Số học trong đề thi các nước 2021
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (216.33 KB, 17 trang )
SỐ HỌC QUA ĐỀ THI CÁC NƯỚC
TRÊN THẾ GIỚI - NĂM 2021
TEAM SỐ HỌC
DANH SÁCH TEAM SỐ HỌC
◦ Nguyễn Tuấn Ngọc
◦ Dương Thái Bảo
◦ Trần Quang
◦ Phạm Hữu Hiệp
◦ Vũ Nguyễn Hoàng Anh
◦ Nguyễn Thành Nhân
◦ Đỗ Lê Hải Thụy
◦ Nguyễn Khánh Hòa
Number theory 2021
1
TEAM SỐ HỌC
Bài tập 1. APMO 2021
Tìm tất cả các hàm số f : Z → Z sao cho f (f (a) − b) + bf (2a) là số chính phương
với mọi số nguyên a và b.
Bài tập 2. APMO 2021
Với đa thức P và số nguyên dương n, gọi Pn là số cặp số nguyên dương (a, b) thỏa
mãn a < b ≤ n và |P (a)| − |P (b)| chia hết cho n. Tìm tất cả các đa thức P với hệ
số nguyên sao cho Pn ≤ 2021 với mọi số nguyên dương n.
Bài tập 3. All-Russian 2021
Tìm tất cả tập hợp các số nguyên dương {x1 , x2 , · · ·, x20 } sao cho
x2i+2 = lcm(xi+1 , xi ) + lcm(xi , xi−1 ),
với i = 1, 2, . . . , 20, trong đó x0 = x20 , x1 = x21 và x2 = x22 .
Bài tập 4. All-Russian 2021
Với các số nguyên dương m, n thỏa mãn n > m. Biết rằng n có thể biểu diễn được
thành tổng của 2021 lũy thừa bậc không âm của m, đồng thời n cũng biểu diễn
được dưới dạng tổng của 2021 lũy thừa bậc không âm của m + 1. Tìm giá trị lớn
nhất của m.
Bài tập 5. All-Russian 2021
Cho đa thức P (x) có bậc n lớn hơn 2 với hệ số thực. Phương trình P (P (P (x))) =
P (x) có n3 nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng những nghiệm này có thể lập
thành 2 nhóm có trung bình cộng bằng nhau.
Bài tập 6. All-Russian 2021
Tìm tất cả các hốn vị (a1 , a2 , ..., a2021 ) của (1, 2, ..., 2021), sao cho với mỗi cặp số
nguyên m và n thỏa |m − n| > 2021 , ta ln có:
gcd(m + 1, n + a1 ) + gcd(m + 2, n + a2 ) + ... + gcd(m + 2021, n + a2021 ) < 2|m − n|.
Number theory 2021
2
TEAM SỐ HỌC
Bài tập 7. Mathematical Contest Aleksandar Blazhevski-Cane 2021
Cho p là một số nguyên tố và tập hợp F = {0, 1, 2, . . . , p − 1}. Giả sử A là một tập
con thực sự của F thỏa mãn tính chất: nếu a, b ∈ A thì ab + 1 (mod p) ∈ A. Hỏi
tập hợp A có thể có bao nhiêu phần tử?
Bài tập 8. Memorial Mathematical Contest Aleksandar Blazhevski-Cane 2021
√
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho nó có đúng n + 1 số các ước tự nhiên.
(Bài này có thể phát biểu đơn giản lại như sau: tìm tất cả các số nguyên dương n
√
sao cho τ (n) = n + 1.)
Bài tập 9. Bangladeshi National Mathematical Olympiad 2021
Cho x và y là các số nguyên dương thỏa mãn
2(x + y) = gcd(x, y) + lcm(x, y).
Tìm
lcm(x, y)
.
gcd(x, y)
Bài tập 10. Benelux Mathematical Olympiad 2021
Cho dãy số nguyên a1 , a2 , a3 , . . . thỏa mãn a1 > 5 và
an+1 = 5 + 6 + · · · + an với mọi số nguyên dương n.
