PHẦN I. KHỐI ĐA DIỆN
BÀI 1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN.
I. Khái niệm về hình đa diện
 Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa
giác thỏa mãn hai tính chất:
 Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc khơng có điểm chung, hoặc chỉ có một
đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
 Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
 Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác
ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.

II. Khái niệm về khối đa diện
 Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả
hình đa diện đó.
 Những điểm khơng thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngồi của khối đa
diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng khơng thuộc hình đa diện đó được gọi
là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong,
tập hợp những điểm ngoài được gọi là miền ngồi của khối đa diện.
 Mỗi hình đa diện chia các điểm cịn lại của khơng gian thành hai miền
khơng giao nhau là miền trong và miền ngồi của hình đa diện, trong đó chỉ có
miền ngồi là chứa hồn tồn một đường thẳng nào đó.

III. Phép dời hình trong khơng gian
Trong khơng gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M ' xác định
duy nhất được gọi là một phép biến hình trong khơng gian.
Phép biến hình trong khơng gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo tồn
khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.
* Một số phép dời hình trong khơng gian:
r
- Phép tịnh tiến theo vectơ v
Nội dung

Trang 1

Hình vẽ


Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành M ' sao cho
uuuuur r
MM '  v .

P 
- Phép đối xứng qua mặt phẳng
Nội dung
Là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc

P 
P 

Hình vẽ
thành

chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc
thành
P
điểm M ' sao cho
là mặt phẳng trung trực của MM ' .
P
H
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng
biến hình

P
thành chính nó thì
được gọi là mặt phẳng đối xứng
H
của
.
- Phép đối xứng qua tâm O
Nội dung
Là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến
mỗi điểm M khác O thành điểm M ' sao cho O là trung
điểm MM '
H
Nếu phép đối xứng tâm O biến hình
thành chính
H
nó thì O được gọi là tâm đối xứng của

 

 

 

 

 

Hình vẽ

 

 

- Phép đối xứng qua đường thẳng  (phép đối xứng trục  )
Nội dung
Hình vẽ
Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng
 thành chính nó, biến mỗi điểm M khơng thuộc 
thành điểm M ' sao cho  là đường trung trực của MM ' .

 
 

H
Nếu phép đối xứng trục  biến hình
thành chính
H
nó thì  được gọi là trục đối xứng của
* Nhận xét:
 Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.

 H ' , biến đỉnh, cạnh, mặt
 H  thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của  H ' .
của

 Phép dời hình biến đa diện

H

thành đa diện


II. Hai hình bằng nhau
Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này
thành hình kia.

Trang 2


BÀI 2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
I. Khối đa diện lồi
Một khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kì hai điểm A và B nào
của nó thì mọi điểm của đoạn AB cũng thuộc khối đó.

Khối đa diện lồi
Khối đa diện không lồi
II. Khối đa diện đều
- Định nghĩa
 Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
 Các mặt là những đa giác đều n cạnh.
 Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh.





n, p
 Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại
.
- Định lí
3;3
4;3

3;4
5;3
Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại
, loại
, loại
, loại
,
3;5
loại
.
- Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Số
Số
Số
Khối đa diện đều
cạn
Loại Số MPĐX
đỉnh
mặt
h

 

 

 

 

 


Tứ diện đều

4

6

4

 3;3

6

Khối lập phương

8

12

6

 4;3

9

Bát diện đều

6

12


8

 3;4

9

Mười hai mặt đều

20

30

12

 5;3

15

Hai mươi mặt đều

12

30

20

 3;5

15


Chú ý: Giả sử khối đa diện đều loại
Khi đó:

 n, p

pĐ  2C  nM .

Trang 3

có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt.


DẠNG 1: NHẬN DẠNG KHỐI ĐA DIỆN
Bài tập 1. Hình đa diện trong hình vẽ bên dưới có bao nhiêu mặt?

A. 11.
B. 12 .
C. 13 .
D. 14 .
Bài tập 2. Trong một khối đa diện, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hai cạnh bất kì có ít nhất một điểm chung.
B. Ba mặt bất kì có ít nhất một đỉnh chung.
C. Hai mặt bất kì có ít nhất một điểm chung.
D. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt.
Bài tập 3. Cho các mệnh đề sau:
I. Số cạnh của một khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 6.
II. Số mặt của khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 5.
III. Số đỉnh của khối đa diện lồi luôn lớn hơn 4.
Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?

A. II và III.
B. I và II.
C. Chỉ I.
D. Chỉ II.
Bài tập 4. Số cạnh của hình 12 mặt đều là
A. 20.
B. 30.
C. 16.
D. 12.
Bài tập 5. Hình nào dưới đây khơng phải hình đa diện.

A. Hình 3.
B. Hình 2.
C. Hình 4.
D. Hình 1.
Bài tập 6. Khối đa diện đều loại {3;5} là khối.
A. Hai mươi mặt đều.
B. Tám mặt đều. C. Lập phương. D. Tứ diện đều.
Bài tập 7. Biết (H) là đa diện loại {3;5} với số đỉnh và số cạnh lần lượt là a và
b . Tính a  b.
A. a  b  18 .
B. a  b  8.
C. a  b  18.
D. a  b  10 .
Bài tập 8. Gọi n là số hình đa diện trong bốn hình bên dưới. Tìm n .

A. n  3 .
B. n  2.
C. n  1.
D. n  4 .

Bài tập 9. Khối đa diện đều loại {4;3} là
A. Khối tứ diện đều.
B. Khối lập phương.
C. Khối bát diện đều.
D. Khối hộp chữ nhật.
Bài tập 10. Số n hình đa diện lồi trong bốn hình bên dưới.

