LÊ QUANG ĐIỆP - BÙI NGỌC LÂM - cù THANH TỒN

s ổ T A Y C Ơ N G TH Ứ C

TỐN-VẬT LÍ
HỐ HỌC
■

D ù n g c h o h ọ c sin h 10, 11, 12 v à lu y ệ n thi k h ố i A
C ậ p nhật theo ốhương trình hiện hành
*•“ D ễ dàng tra cứu nhanh kiến thức, cô n g thức khi làm bài
G iớ i thiệu c á c c ô n g thức giảỉ nhanh
!•* Phương p h áp gớ nhanh c ỏ c dng bi tp
ôã* C ỏ c chú ý khi giải bài tập

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM


Chịu trách nhiệm xuất bản:

Giám dổc: ĐINH NGỌC BẢO
Tổng biền tập: ĐINH VAN v à n g

Chịu (rách nhiệm vổ nội dung và bản quyền

CÔNG TY TNHH MỘT THÀNH VIÊN SÁCH VIỆT

Biên tập nội dung:

Ban Biôn tập Khoa học Tự nhiên

Kỹ thuật vi tỉnh:

THẾ ANH
TRÌNH B À Y BÌA:

SACHVỈETCO

SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN - VẬT LÍ - HỐ HỌC
- Liên hệ đặt hàng: salesQ sachviB tco.com
- Liên hê b ả n thảo: coD V riahtesachvistcQ .com
- ĐT: 0 8 .3 8 7 2 .0 8 9 7 - Fax: 0 8 .3 8 7 2 .6 0 5 2

Mã s ố : 0 2 .0 2 .1 0 4 3 /1 18 1 .PT 2012
ln 2 .0 0 0 cu ốn , khổ 19 X 17,5cm . tại C ông ly in văn Hóa S à i G ịn.
Đãng kíKHXB số: 78-2012/C X B /1043-43/Đ H SP n gày 13/01/2Q 12.
In xong và nộp lưu chiểu quý IV năm 2012.


G . P H Ồ N
P h ề n I: Đ Ạ I s ô

T O Á N

V À G IẲ I T ÍC H

Chun đê 1: PHƯƠNG TRÌNH - BÂT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Phương trình bậc hai
a x 2 + bx + c = 0; (a ^ 0) có A

~ b2 - 4ac.


* N ế u b' = — th ì A' = (b ')2 - ac .
* N ế u A > 0; (A' > 0) p h ư ơ n g t r ìn h có 2 n g h iệ m p h ấ n b iệ t:

- b '+ r /Ã 7'Ị
—b + "VÃ
2a
; l Xl _
aa
/
-b -V Ã
a
*2 ■
2a
; L"2 “
a
J
>]

ị
1
1
0“
1

Xl

* N ế u A = 0; (A' = 0) p hư ơ ng tr ìn h có n g h iệ m k ép :
x ‘ = x * = - ầ ; ( Xẩ=X* = - a ) * N ếư A < 0; (A' < 0) p h ư ơ n g tr ìn h vơ n g h iệ m th ự c ắ
* N ế u a x 2 + bx + c = 0. Có 2 n g h iệ m X j , X 2 => th e o đ ịn h lí V i-ét t a có:


íc.
' b
S s x , + x , = ---2
a


a * 0
* P h ư ơ n g t r ì n h có 2 n g h iệ m t r á i d ấ u <=>

* P h ư ơ n g t r ì n h có 2 n g h iệ m c ù n g d ấ u <=>

p s=5 < 0
a
a 9* 0
A> 0

p =- >0
a

fa*0
A>0
* P h ư ơ n g t r ì n h có 2 n g h iệ m cù n g dương <=> P = - > 0
a
s -

>
a

0


a &0
A> 0
* P h ư ơ n g t r ì n h có 2 n g h iệ m cù n g â m «■ p = -c > 0
a
S = -^< 0
a
Các h ằ n g đ ẳ n g th ứ c đ á n g n h ớ : (a ± b )2 = a 2 ± 2ab + b 2
( a 2 - b 2) = (a - b ) ( a + b)
(a ± b ) 3 = a 3 ± 3 a 2b + 3 ab 2 ± b 3
( a 3 ± b 3) = (a ± b ) ( a 2 + ab -4- b2)

A


2. Dấu củ ạ b iểu thức
a) D ấ u c ủ a n h ị th ứ c b ậ c n h ấ t
B iểu th ứ c: f (x ) = ax +• b; (a 5* 0) là n h ị th ứ c b ậc n h ấ t.