Xác định tất cả các số nguyên tố p sao cho bất kể a1 là giá trị nào đi chăng nữa thì
dãy này cũng chứa số hạng là bội của p.
Bài tập 11. Brazil EGMO TST 2021
Cho S là tập hợp thỏa mãn với mọi số ngun dương n ln có |S ∩ T | = 1, trong
đó T = {n, 2n, 3n}. Chứng minh rằng nếu 2 ∈ S thì 13824 ∈ S.
Bài tập 12. Brazil EGMO TST 2021
Cho a, b, k là các số nguyên dương thỏa mãn
gcd(a, b)2 + lcm(a, b)2 + a2 b2 = 2020k .
Chứng minh rằng k là số chẵn.
Number theory 2021
3
TEAM SỐ HỌC
Bài tập 13. Brazil EGMO TST 2021
Cho n là một số nguyên dưỡng thỏa mãn 125n + 22 là lũy thừa của 3. Chứng minh
rằng 125n + 29 có ước nguyên tố lớn hơn 100.
Bài tập 14. Bulgaria National Olympiad 2021
Cho 2 cấp số cộng (an ), (bn ) là dãy các số nguyên dương
0 < a1 < a2 < a3 < ...; 0 < b1 < b2 < b3 < ...
Biết rằng có vơ hạn cặp số nguyên dương (n, j) với n ≤ j ≤ n + 2021 và an | bj .
Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dương n, luôn tồn tại một số nguyên dương
j sao cho an | bj .
Bài tập 15. Bundeswettbewerb Mathematik 2021
Phân số
3
có thể viết dưới dạng tổng của hai nghịch đảo bằng đúng hai cách
10
3
1
1
1
1
= +
= + .
10
5 10
4 20
a) Có bao nhiêu cách viết
3
thành tổng của hai nghịch đảo?
2021
b) Tồn tại hay không số nguyên dương n không chia hết cho 3 sao cho
3
viết được
n
dưới dạng tổng của hai nghịch đảo bằng đúng 2021 cách?
Bài tập 16. Canada National Olympiad 2021
Một hàm f : Z+ → Z+ được gọi là Canadian nêu nó thỏa mãn
gcd f (f (x)), f (x + y) = gcd(x, y) với mọi cặp số nguyên dương x, y.
Tìm tất cả các số nguyên dương m sao cho f (m) = m với mọi hàm Canadian f .
Bài tập 17. Canadian Junior Mathematical Olympiad 2021
Có bao nhiêu hốn vị của bộ gồm n số nguyên dương đầu tiên, sao cho với mỗi
k ≤ n, thì k phần tử đầu tiên của hốn vị đó nhận bộ số dư đơi một phân biệt khi
chia cho k.
Number theory 2021
4
TEAM SỐ HỌC
Bài tập 18. Caucasus Mathematical Olympiad 2021
Cho số nguyên dương n > 2. Xét n số nguyên không âm x1 , x2 , ..., xn sao cho
S − xi | xi , ∀i = 1, n,
n
trong đó S =
xi . Chứng minh rằng S = 0.
i=1
Bài tập 19. China National Olympiad 2021
Cho m > 1 là một số nguyên. Tìm số nguyên dương n bé nhất sao cho với hai dãy số
nguyên bất kì a1 , a2 , . . . , an và b1 , b2 , . . . , bn thì tồn tại dãy số nguyên x1 , x2 , . . . , xn
thỏa mãn hai điều kiện sau
i) tồn tại i ∈ {1, 2, . . . , n} để xi và m nguyên tố với nhau,
n
n
ai x i ≡
ii)
i=1
bi xi ≡ 0 (mod m)
i=1
Bài tập 20. China National Olympiad 2021
Cho n là số nguyên dương có đúng 36 ước nguyên tố. Với mỗi k = 1, 2, 3, 4, 5 ta gọi
ck là số số nguyên thuộc đoạn
(k−1)n kn
; 5
5
mà nguyên tố với n. Các số c1 , c2 , c3 , c4 , c5
đôi một phân biệt. Chứng minh rằng
(ci − cj )2 ≥ 236 .
