TÀI LIỆU LUYỆN THI
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN

HÌNH HỌC 9
Tài liệu này được soạn dựa theo chương trình mới của SGK,
bám sát cấu trúc đề thi và chỉ dành cho HS ôn thi vào lớp 10 công lập

SƯU TẦM VÀ BIÊN SOẠN: TRẦN TRUNG CHÍNH

Trang 1


CÁC KÍ HIỆU TRONG TÀI LIỆU
(O)
(O; R)
ABC
SABC
a, b, c
ha, hb, hc
ma, mb, mc
R, r
đpcm
2p

: Đường tròn tâm O
: Đường tròn tâm O, bán kính R
: Tam giác ABC
: Diện tích ABC
: Độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C của ABC

: Độ dài các đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C của ABC
: Độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C của ABC
: Bán kính các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác
: Điều phải chứng minh
abc
2
: Chu vi của tam giác (p =
là nửa chu vi)

Trang 2


CHUYÊN ĐỀ 1: KIẾN THỨC VỀ TAM GIÁC - TỨ GIÁC
1. Tam giác cân:
Các phương pháp chứng minh tam giác cân:
- Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân.
- Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.
- Tam giác có một đường cao vừa là đường trung tuyến, đường trung
trực, đường phân giác của một góc và ngược lại thì tam giác đó là
tam giác cân.
2. Tam giác đều:
Các phương pháp chứng minh tam giác đều:
- Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều.
- Tam giác có ba góc bằng nhau và bằng 600 là tam giác đều.
- Tam giác cân có số đo góc ở đỉnh cân bằng 600 là tam giác đều.
- Tam giác có các đường cao vừa là đường trung tuyến, đường phân
giác, đường trung trực và ngược lại là tam giác đều.
3. Tam giác vuông:
Các phương pháp chứng minh tam giác vng:
- Tam giác có một góc vng là tam giác vng.

- Tam giác có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng vng góc là tam giác vng.
- Trong một tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền thì tam
giác đó là tam giác vng.
- Nếu một tam giác thỏa mãn bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh cịn lại thì
tam giác đó là tam giác vng.
- Tam giác nội tiếp đường trịn có một cạnh là đường kính thì tam giác đó là tam giác vuông.
4. Tam giác vuông cân:
Các phương pháp chứng minh tam giác vng cân:
- Tam giác vng có hai cạnh góc vuông bằng nhau là tam giác vuông cân.
- Tam giác vng có một góc nhọn bằng 450 là tam giác vng cân.
- Tam giác cân có số đo một góc ở đáy bằng 450 là tam giác vng cân.
5. Hình thang, hình thang cân, hình thang vng:
Diện tích hình thang:
1
S   AB  CD  .AH
2
Tính chất:
Định lý 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
Định lý 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
Định lý 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Đường trung bình của hình thang: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm
hai cạnh bên của hình thang.
ABCD

Trang 3


Định lý 1:
Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua
trung điểm cạnh bên thứ hai.

Định lý 2:
Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
1
MN  AB  CD 
2
Phương pháp chứng minh hình thang:
Phương pháp 1: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
Phương pháp chứng minh hình thang vng:
Phương pháp 1: Hình thang vng là hình thang có một góc vng.
Phương pháp chứng minh hình thang cân:
Phương pháp 1: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Phương pháp 2: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Phương pháp 3: Hình thang cân là hình thang có hai đường chéo bằng nhau.
6. Hình bình hành:
Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

Diện tích hình bình hành: SABCD  AH.CD  AH.AB
Các phương pháp chứng minh hình bình hành:
- Tứ giác có các cạnh đối song song.
- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau.
- Tứ giác có các cạnh đối song song và bằng nhau.
- Tứ giác có các góc đối bằng nhau.
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
7. Hình chữ nhật:
Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vng.

