CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki

Phn mt

BT NG THC Cễ SI (AM-GM) VÀ KĨ THUẬT SỬ DỤNG

I-CÁC DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC
1).Dạng cơ bản:

a1 + a2 + ... + an n
≥ a1 .a2 ...an với ai ≥ 0, ∀i = 1, n
n
m

a1m + a2m + ... + anm ⎛ a1 + a2 + ... + an ⎞
≥⎜
⎟ với ai ≥ 0, ∀i = 1, n
n
n
⎝
⎠
1 1
1
n2
mẫu số: + + ... ≥
với ai > 0, ∀i = 1, n
a1 a2
an a1 + a2 + ... + an

2).Dạng luỹ thừa:

3).Dạng cộng

4).Dạng trung bình
a).Trung bình nhân: n a1 .a2 ...an + n b1 .b2 ...bn ≤ n ( a1 + b1 )( a2 + b2 ) ...(an + bn ) (Bất đẳng thức MinCôpxki)
Hệ quả: (1 + a1 )(1 + a2 ) ... (1 + an ) ≥ (1 + n a1 a2 ...an )
b).Trung bình căn:

n

∑
i =1

n

2

⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞
ai2 + bi2 ≥ ⎜ ∑ ai ⎟ + ⎜ ∑ bi ⎟
⎝ i =1 ⎠ ⎝ i = 1 ⎠

2

(Bất đẳng thức MinCôpxki)

⎛ n ⎞⎛ n ⎞
⎜ ∑ ai ⎟⎜ ∑ bi ⎟
n
ai bi
c). Trung bình điều hồ: ∑
≥ ⎝ i =n1 ⎠⎝ in=1 ⎠ với ai > 0, bi > 0; ∀i = 1, n

i =1 ai + bi
∑ ai + ∑ bi
i =1

i =1

2 ab
a+b
a2 + b2
≤ ab ≤
≤
a+b
2
2
1
1
1
n
5).Dạng phân thức:
với ai > 0, ∀i = 1, n (Bất đẳng thức Jen sen).
+
+ ... +
≥
1 + a1 1 + a2
1 + an 1 + n a1 .a2 ...an

Mối quan hệ giữa các dạng trung bình:

II-KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC Cễ SI
1. Phơng pháp cân bằng tổng (ỏnh giỏ t trung bỡnh cng sang trung bỡnh nhõn)

Phơng pháp này xuất phát từ một nhận xét sâu sắc trong sách giáo khoa, tức là khi
Nếu hai số dơng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi
chúng bằng nhau.
Mở rộng một cách tự nhiên thì ®Ĩ chøng minh tỉng S= S1 + S2+ ... + Sn m ,
ta biến đổi S = A1+A2+...+An là các số không âm mà có tích A1A2...An = C không đổi,
sau đó ta áp dụng bất đẳng thức Côsi.
Vớ d 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = x +

1
khi x > 1
x 1

Giải: Ap dụng bất đẳng thøc C«si cho hai sè x - 1 > 0 vµ
x −1 +

1
≥2
x −1

( x − 1)

1
> 0 ta cã
x 1

1
1
1
x 1+
2 x+

3.
x 1
x 1
x 1

Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất là 3 khi x = 2.
2x +

Ví dụ 2. Chøng minh r»ng nÕu x > -1 thì

1
1
( x + 1) 2

1
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN


CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki
Phân tích: Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi thì ta thấy cha ra kết quả, nhng
nếu tách 2x thành x+1+x+1-2 thì có ngay điều phải chøng minh.
Ví dụ 3. Chøng minh r»ng x ≥ 0 thì x +

27
1.
( x + 3) 3

Phân tích: Biến đổi vế trái thành một tổng của các số hạng có tích không đổi, vì vậy phải
phân tích x thành 3 số hạng là


x+3
3

Giải: Bất đẳng thức đà cho tơng ®−¬ng

27
x+3 x+3 x+3
27
x+3 x+3 x+3
+
+
+
−3 ≥1 ⇔
+
+
+
≥ 4.
3
3
3
3
3
3
3
( x + 3)
( x + 3) 3
Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số dơng gồm ba số

x+3
27

và
3
(x + 3)3

ta có điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi x=0
Để luyện tập ta có thể cho các em áp dụng những bài tơng tự sau:
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biĨu thøc P = x +

2
víi x > 0
2x + 1

2) Chøng minh r»ng nÕu nÕu x > - 3 th×

2x
9
+
≥1
3 ( x + 3)2

3) Chøng minh r»ng nÕu a > b > 0 th×

a+

b
≥3
(a − b)(b + 1) 2

4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x + y biÕt x > 0, y > 0 tho¶ m·n:

H−íng dÉn: tõ biĨu thøc ta cã y =
Q = x + y = x +3+

3x
6
= 3+
do vËy
x−2
x−2

6
6
= x−2+
+5
x−2
x−2

5) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức R =
HD: R =

2 3
+ =1
x y

ab
a2 + b2
+
víi a > 0, b > 0
ab
a2 + b2


ab
a 2 + b2 3 a 2 + b2
+
+ .
sau đó dùng bất đẳng thức Côsi.
a 2 + b2
4ab
4 ab

6. Chøng minh r»ng ( x + 2) 2 +

7. Chứng minh rằng

2
≥ 3 (a > 0)
x+2
2

PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHÖ AN


CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki

1). ( a + b ) 64ab ( a + b ) , ∀a, b ≥ 0
8

2

2). (1 + a + b )( a + b + ab ) ≥ 9 ab, ∀a, b ≥ 0

3). 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2 , ∀a, b ≥ 0 HD: 3a3 + 7b3 ≥ 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3 ≥ 3 3 27a3 b6 = 9ab2 , ∀a, b ≥ 0
⎧ a, b, c, d > 0
⎪
1
8. Cho ⎨ 1
. Chứng minh rằng: abcd ≤
1
1
1
3
+
+
+
≥
81
⎪⎩ 1 + a 1 + b 1 + c 1 + d

HD:

1
1 ⎞ ⎛
1 ⎞ ⎛
1 ⎞
b
c
d
bcd
⎛
= 1−
+ 1−

+ 1−
=
+
+
≥ 33
≥0
1 + a ⎜⎝ 1 + b ⎟⎠ ⎜⎝ 1 + c ⎟⎠ ⎜⎝ 1 + d ⎟⎠ 1 + b 1 + c 1 + d
(1 + b )(1 + c )(1 + d )

⎧ a, b, c > 0
1
1 ⎞⎛ 1 ⎞
. Chứng minh rằng: ⎛⎜ − 1 ⎞⎛
− 1⎟ ⎜ − 1⎟ ≥ 8 .
⎟⎜
a
+
b
+
c
=
1
⎝ a ⎠⎝ b ⎠ ⎝ c ⎠
⎩

9. Cho ⎨

1
a


HD: 1 − =

1− a b + c
=
a
a

.

Chú ý: Tách nghịch đảo trong kĩ thuật đánh giá trung bình cộng sang trung bình nhân là kĩ tách
phần nguyên theo mẫu số để khi chuyển sang trung bình nhân thì các phần chứa biến số bị triệt tiêu.
10. Chứng minh rằng:

1).

a2 + 2

≥ 2, ∀a ∈ \

a2 + 1
1
3). a +
≥ 3, ∀a > b > 0
b (a − b)

2).

⎧a > b
a2 + b2
≥ 2 2, ∀ ⎨

a−b
⎩ab = 1

4). a +

4

( a − b )( b + 1)

2

≥ 3, ∀a > b ≥ 0

1
⎧
a≥
⎪
2a + 1
⎪
2
6). 4b ( a − b ) ≥ 3, ∀ ⎨ a
⎪ >1
⎪⎩ b
3

5). a +

1
b (a − b)


2

≥ 2 2, ∀a > b > 0

11. Với mọi x, y, z dương, hãy chứng minh

x 3 y 3 z3
+ +
≥ x+y+z
yz zx xy

12. Với x, y, z là các số dương có tích bằng 1, hãy chứng minh bất đẳng thức sau
x3
y3
z3
3
+
+
≥
(1 + y )(1 + z ) (1 + z )(1 + x ) (1 + x )(1 + y ) 4
2. Phơng pháp cân bằng tích ( Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng)

Tõ một hệ quả quan trọng trong sách giáo khoa: Nếu hai số dơng có tổng không đổi thì tích cđa
chóng lín nhÊt khi vµ chØ khi chóng b»ng nhau”.

Më réng ta cã: ®Ĩ chøng minh mét biĨu thøc cã dạng P= P1P2...Pn M
ta phân tích P = B1B2...Bn là các số không âm mà tổng B1 + B2+ ... + Bn = C là một số không đổi.