1≤i
Bài tập 21. China Team Selection Test 2021
Cho số nguyên dương n và dãy số nguyên a1 < a2 < ... < an . Chứng minh rằng, có
ít nhất
n(n−6)
19
phần tử từ tập hợp {1; 2; ...; n(n−1)
} không thể biểu diễn được về
2
dạng ai − aj (1 ≤ i, j ≤ n).
Bài tập 22. China Team Selection Test 2021
Cho f (x) và g(x) là hai đa thức hệ số ngun. Biết rằng có vơ hạn số nguyên tố p,
sao cho tồn tại số nguyên mp để
f (x) ≡ g(x + mp )
Number theory 2021
(mod p).
5
TEAM SỐ HỌC
Bài tập 23. Hong Kong (China) Mathematical Olympiad 2021
Với mỗi số nguyên dương n > 1, gọi pa11 pa22 ...pas s là một phân tích thừa số nguyên
tố của n, đặt σ(n) = a1 + a2 + ... + as . Chứng minh rằng, tồn tại 2020 số nguyên
dương liên tiếp, sao cho trong đó có đúng 1975 số nguyên n thỏa mãn σ(n) < 11.
Bài tập 24. Hong Kong Team Selection Tests for IMO 2021
Có tồn tại hay không một đa thức P (x) khác đa thức 0 với hệ số nguyên thỏa mãn
đồng thời các điều kiện sau: P (x) khơng có nghiệm hữu tỉ; Mỗi số nguyên dương
n, tồn tại một số nguyên m sao cho n | P (m)?
Bài tập 25. Hong Kong Team Selection Tests for IMO 2021
Cho n là một số nguyên dương. Có thể biểu diễn n2 + 3n + 3 dưới dạng ab với a, b
√
là các số nguyên dương và khoảng cách giữa a và b nhỏ hơn 2 n + 1 hay không?
Bài tập 26. Cyprus 2021 Junior TST
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (α, β) biết rằng d là ước chung lớn nhất của α, β và
∆ là bội chung nhỏ nhất của α, β thoả
d + ∆ = 4(α + β) + 2021.
Bài tập 27. Cyprus 2021 Junior TST
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số
n2021 + 101
n2 + n + 1
là số nguyên.
Bài tập 28. Czech And Slovak Mathematical Olympiad 2021
Tìm tất cả các số tự nhiên n với n + d(n) + d(d(n) + · · · = 2021, với d(0) = d(1) = 0
và với k > 1, d(k) là là ước nguyên dương lớn nhất của k và khác k.
Bài tập 29. EGMO 2021
Theo Anna, số 2021 là số đẹp. Cô ấy cho rằng tất cả phần tử của tập {m, 2m+1,3m}
đều là số đẹp với mọi số nguyên dương m. Hỏi số 20212021 có phải là số đẹp?
Number theory 2021
6
TEAM SỐ HỌC
Bài tập 30. Math olympiad for the French Speaking 2021
Cho a1 , a2 , a3 , . . . và b1 , b2 , b2 , . . . các số nguyên dương sao cho an+2 = an+1 + an và
bn+2 = bn+1 + bn , với mọi n ≥ 1. Giả sử an là ước của bn với vô số giá trị của n.
Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên c sao cho bn = can với mọi n ≥ 1.
Bài tập 31. Math olympiad for the French Speaking 2021
Cho N∗ là tập các số nguyên dương. Tìm tất cả các hàm số f : N∗ → N∗ sao cho
với mọi số nguyên dương m và n, ta đều có
gcd f (m), n + lcm m, f (n) = gcd m, f (n) + lcm f (m), n .
Bài tập 32. German National Olympiad 2021
Chứng minh rằng tồn tại vô số bộ ba số nguyên dương (u, v, w) sao cho chúng theo
thứ tự đó tạo thành một cấp số cộng đồng thời uv + 1, vw + 1 và wu + 1 đều là các
số chính phương.