Trang 4


Chu vi hình chữ nhật:

C

Diện tích hình chữ nhật:

ABCD

 2  AB  BC   2  AD  DC 

SABCD  AB.CD

Các phương pháp chứng minh hình chữ nhật:
- Tứ giác có ba góc vng.
- Hình thang cân có một góc vng.
- Hình bình hành có một góc vng.
- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.
8. Hình thoi:

Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
Tính chất:
Trong hình thoi: Hai đường chéo vng góc với nhau.
Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.
Chu vi hình thoi: C ABCD  4AB  4BC  4CD  4DA
1
AC.BD  BO.AC  OD.AC
2
Diện tích hình thoi:
Các phương pháp chứng minh hình thoi:
- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.
- Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nhau.

- Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc.
9. Hình vng:
S

ABCD



Định nghĩa: Hình vng là tứ giác có bốn góc vng và bốn cạnh bằng nhau.
Tính chất:
Hình vng có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
Chu vi hình vng: C ABCD  4AB  4BC  4CD  4AD
2
2
2
2
Diện tích hình vuông: SABCD  AB  BC  CD  AD
Phương pháp chứng minh hình vng:
- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.
- Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với nhau.
- Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc.

Trang 5


- Hình thoi có một góc vng.
- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.

Trang 6



CHUN ĐỀ 2: ĐƯỜNG TRỊN
1. Góc nội tiếp:

Trong một đường trịn:
a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau (Hình 1).
�  NMP
� � BC
�  NP
�
BAC
b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau (Hình 2).
� , NMP
�
�
�
�
BAC
cùng chắn BC � BAC = NMP
c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90 0) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một
cung (Hình 3).
� = 1 BOC
�
BAC
2
d) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn là góc vng (Hình 4):
� = 90 0
BAC
2. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung:


Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng một nửa số đo của cung bị chắn.

� 1
BAx
�
2 sđ AB

�
�
AB là cung bị chắn bởi BAx
.
Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung
thì bằng nhau.
�  BCA
� 1
BAx
�
2 sđ AB

Trang 7


3. Góc có đỉnh ở bên trong và có đỉnh ở bên ngồi đường trịn





1 �
�  CMD

�
�
AMB
 AB
 CD
2
a) Góc có đỉnh ở bên trong đường trịn:
(Hình 1)





�  CAD
�  1 CD
�  AB
�
BAE
2
b) Góc có đỉnh ở bên ngồi đường trịn:
(Hình 2)
4. Độ dài cung trịn và độ dài đường trịn

- Tính độ dài đường trịn: C = 2R = d, (R: Bán kính, d: Đường kính, lấy  = 3,14)
Rn
l
180
- Tính độ dài cung trịn:
5. Diện tích hình trịn và diện tích hình quạt trịn:


- Diện tích hình trịn: S = R2

R 2 n
lR
S
S
360 hay
2
- Diện tích hình quạt trịn:
0
(R: Bán kính, n : Số đo cung tròn, l: Độ dài cung tròn,  = 3,14)
S
 Squ�t  SOAB
- Diện tích hình viên phân: vi�nph�n
Trang 8


Bài tập:
Bài tập 1: Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn dưới đây với tâm lần lượt là B, C, D, A theo đúng kích
thước đã cho (cạnh hình vuông ABCD dài 1 cm). Nêu cách vẽ đường xoắn AEFGH. Tính độ dài
đường xoắn đó.

Bài tập 2: Bạn Hương hằng ngày đi học bằng xe đạp từ nhà đến trường cách nhà 2041m. Biết rằng
nếu bạn đạp bàn đạp để dĩa quay 2 vịng thì líp quay 5 vịng. (Bánh xe cũng quay 5 vịng). (Bánh xe
có đường kính 650mm). Hỏi đi từ nhà đến trường bạn Hương phải đạp để dĩa quay bao nhiêu vòng
(lấy 3,14 )?