3
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHÖ AN



CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki
Vớ d 1. Cho a > 0, b > 0 vµ a + b = 1. Chøng minh rằng ab2

4
.
27

Phân tích: ta cần tách biểu thức ab2 thành một tích có tổng không đổi mà tổng đó
chắc chắn phải liên quan đến a + b = 1.
Gi¶i: ab2 = 4 a .

ta cã:

b b
a. . ≤
2 2

3

b
b
.
2
2

a+

mà theo bất đẳng thức Côsi cho 3 số dơng lµ a, b/2,b/2


b b
+
2 2 = 1 ⇒ a. b . b ≤ 1 ⇒ 4a. b . b ≤ 4 đpcm.
3
3
2 2 27
2 2 27

Dấu bằng xảy ra khi a = 1/3; b = 2/3.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Chứng minh rằng:
1). ab + cd ≤ ( a + c )( b + d ) , ∀a, b, c, d > 0
⎧a > c > 0
⎩b > c > 0

2). c ( a − c ) + c ( b − c ) ≤ ab , ∀ ⎨

3). 16ab ( a − b ) ≤ ( a + b ) , ∀a, b ≥ 0
2

4). −

4

1 ( a + b )(1 − ab ) 1
≤
≤
2 1 + a2 1 + b2
2


(

)(

)

Bài 2. Chứng minh rằng:
3
abc + 1 ≤ 3 (1 + a )(1 + b )(1 + c ) , ∀a, b, c ≥ 0
Tổng quát: n a1 .a2 ...an + n b1 .b2 ...bn ≤ n ( a1 + b1 )( a2 + b2 ) ...(an + bn ) (Bất đẳng thức MinCôpxki).
Bài 3. Chứng minh rằng:
1
1
+
≤ 1, ∀3 ≤ n ∈ ` .
n −1
n ! n −1 n
1
1
1 1 1
1 2 n −1
HDG: Biến đổi: n −1 + n −1 = n −1 . ... + n −1 . ...
2 3 n
2 3
n
n!
n

⎧a, b, c ≥ 0

Bài 4. Cho ⎨
. Chứng minh rằng:
⎩a + b + c = 1
1). 16abc ≤ a + b
2

2

C «si
⎛a+b⎞
⎛ a+b+c⎞
HDG: 16abc ≤ 16 ⎜
.c = 4 ( a + b )( a + b ) c ≤ 4 ( a + b ) ⎜
⎟
⎟ = a+b
2
⎝ 2 ⎠
⎝
⎠
8
2). ab + bc + ca − abc ≤
27
HDG:
C « si

4
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN


CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki

3

3

8
1 a +1 b +1 c ⎞ ⎛ 2 ⎞
VT = 1 + ab + bc + ca − a − b − c − abc = (1 − a )(1 − b )(1 − c ) ≤ ⎜
=⎜ ⎟ =
⎟
3
⎝
⎠ ⎝ 3 ⎠ 27
8
3). abc ( a + b )( b + c )( c + a ) ≤
729
7
4). 0 ≤ ab + bc + ca − 2 abc ≤
(IMO-1984)
27
Giải: Theo giả thiết suy ra: a, b, c ∈ [ 0;1] do đó:
C « si

2

ab + bc + ca − 2 abc ≥ 3 3 ( abc ) − 2abc = 3 ( abc ) 3 − 2abc ≥ 3abc − 2abc = abc ≥ 0 .
2

2

(vì abc ∈ [ 0;1] ⇒ ( abc ) 3 ≥ abc ).


Ta sẽ chứng minh: ( a + b − c )( b + c − a )( c + a − b ) ≤ abc ∀a, b, c ∈ [ 0;1] .
Nếu có hai thừa số ở VT ≤ 0 , chẳng hạn:
⎧a + b − c ≤ 0
⇒ 2 b ≤ 0 v « lÝ
⎨
⎩b + c − a ≤ 0
Nếu có đúng một thừa số ở VT ≤ 0 ⇒ §PCM
Nếu cả ba thừa số ở VT đều dương thì ta có:
VT =

( a + b − c )( b + c − a ) ( b + c − a )( c + a − b ) ( c + a − b )( a + b − c )

a+b−c+b+c−a b+c−a+c+a−b c+a−b+ a+b−c
= abc
.
.
2
2
2
Mà a + b + c = 1 suy ra:
≤

(1 − 2c )(1 − 2a )(1 − 2b ) ≤ abc
⇔ 1 − 2a − 2b − 2c + 4 ( ab + bc + ca ) − 8abc ≤ abc
3
1
1 ⎡ ⎛a+b+c⎞ ⎤ 7
⇔ ab + bc + ca − 2 abc ≤ (1 + abc ) ≤ ⎢1 + ⎜
⎟ ⎥ = 27

4
4 ⎣⎢ ⎝
3
⎠ ⎦⎥
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Chú ý: Nhân thêm hằng số trong kĩ thuật đánh giá trung bình nhân sang trung bình cộng

Bài 5. Chứng minh rằng:

a b − 1 + b a − 1 ≤ ab, ∀a, b ≥ 1
⎧a, b, c ≥ 0
Bài 6. Cho ⎨
. Chứng minh rằng: a + b + b + c + c + a ≤ 6
⎩a + b + c = 1
⎧a ≥ 3
ab c − 2 + bc a − 3 + ca b − 4
⎪
Bài 7. Cho ⎨ b ≥ 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
2 2
⎪c ≥ 2
⎩

5
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN


CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki

0 x 3
Bi 8. Cho ⎨

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = ( 3 − x )( 4 − y )( 2 x + 3 y )
⎩0 ≤ y ≤ 4
Bài 9. a). Cho x, y > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: f ( x; y )

( x + y)
=

b). Cho x, y, z > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: f ( x; y; z )

3

xy 2

( x + y + z)
=

6

xy 2 z3
Tổng quát: Cho x1 , x2 ,..., x n > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

f ( x1 ; x2 ;...; xn )

( x + x + ... + xn )
= 1 2

Bài 10. Chứng minh rằng; A = sin 2 x.cos x ≤

Tổng quát: A = sin m x.cosn x ≤


1+ 2 + ...+ n

x1 x2 2 ...x nn

2 3
9

m m .n n

(m + n)

m+n

, ∀1 ≤ m, n ∈ ]

Bài 11. (ĐỀ THI HSG Tỉnh Nghệ An-Bảng A-1992-1993)
Cho a1 , a2 , a3 ,..., a10 là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của

P=

a12 + a22 + .. + a102
.
a10 ( a1 + a2 + ... + a9 )

Giải. Nhận xét vai trị của a1 , a2 , ..., a9 bình đẳng nên ta phân phối a10 đều cho 9 số .
Áp dụng bất đẳng thức Cô si :
1
⎧ 2
2
⎪a1 + 9 a10 ≥ 3a1a10

⎪
⎪ a 2 + 1 a 2 ≥ 3a a
⎪ 2
10
2 10
9
⎨
⎪......................
⎪
⎪ a 2 + 1 a 2 ≥ 3a a
9 10
⎪⎩ 9 9 10
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được:
a12 + a22 + ... + a102 ≥ 3a10 ( a1 + a2 + ... + a9 )

Suy ra: P =

a12 + a22 + .. + a102
≥3.
a10 ( a1 + a2 + ... + a9 )

1
1
Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = ... = a9 = a10 .Vậy: MinP = 3 khi a1 = a2 = ... = a9 = a10
3
3
3. KÜ thuËt dùng hoán vị vòng.
Đây là một kĩ thuật phổ biến khi dùng bất đẳng thức Côsi , rất đơn giản và hiệu quả khi dùng và tạo rất
nhiều hứng thú cho häc sinh.
Ví dụ 1: Chøng minh ∀a, b, c > 0 th×


6

ab bc ac
+
+
≥ a+b+c
c
a
b

PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN


CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki

Phân tích: Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi cho 3 số hạng ta thấy khó có thể làm ngay đợc, vì vậy
ta cần linh hoạt vận dụng cho từng bộ hai số.
Giải: Vì a > 0, b > 0, c > 0 nªn

ab
bc
> 0,
> 0,
c
a

ac
> 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp:
b



ab bc
ab bc
ab bc
+
≥2
.
⇔
+
≥ 2b ⎪
c
a
c a
c
a
⎪
bc ac
bc ac
bc ac
ab bc ac
⎪
+ ) ≥ 2(a + b + c) ⇒ ®pcm
+
≥2
.
⇔
+
≥ 2c ⎬ ⇒ 2( +
a

b
a b
a
b
c
a
b
⎪
⎪
ac ba
ac ba
ac ba
+
≥2
.
⇔
+
≥ 2a ⎪
b
c
b c
b
c
⎪⎭

DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c.
Chú ý:
Ghép đối xứng
⎧2 ( x + y + z ) = x + y + y + z + z + x
⎪