Bài tập 33. International Zhautykov Olympiad 2021
Let n be a positive integer. Is it possible to express n2 + 3n + 3 into the form ab
with a and b being positive integers, and such that the difference between a and b
√
is smaller than 2 n + 1?
Bài tập 34. Iran 2nd round mathematical Olympiad 2021
Có hay khơng thể sắp xếp 1400 số nguyên dương (không nhất thiết phân biệt), ít
nhất một trong các số đó là 2021, trên một đường trịn sao cho bất kì số nào trên
đường trịn này cũng bằng tổng ước chung lớn nhất của hai số liền trước và ước
chung lớn nhất của hai số liền sau? Ví dụ, nếu a, b, c, d, e là năm số liên tiếp trên
đường trịn nói trên thì c = gcd(a, b) + gcd(d, e).
Number theory 2021
7
TEAM SỐ HỌC
Bài tập 35. Iran Team Selection Test 2021
Giả sử Ω(n), ω(n) lần lượt là ước nguyên tố lớn nhất và bé nhất của số nguyên n.
Alireza và Amin quyết định chơi một trò chơi theo nguyên tắc sau: đầu tiên Alireza
chọn 1400 đa thức có hệ số nguyên, sau đó Amin sẽ chọn 700 trong số 1400 đa
thức của Alireza. Lúc này Alireza còn lại 700 đa thức, gọi tập hợp các đa thức của
Alireza và Amin lần lượt là F, E. Amin thắng nếu với mọi n ta có
max{Ω(P (n))} ≥ min{ω(P (n))}.
P ∈E
P ∈F
Hỏi ai là người có chiến thuật thắng? Qui ước Ω(1) = ω(1) = 1 và Ω(0) = ∞.
Bài tập 36. Japan MO Finals 2021
Tìm tất cả các hàm số f : Z+ → Z+ thoả mãn
n | m ⇔ f (n) | f (m) − n,
∀m, n ∈ Z+ .
Bài tập 37. Turkey JBMO TST 2021
Với giá trị nguyên dương nào của n thì ta có thể tìm được một số hữu tỉ không
nguyên x sao cho
xn + (x + 1)n
là một số nguyên?
Bài tập 38. Turkey JBMO TST 2021
Gọi d(n) là số ước nguyên dương của số nguyên dương n. Tìm số nguyên dương n
sao cho không tồn tại số nguyên dương k thoả
d(. . . d(d(n) . . . )
k lần
là số chính phương.
Bài tập 39. Junior Macedonian Mathematical Olympiad 2021
Tìm tất cả các số nguyên dương n và các số nguyên tố p sao cho
2
2 +3
17n · 2n − p = (2n
Number theory 2021
2
+ 2n − 1) · n2 .
8
TEAM SỐ HỌC
Bài tập 40. Korea Winter Program Practice Test 2021
Có tồn tại hay khơng tập hợp vơ hạn các số nguyên dương S thỏa mãn điều kiện:
với mọi a, b ∈ S đều tồn tại số nguyên dương lẻ k sao cho a | bk + 1.
Bài tập 41. Korea Winter Program Practice Test 2021
Cho P là một đa thức monic hệ số ngun bậc n khơng có nghiệm nguyên. Đặt
A=
v2 P (m) | m ∈ Z, v2 P (m) ≥ 1 . Biết |A| = n, chứng minh rằng tất cả
các phần tử của A nhỏ hơn 23 n2 .
Bài tập 42. Kosovo National Mathematical Olympiad 2021
Cho P (x) là một đa thức với hệ số nguyên. Ta kí hiệu tập tất cả các số nguyên tố
là P. Chứng minh rằng tập S = p ∈ P | ∃n : p | P (n) là tập hữu hạn khi và chỉ
khi P (x) là đa thức hằng khác 0.
Bài tập 43. Latvian TST 2021
Tìm tất cả các số nguyên dương n, k thoả mãn
n3 − 5n + 10 = 2k .