Bài tập 3: Một vườn cỏ hình chữ nhật ABCD có AB = 40 m, AD = 30 m. Người ta muốn buộc hai
con dê ở hai góc vườn A, B. Có hai cách buộc:
- Mỗi dây thừng dài 20 m.

- Một dây thừng dài 30 m và dây thừng kia dài 10 m.
Hỏi với cách buộc nào thì diện tích cỏ mà cả hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn ?

Trang 9


Bài tập 4:
a) Vẽ hình (tạo bởi các cung trịn) với AH = 10 cm và AB = NH = 2 cm. Nêu cách vẽ.
b) Tính diện tích hình HOABINH (miền nền đen).

Bài tập 5: Hình vành khăn là phần hình trịn nằm giữa hai đường trịn đồng tâm.
a) Tính diện tích S của hình vành khăn theo R1 và R2 (giả sử R1 > R2 ).
b) Tính diện tích hình vành khăn khi R1 = 10,5 cm, R2 = 7,8 cm.

Bài tập 6: Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung và dây căng cung ấy. Hãy tính

0
�
diện tích hình viên phân AmB (miền nền đen), biết góc ở tâm AOB  60 và bán kính đường trịn là
5,1 cm.

Trang 10


Bài tập 7:
a) Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn xuất phát từ đỉnh C của tam giác đều ABC cạnh 1 cm. Nêu cách
vẽ hình.
b) Tính diện tích miền nền đen.

Trang 11



CHUN ĐỀ 3: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
Kiến thức cơ bản:
Hình

Diện tích
xung quanh

Hình vẽ
A

D

D

A

E

Sxq = 2Rh
R: Bán kính đáy AD,BC
h: Chiều cao hình trụ CD

Hình
trụ
B

V  R 2 h
R: Bán kính đáy AD, BC

h: Chiều cao hình trụ CD

F

C

C

Thể tích

B

Sxq = Rl
R: Bán kính đáy OC
l: Đường sinh AC

Hình
nón

Hình
cầu

O

R

Sxq = 4R2
R: Bán kính hình cầu

1

V =πR h 2
3
R: Bán kính đáy OC
l: Đường sinh AC
h: Chiều cao hình nón AO

4
V =πR
3

3

R: Bán kính hình cầu

Bài tập:
Bài tập 1: Một hình cầu nội tiếp trong một hình trụ. Cho biết diện tích mặt cầu là 60cm2. Hãy tính:
a) Diện tích tồn phần của hình trụ.
b) Thể tích hình trụ.

Trang 12


�

0

Bài tập 2: Cho ABC vng tại A có BC = 2a và B = 30 . Quay tam giác vng này một vịng
quanh cạnh AB ta được một hình nón đỉnh B. Chứng minh rằng diện tích tồn phần của hình nón ấy
bằng diện tích mặt cầu có đường kính AB.


0
Bài tập 3: Người ta chia hình trịn (O; 12cm) thành hai hình quạt có các số đo cung là 120 và

2400 . Từ hai hình quạt này người ta uốn lại thành hai hình nón.
a) Tính nửa góc ở đỉnh của mỗi hình nón.
b) Tính thể tích của mỗi hình nón.
c) Tính tỉ số diện tích tồn phần của hai hình nón.

Bài tập 4: Cho hình nón có bán kính đáy bằng r(cm), chiều cao 3r(cm) và một hình cầu bán kính
r(cm).
a) Tính diện tích mặt cầu. Biết rằng diện tích xung quanh hình nón là 79,64 cm2.
b) Tính thể tích hình nón, biết rằng thể tích hình cầu là 6,28cm3.
Bài tập 5: Cho hình chữ nhật ABCD có (AB > BC). Biết rằng diện tích hình chữ nhật là 15cm 2 và
chu vi là 16cm. Cho hình chữ nhật quay quang cạnh CD một vòng ta được hình trụ. Tính diện tích
xung quanh và thể tích hình trụ.

