Nhung dang bai on thi vao 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Nhắc lại về biến đổi đồng nhất. I.PhÐp nh©n c¸c ®a thøc: Với A, B, C, D, E là các đơn thức thì: A(B + C) = (B + C)A = AB + AC (A + B)(C + D - E) = AC + AD – AE + BC + BD – BE. II.Những hằng đẳng thức đáng nhớ: (A + B)2 = A2 + 2AB + b2 (A - B)2 = A2 - 2AB + b2 A2 – b2 = (a + b)(a – b). (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3ab2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3ab2 - B3 A3 – b3 = (a – b)( A2 + AB + b2) = (A - B)3 + 3ab(a – b) A3 + b3 = (a + b)( A2 - AB + b2) = (A + B)3 - 3ab(a + b) (A + B+c)2 = A2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca Lu ý: - Khi giải các bài toán vận dụng hằng đẳng thức, chúng ta phải vận dụng các hằng đẳng thức theo cả hai chiÒu khai triÓn vµ thu gän mét c¸ch linh ho¹t. - Hai đa thức bằng nhau với mọi giá trị của biểu thức khi tất cả các hệ số của chúng đều tơng ứng b»ng nhau - Một đa thức bằng đa thức không khi tất cả các hệ số của nó đều bằng không. III. C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 1. PP đặt nhân tử chung 2. PP dùng hằng đẳng thức. 3. PP nhãm nhiÒu h¹ng tö. 4. PP t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö. 5. PP thªm bít cïng mét h¹ng tö. 6. PP xÐt gi¸ trÞ riªng. ( NÕu ®a thøc A(x) cã nghiÖm x = a th× tån t¹i ®a thøc B(x) sao cho A(x) = (x- a).B(x) ) Chó ý: Khi sö dông mét trong c¸c PP 3, 4 , 5 : sau khi nhãm, t¸ch, thªm bít h¹ng tö th× qu¸ tr×nh ph©n tÝch phải tiếp tục đợc ( Sử dụng PP 1 hoặc 2 ). IV. Phân thức đại số. 1. Hai ph©n thøc b»ng nhau:. A C   AD BC B D. AM A A : M A  ;  2. NÕu ®a thøc M kh¸c ®a thøc kh«ng th×: BM B B : M B 3. C¸c phÐp tÝnh: A B AB   M ( M ≠ 0). a) PhÐp céng: M M Nếu hai phân thức khác mẫu thì cần quy đồng mẫu thức rồi thực hành cộng nh trên. Các bớc quy đồng mẫu thức: (Biến đổi các phân thức thành các phân thức mới có cùng mÉu) Bíc 1: T×m mÉu thøc chung (MTC) : - MTC phải chia hết cho tất cả các mẫu cần quy đồng..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> -. Nếu các mẫu cần quy đồng không có nhân tử chung thì lấy MTC là tích của tất cả các mẫu đó. Bíc 2: T×m nh©n tö phô (NTP): NTP = MTC chia cho mÉu t¬ng øng Bớc 3: Lấy cả tử và mẫu của từng phân thức nhân với NTP tơng ứng, ta đợc các phân thøc cã cïng mÉu thøc. A C A C    ( ) D b) PhÐp trõ: B D B A C A.C .  c) PhÐp nh©n: B D B.D A C A D AD :  .  d) PhÐp chia: B D B C BC Một số lu ý: - Trớc khi quy đồng mẫu thức hay thực hiện các phép tính, nếu có thể thì nên rút gọn phân thức trớc. Kết quả sau khi biến đổi các biểu thức hữu tỷ cũng cần đợc rút gọn. - Các phép tính với đa thức cũng có đầy đủ các tính chất của các số thực ( giao hoán, kết hîp, ph©n phèi). - Khi gi¶i c¸c bµi to¸n liªn quan tíi gi¸ trÞ cña ph©n thøc cÇn chó ý t×m §KX§ cña ph©n thøc.. CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI . 1. Dạng của phương trình: ax2 + bx + c = 0. (a ≠ 0).. 2. Giải và biện luận: ∆ = b2 – 4ac ( Hoặc ∆’ = b’2 – ac, với b’ = b/2) +) Nếu ∆ > 0 ( Hoặc ∆’ > 0): Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1,2 . b  2a. (Hoặc. x1,2 .  b '  ' a ). +) Nếu ∆ = 0 ( Hoặc ∆’ = 0): Phương trình có nghiệm kép: x1  x2 . b a. ( Hoặc. x1  x2 . b' a). +) Nếu ∆ < 0 ( Hoặc ∆’ < 0): Phương trình vô nghiệm. 3. Hệ thúc Vi-ét:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì: b   x1  x2  a   x .x  c  1 2 a. C¸c d¹ng to¸n. Dạng 1: Xác định số nghiệm của phơng trình ax2 + bx + c = 0. 