Trang 4


A. n  0 .
B. n  1.
C. n  2.
D. n  3 .
Bài tập 11. Cho khối đa diện đều loại {3;4}. Tổng các góc phẳng tại một đỉnh
của khối đa diện bằng
0
0s
0
0
A. 324 .
B. 360 .
C. 180 .
D. 240 .
Bài tập 12. Hình nào dưới đây khơng phải là một khối đa diện.

A.

.


B.

. C.

.

D.

.
Bài tập 13. Hình nào dưới đây không phải là một khối đa diện.
A. 30 và 20.
B. 12 và 20.
C. 20 và 30.
D. 12 và
30.
Bài tập 14. Khối hai mươi mặt thuộc loại nào sau đây?
3;4
4;3
3;5
5;3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Bài tập 15. Khối đa diện có mười hai mặt có số đỉnh, số cạnh, số mặt lần lượt
là

A. 30,20,12.
B. 20,12,30.
C. 12,30,20.
D.
20,30,12.

 

 

 

 

Bài tập 16. Hình nào dưới đây khơng phải hình đa diện.

A. Hình III.
B. Hình II.
C. Hình IV.
D. Hình I.
Bài tập 17. Một hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì hình lăng trụ đó có tất
cả bao nhiêu cạnh?
A. 33 .
B. 31.
C. 30 .
D. 22.
Bài tập 18. Hình nào dưới đây là hình đa diện.

A. Hình 1.


B. Hình 2.
Trang 5

C. Hình 3.

D. Hình 4.


Bài tập 19. Cho đa giác đều 16 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác vng có ba
đỉnh là ba đỉnh của đa giác đều đó?
A. 560.
B. 112 .
C. 121.
D. 128 .
(Gợi ý là tam giác vuông nội tiếp nửa đường trịn)
DẠNG 2: TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐA DIỆN
Bài tập 1. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đơi một khác nhau có bao nhiêu
mặt phẳng đối xứng?
4
A. 6 mặt phẳng.
B. 9 mặt phẳng. C. 3 mặt phẳng. D.
mặt
phẳng.
Bài tập 2. Hình tứ diện đều có bao nhiêu trục đối xứng?
A. 0 .
B. 1.
C. 3 .
D. 2.
Bài tập 3. Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (khơng phải là hình vng) có
bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

4
A. 1 mặt phẳng.
B. 2 mặt phẳng. C. 3 mặt phẳng. D.
mặt
phẳng.
Bài tập 4. Hình tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 6.
B. 4 .
C. 3 .
D. 2.
Bài tập 5. Hình nào sau đây khơng có đối xứng?
A. Hình hộp xiên.
B. Tam giác đều. C. Hình trịn.
D. Đường thẳng.
Bài tập 6. Biết rằng một hình đa diện H có 6 mặt là 6 tam giác đều. Hãy chỉ ra
mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Không tồn tại hình H nào có mặt phẳng đối xứng.
B. Có tồn tại một hình H có đúng 4 mặt đối xứng.
C. Khơng tồn tại hình H nào có đúng 5 đỉnh.
D. Có tồn tại một hình H có hai tâm đối xứng phân biệt.
Bài tập 7. Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 2.
B. 4 .
C. 6.
D. 8 .
Bài tập 8. Hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau có bao
nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 3 .
B. 4 .
C. 6.

D. 5.
Bài tập 9. Khối lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' phép đối xứng qua mặt phẳng
ABC 'D '
biến khối tứ diện BCDD ' thành khối tứ diện nào sau đây?
A. BCA 'D ' .
B. BB 'A 'D ' .
C. B 'BC 'A ' .
D. BC 'D 'A ' .
AB 'C '
ABC '
Bài tập 10. Cắt khối trụ ABC .A 'B 'C ' bởi các mặt phẳng
và
ta
được những khối đa diện nào?
A. Hai khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác.
B. Ba khối tứ diện.
C. Một khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác.
D. Hai khối tứ diện và một khối chóp tứ giác.
Bài tập 11. Cho đa giác đều có 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có 4
đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho?
4
4
2
2
C 1009
C 1009
C 2018
C 2018
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.







Trang 6








BÀI 3. KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I. Thể tích khối chóp
Nội dung
V 

Hình vẽ

1

S .h
3 đ�y

S
 đ�y : Diện tích mặt đáy.
 h : Độ dài chiều cao khối chóp.
1
d
.S
3  S, ABCD   ABCD
II. Thể tích khối lăng trụ
Nội dung
VS.ABCD 

Hình vẽ

V  Sđ�y .h
S
 đ�y : Diện tích mặt đáy.
 h : Chiều cao của khối chóp.
Lưu ý:
Lăng trụ đứng có chiều cao chính là cạnh bên.
III. Thể tích khối hộp chữ nhật
Nội dung

Hình vẽ

V  abc
..


IV. Thể tích khối lập phương
Nội dung

Hình vẽ

V  a3
V. Tỉ số thể tích
Nội dung

Hình vẽ

VS .A���
SA�SB �SC �
BC

.
.
VS .ABC
SA SB SC

S
A
’

BC
Thể tích hình chóp cụt ABC .A���

V 






h
B  B�
 BB �
3

�
Với B, B , h là diện tích hai đáy và chiều cao.
VI. Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt

 Đường chéo của hình vng cạnh a là a 2
Trang 7

A

B
C ’
’
C

B


 Đường chéo của hình lập phương cạnh a là : a 3
 Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a,b,c là :

a2  b2  c2


a 3
 Đường cao của tam giác đều cạnh a là: 2
VII. Các cơng thức liên quan đến hình phẳng
1. Hệ thức lượng trong tam giác
- Cho D ABC vuông tại A , đường cao AH
2
2
2
 AB  AC  BC
2
 AB  BH .BC
2
 AC  CH .BC
 AH .BC  AB .AC
2
 AH  BH .HC

