LUONG GIAC HAY HKII LOP 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span>cos   x OH sin  y OK sin  tan    AT cos  cos  cot   BS sin . sin. I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác Cho (OA, OM )  . Giả sử M ( x; y ) .. tang. CHƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC. T.        k   2 . K.   k . O. B. cotang. S M. cosin.  H. A. Nhận xét:   ,  1  cos  1;  1 sin  1.     k , k  Z 2  tan xác định khi  sin(  k 2 ) sin .  cot xác định khi  k , k  Z  tan(  k ) tan . cos(  k 2 ) cos . cot(  k ) cot . 2. Dấu của các giá trị lượng giác Phần tư Giá trị lượng giác cos sin tan cot. I. II. III. IV. + + + +. – + – –. – – + +. + – – –. 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 0 00.  6 300.  4.  3.  2. 2 3. 3 4. . 3 2. 2. 450. 600. 900. 1200. 1350. 1800. 2700. 3600. 3 2. 2 2. 0. –1. 0. –1. 0. 1. sin. 0. 1 2. 2 2. 3 2. 1. cos. 1. 3 2. 2 2. 1 2. 0. tan. 0. 3 3. 1. 3. 3. 1. 3 3. cot. 0. . 1 2. . 2 2.  3. –1. 3 3. –1. . 0. 0 0. 4. Hệ thức cơ bản: 2. 2. 1  tan 2  . 1. sin   cos  1 ; tan .cot  1 ; cos2  5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt. ; 1  cot 2  . 1 sin 2 .

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Góc đối nhau. Góc bù nhau. cos(  )  cos . sin(   )  sin . sin(  )  sin . cos(   )  cos . tan(  )  tan . tan(   )  tan . cot(  )  cot . cot(   )  cot .   cos      sin  2    tan      cot  2    cot      tan  2 . Góc hơn kém .  Góc hơn kém 2. sin(   )  sin .   sin      cos  2 . cos(   )  cos .   cos      sin  2 . tan(   )  tan .   tan      cot  2 . cot(   )  cot .   cot      tan  2 . II. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b   1  tan  tan      , 4  1  tan . Hệ quả:. Góc phụ nhau   sin      cos  2 . tan a  tan b 1  tan a.tan b tan a  tan b tan(a  b)  1  tan a.tan b tan(a  b) .   1  tan  tan      4  1  tan . sin 2 2sin  .cos  2. Công thức nhân đôi cos 2  cos2   sin 2   2 cos2   1 1  2sin 2 . tan 2 . 2 tan  1  tan2 . ;. cot 2 . cot 2   1 2 cot . Công thức hạ bậc. Công thức nhân ba (*). 1  cos 2 2 1  cos 2 cos2   2 1  cos 2 2 tan   1  cos 2. sin 3  3sin   4sin3  cos3  4 cos3   3cos  3tan   tan3  tan 3  1  3tan 2 . sin2  . 3. Công thức biến đổi tổng thành tích.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ab a b .cos 2 2 ab a b cos a  cos b  2 sin .sin 2 2 ab a b sin a  sin b  2sin .cos 2 2 ab a b sin a  sin b  2 cos .sin 2 2 cos a  cos b  2 cos. sin(a  b) cos a.cos b sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b sin(a  b) cot a  cot b  sin a.sin b sin(b  a) cot a  cot b  sin a.sin b tan a  tan b .     sin   cos   2.sin      2.cos     4 4       sin   cos   2 sin      2 cos      4  4 4. Công thức biến đổi tích thành tổng. VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG. Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau: 0. 0. a) A = sin 50 .cos( 300 )  2  3 cot .sin    5  3  c) C = 0. b) B = d) D =. sin 2150.tan cos. 21 7. 4  4 9 .sin .tan .cot 5 3 3 5. 0. Bài 2. Cho 0    90 . Xét dấu của các biểu thức sau: 0 a) A = sin(  90 ). 