1. Ph¬ng ph¸p gi¶i: Xác định các hệ số a, b, c của phơng trình: - NÕu a = 0: Ph¬ng tr×nh trë thµnh PT bËc nhÊt mét Èn: bx + c =0. b NÕu a ≠ 0: TÝnh biÖt thøc ∆ = b2 – 4ac ( hoÆc ∆’ = b’2 – ac, víi b’ = 2 ). -. . NÕu ∆ < 0 ( HoÆc ∆’ < 0): Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.. . NÕu ∆ = 0 ( HoÆc ∆’ = 0 ): Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp.. . NÕu ∆ > 0 ( HoÆc ∆’ > 0 ): Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt.. Lu ý: - Kh«ng cÇn tÝnh ra nghiÖm. - NÕu ac<0 th× ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. 2. C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 1.1: Xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức ∆ và cho biết số nghiệm của các phơng trình bậc hai sau: 1) 3x2 – 7x + 3 = 0 2. 3) ( 3  1) x  x2  5). 5 x  3  1 0. 3 9 x  0 2 16. 2) -2x2 - 8x -7 =0 25 4) 2x2 + 5x + 8 = 0 2 6) 2 x  6 2 x  9 0. Bµi 1.2: Kh«ng cÇn tÝnh biÖt sè ∆, chøng tá r»ng c¸c ph¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a). 2 x 2  9 x  3 7 0. 2 2 b) (2  3) x  4 x  m  3m  4 0 ( m lµ tham sè) Bài 1.3: Hãy xác định tham số k để phơng trình vô nghiệm? 2 a) 3x  2 x  k 0. 2 c) 3x  kx  2 0. 4 3x 2  4kx  k 2  k  2 0 3 b)  2 x  2kx  k 0 d) Bài 1.4: Hãy xác định tham số k để phơng trình sau có: hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép: 2. 2 a) 20 x  4 x  3k  1 0. 2 b) (k  1) x  2kx  k  2 0. 2 2 c) 3x  4kx  k 0 Bµi 1.5: Cho c¸c hÖ sè a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a > c > 0, b > a + c. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2 2 2 2 2 2 Bài 1.6: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, chứng minh phơng trình c x  (a  b  c ) x  b 0 ( x lµ Èn sè) v« nghiÖm. ( HDÉn: Sö dông B§T tam gi¸c) D¹ng 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai . 1. Ph¬ng ph¸p gi¶i: - §a ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i vÒ d¹ng: ax2 + bx + c = 0. - Xác định các hệ số a, b, c của phơng trình.. - TÝnh ∆ hoÆc ∆’. -áp dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn của phơng trình bậc hai để kết luận nghiÖm ( Chó ý rót gän c¸c nghiÖm nÕu cã thÓ) 2. C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 2.1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) 3x2-5x-8=0 b) 5x2 - 3x + 15 = 0 c) x2 – 4x + 1 = 0 d) 3x2 + 7x + 2 = 0 Bµi 2.2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 5x2  a) x2 . x2 4 x 1   0 5 12 b) 3. 10 5 x 0 7 49. 3 9 x  0 2 16. c) Bµi 2.3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) (5 . 2) x 2  10 x  5  2 0. 2 b) ( 5  2) x  ( 5  1) x  3 5 0. 2) x 2  2(1  2) x  1  3 2 0. d*) (1 . 2 c*) x  x  2 0. 2 2 e) ( 2  1) x  x  2 0 f) 2 x  (2 6  3) x  3 6 0 D¹ng 3: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh d¹ng ax2 + bx + c = 0 . 1. Ph¬ng ph¸p gi¶i: * Víi a = 0: Ph¬ng tr×nh trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc nhÊt bx + c = 0.. - NÕu b ≠ 0 th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt:. x . c b. - NÕu b = 0 vµ c ≠ 0 th× ph¬ng tr×nh cã v« nghiÖm. - NÕu b = 0 vµ c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm. * Víi a ≠ 0 : Ph¬ng tr×nh trë thõnh ph¬ng tr×nh bËc hai . Ta cã: ∆ = b2 - 4ac. ( hay ∆’ = b’2 – ac ). - NÕu ∆ < 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. b - NÕu ∆ = 0 th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm kÐp: x1 = x2 = - 2a. b' (=- a ). - NÕu ∆ > 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 .  b   b  ; x2  2a 2a. ( x1,2 .  b '  ) a.