Luan VanSKKN 3

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (321.36 KB, 62 trang )

(1)1 MỤC LỤC Trang phụ bìa...........................................................................................................i Lời cam đoan............................................................................................................ii Lời cảm ơn..............................................................................................................iii Mục lục..................................................................................................................... 1 Danh mục các cụm từ viết tắt...................................................................................4 MỞ ĐẦU..................................................................................................................5 Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Cơ sở lý luận......................................................................................................9 1.1.1. Khái niệm về bài toán, giải bài toán...........................................................9 1.1.2. Vị trí và chức năng của bài tập toán...........................................................9 1.1.3. Các yêu cầu chung của lời giải một bài toán............................................10 1.1.4. Năng lực giải toán....................................................................................12 1.1.5. Các thao tác trí tuệ cơ bản........................................................................13 1.1.6. Các hoạt động liên quan đến nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình..........................................................................................16 1.2. Thực trạng dạy và học nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình............................................................................................................ 18 1.2.1. Về phía học sinh.......................................................................................18 1.2.2. Về phía giáo viên......................................................................................18 Chương 2 CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH 2.1. Tổng quan về mục đích, yêu cầu nội dung giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình.................................................................................20 2.2. Nội dung dạy học giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình 2.2.1. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, phương trình.......19 2.2.2. Dạy học giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình.....21 2.3. Bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học nội dung giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình .............................................22.

(2) 2 2.3.1. Biện pháp 1: Bồi dưỡng cho HS kiến thức cơ bản về hệ phương trình và phương trình............................................................................................................ 22 2.3.2. Biện pháp 2: Giúp HS phân loại một số dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình.......................................................................27 2.3.3. Biện pháp 3: Bồi dưỡng cho HS năng lực phân tích bài toán và định hướng đường lối giải bài toán............................................................................................30 2.3.4. Biện pháp 4: Bồi dưỡng cho HS cách trình bày lời giải của một bài toán khi giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (hay phương trình).......................42 2.3.5. Biện pháp 5: Bồi dưỡng cho HS năng lực giải bài toán bằng các cách khác nhau........................................................................................................................ 47 2.3.6. Biện pháp 6: Bồi dưỡng học sinh năng lực phát triển bài toán mới..........53 Chương 3 DỰ KIẾN THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1. Mục đích thực nghiệm.....................................................................................59 3.2. Nội dung thực nghiệm......................................................................................59 3.3. Địa điểm và thời gian.......................................................................................59 3.4. Dự kiến kết quả thực nghiệm...........................................................................59 KẾT LUẬN............................................................................................................61 TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................62 PHỤ LỤC.

(3) 3 DANH MỤC CỤM TỪ VIẾT TẮT Từ viết tắt. Từ viết đầy đủ. HS. Học sinh. GV. Giáo viên. THCS. Trung học cơ sở.

(4) 4 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Xuất phát từ mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu, điều kiện và hoàn cảnh của đất nước Việt Nam. Mục tiêu này xuất phát từ chính sách chung về giáo dục và đào tạo, được thể hiện trong các văn kiện Đại hội Đảng:“Mục tiêu giáo dục và đào tạo nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có tri thức và có tay nghề, có năng lực thực hành, tự chủ, năng động và sáng tạo, có đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội” (Văn kiện Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VII, Đảng Cộng Sản Việt Nam, trang 81). “Nâng cao mặt bằng dân trí, bảo đảm những tri thức cần thiết để mọi người gia nhập cuộc sống xã hội và kinh tế theo kịp tiến trình đổi mới và phát triển đất nước. Đào tạo bồi dưỡng và nâng cao chất lượng nguồn nhân lực để đáp ứng yêu cầu sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa” (Văn kiện Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VIII, Đảng Cộng Sản Việt Nam, trang 199). Định hướng này đã được pháp chế hóa trong luật giáo dục năm 2005, điều 28, khoản 2, trang 31 đã nêu “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Trong chương trình Giáo dục phổ thông của nước ta hiện nay nhìn chung tất cả các môn học đều cho chúng ta tiếp cận với khoa học hiện đại và khoa học ứng dụng. Đặc biệt là môn toán, các em được tiếp thu kiến thức xây dựng trên tinh thần toán học hiện đại. Trong đó có nội dung xuyên suốt quá trình học tập của các em đó là phương trình. Trong phân phối chương trình toán ở trường trung học cơ sở thì đến lớp 8 học sinh mới được học về khái niệm phương trình và các phép biến đổi tương đương các phương trình. Nhưng việc giải phương trình đã có trong chương trình toán từ lớp 1 với mức độ và yêu cầu tùy theo từng đối tượng học sinh. Ở lớp 1, 2 phương trình được cho dưới dạng điền số thích hợp vào ô trống :.

(5) 5  – 5 = 3. Ở lớp 3 được nâng dần dưới dạng: x + 5 – 3 = 9. Ở lớp 4, 5, 6 cho dưới dạng phức tạp hơn như: x : 5 = 6 : 3 ; x.2 + 5 = 15 ; (x – 3).7 = 49 Ở lớp 7, 8, 9 ngoài những mối liên hệ như trên bài toán còn cho dưới dạng lời văn có các dữ kiện kèm theo. Vì vậy muốn giải được loại toán này học sinh phải suy nghĩ để thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng để dẫn đến phương trình hay hệ phương trình. Việc giải bài toán bằng cách lập phương trình (hay hệ phương trình) ở bậc THCS là một vấn đề mới mẻ. Ngoài ra đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều được gắn liền với nội dung thực tế. Do đó khi giải loại toán này học sinh thường mắc một số sai lầm như: - Bài toán thiếu điều kiện của ẩn hay điều kiện của ẩn không chính xác. - Chưa biểu diễn được mối quan hệ giữa các đại lượng. - Lời giải thiếu chặt chẽ. - Giải phương trình hay hệ phương trình chưa đúng. - Không quan tâm đến ý nghĩa thực tế của bài toán. Từ những lý do trên mà học sinh rất ngại làm loại toán này. Mặt khác cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ trên tinh thần của sách giáo khoa mà chưa có phân loại dạng toán, chưa khái quát được cách giải mỗi dạng cho học sinh. Do đó muốn giải bài toán bằng cách lập phương trình (hay hệ phương trình) thì điều quan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ cho trong bài toán thành những quan hệ toán học. Vì vậy nhiệm vụ của người thầy giáo không phải là giải bài tập cho học sinh mà vấn đề đặt ra là người thầy phải dạy cho học sinh cách giải bài tập. Với những lý do trên chúng tôi chọn đề tài với nội dung: “Bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học nội dung giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình Toán 9” để làm khóa luận tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình nhằm giúp học sinh phân loại được một số dạng toán thường gặp trong chương trình toán 9 khi giải bài toán bằng cách lập phương.

(6) 6 trình và hệ phương trình, qua đó HS có thể biểu diễn được mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán để dẫn đến hệ phương trình hay phương trình ở một số dạng toán đó đồng thời khắc phục được một số sai lầm của HS khi giải các dạng toán này. Ngoài ra, giúp GV tìm ra phương pháp dạy phù hợp với mọi đối tượng HS, làm cho HS có thêm hứng thú khi học môn toán. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực giải toán với mục tiêu, nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình và thực tiễn dạy học nội dung này ở trường THCS. Đề xuất một số biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho HS thông qua dạy học nội dung giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình. Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề ra. 4. Giả thiết khoa học Nếu các biện pháp đề ra và thực hiện có tính hiệu quả cao thì sẽ giúp cho HS có khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng đặc thù riêng lẻ. Mặt khác sẽ phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo được lòng say mê, tự tin và không còn ngại ngùng đối với việc giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay phương trình. HS thấy được môn toán rất gần gũi với các môn học khác và thực tiễn cuộc sống. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận: tham khảo tài liệu SGK, SBT, SGV Đại số 9 và một số tài liệu khác liên quan đến đề tài này. Phương pháp quan sát, điều tra: tham khảo ý kiến cũng như phương pháp dạy học của các đồng nghiệp thông qua các buổi sinh hoạt chuyên môn, dự giờ thăm lớp, điều tra khảo sát kết quả học tập của HS. Phương pháp thực nghiệm: thông qua các tiết dạy trên lớp. 6. Phạm vi nghiên cứu Đề tài chủ yếu nghiên cứu chương trình toán THCS (Đại số 9) cụ thể là nội dung giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình..

(7) 7 7. Cấu trúc đề tài Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các cụm từ viết tắt Luận văn gồm có ba phần: Mở đầu, nội dung và kết luận. Gồm ba chương: Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương 2. Các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho HS thông qua dạy học nội dung giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình. Chương 3. Dự kiến thực nghiệm sư phạm KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC.

(8) 8 Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Cơ sở lý luận 1.1.1. Khái niệm về bài toán, giải bài toán. 1.1.1.1. Bài toán là gì ? Bài toán là yêu cầu cần có để đạt được một mục đích nào đó. Với cách hiểu này bài toán đồng nghĩa với đề toán, bài tập, câu hỏi, vấn đề, nhiệm vụ,…Mục đích nêu trong bài toán có thể là một tập hợp bất kỳ (của các số, các hình, các biểu thức, …) hoặc sự đúng đắn của một hay nhiều kết luận. 1.1.1.2. Khái niệm về giải bài toán Giải bài toán là cách khắc phục sự không phù hợp (mâu thuẫn) giữa cái đã cho và điều yêu cầu của bài toán, biến đổi chúng để cuối cùng dẫn đến sự thống nhất. 1.1.2. Vị trí và chức năng của bài tập toán Trong thời đại hiện nay toán học có một vị trí vô cùng quan trọng nên cần quan tâm phát triển, do đó toán học được đặt ở hàng đầu. Vị trí của bài tập toán ngày càng được chú trọng nhiều hơn nó có tìm năng phát triển năng lực trí tuệ và hình thành các phẩm chất trí tuệ cho con người, qua đó HS được rèn luyện khả năng suy đoán và tưởng tượng. Các bài toán ở trường THCS là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo ứng dụng vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện thực hiện tốt các mục đích dạy học toán. Trong thực tiễn bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác nhau, một bài tập có thể dùng để tạo tiền đề gợi mở động cơ học tập, ngoài ra nó còn có tiềm năng phát triển phẩm chất đạo đức của HS. Các bài tập toán có chức năng sau: Chức năng dạy học: bài tập nhằm hình thành củng cố cho HS những tri thức, kỹ năng kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học. Chức năng giáo dục: Bài tập nhằm hình thành cho HS thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới..

(9) 9 Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy của HS, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của HS. Trên thực tế các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau. Ví dụ: Cho tổng hai cạnh góc vuông bằng 14m và cạnh huyền bằng 10m. Tìm hai cạnh góc vuông. Bài toán này giúp cho HS củng cố lại các kiến thức về định lý Pytago và các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình (chức năng dạy học). Qua đó GV hướng dẫn HS chọn ẩn cho phù hợp và mối quan hệ giữa hai cạnh góc vuông rồi lập phương trình nhằm thể hiện chức năng giáo dục của bài toán trên. Tiếp theo với mức độ cao hơn HS có thể phát triển bài toán này thành một bài toán mới như thay đổi dữ kiện cạnh huyền 10m thành diện tích tam giác vuông bằng 48m 2. Cuối cùng HS kiểm tra xem kết quả có hợp lý với đề bài hay không. 1.1.3. Các yêu cầu chung của lời giải một bài toán 7 Để khai thác tốt các chức năng của bài tập toán học, thầy và trò cần nắm vững các yêu cầu chung của một lời giải. 1.1.3.1. Lời giải bài toán không có sai lầm Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không có sai sót về kiến thức toán học, về phương pháp suy luận, về kỹ năng tính toán, về ký hiệu, hình vẽ, kể cả không có sai lầm về ngôn ngữ diễn đạt. Giáo viên cần phải rèn luyện cho HS thói quen xem xét kiểm tra lại kết quả giải toán và lời giải của mình, qua đó giáo dục ý thức trách nhiệm đối với công việc, đồng thời phát triển óc phê phán. Cần giúp HS biết kiểm tra kết quả bằng cách đối chiếu bài làm với từng câu hỏi của đề bài, xét tính hợp lý của đáp số với đầu bài hoặc bằng cách tìm một phương pháp giải khác nếu có thể rồi so sánh các kết quả giải được theo những những phương pháp khác nhau. Cũng cần yêu cầu HS kiểm tra lại bằng hình thức vận dụng linh hoạt những kiến thức đã học chứ không chỉ đơn thuần đối chiếu với đáp số cho sẵn như nhiều HS vẫn làm. Chỉ ra những sai lầm trong lời giải của HS là cần thiết song điều quan trọng hơn là phân tích được nguyên nhân chính dẫn tới sai sót đó. Nguyên nhân chủ yếu về mặt kiến thức dẫn đến sai lầm là học sinh nắm không vững chắc các định nghĩa,.