0 b) B = cos(  45 ). 0 0 c) C = cos(270   ) d) D = cos(2  90 )  0   2 . Xét dấu của các biểu thức sau: Bài 3. Cho a) A = cos(   ) b) B = tan(   ).   2  3  sin    cos       5   8  c) C = d) D = Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = sin A  sin B  sin C b) B = sin A.sin B.sin C A B C A B C cos .cos .cos tan  tan  tan 2 2 2 2 2 2 . c) C = d) D =.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung) Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết. I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại 1. Cho biết sin, tính cos, tan, cot 2 2 2  Từ sin   cos  1  cos   1  sin  . – Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc IV thì. cos   1  sin2  . – Nếu  thuộc góc phần tư II hoặc III thì cos   1  sin2  . tan  .  Tính 2. Cho biết cos, tính sin, tan, cot. sin  cos  ;. cot  . 1 tan  .. 2 2 2  Từ sin   cos  1  sin   1  cos  . – Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc II thì. sin   1  cos2  . – Nếu  thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sin   1  cos2  . tan  . sin  cos  ;. cot  . 1 tan  ..  Tính 3. Cho biết tan, tính sin, cos, cot  Tính 1 2  Từ cos . cos  . cos  . 1  tan 2 . . cot  . 1 tan  .. 1. 1  tan2  . – Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc IV thì. 1 1  tan 2  . – Nếu  thuộc góc phần tư II hoặc III thì. cos  . 1 1  tan2  ..  Tính sin  tan  .cos  . 4. Cho biết cot, tính sin, cos, tan 1 tan   cot  .  Tính 1 2  Từ sin . sin  . sin  . 1  cot 2 . . 1. 1  cot 2  . – Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc II thì. 1 1  cot 2  . – Nếu  thuộc góc phần tư III hoặc IV thì.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1. sin  . 1  cot 2  . II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức  Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức.  Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi: A2  B2 ( A  B )2  2 AB A 4  B 4 ( A2  B 2 )2  2 A2 B2 A3  B3 ( A  B)( A2  AB  B 2 ) A3  B3 ( A  B)( A2  AB  B 2 ) IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình 2 2  Đặt t sin x, 0 t 1  cos x t . Thế vào giả thiết, tìm được t. Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính. 2  Thiết lập phương trình bậc hai: t  St  P 0 với S x  y; P  xy . Từ đó tìm x, y.. Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với: 2  4 cos   ,     0 cos a  , 270 0  a  360 0 2 5 5 a) b) 5  1 sin a  ,  a   sin   , 1800    2700 13 2 3 c) d) e). tan a 3,   a . 3 2. f). tan   2,.    2. cot  3,    . 0. g) cot15 2  3 h) Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với: cot a  tan a 3  A khi sin a  , 0  a  cot a  tan a 5 2 a) b). B C. c). 8tan2 a  3cot a  1 1 khi sin a  , 900  a  1800 tan a  cot a 3 sin 2 a  2sin a.cos a  2 cos2 a 2. 2sin a  3sin a.cos a  4 cos a. D d) E. sin a  5cos a 3. h). 3. 2 cos a  sin a. sin a  cos a khi tan a 5 cos a  sin a sin a  cos a . 8 ĐS: 3 ĐS:. 5 4 . Tính giá trị các biểu thức sau:. . 23 47. 