1
1
1


2
2
AB
AC 2
 AH
 AB  BC .sinC  BC .cosB  AC .tanC  AC .cot B
m ,m ,m
- Cho D ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c độ dài các trung tuyến là a b c

bán kính đường trịn ngoại tiếp R ; bán kính đường trịn nội tiếp r nửa
chu vi p.
 Định lí hàm số cosin:
a2  b2  c2 - 2bc.cosA; b2  c2  a2  2ca.cosB; c2  a2  b2  2ab.cosC
 Định lí hàm số sin:
a
b
c


 2R
sin A sin B sinC
 Độ dài trung tuyến:

b2  c2 a2
c2  a2 b2
a2  b2 c2
 ; mb2 
 ; mc2 

2
4
2
4
2
4
2. Các công thức tính diện tích
- Tam giác
1
1

1
S  a.ha  bh
. b  ch
.
2
2
2 c

ma2 

1
1
1
S  bc sin A  ca.sin B  ab sinC
2
2
2

abc
S
4R

 S  pr









S  p pa pb pc

 ABC vuông tại A :

S



AB.AC BC .AH

2
2

Trang 8


 ABC đều, cạnh a :

AH 

a 3
a2 3
S
2 ,
4

- Hình vng
2
 S a

( a : cạnh hình vng)
- Hình chữ nhật
 S  ab
( a, b : hai kích thước)
- Hình bình hành
�
 S = đáy  cao = AB. AD.sin BAD
- Hình thoi
� = 1 AC.BD
S = AB. AD.sin BAD
2

- Hình thang
1
S  a b h
2

( a, b : hai đáy, h : chiều cao)
- Tứ giác có hai đường chéo vng góc AC & BD





1
AC .BD
2

VIII. Cơng thức giải nhanh của khối chóp
S




Cho hình chóp
SAB , SBC , SAC







Nội dung
SABC với

Hình vẽ
các

mặt

phẳng

A

vng góc với nhau từng đơi
một, diện tích các tam giác SAB, SBC , SAC lần lượt
S ,S ,S
là 1 2 3 .
Khi đó:


,

VS .ABC 

2S1.S2 .S3

S

C

B

3

 ABC 
Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với
 SAB  và  SBC  vng góc với
hai mặt phẳng

�
�
nhau, BSC = a , ASB = b .
SB 3.sin2 .tan 
VS .ABC 
12
Khi đó:

S

C


A

B
S

Cho hình chóp đều S . ABC có đáy ABC là tam giác
đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng b .
Khi đó:

VS .ABC 

a2 3b2  a2
12

C

A
G
B

Trang 9

M


S

Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy
bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc  .

a3 tan
VS.ABC 
24
Khi đó:

C

A
G

S

Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có các cạnh
bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc
.
Khi đó:

VS .ABC 

VS.ABC

G

VS .ABC

a3.tan 

12

S


S

D

Khi đó:

A
M

O
C

B
S

A

tan   1
6

D
M

O
B

C

Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy

�  �
 �� ; �
�
�4 2 �
bằng a, SAB = a với

VS.ABCD 

M

B

Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy
bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là
.
a3.tan
VS .ABCD 
6
Khi đó:

a

C

A
G

a2 4b2  2a2

6


3

M

B

Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy ABCD
a,
là
hình
vng
cạnh
bằng
và
SA  SB  SC  SD  b .
Khi đó:

C

A

3b3.sin  cos2 
4

Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có các cạnh
đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc
.
Khi đó:


M

B

S

D

2

A
M

O
C

Trang 10

B


Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có các cạnh
bên bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là 
��
 ��0; �
� 2 �.
với
4a3.tan
VS.ABCD 
3

3 2  tan2 
Khi đó:
Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy
P
bằng a. Gọi
là mặt phẳng đi qua A song song



S

A

D
M

O



B

C

 

với BC và vng góc với
mặt phẳng đáy là  .
a3 cot 
VS.ABCD 

24
Khi đó:

 SBC  , góc giữa  P 

S
F
N
A

với

E

x

C
G

M

B

A'

B'
O'

D'


Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của
hình lập phương cạnh a.
a3
V 
6
Khi đó:

O1

C'
O2

O4
A

O3

B
O

D

C

S

Cho khối tám mặt đều cạnh a. Nối tâm của các
mặt bên ta được khối lập phương.

G2

D

A G1

2a3 2
V 
27
Khi đó:

N

M

C

B

S'

IX. Cơng thức đặc biệt liên quan thể tích tứ diện
Cơng thức
Điều kiện tứ diện
abc
VS.ABC 
1  cos2   cos2   cos2   2cos cos  cos
�
SA = a, SB = b, SC = c
�
6
��

�
�
Công thức tính khi biết 3 cạnh, 3 góc ở đỉnh 1 tứ �
�ASB = a , BSC = b, CSA = j
diện
1
VABCD  abd sin
�
AB  a,CD  b
�
6
�
d AB,CD  d, AB,CD  
Cơng thức tính khi biết 2 cạnh đối, khoảng cách �
và góc 2 cạnh đó



Trang 11








VSABC 

2S1S2 sin


3a
Cơng thức tính khi biết một cạnh, diện tích và
góc giữa 2 mặt kề
abc
VS.ABC 
sin sin  sin
6

Cơng thức tính khi biết 3 cạnh, 2 góc ở đỉnh và 1
góc nhị diện

VABCD

2
12







�
SA = a, SB = b, SC = c
�
�
�
�(�
� SAB ) , ( SAC ) = a

�
�
�
�
�
�
�ASB = b, ASC = j

(

)

Tứ diện đều

a3 2

12

VABCD 

�
SSAB  S1, SSAC  S2, SA  a
�
�
SAB , SAC  
�
�

tất cả các cạnh bằng a


a

2





 b2  c2 b2  c2  a2 a2  c2  b2

Tứ diện gần đều
�
AB  CD  a
�
AC  BD  b
�
�
AD  BC  c
�



DẠNG 1: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Bài tập 1. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B, chiều cao bằng h là
1
2
V  Bh
V  Bh
3
3 .