Phép cộng: ⎨
x+y y+z z+ x
+
+
⎪x + y + z =
2
2
2
⎩
2 2 2
⎧⎪ x y z = ( xy ) . ( yz ) . ( zx )
Phép nhân: ⎨
( x , y, z ≥ 0 )
⎪⎩ xyz = xy . yz . zx
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
bc ca ab
1).
+ +
≥ a + b + c, ∀a, b, c > 0
a b
c
a2 b2 c 2 a b c
2). 2 + 2 + 2 ≥ + + ∀abc ≠ 0
b
c
a
c a b
3
3
3

2
3). a + b + c ≥ a bc + b2 ca + c 2 ab ∀a, b, c ≥ 0

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
1
1). ( p − a )( p − b )( p − c ) ≤ abc
8
1
1
1
⎛1 1 1⎞
2).
+
+
≥ 2⎜ + + ⎟
p −1 p − b p − c
⎝a b c⎠
3). ( b + c − a )( c + a − b )( a + b − c ) ≤ abc

4). R ≥ 2 r
5). a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 3S
6). ma2 + mb2 + mc2 ≥ 3 3S

(

7). ma2 + mb2 + mc2

)( h

2

a

)

+ hb2 + hc2 ≥ 27S 2

7

PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN


CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki

Vớ d 3.Cỏc s thc dng x, y, z thoả mãn điều kiện: x 2 + y 2 + z 2 = 3 .
Hãy chứng minh rằng:
xy yz zx
+ + ≥3
z
x y
HD: Bình phương 2 vế BĐT cần chứng minh rồi ghép đối xứng.
4.Ghép cặp nghịch đảo
⎛1 1
1 ⎞
( x1 + x2 + ... + xn ) ⎜ + + ... + ⎟ ≥ n2 ∀xi > 0 , i = 1, n
xn ⎠
⎝ x1 x2
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
b+c c+a a+b
1).
+

+
≥ 6 ∀a, b, c > 0
a
b
c
2
2
2
9
2).
∀a, b, c > 0
+
+
≥
b+c c+a a+b a+b+c
a
b
c
3
3).
+
+
≥
∀a, b, c > 0
b+c c+a a+b 2
a2
b2
c2
a+b+c
4).

+
+
≥
∀a, b, c > 0
b+c c+a a+b
2
⎧ a, b, c ≥ 0
1
1
1
9
. Chứng minh rằng:
+
+
≥
b+c c+a a+b 2
⎩a + b + c = 1
⎧ a, b, c > 0
1
1
1
Ví dụ 3. Cho ⎨
. Chứng minh rằng: 2
+ 2
+ 2
≥9
a
+
b
+

c
≤
1
a + 2 bc b + 2ca c + 2ab
⎩

Ví dụ 2. Cho ⎨

5. Đánh giá mẫu số
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
1
1
1
a+b+c
1). 2
+ 2
+ 2
≤
∀a, b, c > 0
a + bc b + ca c + ab
2abc
1
1
1
1
2). 3
+ 3 3
+ 3
≤
∀a, b, c > 0

3
3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
1
1
1
1
1
3). 4
+ 4 4
+ 4
+ 4
≤
.
4
4
4
4
4
4
4
a + b + c + abcd b + c + d + abcd c + d + a + abcd d + a + b + abcd abcd
Tổng quát: Cho a1 , a2 ,..., an > 0 ( n ≥ 3 ) . Chứng minh rằng:

1
a + ... + a
n
1

n

n −1

+ a1a2 ...an

+

1
a + ... + a + a1a2 ...an
n
2

n
n

+ ... +

1
1
≤
∀ai > 0, i = 1
n
a + a + ... + an −2 + a1a2 ...an a1a2 ...an
n
n

n
1

Ví dụ 2.Cho a, b, c ∈ [ 0;1] . Chứng minh rằng:


a
b
c
+
+
+ (1 − a )(1 − b )(1 − c ) ≤ 1 .
b + c +1 c + a +1 a + b +1
Tổng quát:
Chứng minh rằng:
8

PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN


CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki
an
a1
a2
+
+ ... +
+ (1 a1 )(1 − a2 ) ... (1 − an ) ≤ 1 (1)
a2 + a3 + ... + an + 1 a1 + a3 + ... + an + 1
a1 + a2 + ... + an −1 + 1

với mọi a1 , a2 , ..., an ∈ [ 0;1] .
Giải: Giả sử a1 = max ( a1 , a2 ,..., an ) .Khi đó ta có:

a1
a1
⎧

⎪ a + a + ... + a + 1 = a + a + ... + a + 1
n
2
3
n
⎪ 2 3
⎪
a2
a2
≤
⎪
⎨ a1 + a3 + ... + an + 1 a2 + a3 + .. + an + 1
⎪ ......................
⎪
an
an
⎪
⎪ a + a + .. + a + 1 ≤ a + .... + a + a + 1
n −1
2
n −1
n
⎩ 1 2
Cộng vế theo vế ta được:
an
a + a + ... + an
a1
a2
+
+ ... +

≤ 1 2
(2)
a2 + a3 + ... + an + 1 a1 + a3 + ... + an + 1
a1 + a2 + ... + an −1 + 1 a2 + a3 + ... + an + 1
Ta sẽ chứng minh:
a + a + ... + an
1 − a1
=
(3)
(1 − a1 )(1 − a2 ) ... (1 − an ) ≤ 1 − 1 2
a2 + ... + an + 1 a2 + ... + an + 1
Nếu a1 = 1 thì (3) đúng.
Nếu a1 ≠ 1 thì 1 − a1 > 0 .Do đó ( 3 ) ⇔ ( a2 + a3 + .. + an + 1)(1 − a2 )(1 − a3 ) ... (1 − an ) ≤ 1

Áp dụng BĐT Cauchy cho VT ta có:
n

a + a + ... + an + 1 + 1 − a2 + 1 − a3 + ... + 1 − an ⎤
( a2 + a3 + .. + an + 1)(1 − a2 )(1 − a3 ) ... (1 − an ) ≤ ⎡⎢ 2 3
⎥ =1
n
⎣
⎦
Vậy (3) đúng.
Cộng vế theo vế của (2) và (3) ta có điều phải chứng minh.
⎧a, b, c > 0
a
b
c
3 3

Ví dụ 3. Cho ⎨ 2
. Chứng minh rằng: 2 2 + 2 2 + 2
≥
2
2
2
b +c a +c a +b
2
⎩a + b + c = 1

⎧⎪a1 , a2 ,..., an > 0
Tổng quát: Cho ⎨ 2 k
và k, m, n ∈ ] .
2k
2k
⎪⎩a1 + a2 + an = 1
Chứng minh rằng:

( 2 m + 1) 2 m 2 m + 1
an 2 k −1
a12 k −1
a2 2 k −1
+
+
...
+
≥
1 − a12 m 1 − a2 2 m
1 − an 2 m
2m


Giải: Ta có:

( 2 m + 1) 2 m 2 m + 1
an 2 k −1
a12 k −1
a2 2 k −1
+
+
...
+
≥
1 − a12 m 1 − a2 2 m
1 − an 2 m
2m
9

PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN


CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki



(

a12 k

a1 1 a12 m


)

+

(

a2 2 k

a2 1 − a2 2 m

)

+ ... +

Ta sẽ chứng minh:
( 2 m + 1) 2 m 2 m + 1 a 2 k
a12 k
≥
1
2m
a1 1 − a12 m

(

(

)

⇔ a1


2m

(1 − a1 )

2m

an 1 − an 2 m

)

≥

( 2 m + 1) 2 m 2 m + 1
2m

(1)

)

⇔ a1 1 − a12 m ≤

(

an 2 k

2m
2 m + 12 m 2 m + 1
≤

( 2m )


2m

( 2 m + 1)

2 m +1

Áp dụng BĐT Cơ si ta có:

(

(

a12 m 1 − a12 m

)

2m

=

(

)(

1
2 ma12 m 1 − a12 m
2m

)


2m

) (

)

(

)

⎡ 2ma12 m + 1 − a12 m + 1 − a12 m + ... + 1 − a12 m ⎤

⎥
⎢
1 ⎢
2m
⎥
≤
⎢
⎥
2m
2m + 1
⎢
⎥
⎣
⎦
1 ⎛ 2m ⎞
=
2 m ⎜⎝ 2m + 1 ⎟⎠


2 m +1

=

( 2m )

2 m +1

2m

( 2 m + 1)

2 m +1

Tương tự ta có:

(

a2 2 k

a2 1 − a2 2 m

)

≥

( 2 m + 1) 2 m 2 m + 1 a 2 k

(2)


2

2m

.............................