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> * Kết luận cho tất cả các trờng hợp đã biện luận. 2. C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 3.1: Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c ph¬ng tr×nh: ( x lµ Èn) a) (m – 2)x2 – 2(m + 1)x + m = 0. b) x2 + (1 – m)x – m = 0. c) (m – 3)x2 - 2mx +m – 6 = 0. d) (m – 3 )x2 – 2(3m + 1)x + 9m – 2 = 0 e) (3 – k)x2 + 2(k – 2)x – k + 2 = 0. 1 (4 + 3m)x2 + 2(m + 1)x + ( 3 m – 2) = 0.. f) g) ( m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0 h) 2x2 – 2(2m + 1) x + 2m2 + m – 2 = 0.. 3 2 2 Bµi 3.2: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh ( Èn x) :  2 x  (3  2m) x  2mx  m  1 0 ( HDÉn: Coi m lµ Èn, x lµ tham sè ). D¹ng 4: HÖ ph¬ng tr×nh chøa hai Èn x vµ y gåm mét ph¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ mét ph¬ng tr×nh bËc hai. 1. Ph¬ng ph¸p gi¶i: - Tõ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt cña hÖ, t×m y theo x ( hoÆc x theo y ). - Thay biểu thức y theo x tìm đợc ở trên vào phơng trình bậc hai của hệ ta đợc phơng trình bậc hai đối với . - Giải phơng trình tìm x, sau đó thay vào biểu thức của y để tìm y. 2. C¸c bµi tËp vËn dông:. Bµi 4.1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:.  2 x  y  5 0  2  y  x 4 x.  x  y 6  2 y  x 2 a Bµi 4.2: Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  Xác định a để: a) HÖ v« nghiÖm. b) HÖ cã nghiÖm duy nhÊt. c) HÖ cã hai nghiÖm ph©n biÖt. 3x  4 y  1 0 a)  Bµi 4.3: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh:  xy 3( x  y)  9  x  y m  2 x  y 2  2 x 2 Bµi 4.4: Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh:  Dạng 5: Định tham số để hai phơng trình có nghiệm chung. 1. Ph¬ng ph¸p gi¶i:.  2 x  3 y 2 b)   xy  x  y  6 0.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> - Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phơng trình. Thay x = x0 vào hai phơng trình ta đợc hệ phơng trình với ẩn là các tham số. - Giải hệ để tìm tham số. -Thö l¹i víi tham sè võa t×m, hai ph¬ng tr×nh cã nghiÖm chung hay kh«ng. 2. C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 5.1: Cho hai ph¬ng tr×nh : x2 + x + a = 0 vµ x2 + ax + 1 = 0 a) Định a để hai phơng trình trên có nghiệm chung. b) Định a để hai phơng trình tơng đơng. Bµi 5.2: Chøng minh r»ng nÕu hai ph¬ng tr×nh : x2 + ax + b = 0 vµ x2 + cx + d = 0, cã nghiÖm chung th×: (b – d)2 + (a – c)(ad – bc) = 0. Bài 5.3: Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: x2 + mx + 2 = 0 và x2 + 2x + m = 0 ? Bài 5.4: Xác định m, n để hai phơng trình sau tơng đơng: x2 – (2m + n)x – 3m = 0 vµ x2 – (m + 3n)x – 6 = 0 HDẫn: Gọi x1, x2 là nghiệm của phơng trình (1); x3, x4 là nghiệm của phơng trình (2). Để hai Phơng trìh tơng đơng thì x1 = x3 và x2 = x4 hoặc ngợc lại. Nên S1 = S2 và P1 = P2. Bài 5.5: Tìm các giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung: x2+ (m – 8)x + m + 3 = 0 (1) x2 + (m – 2)x + m - 9 = 0 (2) Bài 5.6: Tìm các giá trị của a để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung: a) x2 + x + a = 0 x2 + ax + 1 = 0 b) x2 + ax + 2 = 0 x2 + 2x + a = 0 c) x2 + ax + 8 = 0 x2 + x + a = 0 Bài 5.6: Tìm các giá trị của a để phơng trình sau có bốn nghiệm phân biệt : (x 2 + x + a)( x2 + ax + 1) = 0. D¹ng 6: Ph¬ng tr×nh cã hai Èn sè. 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: Trong mét ph¬ng tr×nh cã hai Èn sè, ta xem mét Èn lµ tham sè råi gi¶i ph¬ng tr×nh Êy theo Èn còn lại. PP này gọi là phơng pháp đặt tham số mới. 2. C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 6.1: Chøng minh r»ng chØ cã mét cÆp sè duy nhÊt (x, y) tho¶ m ·n ph ¬ng tr×nh: x2 - 4x + y - 6. y. + 13 = 0.  