(10) 10 định lý, quy tắc,…vận dụng chúng một cách máy móc, không chú ý đến các điều kiện áp dụng. Ngoài ra trong giải toán HS còn có thể mắc sai lầm do cẩu thả trong tính toán, không ghi chép đúng và không xem xét kỹ đầu bài… Ví dụ: Giải phương trình 2x3 – 50x = 0 thì lời giải sau đây của HS là có sai lầm: 2x3 – 50x = 0  2x2 – 50 = 0  x2 = 25  x = 5. Ở đây HS đã chia cả hai vế cho x mà không lập luận điều kiện x ≠ 0 nên bị mất một nghiệm x = 0. 1.1.3.2. Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác Yêu cầu này đòi hỏi từng bước biến đổi trong lời giải phải có cơ sở lý luận, phải dựa vào các định nghĩa, định lý, quy tắc, công thức,…đã học đặc biệt phải chú ý đảm bảo thỏa mãn điều kiện nêu trong giả thiết. Ví dụ: Giải phương trình. (2 x  1)2 3 có HS giải như sau:. (2 x  1) 2 3  2 x  1 3  2 x 4  x 2. HS do không nắm vững hằng đẳng thức 2 x  1 3. A2  A. để từ phương trình đã cho suy ra. , do đó đã để mất một nghiệm x = –1.. 1.1.3.3. Lời giải bài toán phải đầy đủ và mang tính toàn diện Điều kiện này có nghĩa là không được bỏ sót một trường hợp, một khả năng, một chi tiết nào. Nó cũng có ý nghĩa là lời giải vừa không thừa vừa không thiếu. Muốn vậy cần chú ý tập cho HS trong quá trình giải toán phải luôn luôn suy nghĩ và tự trả lời các câu hỏi như: Ta đang phải xem xét cái gì? Như vậy đã đủ chưa? Còn trường hợp nào nữa hay không? Đã đủ trường hợp đặc biệt chưa? Học sinh thường bộc lộ thiếu sai sót là không xét đầy đủ các trường hợp, các khả năng xảy ra của một tình huống, nhất là các bài toán đòi hỏi phải biện luận. Ví dụ: Các số 10, 11, 12 có thể là số hạng của một cấp số nhân được không? Có HS giải như sau: 11 12 Nếu 10, 11, 12 tạo thành một cấp số nhân thì công bội phải bằng 10 và 11 . Nhưng 11 12 10 ≠ 11 (vì 121 ≠ 120) nên ba số này không thể là các số hạng của một cấp số. nhân. Lời giải này không đầy đủ vì mới chỉ xét đến khả năng ba số 10, 11, 12 là ba.

(11) 11 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Đúng ra phải xét trường hợp ba số này là ba số hạng nào đó của cùng một cấp số nhân có công bội q tức là 11 = 10.q. k. và. 12 = 10.qm (k, m tự nhiên) rồi từ đó mới tiếp tục lập luận. 1.1.4. Năng lực giải toán 7 1.1.4.1. Năng lực là gì ? Năng lực giải toán là gì ? Năng lực là sự tổ hợp những thuộc tính độc đáo của một cá nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo hoàn thành có kết quả hoạt động ấy. Ta có thể hiểu năng lực là sự tương ứng giữa môt bên là những đặc điểm tâm sinh lý của một con người với một bên là những yêu cầu của hoạt động đối với con người đó. Năng lực giải toán là đặc điểm tâm lý cá nhân thể hiện những phẩm chất riêng biệt nhằm đáp ứng yêu cầu hoạt động học toán một cách sáng tạo, sâu sắc kiến thức, có hiệu quả, có kỹ năng và kỹ xảo trong giải toán 1.1.4.2. Các mức độ của năng lực Năng lực toán học được hiểu theo hai ý nghĩa, hai mức độ: Một là theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc học toán, đối với việc nắm giáo trình toán học ở trường phổ thông, nắm một cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng. Hai là theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học) tức là năng lực đối với hoạt động sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có một giá trị lớn đối với loài người.Về mặt năng lực sáng tạo có thể phân biệt 3 trình độ: năng lực, tài năng và thiên tài. Năng lực là một mức độ nhất định của khả năng con người biểu thị khả năng hoàn thành có kết quả một hoạt động nào đó. Tài năng là mức độ năng lực cao hơn, biểu thị sự hoàn thành một cách sáng tạo một hoạt động nào đó. Thiên tài là mức độ cao nhất của năng lực, biểu thị ở mức độ kiệt xuất, hoàn chỉnh nhất của những vĩ nhân trong lịch sử nhân loại. 1.1.4.3. Phân loại năng lực Năng lực có thể chia thành hai loại: Năng lực chung và năng lực riêng biệt..

(12) 12 Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều lĩnh vực hoạt động khác nhau, chẳng hạn những thuộc tính về thể lực, về trí tuệ (Quan sát, trí nhớ, tư duy,…) là điều kiện cần thiết để giúp cho nhiều lĩnh vực hoạt động có kết quả. Năng lực riêng biệt là sự thể hiện độc đáo các phẩm chất riêng biệt, có tính chuyên môn nhằm đáp ứng yêu cầu của một lĩnh vực hoạt động chuyên biệt với kết quả cao. 1.1.4.4. Năng lực khai thác bài toán Khai thác bài toán là đi sâu nghiên cứu bài toán để tìm tòi ra cách giải khác và trên cơ sở đó sáng tạo ra những bài toán toán mới có cách giải tương tự như bài toán đã cho. Trong quá trình giảng dạy GV cần hướng dẫn HS có thói quen khai thác một bài toán thành chuỗi bài toán có liên quan từ dễ đến khó để HS nắm vững quy luật đi đến bài giải. Việc tìm tòi mở rộng các bài toán giúp HS tăng thêm hứng thú trong học tập kích thích óc sáng tạo của HS. Từ đó giúp các em có cơ sở khoa học khi phân tích, phán đoán tìm lời giải cho các bài toán khác. Như vậy muốn khai thác được bài toán trước hết phải nắm được bản chất và đặc điểm của bài toán, do đó người giải toán phải phân tích kỹ các yếu tố tạo nên bài toán đó, như thế mới thấy được mối liên hệ giữa các bài toán trong cùng một loại và các loại bài toán khác nhau. 1.1.5. Các thao tác trí tuệ cơ bản 7 1.1.5.1. Phân tích và tổng hợp Phân tích: Là dùng trí óc chia cái toàn thể ra từng phần hoặc từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó Tổng hợp: Là dùng trí óc hợp lại các phần của cái toàn thể hoặc kết hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau đã được tách ra nằm trong cái toàn thể. Đây là hai thao tác trái ngược nhau nhưng lại liên hệ chặt chẽ với nhau trong một thể thống nhất. Tác dụng trong dạy học toán: Giúp học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường hợp riêng lẻ nằm trong một khái niêm, một định lí,… Từ những thuộc tính riêng lẻ đó học sinh tổng hợp lại để nhận biết chính xác, đầy đủ một khái niệm,….

(13) 13 Đây là hai thao tác cơ bản được luôn luôn sử dụng để tiến hành thao tác khác. Khi dạy học cho học sinh cần phải: Nhìn bao quát một cách tổng hợp, xem bài toán đã cho thuộc loại nào? Phân tích cái đã cho và cái cần tìm,…. Thực hiện phân tích tổng hợp xen kẽ nhau. Sau khi phân tích được một số ý thì tổng hợp lại để xem có thu được điều gì bổ ích không? Còn thiếu yếu tố nào nữa? Tách bài toán đã cho thường khó hơn thành nhiều bài toán thành phần, bài toán đặc biệt đơn giản hơn và dễ hơn và cuối cùng tổng hợp lại để có kết quả. Ví dụ: Hai địa điểm AB cách nhau 130 km. Một người đi xe ô tô từ A đến B với vận tốc 50 km/h đi được 2,5 giờ thì người ấy xuống đi bộ với vận tốc 4 km/h. Hỏi người ấy đi bộ trong thời gian bao lâu? Sơ đồ phân tích: st là đoạn đường tổng cộng, sx là đoạn đường đi xe, sb là đoạn đường đi bộ,. vx. là vận tốc đi xe, v b là vận tốc đi bộ. SĐPT. tb. s b. :. v b. SĐTH. sb st.  1. 3 0.  s. t. . km. s. x. v. x. s v. x. 5. . v. 0 km. x. b.  4 km. /. h. .t x. t. x. 2,. 5 h. 1.1.5.2. So sánh So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện` tượng. Muốn vậy ta phải phân tích các dấu hiệu thuộc tính của chúng. Đối chiếu chúng với nhau rồi tổng hợp lại để xem chỗ giống nhau và chỗ khác nhau. Tác dụng trong dạy học toán:.

(14) 14 - Hiểu sâu và đúng. - Thấy được mối liên hệ giữa các đối tượng - Giúp cho việc tiến hành thao tác tương tự sau này. Biện pháp thực hiện: - So sánh những sự vật, hiện tượng bề ngoài có vẽ khác nhau nhưng thực chất là giống nhau, thậm chí có khi chỉ là một. - So sánh các vật, hiện tượng theo khía cạnh khác nhau. Có khi chúng khác nhau ở khía cạnh này mà giống nhau ở khía cạnh khác. Ví dụ: Tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất (Toán 6) Tìm ước chung lớn nhất của hai số Tìm bội chung nhỏ nhất của hai số Phân tích ra các thừa số nguyên tố Phân tích ra các thừa số nguyên tố Tích các thừa số chung Tích các thừa số chung và riêng Thừa số chung lấy số mũ bé nhất Thừa số chung lấy số mũ lớn nhất Qua bảng phân tích trên thì HS có thể thấy được sự giống nhau và khác nhau của cách tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất. Từ đó HS sẽ khắc sâu hơn về kiến thức cũng như về cách làm. 1.1.5.3. Khái quát hóa và đặc biệt hóa Khái quát hóa là dùng trí óc tách cái chung trong các đối tượng, hiện tượng, sự kiện. Muốn khái quát hóa phải so sánh nhiều đối tượng với nhau để rút ra cái chung, nhưng cũng có khi từ một đối tượng ta cũng có thể khái quát hóa một tính chất, một phương pháp. Đặc biệt hóa là xét một cái cụ thể nằm trong cái chung. Tác dụng trong dạy học toán: - Giúp con người có cái nhìn bao quát, thấy được cái chung trong nhiều cái riêng lẻ, rút ra cái chung để vận dụng rộng hơn. - Đây là con đường phát minh, sáng tạo và kiểm chứng giả thuyết. Lưu ý rằng: Các giả thuyết rút ra từ khái quát hóa có thể đúng cũng có thể sai. Vì vậy ta cần phải chứng minh. Biện pháp thực hiện: Muốn khái quát hóa từ nhiều đối tượng, cần tập cho học sinh so sánh, phân tích để rút ra cái chung. Ví dụ: Số 2 là số nguyên tố, số 3 là số nguyên tố, số 5 là số nguyên tố, số 11 là số nguyên tố. Khái quát hóa những số lớn hơn 1 chỉ có hai ước 1 và chính nó là số nguyên tố..

(15) 15 Để bồi dưỡng năng lực khái quát hóa một cách đúng đắn thì phải làm cho học sinh hiểu rõ sâu sắc bản sắc bên trong mà bị cái bên ngoài che lấp, muốn vậy giáo viên phải biết biến thiên những dấu hiệu không bản chất mà chỉ giữ lại những dấu hiệu bản chất. 1.1.5.4. Trừu tượng hóa và cụ thể hóa Khi khái quát hóa ta đã tách cái chung trong các đối tượng, sự kiện, hiện tượng đồng thời ta đã gạt bỏ những thuộc tính riêng của chúng, mà chính thuộc tính này làm cho chúng phân biệt với nhau. Đây là quá trình trừu tượng hóa tức là ta nói đến cái chung nhất mà không gán cho mọi đối tượng cụ thể nào. Cụ thể hóa là tìm một ví dụ minh họa cho cái chung đó. Tức là tìm một cái riêng mà cái riêng này thõa mãn những tính chất (điều kiện) của cái chung đã xác định. Biện pháp thực hiện: Tập cho học sinh quan sát, nhận xét những cái chung từ các hiện tượng cụ thể mà không quan tâm đến từng cái cụ thể này. Ví dụ: (A + B)2. Tổng hợp. A2 + 2AB + B2 Tổng hợp. Phân tích. A2 + AB + BA + B2 (A + B)(A + B). Phân tích A(A + B) + B(B + A). Khái quát hóa Trừu tượng hóa (a + b).c. Đặc biệt hóa Tổng hợp. a.c + b.c. 1.1.6. Các hoạt động liên quan đến nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình 5 1.1.6.1. Nhận dạng và thể hiện Nhận dạng và thể hiện là hai hoạt động theo chiều hướng trái ngược nhau liên hệ với một khái niệm, một định lí hay một phương pháp. Nhận dạng một khái niệm là phát hiện xem một đối tượng cho trước có các đặc trưng của một khái niệm nào đó hay không..