(

an 2 k

an 1 − an 2 m

)

2 m + 1) 2 m 2 m + 1 2 k
(
≥
a

(n)

n

2m

Cộng vế theo (1), (2),…,(n) ta được:

(


a12 k

a1 1 − a12 m

)

+

(

a2 2 k

a2 1 − a2 2 m

)

+ .... +

(

an 2 k

an 1 − an 2 m

)

2 m + 1) 2 m 2 m + 1
(
≥
2m


(a

1

2k

+ a2 + ... + an
2k

2k

)

2 m + 1) 2 m 2 m + 1
(
=
2m

(vì a12 k + a2 2 k + ... + an 2 k = 1 ).
Từ đó suy ra ĐPCM.
Chú ý: Đánh giá mẫu số trong kĩ thuật Cơsi ngược dấu
Ví dụ 4: Các số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3 . Chứng minh bất đẳng thức:
a
b
c
3
+
+
≥ .

2
2
2
2
1+ b 1+ c 1+ a

Bình luận: Ta khơng thể dùng trực tiếp bất đẳng thức Cô si (AM-GM) với mẫu số vì bất đẳng thức sau đó
sẽ đổi chiều
a
b
c
a
b
c
3
+
+
≤
+ +
≥
2
2
2
2 b 2c 2 a 2
1+ b 1+ c 1+ a

10

PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHÖ AN



CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki

Tuy nhiờn, rt may mn ta li có thể dung bất đẳng thức đó theo cách khác:

(

)

a 1 + b2 − b2
a
ab 2
ab2
ab
=
=
a
−
≥
a
−
= a−
2b
2
1 + b2
1 + b2
1 + b2
2
Ta đâ sử dụng bất đẳng thức AM-GM: 1 + b ≥ 2b ở


dưới mẫu nhưng lại có được một bất đẳng thức thuận
chiều.
Sự may mắn ở đây là một cách dùng ngược dấu bất đẳng thức Cô si, một kĩ thuật khá ấn tượng và bất ngờ.

(

)

a 1 + b2 − b2
a
ab 2
ab2
ab
Giải: Ta có:
=
= a−
≥ a−
= a−
2
2
2
2
b
2
1+ b
1+ b
1+ b
b
bc
c

ca
≥ b−
≥c−
Tương tự:
và
2
2
2
2
1+ c
1+ a
a
b
c
ab + bc + ca
ab + bc + ca 3
Cộng vế theo vế cả bất đẳng thức ta được:
+
+
≥ a+b+c−
= 3−
≥
2
2
2
2
2
2
1+ b 1+ c 1+ a


Vì ( a + b + c ) ≥ 3 ( ab + bc + ca ) ⇔ ab + bc + ca ≤ 3 .
Đẳng thức xảy ra khi ac= b = c = 1.
Bài tập tương tự: 1).Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3 .
2

Chứng minh bất đẳng thức:

1
1
1
3
+
+
≥ .
1 + a2 1 + b2 1 + c 2 2

2). Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3 . Chứng minh bất đẳng thức:
1+ a 1+ b 1+ c
+
+
≥3.
1 + b2 1 + c2 1 + a2

3).Chứng minh rằng với a, b, c, d là các số thực dương thoả mãn: a + b + c + d = 4 ta có :
1
1
1
1
+
+

+
≥2
1 + a2 1 + b2 1 + c 2 1 + d 2

4).Chứng minh rằng với a, b, c, d là các số thực dương thoả mãn: a + b + c + d = 4 ta có :
a
b
c
d
+
+
+
≥2
2
2
2
1 + b 1 + c 1 + d 1 + a2

5).Chứng minh rằng với a, b, c, d là các số thực dương thoả mãn: a + b + c + d = 4 ta có :
1+ a 1+ b 1+ c 1+ d
+
+
+
≥4
1 + b2 1 + c 2 1 + d 2 1 + a2

Ví dụ 5: Chứng minh rằng với a, b, c, d là các số thực dương thoả mãn: a + b + c + d = 4 ta có bất đẳng thức:
a
b
c

d
+
+
+
≥2
2
2
2
1 + b c 1 + c a 1 + d a 1 + a2 b

Giải: Theo bất đẳng thức Cơ si ta có:

(

)

a 1 + b2 c − b2 c
b ( a + ac )
a
b2 c
ab2 c
ab c
b a.ac
=
= a−
≥ a−
= a−
≥ a−
≥ a−
2

2
2
2
2
4
1+ b c
1+ b c
1+ b c
2b c
b
bc + bcd
c
cd + cda
d
da + dab
≥ b−
≥c−
=d−
Tương tự:
;
và
2
2
2
2
2
4
1+ c d
1+ d a
1+ a b


Cộng 4 bất đẳng thức trên ta có:
a
b
c
d
1
+
+
+
≥ a + b + c + d − ( ab + bc + cd + da + abc + bcd + cda + dab )
4
1 + b2 c 1 + c2 a 1 + d 2 a 1 + a2 b
1
2
Ta lại có: ab + bc + cd + da ≤ ( a + b + c + d ) = 4
4
1
3
( abc + bcd + cda + dab ) ≤ ( a + b + c ) = 4 .
16
a
b
c
d
+
+
+
≥ a+b+c+d−2 = 2.
Do đó:

2
2
2
1 + b c 1 + c a 1 + d a 1 + a2 b

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d = 1.

11

PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN


CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki

Vớ d 6: Chng minh rng vi a, b, c, d là các số thực dương ta ln có:
a3
b3
c3
d3
a+b+c+d
+
+
+
≥
2
2
2
2
2
2

2
2
2
a +b
b +c
c +d
d +a
a3
a3 + ab 2 − ab 2
ab2
ab 2
b
=
−
≥
−
= a−
HDG: Ta có: 2 2 =
a
a
2
2
2
2
2ab
2
a +b
a +b
a +b


Xây dựng ba bất đẳng thức tương tự. Đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau.
Bài tập tương tự: Chứng minh rằng với a, b, c, d là các số thực dương ta ln có:
a4
b4
c4
d4
a+b+c+d
+
+
+
≥
.
3
a 3 + 2 b 3 b 3 + 2c 3 c 3 + 2 d 3 d 3 + 2 a 3

Ví dụ 7. Cho a, b, c ≥ 0 thoả mãn: a + b + c = 3 . Chứng minh bất đẳng thức:
Giải: Theo bất đẳng thức Cơ si ta có:

(

a2
b2
c2
+
+
≥1.
2
2
a + 2b
b + 2c

c + 2a2

)

2

a a + 2 b2 − 2ab2
2 ( ab ) 3
2 ab2
a2
=
≥
a
−
= a−
2
2
3
a + 2b
a + 2b
3 3 ab 4
2

Hoàn toàn tương tự ta cũng có 2 bất đẳng thức:

2 ( bc ) 3
b2
≥
b
−

3
b + 2c 2

.

2

,

2 ( ca ) 3
c2
≥
c
−
3
c + 2a2

2
2
2
2
2
2
2
Do đó ta chỉ cần chứng minh: a + b + c − ⎡⎢( ab ) 3 + ( bc ) 3 + ( ca ) 3 ⎤⎥ ≥ 1 ⇔ ( ab ) 3 + ( bc ) 3 + ( ca ) 3 ≤ 3 .