x 3  y 2 2  2 x  xy  y 2  y 0 Bµi 6.2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:  4 2 2 2 Bµi 6.3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: y  4 y x  11 y  4 xy  8 y  8 x  40 x  52 0. 10 x 2  5 y 2  2 xy  38 x  6 y  41 0  2 3x  2 y 2  5 xy  17 x  6 y  20 0 Bµi 6.4: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:  698  4 2 x  y  81   x 2  y 2  xy  3 x  3 y  4 0 Bµi 6.5: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:  D¹ng 7: Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, tÝnh tæng vµ tÝch c¸c nghiÖm sè..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: - Tính ∆ và chứng tỏ ∆ ≥ 0 để phơng trình có nghiệm. S  x1  x2 . b a. P  x1.x2 . - áp dụng định lý Vi-ét : ; 2. C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 7.1: Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, tÝnh tæng vµ tÝch c¸c nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh sau: 2 a) 2 x  3 x  7 0. c a. 2 b) 3 x  6 x  8 0. 2 c) 3 x  x  1 0 D¹ng 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh b»ng c¸ch nhÈm nghiÖm. 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i:. 2 d) 7 x  2 7 x  9 0. b c - áp dụng địnhlý Vi-ét : x1 + x2 = - a ; x1.x2 = a - NhÈm : x1 + x2 = m + n ; x1.x2 = m.n th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x1 = m ; x2 = n. c - NÕu a + b + c = 0 th×: x1 = 1 ; x2 = a c - NÕu a - b + c = 0 th×: x1 = -1 ; x2 = - a 2. C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 8.1: Dùng định lý Vi-ét để nhẩm nghiệm của các phơng trình sau: 2 a) x  10 x  16 0. 2 b) x  15 x  50 0. c) (m + 1)x2 + 3mx + 2m – 1 = 0. ( m ≠ -1). d) (2m – 1)x2 – mx – m – 1 = 0. 1 (m≠ 2). Bài 8.2: Phơng trình 3x2 + 7x + m = 0 có một trong các nghiệm bằng 1. Xác định số m và nghiệm còn lại ? Bài 8.3: a) Phơng trình 0,1x2 - x + k = 0 có một trong các nghiệm bằng -1. Xác định số k và nghiệm còn lại ? 1 b) Phơng trình 15x2 + bx - 1 = 0 có một trong các nghiệm bằng 3 . Xác định số b và nghiệm còn lại ? D¹ng 9: Ph©n tÝch ax2 + bx + c thµnh nh©n tö. Ph¬ng ph¸p gi¶i: NÕu ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 cã hai nghiÖm x1, x2 th× ax2 + bx + c = a( x – x1)(x – x2) D¹ng 10: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt hai nghiÖm cña nã. 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: - TÝnh tæng hai nghiªm : S  x1  x2 vµ tÝch hai nghiÖm : P  x1.x2 - Ph¬ng tr×nh nhËn x1, x2 lµm nghiÖm lµ: X2 – SX + P = 0. 2. C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 10.1: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm lµ c¸c cÆp sè sau: a) 7 vµ 3. b) 1  2 vµ 1 . 2.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 1 Bµi 10.2: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm lµ : 10  Bµi 10.3: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm lµ : a) 4  15 vµ 4  15 c) 2 5  4 3 vµ 2 5  4 3. 1 72 vµ 10  6 2. b) 9  2 5 vµ 9  2 5. d). 5 3 5  3 vµ. 5 3 5 3. 2 Bµi 10.4: Gäi m, n lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x  (1  2) x  2 0. (m<n). LËp ph¬ng tr×nh bËc. 1 1 hai cã c¸c nghiÖm lµ: m  2 vµ 1  n .. Bµi 10.5: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã hÖ sè nguyªn vµ cã mét nghiÖm lµ :. Bµi 10.6: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã hÖ sè nguyªn vµ cã mét nghiÖm lµ : D¹ng 11: DÊu nghiÖm sè cña ph¬ng tr×nh bËc hai. 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i:. 5 3 5 3 5 3 5 3. Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ) : * Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu.  P < 0.. * Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu.  0   P  0. * Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt.   0  S  0   P  0   0  S  0   P  0. * Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt 2. C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 11.1: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2(m – 1)x + m + 1 = 0 (1) Định m để phơng trình: a) Có hai nghiệm trái dấu. b) Cã hao nghiÖm d¬ng ph©n biÖt. c) Có đúng một nghiệm dơng. Bài 11.2: Cho phơng trình : (m – 4)x2 - 2(m – 2)x + m – 1 = 0. Định m để phơng trình : a) Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dơng? b) Cã hai nghiÖm cïng dÊu? Bài 11.3: Cho phơng trình : x2 + 2(m – 2)x – 2m + 1 = 0. Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm cùng d¬ng ? hai nghiÖm tr¸i dÊu ?.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Bµi 11.4: Cho ph¬ng tr×nh x2 – mx + m2 – 3 = 0. a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt ? b) Tìm m để phơng trình chỉ có một nghiệm dơng ? Bài 11.5: Tìm giá trị của m để phơng trình sau có hai nghiệm cùng dấu ? Khi đó hai nghiệm mang dấu gì? a) x2 – 2mx + (5m – 4) = 0 b)mx2 + mx + 3 = 0. Bµi 11.6: Cho ph¬ng tr×nh : mx2 – 2(m + 1)x + m + 2 = 0 a) Định m để phơng trình có nghiệm b) Định m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu. Dạng 12: Xác định tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm thoả điều kiện cho trớc. 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: * Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm : ∆ ≥ 0 * Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét giải hệ đối với nghiệm x 1, x2 rồi thay vào phơng trình thứ ba của hệ để tìm tham số. * KiÓm tra l¹i m cã tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cã nghiÖm kh«ng råi kÕt luËn. 2. C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 12.1: Xác định m để phơng trình x2 + 2x + m = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 3x1 + 2x2 = 1? Bµi 12.2: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0. a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: 3x1 - 4x2 = 11. b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm đều âm. c) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m. Bài 12.3: Xác định k để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 = 2x2: a) x2 + 6x + k = 0 b) x2 + kx + 8 = 0. Bài 12.4: Xác định k để phơng trình x2 + 2x + k = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn một trong các điều kiện sau: a) x12 - x22 = 12 ; b) x12 + x22 = 1. Bµi 12.5: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 3m – 1 = 0. a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 12. b) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m. Bµi 12.6: Cho ph¬ng tr×nh (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m – 2 = 0. a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt. b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2 ; tính nghiệm kia. 1 1 7   x x2 4 . 1 c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: d) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 2x12 + 2x22 + x1 x2. Bµi 12.7: Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m + 1)x + 2m + 1 = 0. (1). a) Tìm m để phơng trình có nghiệm. b) Cho biểu thức: A = x12 + x22 + 6x1 x2. Tìm m sao cho A đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó? Bµi 12.8: Cho ph¬ng tr×nh (m - 1)x2 - 2m x + m + 2 = 0. a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Khi đó hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m. x1 x2   6 0. x x1 2 b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức :.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Bµi 12.9: Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0. ( m lµ tham sè). 2 2 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 và -x1 - x2 + 2006 đạt giá trị lớn nhất. Dạng 13: Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phơng trình bậc hai. 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: * Biểu thức giữa x1, x2 gọi là đối xứng nếu ta thay x1 bởi x2 và x2 bởi x1 thì biểu thức không đổi. * Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P ( tổng và tích các nghiệm số). Ch¼ng h¹n: x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2 x1x2 = S2 – 2P. x12 + x23 = (x1+ x2)3 - 3 x1x2(x1+ x2) = S3 – 3PS. 1 1 x1  x2 S x1 x2 x1  x2 S 2  2 P    ;    x1 x2 x1 x2 P x2 x1 x1 x2 P . 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 13.1: Gi¶ sö x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 + mx + 1 = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau; x12 x2 2  2 2 x x1 2 b). a) x13 + x23. Bài 13.2: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 + 2mx + 4 = 0. Xác định m sao cho x14 + x24 ≤ 32. D¹ng 14: T×m hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm x1 , x2 cña ph¬ng tr×nh bËc hai kh«ng phô thuéc vµo tham sè. 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: * Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm: ∆ ≥ 0. * Tõ hÖ thøc Vi-Ðt t×m S, P theo tham sè m. * Khử tham số m từ S, P để có hệ thức giữa S, P ( tức là hệ thức giữa x 1, x2 ) không phụ thuéc vµo m 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 14.1: Gi¶ sö x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m – 1)x + m2 - 1 = 0 . T×m hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m? Bµi 14.2: Gi¶ sö x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 – (m – 3)x + 2m + 1 = 0 . T×m hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m? 2 2 Bµi 14.3: Cho ph¬ng tr×nh : x  (2m  3) x  m  3m  2 0. a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m ; b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau ; c) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập với m ? 2 (m 2) Bµi 14.4: Cho ph¬ng tr×nh : ( m  2) x  2( m  4) x  ( m  4)( m  2) 0 a) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm x1, x2. Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập với m ;. A c) TÝnh theo m biÓu thøc d) Tìm m để A = 2.. 1 1  x1  1 x2  1 ;. 2 Bµi 14.4: Cho ph¬ng tr×nh : x  mx  4 0.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m ; A. 2( x1  x2 )  7 x12  x2 2. b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc c) Tìm giá trị của m sao cho hai nghiệm của phơng trình đều là số nguyên. HDÉn: b) Theo hÖ thøc Vi-Ðt ta cã x1 + x2 = m ; x1x2 = -4. A Ta cã A. 2m  7 m 2  8 xác định với mọi m và. 2m  7  Am 2  2m  8 A  7 0 m2  8  . (*). Víi A = 0 th× m = 3,5. Víi A ≠ 0, ta coi (*) lµ PT bËc hai Èn lµ m vµ cã nghiÖm nªn ∆ ≥ 0.   1 A . 1 8 . Khi đó PT (*) có nghiệm kép m = 8.  Dạng 15: Giải hệ phơng trình đối xứng hai ẩn. 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: * Hệ gọi là đối xứng hai ẩn x, y nếu hệ không thay đổi khi thay x bởi y, y bởi x. * C¸ch gi¶i: + §Æt S = x + y, P = x.y. + Đa hệ đã cho về hệ mới hai ẩn S, P. Chú ý đến các biểu thức đối xứng x, y. + Giải tìm S, P. Khi đó x, y là nghiệm của phơng trình X2 – SX + P = 0. + NÕu ( x, y ) lµ nghiÖm th× ( y, x ) còng lµ nghiÖm. 