Trang 13


A

D

D

E
A

B


F

C

C

B
Bài tập 6: Hình dưới là ba hình khối đa diện, có chiều cao h bằng nhau là 20cm. Hình A là hình hộp,
đáy là hình vng cạnh 18cm. Hình B là lăng trụ đứng, đáy là hình tam giác vng mà hai cạnh góc
vng bằng nhau và có độ dài 15cm. Hình C là hình chóp đều, đáy là hình vng cạnh 15cm. Hãy
tính tổng thể tích ba hình khối này (làm tròn 1 chữ số thập phân).

Bài tập 7: Để đo đường kính của một ống trụ trịn, người ta sử dụng một thước kẹp đo đường kính
ngồi, đường kính trong, chiều dài của ống rồi suy ra thể tích ống. Bạn Tuấn ước lượng thể tích ống
này chỉ bằng: Giấy, mực, thước thẳng, com pa và kiến thức tốn" bằng cách như sau: Bơi mực lên
miệng ống trịn in trên tờ giấy trắng (Hình), lấy 3 điểm A, B, C trên vịng ngồi, vẽ các trung trực a,
b của AB, AC. Xác định tâm O đường tròn, suy ra hai bán kính R, r của hai đường tròn, dùng thước
thẳng đo chiều dài h của khối. Hãy tính thể tích khối trịn trên, biết rằng R = 60mm, r = 40mm và h =
100mm (Lấy 3,14)

Trang 14


Bài tập 8: Để làm một cái mũ chú hề như hình 1, mũ là hình nón có đường kính đáy là 160mm,
chiều cao là 400mm. Bạn An cần một tờ giấy thủ công màu và cắt ra thành một hình quạt trịn OAB
(hình 2). (Độ dài làm trịn đến một chữ số thập phân).

Hãy xác định bán kính hình quạt và góc AOB (làm trịn đến độ, lấy   3,14)
Bài tập 9: Có hai lọ thủy tinh hình trụ, lọ thứ nhất phía bên trong có đường kính đáy là 30cm, chiều
cao 20cm, đựng đầy nước. Lọ thứ hai bên trong có đường kính đáy là 40cm, chiều cao 12cm. Hỏi

nếu đổ hết nước từ trong lọ thứ nhất sang lọ thứ hai nước có bị tràn ra ngồi khơng? Tại sao? (Lấy 
 3,14)

Trang 15


CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH SONG SONG
Các phương pháp chứng minh
Phương pháp 1: Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng cùng vng góc với một
đường thẳng thứ ba.
Phương pháp 2: Dựng mối quan hệ giữa các góc: So le bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng
phía bằng nhau, …
Phương pháp 3: Sử dụng định lý đảo của định lý Talét.
Định lý: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những
đoạn thẳng tỷ lệ thì hai đường thẳng đó song song với cạnh cịn lại của tam giác.
Phương pháp 4: Áp dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt, đường trung bình của tam giác.
Phương pháp 5: Áp dụng tính chất hai dây chắn giữa hai cung bằng băng nhau của đường tròn.
Bài tập

�
Bài tập 1: Cho ABC, trung tuyến AM, đường phân giác của góc AMB cắt cạnh AB tại D. Đường
�
phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng: ED // BC.
Giải
�
Trong  ABM có MD là phân giác của AMB nên, ta có:
AD MA
DB = MB
(1)
(định lý)

�
Trong  AMC có ME là phân giác của AMC nên, ta có:
AE MA
EC = MC
(2)
(định lý)
Vì MB = MC (giả thiết).
Nên từ (1) và (2).
AD AE
Suy ra: DB = EC
Trong  ABC có DE định ra 2 cạnh AB, AC những đoạn thẳng tỉ lệ nên DE // BC
Bài tập 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi K, L lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và tam giác
BCD. Chứng minh rằng KL // AD.
Giải
Gọi M là trung điểm của BC.
Vì K là trọng tâm của  ABC
1
nên MK= 3 MA (tính chất trọng tâm của tam giác)
MK 1
hay MA = 3
(1)