3⎣

⎦


Thật vậy, theo bất đẳng thức Cơ si ta có:
2

2

2

a + ab + b ≥ 3 ( ab ) 3 , b + bc + c ≥ 3 ( bc ) 3 , c + ca + a ≥ 3 ( ca ) 3

Cộng vế theo vế ta có: 2 ( a + b + c ) + ab + bc + ca ≥ 3 ⎡⎢( ab ) 3 + ( bc ) 3 + ( ca ) 3 ⎤⎥
2

2

⎣

2

⎦

Vì a + b + c = 3 và 3 ( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c ) = 9 ⇔ ab + bc + ca ≤ 3 .
2

2
2
2
2
2
2
Từ đó suy ra: 3 ⎡⎢( ab ) 3 + ( bc ) 3 + ( ca ) 3 ⎤⎥ ≤ 2.3 + 3 = 9 ⇔ ( ab ) 3 + ( bc ) 3 + ( ca ) 3 ≤ 3


⎣

⎦

nên ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =1.
Ví dụ 8. Cho a, b, c ≥ 0 thoả mãn: a + b + c = 3 . Chứng minh bất đẳng thức:
a2
b2
c2
+
+
≥ 1.
3
3
a + 2 b b + 2c c + 2 a 3

Giải: Chứng minh tương tự

(

)

a a + 2 b3 − 2ab3
a2
2ab3
2b 3 a2
a
a

Theo bất đẳng thức Cô si ta có:
=
≥
−
=
−
.
3
a + 2b3
a + 2 b3
3 3 ab 6

Do đó ta chỉ cần chứng minh: b 3 a2 + c 3 b2 + a 3 c 2 ≤ 3 .
1
2a + b
3
3
2 ab + b 2 bc + c 2ca + a 2
1
3 2
3 2
3 2
Cộng vế theo vế ta có: b a + c b + a c ≤
+
+
≤ ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c )
3
3
3
3

3
2
1
Từ đó suy ra: b 3 a2 + c 3 b2 + a 3 c 2 ≤ .3 + .3 = 3 nên ta có điều phải chứng minh.
3
3

Thật vậy, theo bất đẳng thức Cô si ta có: b 3 a2 ≤ b. ( a + a + 1) =

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =1.

12
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN


CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki
Vớ d 9. Cho x, y, x > 0 thoả mãn

Giải: Ta có:

xy + yz + zx = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: T =

x2
y2
z2
+
+
x+y y+z z+ x

x ( x + y ) − xy

xy
x2
xy
=
= x−
≥ x−
x+y
x+y
x+y
2

Chứng minh tương tự:

yz z 2
zx
y2
≥ y−
;
≥ z−
y+z
2 z+ x
2

xy + yz + zx
1
1 1
= x + y + z − ≥ 1 − = (vì x + y + z ≥ xy + yz + zx = 1
2
2
2 2

1
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = .
3
1
1
Vậy Min T = khi x = y = z = .
2
3

Suy ra: T ≥ x + y + z

5. Phơng pháp thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi

Đây là phơng pháp rất lôi cuốn học sinh, bằng cách thêm các số hạng phù hợp và sử dụng khéo léo
bất đẳng thức Côsi ta có thể đạt những kết quả không ngờ!
Kim tra iu kin xảy ra dấu bằng, chọn điểm rơi và cân bằng hệ số”
5.1).Dấu bằng xảy ra tại điểm mút.
Ví dụ 1. 1).Cho a ≥ 3 . Chứng minh rằng: a +

1 10
≥
a 3

Phân tích tìm lời giải:
Dấu “=” xảy ra khi a = 3

Chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cơ si cho αa vµ

1
thì dấu “=” xảy ra khi a = 3

a

1
1
⇒ α = .Từ đó ta có lời giải:
3
9
1 8
1⎞ 8
1 1 10
⎛1
Giải: Ta có: a + = a + ⎜ a + ⎟ ≥ .3 + 2 a. = .
a 9
a⎠ 9
9 a 3
⎝9
Dấu “=” xảy ra khi a = 3
1 9
2).Cho a ≥ 2 . Chứng minh rằng: a + 2 ≥
a
4
Phân tích tìm lời giải:
Dấu “=” xảy ra khi a = 2
Nghĩa là: α.3 =

Chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cô si cho αa, αa vµ
Nghĩa là: α.2 =

1
thì dấu “=” xảy ra khi a = 2

a2

1
1
⇒α= .
2
2
8

Từ đó ta có lời giải:
Giải:
1 3
1
1 ⎞ 3
1 1 1 3 3 9
⎛1
Ta có: a + 2 = a + ⎜ a + a + 2 ⎟ ≥ .2 + 3 3 a. a. 2 = + = .
a
4
8
a ⎠ 4
8 8 a
2 4 4
⎝8
Dấu “=” xảy ra khi a = 2

13
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN



CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki
3).Cho a 6 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức S = a2 +

18
a

Phân tích tìm lời giải:
Dự đốn giá trị nhỏ nhất đạt được khi a = 6

Cần chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cơ si cho αa 2 vµ
Nghĩa là: α.36 =

18
thì dấu “=” xảy ra khi a = 6
a

18
1
⇒α=
.Từ đó ta có lời giải:
6
2 6

Giải: Ta có:

1 ⎞ 2 ⎛ 1 2 18 ⎞ ⎛
1 ⎞ 2
9a a ⎛
1 ⎞
⎛

a +
= ⎜1 −
≥ ⎜1 −
⎟ ≥ ⎜1 −
⎟a +⎜
⎟a + 2
⎟ .36 + 6 6 = 36 + 3 6 .
a ⎝ 2 6⎠
a⎠ ⎝ 2 6⎠
6
⎝ 2 6⎠
⎝2 6
Dấu “=” xảy ra khi a = 6. Vậy MinS = 36 + 3 6 tại a = 6.
1
1
4).Cho 0 < a ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 2a + 2 .
2
a
Phân tích tìm lời giải:
1
Dự đốn giá trị nhỏ nhất đạt được khi a =
2
α
1
Cần chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cơ si cho a, a vµ 2 thì dấu “=” xảy ra khi a =
2
a
1
α
1

Nghĩa là: =
⇒ α = .Từ đó ta có lời giải:
2 ⎛ 1 ⎞2
8
⎜2⎟
⎝ ⎠
1
1
7
1
7
3 7
= + = 5.
Giải: Ta có: S = 2 a + 2 = a + a + 2 + 2 ≥ 3 3 a.a. 2 +
2
a
8a 8a
8a
2 2
⎛1⎞
8. ⎜ ⎟
⎝2⎠
1
Dấu “=” xảy ra khi a = .
2
1
Vậy: Min S = 5 khi a = .
2
* Hãy so sánh ví dụ 2 và 4 để xem có điều gì thú vị ở đây?
a2 +


18

5.2). Các biến đều bình đẳng , dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau
⎧a, b > 0
Ví dụ 2. Cho ⎨
. Chứng minh rằng:
⎩a + b = 1
1
1
a). + 2
≥6
ab a + b2
Phân tích tìm lời giải:
1
Dấu “=” xảy ra khi a = b =
và nhận xét rằng:
2
2
2
2ab + a 2 + b2
a + b)
(
⎛a+b⎞
2
2
ab ≤ ⎜
=
⎟ vµ 2 ab a + b ≤
4

4
⎝ 2
14

(

)

(

)

PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG – NGHÖ AN


CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki

Chn s sao cho khi ỏp dụng BĐT Cơ si cho
Nghĩa là:

α
1
1
thì dấu “=” xảy ra khi a = b=
vµ 2
2
ab
a +b
2


α
1
1
=
⇒ α = .Từ đó ta có lời giải:
2
2
1 1 ⎛1⎞ ⎛1⎞
2
.
+
⎜
⎟
⎜
⎟
2 2 ⎝2⎠ ⎝2⎠

Giải: Ta có:
1
1
1 ⎛ 1
1
+ 2
≥
+⎜
+ 2
2
ab a + b
2ab ⎝ 2 ab a + b2


Dấu “=” xảy ra khi a =

1
1
2
⎞
≥
+2
⎟ ≥ 2ab + 2
2
2
2
2ab a + b
⎠
( a + b)

(

)

4

( a + b)

2

= 2 + 2.2 = 6 .

1
.

2

2
3
+ 2
≥ 14
ab a + b2
Hãy giải tương tự câu a.
b).