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 15.1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:  MaxA .  x  y  xy 5  2 x  y 2 5 a) . c).  x  y  xy 11  2 2  x  y  3( x  y ) 28.  x  y  2 xy 7  2 x  y 2 5 b) . d).  x y 13    y x 6  x  y 5 .  2 x 2  xy 3 x  2  2 y  xy 3 y. e) Mét sè ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai. D¹ng 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng(ax4 + bx2 + c = 0) 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: §Æt t = x2 ( t 0), ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai at2 + bt + c = 0. (1). 1 8.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> . Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng cã 4 nghiÖm ph©n biÖt khi (1) cã hai nghiÖm d¬ng ph©n. biệt, khi đó ta giải hệ sau theo m :.   0  S  0 P  0 . . Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng cã hai nghiÖm tr¸i dÊu  P  0. . Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng v« nghiÖm khi (1) v« nghiÖm (∆ < 0) hoÆc (1) cã hai. nghiÖm cïng ©m, tøc lµ: 2.C¸c bµi tËp vËn dông:.   0  S  0 P  0 . 4 2 2 Bµi 1.1: Cho ph¬ng tr×nh: x  2(m  1) x  m 0 (1). Xác định m để phơng trình : a) Cã 4 nghiÖm ph©n biÖt. b) V« nghiÖm. c) Cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. D¹ng 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu. 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: Bíc 1: T×m §KX§ cña ph¬ng tr×nh. Bớc 2: Quy đồng mẫu thức hai vế và khử mẫu. Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc. Bớc 4: Đối chiếu nghiệm tìm đợc với ĐKXĐ, loại các giá trị không thoả mãn, các giá trị thoả mãn ĐK là nghiệm của phơng trình đã cho..  Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu. * Đặt ĐK để phơng trình có nghĩa; * Quy đồng mẫu thức chung và khử mẫu; * Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh bËc hai; * KiÓm tra ®iÒu kiÖn vµ kÕt luËn. 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 2.1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a). 2x  5 3x  x 1 x 2. 2x 5 5   2 x  2 x  3 x  5x  6 Bµi 2.2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: c). a). 2 x  1 x2  4 x  5   1 2 x  3 2  x 2x2  x  6. b). 4x x 1  x2 x 2. d). 1 3 1  1  3 x  27 4 x 3 2.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 1 1 1 1 1  2  2  2  x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 x  11x  30 2 Bµi 2.3: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: b). 2. (1  x) 2 1  x 1  mx. ( m lµ tham sè ) Bµi 2.4: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a). 3 x 2 (3 x  2)(3 x  2)  2  x  2 x  2x  4 x3  8. b). 2 x 2 10   2 2 x  3 3x  x x( x  9). D¹ng 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh ®a vÒ d¹ng tÝch. 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i:  A( x) 0 A( x) B( x) 0    B( x) 0 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 3.1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) (4x2 - 25)(2x2 – 7x – 9) = 0 b) (2x2 – 3)2 – 4(x – 1)2 = 0 c) 2x(3x – 1)2 – 9x2 – 1 = 0 d) x3 + 3x2 + x + 3 = 0. D¹ng 4: Ph¬ng tr×nh bËc ba cã mét nghiÖm cho tríc. 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: Ph¬ng tr×nh bËc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) cã mét nghiÖm x =  . Bằng phép chia đa thức ( Hoặc dùng sơ đồ Hoocner) phân tích vế trái thành:  x  ( x   )(ax 2  b1 x  c1 ) 0   2  ax  b1 x  c1 0 2 Giải phơng trình bậc hai ax  b1 x  c1 0 ta đợc các nghiệm khác ngoài nghiệm x  của phơng tr×nh bËc ba..  Sơ đồ Hoocner: Chia ®a thøc. P( x) a0 x n  a1 x n  1  ...  an  1 x  an. P( x) ( x   )(a0 x n  a1 x n  1  ...  an  1 x  an ) . Sơ đồ xác định các bi : a0 a1 a2 … an  b0 b1 b2 … bn  Víi b0 = a0 vµ bi = bi-1 + ai ( i = 1, 2, 3, … , n ) 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 4.1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a ) x 3  6 x 2 11x  6 0 b) x 3  5 x 2  7 x  2 0. cho x   ta cã:.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 3 2 2 2 Bài 4.2: Xác định m để phơng trình : x  (2m  3) x  (m  2m  2) x  m 0 có ba nghiệm phân biệt ? 3 2 Bài 4.3: Xác định m để phơng trình : 6 x  7 x  16 x  m 0 có một nghiệm là 2. Tìm các nghiệm còn lại ? 3 2 Bài 4.4: Xác định m để phơng trình : x  (2m  1) x  3(m  4) x  m  12 0 có ba nghiệm phân biệt ? D¹ng 5: Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng (x + a)(x + b)(x + c)( x + d) =m víi a + b = c + d. 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: * Phơng trình đợc viết thành [ x2 + (a + b)x + ab][x2 + (c + d)x + cd] = m. * Đặt t = x2 + (a + b)x, ta đợc phơng trình bậc hai : (t + ab)(t + cd) = m. * Giải tìm t sau đó tìm x bằng cách giải phơng trình : x2 + (a + b)x – t = 0. 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 5.1: Gi¶i ph¬ng tr×nh : (x - 1)(x + 5)(x - 3)( x + 7) =297 . Bài 5.2: Xác định m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt :. a)( x 2  1)( x  3)( x  5) m b) x 4  (2m  1) x 2  m 2 0 ad  bc  2m Bµi 5.3: Cho c¸c sè a, b, c, d tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : a  b c  d vµ . 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh : ( x  a)( x  b)( x  c)( x  d )  m 0. HDẫn: Phơng trình đã cho tơng ứng với :. x 2  (a  b ) x  ab x 2  (c  d ) x  cd  m 2 0. 2 §Æt t  x  (a  b) x. V× a  b c  d nªn. (t  ab)(t  cd )  m 2 0  t 2  (ab  cd )t  abcd  m 2 0 2 2 2 2 Ta cã :  (ab  cd )  4(abcd  m ) (ab  cd )  4m . 2 2 ad  bc  2m V× nên (ab  cd )  4m , do đó   0 . VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. D¹ng 6: Ph¬ng tr×nh d¹ng (x + a)4 + (x + b)4 = c. 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i:. t x . a b a b a b 4 a b 4  x t  (t  )  (t  ) c 2 2 . Ph¬ng tr×nh trë thµnh: 2 2. §Æt Khai triển và rút gọn ta đợc phơng trình trùng phơng của ẩn t. 4 4 3 2 2 3 4 Chó ý: ( x y ) x 4 x y  6 x y 4 xy  y. 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bµi 6.1: Gi¶i ph¬ng tr×nh : (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2 . Bµi 6.1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : a )( x  2) 4  ( x  4) 4 82 b)( x  2)4  ( x  8) 4 272 c)( x  2) 4  ( x  1) 33  12 2. HDÉn: a) §Æt x + 3 = y..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> b)§Æt x + 5 = y. c) x = 1 lµ mét nghiÖm. Víi x > 1, VT > VP. Víi x < 1, VT < VP. VËy x = 1 lµ nghiÖm duy nhÊt. 4 3 2 D¹ng 6: Ph¬ng tr×nh d¹ng ax  bx  cx  bx  a 0 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i: * x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh;. (1). a( x 2  * Chia hai vế của phơng trình cho x2, ta đợc: x * §Æt. 1 1 )  b( x  )  c 0 2 x x. 1 1 1 t  ( x  )2 t 2  x 2  2 t 2  2 x x x . Ph¬ng tr×nh trë thµnh:. at 2  bt  c  2a 0. (2). x. -. ( PT bậc 4 có hệ số đối xứng).. Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m t, thay vao ph¬ng tr×nh. 4 3 2 D¹ng 7: Ph¬ng tr×nh d¹ng ax  bx  cx  bx  a 0 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i:. 1 t x để tìm x.. (1)( PT bậc 4 có hệ số đối xứng lệch)..

<span class='text_page_counter'>(16)</span>