55 ĐS: 6. khi tan a 2. cot a  3tan a 2 khi cos a  2 cot a  tan a 3. H. 25 ĐS: 7. khi cot a  3. khi tan a 2. 8cos3 a  2sin3 a  cos a. G. Bài 3. Cho. 3. sin a  2 cos a. e) g). 2. 3 2. ĐS:. . 3 2. 19 ĐS: 13 3  ĐS: 2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 3 3 a) A sin a.cos a b) B sin a  cos a c) C sin a  cos a 9 7 41 7   4 ĐS: a) 32 b) c) 128 Bài 4. Cho tan a  cot a 3 . Tính giá trị các biểu thức sau: 2 2 a) A tan a  cot a. b) B tan a  cot a. ĐS: a) 11 Bài 5. a) Cho b) Cho. 4 4 c) C tan a  cot a. b)  13. c) 33 13. 3sin 4 x  cos4 x . 3 4 . Tính A sin 4 x  3 cos4 x .. 3sin 4 x  cos4 x . 1 2 . Tính B sin 4 x  3 cos4 x .. ĐS:. A. 7 4. ĐS: B = 1 7 7 57 4sin 4 x  3cos4 x  C  C 4 4 4 . Tính C 3sin x  4 cos x . ĐS: 4 28 c) Cho Bài 6. 1 sin x  cos x  5 . Tính sin x, cos x, tan x, cot x . a) Cho b) Cho tan x  cot x 4 . Tính sin x, cos x, tan x, cot x . 4 3 4 3 ; ; ; 4 ĐS: a) 5 5 3. 1 b) 2 2  2. 3. ;. 3; 2  3;. 2 3 ; 2  3; 2  2. 3. 2 3 1 ; 2 2 2. 3 . hoặc VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết). Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a) 120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 2550 7 13 5 10 5 11 16 13 29 31 9 ; 11 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2 4 4 3 3 3 3 6 6 4 b) Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:   A cos   x   cos(2  x )  cos(3  x ) 2  a).  7   3  B 2 cos x  3cos(  x )  5sin   x   cot   x  2   2  b)    3    C 2sin   x   sin(5  x )  sin   x   cos   x  2   2  2  c)  3   3  D cos(5  x )  sin   x   tan   x   cot(3  x )  2   2  d) Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau: sin( 3280 ).sin 9580 cos( 5080 ).cos( 10220 ) A  0 cot 572 tan( 2120 ) a) sin( 2340 )  cos 216 0 B .tan 360 0 0 sin144  cos126 b). ĐS: A = –1 ĐS: B  1.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 0 0 0 0 0 c) C cos 20  cos 40  cos 60  ...  cos160  cos180 2 0 2 0 2 0 2 0 d) D cos 10  cos 20  cos 30  ...  cos 180. ĐS: C  1 ĐS: D 9. 0 0 0 0 0 e) E sin 20  sin 40  sin 60  ...  sin 340  sin360. ĐS: E 0. 0 0 0 0 f) 2sin(790  x )  cos(1260  x )  tan(630  x ).tan(1260  x ) ĐS: F 1  cos x . VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác. Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức. Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì: A B C     A  B  C  và 2 2 2 2 Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: 4 4 2 a) sin x  cos x 1  2 cos x 4 4 2 2 b) sin x  cos x 1  2 cos x.sin x 6 6 2 2 c) sin x  cos x 1  3sin x.cos x 8 8 2 2 4 4 d) sin x  cos x 1  4sin x.cos x  2sin x.cos x 2 2 2 2 e) cot x  cos x  cos x.cot x 2 2 2 2 f) tan x  sin x  tan x.sin x g) 1  sin x  cos x  tan x (1  cos x )(1  tan x ) 2 2 h) sin x.tan x  cos x.cot x  2sin x.cos x  tan x  cot x sin x  cos x  1 2 cos x  1  cos x sin x  cos x  1 i). 1  sin 2 x 2. 1  tan 2 x. k) 1  sin x Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: sin a cos a 1  cot 2 a   2 b) sin a  cos a cos a  sin a 1  cot a sin2 a sin a  cos a sin2 a cos2 a   sin a  cos a 1   sin a.cos a 1  cot a 1  tan a tan2 a  1 c) d) sin a  cos a 1  cos a  (1  cos a)2  tan 2 a 1  cot 2 a 1  tan 4 a  2 cot a 1   .  