de thi hsg mon toan 9 huyen tien hai 20142015

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phòng giáo dục - đào tạo TiÒn h¶i. §Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn n¨m häc 2013 - 2014 M«n: To¸n 9. (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1 (4 điểm) 2 2 a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x  3x  1 y . b) Chứng minh rằng nếu mỗi số tự nhiên a và b đều là tổng của hai số chính phương thì ab cũng là tổng của hai số chính phương. Bài 2 (4 điểm).  y  1 1  1 A :   .  xy xy   x y  x  y  2 xy  1) Cho biểu thức: a) Rút gọn A x.   1 1  .   3   x y   x y   2. . . b) Tính giá trị của biểu thức A với x 4  7 và y 4  7 2) Đa thức f(x) khi chia cho x  5 được số dư là 14 và khi chia cho x  1 được số dư là 2. 2 Tìm đa thức dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức: x  4x  5 . Bài 3 (4,0 điểm) Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 7 = 0 (m là tham số) a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn |x1 – x2|= 12. 2 2 c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức: A = x1  x 2  5x1x 2 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Vẽ các đường cao AD, BE, CF. Vẽ đường kính AK của đường tròn tâm O.. AB.BC.CA 4R a) Chứng minh: AB.AC = AD.AK và SABC = b) Chứng minh: OA vuông góc với EF c) Vẽ đường tròn (I) đi qua B, C và tiếp xúc với AB tại B. Gọi M là giao điểm của cạnh AC với đường tròn (I), N là giao điểm của đường thẳng AD và đường thẳng BK. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, N, M thuộc một đường tròn. Bài 5 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. D là một điểm nằm trong tam giác sao cho CD = CA. 1  BDM  ACD 2 M là một điểm trên cạnh AB sao cho . N là giao điểm của MD và đường cao AH của  ABC. Chứng minh DM = DN. –––––––––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––––––––––.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Phòng giáo dục - đào tạo TiÒn h¶i. kú thi häc sinh giái cÊp huyÖn n¨m häc 2013 - 2014 đáp án và biểu điểm chấm môn : Toán 9. (§¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm chÊm gåm 05trang) Bài 1 (4,0 điểm) 2 2 a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x  3x  1 y .. b) Chứng minh rằng nếu mỗi số tự nhiên a và b đều là tổng của hai số chính phương thì ab cũng là tổng của hai số chính phương.. Câu. Nội dung 2. Ta có: x  3x  1 y. 2. a) (2điểm ). Điểm. 2. 2. . 4x  12x  4 4y. .  2x  3  5 4y 2  2x  2y  3  2x  2y  3 5. 0.5. 2. . Lí luận, lập bảng tìm được các cặp (x, y) là : (0; -1); (0; 1); (3; -1), (3; 1) Vậy các cặp số (x, y) cần tìm là: (0; -1); (0; 1); (3; -1), (3; 1) Vì a và b đều bằng tổng của hai số chính phương nên ta có thể viết: a = m2 + n2, b = c2 + d2 (m, n, c, d là các số nguyên) Ta có: ab = (m2 + n2)(c2 + d2) = m2c2 + m2d2 + n2c2 + n2d2 b) = (m2c2+n2d2+2mcnd)+(n2c2+m2d2 – 2mcnd) (2điểm) = (mc +nd)2 + (nc – md)2 Vậy nếu mỗi số tự nhiên a và b đều là tổng của hai số chính phương thì ab cũng là tổng của hai số chính phương.. 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25. Bài 2(4 điểm):  y  1 1  1 A :   .   xy xy  x y  x  y  2 xy  1) Cho biểu thức: a. Rút gọn A x.   1 1  .   3   y   x y  x  2. . . b. Tính giá trị của biểu thức A với x 4  7 và y 4  7 2) Đa thức f(x) khi chia cho x  5 được số dư là 14 và khi chia cho x  1 được số dư là 2. 2 Tìm đa thức dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức: x  4x  5 .. Câu 1.a. Nội dung. ĐKXĐ: x > 0, y > 0 (1,75điểm)  x  y  1 1  1 A :   .  xy xy   x y  x  y  2 xy   y xy  : . xy xy  xy  x. 1. . x y. 2. .  . Điểm 0,25.   1 1  .    3   x y x y     x  y 2 . 3 xy  x y  2. . . . 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  y  xy = : xy xy  xy x  y  x. . =. =. x. y. xy xy. :. x  y  2 xy xy. . x y. .   =. x y x. y. xy xy. :. . 2.  xy. x y. . 0,25. . 2. x y. . 2. x y xy. Ta có: x 4 . 0,5. 0,25 7  ĐKXĐ, y 4  7  ĐKXĐ A=. Thay vào biểu thức 1.b (0.75điểm) Tính đúng được A =. 2 (1,5điểm). . 2. 2.    xy  . 2. . 4 7  4 7 x y A= xy 4 7. 4  7 ta có:. 