X

f (x ) = 0 < = > a x 4 - b - 0 < = > x o = - —
3
—ao
*0

fix)

+00


0

trá i dấu với a

cùng dâ'u với a

b) D ấ u củ a ta m th ứ c b ậ c h a i
B iểu th ứ c:
fix) = a x 2 + bx + c; (a 5* 0) là ta m th ứ c b ậ c h a i.
fl(x) = 0
a x 2 + b x + c = 0.
* N ế u A > 0 => P h ư ơ n g t r ì n h có 2 n g h iệ m p h â n b iệ t x t < x 2 .
X
cùng dấu
với a

«X)

0

+oo

x2

*1
trá i dâu
với a

0


c ù n g d ấu
với a

_^
* N ế u A = 0 ==>P h ư ơ n g t r ì n h có n g h iệ m k é p Xj - x 2 = — .
X

b
2a

—00
cùng dấu với a

fix)

-foo

0

cùng dấu với a

* N ế u A < 0 => P h ư ơ n g t r i n h vô n g h iệ m .
X

f i x )

— 00

+G O


c ù n g

d â u

v ớ i

a


* B â't p h ư ơ n g tr ìn h d ạ n g : *Jĩ (x ) < g ( x )

g(x)>0
f ( x) > 0
f ( x ) < g 2 (x)

B ấ t p h ư ơ n g t r ì n h d ạ n g : y jf (x ) S: g (x )
THỈ:

T H 2: í g ( x ) - 0
TH2: R x í ĩ g * (* )

0
Ịg(x)< 0

Chuyên tfê 3: BẤT đang thức
★ B ất dẳng thức Côsi:
a +b
• V a ,b > 0 t a có ------- > >/ãb , d ấ u
• Va, b


G

M ta có Ị^—

• Va, b, c > 0 ta có
•

Va, > 0 ,
ai - a2 =

> a b , dâ'u
—— > \Ịàbc <^>

(i -

ì,n

ta

có

x á y r a k h i a = b.
” x ả y r a k h i a - b.
+ k + c j > abc, dấu

a, + a„ + ..ẵH- a
— > ^ a j a 2...an
n

xảy ra khi a =5 b = c.

dấu

" - " x y r a

khi

a n.

Bõ't ôlng thc Bunhacopxki:
ã Với a, b, c, X, y,

2

là n h ữ n g số b ấ t ki th i t a ln có: (ax + b y )2 < ( a 2 + b 2) (x 2 + y 2) , d ấu “=”

xảy ra k h i — = — ễ
X
y


Chuyên đê 4ếHỆ PHƯƠNG TRÌNH
1. Hệ phương trinh bậc n h ất hai ẩn
ị a x + ky c
[ax + b y = c

trong (55 a> b , c v à a', b', c/ là các số th ư c k h ô n g đ ồ n g th ờ i b ằ n g k h ô n g ,

T h eo đ ịn h th ứ c C ra m e : D =

a

a'

c
b
;' D X*
c'
b'

b
;
b' »

* N ế u D * 0 th ì h ệ có n g h iệ m duy n h ấ t: X =

* N ếu D = D x = D

y

* N ếu

- 0 t h ì h ê vơ số n g h iệ m : 4

D - 0
D x 7* 0 th ì h ệ đ ã cho vô n g h iệm ,
LD y * 0

2. Hệ phương trinh bậc h ai ẩn đối xứng loại I
' ỉ ( x ;y ) = a

a

a'

y = -5í-

l y=

rhi

=

c - ax
b

c
c'

SỔ TAY CƠNG THỨC TỐN THP.T

(ax + by + czỶ < ( a 2 + b 2 -4- c2) ( x 2 +- y ?ễ + z? ) , d ấ u
xảy r s k h i
—
'
/
X y
z
2 1-2
2 /
1^
\2
• V ới a, b, c e E v à X, y, 7. > 0 ta ln có: — + — ->• “ Sĩ ™——t —.ì— '