(16) 16 Thể hiện một khái niệm là tạo một đối tượng có các đặc trưng của khái niệm đó. (có thể đòi hỏi thỏa mãn một số yêu cầu khác nữa) Nhận dạng một định lí là phát hiện xem một tình huống cho trước có ăn khớp. với một định lí nào đó hay không. Thể hiện một định lí là xây dựng một tình huống ăn khớp với định lí cho trước. Nhận dạng phương pháp là thể hiện xem một dãy tình huống có phù hợp với một phương pháp đã biết hay không. Thể hiện một phương pháp là tạo một loạt tình huống phù hợp với các bước của một phương pháp đã biết. Ví dụ 1: Sự tương ứng v = 12km/h giữa vận tốc v và thời gian t tức là với mọi giá trị của t thì v luôn luôn bằng 12, có biểu thị một hàm số hay không? (Nhận dạng khái niệm hàm số) Ví dụ 2: Hãy cho một hàm số biểu thị bằng bảng và một hàm số biểu thị bằng công thức sao cho nhiều phần tử của đối số có cùng một giá trị tương ứng của hàm số (Thể hiện khái niệm hàm số) 1.1.6.2. Những hoạt động toán học phức hợp Những hoạt động toán học phức hợp như chứng minh, định nghĩa giải bài toán bằng cách lập phương trình, …thường xuất hiện lặp đi lặp lại nhiều lần trong giáo trình toán phổ thông. Cho học sinh tập luyện những hoạt động này sẽ gúp các em nắm vững những nội dung toán học và phát triễn kĩ năng và năng lực toán học tương ứng. 1.1.6.3. Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học rất quan trọng trong môn toán. Đó là những hoạt động như lật ngược vấn đề, xét tính giải được, phân chia trường hợp, hoạt động tư duy hàm, mô hình hóa và thể hiên. 1.1.6.4. Những hoạt động trí tuệ chung Trong học tập môn toán, học sinh còn phải tiến hành những hoạt động trí tuệ như phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa… những hoạt động này được gọi là hoạt động trí tuệ chung bởi vì chúng cũng được thực hiện ở các môn học khác một cách bình đẳng như môn toán. 1.1.6.5. Những hoạt động ngôn ngữ.

(17) 17 Hoạt động này được HS thực hiện khi được yêu cầu phát biểu, giải thích một định nghĩa, một mệnh đề nào đó, đặc biệt là bằng lời lẽ của mình, hoặc biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác chẳng hạn từ ngôn ngữ sang ký hiệu hoặc ngược lại. 1.2. Thực trạng dạy và học nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình 1.2.1. Về phía học sinh Trong quá trình nghiên cứu đề tài này tôi thấy thực trạng của HS về việc học giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (hay phương trình) là đa số HS không biết tóm tắt đề bài một cách ngắn ngọn để phục vụ cho việc lập phương trình. HS còn lúng túng nên thường thể hiện sai giữa các số liệu chưa biết qua ẩn số trong một số bài toán chưa ở mức độ phức tạp. Phần lớn khả năng chuyển từ ngôn ngữ thông thường qua ngôn ngữ toán học của HS và khả năng sử dụng các công thức vào việc lập mối liên hệ giữa các ẩn số và các đại lượng đã cho của bài toán còn rất hạn chế. Kĩ năng phân tích một bài toán của học sinh chưa được rèn luyện nhiều từ các lớp dưới. Bên cạnh đó HS còn chưa nắm vững các kiến thức cơ bản về giải phương trình và hệ phương trình. Một phần do HS chưa được luyện tập nhiều về cách trình lời giải của một bài toán. Do đó dẫn tới việc trình bày lời giải chưa hoàn chỉnh còn sai sót. 1.2.2. Về phía giáo viên Thực tế hiện nay đã có rất nhiều giáo viên nghiên cứu về phương pháp giải các dạng phương trình và giải bài toán bằng cách lập phương trình (hay hệ phương trình) song mới chỉ dừng lại ở việc vận dụng các bước giải một cách nhuần nhuyễn chứ chưa chú ý đến việc phân loại dạng toán, kỹ năng giải từng loại và những điều cần chú ý khi giải từng loại đó. Ngoài ra trên lớp không có thời gian nhiều để nhắc lại các kiến thức về phương trình và hệ phương trình và bồi dưỡng cho học sinh năng lực phân tích bài toán và định hướng đường lối giải bài toán chưa sâu. Một phần giáo viên chỉ chú ý nhiều đến kết quả bài toán mà chưa quan tâm nhiều đến cách trình bày lời giải có căn cứ, lập luận chặt chẽ logic hay chưa. Như vậy qua chương 1 chúng ta đã biết được các sở lý luận liên quan đến giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình cũng như biết được những khó khăn của GV và HS khi dạy và học vấn đế này..

(18) 18 Qua đó chúng tôi nghiên cứu những vần đề đó nhằm đưa ra các biện pháp khắc phục các khuyết điểm trên để bồi dưỡng cho HS năng lực giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình..

(19) 19 Chương 2 CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH 2.1. Tổng quan về mục đích, yêu cầu nội dung giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình 8 Biết cách chuyển bài toán có lời văn sang bài toán giải hệ phương trình hay phương trình bậc hai một ẩn. Vận dụng được các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay phương trình. Tức là: - Biết cách chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn (thường đề bài hỏi gì thì ta gọi đó là ẩn) - Biết biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn. - Lập được hệ phương trình hay phương trình. - Biết căn cứ vào điều kiện để chọn đáp số. Biết cách giải một số dạng toán thường gặp trong SGK như: toán chuyển động, toán liên quan số học, toán năng suất lao động, toán làm chung làm riêng, toán liên quan hình học, toán liên quan vật lý, hóa học. 2.2. Nội dung dạy học giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình 6 2.2.1. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, phương trình Quá trình giải một bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình là tương tự nhau gồm ba bước sau : Bước 1: Lập phương trình (hay hệ phương trình) Chọn ẩn số và xác định điều kiện cho ẩn. Biểu thị các số liệu chưa biết qua ẩn. Tìm mối liên hệ giữa các số liệu để lập phương trình hay hệ phương trình. Bước 2: Giải phương trình hay hệ phương trình. Bước 3: Nhận định kết quả và trả lời. Với các bài toán giải bắng cách lập phương trình (hay hệ phương trình) mang nội dung thực tế, mỗi bước trên có một ý nghĩa khái quát xác định..

(20) 20 Bước 1 là bước xuất phát từ những dữ kiện trong bài toán mang nội dung thực tế đi đến thiết lập một phương trình (hay hệ phương trình) hoàn toàn chỉ còn mang nội dung toán học. Bước này có ý nghĩa là bước chuyển bài toán thực tế thành một bài toán toán học. Bước 2 là giải phương trình (hay hệ phương trình). Bước này có ý nghĩa là bước giải bài toán toán học (có được từ bước 1) bằng công cụ toán học. Bước 3 là từ nghiệm của phương trình (hay hệ phương trình), so sánh với các điều kiện của ẩn để đi đến kết quả của bài toán thực tế ban đầu. Rõ ràng bước này có ý nghĩa là chuyển các kết quả thu được của bài toán toán học thành kết quả của bài toán thực tế. 2.2.2. Dạy học giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình Việc phân chia quá trình giải bài toán bằng cách lập phương trình thành các bước và nêu khái quát ý nghĩa của mỗi bước đó, giáo viên có thể đưa ra sau khi trình bày một số ví dụ cụ thể. Tuy nhiên để học sinh thực hiện được các bước giải này thì cần đưa ra cho học sinh nhiều bài tập đa dạng về giải bài toán bằng cách lập phương trình (hay hệ phương trình). Thông qua khai thác các bài tập đó mà từng bước xây dựng cho các em có được các kĩ năng cần thiết để giải quyết các bước đã nêu. Với bước lập phương trình (hay hệ phương trình) chúng ta xuất phát từ nội dung bài toán mà phát hiện các đối tượng tham gia trong bài toán, các đại lượng liên quan tới chúng trong đó đại lượng nào đã biết, đại lượng nào chưa biết cần quan tâm (là đại lượng cần tìm hay đại lượng mà biết nó thì sẽ biết được đại lượng cần tìm). Một trong các đại lượng chưa biết sẽ được chọn làm ẩn số và có thể có một số cách chọn ẩn số khác nhau với cùng một bài toán. Với các bài toán không phức tạp thì thường ẩn số trực tiếp là đại lượng chưa biết cần tìm được nêu trong câu hỏi của bài toán. Điều kiện đặt cho ẩn số có được là do khai thác từ ý nghĩa cụ thể của đại lượng được chọn là ẩn số. Chẳng hạn x là số người thì điều kiện x là số nguyên dương, x là chữ số đơn vị thì x  N, 0 ≤ x ≤ 9. Khi ẩn số đã được lựa chọn, cần phát hiện các mối liên hệ giữa các đại lượng trong bài toán với các ẩn số, từ đó đưa ra một số biểu thức chứa ẩn. Cần tìm được hai biểu thức chứa ẩn (hay một biểu thức và một số liệu cụ thể) biểu thị cùng một đại lượng. Khi đó nối chúng lại bởi dấu = ta sẽ có phương trình cần lập..

(21) 21 Cùng với khâu biểu thị đại lượng chưa biết qua ẩn số cần lưu ý học sinh là ngoài các mối liên hệ có riêng trong bài toán, còn có những mối liên hệ là quan hệ có tính quy luật trong thực tế hay trong các nội dung khác của toán, vật lí, hóa học, …như gà có hai chân, chó có bốn chân, quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian, khối lượng công việc bằng năng suất nhân thời gian,…Các mối liên hệ kiểu này không được phát biểu trong bài toán nhưng cần được phát hiện và sử dụng thì mới lập được phương trình. Bước ba của giải bài toán bằng cách lập phương trình (hay hệ phương trình) là bước nhận định kết quả. Từ những nghiệm phương trình đã tìm được, ta loại bớt những nghiệm không thỏa mãn các điều kiện đã đặt cho ẩn số. Với các nghiệm còn lại ta có được câu trả lời cho bài toán ban đầu. 2.3. Bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học nội dung giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình 2.3.1. Biện pháp 1: Bồi dưỡng cho HS kiến thức cơ bản về hệ phương trình và phương trình  ax  by c  2.3.1.1. Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn dạng a ' x  b ' y c '. (trong đó a2 + b2 ≠ 0 và a’2 + b’2 ≠ 0) a) Phương pháp thế Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn. Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.  x  2 y 6  Ví dụ: Giải hệ phương trình 3 x  4 y 3. Giải  x  2 y 6  x 6  2 y  x 6  2 y  x 6  2 y  x 6  2.(  1,5) 3      3x  4 y 3 3 x  4 y 3 3(6  2 y )  4 y 3 10 y  15  y  1,5  x 3  Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là :  y  1,5.

(22) 22 b) Phương pháp cộng đại số Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau. Áp dụng quy tắc cộng đại số để được một hệ phương trình mới trong đó có một phương trình có hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn) Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.  5 x  2 y 4  Ví dụ: Giải hệ phương trình 6 x  3 y  7. Giải   5 x  2 y 4   6 x  3 y  7.   15 x  6 y 12   12 x  6 y  14.  3x  2   6 x  3 y  7. 2   x  3   y 11  3. 2   x  3   y 11 3 Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là :  a b  x  y c    a '  b ' c '  2.3.1.2. Phương pháp giải hệ phương trình dạng  x y. Đặt. 1  u  x  v  1 y . au  bv c  khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: a ' u  b ' v c '. Ta giải hệ phương trình tìm u và v. 1  x   u   y 1 v Kết luận:  1 1  x  y 1    3  4 5  Ví dụ: Giải hệ phương trình  x y.