A.
.
B.
C. V  Bh .
D. V  3Bh .
Bài tập 2. Cho khối lập phương có cạnh bằng 6. Thể tích của khối lập phương
đã cho bằng
A. 216.
B. 18 .
C. 36 .
D. 72.
Bài tập 3. Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 2 là
A. 2.
B. 8 .
C. 6.
D. 4 .
2
Bài tập 4. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng 2a , chiều cao bằng
a 3 là
A.

V 

2a3 3
9 .

B.

V 


2a3 3
3 .

3
C. V  2a 3 .

D.

V 

a3 3
3 .

Bài tập 5. Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là 3,4,5
bằng
A. V  120 .
B. V  20.
C. V  30.
D. V  60.
Bài tập 6. Cho khối lập phương có độ dài đường chéo bằng 6 3 . Thể tích của
khối lập phương đó bằng
A. V  81 3 .
B. V  216.
C. V  24 3 .
D. V  162 6 .
Bài tập 7. Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 294. Thể tích
của khối lập phương đó bằng
A.

V 


147 147
2
2 .

B. V  49.

Bài tập 8. Khối chóp S.ABC có thể tích
cao của khối chóp S.ABC bằng
Trang 12

C. V  343.
V 

D.

V 

147
2 .

2 2
3 và diện tích đáy B  3 . Chiều


A.

h

2 6

9 .

B.

h

2 6
3 .

C.

h

2 2
3 .

h

D.

2 6
27 .

Bài tập 9. Thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D' có AB '  2 bằng
A. V  2 2 .

B. V  2 .

A. a .


B.

C. V  1.

D. V  3.
3
Bài tập 10. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng a , đáy ABCD là hình
vng. Biết chiều cao của khối chóp là h  3a . Cạnh hình vng ABCD bằng
a
3.

C. a 2 .

D. a 3 .

Bài tập 11. Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' biết AB  6 2 . Thể tích của
khối lập phương đó bằng
A. V  432 2 .
B. V  108 .
C. V  216.
D. V  48 6 .
Bài tập 12. Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với
AC  3, AB  4, BC  5 và SA  3. Thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V  18 .
B. V  6.
C. V  12 .
D. V  20.
Bài tập 13. Thể tích của khối tứ diện đều có cạnh 2a bằng

đáy,


3
3
2 2 3
2 3 3
a3
a
a
4 .
12 .
A.
B.
C. 3
.
D. 3
.
Bài tập 14. Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi
�
0
cạnh a. Biết BAD  60 , AA '  a . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
a3

a3

A.
Bài

3
2 .
tập


3
6 .
B.
Cho
khối
a3

3

C. a
lăng

3 3
a
D. 3 .
đứng
ABC.A'B'C'.

3.
trụ

15.
Biết
�
AB  3cm, AC  4cm, BAC  600, AA '  2cm. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng


















6 3 cm3
2 3 cm3
6 3 cm3
6 cm3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Bài tập 16. Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a,
BD  a 3 và AA '  4a . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
2 3 3
4 3 3
a

a
A. 2 3a .
B. 4 3a .
C. 3
.
D. 3
.
Bài tập 17. Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ
3

3

nhật có AB  a, AD  a 3, AA '  2a . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
3 3
2 3 3
a
a
A. 2 3a .
B. 3a .
C. 3 .
D. 3
.
Bài tập 18. Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vng
3

3

cạnh a 2 . Biết góc giữa A'B với mặt phẳng (ABCD) bằng 300. Thể tích của khối
lăng trụ đã cho bằng
A.


a3

6
3 .

2a3 6
3 .
B.

Trang 13

2 3 3
a
C. 3
.

3
D. 2 6a .


Bài tập 19. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A .
�
Biết 2AB  AA '  2a, ABC   . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
a3
a3
tan

tan
3

3
A. a sin .
B. 3
.
C. a tan .
D. 2
.
Bài tập 20. Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' biết ABCD là hình thoi có
AC  10cm, BD  8cm và diện tích hình chữ nhật ACC 'A ' bằng 50cm2 . Thể tích của
khối lăng trụ đã cho bằng
3
3
3
3
A. 400cm .
B. 2000cm .
C. 4000cm .
D. 200cm .
Bài tập 21. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng a,
biết SA vng góc với đáy và SA  2a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
a3 3
a3 3
a3 2
a3 3
A. 2 .
B. 3 .
C. 6 .
D. 6 .
Bài tập 22. Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' biết ABC là tam giác cân tại A có
BC  a 2 và AC '  a 5 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

2a3
a3
3
3
A. 2a .
B. 3 .
C. a .
D. 3 .
Bài tập 23. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' biết ABC là tam giác đều cạnh a
và AC '  a 5 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
a3 3
a3 3
a3 3
3
A. 4 .
B. 2 .
C. 6 .
D. a .
Bài
tập
24.
Cho
khối
lăng
trụ
đứng
ABC.A'B'C'
biết
AB  5cm, AC  12cm, BC  13cm và CC '  7cm . Thể tích của khối lăng trụ đã cho
bằng

210 cm3
70 cm3
105 cm3
35 cm3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Bài tập 25. Tính thể tích của khối chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng
2a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng


















8a3
4 2a3
8 2a3
2 2a3
3 .
3 .
3 .
A. 3 .
B.
C.
D.
Bài tập 26. Tính thể tích của khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, các
cạnh bên bằng 2a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
33a3
11a3
8 2a3
11a3
3 .
6 .
A. 12 .
B. 12 .
C.
D.
Bài tập 27. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a.
Cạnh bên SA vng góc với đáy, SB  2a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
4 2a3
a3
2a3
3 .

