + ct )(mx + ny + pt ) = am x2 + bny2 + cpt2 + (an + mb)xy + (ap +mc)xt + (bp + nc)yt  am = bn = cp = 1 (1) vaø an + bm = ap + cp = bp + nc = 0 (2) a n = Từ (1) ta có am = bn  (3) b m a m =− Từ (2) ta có an = -mb  (4) , b n a a m n a 2 ⋅ =− ⋅ =−1 hay =−1 . ñieàu naøy voâ lí v́ b́nh phöông nhân từng vế (3) với (4) ta được b b n m b cuûa moät soá laø soá khoâng aâm . Vậy không tồn tại các số a, b,c ,m , n ,p sao cho với mọi x , y , t th́ (a x + by + ct )(mx + ny + pt ) = x2 + y2 + t2 Bài 8 : Xác đĐnh a , b để đa thức a x4 + bx3 + 1 chia hết cho đa thức (x - 1)2 . Giaûi : Ñaët f(x) = a x4 + bx3 + 1 Theo heä quaû ññnh lyù Bô Zu ta coù : f(x) = a x4 + bx3 + 1  (x - 1)2 , neân f(x) = a x4 + bx3 + 1  (x 1)  f(1) = a + b + 1 = 0  b = -a -1 thay vaøo f(x) ta coù f(x) = a x4 + bx3 + 1 = a x4 - a x3 - x3 + 1 = a x3(x - 1) - (x - 1)(x2 + x + 1 ) = (x - 1)(a x3 - x2 - x - 1) Ñaët g(x) = a x3 - x2 - x - 1 . Maø f(x)  (x - 1)2 neân g(x)  (x - 1) Vaäy g(1) = a -1 -1 -1 = 0  a = 3 vaø b = -4 ́ Vậy a = 3 , b = - 4 th đa thức a x4 + bx3 + 1 chia hết cho đa thức (x - 1)2 Bài 9 : Xác đĐnh a,b,c sao cho đa thức 2x4 + a x2 + bx + c chia hết cho x - 2 , khi chia cho x2 - 1 th́ dö 2x + 5 . Giaûi Ñaët f(x) = 2x4 + a x2 + bx + c , v́ f(x)  (x - 2) neân f(2) = 32 + 4a + 2b +c = 0 hay 4a + 2b + c = -32 (1) Theo baøi ra f(x) chia cho (x2 - 1) dö 2x + 5 neân ta coù f(x) = 2x4 + a x2 + bx + c = (x2 - 1).q(x) + 2x +5 theo ññnh lyù Bô Zu th́ f(1) = 2 + a + b + c = 7  a + b + c = 5(2) f(-1) = 2 + a - b +c = 3  a - b + c = 1 (3) Lấy (2) - (3) ta được 2b = 4  b = 2 , a + c = 3(4) Lấy (1) - (4) ta được 3a = -39  a = -13 vaø c = 16 4 ́ Vậy đa thức cần tm là 2x -13 x2 + 2x + 16 Bài 10 ) T́m số dư của phép chia đa thức x1998 + x998+ x199 + x19 + x + 3 chia cho đa thức x2 - 1 Giaûi Đặt f(x) = x1998 + x998+ x199 + x19 + x + 3 và ta có x2 - 1 = (x - 1)(x + 1) là đa thức bậc hai nên phép chia f(x) cho đa thức x2 - 1 có dư là đa thức bậc nhất , đa thức dư có dạng mx + n Vaäy f(x) = (x2 - 1).q(x) + mx + n AÙp duïng ññnh lyù Bô Zu : f(1) = m + n = 8 (1) ; f(-1) = -m +n = 2 (2) Cộng và trừ từng vế của (1) với (2) ta được m = 3 , n = 5 Vậy đa thức dư của x1998 + x998+ x199 + x19 + x + 3 cho x2 - 1 là 3x + 5 Bài 11 ) Xác đđnh a,b để x+1 ¿2 ¿ 2 x +5 a b = +¿ 3 x −3 x − 2 x − 2 Giaûi. ().