(23) 23. Giải. Đặt. 1  u  x  v  1 y . khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:. 9  u  u  v 1 u 1  v u 1  v  7     3u  4v 5 3(1  v)  4v 5 7v 2 v  2  7 1 7   x  u  9   y 1  7 v 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là : . 2.3.1.3. Phương pháp giải phương trình bậc hai một ẩn dạng ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Giải bằng công thức nghiệm  Ta có  = b2 – 4ac Nếu  > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 .  b  b  ; x2  2a 2a. Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1  x2 . b 2a. Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm Ví dụ : Giải phương trình 2x2 – 7x + 3 = 0 Giải  = b2 – 4ac = (–7)2 – 4.2.3 = 25 > 0 => 5 Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1 .  b  75  b  7 5 1  3; x2    2a 4 2a 4 2. Giải bằng công thức nghiệm ’ khi b = 2b’ Ta có ’ = b’2 – ac Nếu ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:.

(24) 24 x1 .  b ' '  b ' ' ; x2  a a. Nếu ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1  x2 .  b' a. Nếu ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm Ví dụ: Giải phương trình 3x2 + 8x + 4 = 0 Giải ’ = b’2 –ac = 42 – 3.4 = 4 > 0 => ' 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x2 . x1 .  b ' '  4  2 2   ; a 3 3.  b ' '  4  2   2 a 3. Giải bằng trường hợp đặc biệt: c Nếu a + b + c = 0 thì x1 = 1 ; x2 = a. Nếu a – b + c = 0 thì x1 = –1 ; x2 =. . c a. Ví dụ: Giải phương trình a) 5x2 – 6x + 1 = 0 b) 3x2 + 7x + 4 = 0 Giải a) Ta có: 5 + (–6) + 1 = 0 1 Nghiệm của phương trình đã cho là: x1 = 1, x2 = 5. b) Ta có: 3 – 7 + 4 = 0 Nghiệm của phương trình đã cho là: x1 = –1, x2 =. . 4 3. 2.3.1.4. Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu đưa về phương trình bậc hai một ẩn Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu: - Tìm điều kiện xác định của phương trình. - Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức..

(25) 25 - Giải phương trình vừa nhận được. - Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho. 1 1 1   Ví dụ: Giải phương trình x x  6 4. Giải Điều kiện xác định : x ≠ 0 và x ≠ –6. Quy đồng và khử mẫu hai vế của phương trình ta được: 4( x  6)  4 x  x( x  6)  4 x  24  4 x  x 2  6 x  x 2  2 x  24 0. ’ = b’2 –ac = 1 + 24 = 25 > 0 => ' 5 => x1 = 6 (thỏa mãn); x2 = –4 (thỏa mãn) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x1 = 6 ; x2 = –4 2.3.1.5. Vận dụng định lý Viet để giải các hệ phương trình  x  y a(S )  a)  x. y b(P ) Điều kiện: S2 – 4P  0. Muốn giải hệ phương trình này ta giải phương trình bậc hai một ẩn x 2 – Sx + P = 0. Sau đó chọn nghiệm thỏa mãn điều kiện.  x  y 14  Ví dụ: Giải hệ phương trình  x. y 40. Giải Ta thấy 142 – 4.40  0 nên x, y là nghiệm của phương trình x2 – 14x + 40 = 0 (1) ’ = 49 – 40 = 9 > 0 => 3 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = 10, x2 = 4  x 10  x 4   Vậy  y 4 hoặc  y 10. b).  x  y a  2 2  x  y b. ta giải hệ phương trình này bằng cách đưa về hệ phương trình như ở. phần a) và giải tương tự..

(26) 26. Cụ thể.  x  y a   2 2 x  y  b .  x  y a   2 ( x  y )  2 xy  b .  x  y a   a2  b xy   2 .  x  y 17  2 2 Ví dụ: Giải hệ phương trình  x  y 157. Giải  x  y 17   2 2  x  y 157.  x  y 17   2 ( x  y )  2 x. y 157.  x  y 17   xy 66. Ta thấy 172 – 4.66  0 nên x, y là nghiệm của phương trình x2 – 17x + 66 = 0 => x1 = 11, x2 = 6.  x 11  x 6   Vậy  y 6 hoặc  y 11. 2.3.2. Biện pháp 2: Giúp HS phân loại một số dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình. 2.3.2.1. Dạng 1: Loại toán chuyển động Mối quan hệ giữa các đại lượng quãng đường (s), vận tốc (v) và thời gian (t): s s s = v.t ; v = t ; t = v. Chuyển động cùng chiều trên cùng một quãng đường đến khi gặp nhau thì: (s) ô tô 1 đi = (s) ô tô 2 đi Nếu hai xe cùng xuất phát mà ô tô 1 đến trước ô tô 2 là t’ giờ thì: (t) ô tô 2 đi – (t) ô tô 1 đi = t’ Chuyển động ngược chiều trên cùng một quãng đường AB thì: (s) ô tô 1 đi + (s) ô tô 2 đi = sAB Nếu hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đường thì: (s) ô tô 1 đi = (s) ô tô 2 đi Nếu chuyển động trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau Nếu thời gian của chuyển động đến chậm hơn dự định thì cách lập phương trình như sau: Thời gian dự định đi với vận tốc ban đầu cộng thời gian đến chậm bằng thời gian thực đi trên đường..

(27) 27 Nếu chuyển động trên một đoạn đường không đổi từ A đến B rồi từ B về A thì thời gian cả đi lẫn về bằng thời gian thực tế chuyển động. Chuyển động trên dòng sông: (v) lúc xuôi dòng = (v) riêng + (v) dòng nước (v) lúc ngược dòng = (v) riêng – (v) dòng nước Chuyển động trên cùng một đường tròn: Hai vật xuất phát tại một điểm sau t giờ gặp nhau Chuyển động cùng chiều: Độ dài đường tròn = (t).( v1 – v2) (Giả sử v1, v2 là vận tốc của hai vật và v1 > v2) Chuyển động ngược chiều: Độ dài đường tròn = (t).( v1 + v2 ) 2.3.2.2. Dạng 2: Loại toán liên quan đến số học Với dạng toán liên quan đến số học cần cho học sinh hiểu được mối liên hệ giữa các đại lượng đặc biệt hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm,... Biểu diễn dưới dạng tổng các lũy thừa của 10: ab = 10a + b. abc = 100a + 10b + c.. ................................... Khi đổi chỗ các chữ số hàng trăm, chục, đơn vị ta cũng biểu diễn tương tự như vậy. Dựa vào đó ta đặt điều kiện ẩn số sao cho phù hợp. Khi chia a cho b được thương q và dư r thì a = bq + r 2.3.2.3. Dạng 3: Loại toán về năng suất lao động Năng suất lao động trội = Mức quy định + tăng năng suất (hay vượt mức). Chẳng hạn: Tháng 1 làm được x sản phẩm và tháng 2 làm vượt mức 10% so với 10 110 tháng 1 thì tháng 2 làm được x + 100 x hay 100 x. Tổng số sản phẩm làm được = số sản phẩm làm trong một ngày . số ngày hoàn thành. Ngoài ra :.

(28) 28 Loại toán này tương đối khó nên giáo viên cần gợi mở dần dần để học sinh hiểu rơ bản chất nội dung của bài toán để dẫn tới mối liên quan xây dựng phương trình và giải phương trình như các loại toán khác. Khi gọi ẩn, điều kiện của ẩn cần lưu ý bám sát ý nghĩa thực tế của bài toán. 2.3.2.4. Dạng 4: Loại toán về công việc làm chung, làm riêng Khi công việc không được tính bằng số lượng cụ thể (ví dụ: công việc xây một cái nhà, một con mương,…) thì ta coi công việc đó là một đơn vị. Để tính khối lượng công việc ta lấy năng suất làm việc nhân với thời gian làm việc. Đối với dạng toán này ta thường vận dụng công thức tổng quát sau : 1 giờ vòi 1 chảy được + 1 giờ vòi 2 chảy được = 1 giờ hai vòi chảy được (hoặc 1 giờ đội 1 làm được + 1 giờ đội 2 làm được = 1 giờ 2 đội làm được) Ở loại toán này, học sinh cần hiểu rõ đề bài, đặt đúng ẩn, biểu thị qua đơn vị quy ước. Từ đó lập phương trình và giải phương trình. 2.3.2.5. Dạng 5: Loại toán liên quan hình học Một số công thức tính diện tích : Hình chữ nhật S = chiều dài  chiều rộng 1 Tam giác vuông S = 2  cạnh góc vuông 1  cạnh góc vuông 2 1 Tam giác S = 2  Chiều cao  cạnh tương ứng chiều cao. Hình vuông S = cạnh2 1 Hình thang S = 2  chiều cao  (đáy lớn + đáy bé). Một số công thức tính chu vi: Hình chữ nhật P = 2  (chiều dài + chiều rộng) Đa giác P = tổng các cạnh và đa giác đều P = số cạnh  độ dài một cạnh. Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 2.3.2.6. Dạng 6: Loại toán có nội dung vật lý, hóa học Vận dụng một số công thức : D. m m  m V .D  V  V D. Trong đó: D là khối lượng riêng (kg/m3), m là khối lượng (kg), V là thể tích (m3).

(29) 29 Q = c.m(t2 – t1) Trong đó: Q là nhiệt lượng (kJ), c là nhiệt dung riêng (kJ/kg.độ), m là khối lượng (kg), t1 là nhiệt độ lúc đầu (0C), t2 là nhiệt độ lúc sau (0C) Khi hoà tan hai chất A và B ta được : Thể tích chất A + Thể tích chất B = Thể tích hỗn hợp. 2.3.3. Biện pháp 3: Bồi dưỡng cho HS năng lực phân tích bài toán và định hướng đường lối giải bài toán 2.3.3.1. Các giai đoạn giải một bài toán bằng cách lập phương trình (hay hệ phương trình) Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài rồi ghi giả thiết, kết luận của bài toán Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề liên quan để lập phương trình. Tức là chọn ẩn như thế nào cho phù hợp, điều kiện của ẩn thế nào cho thoả măn. Giai đoạn 3: Lập phương trình. Dựa vào các quan hệ giữa ẩn số và các đại lượng đã biết, dựa vào các công thức, tính chất để xây dựng phương trình, biến đổi tương đương để đưa phương trình đã xây dựng về phương trình ở dạng đã biết, đã giải được. Giai đoạn 4: Giải phương trình. Vận dụng các kỹ năng giải phương trình đã biết để tìm nghiệm của phương trình. Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phương trình để xác định lời giải của bài toán. Tức là xét nghiệm của phương trình với điều kiện đặt ra của bài toán, với thực tiễn xem có phù hợp không? Giai đoạn 6: Trả lời bài toán, kết luận nghiệm của bài toán xem có mấy nghiệm, sau khi đã thử lại. Giai đoạn 7: Phân tích biện luận cách giải. Phần này thường để mở rộng cho học sinh tương đối khá, giỏi sau khi đã giải xong có thể gợi ý học sinh biến đổi bài toán đã cho thành bài toán khác bằng cách: - Giữ nguyên ẩn số thay đổi các yếu tố khác. - Giữ nguyên các dữ kiện thay đổi các yếu tố khác. - Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất. 2.3.3.2. Ví dụ minh họa cho các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phương trình (hay hệ phương trình) Bài toán: 11.

(30) 30 Nhà bác Điền thu hoạch được 480 kg cà chua và khoai tây, khối lượng khoai gấp 3 lần khối lượng cà chua. Tính khối lượng mỗi loại. Giai đoạn 1: Giả thiết: mkhoai + mcà chua = 480 mkhoai = 3 mcà chua Giai đoạn 2: Thường là điều chưa biết gọi là ẩn số. Ở bài này cả số lượng cà chua và số lượng khoai tây đều chưa biết nên ta có thể gọi số lượng khoai là x (x > 0kg) và số lượng cà chua là y (0 < y < x) Giai đoạn 3: Lập hệ phương trình Vì tổng khối lượng là 480 kg và số lượng khoai gấp 3 lần số lượng cà chua nên ta  x  y 480(1)  có hệ phương trình :  x 3 y. Giai đoạn 4: Giải hệ phương trình Ta có thể dùng phương pháp thế x = 3y vào phương trình (1): 3y + y = 480 => y = 120 Khi đó x = 3. 120 = 360 Giai đoạn 5: Đối chiếu nghiệm đã giải với điều kiện của ẩn để xem nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không thỏa mãn. Ở đây x = 120 > 0 (thỏa mãn) và y = 360 >120 (cũng thỏa mãn) Giai đoạn 6: Trả lời bài toán Vậy số lượng khoai đã thu là 360 kg. Số lượng cà chua đã thu là 120 kg. Giai đoạn 7: Nên cho HS nhiều cách giải khác nhau do việc chọn ẩn số khác nhau dẫn đến xây dựng phương trình khác nhau, từ đó tìm cách giải nhắn gọn, hay nhất. Có thể từ bài toán này xây dựng thành một bài toán tương tự như sau: Thay lời văn và tình tiết bài toán giữ nguyên số liệu ta được bài toán “Một phân số có tổng tử và mẫu là 480. Biết rằng mẫu số gấp ba lần tử số. Tìm phân số đó.” 2.3.3.3. Dạng 1: Loại toán chuyển động Ví dụ 1: 9 Một xe máy đi từ Đông Hà đến Đồng Hới, sau đó 15 phút một ô tô đi từ Đồng Hới đến Đông Hà theo chiều ngược lại với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy là 10 km/h.