Bài tập 44. Macedonian Mathematical Olympiad 2021
Cho (xn ) là dãy số xác định bởi
x1 = 7
2
xn+1 = xn (xn − 2), ∀n ≥ 1
a
, trong đó a, b ∈ N, (a, b) = 1. Chứng minh rằng nếu p là ước
b
nguyên tố của a thì p = 3 hoặc 3 | p − 1.
Giả sử x2021 =
Bài tập 45. Macedonian Team Selection Test 2021
Xác định tất cả các hàm f : N∗ → N∗ sao cho với mọi a, b ∈ N∗ , hai điều kiện sau
đồng thời thỏa
i) f (f (a) + b) | ba − 1,
ii) f (f (a)) ≥ f (a) − 1.
Number theory 2021
9
TEAM SỐ HỌC
Bài tập 46. NICE MO 2021
Cho dãy fibboican {ai } được định nghĩa như sau
a1 = a2 = 1
ak = ak−1 + ak−2 , k lẻ và k 3
1
1
1
=
+
, k chẵn và k 3
ak
ak−1 ak−2
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì tử số của an (viết dưới dạng thu
gọn) là một luỹ thừa của 2.
Bài tập 47. NICE MO 2021
Với mỗi số nguyên tố p, đặt Sp = {1, 2, · · · , p − 1}. Tìm tất cả các số nguyên tố p
sao cho tồn tại hàm số f : Sp → Sp thỏa mãn
p | nf (n) · f (f (n)) − 1 với mọi n ∈ Sp .
Bài tập 48. Nigeria mathematics Olympiad 2021
Tìm tất cả bộ số nguyên tố (p, q, r) thỏa mãn pq = 2021 + r3 .
Bài tập 49. Nordic 2021
Cho n là một số nguyên dương. Alice và Bob chơi một trò chơi như sau
◦ Trước tiên, Alice chọn n + 1 tập con A1 , ..., An+1 của {1, ..., 2n } sao cho mỗi
tập có đúng 2n−1 phần tử.
◦ Sau đó, Bob chọn n + 1 số nguyên bất kì a1 , . . . , an+1 .
◦ Cuối cùng, Alice chọn một số nguyên t.
Bob sẽ giành chiến thắng nếu tồn tại 1 ≤ i ≤ n + 1 và s ∈ Ai sao cho s + ai ≡ t
(mod 2n ). Ngược lại Alice giành chiến thắng.
Tìm tất cả giá trị của n để Alice có chiến thuật thắng.
Number theory 2021
10
TEAM SỐ HỌC
Bài tập 50. Pan-African Mathematics Olympiad 2021
Cho (ai )i∈N và (pi )i∈N là hai dãy nguyên dương thỏa mãn các điều kiện sau
(i) a1 ≥ 2.
(ii) pn ước nguyên tố nhỏ nhất của an với mọi n ≥ 1.
(iii) an+1 = an +
an
với mọi n ≥ 1.
pn
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương N sao cho an+3 = 3an với mọi số nguyên
n > N.
Bài tập 51. Pan-African Mathematics Olympiad 2021
m2 + n
n2 + m
Tìm tất cả các số nguyên m và n sao cho 2
và 2
là các số nguyên.
n −m
m −n
Bài tập 52. Philippine MO 2021
Một số nguyên dương được gọi là số may mắn nếu nó chia hết cho 7 và tổng các
chữ số của nó cũng chia hết cho 7. Với một số nguyên dương n cho trước. Chứng
minh rằng tồn tại một số may mắn l sao cho |n − l| ≤ 70.
Bài tập 53. Polish Math Olympiad 2021
Cho các số nguyên dương a, b, z thỏa mãn đẳng thức ab = z 2 + 1. Chứng minh rằng,
tồn tại các số nguyên dương x, y sao cho
x2 + 1
a
= 2
.
b
y +1
Bài tập 54. Polish Math Olympiad 2021
Cho a, b và n thỏa mãn
a
a2 + n 2
= 2
.
b
b + n2
Chứng minh rằng
√
ab là một số nguyên.