A.
B. 3 .
C. 3 .
D.
Bài tập 28. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác
�
AC  a, ACB
 600. Đường chéo BC' của mặt bên (BCC'B') tạo với
(ACC'A') một góc bằng 300. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
3
A. a 3 .

3
B. a 6 .

C.
Trang 14

3a3
3 .

D.

6a3
3 .

3a3
3 .
vuông tại A,
mặt phẳng



Bài tập 29. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C', góc giữa hai mặt phẳng
(ABC') và (ABC) bằng 600. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
3 3 3
a
A. 4
.
B.
Bài tập 30. Cho hình lăng trụ
AB' tạo với mặt phẳng (BCC'B')
bằng

3 3
3 3a3
3a3
a
4 .
8 .
C.
D. 8 .
tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, đường thẳng
một góc 300. Thể tích của khối lăng trụ đã cho

6 3
6 3
3a3
a3
a
a

A. 4 .
B. 12 .
C. 4 .
D. 4 .
Bài tập 31. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a
và AB' vng góc với BC'. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
6 3
6 3
a3 6
a3 6
a
a
A. 12 .
B. 4 .
C. 8 .
D. 24 .
Bài tập 32. Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Các điểm E, F lần lượt
là trung điểm của C'B' và C'D'. Mặt phẳng (AEF) cắt khối lập phương đã cho thành
hai phần, gọi V1 là thể tích khối chứa điểm A' và V2 là thể tích khối chứa điểm C'.
V1
V
Khi đó 2 là
25
8
17
A. 47 .
B. 1.
C. 17 .
D. 25 .
Bài tập 33. Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi E , F lần lượt là trung điểm của

các đoạn thẳng CC và BB . Đường thẳng A'E cắt đường thẳng AC tại K , đường
thẳng A'F cắt đường thẳng AB tại H . Tính tỉ số thể tích khối đa diện lồi BFHCEK
và khối chóp A'ABC.
1
1
A. 2 .
B. 1.
C. 3 .
D. 2.
Bài tập 34. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D có M , N, P lần lượt là trung điểm ba
cạnh A'B, BB và DD. Mặt phẳng MNP cắt đường thẳng AA tại I. Biết thể tích
khối tứ diện IANP là V. Thể tích khối hộp đã cho bằng
A. 2V .
B. 4V .
C. 6V .
D. 12V .
Bài tập 35. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại A,
�  SCA
�  900
AB  a, SBA
, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng 600. Thể tích
của khối đã cho bằng
a3
a3
a3
3
A. a .
B. 3 .
C. 2 .
D. 6 .

Bài
tập
36.
Cho
hình
hộp
đứng
ABCD.A'B'C'D'
có
a 3 �
, BAD  600.
2
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A'D', A'B'.
Thể tích của khối đa diện ABDMN bằng
AB  AD  a, AA ' 

3a3
9a3
3 3a3
3a3
8 .
A. 16 .
B.
C. 16 .
D. 8 .
Bài tập 37. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với
AB  6, BC  3, SC  3 và mặt phẳng (SAC) vng góc với đáy (ABC). Biết hai
Trang 15



tan 

3
4 . Thể tích khối

mặt phẳng (SAB) và (SAC) tạo với nhau góc  thỏa mãn
chóp S.ABC bằng
4
8
V 
V 
3.
3.
A. V  8 .
B.
C.
D. V  4 .
Bài tập 38. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết
AB  SB, AC  SC , góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng 600. Thể tích khối
chóp S.ABC bằng
a3 2
a3 3
a3 3
a3 2
V 
V 
V 
24 .
36 .
6 .

36 .
A.
B.
C.
D.
Bài tập 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân (AD // BC), khoảng
BC  a, SA  ABCD , SA  2a.
cách giữa AD và BC bằng a,
Trên cạnh BC lấy điểm M
MC  x 0  x �a
sao cho
. Thể tích khối chóp S.CDM lớn nhất khi độ dài MC bằng
V 









a 2
a
a 3
A. 2 .
B. 2 .
C. a .
D. 2 .
Bài tập 40. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a,

a2 3
điểm A cách đều ba điểm A, B, C và diện tích tam giác ABA' bằng 6 . Thể tích
khối đa diện A'B'C'BC bằng
a3 3
A. 6 .

a3 3
B. 24 .

a3 3
C. 8 .

a3 3
D. 12 .

DẠNG 2: CỰC TRỊ KHỐI ĐA DIỆN
Bài tập 1. Ông A dự định sử dụng hết 6,7m2 kính để làm một bể cá bằng kính
có dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp, chiều dài gấp đơi chiều rộng (các mối ghép
có kích thước khơng đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết
quả làm tròn đến hàng phần trăm).
3
3
3
3
A. 1,23m .
B. 2,48m .
C. 1,57m .
D. 1,11m .
Giải. Chọn C.
Gọi x là chiều rộng, ta có chiều dài là 2x.

6,7  2x2
h
6x
Do diện tích đáy và các mặt bên là 6,7m2 nên có chiều cao là
.
Ta có: h  0 nên

x

6,7
2 .

6,7x  2x3
.
3
Thể tích bể cá là
Xét V(x).
Bài tập 2. Ơng A dự định sử dụng hết 5,5 m2 kính để làm một bể cá có dạng
hình hộp chữ nhật khơng nắp, chiều dài gấp đơi chiều rộng (các mối ghép có kích
thước khơng đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm
tròn đến hàng phần trăm)?
3
3
3
3
A. 1,40m .
B. 1,01m .
C. 1,51m .
D. 1,17m .