Và L là trọng tâm của BCD
1
ML 1
nên ML = 3 MD hay MD = 3
(2)
MK ML
=
Từ (1) và (2) suy ra MA MD nên KL //AD (định lý Talét đảo)

Do trong  AMD có KL định ra trên 2 cạnh MA, MD những đoạn thẳng tỷ lệ nên
KL // AD (định lý Talét đảo).
Trang 16


Bài tập 3: Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM
và BD và K là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng: IK //AB.
Giải
Ta có:
IM MD
=
IA AB (do AB // MD hay  AIB ∽  MID)
và (Do AB // MC)
Mà MD = MC (giả thiết)
IM KM
=
Nên: IA KB .
Suy ra IK // AB (Điều phải chứng minh)
Vì trong  AMB có IK định ra trên 2 cạnh MA, MB những đoạn thẳng tỷ lệ nên
IK // AB (định lý Talét đảo).
Bài tập 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Kẻ AK // BC, AKBD = E; Kẻ BI //AD;
BIAC = F (K, I �CD). Chứng minhn rằng: EF // AB.
Bài tập 5: Cho tứ giác ABCD. Qua B, vẽ Bx // CD cắt AC tại E. Qua C vẽ Cy // BA cắt BD tại F.
Chứng minh rằng: EF // AD.

Trang 17


CHUN ĐỀ 5: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
Phương pháp chứng minh

Phương pháp 1: Chứng minh chúng song song với hai đường vng góc khác.
Phương pháp 2: Đường thẳng vng góc với một trong hai đường thẳng song song thì vng góc
với đường thẳng cịn lại.
Phương pháp 3: Dựng tính chất của ba đường cao và cạnh đối diện trong một tam giác.
Phương pháp 4: Đường kính đi qua trung điểm của một dây.
Phương pháp 5: Phân giác của hai góc kề bù nhau.
bSử dụng góc nối tiếp nửa đường trịn.
Phương pháp 7: Sử dụng tính chất đường trung trực.
Phương pháp 8: Tính chất tiếp tuyến và đường kính của đường tròn.
Bài tập
Bài tập 1: Cho ABC, các đường cao BD và CE. Gọi M, N là chân các đường vng góc kẻ từ B, C
đến DE. Gọi I là trung điểm của DE, K là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: KI  ED?
Chứng minh
1
� DK = BC
2
Xét BDC có: DK là đường trung tuyến
(1)
1
� EK = BC
2
Xét BEC có: EK là đường trung tuyến
(2)
Từ (1) và (2), suy ra: DK = EK.
Suy ra: EKD cân tại K.
Mà I là trung điểm của DE.
Do đó: KI là đường cao của EKD  KI  ED.
Bài tập 2: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB. S là một điểm nằm bên ngồi đường trịn. SA và
SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH  AB.
Chứng minh

0
�
Ta có: AMB  90 (t/c góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
�  900
ANB
(t/c góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
Xét SAB có AN, BM là hai đường cao.
Mà H là giao điểm của AN và BM  H là trực tâm của SAB.
Suy ra: SH thuộc đường cao thứ ba của SAB.
Vậy SH  AB.
Bài tập 3: Cho ABC đều. Gọi H là trung điểm của BC và E là hình chiếu của H trên AC. Gọi O là
trung điểm của đoạn thẳng HE. Chứng minh: AO  BE.
�  900
A
Bài tập 4: Cho tam giác vuông cân ABC
. Gọi H là trung điểm của BC và E là hình chiếu
của H trên AC. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng HE. Chứng minh: AO  BE.
Bài tập 5: Cho ABC cân tại A, đường cao AH. Hạ HI  AC, M là trung điểm của HI. Chứng minh
BI  AM.