X
y
7,
X+ y + z


Cách g iả i:
Đ ặ t s = X + y, p = xy, ĐK : s 2 - 4P > 0
Í F ( S ;P ) = 0
_
(I) <=> -Ị
g iải h ệ tìm được s , p . K hi đó X, y là n g h iệm của phương trìn h :
[ G ( S ;P ) = 0
X 2 - s x + p = 0. T ìm được n g h iệm X, y xem x é t điều k iệ n và k ế t lu ận nghiêm .
3. H ệ p h ư ơ n g t r i n h đ ố i x ứ n g l o ạ ỉ I I
C ho h ệ p h ư ơ n g tr ìn h : ị \
a (II)
[f(y ; x) = b
Cách g iả i:
T rừ h a i p h ư ơ n g tr ìn h c ủ a h ệ cho n h a u t a được:
fí(x;y) - fl[y;x) = 0 . <=> (x - y ) g (x; y ) = 0 <=>
X é t từ n g trư ờ n g h ợ p v à th a y v ào m ộ t p hư ơ ng tr ìn h của h ệ b a n đ ầ u đ ể g iầi. S au đó k ế t
lu ậ n n g h iệ m n ế u có.
4. H ệ p h ư ơ n g t r i n h đ ẳ n g c â p

T ro n g đó f ( x , y) v à g ( x , y ) đ ẳ n g c ấ p b ậ c k gọi là h ệ đ ẳ n g cấp .
★ Ltáị ý : H ệ (*) gọi là đ ẳ n g c ấ p b ậ c k n ế u các phư ơ ng t r ìn h f(x, y) v à g(x, y) p h ả i là đ ẳ n g
c ấ p b ậ c k. fĩx, y) v à g(x, y) đ ẳ n g c ấ p b ậ c k k hi:
f(x, y) = m Kf(m x, m y )


và

g(x, y) = m kg(m x, m y).


• X ét

X

= 0 th a y v à o h ệ có p h ả i là n g h iệ m h a y k h ô n g .

• Với

X

^ 0 d ặ t y = tx th a y v à o h ệ t a có

rìn h :

t x ) = a 0 í x k f( 1; * ) ~ a ( ! )
Ịg (x ; tx ) = b
Ị x kg ( l; t) = b (2)
T a th ư c h iệ n c h ia các v ế tư ơ ng ứ ng của (1) v à (2) đươc - ,
{ = — v à g iả i p hư ơ ng
g (l;t)
b
t r ì n h n à y ta dược n g h iệ m t rồ i th a y v ào tìm được n g h iệ m (x; y).

Chuyên đề 5: LƯỢNG GIÁC


kết

| ễ CÁC CÔNG THỨC CÚ BẢN
1. Hộ thức cơ bản
s in 2 X + cos2x = 1

^_

s in x
ta n x - — —-

(

cos X V

71 ,
X ĩ* — + k ĩt

2

■
cosx i
, N
c o tx = - Ề
(x qé kjr)
sin X
ta n x . cot X - 1
1 + ta n 2 X =

lẳ n g

1 +- c o t * X =

COS2X
1

sin2 X

sổ TAY CỘNG THỨC TOÁN THPT

Cách giải:


2. Giá trị các hàm lưựng giác củ a góc (cung) đặc bỉệt:
n
n
n
0
6
4
3
1
Vs
s in x
2

2

2

cosx


lĩ

>/2

1^

2

2

ta n x

JL

2

co tx
G iá t r ị cung

Vã

JL

~T ~
Vã

Vã
X


s in x
cosx
ta n x
cotx
3. Cung liê n k ết
a) H a i c u n g đối n h a u :
b) H a i c u n g b ù n h au :

c) H a i c u n g p h ụ n h a u :

Cung I

C u n g II

+
+

+

—

—

_

+
+

—


+

C u n g IV

C ư ng I II

—

—

-

c o s ( - x ) = eosx;

ta n ( - x ) = - t a n

s in ( - x ) = - s in x;

cot ( - x ) = - c o t X .

cos(ti —x) = - c o s x ;

ta n (ti - x ) = - ta n X ;

sin(7i - x) —sinx;

cot (tĩ -

cos [ | - x ] = sinx;


ta n

x)

X

;

= —cot X .