 

V x 

Giải. Chọn D.
Trang 16


Bài tập 3. Người ta cần xây dựng một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có thể
tích là 125m3 . Đáy bể bơi là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng.
Tính chiều rộng của đáy bể bơi để khi thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (kết
quả làm tròn đến hai chữ số thập phân)?
A. 3,12m .
B. 3,82m .
C. 3,62m .
D. 3,42m .
Giải. Chọn B.
Bài tập 4. Người ta muốn thiết kế một bể cá bằng kính khơng có nắp với thể
tích 72dm3, chiều cao là 3dm. Một vách ngăn (cùng bằng kính) ở giữa, chia bể cá
thành hai ngăn, với các kích thước a, b (đơn vị dm ) như hình vẽ. Tính a, b để bể
cá tốn ít nguyên liệu nhất (tính cả tấm kính ở giữa), coi bề dày các tấm kính như
nhau và khơng ảnh hưởng đến thể tích của bể.

A. a  24dm;b  24dm .

B. a  6dm;b  4dm 3,82m .

C. a  3 2dm;b  4 2dm .
D. a  4dm;b  6dm .
Giải. Chọn D.

Bài tập 5. Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB = x và các cạnh còn lại đều bằng
2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.
A. x  14 .
Giải. Chọn B.

B. x  3 2 .

C. x  6 .

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và AB.
�
CD  MB �
CD  MN
�
�
�� CD  MAB � �
CD  MA �
CD  AB
�
Ta có:
MAB cân tại M nên MN  AB .





Trang 17

D. x  2 3 .



1
1
AB .CD.d AB,CD .sin AB,CD  x.2 3.MN .sin900
6
6
2
�x �
1
3
 x.2 3. 32  � � 
x. 36  x2 �3 3
6
2
6
��



VABCD 







2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x  36  x � x  3 2.


Bài tập 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB  x, AD  1. Biết rằng
góc giữa đường thẳng A'C' và mặt phẳng (ABB'A') bằng 300. Tìm giá trị lớn nhất
V max
của thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D'.
3 3
4 .
A.
Giải. Chọn D.
V max 

B.

V max 

3
4 .

C.

V max 

1
2.

D.

V max 

3
2.


BC  BB '�
�
�� CB  ABB 'A ' � A 'B
BC  AB
�
Ta có:
là hình chiếu vng góc của A'C trên
�
mặt phẳng (ABB'A')
góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABB'A') là góc
�
A 'B, A 'C  BA 'C
�
�
0
(vì BA 'C nhọn do BA 'C vuông tại B. Vậy BA 'C  30 .









A 'B 
Ta có:

BC

1


� 'C
tan300
tan BA

3;A 'A  A 'B 2  AB 2  3  x2



x  3 x
VABCD .A 'B 'C 'D '  AB.AD.AA '  x 3  x2 �
2
2

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
3
V max 
2.
Vậy

2

.

3

x  3  x2 � x 


2.

3
2 (vì x > 0).

Bài tập 7. Xét tứ diện ABCD có các cạnh AB  BC  CD  DA  1 và AC, BD thay
V
đổi. Giá trị lớn nhất max của thể tích khối tứ diện ABCD bằng
2 3
27 .
A.
Giải. Chọn A.
V max 

B.

V max 

4 3
27 .

Trang 18

C.

V max 

2 3
9 .


D.

V max2 

4 3
9 .


Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD, AC. Đặt:
CM  BD, AM  BD � BD  AMC
Ta có:
.



Ta có:



.

BD  2x, AC  2y, x, y  0



MA  MC  1  x2, MN  1  x2  y2, SAMC 



1

1
MN .AC  y. 1  x2  y2
2
2



1
1
2 2 2
2
VABCD  .DB .SAMC  .2x.y 1  x2  y2 
x y 1  x2  y2 �
3
3
3
3
1
2 3
xy
ۣ VABCD
3.
27 . Dấu đẳng thức xảy ra khi

x

2

 y2  1  x2  y2




27

2 3
Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABCD là 27 .
Bài tập 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích V.
Điểm P là trung điểm của SC, một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần
V1
lượt tại M và N. Gọi V1 là thể tích khối chóp S.AMPN. Giá trị lớn nhất của V thuộc
khoảng nào sau đây?
�1 1 �
�1 1 �
� 1�
�1 �
0; �
�
�; �
�; �
� ;1�
5
3
3
2
5
2
A. � �.
B. � �
.
C. � �

.
D. � �.
Giải. Chọn C.

Trang 19


Gọi O  AC �BD,G  AP �SO , suy ra: G là trọng tâm tam giác SAC.
Gọi (P) là mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N.
�P � SBD  MN
�
�
� MN , AP , SO
�P � SAC  AP
�SBD � SAC  SO
Dễ thấy: �
đồng quy hay M, N, P thẳng hàng.
SM
SN
x
0  x �1
y
0  y �1
SD
SB
Đặt:
và
.

   

   
   



�

V1
V







VS.AMP VS .ANP
1�

�
2�
V
� S.ADC VS.ABP

� 1 �SA SM SP SA SN SP � 1

.
.

.

.
 xy .
�
� 2 �SA SD SC SA SB SC � 4
�
�
�



Từ tỉ lệ:
SSMN
S
1 �S
 � SMG  SNG
�
SSBD
2 �SSDO SSBO
1
� xy  x  y
3
. Ta có:







� SM SN 1 �SM SG SN SG � 1 �SM SN �

�
.

.

.


.
�
� SD SB 2 �SD SO SB SO � 3 �SD SB �
�
� �
�
�



 x  1  y  1 �0 � xy   x  y  1 �0.

V1
2
3
3
x  y  1 �0
xy�
2 . Vậy V lớn nhất bằng 8 .
Từ đó suy ra: 3
hay
Bài tập 9. Khối chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng a và các







cạnh bên đều bằng a 2 . Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là
3

A. 2 6a .
Giải. Chọn D.

7a3
D. 12 .