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2. x+ 1¿ +b (x − 2) ¿ x +1 ¿2 Veá Phaûi = ¿ (x − 2)¿ a¿ ¿ Neân a = 1 2a + b = 0 a - 2b = 5 x+1 ¿2 ¿.  b = -2. x 2+ 5 1 −2 = + ¿ 3 x −3 x − 2 x − 2 III) SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐĐNH ĐỂ GIẢI TOÁN Loại phân tích thành nhân tử Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : ( a + b + c )3 - a3 - b3 - c3 Giaûi Đa thức trên sau khi khai triển và thu gọn ta được đa thức bậc 3 đối với tập hợp các biến , các biến a ,b ,c có vai trò như nhau trong đa thức . Nếu a = -b hoặc a = -c hoặc b = -c t h́ đa thức có giá tr bằng 0 . V́ vậy khi phân tích đa thức trên thành nhân tử thí có chứa các thừa số a + b ; b+ c ; c +a Vaäy ( a + b + c )3 - a3 - b3 - c3 = k(a + b) (a + c)(b + c) Laáy a = b = c = 1 th́ 8k = 24  k = 3 Vaäy ( a + b + c )3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b) (a + c)(b + c) Bài 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử : a2b2(b - a) + b2c2(c - b) - a2c2(c - a) Giaûi Đa thức trên sau khi khai triển và thu gọn ta được đa thức bậc 5 đối với tập hợp các biến , các biến a ,b ,c có vai trò như nhau trong đa thức . Nếu a = b ; b = c ; a = c t h́ đa thức có giá tr baèng 0. Nên sau khi phân tích thành nhân tử đa thức có chứa các nhân tử b - a ; c - b , c - a Vậy đa thức có dạng a2b2(b - a) + b2c2(c - b) - a2c2(c - a) = k(b - a)(c - b)(c - a)(ba + ac + bc) Laáy a =0 , b = 1 , c = -1 th́ k = 1 Vaäy a2b2(b - a) + b2c2(c - b) - a2c2(c - a) = (b - a)(c - b)(c - a)(ba + ac + bc) Bài 3 : Phân tích thành nhân tử x3 - 3x - 2 Giaûi đa thức x3 - 3x - 2 sau khi phân tích thành nhân tử se chứa ít nhất một nhân tử là đa thức bậc nhất , nên . Mà với x = 2 th́ x3 - 3x - 2 = 8 - 6 - 2 = 0 cho nên theo hệ quả đđnh lý Bơ Zu sau khi phân tích x3 - 3x - 2 thành nhân tử có chứa nhân tử (x - 2) Vaäy x3 - 3x - 2 = (x -2 )(x2 +mx + n ) Cho x = 1  - (1 + m + n) = -4 hay m + n = 3 Cho x = -1  -3(1 - m + n) = 0 hay - m + n = -1 . Từ đó m = 2 , n = 1 Vaäy x3 - 3x - 2 = (x -2 )(x2 +2x + 1 ) = (x - 2)(x + 1)2 Bài 4 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử với hệ số nguyên M = x2 - 5xy + y2 + x + 2y - 2 Giaûi V́ M là đa thức bậc hai đối với tập hợp các biến x và y nên M chỉ có thể viết dưới dạng M = (x + ay + b)(x + my + n) ( a,b,m,n  Z ) = x2 + (m + a)xy + amy2 + (n + b)x + (na + bm)y + bn.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ¿ am=4 m+a=−5 b+ n=1  na +mb=2 từ bn = -2  b = -1 và n = 2 hoặc b = 2 và n = -1 bn=−2 ¿{{{{ ¿ Neáu b = -1 , n = 2  a = -1 , m = -4 Neáu b = 2 , n = -1  a = -4 , m = -1 V́ 2 boä soá treân chæ cho ta moät keát quaû neân M = (x - y - 1)(x - 4y + 2) Vaäy : x2 - 5xy + y2 + x + 2y - 2 = (x - y - 1)(x - 4y + 2) Bài 5 ) Phân tích thành nhân tử ( x + y)5 - x5 - y5 Giaûi Đa thức trên sau khi khai triển và thu gọn ta được đa thức bậc 5 đối với tập hợp các biến , các biến x ,y, có vai trò như nhau trong đa thức . Đặt P = ( x + y) 5 - x5 - y5 Khi cho x = y = 0 hoặc x = -y th́ đa thức có giá tr bằng 0 . V́ vậy khi phân tích P thành nhân tử t h́ P có chứa các nhân tử là x , y , x + y , mà tích xy(x + y) là đa thức bậc 3 đối với tập hợp các biến x,y cho neân P coù daïng laø kxy(x + y)(x2 + xy + y2) cho x = y = 1 th́ 6k = 30  k = 5 Vaäy ( x + y)5 - x5 - y5 = 5xy(x + y)(x2 + xy + y2) Bài 6 ) Chứng minh rằng : Không thể phân tích đa thức x3 - x + a thành tích của hai đa thức có bậc nhỏ hơn với hệ số nguyên ( a  Z và a không chia hết cho 3 ) Giaûi Giả sử đa thức x3 - x + a phân tích được thành tích của hai đa thức có bậc nhỏ hơn với hệ số nguyên , v́ x3 - x + a là đa thức bậc 3 nên khi phân tích thành nhân tử se có dạng x3 - x + a = (x + m)(x2 + bx + c ) (m,b,cZ) 3 2 = x + ( b + m)x + (c + mb)x + mc ¿ b+ m=0 c +mb=− 1  mc=a từ b + m = 0  m = -b và c +mb = -1 nên c = -mb-1 = b2 –1 ¿{{ ¿ thay vào mc = a ta được b(b2 - 1) = -a , mà b(b2 - 1) =b(b-1)(b+1) là tích của 3 số nguyên lieân tieáp maø veá traùi chia heát cho 3 neân a  3 . Ñieàu naøy laø voâ lyù vi a khoâng chia heát cho 3 Vậy Không thể phân tích đa thức x3 - x + a thành tích của hai đa thức cvó bậc nhỏ hơn với heä soá nguyeân ( a  Z vaø a khoâng chia heát cho 3 ) Cách 2 : V́ x3 - x + a là đa thức bậc 3 có hệ số cao nhất là 1 cho nên khi phân tích thành nhân tử se phải có nhân tử có dạng x + m ( m  Z) , theo hệ quả đđnh lý Bơ Zu khi thay x = - m th́ m3 - m + a = 0  a = - m(m - 1)(m + 1)  3  a  3 . ñieàu naøy voâ lí vi a khoâng chia heát cho 3. Vậy không thể phân tích x3 - x + a thành tích của hai đa thức có bậc nhỏ hơn với hệ số nguyên trong đó a không chia hết cho 3 Bài 7 ) T́m số nguyên a sao cho (x - a)(x - 1999 ) + 3 được phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất với hệ số nguyên . Theo baøi ra ta coù (x - a)(x - 1999 ) + 3 = (x - m)(x - n) , m ,n  Z Thay x = m th́ (m - a)(m- 1999 ) + 3 = 0  (m - a)(m - 1999 ) = - 3  m - a = 3 vaø m - 1999 = -1  a = 1995 , cho neân (x - 1995)(x - 1999 ) + 3 = ( x - 1998)(x 1996) hoặc m -a = -1 và m - 1999 = 3  a = 2003 , cho nên (x - 2003)(x - 1999 ) + 3 = (x - 2000)(x 2002) Vaäy a = 1995 ; 2003 Bài 8 ) Phân tích ( x + y + z )5 - x5 - y5 - z5 thành nhân tử Giaûi.