(H

= cot X ;


cos (7t +- x) = ~ cos X ; ta n (n + x ) = ta n X
s in ( n + x ) = - sin X ; cot (tĩ + x ) = cot X

H ệ q u ả : cos(k.7u + x ) - ( - l ) k -COSX
sin(krc + x ) = ( ~ l ) k *sinX
t a n (kít + x ) - t a n X
c o s (k 2 n + x) = c o s x
s in (k27i + x) = s in X
c o t(k rt + x ) = cot X
e) H a i cung h ơ n k é m n h a u — : cos
2

GH

= - s in X


i n ( f + x ) = cosx
ta n
cot
4,

(i+
xH

-c o tx

(H -

~ ta n X

Công thức b iến đ ổi
a) C ô n g th ứ c cộng: s in ( x + y ) = s in x .c o s y 4- s in y .c o s x
s in (x - y ) = sinx. cos y - s in y. cos X
c o s (x + y ) = c o s x .c o s y - s in X. s in y
c o s (x ~ y ) = c o s x .c o s y + s in x .s in y
^
tạ n x ita n y
t a n í x ± y) =
~——
l^tanx.tany

sổ TAY CƠNG THỨC TOÁN THPT

d) H a i cung h ơ n k é m n h a u n :



_
\ c o tx .c o ty -1
cot ( x + y ) = —
—
cot X + cot y
_, ,
_ X cot cot y + 1
cot ( x - y ) = —
—
cot X —cot y
b) C ô n g th ứ c n h â n đôi: s in 2 x = 2 s in x .c o s x
X .

cos2x = cos2x - s in 2 X = 2cos2x - 1 = 1 “ 2 s in 2 X.
.L
--o
2tanx
t a n 2 x = .... g—
1 “ ta n X
c) C ô n g th ứ c n h â n 3: s in 3x = 3 sin X - 4 s in 3 X
cos3x = 4 cos3 X - 3 cos X
__ 1-• 2
1 - cos2x
J 2
1 - cos2x
ta n X = —— --------;
d) C ô n g thứ c h a bâc: s in X = .. .... ——— ;
2
1 + cos2x

2
1 + cos2x
,2
1 + cos2x
cos X ------- —----- ;
cot X = ------------- .
2
1 - cos2x
e) C ô n g th ứ c b iế n đổi tổ n g t h à n h tích :
~__ x + y __ X - y
cos X + cos y = 2 cos —
cos ——
J

2

„

.

2

X + y

.

x - y

cos X —cos y = - 2 s i n — ——si n — ~~~
2


2

X + V

s ì n X + s i n y - 2 si n —

X ^ V

cos —

2

X

s i n X - si n y - ắ2 c o s ..-

2

y

2

ỵ —y

-si n — ~ ~

s i n ( x ± y)
t a n X ± t a n y = -----—---- —
c o s x .c o s y

sin (x ± y)
s inx. s in y

c o t X ± c o t y = — .— —--------- -

2


j

(2) s in x —cos X = 7 2 s in

j

(3) cosx + s in
(4) cosx - s in

X =

X =

V ỗ c o s ^ x - —^
V2 c o s ^ x + —j

ỉ) C ô n g th ứ c b iế n đ ổ i tíc h t h à n h tổ n g :
1r
cosẹx.cos y = —Ị_cos(x + y ) + c o s(x -- y )J
s in x .c o s y = —[ s i n ( x + y ) + s in ( x - y )]
cos x .s ỉn y = -ỉ-ịj5in(x + y ) “ s in ( x - y ) j
g) C ô n g th ứ c c h ia đ ô i: Ị^Đặt t = t a n —j

_

2t

s i n X = - — —5- ;

2t

t a n X = - — —5-

1 + 12
1 - 12

c o s X = -------- -- ;

1 - 12
.

_ 1 - t 2

c o t X ---------------

1 + 12
H ệ q u ả .ệN ếu t a đ ặ t t —ta n x

. 2
ox =
_ ---2 t—3-:
s in
1 4*t 2

1 —t 2

cos2x - —-----5-;
1 + 12

2t

*ta n o2 x _-----2 t—ỉ

1 - 1*

_

1 —t 2

C0t2x - - - - -- 2t

sõ TAY CƠNG THỨC TỐN THPT

H ệ quả: (1) s in x + cos X = >/2 s in


II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình cơ bán
a) P h ư ơ n g t r ì n h sin : &in
Đ ăc

b iệ t:

sin x “ 1


s in x

-

-1

X

X

X -

= s in a c»

X

a + k27í

= n- a

(k 6 z ).