2 6a3
3 .
C.

3
B. 8a .

Gọi AC �BD  O .
�
SO  AC
�
SA  SB  SC  SD  a 2 � �
� SO  ABCD
SO  BD
�

Ta có:
.
Suy ra: O là tâm đường trịn ngoại tiếp hình bình hành ABCD.
� ABCD là hình chữ nhật.
1 2
AD  a, AB  x, x  0 � OA 
x  a2
2
Giả sử:
.









Xét SOA vuông tại O, ta có:

SO  SA2  OA 2  2a2 

Trang 20

x2  a2
1
� SO 
7a2  x2
4

2
.


Ta có:





2
2
2
1
1
a x  7a  x
7a3
2
2
 SABCD .SO  a.x. 7a  x � .

3
6
6
2
12

SABCD  a.x � VS .ABCD

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi


x

a 14
2 .

7a3
Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho là 12 .
Bài tập 10. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, cạnh bên
SA  y y  0
và vng góc với mặt đáy (ABCD). Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt
2
2
2
AM  x 0  x  a
. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCM, biết x  y  a









3a3
A. 9 .
Giải. Chọn C.

a3 3

B. 3 .

a3 3
C. 8 .

a3 3
D. 5 .

1
1
AM  BC .AB  x  a a
2
2
Ta có:
.
1
1 1
a
V  SA.SABCM  y. ax  a2  xy  ay
3
3 2
6
Vậy thể tích khối chóp S.ABCM là
2
2
a2 2
36
V2 
y x  a � 2 V 2  a2  x2 x  a
36

a
.



SABCM 











Xét hàm số





  





f x  a2  x2 x  a










2

trên khoảng

 0;a .

PHẦN II. MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU
BÀI 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRỊN XOAY
I. Mặt nón trịn xoay
Nội dung

Hình vẽ

Trang 21




Đường thẳng d ,  cắt nhau tại O và tạo thành
0
0

mp P
P
góc  với 0    90 ,
chứa d , D.
quay

quanh trục  với góc
khơng đổi � mặt nón trịn
xoay đỉnh O.
  gọi là trục.
 d được gọi là đường sinh.
 Góc 2 gọi là góc ở đỉnh.

 

 

II. Khối nón
Nội dung
Là phần khơng gian được giới hạn bởi một hình
nón trịn xoay kể cả hình nón đó. Những điểm
khơng thuộc khối nón gọi là những điểm ngồi của
khối nón.
Những điểm thuộc khối nón nhưng khơng thuộc
hình nón tương ứng gọi là những điểm trong của
khối nón. Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình
nón cũng là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón
tương ứng.

Hình vẽ


Cho hình nón có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r .
 Diện tích xung quanh: của hình nón:
 Diện tích đáy (hình trịn):

Sđ�y   r 2 .

 Diện tích tồn phần: của hình nón:
V 
 Thể tích khối nón:

Sxq   rl .

1 2
r h.
3

Trang 22

Stp   rl   r 2 .


III. Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng
Điều kiện

Kết quả

Cắt mặt nón trịn xoay bởi mp (Q) đi qua đỉnh của mặt nón.
 Thiết diện là tam giác cân.
 mp(Q) cắt mặt nón theo 2 đường sinh.

(Q ) là mặt phẳng tiếp diện
 mp(Q) tiếp xúc với mặt nón theo một đường 
của hình nón.
sinh.
Cắt mặt nón trịn xoay bởi mp (Q) khơng đi qua đỉnh của mặt nón.
 Giao tuyến là 1 đường
 mp(Q) vng góc với trục hình nón.
parabol.
 mp(Q) song song với 2 đường sinh hình nón.  Giao tuyến là 2 nhánh của 1
hypebol.
 mp(Q) song song với 1 đường sinh hình nón.
 Giao tuyến là một đường
trịn.
DẠNG 1: DIỆN TÍCH XUNG QUANH, DIỆN TÍCH TỒN PHẦN,
CHIỀU CAO, BÁN KÍNH ĐÁY, THIẾT DIỆN
Bài tập 1. Gọi l, h, r lần lượt là đồ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt
đáy của hình nón. Diện tích xung quanh Sxq của hình nón là
1
Sxq   r 2h
S   rl
S   rh
S  2 rl
3
A.
.
B. xq
.
C. xq
.
D. xq

.
Bài tập 2. Cho hình nón có bán kính đáy bằng a, đường cao là 2a. Diện tích
xung quanh của hình nón là
2
A. 2 5 a .

B.

5 a2 .

2
C. 2a .

2
D. 5a .

Bài tập 3. Cho hình nón có bán kính đáy r  3 , độ dài đường sinh là l  4.
Tính diện tích xung quanh của hình nón là

Sxq  8 3

Sxq  12

S  39
.
D. xq
.
2
Bài tập 4. Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3 a và bán kính đáy
bằng a . Tính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho

A.

.

B.

.

C.

Sxq  4 3

5
a
2 .
A. l  3a .
B. l  2 2a .
C.
D.
Bài tập 5. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB  a và
l

3
a
2 .

l

AC  a 3 . Tính độ dài đường sinh l của hình nón nhận được khi quay tam giác
ABC xung quanh trục AB.

A. l  a 3 .
B. l  2a .
C. l  a .
D. l  a 2 .
Bài tập 6. Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có
cạnh góc vng bằng a. Tính diện tích xung quanh của hình nón.
2 a2 2
 a2 2
 a2 2
2
3 .
4 .
2 .
A.
B.
C.  a 2 .
D.
Bài tập 7. Cho khối nón (N) có thể tích bằng 4 và chiều cao là 3. Tính bán
kính đáy của khối nón (N).
A. 2.