(31) 31 và 2 xe gặp nhau ở chính giữa quảng đường. Tính vận tốc mỗi xe, biết rằng quảng đường Đông Hà - Đồng Hới là 100km. Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải: - Phân tích: Vẽ sơ đồ chuyển động. Đông Hà Xe máy. Đồng Hới Chỗ gặp nhau 50 km 50 km Ô tô (Sau 15 phút) 100 km. Chuyển động của xe máy và ô tô : vô tô > vxe máy (10km/h) tức là : vô tô – vxe máy = 10 1 Thời gian của xe máy và ô tô: txe máy > tô tô (15 phút = 4 giờ) tức là: 1 txe máy – tô tô = 4. + Gặp nhau ở chính giữa quãng đường tức là sxe máy = sô tô = 50 km - Định hướng đường lối giải: + Các đại lượng tham gia bài toán : vận tốc(v), quãng đường(s), thời gian(t). s s v  t t v + Công thức:. + Lập bảng Các đại lượng. s (km). v (km/h). Xe máy. 50. x (x > 0). Ô tô. 50. x + 10. Đối tượng. + Lập phương trình: Dựa vào cơ sở là txe máy – tô tô. t (h) 50 x 50 x  10 1 = 4 tức là ta có phương. 50 50 1 trình x – x  10 = 4. + Giải phương trình này đưa về dạng x2 + 10x – 2000 = 0 ta được x1 = 40 (thỏa mãn), x2 = –50 (không thỏa mãn) Ví dụ 2: 2.

(32) 32 Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia là 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người. Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải: - Phân tích: + Vẽ sơ đồ chuyển động: Cùng khởi hành: A. M. 2 km. 1,6 km. B. 3,6 km 1 Người đi chậm (B) khởi hành trước 6 phút = 10 giờ. A. M. 1,8 km. 1,8 km. B. 3,6 km + Quá trình 1: Khởi hành cùng một lúc nên t1 = t2 1 + Quá trình 2: Một người khởi hành chậm 6 phút nên t1 + 10 = t2. - Định hướng đường lối giải: + Các đại lượng tham gia bài toán : vận tốc(v), quãng đường(s), thời gian(t). s s v  t t v + Công thức:. + Giả sử vận tốc của người đi nhanh là x (km/h) và vận tốc của người đi chậm là y (km/h). Điều kiện: x > y > 0. 2 1, 6  + Theo quá trình 1 ta được phương trình : x y 1,8 1 1,8   + Theo quá trình 2 ta lại được phương trình: x 10 y. + Giải hệ hai phương trình này ta được x = 4,5 và y = 3,6 (x, y đều thỏa mãn điều kiện).

(33) 33 Ví dụ 3: 12 Một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A đến bến B cách nhau 48 km và ngược dòng hết cả 5 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng biết rằng vận tốc dòng nước là 4 km/h. Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải: - Phân tích + Tóm tắt và vẽ hình. Tính vca nô biết vdòng nước = 4 km/h + Vận tốc canô khi đi xuôi dòng = vận tốc của canô + vận tốc dòng nước. + Vận tốc canô khi đi ngược dòng = vận tốc của canô – vận tốc dòng nước. 48km - Định hướng đường lối giải s + Công thức t = v. A. B. tđi + tvề = 5 giờ. + Lập bảng Các đại lượng. Vận tốc riêng. Quá trình. (km/h). Vận. Thời. tốc (km/h). gian (h). Quãng đường (km). Khi xuôi dòng. x(x > 0). x+4. 48 x4. 48. Khi ngược dòng. x(x > 0). x–4. 48 x 4. 48. + Cơ sở lập phương trình tđi + tvề = 5 giờ tức là ta có phương trình 48 48  x 4 = 5 x+4. + Giải phương trình này ta được x1 = 20 (thỏa mãn), x2 = –4 (không thỏa mãn) 2.3.3.4. Dạng 2: Loại toán liên quan đến số học Ví dụ 1: 10 Tìm hai số tự nhiên biết tổng là 17 và tổng các bình phương của chúng là 157. Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải:.

(34) 34 - Phân tích + Tóm tắt : Số thứ nhất + số thứ hai = 17, số thứ nhất 2 + số thứ hai2 = 157. Tìm hai số đó. + Nếu biết số thứ nhất thì số thứ hai sẽ là 17 – số thứ nhất. + Phương trình cần tìm sẽ dựa vào dữ kiện thứ hai. - Định hướng đường lối giải + Giả sử gọi x là số thứ nhất (x < 17, x  N) + Lập bảng Số thứ nhất Số thứ hai Tổng các bình phương số x 17 – x x2 + (17 – x)2 = 157 (1) + Giải phương trình (1) ta được x1 = 11, x2 = 6. Ví dụ 2: 9 Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, tổng hai chữ số bằng 8. Nếu đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số tự nhiên đó giảm đi 36 đơn vị. Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải: - Phân tích + Số tự nhiên có hai chữ số dạng ab 10a  b + Tổng hai chữ số bằng 8 tức a + b = 8 + Khi đổi vị trí cho nhau tức là ba 10b  a và số đó giảm đi 16 đơn vị tức là ab  ba 36 .. - Định hướng đường lối giải + Giả sử gọi x là chữ số hàng chục và y là chữ số hàng đơn vị (0 < x, y < 0 và x,y  N) + Dựa vào quan hệ giữa hai chữ số ban đầu ta có phương trình x + y = 8 + Dựa vào quan hệ giữa hai số khi thay đổi vị trí ta lại có phương trình: (10x + y) – (10y – x) = 36 => x – y = 4.  x  y 8  x 6   + Ta giải hệ hai phương trình  x  y 4 ta được  y 2 (thỏa mãn). 2.3.3.5. Dạng 3: Loại toán về năng suất lao động Ví dụ 1: 2.

(35) 35 Một xưởng may phải may xong 3000 áo trong một thời gian quy định. Để hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn 6 áo so với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 5 ngày trước khi hết thời hạn, xưởng may đã may được 2650 áo. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu áo? Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải: - Phân tích + Phân tích các đại lượng: số áo may trong một ngày (theo kế hoạch và theo thực tế), thời gian may, số áo hoàn thành. + Theo kế hoạch: may 3000 áo, số áo may trong một ngày là x (x > 0,x  N), 3000 thời gian may xong ( x ngày). + Theo thực tế: số áo may 1 ngày = x + 6 , thời gian may 2650 áo 2650 ( x  6 ngày) và sớm hơn so với kế hoạch là 5 ngày.. - Định hướng đường lối giải + Lập bảng Số áo may trong một ngày Kế hoạch. x (áo). Thực tế. x + 6 (áo). Số ngày 3000 x (ngày) 2650 x  6 (ngày). Số áo may 3000 (áo) 2650 (áo). + Cơ sở lập phương trình là số ngày làm thực tế sớm hơn so kế hoạch là 5 ngày tức là ta có phương trình: 3000 2650  5 x x 6. + Giải phương trình này ta được x 1 = 100 (thỏa mãn), x2 = –36 (không thỏa mãn) Ví dụ 2: 2 Năm ngoái hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm.

(36) 36 ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm mỗi đơn vị thu hoạch bao nhiêu tấn thóc? Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải: - Phân tích + Năm ngoái: Đơn vị 1 thu hoạch + Đơn vị 2 thu hoạch = 720 tấn. + Năm nay: Đơn vị 1 thu hoạch 115% + Đơn vị 2 thu hoạch 112% = 819 tấn. - Định hướng đường lối giải + Lập bảng Năm ngoái x (tấn, x > 0) y (tấn, y > 0) 720 (tấn). Đơn vị 1 Đơn vị 2 Hai đơn vị. Năm nay 115%.x (tấn) 112%.y (tấn) 819 (tấn). + Hệ phương trình cần lập:  x  y 720  115 112 100 x  100 y 819  x 420  + Giải hệ phương trình này ta được  y 300 (thỏa mãn). 2.3.3.6. Dạng 4: Loại toán về công việc làm chung, làm riêng Ví dụ 1: 2 Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc? Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải: - Phân tích + Cần phân tích các đại lượng: thời gian hoàn thành công việc, năng suất làm một ngày. 1 + Làm chung: thời gian làm 4 ngày => năng suất làm một ngày ( 4 CV).

(37) 37 1 + Làm riêng: Đội I (x ngày), năng suất trong một ngày ( x CV), đội II nhiều 1 hơn 6 ngày (x + 6), năng suất trong một ngày ( x  6 CV). - Định hướng đường lối giải + Lập bảng Thời gian hoàn thành Đội I. x (ngày, x > 4). Đội II. x + 6 (ngày). Hai đội. 4 (ngày). Năng suất một ngày 1 x (CV) 1 x  6 (CV) 1 4 (CV). 1 1 1   + Phương trình cần lập x x  6 4. + Giải phương trình này ta được x1 = 6 (thỏa mãn), x2 = –4(không thỏa mãn) Ví dụ 2: 2 Nếu hai vòi cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ 2 được 15 bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian mỗi vòi chảy đầy bể là. bao nhiêu? Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải: - Phân tích 4 h + Tóm tắt: Hai vòi ( 3 ) 1 1 h h Vòi I ( 6 ) + vòi II ( 5 ). => đầy bể 2 => 15 bể. Hỏi mở riêng mỗi vòi bao lâu đầy bể? + 1 giờ vòi I chảy được là bao nhiêu? 1 giờ vòi II chảy được là bao nhiêu? 1 giờ hai vòi chảy được là bao nhiêu? + Khi đó: 1 giờ vòi I chảy được + 1 giờ vòi II chảy được = 1 giờ hai vòi chảy được.

(38) 38 1 1 h h + 6 vòi I chảy được là bao nhiêu? 5 vòi II chảy được là bao nhiêu? Khi 2 đó cả hai vòi chảy được là 15 bể.. - Định hướng đường lối giải. + Lập bảng Thời gian chảy đầy bể. Năng suất chảy 1 giờ. 4 3 (h). 3 4 (bể) 1 x (bể) 1 y (bể). Hai vòi Vòi I Vòi II. 4 x (h) (x > 3 ) 4 y (h) (y > 3 ). 1 1 3  x  y 4    1  1 2  + Hệ phương trình cần lập  6 x 5 y 15  x 2  + Giải hệ phương trình này ta được  y 4 (thỏa mãn). 2.3.3.7. Dạng 5: Loại toán liên quan hình học Ví dụ 1: 1 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280m. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn (thuộc đất của vườn) rộng 2m, diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256 m 2. Tính kích thước của khu vườn. Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải: - Phân tích + Tóm tắt: Chu vi = (chiều dài + chiều rộng).2, diện tích còn lại bằng chiều dài lúc sau chiều rộng lúc sau. Tìm chiều dài, chiều rộng ban đầu. + Vẽ hình.

(39) 39 2m 2m. 4256m 2. - Định hướng đường lối giải + Giả sử gọi x (m) là chiều dài của mảnh đất (x > 70) + Tìm biểu thức chiều rộng của mảnh đất dựa trên cơ sở chu vi. Tức là chiều rộng của mảnh đất là 140 – x + Tìm biểu thức của chiều dài lúc sau: x – 4 , chiều rộng lúc sau: 140 – x – 4 = 136 – x. + Lập phương trình dựa trên cơ sở diện tích của mảnh đất còn lại. Tức là ta có phương trình: (x – 4)(136 – x) = 4256. + Giải phương trình này ta được x1 = 80 (thỏa mãn), x2 = 60 (không thỏa mãn) Ví dụ 2: 2 Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm 2 và nếu một cạnh giảm đi 2 cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm2. Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải: - Phân tích + Tóm tắt:  Trường hợp 1 : Nếu cạnh góc vuông1 + 3, cạnh góc vuông2 + 3 thì Ssau – Sđầu = 36 cm2.  Trường hợp 2 : Nếu cạnh góc vuông1 – 2, cạnh góc vuông2 – 4 thì Sđầu – Ssau = 26 cm2.  Tính cạnh góc vuông 1, cạnh góc vuông 2. - Định hướng đường lối giải + Giả sử gọi hai cạnh góc vuông là x (x > 0), y (y > 0) + Lập bảng Ban đầu. Cạnh 1 (cm). Cạnh 2 (cm). S (cm2). x (x > 0). y (y > 0). xy 2.