4- k 2 ĩ r

= —■+ k2rc

<=> X

2


— —-

r

2

+ k 2 ĩt

s in x = 0 <-> X - kĩT.
b) P h ư ơ n g t r i n h cos: cosx = c o s a <=>

X = a + k.2ĩĩ
x
( k E 1ắ
|_x = - a + k2n:

Đ ặc b iệ t: c o s x = 1 <=> X = k 2 ít
cos X = ~ 1 <=> X “ (2 k + l)ĩt -

Yà

cos x - 0 < = > x - ^ + kn.
2

c)

P h ư ơ n g t r ì n h ta n : ta n x

=


ta n

a

<=> X =

a

+ k i t ( k €E z ) .

Đ ãc b iê t: t a n x - l « - x = — + krc
4
t a n x = - l< = > x = ~ “ + k7E
4
ta n x = 0 <=> X -- kĩi.
d) P h ư ơ n g t r ì n h c o ta n : cotx = c o ta <=> X = a + k7ĩ(k e Z ) . (x * kn)
Đ ăc b iệ t: co t

X

= 1 <-> X = — + k7ĩ
4

co t X =

1 <=> X = —— + kíu
4
cot X = 0
X —~ + kít.

2

.


2. Phương trình bậc XI th eo một hàm số lượng giác
Cách giải: Đ ặ t t = s in X (h o ặc cos
a nt"

+

a n_1t n

1 +

...

+

a 0t° -

0

(nếu

X,
t =

tan.


X,

c o t x) t a có phương trìn h :

sinx) h o ặc

t =

cosx th ì điều

k iệ n

của

t:

—1

< t < 1.

3. Phương trinh bậc n h ấ t theo sỉnx và cosx
a s in x + b c o sx = c
(1)
a 2 + b 2 5Ế 0 đ iề u k i ệ n có n g h iệ m : a 2 + b 2 > c2.
Cách g iả i: C h ia 2 v ế c ủ a phươ ng t r ì n h cho Va^ + b 2 và sa u đó đưa về p hư ơ ng t r ì n h
lư ợ ng g iác cơ b ả n .

4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sỉnx và cosx
a s in 2 X + b s in x.cox + c cos2 X = d.
Cách giải:

X ét c o sx --- 0 <=> X
K ét c o s x

= — + k ít

(k e

Z)

có p h ả i là n g h iệ m k h ô n g ?

0 . C h ia 2 v ế củ a phư ơ ng t r ì n h cho cos2x v à đ ặ t t = ta n X .

5. Phương trinh dạng
a. (sin x ± cos x ) + b.sinx. cos X = c.
Cách giãi:
Đ ặt

t = s in

X

± cos X = \Í2 s in

Đ K : -y/2 < t < V 2 )

t2 = 1 ± 2 sin x .c o sx => sin x .co sx = ±

2


t2 - 1
V ậy phương trìn h đã cho trở th à n h a t ± b ------- = c, giải phương trìn h bậc 2 th eo t.


Chuyên đê 6: Tổ H0P - XÁC SUÂT
I. TỔ HỘP

1. Hoán vị:
p n = n! = 1.2 ...n (với n e PO , 0! : ^ l ắ
2. Chỉnh hợp: AỈ = 7 n ‘ (n - k )!

(1 < k ^ n ).

T ín h c h ấ t: Pn = A " .
3. Tế hợp: c ; = - (nn ' k)i

(0 < k < n).

4. Các tính chất: p„ - Aĩ ; Aỉ -Cỉ.k!; ci = c;-k ; c&ỉ + ci_, . CỊ; ( l < k < n).
5. Nliị thức Niu-tơn:
(a + b)" = c ° a " + CỊìa n l b 1 + c ị a n-2b 2

+... + C ”-2a 2bn-2 + c^-|a 1b n“1 + C "a°bn.

6. H ệ q u ả : * (1 + x)n = c° + xC* + x 2C2
a + ... + x nc^ .
* c ° +C* + ... + C^ = 2"

* c s - c i + c * - , . .+ ( - i ) " c ; =0
7. Số h ạn g tổng quát trong khai triển (a + b)“ là: Tk+1 =


.a"-k.bk ( n e N * )

II. XÁC SUẤT
* X ác s u ấ t củ a b iế n cố A: P ( A ) =

(o -

“ l)

T ro n g đó n ( A ) là sơ" p h ầ n tử củ a b iế n cô" A, n ( Q ) là sô" p h ầ n tử củ a k h ô n g g ia n
mẫu n .