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Đa thức trên sau khi khai triển và thu gọn ta được đa thức bậc 5 đối với tập hợp các biến , các biến x , y , z có vai trò như nhau trong đa thức . Nếu x = - y ; x = - z ; y = - z t h́ đa thức trên có bía tr bằng 0 do vậy đa thức chia hết cho tích (x + y)(x + z)(y + z) và thương của phép chia là đa thức bậc hai đối với tập hợp các biến . V́ vậy đa thức trên khi phân tích thành nhân tử có dạng laø ( x + y + z )5 - x5 - y5 - z5 = (x + y)(x + z)(y + z)[ M(x2 + y2 + z2) + N(xy + xz + yz)] cho x = 0 , y = z = 1 thi 2(2M + N ) = 30  2M + N = 15 (1) x = y = z= 1 thi 8(3M + 3N ) = 240  M + N = 10 (2) Từ (1) và (2)  M = 5 , N = 5 Vaäy ( x + y + z )5 - x5 - y5 - z5 = 5(x + y)(x + z)(y + z)[ (x2 + y2 + z2) + (xy + xz + yz)] Bài 9 ) Phân tich đa thức (b - c)(b + c)4 + (c - a)(c + a)4 + (a - b)(a + b)4 thành nhân tử Lời giải sơ lược Trnh bày tương tự như trên ta có (b - c)(b + c)4 + (c - a)(c + a)4 + (a - b)(a + b)4 = (b - c)(a - b)(c - a)[M(a2 + b2 + c2) + N(ab + bc + ca)] cho a = 0 , b = 2 , c = 1  5M + 2N = -25 a = -1 , b = 2 , c = 1  6M - N = -13  M = -3 , N = - 5 Vaäy (b - c)(b + c)4 + (c - a)(c + a)4 + (a - b)(a + b)4 = - (b - c)(a - b)(c - a)[3 (a2 + b2 + c2) + 5(ab + bc + ca)]. Loại rút gọn biểu thức Bài 1 ) Rút gọn biểu thức sau với a, b,c đôi một khác nhau (x + b)(x + c) ( x +c )(x+ a) (x +a)( x +b) + + (a −b)(a− c) (b −c )(b − a) (c −a)( c − b) Giaûi Biểu thức trên sau khi rút gọn là đa thức bậc hai đối với biến x . Do vậy sau khi biến đổi có dạng mx2 + nx + p cho x = -a ta được ma2 - na + p = 1 (1) x = -b ta được mb2 - nb + p = 1(2) x = -c ta được mc2 - nc + p = 1(3) Laáy (1) - (2)  m(a + b) - n = 0(4) va a  b (5) (1) -(3)  m(a + c) - n = 0 va a  c (4) - (5) m( b - c) = 0  m = 0 va b  c Từ đó n = 0 , p = 1 ( x + b)( x + c) ( x +c )( x+ a) (x +a)( x +b) + + Vaäy =1 ( a −b)( a− c) (b −c )(b − a) (c −a)( c − b). Bài 2 ) Rút gọn biểu thức sau với a, b,c đôi một khác nhau a b c + + ( x − a)(a − b)(a −c ) ( x −b)(b − c)(b −a) ( x − c)(c − a)(c − b) Biểu thức sau khi biến đổi có dạng a(x − b)(x − c) b( x − a)( x − c) c ( x − a)( x −b) 1 + + ( x - a)(x - b)(x - c) ( a− b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b). (. Biểu thức trong ngoặc sau khi biến đổi có dạng mx2 + nx + p cho x = a  ma2 + na + p = a (1) x=b  mb2 + nb + p = b(2) x=c  mc2 + nc + p = c(3) Laáy (1) - (2)  (a - b)[(a + b)m + n ] = a - b  (a + b).m + n = 1(4) (1) - (3)  (a - c )[(a + c).m + n ] = a - c  (a +c ).m + n = 1(5). ).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> (4) - (5).  