Number theory 2021
11
TEAM SỐ HỌC
Bài tập 55. Polish Math Olympiad 2021
Cho các số tự nhiên a và b trong hệ thập phân sao cho dãy gồm các chữ số của a
là một hoán vị lặp của dãy chữ số của b. Chứng minh rằng, nếu a + b = 101000 thì
cả a và b đều chia hết cho 10.
Bài tập 56. Polish Math Olympiad 2021
Lấy {pi } là dãy các số nguyên tố được sắp theo thứ tự tăng và k là một số nguyên
dương. Gọi N = p1 · p2 · · · pk . Chứng minh rằng trong tập M = {1, 2, ..., n} có đúng
N
2
số chia hết cho một số lẻ các số nguyên tố pi với 1
i
k.
Bài tập 57. Romania NMO 2021
Cho một số nguyên dương a > 2.
a) Chứng minh rằng ∃n ∈ Z+ , n = 1 sao cho an ≡ 1 (mod n).
b) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên dương nhỏ nhất, khác 1, sao cho ap ≡ 1
(mod p) thì p là số nguyên tố.
c) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên dương n, khác 1, sao cho 2n ≡ 1
(mod n).
Bài tập 58. Romania TST 2021
Cho n > 1 là một số nguyên dương, gọi p(n) là ước nguyên tố lớn nhất của n. Tìm
tất cả các bộ ba số nguyên dương phân biệt (x; y; z) sao cho
i) x; y; z lập thành một cấp số cộng,
ii) p(xyz)
3.
Bài tập 59. Serbian Mathematical Olympiad 2021
Cho a > 1 và c là các số tự nhiên, b là số nguyên khác 0. Chứng minh rằng tồn tại
số tự nhiên n sao cho an + b có một ước có dạng cx + 1, ở đây x ∈ N.
Number theory 2021
12
TEAM SỐ HỌC
Bài tập 60. Spain Mathematical Olympiad 2021
Cho n là số nguyên dương, chúng ta gọi λ(n) là số nghiệm nguyên dương của phương
trình x2 − y 2 = n. Chúng ta gọi n là olympic nếu λ(n) = 2021. Tìm số olympic bé
nhất? Số olympic lẻ nhỏ nhất là số nào?
Bài tập 61. Switzerland - Final Round 2021
Tìm tất cả các tập hữu hạn các số nguyên dương S có ít nhất hai phần tử thỏa
n2
mãn nếu m > n là hai phần tử của S thì
cũng là một phần tử của S.
m−n
Bài tập 62. Switzerland - Final Round 2021
Với những số nguyên n ≥ 2 nào có thể sắp xếp các số 1, 2, . . . , n thành một hàng
sao cho với mỗi 1 ≤ k ≤ n, tổng của k số đầu tiên trong hàng đó chia hết cho k?
Bài tập 63. Taiwan APMO Preliminary First Round 2021
Cho n là một số nguyên dương sao cho với mọi số nguyên m nguyên tố với n thì
m6 ≡ 1 (mod n). Tìm giá trị lớn nhất của n.
Bài tập 64. Taiwan Mathematics Olympiad 2021
Tìm tất cả các số nguyên n = 2k + 1 > 1 sao cho tồn tại một hoán vị a0 , a1 , . . . , ak
của 0, 1, . . . , k sao cho
a21 − a20 ≡ a22 − a21 ≡ · · · ≡ a2k − a2k−1
(mod n).
Bài tập 65. Taiwan TST Round 1 2021
Tìm hết tất cả bộ ba số nguyên dương (x, y, z) sao cho
x2 + 4y = 5z .
Bài tập 66. Taiwan TST Round 2 2021
Gọi S là tập các số nguyên dương sao cho với mọi a, b ∈ S thì tồn tại c ∈ S sao cho
c2 là ước của a(a + b). Chứng minh rằng tồn tại a ∈ S sao cho a là ước của mọi
phần tử thuộ S.