(40) 40 Tăng. x+3. y+3. Giảm. x–2. y–4. ( x  3)( y  3) 2 ( x  2)( y  4) 2.  S tãng S  36  , S S  26 + Lập hệ phương trình dựa trên cơ sở  giam  x 9  + Giải hệ phương trình này ta được  y 12 (thỏa mãn). 2.3.3.8. Dạng 6: Loại toán có nội dung vật lý, hóa học Ví dụ 1: 12 Người ta hoà lẫn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ hơn nó 200kg/m3 để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3. Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng? Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải: - Phân tích + Ta thấy Dchất 1 – Dchất 2 = 200 + Vì là hỗn hợp nên Vchất 1 + Vchất 2 = Vhỗn hợp. + Tìm Dchất 1 và Dchất 2 - Định hướng đường lối giải + Giả sử gọi khối lượng riêng của chất 1 là x (kg/m3). Điều kiện: x > 0 + Khối lượng riêng chất 2 là x – 200 (kg/m3) + Vận dụng công thức. V. m D để tìm Vchất 1 và Vchất 2 , Vhỗn hợp (trong đó m1 =. 8g, m2 = 6g) + Dựa trên cơ sở Vchất 1 + Vchất 2 = Vhỗn hợp để lập phương trình. Ví dụ 2: 2 Một vật có khối lượng 124 g và thể tích 15 cm 3 là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89g đồng thì thể tích là 10cm3 và 7g kẽm có thể tích là 1 cm3. Hướng dẫn HS phân tích và tìm đường lối giải: - Phân tích.

(41) 41 + Tóm tắt: mđồng + mkẽm = 124, Vđồng + Vkẽm = 15, biết 89g đồng  10 cm3, 7g kẽm  1 cm3. Tính mđồng, mkẽm. + 89g đồng  10 cm3. Vậy x (g) đồng thì Vx = ? + 7g kẽm  1 cm3. Vậy y (g) kẽm thì Vy = ? - Định hướng đường lối giải + Giả sử gọi x (g) là khối lượng của đồng, y (g) là khối lượng của kẽm. Điều kiện: 0 < x, y < 124 + Mà mđồng + mkẽm = 124. Khi đó ta được một phương trình x + y = 124. + Phương trình thứ hai dựa trên cơ sở Vđồng + Vkẽm = 15. 2.3.4. Biện pháp 4: Bồi dưỡng cho HS cách trình bày lời giải của một bài toán khi giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (hay phương trình) 2.3.4.1. Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ. Muốn cho học sinh không mắc sai phạm này giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề toán và trong quá trình giải không có sai sót với kiến thức, phương pháp suy luận, kỹ năng tính toán, ký hiệu, điều kiện của ẩn. Phải rèn cho học sinh có thói quen đặt điều kiện của ẩn và xem xét đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn xem đã hợp lý chưa. Ví dụ: 2 Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km, khởi hành cùng một lúc.Vận tốc xe của Bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3 km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người? Hướng dẫn: Trong bài này cần hướng dẫn HS xác định được những đại lượng đã cho và những đại lượng cần tìm, cụ thể đã biết quãng đường và cần tìm vận tốc của mỗi xe. Từ đó HS cần xác định thời gian đi hết quãng đường của mỗi xe. Gọi vận tốc của xe bác Hiệp là x (km/h). Điều kiện : x > 3 Vận tốc xe cô Liên : x – 3 (km/h) 30 Khi đó thời gian đi hết quãng đường của xe bác Hiệp là x (h). Khi đó thời gian đi hết quãng đường của xe cô Liên là. 30 x −3. (h).

(42) 42. Theo đề bài ta có phương trình :. 30 x −3. 30 – x =. 1 2. ⇔ x2 – 3x – 180 = 0. Giải phương trình ta được : x1 = 15 (thoả điều kiện) ; x2 = –12 (loại) Vậy: Vận tốc của xe bác Hiệp là 15 (km/h) Vận tốc xe cô Liên là 15 – 3 = 12 (km/h) 2.3.4.2. Lời giải bài toán lập luận phải cứ căn cứ chính xác. Đó là trong quá trình thực hiện từng bước có lô gíc chặt chẽ với nhau, có cơ sở lý luận chặt chẽ. Đặc biệt phải chú ý đến việc thoả mãn điều kiện nêu trong giả thiết. Xác định ẩn khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và các dữ kiện đã cho làm nổi bật được ý phải tìm. Nhờ mối tương quan giữa các đại lượng trong bài toán thiết lập được phương trình từ đó tìm được giá trị của ẩn. Muốn vậy giáo viên cần làm cho học sinh hiểu được đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? đâu là điều kiện? Có thể thoả mãn được điều kiện hay không? Dữ kiện có đủ để xác định được ẩn không? Từ đó mà xác định hướng đi, xây dựng được cách giải. Ví dụ: 4 Hai cạnh của một khu đất hình chữ nhật hơn kém nhau 4m. Tính chu vi của khu đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1200m2. Hướng dẫn: Ở đây bài toán hỏi chu vi của hình chữ nhật. Học sinh thường có xu thế bài toán hỏi gì thì gọi đó là ẩn. Nếu gọi chu vi của hình chữ nhật là ẩn thì bài toán đi vào bế tắc khó có lời giải. Giáo viên cần hướng dẫn học sinh phát triển sâu trong khả năng suy diễn để từ đó đặt vấn đề: Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta cần biết những yếu tố nào ? ( cạnh hình chữ nhật ) Từ đó gọi chiều rộng hình chữ nhật là x (m) ( điều kiện x > 0 ) Thì chiều dài hình chữ nhật là: x + 4 (m) Theo đề bài ra ta có phương trình: x. (x + 4) = 1200  x2 + 4x – 1200 = 0. Giải phương trình trên ta được x 1 = 30 ; x 2 = –34 Giáo viên hướng dẫn học sinh dựa vào điều kiện để loại nghiệm x 2 , chỉ lấy nghiệm x 1 = 30. Vậy chiều rộng là: 30 (m).

(43) 43 Chiều dài là: 30 + 4 = 34 (m) Chu vi là: 2.(30 +34) = 128 (m) Ở bài toán này nghiệm x 2 = –34 có giá trị tuyệt đối bằng chiều dài hình chữ nhật, nên học sinh dễ mắc sai sót coi đó cũng là kết quả của bài toán. 2.3.4.3. Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện Giáo viên hướng dẫn học sinh không được bỏ sót khả năng chi tiết nào. Không được thừa nhưng cũng không được thiếu, rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đã đầy đủ chưa? Kết quả của bài toán đã là đại diện phù hợp chưa? Nếu thay đổi điều kiện bài toán rơi vào trường hợp đặc biệt thì kết quả vẫn luôn luôn đúng. Ví dụ: 4 3 Một tam giác có chiều cao bằng 4 cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm và cạnh. đáy giảm đi 2dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm 2. Tính chiều cao và cạnh đáy? Hướng dẫn: Giáo viên cần lưu ý cho học sinh dù có thay đổi chiều cao, cạnh đáy của tam giác thì diện tích của nó luôn được tính theo công thức: 1 S = 2 a.h (Trong đó a là cạnh đáy, h là chiều cao tương ứng). Gọi chiều dài cạnh đáy lúc đầu là x (dm) , điều kiện x > 0. 3 Thì chiều cao lúc đầu sẽ là: 4 x (dm) 1 3 .x. x Diện tích lúc đầu là: 2 4 (dm2) 1 3 ( x  2).( x  3) 4 Diện tích lúc sau là: 2 (dm2). Theo đề bài ta có phương trình:. 1 3 1 3 ( x  2).( x  3)  x. x 12 2 4 2 4. Giải phương trình ta được x = 20 thoả măn điều kiện của ẩn. Vậy chiều dài cạnh đáy là 20 (dm) 3 .20 15 Chiều cao là: 4 (dm). 2.3.4.4. Lời giải bài toán phải đơn giản..

(44) 44 Bài giải phải đảm bảo được 3 yêu cầu trên không sai sót. Có lập luận, mang tính toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ của học sinh, đại đa số học sinh hiểu và làm được Ví dụ: 10 Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng là 17 và tổng các bình phương của chúng là 157. Hướng dẫn. Bài toán này đã thể hiện khá rõ ràng mối quan hệ của hai số này nên ta có thể giải như sau: Gọi x là số thứ nhất (0 < x < 17) Số thứ hai là 17 – x. Vì tổng bình phương hai số là 157 nên ta có phương trình x2 + (17 – x)2 = 157 Giải phương này ta được x1 = 11 , x2 = 6 (đều thỏa mãn) Có HS giải như sau: Gọi x, y là hai số cần tìm (0 < x, y < 17) Tổng hai số là 17 nên ta có phương trình x + y = 17. Tổng bình phương hai số là 157 nên ta có phương trình x2 + y2 = 157.  x  y 17  2 2 Ta giải hệ phương trình  x  y 157 cũng ra kết quả hai số là 11 và 6.. Nhưng vô tình đã biến bài toán này thành một bài toán khó giải và không phù hợp với trình độ của HS yếu kém. 2.3.4.5. Lời giải phải trình bày khoa học. Đó là lưu ý đến mối liên hệ giữa các bước giải trong bài toán phải lôgic, chặt chẽ với nhau. Các bước sau được suy ra từ các bước trước nó đã được kiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc những điều đã biết từ trước. Ví dụ. 4 Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6 m và chia cạnh huyền thành hai đoạn hơn kém nhau 5,6 m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác? Hướng dẫn giải.

(45) 45 A. B. H. C. Theo hình vẽ trên bài toán yêu cầu tìm đoạn nào, đã cho biết đoạn nào? Trước khi giải cần kiểm tra kiến thức học sinh để củng cố kiến thức. Đường cao của tam giác vuông được tính như thế nào? (AH2 = BH. CH) Từ đó gọi độ dài của BH là x (m). Điều kiện x > 0. Suy ra HC có độ dài là: x + 5,6 Theo công thức đã biết ở trên ta có phương trình: x(x + 5,6) = (9,6)2 Giải phương trình ta được: x = 7,2 thoả mãn điều kiện Vậy độ dài cạnh huyền là: (7,2 + 5,6) + 7,2 = 20 ( m ) 2.3.4.6. Lời giải bài toán phải rõ ràng, đầy đủ (có thể nên kiểm tra lại) Lưu ý đến việc giải các bước lập luận, tiến hành không chồng chéo nhau, phủ định lẫn nhau, kết quả phải đúng. Muốn vậy cần rèn cho học sinh có thói quen sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm hết các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót nhất là đối với phương trình bậc hai, hệ phương trình. Ví dụ: 4 Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 km. Cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng. Biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h. Hướng dẫn giải Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là x km/h (x > 4). Vận tốc của tàu thủy khi xuôi dòng là: x + 4 ( km/h). 80 Thời gian của tàu thủy khi xuôi dòng là: x  4 (h).. Vận tốc của tàu thủy khi ngược dòng là: x – 4 (km/h). 80 Thời gian của tàu thủy khi ngược dòng là: x  4 (h).. Theo đề bài ta có phương trình:.

(46) 46 80 80 25   x4 x 4 3  5x2 – 96x – 80 = 0. Giải phương trình này tìm được: 8  0,8 x 1 = 10 ; x 2 = 20. Đến đây học sinh dễ bị hoang mang vì ra hai kết quả không biết lấy kết quả nào. Vì vậy, giáo viên cần xây dựng cho các em có thói quen đối chiếu kết quả với điều kiện của đề bài. Nếu đảm bảo với điều kiện của đề bài thì các nghiệm đều hợp lý, nếu không đảm bảo với điều kiện thì nghiệm đó loại (chẳng hạn ở ví dụ trên với 8 x 1 = 10 < 4 là không đảm bảo với điều kiện nên loại). Một bài toán không nhất. thiết duy nhất một kết quả và được kiểm chứng lại bằng việc thử lại tất cả các kết quả đó với yêu cầu của bài toán.. 2.3.5. Biện pháp 5: Bồi dưỡng cho HS năng lực giải bài toán bằng các cách khác nhau 2.3.5.1. Dạng toán chuyển động Ví dụ: 8 Quãng đường AB dài 200 km. Hai ôtô cùng khởi hành từ A đến B. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy chậm hơn ôtô thứ hai 10 km nên đến B chậm hơn 1giờ. Tính vận tốc của mỗi xe Hướng dẫn giải - Xác định 2 chuyển động cùng chiều từ A đến B. Công thức liên quan s = v.t - Xe thứ nhất chạy chậm hơn xe thứ hai là 10 km/h nên: v2 – v1 = 10 - Lưu ý cụm từ: đến B chậm hơn do đó thời gian xe thứ nhất nhiều hơn thời gian xe thứ 2 là 1 giờ nên t1 – t2 = 1 Các cách giải Cách 1 (Lập phương trình bậc hai) Gọi vận tốc ôtô thứ nhất là x(km/h), x  0 Thì vận tốc ôtô thứ hai là x + 10 (km/h).