m(b - c) = 0  m = 0 , n = 1 vaø p = 0 a b c + + Vaäy ( x − a)(a − b)(a −c ) ( x −b)(b − c)(b −a) ( x − c)(c − a)(c − b) x ( x − a)( x − b)(x − c). =. Bài 3) Rút gọn biểu thức với a , b , c đôi một khác nhau a3 b3 c3 + + (a − b)(a −c ) ( b− a)(b − c) (c − b)(c −a) Giải : Biểu thức sau khi quy đồng có dạng a3 (b − c)+b3 (c − a)+ c 3 (a −b) (a −b)( c − a)( b −c ) 3 Ñaët P = a (b - c) + b3(c - a) + c3(a - b) Đa thức P trên sau khi khai triển và thu gọn ta được đa thức bậc 4 đối với tập hợp các biến , các biến a ,b ,c có vai trò như nhau trong đa thức . Với c = b ; a = c ; a= b t h́ P = 0 , V́ vậy khi phân tích P thành nhân tử th́ đa thứ P chứa các nhân tử a - b , c - a , b - c , mà tích (a - b)(c - a)(b - c) là đa thức bậc 3 đối với tập hợp các biến a,b,c , nên nhân tử còn lại là đa thức bậc nhất đối với các biến . V́ vậy đa thức P = k(a -b)(c - a)(b - c)(a + b +c ) Cho a = 0 , b = 1 , c = 2  k = 1 ; neân P = (a -b)(c - a)(b - c)(a + b +c ) a3 b3 c3 + + Vaäy =a+b+c (a − b)(a −c ) ( b− a)(b − c) (c − b)(c −a) Bài 5 ) T́m các chươ số x , y ,z để có đẳng thức xxx .. . xx − yyy . . . y =zzz . .. zz 2 đúng với mọi n  N Giaûi 10n −1 Ñaët Pn = 111..11 = 9 Từ điều kiện của bài ta có x.111.....11 - y.1111...11 = z2.111...112  x(Pn.10n + Pn) - y.Pn = z2.Pn2 với mọi Pn mà 10n = 9Pn + 1  x[ Pn.(9Pn + 1) + Pn] - y.Pn = z2 . P2n x.9P2n + 2x.Pn - y.Pn = z2 . P2n x.9Pn + 2x - y - z2 . Pn = 0 với mọi Pn  (9x - z2)Pn + (2x - y) = 0 với mọi Pn  9x - z2 = 0  9x = z2  x laø soá chính phöông 2x - y = 0  y = 2x  x < 5 do vaäy suy ra x = 1 ; 4 Neáu x = 1 thi y = 2 vaø z = 3 Neáu x = 4 thi y = 8 vaø x = 6 Bài 6) Cho đa thức f(x) = x2 +a x + b thỏa man  f(x)   1/2 với mọi x   1 Chứng minh : f(x) = x2 - 1/2 Giaûi Cho x = 0 ; 1 ; -1 , ta coù b   1/2 (1) 1 + a + b   1/2 (2) 1-a+b   1/2 (3) Từ (1)  -1/2  b  1/2  1 + b > 1/2 (4) Thay (4) vào (3) và (2) ta được 1/2 > 1- a + b  > 1/2 - a   a  0 1/2 > 1 + a + b  > 1/2 + a   a  0 do đó a = 0 Thay a = 0 vaøo (2) 1 + b   1/2  1 + b  1/2 (5) vi 1 + b > 0 từ (4) và (5) ta có 1 + b = ½  b = -1/2 Vaäy f(x) = x2 - 1/2 Bài 7 ) Xác đĐnh đa thức bậc 3 f(x) = a x3 + bx2 + cx + d thỏa man f(x) - f(x - 1) = x2 AÙp duïng : Tính 12 + 22 + 32 + .......+ 19982 Giaûi Ta coù f(x - 1) = a(x - 1)3 + b(x - 1)2 + c(x - 1) + d.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>  f(x) - f(x - 1) = 3a x2 + (2b - 3a)x + a - b + c maø f(x) - f(x - 1) = x2 Cho neân 3a x2 + (2b - 3a)x + a - b + c = x2  3a = 1 , 2b - 3a = 0 , a + b + c = 0  a = 1/3 ; b = 1/2 ; c = 1/6 Vaäy f(x) = 1/3x3 + 1/2x2 + 1/6 x + d ( d  R ) AÙp duïng : 12 + 22 + 32 + .......+ 19982 = f(1) - f(0) + f(2) - f(1) + f(3) - f(2) + .....+ f(1998) - f(1997) = f(1998) - f(0) = 1/3 .19983 + 1/2 .19982 + 1/6 .1998 = ( 1998 . 1999 . 3997)/6 IV ) MOÄT SOÁ BAØI TAÄP VAÄN DUÏNG Baøi 1 ) Xaùc ññnh f(x) bieát f(x - 1) = x3 - 5x2 + 7x + 2 Bài 2 ) a - T́m đa thức bậc 2 f(x) biết f(x) - f(x - 1) = x b - T́m đa thức bậc 3 f(x) biết f(x) - f(x - 1) = x(x + 1) AÙp duïng tính toång 1.2 + 2.3 + 3.4 + .....