N ế u A và B x u n g k h ắ c = > P ( A u B ) = P ( A ) +

sổ TAY CÔNG THỬC TỐN THPT

* T ín h c h ấ t x ác s u ấ t: r * ( 0 ) = 0; p(£2) = 1.
cô n g th ứ c cộng xác su ấ t.

A là b iế n cô" đối c ủ a A => P ( A ) —1 - P ( A ) .
A và B là b iế n

CỐ

độc lậ p

P (A .B ) =s P ( A ) .P ( B ) .


Chuyên tfê 7: DÃY s ố - CẤP s ố CỘNG VÀ CẤP s ố NHẴN
1. Dãy sô"
* Đ ịn h nghĩa: Un = u(n) là d ãy số, với Uj là số h ạ n g đầu, u n là th ứ h ạ n g th ứ n, n e N*
* N ế u u n+1 > u n h a y u n+1 —u n > 0 gọi là d ã y số tă n g với Vn * N ế u u n+1 < u n h a y u n+1 - u n < 0 gọi là d ã y số g iả m với Vn e N*
* T ồ n t ạ i m ộ t sô" A m à u n < A, Vn e N* gọi là d ãy bị c h ặ n t r ê n bởi A.
* T ồ n t ạ i m ộ t s ố B m à u n > B, Vn G N* gọi là d ãy bị c h ặ n dưới bở i B.
* T ồ n t ạ i h a i s ố A, B m à B < un < A, Vn e N* gọi là d ã y vừ a bị c h ặ n tr ê n bởi A, vừa bị
c h ặ n dưới bởi B.
2. Câ'p sô' cộn g
* C ho c ấ p s ố cộng: u n+1 = u n + d (n 6 N*) tro n g đó d = u n+1 - u n là công s a iề
* Sô' h ạ n g tổ n g quát: u n = Uì + ( n - l ) d ( n > 2) với u, là th ứ h ạ n g đầu, d là công sai.
g ian

* C ho c ấ p số cộ n g có c á c th ứ h ạ n g u k_!, uk, Uk+1 n ê n ta có tín h c h ấ t u k - Hh-1 —
2

k > 2.

vứi


* T ổ n g n sô' h ạ n g củ a 1 câ'p sô" cộng:

2

s n = Ul + u 2 + ... + Un
3. Cấp sô' nhân
* Cho cấp s ố nhân: un+1 = un.q (n e N * ) , trong đó q = - -a^1 là công bội (q

0).

* Sô' h ạ n g tổ n g q u á t: u n = UỊ.q”’1 (n > 2) với Uj là th ứ h ạ n g đầu, q là cô n g bội.
* C ho cấp s ố n h â n có c á c th ứ h ạ n g Uk-1,

Uk, Uk+1

n ê n t a có tín h c h ấ t u£ = u k_1.uk+1

K I = Vu k-1-Uk+1 v ớ i k > 2.

Uị (l - q n)

* T ổ n g n sô" h ạ n g của 1 c ấ p sô' n h â n : Sn = Ui + u 2 + ... + u n = — --------- -.

3

Chuyên đê 8: GIỚI HẠN
1. Các giới hạn đặc b iệ t
* lim — = 0; lim — = 0 n ế u k n g u y ê n đương; lim — ■= +oo n ế u k â m .
*

lim q n = 0 n ế u |q| < 1; lim q" = +oo n ế u |q| > 1 .
1 ị

lì—
*+€*

■ '

* lim n k = +oo n ế u k n g u y ê n dương, lim n k = 0 n ế u k n g u y ê n âm .
*

lim A - A ; A là h ằ n g sô"ẵ


SÕTAV CƠNG THỨC TỐMTHPT

2. Giới hạn cửa hàm sơ '
G iả s ử tồ n tại các g iớ i h ạ n

10,1 đó

w ± g (x ) ] = ỉìj £ f í* ) * ỈÙ 5 g W
u m [f(x).g(x)] = jịm f(x ).u m g (x)
X -* -X 0

f(x)
™ g(x)
l ắUk+l

v

;i,™f ( x )
limg(x)

'

x->x0

N '