Trang 18


CHUYÊN ĐỀ 6: CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU
Phương pháp chứng minh
Phương pháp 1: Chứng minh hai đoạn thẳng có cùng độ dài (theo cùng đơn vị đo chiều dài).

Phương pháp 2: Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba thì bằng nhau.
Phương pháp 3: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau là các cạnh của các tam giác, tứ giác đặc
biệt (hình đặc biệt), tam giác bằng nhau.
Phương pháp 4: Chứng minh tỉ số độ dài của các cặp cạnh cần chứng minh luôn đạt giá trị bằng 1.
Phương pháp 5: Sử dụng định nghĩa, tính chất của:
Trung điểm, trung trực của đoạn thẳng.
Đường trung tuyến, đường trung bình, đường trung trực, ... trong tam giác.
Đường chéo của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng, ...
2 điểm, 2 đoạn thẳng đối xứng qua 1 điểm, 1 trục.
Phương pháp 6: Chứng minh hai tam giác cùng diện tích với các đường cao, cạnh đáy tương ứng.
Phương pháp 7: Sử dụng tính chất của dây cung và tiếp tuyến với đường tròn.
Bài tập
Bài tập 1: Cho đường trong (O) đường kính, dây CD khơng cắt đường kính AB. Gọi H và K theo
thứ tự là chân các đường vng góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng: CH = DK.
Chứng minh
Theo giả thiết, ta có: AH  CD và BK  CD nên AH // BK.
Suy ra: AHKB là hình thang.
Kẻ OM  CD tại M  MC = MD (t/c đường kính và dây
cung)
(1)
Xét hình thang AHKB có OA = OB = R; OM // AH // BK
(cùng vng góc với CD)
OM là đường trung bình của hình thang
 MH = MK
(2)
Từ (1) và (2), ta có: CH = DK.
Bài tập 2: Cho hình thang ABCD (AB// CD) có ACD = BDC. Chứng minh rằng: AD = BC.
Chứng minh
Gọi E là giao điểm của AC vaø BD
� C

�
�
�
D
1 (do ACD  BCD )
Xét ECD có: 1
 ECD là tam giác cân.
Suy ra ED = EC
(1)
�
�
�
�
B  D1 và A1  C1 (so le trong)
Do 1
� C
�
D
1
Mà 1
 EAB là tam giác cân.
Suy ra: EA = EB
(2)
Từ (1) và (2), suy ra: AC = BD.
Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên là hình
thang cân.
Suy ra: AD = BC.

Trang 19



Bài tập 3: cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh
rằng: BE = DF.
Chứng minh
1
Ta có: DE = 2 AD; BF = BC
Mà AD = BC (hai cạnh đối của hình bình hành ABCD)
 DE = BF.
Mặt khác: DE // BF.
 EBFD là hình bình hành.
Vậy BE = DF.
Bài tập 4: Cho hình vng ABCD. Kẻ AC cắt BD tại H. Lấy hai điểm E, F lần lượt thuộc AD, BC
sao cho AE = CF, AF cắt HB tại I. Gọi M là trung điểm của IB. Chứng minh: AE= IM.
Bài tập 5: Cho tam giác ABC có AP là phân giác. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa đỉnh A, vẽ tia Px
sao cho góc CPx bằng góc BAC. Tia này cắt AC ở E. Chứng minh rằng: PB = PE.
Bài tập 6: Dựng phía ngồi tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Vẽ hình bình hành
EADF. Chứng minh BCF là một tam giác đều.

Trang 20


CHUYÊN ĐỀ 7: CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU
Phương pháp chứng minh
Phương pháp 1: Hai góc có cùng một số đo thì bằng nhau.
Phương pháp 2: Hai góc của hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng, hai góc của
tam giác cân, đều; hai góc của cùng một đáy trong hình thang cân, hai góc đối của hình bình hành,
… thì bằng nhau.
Phương pháp 3: Hai góc cùng bằng một góc thứ 3.
Phương pháp 4: Tia phân giác chia một góc thành hai phần bằng nhau.
Phương pháp 5: Các góc so le trong, đồng vị, đối đỉnh, ...