2 3
B. 3 .

C. 1.
Trang 23

4
D. 3 .



Bài tập 8. Cho một hình nón đỉnh S có chiều cao h = a và bán kính đáy r = 2a.
Mặt phẳng (P) đi qua S cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB  2 3a . Tính
khoảng cách d từ tâm của đường trịn đáy đến (P).
3a
5a
2a
d
d
2 .
5 .
2 .
A.
B.
C.
D. d  a .
Bài tập 9. Cho hình nón đỉnh S có chiều cao SO, A và B là hai điểm thuộc
d

đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến (SAB) bằng
�  300, SAB
�  600
SAO
. Độ dài đường sinh của hình nón theo a bằng

a 3
3

và


A. a 2 .
B. a 3 .
C. 2a 3 .
D. a 5 .
Bài tập 10. Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và góc ở đỉnh bằng 600. Tính
diện tích xung quanh của hình nón đó
2 3 a2
4 3 a2
S

Sxq  4 a
Sxq  2 a2.
xq
3
3
A.
.
B.
. C.
. D.
.
Bài tập 11. Cho hình nón có chiều cao h = 20, bán kính đáy bằng r = 25. Một
thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt
phẳng chứa thiết diện là 12. Tính diện tích của thiết diện đó.
A. S  500.
B. S  400.
C. S  300.
D. S  406.
Bài tập 12. Cắt hình nón (N) đỉnh S cho trước bởi mặt phẳng qua trục của nó,
Sxq 


2

ta được một giác vng cân có cạnh huyền bằng 2a 2 . Biết BC là một dây cung
đường tròn của đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy của
hình nón một góc 600. Tính diện tích của tam giác SBC
4a2 2
4a2 2
2a2 2
2a2 2
3 .
9 .
3 .
9 .
A.
B.
C.
D.
Bài tập 13. Cho hình nón trịn xoay có chiều cao bằng 4 và bán kính bằng 3.
Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam
giác có độ dài cạnh đáy bằng 2. Diện tích của thiết diện bằng
A. 6 .
B. 19 .
C. 2 6 .
D. 2 3 .
Bài tập 14. Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được một
thiết diện là một tam giác vuông cân cạnh bên a 2 . Tính diện tích tồn phần của
hình nón.
2
A. 4a  (đvdt).


a2

2
B. 4 2a  (đvdt).





21
2
C.
(đvdt).
D. 2 2a  (đvdt).
Bài tập 15. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính diện tích tồn
phần của vật trịn xoay thu được khi quay tam giác AA'C quanh trục AA'.







3  2 a2

2






2  1 a2

2







6  1 a2





6  2 a2

A.
.
B.
. C.
. D.
.
Bài tập 16. Cho hình nón có chiều cai và bán kính đáy đều bằng 1. Mặt phẳng
(P) đi qua đỉnh của hình nón và cắt đáy theo dây cung có độ dài bằng 1. Tính
khoảng cách từ tâm của đáy đến (P) bằng
7

A. 7 .

2
B. 2 .

3
C. 3 .
Trang 24

D.

21
7 .


Bài tập 17. Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường trịn (O;5). Một mặt phẳng đi
qua đỉnh của hình nón cắt đường trịn đáy tại hai điểm A và B sao cho SA = AB =
8. Tính khoảng cách từ O đến (SAB).
A. 2 2 .

3 3
B. 4 .

3 2
C. 7 .

D.

13
2 .


DẠNG 2: THỂ TÍCH CỦA KHỐI NĨN
Bài tập 1. Thể tích của khối nón có chiều cao h và có bán kính đáy r là
1
4
V   r 2h
V   2rh
2
2
3
3
A. V  2 r h .
B.
.
C. V   r h .
D.
.
Bài tập 2. Cho khối nón có chiều cao h = 4 và có bán kính đáy r  3 . Tính thể
tích V của khối nón đã cho.
A. V  12 .

V 

16 3
3 .

C. V  16 3 .
D.
Bài tập 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB  c, AC  b . Quay tam giác ABC
xung quanh đường thẳng chứa cạnh AB ta được một hình nón có thể tích bằng

1
1
1
V   bc2
V  bc2
V  b2c
3
3 .
3 .
A.
.
B.
C.
D.
B. V  4 .

1 2
b c
3
.
Bài tập 4. Cho khối nón (N) có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh
bằng 15 . Tính thể tích V của khối nón (N).
A. V  12 .
B. V  20 .
C. V  36 .
D. V  60 .
Bài tập 5. Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 25 và bán kính đường trịn
đáy bằng 15. Tính thể tích của khối nón đó.
A. V  1500 .
B. V  4500 .

C. V  375 .
D. V  1875 .
�
0
Bài tập 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB  a, ACB  30 . Tính thể tích V của
khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC.

V 

3 a3
3 a3
V

3
3
9 .
3 .
A. V   a .
B. V  3 a .
C.
D.
0
Bài tập 7. Tính thể tích V của hình nón có góc ở đỉnh bằng 60 và diện tích
2
xung quanh bằng 6 a .
V 

3 a3 2
3 a3 2
V


3
3
4
4
A.
.
B. V  3 a .
C.
.
D. V   a .
Bài tập 8. Tính thể tích V của hình nón có góc ở đỉnh bằng 600 và bán kính đáy
bằng 2.
V 

A.

V 

8 3
9 .

B. V  8 3 .

C.

V 

8 3
3 .


D.

V 

8
3 .

Bài tập 9. Cho hình chữ nhật ABCD có AB  2, AD  2 3 và nằm trong mặt
phẳng (P). Quay (P) một vòng quanh đường thẳng BD. Khối nón trong xoay được
tạo thành có thể tích bằng

Trang 25