(47) 47 200 Thời gian ôtô thứ nhất là x (h) 200 Thời gian ôtô thứ hai là: x  10 (h). Xe ôtô đi chậm đến B chậm hơn ôtô thứ 2 là 1giờ nên ta có phương trình: 200 200  1 x x  10. Giải phương trình này ta được: x1 = 40 ; x2 = –50 (loại) Vậy vận tốc xe ôtô thứ nhất là 40 km/h . Vận tốc xe ôtô thứ hai là 40 + 10 = 50 km/h. Cách 2 (Lập hệ phương trình) Gọi vận tốc xe đi nhanh là x (km/h); x > 10 và vận tốc xe đi chậm là y (km/h) Điều kiện: 0 < y < x. Mỗi giờ xe đi nhanh đi hơn xe đi chậm 10 km nên có phương trình x – y = 10 200 Thời gian cua xe đi nhanh là: x (h) 200 Thời gian của xe đi chậm là: y (h) 200 200  1 y x Ta có phương trình:. Ta giải hệ phương trình.  x  y 10   200 200  y  x 1 . ta được: x = 50; y = 40 (thỏa mãn). Vậy vận tốc ôtô đi nhanh là 50km/h và vận tốc ôtô đi chậm là 40km/h. 2.3.5.2. Dạng toán liên quan đến số học Ví dụ: 10 Tìm hai số tự nhiên biết tổng là 17 và tổng các bình phương của chúng là 157 Các cách giải Cách. 1. Số. Số. Quá trình. thứ. thứ. Chưa bình phương. nhất x. hai 17 – x. Bình phương. x. 2. Phương trình và hệ phương trình cần lập. 2. (17 – x). x2 + (17 – x)2 = 157.

(48) 48. 2. x. Chưa bình phương. x2 Bình phương 2.3.5.3. Dạng toán năng suất lao động. y y2.  x  y 17  2 2  x  y 157. Ví dụ: 3 Đồng lúa của xã Đại Đồng rộng hơn đồng lúa của xã Bình Minh là 12 ha. Trong vụ thu hoạch xã Đại Đồng thu được 1470 tấn, còn xã Bình Minh thu được 1440 tấn. Tuy nhiên năng suất lúa ở xã Bình Minh cao hơn xã Đại Đồng là 1 tạ/ha. Tính năng suất ở mỗi xã Hướng dẫn giải - Năng suất của hai xã có mối quan hệ như thế nào ? - Hướng dẫn HS lập biểu thức tính diện tích đồng lúa của mỗi xã (bằng năng suất tổng chia cho năng suất trên 1 ha) - Diện tích đồng lúa hai xã có mối quan hệ như thế nào? Từ đó lập phương trình. Các cách giải Cách 1 (Lập phương trình bậc hai) Gọi năng suất lúa ở xã Đại Đồng là x (tạ/ha), x > 0. Năng suất lúa ở xã Bình Minh là x + 1 (tạ/ha) 14700 (ha ) Diện tích đồng lúa của xã Đại Đồng là x 14400 (ha ) Diện tích đồng lúa của xã Bình Minh là x  1. Theo đề bài ta có phương trình : 14700 14400  12 x x 1  x 2  24 x  1225 0. Giải phương trình ta được : x1 = 49, x2 = –25 (loại) Vậy năng suất lúa của xã Đại Đồng là 49 tạ/ha. Năng suất lúa của xã Bình Minh là 50 tạ/ha Cách 2 (Lập hệ phương trình) Gọi năng suất lúa ở xã Đại Đồng và xã Bình Minh là x, y (tạ/ha). Điều kiện x, y > 0..

(49) 49 14700 (ha ) Diện tích đồng lúa của xã Đại Đồng là x 14400 (ha ) y Diện tích đồng lúa của xã Bình Minh là. Ta có hệ phương trình. 14700 14400  12  y  x  y x  1 . Giải hệ phương trình này ta được x = 49, y = 50 (thỏa mãn) Vậy năng suất lúa của xã Đại Đồng là 49 tạ/ha. Năng suất lúa của xã Bình Minh là 50 tạ/ha. 2.3.5.4. Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng Ví dụ: 2 Hai đội dân công cùng sửa một con mương hết 24 ngày. Mỗi ngày phần việc của 1 đội 1 làm được bằng 2 phần việc của đội 2 làm được. Hỏi nếu làm một mình, mỗi 1. đội sẽ sửa xong con mương đó trong bao nhiêu ngày? Hướng dẫn giải - Coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc và biểu thị bởi số 1. - Năng suất làm trong một ngày tỉ lệ nghịch với thời gian hoàn thành công việc. - Năng suất đội 1 làm được trong một ngày + năng suất đội 2 làm được trong một ngày = năng suất cả hai đội làm được trong một ngày. Các cách giải Cách 1 (Lập phương trình bậc hai) Gọi số ngày đội 2 làm một mình sửa xong con mương là x (ngày), x > 24 1 Trong 1 ngày đội 2 làm được là x công việc 3 1 . Trong 1 ngày đội 1 làm được 2 x công việc. 1 Trong 1 ngày cả 2 đội làm được 24 công việc. 1 1 1   Ta có phương trình: x 2 x 24.

(50) 50 Giải phương trình này ta được x = 60 (thỏa mãn điều kiện) 3 1  => Mỗi ngày đội 1 làm được 2.60 40 công việc.. Vậy để sửa xong con mương đội 1 làm một mình trong 40 ngày và đội 2 làm xong trong 60 ngày. Cách 2 (Lập hệ phương trình) Gọi số ngày đội 1 làm một mình để sửa xong con mương là x(ngày), x > 24 Số ngày đội 2 làm một mình để sửa xong con mương là y (ngày), y > 24 1 Trong 1 ngày đội 1 làm được x công việc. 1 Trong 1 ngày đội 2 làm được y công việc. 1 1 1 y Trong 1 ngày cả hai đội làm được x + = 24 công việc. 1 3  Ngoài ra mỗi ngày đội 1 làm được x 2 y 1 1 1  x  y  24   1  3  Giải hệ phương trình  x 2 y ta được.  x 40   y 60 (thỏa mãn điều kiện). Vậy đội 1 hoàn thành trong 40 ngày và đội 2 hoàn thành trong 60 ngày. 2.3.5.5. Dạng toán liên quan hình học Ví dụ: 4 Tổng độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 12cm và diện tích của tam giác vuông là 16cm2. Tính độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó. Hướng dẫn giải - Cạnh góc vuông 1 + cạnh góc vuông 2 = 12 1 - Stam giác = 2 . Cạnh góc vuông 1. cạnh góc vuông 2. Các cách giải Cách 1 (Lập phương trình bậc hai) Gọi x (cm) là độ dài một cạnh góc vuông (0 < x < 12) Cạnh góc vuông còn lại là 12 – x (cm).

(51) 51 Vì diện tích của tam giác vuông là 16 cm2. Nên ta có phương trình: 1 2 .x.(12 – x) = 16. Giải phương trình này ta được x1 = 4 , x2 = 8 (thỏa mãn) Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 4cm và 8cm. Cách 2 (Lập hệ phương trình) Gọi x, y (cm) lần lượt là độ dài của hai cạnh góc vuông cần tìm (0<x, y< 12)  x  y 12   x  y 12 1 x . y  16   Ta có hệ phương trình  2 hay  x. y 32. Ta giải phương trình bậc hai x2 – 12x + 32 = 0 => x1 = 8 ; x2 = 4 (thỏa mãn) Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 4cm và 8cm.. 2.3.5.6. Dạng toán liên quan vật lý, hóa học Ví dụ: 12 Người ta hòa lẫn 40g chất lỏng thứ nhất với 30g chất lỏng thứ hai có khối lượng riêng nhỏ hơn nó 100kg/m3 để được một dung dịch có khối lượng riêng là 350kg/m3. Tìm khối lượng riêng của mỗi dung dịch? Hướng dẫn giải m - Công thức V = D với m là khối lượng (kg), D là khối lượng riêng (kg/m3), V là. thể tích (m3). - Vhỗn hợp = V1 + V2 Các cách giải Cách 1 (Lập phương trình bậc hai) Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x (kg/m3 , x > 100) Khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai là x – 100 (kg/m3) 0, 04 Thể tích chất lỏng thứ nhất x (m3).

(52) 52 0, 03 Thể tích chất lỏng thứ hai x  100 (m3) 0, 04 0, 03 0, 07 Thể tích hỗn hợp là x + x  100 = 350. Giải phương trình này ta được x1 = 400, x2 = 50 (loại) Vậy khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là 400 kg/m 3 và chất lỏng thứ hai là 300 kg/m3. Cách 2 (Lập hệ phương trình) Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x (kg/m 3) và khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai là y (kg/m3) , x > y > 0. 0, 04 Thể tích chất lỏng thứ nhất x (m3) 0, 03 Thể tích chất lỏng thứ hai y (m3) 0, 04 0, 03 0, 07 Thể tích hỗn hợp là x + y = 350. Mặt khác khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai nhỏ hơn khối lượng riêng chất lỏng thứ nhất là 100 kg/m3 nên ta có phương trình: x – y = 100 hay y = x – 100. Ta giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế ta cũng được x = 400 và y = 300 (thỏa mãn) Vậy khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là 400 kg/m 3 và chất lỏng thứ hai là 300 kg/m3. (Trong bài toán này GV phải tránh sai lầm cho HS về việc lập phương trình x + y = 350 (khối lượng riêng hỗn hợp)) Lưu ý: Biện pháp này giúp cho HS phát triển tư duy về các cách giải một bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình nhưng trong quá trình giảng dạy nên khuyến khích HS chọn một cách giải đơn giản nhất để trình bày. GV lưu ý HS không phải bài toán nào cũng giải được hai cách (lập phương trình và hệ phương trình) như các ví dụ trên. Thường các bài toán đó phải có mối quan hệ giữa hai vật, hai đội, hai dung dịch, hai số…tham gia. 2.3.6. Biện pháp 6: Bồi dưỡng học sinh năng lực phát triển bài toán mới 2.3.6.1. Dạng toán chuyển động.

(53) 53 Ví dụ: 1 Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngược về 36 km. Biết thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng lớn hơn vận tốc khi ngược dòng là 6 km/h. Hỏi vận tốc của canô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng ? a) Phân tích, tìm lời giải. Đề bài có các phần khá rõ và mỗi phần đều có thể phiên dịch sang ngôn ngữ đại số dễ dàng như sau : Vận tốc canô lúc ngược dòng. x (km/h, x > 0). Vận tốc canô lúc xuôi dòng. x+6. Thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngược dòng 2 giờ. 90 36  2 x 6 x. (1). Từ phương trình (1) giải ra hai nghiệm x 1 = 9 và x2 = 12 (đều thỏa mãn). Suy ra vận tốc lúc ngược dòng là 9 km/h và xuôi dòng là 15 km/h hoặc vận tốc lúc ngược dòng là 12 km/h và xuôi dòng là 18 km/h.. b) Phát triển bài toán mới. - Thay “thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2 giờ” bằng “tổng thời gian cả xuôi dòng và ngược dòng là 10 giờ” còn các phần khác của bài toán thì giữ nguyên. - Thay “Hỏi vận tốc của canô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng ?” bằng “Hỏi thời gian của canô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng ?” (các phần khác giữ nguyên) 2.3.6.2. Dạng toán liên quan đến số học Ví dụ: 10 Tìm hai số tự nhiên biết tổng là 17 và tổng các bình phương của chúng là 157 a) Phân tích, tìm lời giải Số thứ nhất. x (x < 17, x  N). Số thứ hai. 17 – x. Tổng các bình phương của chúng là 157. x2 + (17 – x)2 = 157. Từ phương trình (1) giải ra ta được hai số là 6 và 11.. (1).