2 2 sin 2 a  tan 2 a  cot 2 a e) sin a  f) 1  tan a cot a tan a  tan b tan a.tan b  cot a  cot b a). 2.  1  sin a 1  sin a  tan2 a  tan 2 b sin 2 a  sin 2 b 2     4 tan a 2 2 1  sin a  sin 2 a.sin 2 b g)  1  sin a h) tan a.tan b sin 2 a  tan 2 a tan3 a 1 cot 3 a 6  tan a    tan3 a  cot 3 a 2 2 2 2 i) cos a  cot a k) sin a sin a.cos a cos a sin8 x cos8 x 1 sin 4 x cos4 a 1     , với a, b  0. 3 3 b (a  b)3 . b ab Bài 3. Cho a Chứng minh: a Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau: 2 2 2 a) (1  sin x ) cot x  1  cot x. 2 2 b) (tan x  cot x )  (tan x  cot x ).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> cos2 x  cos2 x.cot 2 x 2 2 2 c) sin x  sin x.tan x sin 2 x  tan 2 x. 2 2 d) ( x.sin a  y.cos a)  ( x .cos a  y.sin a) sin 2 x  cos2 x  cos4 x. 2 2 e) cos a  cot x. 2 2 4 f) cos x  sin x  sin x. 2. 1  cos x  1  cos x. 2. 1  cos x ; x  (0,  ) 1  cos x. sin x (1  cot x )  cos x(1  tan x ) h)   3     1  sin x 1  sin x  ; x   ;  cos x  tan 2 x  sin2 x ; x  ;  1  sin x  2 2  k) 2 2  i) 1  sin x Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: g). 4 4 6 6 a) 3(sin x  cos x )  2(sin x  cos x ). ĐS: 1. 8 8 6 6 4 b) 3(sin x  cos x )  4(cos x  2sin x )  6sin x. ĐS: 1. 4 4 2 2 c) (sin x  cos x  1)(tan x  cot x  2). ĐS: –2. 2. 2. 2. 2. 2. d) cos x.cot x  3cos x  cot x  2sin x sin 4 x  3 cos4 x  1 6. 6. ĐS: 2 2 ĐS: 3. 4. e) sin x  cos x  3cos x  1 tan2 x  cos2 x sin2 x. f). . cot 2 x  sin2 x cos2 x. ĐS: 2. sin6 x  cos6 x  1 4. g) sin x  cos x  1 Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) sin B sin( A  C ) c). sin. 3 ĐS: 2. 4. AB C cos 2 2. b) cos( A  B)  cos C d) cos( B  C )  cos( A  2C )  3A  B  C cos  sin 2 A 2 f). e) cos( A  B  C )  cos2C A  B  3C A  B  2C 3C sin cos C tan cot 2 2 2 . g) h) VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a tan a  tan b tan(a  b)  sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a 1  tan a.tan b cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b tan a  tan b tan(a  b)  cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b 1  tan a.tan b. Hệ quả:.   1  tan  tan      , 4  1  tan .   1  tan  tan      4  1  tan . Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:.  5 7 ; ; a) 15 ; 75 ; 105 b) 12 12 12 Bài 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: 0. 0. 0.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>   3  tan     khi sin   ,      3 5 2 a)   12 3 cos     khi sin   ,    2  3  13 2 b). 38  25 3 11 ĐS: (5  12 3) 26 ĐS:. 1 1 cos(a  b).cos(a  b) khi cos a  , cos b  3 4 c) d) sin(a  b), cos(a  b), tan(a  b) khi. ĐS:. . 119 144. 8 5 sin a  , tan b  17 12 và a, b là các góc nhọn. 21 140 21 ; ; . ĐS: 221 221 220.   , ab  2 4 và tan a.tan b  3  2 2 . Từ đó e) tan a  tan b, tan a, tan b khi  tan a tan b  2  1, a b  8 suy ra a, b . ĐS: 2 2  2 ; Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau: 3 2 o 2 o 2 o a) A = sin 20  sin 100  sin 140 ĐS: 2 0  a, b . 