2 3. 2  3 Vậy với x 4  7; y 4  7 thì A = Vì f(x) chia cho x – 5 dư 14 nên f(5) = 14 Vì f(x) chia cho x + 1 dư 2 nên f(–1) = 2 Gọi thương và dư của phép chia f(x) cho x 2 – 4x – 5 là g(x) và ax+b ta có: f(x) = (x2 – 4x – 5).g(x) + ax + b = (x – 5)(x + 1).g(x) + ax + b  f(5) = 5a + b = 14; f(–1) = –a + b = 2 5a  b 14   a  b 2 Ta có hệ phương trình:  Giải hệ được a = 2, b = 4 Vậy dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức x2 – 4x – 5 là 2x + 4. 0,25. 0,5. 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25. Bài 3(4 điểm): Cho phương trình (ẩn x): x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 7 =0 a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn |x1 – x2|= 12. 2 2 c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức: A = x1  x 2  5x1x 2 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.. Câu a) b). Nội dung Ta có: a = 1; b = –2(m + 1)  b’ = –(m + 1); c = m2 – 4m + 7 Vì a = 1 0 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt Û  ' >0 Hay (m+1)2 – (m2 – 4m + 7) > 0 Û m > 1 Vậy với m > 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 Û  '  0 hay (m+1)2 – (m2 – 4m + 7)  0 Û m1. Điểm 1,0 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  x1  x 2 2  m  1  x1x 2 m 2  4m  7   Hai nghiệm của phương trình là x1, x2, theo Vi-ét ta có: 2 2 Ta có: |x – x | = 12 Û (x – x )2 = 144 Û x1  x 2  2x1 x 2 144 1. 2 2. 1. 2. 0,25. Û (x1  x 2 )  4x1 x 2 144 Þ [2(m+1)]2 – 4(m2 – 4m + 7) = 144 Û 4m2 + 8m + 4 – 4m2 + 16m – 28 = 144 Û 24m = 168 Û m = 7 ( thỏa mãn điều kiện m  1). 0,25. Vậy m=7 thì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn |x1 – x2|= 12. Theo câu b, phương trình có nghiệm khi m  1  x1  x 2 2  m  1  x x m 2  4m  7 Hai nghiệm của phương trình là x1, x2, theo Vi-ét ta có:  1 2 Ta có:. 0,25. 2. A x12  x 22  5x1 x 2  x1  x 2   3x1x 2 2. c). 0,25.  2  m  1   3  m 2  4m  7  4m 2  8m  4  3m 2  12m  21 7m 2  4m  25 5m 2  2 m 2  2m  1  23. . . 0,25 0,25 0,25 0,25. 2. 5m 2  2  m  1  23 5  0  23 28. 0,25. ( Với m  1). 0,25 Dấu “=” xảy ra khi m = 1 Þ Amin=28 Vậy với m = 1 thì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn Amin=28 0,25 Bài 4(6 điểm): Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AK của đường tròn tâm O. AB.BC.CA 4R a) Chứng minh: AB.AC = AD.AK và SABC = b) Chứng minh: OA vuông góc với EF c) Vẽ đường tròn (I) đi qua B, C và tiếp xúc với AB tại B. Gọi M là giao điểm của cạnh AC với đường tròn (I), N là giao điểm của đường thẳng AH và đường thẳng BI. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, N, M thuộc một đường tròn. Câu. Nội dung. Điểm.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> A. E M F. O H. D. C. B N K. a). b). c). +) Chứng minh  ABD S AKC (gg) suy ra AB.AC = AD.AK. 1. AB.AC AB.AC  AK 2R +) Theo câu a ta có: AB.AC BC.AD BC. 2R AB.BC.CA SABC   4R 2 2 suy ra Vậy SABC =. 1.    Chứng minh được AEF ABC AKC. 1. 0 0     Mà AKC  KAC 90  AEF  KAC 90 Vậy OA  EF. 1. AD .    +) ABM ACB AKB. 0,5.     AKB  BAK 900  ABM  BAK 900  AK  BM  BM // EF   EHF MNB. 0,5 0,25 0,25. +) Chứng minh được. 0 0     +) Chứng minh được EAF  EHF 180  EAF  MNB 180  đpcm. 0,5. Bài 5(2 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. D là một điểm nằm trong tam giác đó sao cho CD=CA; 1  BDM  ACD 2 M là một điểm trên cạnh AB sao cho . N là giao điểm của MD và đường cao AH của  ABC. Chứng minh DM = DN. Câu Nội dung Điểm.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> E A I M. B. N D. H. C. Vẽ đường tròn (C,CA) cắt đường thẳng BD tại E Þ BA là tiếp tuyến của đường tròn Ta có: BA2 = BD.BE = BH.BC nên tứ giác DHCE nội tiếp       Þ BHD BEC CDE CHE  AHD AHE Þ HA là phân giác của góc DHE Mà AH  BC nên HA, HB tương ứng là phân giác trong và phân giác ngoài của góc DHE do đó nếu I là giao của AH và BE thì ID HD BD   (*) IE HE BE 1   MDB  ACD AEB 2 Mà theo giả thiết: nên MN // AE MD BD DN DI  ;  do đó: AE BE AE IE MD DN   DM DN Kết hợp với (*) ta có: AE AE. 0,75. 0,5. 0,5. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>