Phương pháp 6: Các góc nội tiếp cùng chắn một cung trong một đường trịn thì bằng nhau.
Phương pháp 7: Tứ giác nội tiếp có góc ngồi bằng góc đối trong.
Phương pháp 8: Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến, đối xứng, quay.
Bài tập
Bài tập 1: Cho hình vng ABCD cố định. E là điểm di động trên cạnh CD (khác C và D). Tia AE
cắt đường thẳng BC tại F. Tia Ax vng góc với AE tại A cắt DC tại K. BD cắt KF tại I.
�
�
a) Chứng minh: CAF  CKF
�
�
b) Chứng minh: IDF  IEF
c) Chứng minh: KAF vng cân.
Chứng minh
0
0
�
�
a) Ta có: KAF  90 (AK  AF) và KCF  90 (ABCD
là hình vng)
�  KCF
�   90 0 
KAF
Suy ra:
Hai đỉnh A, C cùng nhìn đoạn KF một góc bằng 900.
 Tứ giác ACFK nội tiếp.
�
�
 CAF  CKF
b) Tứ giác ACKF nội tiếp nên ta có:

0 �
0
�
�  ACK
�
AFK
mà ACK  45 , BDC  45 (ABCD là hình vng)
�  BDC
�   450 
AFK

Suy ra:
Do đó: Tứ giác IDEF nội tiếp (Vì góc ngồi bằng góc trong của đỉnh đối diện)
�
�
 IDF  IEF
0
0
�
�
c) AKF vuông tại A (giả thiết), ta có: AFK  45 � AKF  45  KAF vuông cân tại A.
Bài tập 2: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường trịn (O). M là điểm thuộc cung nhỏ AC. Vẽ
MH  BC tại H, MI  AC tại I.
�
�
Chứng minh: IHM  ICM .
Chứng minh
Xét tứ giác MIHC, có:
�  900
MIC

(MI  AC)
0
�
MHC  90 (MH  BC)
Hai đỉnh I, H cùng nhìn đoạn MC một góc bằng 900.
 Tứ giác MIHC nội tiếp.
Trang 21


�
�
�
 IHM  ICM (cùng chắn MI ).
Bài tập 3: Cho ABC, trên cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE. Gọi M
và N lần lượt là trung điểm của BC và DE. Đường thẳng qua M và N lần lượt cắt AB và AC tại P và
�
�
Q. Chứng minh rằng: MPB  MQC .

�
�
Bài tập 4: Cho hình bình hành ABCD, P ở trong hình bình hành sao cho PAB = PCB . Chứng minh
�
�
rằng: PBA = PDA .
Bài tập 5: Cho hình bình hành ABCD, trên BC và CD lấy 2 điểm tương ứng là M và N sao cho
�
�
BN=DM. Gọi I là giao điểm của BN và DM. Chứng minh: AID = AIB .


Trang 22


CHUYÊN ĐỀ 8: CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU
Các trường hợp bằng nhau của 2 tam giác
Trường hợp1: Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau (cạnh-cạnh-cạnh).

AB  A' B' �
�
AC  A' C' �� ABC  A' B' C'
BC  B' C' �
�
(cạnh-cạnh-cạnh)
Trường hợp 2: Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau và cặp góc xen giữa các cạnh
đó bằng nhau thì bằng nhau (cạnh-góc-cạnh).

AC  A' C' �
�
�  C'
�
C
�� ABC  A' B' C'
BC  B' C' �
�
(cạnh-góc-cạnh)
Trường hợp 3: Hai tam giác có một cặp cạnh bằng nhau và hai cặp góc kề với cặp cạnh ấy bằng
nhau thì bằng nhau (góc-cạnh-góc).