2. o. 2. o. b) B = cos 10  cos110  cos 130. 3 ĐS: 2. o. o o o o o o c) C = tan 20 .tan 80  tan 80 .tan140  tan140 .tan 20 o. o. o. o. o. d) D = tan10 .tan 70  tan 70 .tan130  tan130 .tan190 cot 225o  cot 79o.cot 71o e) E =. cot 259o  cot 251o 2. 2. o. o. f) F = cos 75  sin 75 1  tan15o. ĐS: –3 o. ĐS: –3 3. ĐS: ĐS:. . 3 2. g) G = 1  tan15. 3 ĐS: 3. 0 0 h) H = tan15  cot15. ĐS: 4. 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 HD: 40 60  20 ; 80 60  20 ; 50 60  10 ; 70 60  10 Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau: 2 2 a) sin( x  y ).sin( x  y)  sin x  sin y 2sin( x  y ) tan x  tan y  cos( x  y )  cos( x  y ) b).       2  2  tan x.tan  x    tan  x   .tan  x    tan  x   .tan x  3  3  3  3   3  c)        3  2 cos  x   .cos  x    cos  x   .cos  x  (1  3)   3  4  6  4  4 d) o o o o o o o o e) (cos70  cos 50 )(cos 230  cos 290 ) (cos 40  cos160 )(cos320  cos380 ) 0 tan2 2 x  tan 2 x tan x.tan 3 x  1  tan2 2 x.tan 2 x f).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước: a) 2 tan a tan(a  b) khi sin b sin a.cos(a  b) b) 2 tan a tan(a  b) khi 3sin b sin(2a  b) 1 tan a.tan b  khi cos(a  b) 2 cos(a  b) 3 c). 1 k tan(a  b).tan b  khi cos(a  2b) k cos a 1 k d) HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b = (a+b)+a c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b = (a+b)+a; a = (a+b)–b Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) sin C sin A.cos B  sin B.cos A sin C tan A  tan B ( A, B 90 0 ) cos A .cos B b) 0 c) tan A  tan B  tan C tan A.tan B.tan C ( A, B, C 90 ) d) cot A.cot B  cot B.cot C  cot C.cot A 1 A B B C C A tan .tan  tan .tan  tan .tan 1 2 2 2 2 2 2 e). f) g) h) i). cot. A B C A B C  cot  cot cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2. cot B . cos C cos B  cot C  ( A 90o ) sin B.cos A sin C.cos A. cos. A B C A B C A B C A B C .cos .cos sin sin cos  sin cos sin  cos sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. sin2. A B C A B C  sin2  sin2 1  2sin sin sin 2 2 2 2 2 2.  A B C 0     90 0 HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 180 e, f) Sử dụng  2 2  2  A B C cos     2 2 2 g) VT = VP = tanA h) Khai triển  A B C sin      2 2 2 . i) Khai triển B C A B C A B C cos    sin cos .cos sin  sin .sin 2 2 2  2 2 2 2 2 Chú ý: Từ A B C A A B C sin .cos .cos sin 2  sin .sin .sin 2 2 2 2 2 2 2  Bài 7. Cho tam giác A, B, C. Chứng minh: a) tan A  tan B  tan C  3 3,   ABC nhoïn. 2 2 2 b) tan A  tan B  tan C  9,   ABC nhoïn. 6 6 6 c) tan A  tan B  tan C  81,   ABC nhoïn. A B C tan 2  tan 2  tan 2 1 2 2 2 d).

<span class='text_page_counter'>(11)</span> A B C  tan  tan  3 2 2 2 e) HD: a, b, c) Sử dụng tan A  tan B  tan C tan A.tan B.tan C và BĐT Cô–si tan. 2 2 2 d) Sử dụng a  b  c ab  bc  ca A B B C C A tan .tan  tan .tan  tan .tan 1 2 2 2 2 2 2 và 2.  A B C  tan  tan  tan  2 2 2  và sử dụng câu c) e) Khai triển  ..

<span class='text_page_counter'>(12)</span>