(54) 54 b) Phát triển bài toán mới. Đây là bài toán bậc hai để tạo ra những bài toán tương tự ta có thể thay đổi điều kiện tương tự, chẳng hạn: - Biết hiệu hai số và tổng các bình phương của chúng . - Biết tổng hoặc hiệu hai số và tổng hoặc hiệu các nghịch đảo của hai số. Ta cũng có thể thay đổi ẩn như tìm 3 số… 2.3.6.3. Dạng toán năng suất lao động Ví dụ: 1 Theo kế hoạch, một công nhân phải hoàn thành 60 sản phẩm trong thời gian nhất định. Nhưng do cải tiến kĩ thuật nên mỗi giờ người công nhân đó làm thêm được 2 sản phẩm, vì vậy chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 30 phút mà còn vượt mức 3 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch mỗi giờ người đó làm bao nhiêu sản phẩm? a) Phân tích, tìm lời giải Năng suất 1 giờ Kế hoạch. x (x > 0). Thức tế. x+2. Thời gian (giờ). Số sản phẩm. 60 x 63 x2. 60 63. 1 Vì thời gian hoàn thành sớm hơn 30 phút ( 2 giờ) nên ta có phương trình : 60 63 1   x x2 2. Giải phương trình này ta được x1 = 12 (thỏa mãn) ; x2 = –20 (loại) b) Phát triển bài toán mới Với bài toán này ta có thể thay đổi nội dung và dữ kiện của bài toán để trở thành một bài toán mới như sau: Theo kế hoạch một xưởng may phải may xong 5000 áo trong một thời gian quy định. Để hoàn thành sớm kế hoạch xưởng may đã cải tiến kỹ thuật, do đó mỗi ngày may được nhiều hơn 6 áo so với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì vậy chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 ngày mà còn vượt mức 88 áo. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu áo? 2.3.6.4. Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng Ví dụ: 1.

(55) 55 Hai vòi A và B cùng chảy vào một bể không có nước và chảy đầy bể trong 2 giờ 55 phút. Nếu chảy riêng thì vòi A có thể chảy đầy bể nhanh hơn vòi B là 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy trong bao lâu mới đầy bể ? a) Phân tích, tìm lời giải 35 x (h, x > 12 ). Thời gian vòi A chảy được đầy bể Thời gian vòi B chảy được đầy bể. x + 2 (h). 1 h vòi A chảy được. 1 x (bể). 1 h vòi B chảy được. 1 x  2 (bể). 1 h hai vòi chảy được. 1 1 12   x x  2 35. Giải phương này ta được. x1 5, x2 . 7 6 ( loại). b) Phát triển bài toán mới Bài toán về vòi nước còn có thể ra dưới dạng công việc làm chung, làm riêng, chẳng hạn bài toán (Giải bằng cách lập hệ phương trình ) sau: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 7giờ 12 phút thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người chỉ làm được 3 4 công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong?. 2.3.6.5. Dạng toán liên quan hình học Ví dụ 1: 1 Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2 m. Tìm các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó. a) Phân tích, tìm lời giải Cạnh góc vuông thứ nhất. x (m, x > 0). Cạnh góc vuông thứ hai. x + 2 (m). Cạnh huyền bằng 10m. x2 + (x + 2)2 = 102. Giải phương trình này. x1 = 6, x2 = –8 (loại). b) Phát triển bài toán mới.

(56) 56 - Ta có thể thay đổi điều kiện và giữ nguyên ẩn để có bài toán tương tự. Chẳng hạn: Cho tổng hai cạnh góc vuông (bằng 14m) và cạnh huyền (bằng 10m). Tìm hai cạnh góc vuông. Hoặc cho tổng hai cạnh góc vuông (bằng 14m) và diện tích tam giác (bằng 48m2). Tìm hai cạnh góc vuông. - Ta cũng có thể thay đổi cả ẩn và điều kiện. Chẳng hạn: Cho tổng hai cạnh góc vuông (bằng 14m) và cạnh huyền (bằng 10m). Tìm diện tích tam giác. Chú ý rằng trong các thay đổi trường hợp như vậy, việc chọn ẩn vẫn như bài toán ban đầu. Ví dụ 2: 12 Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2cm và 3cm thì diện tích tăng thêm 50cm2. Nếu giảm cả hai cạnh đi 2cm thì diện tích tam giác sẽ giảm đi 32cm2. Tính hai cạnh góc vuông của tam giác. a) Phân tích, tìm lời giải. Đề bài có các phần được phân chia khá rõ, ta có phiên dịch dễ dàng sang ngôn ngữ đại số như sau: (Tìm) hai cạnh góc vuông của tam giác. x, y (x,y > 0). (Ta nghĩ ngay đến diện tích tam giác). 1 ( 2 xy). Tăng các cạnh góc vuông lên 2cm và 3cm. x + 2 và y + 3. Thì diện tích sẽ tăng thêm 50cm2. 1 1 ( x  2)( y  3)  xy  50 2 2 (1). Giảm cả hai cạnh đi 2cm. x–2,y–2. Thì diện tích giảm đi 32cm2. 1 1 ( x  2)( y  2)  xy  32 2 2 (2). Từ đó ta có phương trình (1) và (2), khai triển và rút gọn ta được hệ phương trình bậc nhất. Giải hệ này ta được x = 26 và y = 8 (thỏa mãn).Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 26cm và 8cm. b) Phát triển bài toán mới Ta thay yêu cầu: Tính hai cạnh góc vuông của tam giác bằng tính diện tích của tam giác vuông hoặc tính cạnh huyền của tam giác vuông đó ta sẽ được các bài toán mới. Để giải chúng ta vẫn chọn ẩn là hai cạnh góc vuông x và y, tìm được x, y ta suy ra diện tích, cạnh huyền. 2.3.6.6. Dạng toán liên quan vật lý, hóa học.

(57) 57 Ví dụ: 12 Người ta hoà lẫn 8g dung dịch A với 6g dung dịch B có khối lượng riêng nhỏ hơn nó 200kg/m3 để được một dung dịch có khối lượng riêng là 700kg/m 3. Tìm khối lượng riêng của mỗi dung dịch? a) Phân tích tìm lời giải Khối lượng riêng của dung dịch A. x (kg/m3, x > 200). Khối lượng riêng của dung dịch B. x – 200 (kg/m3). Khối lượng riêng của hỗn hợp. 700 (kg/m3). Phương trình cần lập. 0, 008 0, 006 0, 014   x x  200 700. Giải phương trình này. x1 = 800, x2 = 200 (loại). b) Phát triển bài toán mới. Thay đổi điều kiện ta có bài toán tương tự, chẳng hạn thay câu “được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700 kg/m3” bằng “được một hỗn hợp có thể tích 0,02 lít”, các phần còn lại giữ nguyên. Như vậy qua chương 2 chúng tôi đã đưa ra cho HS một dạng toán thường gặp trong chương trình toán 9 THCS về giải bài toán bằng cách lập phương trình (hay hệ phương trình), các phương pháp chung để giải các dạng toán này và hướng dẫn HS phân tích, định hướng đường lối giải cụ thể ở từng dạng. Bên cạnh đó rèn luyện cho HS cách trình bày lời giải một bài toán cho hợp lý, lôgic và phát triển bài toán đã cho thành một bài toán mới. Đó là trên cơ sở lý thuyết, vì vậy để biết được hiệu quả, tính khả thi của đề tài này chúng tôi đã dự kiến thực nghiệm sư phạm..

(58) 58. Chương 3 DỰ KIẾN THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1. Mục đích thực nghiệm Nắm được những khó khăn và sai lầm của HS khi giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình. Thấy được hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề ra đối với việc giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình. 3.2. Địa điểm và thời gian thực nghiệm Dự kiến thực nghiệm chuyên đề này trên ba lớp 9 ở ba trường: THCS Phường I, THCS Mỹ Thuận, THCS Phường 2. Thời gian thực nghiệm vào học kỳ II năm học 2010 – 2011. 3.3. Nội dung thực nghiệm.

(59) 59 Áp dụng các biện pháp mà chúng tôi đã nghiên cứu vào các tiết dạy chính thức theo phân phối chương trình toán 9 THCS ở ba lớp 9 ở ba trường: THCS Phường I, THCS Mỹ Thuận, THCS Phường 2. Cụ thể chúng tôi thực nghiệm chuyên đề này trên 4 tiết dạy và 2 bài kiểm tra khảo sát theo hai vấn đề: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và giải bài toán bằng cách lập phương trình (Giáo án và đề kiểm tra khảo sát ở phần phụ lục) Khi giảng dạy vấn đề này chúng tôi yêu cầu HS làm theo các bước sau: - Đọc kỹ đề bài. - Tóm tắt đề bài và vẽ hình (Nếu cần) - Phân tích các dữ kiện và các đại lượng của bài toán để từ đó lập hệ phương trình hay phương trình. - Giải hệ phương trình hay phương trình cho chính xác. - Kiểm tra lại kết quả của bài toán đó. - Tìm các cách khác nhau khi giải và phát triển bài toán đã cho thành bài toán mới. 3.4. Dự kiến kết quả thực nghiệm Qua nội dung thực nghiệm trên chúng tôi cũng đã dự kiến kết quả khảo sát như sau: - HS khắc sâu hơn, hiểu hơn về các cách giải hệ phương trình hai ẩn và phương trình bậc hai. - HS không còn lúng túng và tự tin hơn khi gặp các dạng toán: Chuyển động, số học, năng suất lao động, làm chung làm riêng, hình học, vật lý, hóa học. - HS biết cách trình bày lời giải ngắn gọn nhưng chặt chẽ. - Đối với HS khá giỏi sẽ phát triển tư duy về các cách giải khác nhau khi giải một bài toán và phát triển bài toán đó thành một bài toán mới. - HS biết được ý nghĩa thực tế của bài toán và cảm thấy yêu thích môn học hơn..

(60) 60. KẾT LUẬN Trên đây là những nghiên cứu của chúng tôi về vấn đề giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình toán 9. Qua đó từ thực tế giảng dạy chúng tôi nhận thấy được việc dạy học giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình có ý nghĩa thực tế và tác dụng to lớn trong việc rèn luyện cho HS về tư duy lôgic, khả năng sáng tạo, khả năng diễn đạt chính xác nhiều quan hệ toán học. Để nâng cao hiệu quả dạy học vấn đề này cần tuân thủ chặt chẽ quy trình giải toán đặt biệt là khâu phân tích bài toán và phát huy tính chủ động tích cực của HS. Do điều kiện và năng lực của bản thân chúng tôi còn hạn chế, các tài liệu tham khảo chưa đầy đủ nên chắc chắn còn những điều chưa chuẩn, những lời giải chưa phải là hay và ngắn gọn nhất. Nhưng tôi mong rằng đề tài này ít nhiều cũng giúp cho HS hiểu kỹ hơn về vấn đề giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và.

(61) 61 phương trình. Nếu thì đề tài này thực nghiệm có tính hiệu quả cao thì chúng tôi tiếp tục phát triển đề tài sang các vấn đề khác như trong hình học. Bằng những kinh nghiệm giảng dạy hiện có ở trường THCS nhất là những bài học rút ra từ những tiết dạy của chính mình và các tiết dự giờ của các đồng nghiệp chung trường. Cùng với sự giúp đỡ tận tình của cô Nguyễn Thị Kiều thì chúng tôi đã hoàn thành đề tài “Bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học nội dung giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình lớp 9” Chúng tôi cũng rất mong sự chỉ bảo, ý kiến đóng góp của giáo viên đánh giá để cho đề tài này hoàn thiện hơn và để vốn kinh nghiệm giảng dạy của chúng tôi phong phú hơn.. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hà Nghĩa Anh (2006), Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội. [2] Phan Đức Chính (2005), Sách giáo khoa Toán 9 tập 2, Nhà xuất bản Giáo dục. [3] Phan Đức Chính (2005), Sách giáo viên Toán 9 tập 2, Nhà xuất bản Giáo dục. [4] Nguyễn Ngọc Đạm (1996), Toán phát triển Đại số 9, Nhà xuất bản Giáo dục Hà Nội. [5] Phạm Gia Đức (2001), Phương pháp dạy học Toán tập 1, Nhà xuất bản Giáo dục. [6] Phạm Gia Đức (1999), Phương pháp dạy học Toán tập 2, Nhà xuất bản Giáo dục..

(62) 62 [7] Nguyễn Bá Kim (2000), Phương pháp dạy học môn Toán, Nhà xuất bản Giáo dục. [8] Lê Văn Hồng (2007), Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho GV THCS chu kỳ III, Nhà xuất bản Giáo dục. [9] Nguyễn Hạnh Uyên Minh (2005), Chuyên đề bồi dưỡng Đại Số 9, Nhà xuất bản tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh. [10] Tôn Thân (2005), Sách bài tập Toán 9 tập 2, Nhà xuất bản Giáo Dục. [11] Nguyễn Duy Thuận (1995), Sách giáo khoa toán 8 tập 2, Nhà xuất bản Giáo dục. [12] Sách ôn thi tốt nghiệp THCS (1996), Sở giáo dục Hải Hưng..

(63)

Luan VanSKKN 3

Trích đoạn

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về