Number theory 2021
13
TEAM SỐ HỌC
Bài tập 67. Taiwan TST Round 3 2021
Cho n là một số nguyên dương. Chúng ta gọi số nguyên dương m là n-tốt nếu có
tối đa 2n số nguyên tố phân biệt p sao cho p2 | m.
a) Chứng minh rằng nếu a, b là hai số nguyên dương nguyên tố với nhau thì tồn
tại hai số nguyên dương x, y sao cho axn + by n là số n-tốt.
b) Chứng minh rằng với bất kì k số nguyên dương a1 , . . . , ak thỏa gcd(a1 , . . . , ak ) =
1 luôn tồn tại các số nguyên dương x1 , . . . , xk sao cho
a1 xn1 + a2 xn2 + · · · + ak xnk
là số n-tốt. Chú ý rằng: a1 , . . . , ak không nhất thiết phân biệt.
Bài tập 68. Thailand Online MO 2021
Tìm tất cả các số nguyên n > 1 thỏa mãn điều kiện: với mọi x ∈ Z+ , nếu gcd(x, n) =
1 thì gcd(x + 101, n) = 1.
Bài tập 69. Thailand Online MO 2021
Cho a1 , a2 , . . . là một dãy vô hạn các số nguyên dương sao cho a1 = 2021 và
an+1 = (a1 + a2 + · · · + an )2 − 1
với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng với n ≥ 2, an là tích của ít nhất 2n
số nguyên tố (không nhất thiết phân biệt).
Bài tập 70. Thailand Online MO 2021
Cho k là số nguyên dương, gọi τ (k) là số ước nguyên dương của k. Giả sử a và b là
hai số nguyên dương thoả τ (τ (an)) = τ (τ (bn)) với mọi số nguyên dương n. Chứng
minh rằng a = b.
Bài tập 71. Turkey TST 2021
Tìm cặp số nguyên dương (k, n) để
# a ∈ Z : 1 ≤ a ≤ (nk)! và gcd
Number theory 2021
a
,n
k
(nk)!
=1 =
6
14
TEAM SỐ HỌC
Bài tập 72. Turkey TST 2021
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n,
20 · 5n − 2
∈
/ Z.
3n + 47
Bài tập 73. Ukraine NMO 2021
Gọi P (n) là tập tất cả các đa thức bậc n sao cho các hệ số là một hoán vị của
{20 , 21 , ..., 2n }. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (k, d) sao cho tồn tại số nguyên
dương n sao cho với đa thức bất kì P ∈ P (n) thì P (k) chia hết cho d.
Bài tập 74. Ukraine NMO 2021
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có thể chọn ra ϕ(n) + 1 ước của
n (không nhất thiết phân biệt) mà tổng của chúng bằng n.
Bài tập 75. Ukraine NMO 2021
Có tồn tại hay không bộ ba các số tự nhiên (m, n, k) thỏa mãn phương trình
mm + nn = k k ?
Bài tập 76. Ukraine NMO 2021
Cho bộ số nguyên (a2021 , a2020 , . . . , a1 , a0 ) thoả
a2021 n2021 + a2020 n2020 + · · · + a1 n + a0
chia hết cho 2021 với mọi số nguyên n. Có thể chứng minh tất cả các số
a2021 , a2020 , . . . , a1 , a0 đều chia hết cho 2021 được không?
Bài tập 77. USA JMO 2021
Cho S là một tập hợp gồm các số nguyên dương thoả với mỗi s ∈ S, và mỗi ước
nguyên dương d của s thì tồn tại duy nhất một phần tử t ∈ S sao cho gcd(s, t) = d.
Tìm tất cả các giá trị có thể có về số phần tử của S.
Bài tập 78. USA Team Selection Test for IMO 2021
Tìm tất cả các số nguyên s
4 sao cho tồn tại bốn số nguyên dương a, b, c, d thoả
s = a + b + c + d và s là ước của abc + abd + acd + bcd.
Number theory 2021
15
TEAM SỐ HỌC
Bài tập 79. International Zhautykov Olympiad in Mathematics 2021
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho số dư của 3n khi chia cho 2n
lớn hơn 102021 .
Number theory 2021
16