+ 1998 . 1999 Bài 3 ) T́m các số thực m , n , p , q sao cho x4 + 1 = (x2 + px + q)(x2 + mx + n ) Baøi 4) Xaùc ññnh a vaø b sao cho a) 6x4 - 7x3 + a x2 + 3x + 2 chia heát cho x2 - x + b b) a x4 + bx + 1 chia heát cho (x - 1)2 Bài 5) Giả sử n > 3 , xác đđnh a để cho xn - a xn - 1 + a x - 1 chia hết cho (x - 1 )2 Baøi 6) Xaùc ññnh a , b , c sao cho f(x) = 2x4 + a x2 + bx + c chia heát cho ( x - 2) , khi chia cho (x2 - 1) thi dö 3x + 2 Bài 7) Bằng phương pháp hệ số bất đinh hay phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 3x3 - 5x + 2 b) x3 - 19x - 30 c) 2x2 - 21xy - 11y2 - x + 34y - 3 Bài 8) Không làm tính nhân hay viết đa thức sau dưới dạng chính tắc (x - 1)(x - 2)(x + 3) + 5x + 4 Baøi 9) Xaùc ññnh a , b sao cho x3 + a x2 - 3x + b chia cho x - 2 dö 5 , chia cho x + 1 dö -4 Baøi 10) Bieát f(x) = 3x3 + 7x2 - 15x + 3 chia cho x - 1 dö 4 , chia cho x + 2 dö 5 . Khoâng laøm tính chia hay xaùc ññnh soá dö trong pheùp chia cuûa f(x) cho tích (x - 1)(x + 2) Bài 11) Phân tích thành nhân tử a) a(b2 - c2) + b(c2 - a2) + c(a2 - b2) b) a3(b2 - c2) + b3(c2 - a2) + c3(a2 - b2) c) 8x3(y + z) - y3(z + 2x) - z3(2x - y) d) x3(z - y2) + y3( x - z2) + z3(y - x2) + xyz(xyz - 1) e) (x + y)7 - x7 - y7 Baøi 12) a) T́im số nguyên a để có (x - a)(x - 1992 ) + 1 = (x + b)(x + c) với mọi x và b ,c  Z b) T́im k  Z sao cho ( x - k)(x - 10) + 5 có thể phân tích thành tích hai đa thức bậc nhất với heä soá nguyeân Bài 13) Chứng minh rằng không tồn tại đa thức f(x) với hệ số nguyên có thể có đồng thời các giá t r f(7) = 5 vaø f(15) = 9 Bài 14) Cho đa thức f(x) = x3 + a x2 + bx + c thỏa man  f(x)   1/4 với mọi x   1 Chứng minh f(x) = x3 - 3/4x Bài 15) Tim số tự nhiên a , b sao cho aaa...aabbb...b (ccc...ccc  1) ( n chu a ; n chu b ; n chu c) vói mọi n là số tự nhiên Bài 16) Rút gọn các biểu thức sau : với a , b , c đôi một khác nhau 2.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> a (x+ b)( x+ c) b (x+ c)(x +a) c ( x +a)(x +b) + + (a − b)( a −c ) (b − c)(b − a) (c − a)( c − b) a2 ( x −b)(x −c ) b2 ( x −c )( x − a) c 2 (x − a)( x −b) + + (a − b)(a − c) (b − a)(b −c ) (c −a)( c −b) a2 b2 c2 + + ( x+ a)(a −b)(a− c) (x +b)(b − a)(b −c ) (x +c )(c − a)(c −b) (b+ c)(x − b)(x − c) (c +a)(x −c )( x − a) (a+b)( x − a)( x − b) + + ( a− b)(a − c) (b −a)(b − c) (c − a)( c − b) Bài 17) Xác đđnh a , b để x 2 +5 a b = + 3 2 x −3 x − 2 ( x − 2) (x+ 1) 2 2 x − 7 x+ 7 a b = + 3 2 2 x −1 x −5 x +8 x − 4 (x +1).

<span class='text_page_counter'>(10)</span>