Ví dụ 3. (ĐỀ THI HSG Tỉnh Nghệ An -Bảng B-98-99 )
⎧ x, y > 0
Cho ⎨
. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
⎩x + y ≤ 1
1
2
A= 2
+ + 4 xy
2
x +y
xy
Phân tích tìm lời giải:
1
Dấu “=” xảy ra khi x = y =
2
α
1
Chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cơ si cho
vµ 4 xy thì dấu “=” xảy ra khi x = y =

xy
2
α
1 1
1
= 4. . ⇒ α = .Từ đó ta có lời giải:
Nghĩa là:
1 1
2 2
4
.
2 2
⎛ 1
⎞
1
2
1 ⎞ 5 ⎛ 1
Giải: Ta có: A = 2
+ + 4 xy = ⎜ 2
+
+⎜
+ 4 xy ⎟ .
⎟+
2
2
x +y
xy
2 xy ⎠ 4 xy ⎝ 4 xy
⎝x +y
⎠


A≥

4

( x + y)

2

+

5

( x + y)

2

+4

Dấu “=” xảy ra khi x = y =

1
.4 xy = 4 + 5 + 4 = 11
4 xy
1
.
2

Vậy Min A = 11 khi khi x = y =


1
.
2

Ví dụ 4.T×m giá trị nhỏ nhất của P =

a3
b3
+
với a, b là các số dơng thoả mÃn điều kiện ab = 1.
1+ b 1+ a

H−íng dÉn: DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = 1, vậy ta phải thêm cho

a3
1+ b
số hạng
.
1+ b


15
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN


CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki

Để tính ta thấy cho a = b =1 th× α =4. Nh−ng nh− thÕ ta thÊy chØ xt hiƯn 3 a 3 v× vËy ta thêm
để đợc chứng minh sau:
a3 1 + b 1 3

b3 1 + c 1 3
a3
b3
3 5
5
+
+ ≥ a;
+
+ ≥ b⇒
+
+ ≥ (a + b) ≥ . MinP = 1
1+ b
4
2 2 1+ c
4
2 2
1+ b 1+ c 2 4
2
Ví dụ 5. Chøng minh ∀a, b, c > 0 th×

a2 b2 c2
+
+
a+b+c
b
c
a

Phân tích: trớc hết ta nhận thấy nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Cô si thì cũng không ra


đợc kết quả, kĩ thuật vòng cũng không giải quyết đợc.
Bây giờ ta đánh giá dấu bằng xảy ra khi nào, dễ nhận thấy đó là khi a = b = c khi đó

vì vậy ta thêm b vào phần tử đại diện

a2
=a
b

a2
để có chứng minh sau:
b

Chứng minh:

Ap dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dơng

a2
b2
c2
, b, , c, , a th× ta cã:
b
c
a

a2
b2
c2
+ b ≥ 2a; + c ≥ 2b; + a ≥ 2c
b

c
a
2
2
2
a
b
c
a 2 b2 c2
⇒ + b + + c + + a ≥ 2a + 2b + 2c ⇒ + + ≥ a + b + c
b
c
a
b
c a
a2
b2
c2
a+b+c
Ví dụ 6. Chøng minh r»ng ∀a, b, c > 0 thì
+
+

2
b+c a+c b+a
a2
Phân tích: Ta cần thêm cho
một số m thoả mÃn:
b+c


1. Rút gọn đợc mẫu số (b+c) sau khi áp dụng bđt Côsi (

a2
a2
+m 2
m)
b+c
b+c

2. Dấu bằng của bất đẳng thức Côsi xảy ra đợc nghĩa là
suy ra m =

b+c



.Và để tính thì

a2
= m vµ a= b = c
b+c

a2
b+c
=m=
. DƠ thÊy khi thay a=b=c thì =4.
b+c


Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dơng


a2 b + c b2 c + a c2 a + b
,
,
,
,
,
b+c 4 c+a 4 a+b 4

thì ta có:
16
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

1
2


CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki


a2
b+c
+
a
4
b+c

2
b
c+a

a2
b+c
b2
c+a
c2
a+b

+
b
+
+
+
+
+
a+b+c
+
+
+
4
4
4
4
c+a
b
c
c
a
a
b



c2
a+b
+
c
4
a+b

a2
b2
c2
a+b+c
+
+

2
b+c c+a a+b

DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c.
Tuy nhiên thêm hạng tử nào cho hợp lí thì tùy tõng bµi vµ vÝ dơ cơ thĨ
Ví dụ 7: Chøng minh r»ng víi x,y,z > 0:

x3 y3 z 3
+
+ ≥ x2 + y2 + z2
y
z
x

Ph©n tÝch: Ta thÊy r»ng víi hạng tử x3/ y có thể có hai hớng sau:

Cách 1: Học sinh sÏ thªm

x3
y3
z3
+ xy ≥ 2 x 2 ; + yz ≥ 2 y 2 ; + zx ≥ 2 z 2 sau ®ã chøng minh
y
z
x

x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx, céng c¸c bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh.
Cách 2:

x3 x3
y3 y3
z3 z3
+ + y 2 ≥ 3 x 2 ; + + z 2 ≥ 3 y 2 ; + + x 2 ≥ 3 z 2 céng l¹i ta có điều phải chứng minh.
y
y
z
z
x x

Vớ d 8. Chứng minh r»ng víi a, b, c>0 ta cã

a2 b2 c2 a b c
+ +
≥ + +
b2 c2 a2 b a a


Giải: Ap dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
a2 b2 c2
a2
a b2
b c2
c
+
+
≥
3
,
+
1
≥
2
,
+
1
≥
2
, 2 +1 ≥ 2
2
2
2
2
2
b
b c
c a
a

b
c
a

Ví dụ 9. Nếu a, b, c dơng v abc=1 thì
a3
b3
c3
3
+
+

(1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) 4
a3
b +1 c +1
Ph©n tÝch: ta sẽ thêm cho
những hạng tử gì? chắc chắn là có
;
với
(1 + b)(1 + c)



là một số dơng nào đó. Vấn đề bằng bao nhiêu, ta chỉ cần chú ý là dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1;
khi đó

a3
b +1 c +1
=
=

sÏ cho ta α = 4 =4. V× vËy ta cã chøng minh sau:
(1 + b)(1 + c)
α
α

a3
1 + b 1 + c 3a
b3
1 + c 1 + a 3b
c3
1 + a 1 + b 3c
+
+
≥ ;
+
+
≥ ;
+
+
≥
(1 + b)(1 + c)
8
8
4 (1 + c)(1 + a )
8
8
4 (1 + a )(1 + b)
8
8
4


17
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN


CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki
a3
b3
c3
3 1
3
+
+
+ (a + b + c) Điều phải chứng minh.
(1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) 4 2
2

⎧a, b, c > 0
Ví dụ 10. Cho ⎨
. Chứng minh rằng:
⎩a + b + c = 1
1
1
1 1
a). 2
+
+ + ≥ 30
2
2
a +b +c

ab bc ca
Phân tích tìm lời giải:

1
và nhận xét rằng:
3
1
1
1 1
1
9
+
+ + ≥ 2
+
2
2
2
2
2
a +b +c
ab bc ca a + b + c
ab + bc + ca

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =

Cần chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cơ si cho
thì dấu “=” xảy ra khi a = b = c =
Nghĩa là:

1

2

2

⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞
⎜3⎟ +⎜3⎟ +⎜3⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

=

1
α
α
;
vµ
2
2
a + b + c ab + bc + ca
ab + bc + ca
2

1
.
3

α
⇔ α =1
1 1 1 1 1 1

. + . + .
3 3 3 3 3 3

Giải: Ta có:
1
9
1
1
1
7
⎛
⎞
+
=⎜ 2
+
+
+
⎟
2
2
2
2
a +b +c
ab + bc + ca ⎝ a + b + c
ab + bc + ca ab + bc + ca ⎠ ab + bc + ca
9
21
≥
+
= 9 + 21 = 30

2
2
(a + b + c) (a + b + c)
2

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =

1
.
3

1 1 1 2
2 2
+ 2+ 2+
+ + ≥ 81 .
2
a b c ab bc ca
Phân tích tìm lời giải:
1
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =

b).

1 1 1 α α
α
; 2; 2; ;
vµ
2
ca
Cần chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cô si cho a b c ab bc

1
thì dấu “=” xảy ra khi a = b = c = .
3
Giải: Ta có:
1 1 1 2
2 2
1 1 1 1
1 1
1
1
1
81
+ 2+ 2+
+ + = 2+ 2+ 2+
+ + +
+ + ≥
= 81
2
a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca ( a + b + c )2
3

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =

1
1 1
1
n2
. (Áp dụng BĐT + + ... ≥
)
a1 a2

an a1 + a2 + ... + an
3
18

PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN


CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki
x , y, z 0
Vớ dụ 11. Cho ⎨ 2
.
2
2
⎩ x + y + z = 18
Tìm giá trị lớn nhất của: P = x + y + z . ĐS: MaxP = 3 6 ⇔ x = y = z = 6

Ví dụ 12. Cho x 4 + y 4 + z 4 = 48 . Tìm giá trị lớn nhất của:
a). S1 = xy + yz + zx
b). S2 = x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ĐS: 48
c). S3 = 3 xy + 3 yz + 3 zx ĐS: 3 3 4 Phân tich tìm lời giải:
Do vai trị bình đẳng của x, y, z nên có thể dự đốn giá trị lớn nhất đạt được khi
x 4 = y 4 = z 4 = 16 ⇔ x = y = z = 2

Để xuất hiện biểu thức S1 = xy + yz + zx ta cần áp dụng BĐT Cô si cho 4 số: x 4 , y 4 , α, α
như sau: x 4 + y 4 + α + α ≥ 4 4 α 2 x 4 y 4 = 4 α xy và dấu “=” xảy ra khi α = x 4 = y 4 = 16
Từ đó ta có lời giải:
Giải: Áp dụng BĐT Cô si: x 4 + y 4 + 16 + 16 ≥ 4 4 x 4 .y 4 .16.16 = 16 xy ≥ 16 xy