(umg(x)^o)
Đ ặc b iệ t: l i m ( l + x)* = e; l i m S11~—= 1 (x e R ) v à
x ->0 v

'

x ->0

X

X

t í n h b ằ n g ra d ia n

ex - 1
l n ( l + x)
l i m -------- = 1; lim — —------ - = 1
x-»0

X

x-»°

X

3. Xét tính Hên tục của hàm số
* H à m sô" y = f (x) liê n tự c t ạ i đ iể m x 0 <^> lim f (x ) = f ( x 0) .
* H à m số y = f (x ) liê n tụ c t r ê n k h o ả n g ( a ;b ) n ế u nó liê n tụ c với t ấ t cả các đ iể m t r ê n

k h o ả n g đó.
* H à m s ố y = f (x ) liê n tụ c t r ê n đ o ạ n [a; b] n ế u nó liê n tụ c t r ê n k h o ả n g (a ;b )
v à lim f (x ) = f ( a ) ; lim f (x ) = f ( b).
3C—
►
a*^

x*4b


Chuyên đề 9: ĐẠO HÀM
1. Đạo hàm b ằn g định nghĩa
Cho h à m số y = f ( x ) . Đ ạo h à m của h à m số tạ i điểm x tì: f ' ( x 0) = K_>Xo
lim
V

/

-■

f

•

hữu hạn).
Q uy tắ c t í n h đ ạ o h à m b ằ n g đ ịn h n g h ĩa :
* B ư ớ c 1: G ọi Ax là sô" g ia đối sô' tạ i x 0 , tín h Ay = f (x 0 + Ax) - f ( x0).
*ệ B ước 2: L ậ p tỉ sơ'

AX

* B ước 3: T ìm Ị im - ^ Ax-»o / \ x

=> f '( x 0.) =
/

Ax-*o A x

.

2. Công thức đạo hàm cần nhớ
(A)' = 0 (A h ằ n g số)

(u ± v) = u' + v'

00' - 1

(u.v) = u'.v + u.v'

KHk

(ỈJ-S

(x “ )' = ct.x“"1

( u ì „ u *v “ Uểvl
l v j

(lnx/=^;(x>0)

"

V 2

_f ( x ì
v X—---x 0-- (có và
-


(o * )' = e*

(a -y

-

a x ln a

( l o g . X )' =

1
x ln a

(sin x )r = eos X

(co sx )

(ta n x )’

= - s i n x
1

C O S2X

(c o tx )*

1
s in 2 X

(]“

) ' -

k (x )' ~ k

( k X “ ) ' = k ( x “ ) ' = k . a . x w_1

(sin “ u )

= u ' . a . s i n “ -1 u . c o s u

(ta n “ u

= u ' . a . . t a n a_1 u .

\
eos u


y = u'.e"

a u ) = u '.a 11ln a

s i n u ) = u .c o su
cos u / = - u '.s i n u
t a n uY = ——
COS u

cot uY —----- ---s in u
k u )' = k ( u ) '
ku“ )' = k ( u “)' = k .a .u “' l .(u)'
cos^uj = —u'.a.cos“ *11. s in u
cot“ u) = —a u '.— \ —cot" 1 u
7
sin u

sổ TAY CÔNG THỨC T0ÁN THPT

eu


Chuyên đê 10: KHẢO SÁT HÀM s ố
BÀI TOÁN LIÊN QUAN
I. DẠNG ĐỔ THỊ CỦA HÂM sô'
1. Hàm bẠc ba
y = a x 3 + b x 2 + cx + d (a 5É 0)
D ạng 2ẽ' H à m s ố có 2 cực t r ị <=> y ' = 0 có 2 n g h iệ m p h â n b iệ t.
y

í \ì
•o

X

a

>0

D ạng 2Ề
* H à m sơ' k h ơ n g có cc tr ô ã y ' = 0 vụ n g h iệ m .

í

1

o

X
a

<0


có nghiệm kép

Xo

2. Hàm trùng phương: y = a x 4 + b x 2 + c (a * 0)

Dạng 1: H à m s ố cổ 3 cực t r ị <=> phư ơ ng t r ì n h y ’ - 0 cổ 3 n g h iệ m p h â n b iệ t.

sổ TAY CƠNG THỨC TỐN THPT

cớ nghiệm kép Xo


D ạng 2: H à m sơ" có 1 cực t r ị <=> phư ơ ng t r ì n h y ’ = 0 có 1 n g h iệm cluy n h ấ t.
3. Hàm nh ất b iến (bậc n h ấ t trên bậc nhất)

Dartv 1: H à m sô' d ồ n g b iế n <=> y ' =

>0
(cx + d)