�  B'
�

�
B
�
BC  B' C' �� ABC  A' B' C'
�
�  C'
�
C
�
(góc-cạnh-góc)
Lưu ý: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông:
Trường hợp 1: Nếu hai cạnh góc vng của tam giác vng này bằng hai cạnh góc vng của tam
giác vng kia thì hai tam giác vng đó bằng nhau.
Trường hợp 2: Nếu một cạnh góc vng và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng
một cạnh góc vng và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vng kia thì hai tam giác đó bằng
nhau.

Trang 23


Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vng này bằng cạnh huyền và góc nhọn
của tam giác vng kia thì hai tam giác vng đó bằng nhau.
Trường hợp 4: Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và
cạnh góc vng của tam giác vng kia thì hai tam giác vng đó bằng nhau.
Bài tập

0
�
Bài tập 1: Cho ABC có A  90 . Trên tia đối của AB, lấy điểm
D sao cho AB = AD. Chứng minh: ABC = ADC.

Chứng minh
Xét ABC và ADC có:
AB = AC (giả thiết)
�  CAB
�  900
CAD
AC cạnh chung.
 ABC = ADC (cạnh - góc - cạnh)

Bài tập 2: Cho ABC vng tại A. Vẽ BD là tia phân giác của góc B. Vẽ AE  BC tại E. Chứng
minh: ABD = EBD.
Chứng minh
Xét ABD = EBD, ta có:
�  BED
�  900
BAD
(giả thiết)
BD cạnh chung.
�B
�
B
1
2 (giả thiết)
 ABD = EBD (cạnh huyền – góc nhọn).
Bài tập 3: Cho ABC có AB =AC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh: ABM = ACM.
Bài tập 4: Cho ABC. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, qua C kẻ đường thẳng song song
với AB hai đường thẳng này cắt nhau tại D
a) Chứng minh: ABC = ADC.
b) Chứng minh: ADB = CBD.

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: ABO = COD.
Bài tập 5: Cho góc vng xAy. Trên tia Ax lấy 2 điểm B và D, trên tia Ay lấy 2 điểm C và E sao cho
AB = AC và AD = AE.
a) Chứng minh: ACD = ABE.
b) Chứng minh: BOD = COE.

Trang 24


CHUYÊN ĐỀ 9: CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Phương pháp chứng minh
Phương pháp 1: Hai tam giác được gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có các cặp cạnh tương
ứng tỉ lệ và các góc tương ứng tỉ lệ.
Xét ABC và A'B'C', ta có:
AB
AC
BC
=
=
� � � � � �
Nếu A'B' A'C' B'C' và A = A'; B = B'; C = C' thì ABC ∽ A'B'C'.
Phương pháp 2: Định lý Talet: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt
hai cạnh còn lại thì nó định ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.

(MN // BC)
AM AN AM AN
=
=
Ta có: AB AC ; MB NC
Phương pháp 3: Chứng minh các điều kiện cần và đủ để hai tam giác đồng dạng:

Hai tam giác có các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ thì đồng dạng.
Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng.
Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ, hai góc xen giữa hai cặp cạnh ấy bằng nhau.
Phương pháp 4: Chứng minh trường hợp thứ nhất (cạnh-cạnh-cạnh): Nếu 3 cạnh của tam giác này
tỷ lệ với 3 cạnh của tam giác kia thì 2 tam giác đó đồng dạng.
AB
AC
BC
A' B' C' �


ABC
A' B' A' C' B' C'
∽
Phương pháp 5: Chứng minh trường hợp thứ 3 (góc-góc): Nếu 2 góc của tam giác này lần lượt
bằng 2 góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
�
A �
A'
��
��
�  B'
�
�B
.
ABC ∽A’B’C’
Phương pháp 6: Sử dụng chứng minh cho tam giác vng:
Tam giác vng này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vng kia thì hai tam giác đó
đồng dạng.


Trang 25