Tương tự:


z 4 + x 4 + 16 + 16 ≥ 4 4 z 4 . x 4 .16.16 = 16 zx ≥ 16 zx

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
16 S1 ≤ 2 x 4 + y 4 + z 4 + 96 = 192 ⇒ S1 ≤ 12

(

)

Dấu “=” xảy ra khi ⇔ x = y = z = 2 .
Vậy Max S1 = 12 khi x = y = z = 2 hoặc x = y = z = -2.
Tổng quát 1: Cho x 2 n + y 2 n + z 2 n = M ( n là số tự nhiên khác 0; M là số khơng âm cho trước).
Tìm giá trị lớn nhất của:
a). S1 = xy + yz + zx
b). S2 = x n y n + y n z n + z n x n
c). S3 = 2 m +1 xy + 2 m +1 yz + 2 m +1 zx ( m ∈ `* ).
⎧ x , y, z ≥ 0
Ví dụ 7. Cho ⎨ 3
. Tìm giá trị lớn nhất của:
3
3
⎩ x + y + z = 24
a). P1 = xy + yz + zx ĐS: 12

b). P2 = xy + yz + zx ĐS: 6
c). P3 = 5 xy + 5 yz + 5 zx ĐS: 3 5 4
⎧ x , y, z ≥ 0
Tổng quát 2: Cho ⎨ n
( n là số tự nhiên khác 0; M là số không âm cho trước).
n

n
⎩x + y + z = M
Tìm giá trị lớn nhất của:
a). P1 = xy + yz + zx

b). P2 = m xy + m yz + m zx ( m ∈ `, m ≥ 2 ).
Giải:a). Do vai trị bình đẳng của x, y, z nên có thể dự đốn giá trị lớn nhất đạt được khi x n = y n = z n =

19
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

M
3


CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki

xut hin biu thc P1 = xy + yz + zx ta cần áp dụng BĐT Cô si cho n số: x n , y n vµ n − 2 sè
Ta có: x n + y n +

M M
M
⎛M⎞
+ + ... + ≥ n n x n .y n . ⎜ ⎟
3 3
3
⎝ 3 ⎠




n−2

⎛M⎞
= nn ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠

n−2

xy

( n − 2 ) sè

xn + yn + (n − 2)

Suy ra:

Tương tự: y n + z n + ( n − 2 )

M
⎛M⎞
≥ nn ⎜ ⎟
3
⎝ 3 ⎠

M
⎛M⎞
≥ nn ⎜ ⎟
3
⎝ 3 ⎠


n−2

xy

n−2

yz

n−2

M
⎛M⎞
≥ n n ⎜ ⎟ zx
3
⎝ 3⎠
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
zn + x n + ( n − 2 )

⎛M⎞
n ⎜ ⎟
⎝ 3⎠

n−2

n

(

)


.P1 ≤ 2 x n + y n + z n + ( n − 2 ) M = nM ⇒ P1 ≤

M
⎛M⎞
n
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠

n−2

= 3n

M2
9

M2
M
Vậy MaxP1 = 3.
⇔x=y=z= n
.
9
3
b). Tương tự câu a ta áp dụng bất đẳng thức Cô si như sau:
n

M M
M
⎛M⎞
Ta có: x + y + + + ... + ≥ mn mn x n .y n . ⎜ ⎟
3 3

3
⎝ 3 ⎠


n

mn − 2

n

( mn −2 ) sè

Suy ra:

M
⎛M⎞
x + y + ( mn − 2 ) ≥ mn mn ⎜ ⎟
3
⎝ 3 ⎠
n

mn − 2

n

M
⎛M⎞
Tương tự: y + z + ( mn − 2 ) ≥ mn mn ⎜ ⎟
3
⎝ 3 ⎠

n

M
⎛M⎞
z + x + ( mn − 2 ) ≥ mn mn ⎜ ⎟
3
⎝ 3 ⎠
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
⎛M⎞
mn ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
mn

mn − 2

n

(

xy

mn − 2

n

n

m

m


yz

mn − 2
m

zx

)

M

.P2 ≤ 2 x n + y n + z n + ( mn − 2 ) M = mnM ⇒ P1 ≤
mn

⎛M⎞
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠

mn − 2

= 3mn

M2
9

M2
M
Vậy MaxP2 = 3.
⇔ x=y=z= n

.
9
3
Chẳng hạn: Với n = 2009 và M = 3 ta có bài tốn 1:
⎧ x , y, z ≥ 0
1). Cho ⎨ 2009
( n là số tự nhiên khác 0; M là số không âm cho trước).
+ y 2009 + z 2009 = 3
⎩x
mn

20
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

M
3


CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki
Tỡm giỏ tr ln nht ca: P1 = xy + yz + zx .ĐS: MaxP1 = 3 ⇔ x = y = z = 1
Với m = 2, n = 2009 và M = 9 ta có bài toán 2:
⎧ x , y, z ≥ 0
2). Cho ⎨ 2009
( n là số tự nhiên khác 0; M là số không âm cho trước).
+ y 2009 + z 2009 = 9
⎩x
Tìm giá trị lớn nhất của: P2 = xy + yz + zx .ĐS: MaxP2 = 32009 3 ⇔ x = y = z = 2009 3

⎧ x , y, z ≥ 0
Ví dụ 8.a). Cho ⎨

. Tìm giá trị nhỏ nhất của S1 = x 3 + y 3 + z3
xy
+
yz
+
zx
=
1
⎩
b). Cho x, y, z là các số thực thoả mãn xy + yz + zx = 1 . Tìm GTNN của S2 = x 2 + y 2 + z 2
Tổng quát: a). Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn xy + yz + zx = 1 .
Tìm GTNN của S1 = x n + y n + z n ; n là số tự nhiên lẻ ; n ≥ 3 .
b). Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn xy + yz + zx = 1 .
Tìm GTNN của S2 = x n + y n + z n ; n là số tự nhiên chẵn ; n ≥ 2 .
⎛ 1 ⎞
Giải: a).Dự đoán đẳng thức xảy ra khi x = y = z =
⇔ x = y =z =⎜
⎟
3
⎝ 3⎠
1

n

n

n

n


⎛ 1 ⎞
Để xuất hiện biểu thức xy + yz + zx ta cần áp dụng BĐT Cô si cho n số: x n , y n vµ n − 2 sè ⎜
⎟
⎝ 3⎠
n

n

n

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
n n ⎛ 1 ⎞
Ta có: x + y + ⎜
⎟ +⎜
⎟ + ... + ⎜
⎟ ≥ n n x .y . ⎜
⎟
3 ⎠ ⎝ 3
⎝
⎠
⎝ 3
⎠
⎝ 3⎠
n

n

n ( n − 2)


⎛ 1 ⎞
= n⎜
⎟
⎝ 3⎠

n

n−2

xy

( n − 2 ) sè

n

Suy ra:

⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
x + y + (n − 2) ⎜
⎟ ≥ n⎜
⎟
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
n

n−2

n


n

⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
Tương tự: y n + z n + ( n − 2 ) ⎜
⎟ ≥ n⎜
⎟
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠

xy

n−2

n

yz

⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
z + x + (n − 2) ⎜
⎟ ≥ n⎜
⎟
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
n

n


n

⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
2 S1 + 3 ( n − 2 ) ⎜
⎟ ≥ n⎜
⎟
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
n

n−2

n−2

zx

⎛ 1 ⎞
( xy + yz + zx ) = n ⎜ ⎟
⎝ 3⎠

n

⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⇒ 2 S1 ≥ 6 ⎜
⎟ ⇒ S1 ≥ 3 ⎜
⎟ =⎜
⎟
⎝ 3⎠

⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠

n−2

⎛ 1 ⎞
= 3n ⎜
⎟
⎝ 3⎠

n

n−2

n −2

1
⎛ 1 ⎞
Vậy MinS1 = ⎜
.
⎟ ⇔ x=y=z=
3
⎝ 3⎠
5.3). Vai trị các biến khơng bình ng
Kĩ thuật thêm nghịch đảo

Đây là một kĩ thuật mà nếu không nhắc và sử dụng sẽ là một thiếu sãt rÊt lín trong viƯc sư dơng vµ chøng
minh bÊt đẳng thức Côsi.
21
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN



CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki
Bi toỏn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =

2 3
+ với x, y là các số dơng thỏa mÃn x+y=1.
x y

Giải: Ta đà làm bài tập này bằng Côsi nhng ta cũng cố thể làm nh− sau:
⎛2 3⎞
2 y 3x
P = ⎜ + ⎟( x + y) = 2 +
+ + 3 ≥ 5 + 2 6 dấu bằng xảy ra khi x+y=1 và 3x2 = 2y2
x
y
⎝x y⎠
2
3
;y=
2+ 3
2+ 3
Bài toán 2. Cho x, y, z thoả mãn x 2 + y 2 + kz 2 = M . (k là hằng số dương; M là số khơng âm cho trước)
Tìm GTLN của S = xy + yz + zx .
Phân tích và tìm lời giải:
Do vai trị bình đẳng của x, y nên có thể dự đoán giá trị lớn nhất đạt được khi x = y và các thao tác đối với x
và y là “giống nhau”. Ta tách x 2 = mx 2 + (1 − m ) x 2 vµ y 2 = my 2 + (1 − m ) y 2 ( 0 ≤ m ≤ 1) đồng thời “chia

Khi x =

đều”

k
k
kz 2 = z 2 + z 2 cho cả x và y.
2
2

⎧
2
2
⎪(1 − m ) x + (1 − m ) y ≥ 2 (1 − m ) xy
⎪
k
⎪
Áp dụng BĐT Cô si như sau: ⎨mx 2 + z 2 ≥ 2mk xz
2
⎪
⎪ 2 k 2
⎪⎩my + 2 z ≥ 2 mk yz
Để xuất hiện biểu thức S = xy + yz + zx ta cần chọn m sao cho
2 (1 − m ) = 2mk ⇔ 4 (1 − m ) = 2mk ⇔ 2m 2 − ( 4 + k ) m + 2 = 0 ⇒ m =
2

Khi đó cộng vế theo vế suy ra: 2 (1 − m ) S ≤ M ⇒ S ≤

1⎡
( 4 + k ) − k 2 + 8k ⎤⎦ (vì 0 ≤ m ≤ 1 ).
4⎣

M
.

2 (1 − m )

⎧ x, y, z cïng dÊu
⎪x = y
⎪⎪
M
⇔ ⎨ 2 kz 2
Vậy GTLN của S =
2 (1 − m )
⎪mx = 2
⎪
⎪⎩ x 2 + y 2 + kz 2 = M
9
Áp dụng: Cho x, y, z thoả mãn x 2 + y 2 + z 2 = 5 . Tìm GTLN của S = xy + yz + zx .
2
2
1 ⎡⎛
9⎞
9⎞
9⎤ 1
⎛
Giải : Bước 1: Chọn m = ⎢⎜ 4 + ⎟ − ⎜ ⎟ + 8. ⎥ =
4 ⎢⎝
2⎠
2⎥ 4
⎝2⎠
⎣
⎦

22

PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN


CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki

3
3 2 3 2 3
4 x + 4 y ≥ 2 xy ≥ 2 xy
⎪
9
3
3
⎪1
Bước 2: Áp dụng BĐT Cơ si ta có: ⎨ x 2 + z 2 ≥ xz ≥ xz
4
2
2
⎪4
3
⎪1 2 9 2 3
⎪ 4 y + 4 z ≥ 2 yz ≥ 2 yz
⎩
3
9
10
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được: S ≤ x 2 + y 2 + z 2 = 5 ⇒ S ≤ .
2
2
3
⎡

2
x = y = − 2; z = −
⎧ x = y = 3z
⎢
10
⎪
3
Vậy Max S =
khi ⎨ 2
⇔⎢
9 2
2
3
⎢
2
⎪⎩ x + y + 2 z = 5
⎢ x = y = 2; z =
3
⎣
Bài tập tương tự:
1). Cho x, y, z thoả mãn x 2 + y 2 + 4 z 2 = 4 .

Tìm GTLN của S = xy + yz + zx . ĐS:
2). Cho x, y, z thoả mãn x 2 + y 2 + 8z 2 = 1 .
Tìm GTLN của Q = xy + yz + zx

(

3 +1


)

Bài toán 2. Cho x, y, z thoả mãn n x 2 + y 2 + kz2 = M . (k là hằng số dương; M là số khơng âm cho
trước) Tìm GTLN của S = xy + yz + zx .
Phân tich và tìm lời giải:
Do vai trị bình đẳng của x, y nên có thể dự đốn giá trị lớn nhất đạt được khi x = y và các thao tác đối với x
và y là “giống nhau”. Ta tách x 2 = mx 2 + ( n − m ) x 2 vµ y 2 = ny 2 + ( n − m ) y 2 ( 0 ≤ m ≤ n ) đồng thời “chia

đều”

k 2 k 2
z + z cho cả x và y.
2
2
⎧
2
2
⎪( n − m ) x + ( n − m ) y ≥ 2 ( n − m ) xy
⎪
k
⎪
Áp dụng BĐT Cô si như sau: ⎨mx 2 + z 2 ≥ 2 mk xz
2
⎪
⎪ 2 k 2
⎪⎩my + 2 z ≥ 2 mk yz
Để xuất hiện biểu thức S = xy + yz + zx ta cần chọn m sao cho
kz 2 =

2 ( n − m ) = 2mk ⇔ 4 ( n − m ) = 2mk ⇔ 2m 2 − ( 4n + k ) m + 2 n 2 = 0 ⇒ m =

2

0 ≤ m ≤ n ).

Khi đó cộng vế theo vế suy ra: 2 ( n − m ) S ≤ M ⇒ S ≤

1⎡
( 4n + k ) − k 2 + 8kn ⎤⎦ (vì
⎣
4

M
.
2 (n − m)

23
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN


CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki

x, y, z cùng dấu
x = y
⎪
M
⎪
Vậy GTLN của S =
⇔ ⎨ 2 kz 2
2 (n − m)
⎪mx = 2

⎪
2
2
2
⎪⎩n x + y + kz = M
Áp dụng: Cho x, y, z thoả mãn 2 x 2 + y 2 + 9 z 2 = 10 . Tìm GTLN của S = xy + yz + zx .

(

(

)

)

1⎡
1
4.2 + 9 ) − 92 + 8.9.2 ⎤ =
(
⎦ 2
4⎣
⎧3 2 3 2
⎪ 2 x + 2 y ≥ 3 xy ≥ 3 xy
⎪
9
⎪1
Bước 2: Áp dụng BĐT Cơ si ta có: ⎨ x 2 + z 2 ≥ 3 xz ≥ 3 xz
2
⎪2
⎪1 2 9 2

⎪ 2 y + 2 z ≥ 3 yz ≥ 3yz
⎩
Bước 1: Chọn m =

(

)

Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được: 3S ≤ 2 x 2 + y 2 + 9 z 2 = 10 ⇒ S ≤

10
.
3

⎡
2
x = y = − 2; z = −
⎢
x
y
3
z
=
=
⎧
10
⎪
3 .
Vậy Max S =
khi ⎨

⇔⎢
2
2
2
3
⎢
2
⎪⎩2 x + y + 9 z = 10
⎢ x = y = 2; z =
3
⎣
Bài tập tương tự:
1).Cho x, y, z thoả mãn 3 x 2 + y 2 + 8z 2 = 16 .

(

)

(

)

Tìm GTLN của S = xy + yz + zx . ĐS: Max S = 4

(

)

2). Cho x, y, z thoả mãn 4 x 2 + y 2 + 9 z 2 = 25 .


Tìm GTLN của S = xy + yz + zx . ĐS: Max S =

(

)

3).Cho x, y, z thoả mãn x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1 .

Tìm GTLN của S = xy + yz + zx . ĐS: Max S =

(

)

4). Cho x, y, z thoả mãn 15 x 2 + z 2 + y 2 = 35 .

Tìm GTLN của S = xy + yz + zx . ĐS: Max S = 7.
Bài toán 3. Cho x, y, z thoả mãn x 2 + y 2 + z 2 = M . (k là hằng số dương; M là số khơng âm cho trước)
Tìm GTLN của S = xy + yz + kzx .
Phân tich và tìm lời giải:
a).Do vai trị bình đẳng của x, z nên có thể dự đốn giá trị lớn nhất đạt được khi x và z và các thao tác đối với
x và z là “giống nhau”. Để xuất hiện biểu thức: S = xy + yz + kxz thì khi ta áp dụng BĐT Cô si
1 2
1− m
1− m
1
1− m
1− m
y ≥2
xy ≥ 2

xy ; (1 − m ) z 2 + y 2 ≥ 2
yz ≥ 2
yz và
2
2
2
2
2
2
mx 2 + mz 2 ≥ 2 m xz ≥ 2 mxz .

(1 − m ) x 2 +

24
PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN